Физика Земли, 2023, № 4, стр. 3-15

1. ВВЕДЕНИЕ

1.1. Изгибы океанических плит

Теория упругого изгиба тонких пластин широко используется при изучении тектоники литосферы. Примером может служить расчет изгиба литосферных плит в зоне субдукции. На рис. 1 изображен профиль океанической плиты толщиной h вблизи зоны субдукции.

Рис. 1.

Изогнутая океаническая плита (коричневый цвет) и край континентальной плиты (зеленый цвет) вблизи желоба. Пунктиром показан континентальный край, выпрямляющийся после землетрясения при уменьшении силы трения с погружающейся океанической плитой. Глубина желоба – w₀, угол субдукции – φ, внешнее поднятие (выгиб) океанической плиты – A, континентального края – B. Масштаб по вертикальной оси преувеличен.

Величину вертикального смещения срединной линии плиты, называемую функцией изгиба, обозначают через w(x). Ось z обычно направляют вниз и x – вправо. Верхнюю и нижнюю поверхности плиты обычно принимают скользкими, с нулевыми касательными напряжениями

(1)

${{\sigma }_{{xz}}}\left( {x,z = {{--h} \mathord{\left/ {\vphantom {{--h} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right) = {{\sigma }_{{xz}}}\left( {x,z = {h \mathord{\left/ {\vphantom {h 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right) = 0.$

При двух сжимающих нагрузках с абсолютной величиной q₁ на верхней и q₂ на нижней поверхности плиты граничное условие для нормальных напряжений имеет вид (положительными считаются растягивающие напряжения):

(2)

${{\sigma }_{{zz}}}\left( {x,z = {{--h} \mathord{\left/ {\vphantom {{--h} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right) = --{{q}_{1}}\left( x \right),$

(3)

${{\sigma }_{{zz}}}\left( {x,z = {h \mathord{\left/ {\vphantom {h 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right) = --{{q}_{2}}\left( x \right).$

На концах плиты x = 0 и x = L обычно задают заранее неизвестные поперечные силы и изгибающие моменты [Теркот, Шуберт, 1985]. Однако удобнее задавать известные по измерениям вертикальное смещение w₀ (глубина субдукции) и его производную φ = dw/dx (угол погружения плиты) [Трубицын, Трубицын, 2022]

(4)

$w(x = 0) = {{w}_{0}},$

(5)

$w{\kern 1pt} '\left( {x = 0} \right) = w_{0}^{'},$

(6)

$w\left( {x = L} \right) = {{w}_{L}},$

(7)

$w{\kern 1pt} '(x = L) = w_{L}^{'}.$

Океанические плиты изгибаются в основном вдоль направления от хребта до зоны субдукции, по оси x. В перпендикулярном направлении по оси y соседние плиты разделены трансформными разломами, для которых можно приближенно принять условие касательного скольжения и нулевого нормального смещения. Тогда, если все свойства плиты и граничные условия на торцах не зависят от координаты y, то напряженное состояние плиты будут соответствовать плоской деформации. В настоящее время наряженное состояние океанических плит изучают, в основном, на такой модели цилиндрического изгиба [Теркот, Шуберт, 1985], хотя есть работы и по трехмерным моделям океанических плит.

Тело называют пластиной, если отношение ее толщины к длине h/L < 1/3. При h/L < 1/10 пластина считается тонкой, h/L < 1/10–1/5 – умеренной толщины, при 1/5 < h/L<1/3 – толстой. В геофизике расчеты напряженного состояния океанических плит по настоящее время проводятся только на основе теории изгиба тонких пластин Кирхгофа. Длины океанических плит имеют порядок L ~ 1000 км, и при толщине h ~ 50 км их отношение h/L ~1/20. Поэтому ранее не было сомнений в высокой точности расчетов при использовании теории Кирхгофа. Однако нужно учесть, что деформации изгиба океанических плит распределены не равномерно по их длине, а сосредоточены вблизи зоны субдукции. Типичная эффективная длина плит (размер области сосредоточения деформаций) L_ef < 200 км. Поэтому при толщине упругого слоя плиты h ≈ 50 км отношение h/L ~1/4, и в теории изгиба литосферных плит возникает необходимость нахождения поправок. Их величина может быть порядка (h/L)² ~10%.

