Геомагнетизм и аэрономия, 2021, T. 61, № 2, стр. 267-272

1. ВВЕДЕНИЕ

Согласно теории геодинамо, наблюдаемое на поверхности Земли геомагнитное поле, генерируется течениями проводящей жидкости в ядре [Kono, 2009]. По оценкам палеомагнитологов магнитное поле существовало не менее 3.6 млрд лет, см. подробнее в [Решетняк и Павлов, 2016], что сравнимо с возрастом Земли – 4.5 млрд лет. С меньшей уверенностью можно утверждать, что большую часть времени магнитное поле было дипольным, и лишь изредка претерпевало обращение полярности магнитного диполя (инверсии геомагнитного поля), во время которых амплитуда диполя уменьшалась в несколько раз. За историю Земли инверсий было несколько сотен, что в совокупности с дипольностью поля, является хорошими тестом для проверки работоспособности моделей геодинамо.

В моделях геодинамо, включающих уравнения конвекции, присутствует два пороговых явления, связанных с появлением конвекции, так и магнитного поля. Оба процесса начинаются при превышении пороговых значений источников энергии, вызывающих конвекцию, и, собственно, интенсивности возникающей конвекции, генерирующей, в свою очередь, магнитное поле. Тепловая конвекция в жидком ядре турбулентная, гидродинамическое число Рейнольдса Re ~ 10⁸. Столь высокое значение Re, говорит о том, что турбулентность развитая, возбуждено большое число конвективных мод, и поведение поля скорости на больших масштабах уже мало зависит от изменения интенсивности источников тепловой конвекции. С магнитным полем ситуация обстоит по-другому: магнитное число Рейнольдса Rm ~ 10²‒10³ не столь велико, и всего на 1–2 порядка превосходит свое критическое значение. Последнее является причиной того, что в силу небольшого числа возбужденных магнитных мод в уравнении индукции, изменение магнитного поля на больших масштабах при конвективных флуктуациях может быть весьма существенным. Предполагается, что смена режима генерации без инверсий на режим с частыми инверсиями сопряжен с такими флуктуациями. Как правило, почему именно система находится вблизи данного перехода на протяжении всей истории Земли, не обсуждается.

Представления о том, как частота инверсий связана с амплитудой источников энергии, эволюционировали с развитием моделей геодинамо. Согласно первым моделям геодинамо среднего поля [Джонс, 1995], в том числе и Z-модели [Ануфриев и др., 1997], переход от режима без инверсий к частым инверсиям вблизи порога генерации был сопряжен с уменьшением амплитуды источников энергии (динамо-числа). При появлении трехмерных не осесимметричных моделей геодинамо, позволивших моделировать циклоническую конвекцию, точка зрения сменилась на противоположную: оказалось, что для такого перехода необходимо увеличение амплитуды источников энергии [Christensen et al., 1999]. В дальнейшем, с использованием геострофических течений, полученных в трехмерных моделях тепловой конвекции, аналогичный результат удалось получить и в моделях среднего поля [Решетняк, 2017]. Переход к частым инверсиям связывают с относительным уменьшением влияния вращения, что в свою очередь, приводит к увеличению флуктуаций магнитных полюсов относительно географических, см. подробнее в [Reshetnyak and Hejda, 2013].

Поскольку Rm невелико, мы вправе ожидать, что поведение магнитного поля может кардинально меняться при изменении Rm, не ограничиваясь лишь частотой инверсий. И такие изменения действительно наблюдаются как в трехмерных моделях [Christensen et al., 1999], так и в моделях среднего поля [Решетняк, 2017]. Однако сложно сказать, насколько этот факт подтверждается палеомагнитными наблюдениями, поскольку точность определения частоты инверсий геомагнитного поля существенно превосходит точность определения других характеристик поля в прошлом. Далее, на примере моделей среднего поля и трехмерной модели динамо с тепловой конвекцией, мы рассмотрим какие еще изменения происходят в магнитном поле при переходе от режима без инверсий к частым сменам полярности, и до какой степени мы можем сопоставлять результаты моделирования с наблюдениями.

2. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Модель геодинамо должна удовлетворять как минимум двум требованиям: использовать параметры (коэффициенты переноса, амплитуды источников энергии, угловую скорость вращения планеты), основанные на физической модели Земли, и, воспроизводить близкие к наблюдениям эволюционные ряды магнитного поля. В настоящее время ни одна из моделей не удовлетворяет первому критерию, поскольку моделирование конвекции с Re ~ 10⁸ без использования турбулентных моделей конвекции невозможно. Применение же известных моделей турбулентности также невозможно, поскольку они не учитывают быстрое вращение, и связанную с ним анизотропию конвекции. В результате, по параметрам принимается следующий компромисс: коэффициенты переноса берутся больше на несколько порядков, так чтобы числа Рейнольдса были порядка 10²–10³. Очевидно, что такой подход увеличивает флуктуации крупномасштабной скорости при увеличении амплитуд источников энергии, и как следствие – крупномасштабного магнитного поля.

Другой важный параметр, период суточного вращения планеты, принимается, как правило, меньшим суток, чтобы сократить разрыв между сутками и характерным временем вариаций дипольного магнитного поля, которое ~10³ лет и более. На практике, вращение выбирают таким, чтобы хотя бы выполнялся геострофический баланс сил [Pedlosky, 1987]. В этом случае скейлинговые оценки, описывающие взаимосвязь между безразмерными числами, позволяют надеяться [Christensen and Aubert, 2006], что получаемые решения могут быть пересчитаны для параметров ядра.

Современные трехмерные модели геодинамо регистрируют две важные границы: начало генерации дипольного магнитного поля без инверсий (I), и по мере увеличения амплитуды источников энергии (числа Рэлея в тепловой и композиционной конвекции) – переход магнитного поля в мультипольную конфигурацию с частыми инверсиями (II). Наличие границы II качественно отражает тот факт, что увеличение амплитуды центрально-симметричных сил плавучести уменьшает относительную роль сил вращения, имеющих осевую симметрию [Reshetnyak and Hejda, 2013]. Впервые, в трехмерных моделях геодинамо это было показано в работе [Glatzmaier et al., 1999], и далее результат был сформулирован в терминах критического числа Россби ${\text{R}}{{{\text{o}}}^{{{\text{cr}}}}}$ [Christensen and Aubert, 2006]. При ${\text{Ro}}{\kern 1pt} \,{\text{ < }}\,\,{\text{R}}{{{\text{o}}}^{{{\text{cr}}}}}$ магнитные полюса находятся вблизи географических, при увеличении Ro – появляются инверсии. Важно, что вращение оказывает влияние на генерацию магнитного поля и во время частых инверсий. Это следует как из того, что продолжительность инверсий (10³–10⁴ лет) много меньше времени между инверсиями, составляющем миллионы лет и более, так и более фундаментального свойства генерации крупномасштабных магнитных полей, связанного с необходимостью вращения как такового.

Проиллюстрируем вышесказанное рис. 1, где изображено поведение кинетической E_k и магнитной E_m энергии, а также магнитной энергии диполя $E_{m}^{d}$ в трехмерной модели геодинамо Magic, см. подробнее описание модели в Приложении. Как мы видим, положение максимумов для трех графиков различно. Если кинетическая энергия продолжает расти с ростом числа Рэлея Ra, то магнитный диполь начинает убывать значительно быстрее, чем полная магнитная энергия. И к моменту появления инверсий (Ra ~ 4 × 10⁵) становится весьма маленьким. Этот результат хорошо известен и подтверждается многочисленными численными экспериментами [Christensen and Aubert, 2006]. Другими словами, в трехмерных моделях сложно получить одновременно сильное дипольное магнитное поле и инверсии. Поскольку согласно наблюдениям, см. подробнее [Решетняк и Павлов, 2016], скорее всего, магнитное поле на геологических временах в прошлом i) было дипольным; ii) имело сравнимую с современной напряженность, сопоставление границы II с наблюдениями следует проводить крайне осторожно. Следует принять во внимание, что искомая модель геодинамо должна воспроизводить близкие к наблюдаемым в настоящее время свойствам поля на фоне достаточно больших изменений параметров, связанных с эволюцией жидкого и твердого ядер [Reshetnyak, 2019], т.е. ее чувствительность к изменениям параметров должна быть не велика.