Отметим, что кроме океанических плит, теорию изгиба можно применить и к активным окраинам континентальных плит (см. рис. 2), которые благодаря сцеплению с погружающейся океанической плитой продольно сжимаются и изгибаются перед землетрясением с профилем, аналогичным океанической плите, а после землетрясения частично восстанавливаются [Трубицын, 2012].

Рис. 2.

Схематическое представление деформаций изгиба плиты: 0 – вертикальное начальное положение поперечного сечения; 1 – поворот сечения без учета сдвига с сохранением перпендикулярности к средней линии; 2 – поворот с учетом дополнительного обратного поворота благодаря поперечному сдвигу с сохранением прямолинейности; 3 – ∂u_x/∂z полный поворот поперечного сечения с учетом поворота прямого сечения и с учетом его изгиба. Ось x направлена вправо, ось z – вниз, продольное смещение в нижней половине плиты (вдоль оси z) направлено влево (против оси x).

2. УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОГО ИЗГИБА ПЛИТ И БАЛОК

Общую систему 3D-уравнений упругости для расчета изгиба плит и балок можно упростить, учитывая, что для них толщина h намного меньше длины L и разлагая смещения, деформации и напряжения в ряды по параметру h/L. При этом обычно теория строится для изгиба плит с нулевыми касательными и произвольными нормальными напряжениями на верхней и нижней поверхностях плит, а также без учета эффектов сжатия плиты продольными усилиями. В 1811 г., еще до формулировки теории упругости в виде уравнений Навье, Софи Жермен вариационным методом показала, что приближенно расчет изгиба тонких пластин можно свести к решению одного дифференциального уравнения для функции изгиба срединной линии плиты w(x, y). Компоненты смещений, деформаций и напряжений как функции трех переменных x, y и z могут быть найдены по явным алгебраическим выражениям, содержащими производные от функции двух переменных w(x, y). Это соответствует тому, что для рассматриваемой тонкой плиты удается в общем виде проинтегрировать уравнения упругости по переменной z.

Полученные С. Жермен выражения содержали некоторые ошибки, которые исправил в 1813 г. Г. Лагранж. В 1850 г. Ж. Кирхгоф предложил упростить вывод уравнения изгиба тонких пластин первого приближения по h/L с помощью постулатов, которые были систематизированы в монографии Лява. При этом Ж. Кирхгоф объяснил физический смысл делаемых допущений: а именно теория изгиба тонких плит не учитывает влияния поперечного сдвига и поперечного сжатия на напряжения и смещения. Хотя эти уравнения были получены усилиями многих ученых, для краткости их часто называют уравнениями Кирхгофа–Лява или уравнениями классической теории пластинок, или элементарной теорией пластинок. Эти уравнения рассматриваются как первое приближение общих уравнений упругости для изгиба тонких плит с точностью до первых ненулевых членов по малому параметру h (обычно длину L опускают) для каждой переменной.

В дальнейшем для расчета изгиба толстых пластин были построены варианты уточненной теории: в 1921 г. это сделал С.П. Тимошенко, в 1945 г. Е. Рейснер и в 1951 г. Р. Миндлин. Эти теории часто называют теориями Тимошенко–Рейснера. В этих теориях несколько различными способами учитывались поперечные сдвиговые деформации. По сравнению с теорией тонких плит первого приближения теории изгиба толстых пластин оказываются намного сложнее, так как требуют решения не одного уравнения для функции изгиба срединной линии w(x, z), а еще и дифференциального уравнения для поперечных сил, учитывающего эффект деформации поперечного сдвига при изгибе плиты (см. исторический обзор [Challamel, Elishakoff, 2019]). Эти теории строго математически нельзя называть теориями второго (по сравнению с теорией Кирхгофа) приближения, поскольку, как будет видно ниже, они учитывают не все члены следующего порядка малости по h/L, а только их часть. Работы по систематизации, дальнейшему уточнению и математическому обоснованию теорий изгиба толстых плит продолжаются по настоящее время [Рябенков, 2012].

Еще раз отметим, что в рассматриваемых теориях тонких и толстых пластин при выводе уравнений для упрощения дополнительно принимается условие нулевой нормальной силы, приложенной к торцам плиты. Поэтому эти теории описывают изгиб пластин, вызванный только поперечной нагрузкой, без учета возможного коробления продольными усилиями.

Уравнения Кирхгофа–Лява могут рассматриваться как первое приближение в разложении уравнений упругости для изгиба тонких плит по малому параметру – толщине плиты. Стандартной процедурой получения второго приближения является учет членов следующего порядка малости. Однако такая задача оказывается слишком сложной благодаря тому, что нужно преобразовать 15 взаимосвязанных уравнений Коши, Гука и уравнения равновесия. При этом уже первые ненулевые члены разных компонент деформации и напряжений оказываются малыми разного порядка. Вдобавок разложение для продольного напряжения σ_xx содержит нечетные степени малого параметра h, а сдвигового напряжения σ_xz – четные. Поэтому при выводе уравнений теории толстых плит вводятся дополнительные математические упрощения. Обычно в теориях толстых пластин решение, уточняющее уравнения Кирхгофа, ищется не методом разложения в ряды по малому параметру h, а вариационным методом. В теории Е. Рейснера решения для продольного напряжений σ_xx как функции x, y, z ищутся в классе функций, являющихся произведениями функции от z и функции от x, y. Более того, зависимость напряжения σ_xx от z принимается, подобно выражениям Кирхгофа–Лява, линейной с коэффициентом пропорциональности, равным изгибающему моменту σ_xx ~ M(x, y)z (определение момента см. ниже (22)). Кроме того, явно пренебрегается зависимостью вертикального смещения от z-координаты u_z(x, y, z) ≈ w(x, y). Функция изгиба w(x, y), определяющая изгибающие моменты и поперечные силы, считается неизвестной, и дифференциальное уравнение для нее находятся из условия минимума виртуальной работы Кастильяно [Szilard, 2004].

В теории С.П. Тимошенко решение также ищется вариационным способом, но в виде линейной зависимости от z продольного смещения u_z(x, y, z) с коэффициентом пропорциональности, равным среднему по толщине углу поворота поперечного сечения изгибаемой балки. Поэтому эти теории близки, хотя уравнения имеют несколько различный вид.

При плоской деформации система 3D-уравнений теории Рейснера [Reissner, 1945] по работе [Тимошенко, Войновский-Кригер, 1966, С. 195] состоит из соотношений:

Система 3D-уравнений Е. Рейснера (22)–(26) позволяет найти функцию изгиба w(x, y) и компоненты напряженного состояния плиты σ_ik. При пренебрежении членами с h² в уравнениях (24)–(26) система уравнений (22)–(26) переходит в уравнения Кирхгофа–Лява. В отличие от последних система уравнений Рейснера оказывается намного сложнее, так как кроме уравнения в частных производных второго порядка для функции w(x, y) включает еще два уравнения второго порядка для поперечных сил Q_x(x, y) и Q_y(x, y).

Несмотря на то, что уравнения Рейснера были получены более 70 лет назад, они продолжают анализироваться до настоящего времени. Даже для простой тестовой модели 3D-изгиба защемленной прямоугольной пластины с равномерной нагрузкой численные решения уравнений (22)–(26) все еще продолжают уточняться [Сухотерин и др., 2017].