В сложившейся ситуации интересно обратиться к накопившемуся опыту моделирования динамо средних полей. Без учета быстрого вращения стандартные модели среднего поля на пороге генерации дают периодические инверсии магнитного поля [Джонс, 1995]. Аналогичная картина наблюдался и в Z-модели Брагинского [Ануфриев и др., 1997]. Если взять геострофические течения из трехмерных моделей конвекции, вычислить по ним гидродинамическую спиральность, α-эффект, дифференциальное вращение, и подставить это в модель αω-динамо (модель среднего поля) с алгебраическим квенчингом для α-эффекта, то качественно получившийся результат напоминает вышеописанные результаты трехмерного моделирования: сначала генерируется дипольное магнитное поле без инверсий, далее, по мере увеличения скоростей, возникает переход к частым инверсиям магнитного поля с потерей дипольности [Решетняк, 2017]. Интересно, что в моделях среднего поля число Россби в явном виде не фигурирует, а решение для магнитного поля зависит только от амплитуды скоростей течений. В терминах линейного анализа это соответствует изменению скорости роста мод магнитного поля, появлению новых мод, с ростом скорости течений, т.е. Rm. С этой точки зрения результат, полученный в работе [Christensen and Aubert, 2006], мог бы получить новую трактовку, а именно: не как зависимость дипольности от Ro, а от Rm.

Поскольку граница II в моделях среднего поля такая же резкая, как и в трехмерных моделях, и получить сильное дипольное магнитное с частыми инверсиями практически невозможно, была предпринята модификация модели αω-динамо. Идея состояла в том, чтобы учесть флуктуации источника генерации, α-эффекта [Hoyng, 1993], связанные с турбулентностью. Последнее можно сделать как вблизи границы I, так и – II. Для границы I этот вопрос был рассмотрен в работе [Решетняк, 2019]. Выбор именно этой границы был обусловлен наблюдающимся палеомагнитологами медленным затуханием диполя во время последних пяти инверсий, и быстрым его восстановлением после инверсий [Valet, 2005]. Авторы высказали предположение, что уменьшение амплитуды диполя связано с затуханием магнитного поля, вызванным сбоем процесса динамо. В терминах модели [Hoyng, 1993] затухание может быть связано с флуктуациями α. В αω-модели среднего поля с геострофическими скоростями [Решетняк, 2019] удается получить наблюдаемое отношение времен 4 : 1. Обратим внимание, что вблизи границы I дипольное магнитное поле очень устойчиво, и требуются “дополнительные” меры для получения инверсий. Подобным образом инверсии можно воспроизвести и вблизи границы II. Однако из общих соображений следует ожидать, что с увеличением амплитуды источников энергии характерное время вариации магнитного поля будет уменьшаться, и отношение времен будет меньше единицы.

В рамках трехмерного моделирования флуктуации источников энергии вблизи границы I были реализованы в виде следующего численного эксперимента. Поскольку не каждая флуктуация приводит к инверсии магнитного диполя, а само трехмерное моделирование требует длительных вычислений, то было принято решение ограничиться оценкой времени отклика той или иной величины на изменение параметра. При этом сами инверсии, если они были, не учитывались. В трехмерной модели динамо было введено ступенчатое изменение числа Рэлея Ra через интервал времени $\tilde {T}$:

$i\tilde {T} \leqslant t < (i + 1)\tilde {T}{\text{,}}\,\,i = 0...N.$ Период $\tilde {T} = 20$ подбирался таким образом, чтобы решение успело выйти на квазистастационарный уровень. Характерное время расчета для N = 20 занимало одни сутки.

В качестве тестируемых величин были рассмотрены средние по числу реализаций энергии E_k, E_m и $E_{m}^{d}.$ Из общего числа N изменений Ra было выделено две последовательности: первая, в которой в середине интервала $\tilde {T}$ происходил переход ${{R}_{1}} \to {{R}_{2}}$ (кривая C₁), и вторая, в которой происходил обратный переход – ${{R}_{2}} \to {{R}_{1}}$ (кривая C₂). Для C₂ время t отсчитывалось в обратном направлении от $\tilde {T}$ до 0. Если процесс обратим, то при достаточно большом $\tilde {T}$ концы кривых C₁ и C₂ совпадают. Поведение же кривых C₁ и C₂ вблизи ${{\tilde {T}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\tilde {T}} 2}} \right. \kern-0em} 2}$ может отличаться, и возникает петля гистерезиса. Наличие гистерезиса связано с инерцией (памятью) процесса.