Поскольку для геофизических приложений часто используются двумерные модели изгиба плит, то в настоящей работе детально анализируются двумерные уравнения изгиба толстых плит. Так как для некоторых 2D-задач имеются точные решения общих уравнений упругости в аналитическом виде, то возможно детальное сравнение. Несмотря на то, что, как будет показано ниже, расчет функции изгиба толстых двумерных плит и балок оказывается очень простым и в то же время почти на порядок более точным, теория изгиба толстых плит в геофизических приложениях еще остается невостребованной.

Для перехода к 2D-уравнениям Рейснера для плоской деформации изгиба плит положим равными нулю все производные по y и равными нулю напряжения σ_yx = σ_yz = 0. В результате для определения функции изгиба w(x) и напряжений σ_xx, σ_xz и σ_zz получим систему уравнений:

(29)

Полученная простым переходом к 2D-моделям система уравнений Рейснера все еще остается сложнее уравнений Кирхгофа, так как дополнительно требует решения дифференциального уравнения (30) для момента Q(x). Однако это уравнение можно проинтегрировать в общем виде и заменить алгебраическим соотношением, если воспользоваться общими уравнениями равновесия. Интегрируя по z второе уравнение равновесия (16) с учетом (27), (28) и граничного условия (2), получим Q' = σ_zz(z = –h/2) – σ_zz(z = h/2), то есть

Формула (32) является известным уравнением баланса сил по вертикали. Подставляя ее в (29) и (30), перепишем уравнения (29)–(31) в более простом виде:

(33)

Систему 2D-уравнений Рейснера можно записать в более полной форме, добавив явные выражения для продольного смещения u_x(x, z). Поперечное смещение u_z в соответствии с исходными предположениями полагается равным изгибной функции u_z(x, z) = w(x). Используя этот факт, можно найти u_x(x, z) по соотношениям Гука и Коши для плоской деформации (13), (14). Учитывая выражение для модуля сдвига

Далее используем σ_xz из (27):

Поскольку в теории Рейснера, как и в теории Кирхгофа, не учитываются продольные смещения точек срединной линии и считается, что u_x(x, 0) = 0, то С(x) = 0. В результате:

В этом выражении можно выделить первый член и две поправки к нему: u_x (x, z) = –u₀ + δ₁ –δ₂. Первый член –u₀ соответствует приближению Кирхгофа для тонких пластинок, при котором продольное смещение зависит от поперечной координаты z линейно с коэффициентом, равным dw/dx. Это означает, что поперечное сечение плиты при изгибе поворачивается, всюду оставаясь все время перпендикулярным срединной линии. Поправка δ₁, тоже линейная по z, уменьшает поворот сечения. Другая поправка δ₂, пропорциональная z³, несколько увеличивает поворот сечения, но при этом добавляет его изгиб. Обе поправки обращаются в нуль при бесконечном модуле сдвига G, то есть в отсутствие сдвига слоев.

При учете изгиба сечения необходимо ввести средний угол поворота θ(x), который по Рейснеру [Reissner, 1945] определяют методом наименьших квадратов, то есть из условия:

Приравнивая вариацию (дифференцируя по переменной θ) этого интеграла нулю

В результате полная система уравнений изгиба толстых плит при плоской деформации с заданной нагрузкой сверху q(x) в приближении Рейснера принимает вид

(41)

Чтобы найти все характеристики напряженно-деформированного состояния изгибаемой плиты как функций x и z, достаточно решить только одно дифференциальное уравнение четвертого порядка для функции изгиба w(x). Далее напряжения и смещения находятся по алгебраическим соотношениям. По сравнению с системой уравнений (27)–(31), полученной переходом от 3D-уравнений Рейснера к 2D-уравнениям плоской деформации, система уравнений (41)–(43) дополнена явными выражениями для продольного смещения и угла поворота поперечного сечения.

Поскольку граничные условия на поверхностях плиты уже были использованы при выводе уравнений (33), то нужны граничные условия лишь на ее торцах. Как и для уравнений Кирхгофа, при выводе уравнений (33) также предполагалось, что торцы свободны от действия продольных сил. Поэтому уравнения (41)–(43) позволяют рассчитывать изгибы плиты, вызванные только поперечными силами и изгибающими моментами, но не описывают коробление плиты, вызванное продольным сжатием.

При строгой постановке для единственности решения на торцах нужно задавать напряжения или смещения как функции z. Однако обычно такие функции заранее не известны, и уже в общей теории изгиба плит ограничиваются более простой постановкой задач, когда на торцах вместо напряжений как функций z задаются их интегральные характеристики – изгибные моменты и поперечные силы. Строго говоря, в такой постановке решение будет не единственным. Но по принципу Сен-Венана разные решения будут отличаться только вблизи торцов. На удалении от торцов более толщины плиты все решения с различными распределениями напряжений по торцу, но с одинаковыми моментами и поперечными силами, становятся близкими.

При решении уравнений изгиба плит (41)–(43) для свободно опертых плит в качестве граничных условий на торцах достаточно задавать условие нулевого вертикального смещения w(0) = 0 и нулевого момента M(0) = 0, для защемленной плиты – условие заданного вертикального смещения w(0) = w₀ и заданного среднего угла защемления сечения плиты θ(0) = θ_0.

Как было отмечено выше, 2D-уравнения теории упругости для плоского напряжения (для изгиба балок) и плоской деформации (для изгиба плит) имеют одинаковый вид только для напряжений, но не смещений. Однако нужные соотношения для плоского напряжения можно получить из соответствующих соотношений для плоской деформации простой заменой эффективных параметров. С учетом (17) надо сделать замену:

В результате получим явные уравнения для 2D-изгиба толстой балки толщиной h = 2c:

(45)

3. СРАВНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ 2D-УРАВНЕНИЙ РЕЙСНЕРА С ТОЧНЫМИ РЕШЕНИЯМИ ОБЩИХ УРАВНЕНИЙ УПРУГОСТИ НА ТЕСТОВЫХ МОДЕЛЯХ

В литературе [Тимошенко, Гудиер, 1979] для нескольких тестовых моделей известны точные решения 2D-уравнений изгиба балок в плоском напряженном состоянии. Шире всего используются модели балки, свободно опертой на торцах с заданной нагрузкой q(x) сверху при q = const и q = q₀sinax.

3.1. Свободно опертая балка с постоянной нагрузкой

При рассмотрении модели q = const в работе [Тимошенко, Гудьер, 1979] начало координат помещено в середину балки (рис. 3). Ее длина обозначена через L = 2l, а толщина h = 2c, причем I = = 2c³/3.

Рис. 3.

Изгиб свободно опертой балки, торцы которой фиксированы по вертикали, но могут свободно поворачиваться и перемещаться по горизонтали.

Граничные условия в работе [Тимошенко, Гудьер, 1979] записаны в виде заданного нормального напряжения на верхней поверхности балки и нулевого – на нижней, нулевых касательных напряжений на горизонтальных поверхностях, нулевых торцевых сил и моментов, а также равенства нагрузке суммы двух торцевых поперечных сил

(48)

$\begin{gathered} {{\sigma }_{{zz}}}\left( {x, - c} \right) = - q,\,\,\,\,{{\sigma }_{{zz}}}\left( {x,c} \right) = 0, \\ {{\sigma }_{{xz}}}\left( {x, \pm c} \right) = 0, \\ \end{gathered} $

(49)

$\begin{gathered} \int\limits_{ - c}^c {{{\sigma }_{{xx}}}} \left( { \pm l,z} \right)dz = 0,\,\,\,\,\int\limits_{ - c}^c {{{\sigma }_{{xx}}}} \left( { \pm l,z} \right)zdz = 0, \\ \int\limits_{ - c}^c {{{\sigma }_{{xz}}}} \left( { \pm l,z} \right)dz = - ql. \\ \end{gathered} $