Решение вблизи границы I представлено на рис. 2. Увеличение (уменьшение) Ra на кривых C₁(C₂) приводит к увеличению (уменьшению) E_k и $E_{m}^{d},$ соответственно. Поскольку конвективное время при быстром вращении меньше магнитного, скачок для E_k более резкий. Для магнитного диполя наблюдается петля гистерезиса (небольшое смещение кривых вблизи t = ${{\tilde {T}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\tilde {T}} 2}} \right. \kern-0em} 2}$ = 10), связанное с тем, что характерное время у $E_{m}^{d}$ больше, чем у E_k (и у E_m). Обратим внимание, что в жидком ядре Pm ~ 10^–5 и характерные времена конвекции и магнитного поля отличаются еще больше, но в целом, модель правильно воспроизводит соотношение конвективного и магнитного времени. В модели наблюдаются всплески кинетической энергии в момент скачка: в дальнейшем, по мере изменения магнитного поля кинетическая энергия становится меньше (больше) для кривых C₁(C₂).

Поскольку наклоны кривых на рис. 2б вблизи t = 10 близки, характерное время убывания и роста магнитного диполя совпадают (отношение времен порядка единицы). Ни в одном из проведенных экспериментов в трехмерной модели вблизи границы I существенно изменить отношение времен не удавалось. В известной литературе возможность получения отличных от единицы отношения времен в трехмерных моделях также не обсуждалась.

3. ОБСУЖДЕНИЕ

Если исключить из рассмотрения достоверность наблюдений (а аналогов работы [Valet, 2005] автору неизвестно), и попытаться дать объяснение почему модели среднего поля и трехмерные модели дают различные результаты, то можно выдвинуть следующее предположение. В отличие от модели среднего поля, где конвекция задается в виде постоянного во времени профиля дифференциального вращения и распределения α-эффекта с простой формой обратной связи по магнитному полю, в трехмерной модели и процесс генерации, и процесс диссипации, связаны с циклонической конвекцией. Конвекция в ядре неосесимметричная и представляет собой вращающиеся колоновидные вихри, вытянутые вдоль оси вращения, масштаб которых по горизонтали много меньше масштаба по вертикали. В случае затухания магнитного поля, когда Rm мало, вихри разрушают крупномасштабное осесимметричное магнитное поле за короткий промежуток времени, порядка времени оборота вихря. В моделях же среднего поля, есть только характерные времена самого магнитного поля, считающегося осесимметричным. Чем ближе Ra для режима затухания к границе I, тем медленнее происходит затухание и больше время затухания. В силу этого модели среднего поля и трехмерные дают различное отношение времен роста и затухания магнитного поля.

Вышесказанное можно пояснить и другим способом: в моделях среднего поля при уменьшении источников энергии решение в пределе стремится к свободно затухающему осесимметричному решению, без турбулентной конвекции. Этот процесс затухания сравнительно медленный. В трехмерных моделях конвекция присутствует и вовремя затухания. Этот эффект можно сформулировать как на языке анизотропной турбулентной диффузии, так и в первом приближении, оценив время диссипации по времени оборота конвективного вихря. В любом случае, решение во время затухания будет существенно отличаться от свободно затухающего решения с однородным коэффициентом диффузии.

Экстраполируя полученные результаты на процесс инверсии, можно предположить, что и во время инверсий временнóй асимметрии в трехмерной модели не будет. Как мы видим, сравнение результатов моделирования различных моделей и наблюдений улучшают наше понимание физики процессов в жидком ядре Земли. Появление трехмерных моделей динамо потребовало пересмотра полученных ранее результатов моделирования в моделях среднего поля. Вопрос же сопоставления результатов моделирования с наблюдениями требует, как дальнейшего уточнения самих наблюдений, в частности по тонкой структуре инверсий, так и ответа на вопрос, почему эволюционные процессы в ядре Земли слабо отражаются на поведении магнитного поля. Дальнейшее исследование спектральных свойств уравнения индукции вблизи границ I и II кажется вполне закономерным шагом в дальнейших исследованиях.