Кроме того, для нахождения смещений по дифференциальным уравнениям Коши нужны еще граничные условия для вертикального и горизонтального смещения, а именно нулевое вертикальное смещение срединной линии в точках опоры и, благодаря симметрии, нулевое продольное смещение срединной линии в центре балки

(50)

${{u}_{z}}\left( { \pm l,0} \right) = w\left( { \pm l} \right) = 0,\,\,\,\,{{u}_{x}}\left( {0,z} \right) = 0.$,

3.1.1. Точное решение

Точное решение задачи плоского напряженного состояния с граничными условиями (48)–(49) находится из уравнения для функции напряжений (20). Для прямоугольных плит сначала составляются полиномы k-й степени $\sum {{{С}_{{nm}}}{{x}^{n}}{{z}^{m}}} $, где n + m = k, а коэффициенты выбираются из условия удовлетворения уравнению (20). Затем из них составляется комбинация, коэффициенты в которой находятся из граничных условий. При этом берется минимальное число полиномов, но достаточное, чтобы удовлетворить всем граничным условиям. Для рассматриваемой модели достаточно полиномов до 5-й степени.

Простой подстановкой легко убедится, что так найденное решение [Тимошенко, Гудьер, 1979] :

(51)

$\begin{gathered} {{\sigma }_{{xx}}} = \frac{q}{{2I}}\left( {{{l}^{2}} - {{x}^{2}}} \right)z + \frac{q}{{2I}}\left( { - \frac{2}{5}{{c}^{2}}z + \frac{2}{3}{{z}^{3}}} \right), \\ {{\sigma }_{{zz}}} = - \frac{q}{{2I}}\left( {\frac{2}{3}{{c}^{3}} - {{c}^{2}}z + \frac{1}{3}{{z}^{3}}} \right), \\ {{\sigma }_{{xz}}} = - \frac{q}{{2I}}x\left( {{{c}^{2}} - {{z}^{2}}} \right) \\ \end{gathered} $

точно удовлетворяет 2D-уравнениям равновесия (18) с граничными условиями (48), (50).

Зная напряжения по соотношениям Гука и Коши, (8), (9) с граничным условием (50), находятся выражения для смещений. Подстановкой в соотношение Коши (9) для плоского напряжения $E{{\partial {{u}_{x}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{u}_{x}}} {\partial x}}} \right. \kern-0em} {\partial x}} = {{\sigma }_{{xx}}} - \nu {{\sigma }_{{zz}}}$ выражения (51) для напряжений σ_xx и σ_zz находится производная продольного смещения. Интегрируя ее по x c граничным условием симметрии балки ${{u}_{x}}\left( {0,z} \right) = 0$, находится продольное смещение:

(52)

$\begin{gathered} {{u}_{x}} = \frac{q}{{2EI}}x\left( {{{l}^{2}} - \frac{{{{x}^{2}}}}{3}} \right)z + \\ + \,\,\frac{q}{{2EI}}x\left( { - \frac{2}{5}{{c}^{2}}z + \frac{2}{3}{{z}^{3}}} \right) - \frac{\nu }{E}x{{\sigma }_{{zz}}} = \frac{q}{{2EI}}x \times \\ \times \,\,\left[ {\left( {{{l}^{2}} - \frac{{{{x}^{2}}}}{3}} \right)z + \left( { - \frac{2}{5}{{c}^{2}}z + \frac{2}{3}{{z}^{3}}} \right)} \right. + \\ \left. { + \,\,\nu \left( {\frac{2}{3}{{c}^{3}} - {{c}^{2}}z + \frac{1}{3}{{z}^{3}}} \right)} \right], \\ \end{gathered} $

где вся группа членов с коэффициентом Пуассона фактически отражает эффект продольного расширения при поперечном сжатии σ_zz, который в теории Рейснера учитывается некорректно из-за допущения о нерастяжимости срединной линии.

Чтобы найти поперечное смещение u_z, нужно подставить выражения (51) для напряжений во второе соотношение Коши–Гука (9) $E{{\partial {{u}_{z}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{u}_{z}}} {\partial z}}} \right. \kern-0em} {\partial z}} = {{\sigma }_{{zz}}} - \nu {{\sigma }_{{zz}}}$ и проинтегрировать по z:

(53)

$\begin{gathered} {{u}_{z}} = \frac{q}{{2EI}}\left[ {\frac{\nu }{2}\left( {{{l}^{2}} - {{x}^{2}}} \right){{z}^{2}} - \frac{2}{3}{{c}^{3}}z} \right. + \\ \left. { + \,\,\left( {\frac{1}{2} - \frac{\nu }{5}} \right){{c}^{2}}{{z}^{2}} - \left( {\frac{1}{{12}} - \frac{\nu }{6}} \right){{z}^{4}}} \right] + \frac{1}{{2EI}}C\left( x \right). \\ \end{gathered} $

Чтобы найти функцию интегрирования C(x), нужно подставить выражения для смещений и напряжений в третье соотношение Коши–Гука (9) $E\left( {{{\partial {{u}_{x}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{u}_{x}}} {\partial z}}} \right. \kern-0em} {\partial z}} + {{\partial {{u}_{z}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{u}_{z}}} {\partial x}}} \right. \kern-0em} {\partial x}}} \right) = 2\left( {1 + \nu } \right){{\sigma }_{{xz}}}$, из которого находится выражение для производной C'(x). После интегрирования находится функция C(x) с неопределенной постоянной интегрирования C(0). Далее так найденная функция интегрирования подставляется в (53), а постоянная C(0) находится из граничного условия на торцах ${{u}_{z}}\left( { \pm l,0} \right) = 0$. В результате выражение для поперечного смещения принимает вид:

(54)

$\begin{gathered} {{u}_{z}} = \frac{5}{{24}}\frac{q}{{EI}}{{l}^{4}}\left( {1 + \frac{{12}}{5}\frac{{8 + 5\nu }}{{10}}\frac{{{{c}^{2}}}}{{{{l}^{2}}}}} \right) - \\ - \,\,\frac{q}{{2EI}}{{x}^{2}}{{l}^{2}}\left( {\frac{1}{2} + \frac{{8 + 5\nu }}{{10}}\frac{{{{c}^{2}}}}{{{{l}^{2}}}} - \frac{{{{x}^{2}}}}{{12{{l}^{2}}}}} \right) - \frac{q}{{2EI}}z{{c}^{3}} \times \\ \times \,\,\left[ {\frac{2}{3} - \frac{{5 + 2\nu }}{{10}}\frac{z}{с} + \frac{\nu }{2}\frac{{({{l}^{2}} - {{x}^{2}})z}}{{{{с}^{3}}}} + \frac{{1 + 2\nu }}{{12}}\frac{{{{z}^{3}}}}{{{{с}^{3}}}}} \right]. \\ \end{gathered} $

Отсюда, в частности, находится функции изгиба:

(55)

$\begin{gathered} w\left( x \right) = {{u}_{z}}\left( {x,0} \right) = \frac{5}{{24}}\frac{q}{{EI}}{{l}^{4}}\left( {1 + \frac{{12}}{5}\frac{{8 + 5\nu }}{{10}}\frac{{{{c}^{2}}}}{{{{l}^{2}}}}} \right) - \\ - \,\,\frac{q}{{2EI}}{{x}^{2}}{{l}^{2}}\left( {\frac{1}{2} + \frac{{8 + 5\nu }}{{10}}\frac{{{{c}^{2}}}}{{{{l}^{2}}}} - \frac{{{{x}^{2}}}}{{12{{l}^{2}}}}} \right). \\ \end{gathered} $

Для сравнения этого точного решения [Тимошенко, Гудьер, 1979] с решениями уравнений Рейснера требуются также выражения для изгибного момента, поперечной силы и среднего угла поворота поперечного сечения. Интегрирование формул для напряжений (51) дает:

(56)

$M = \frac{q}{2}({{l}^{2}} - {{x}^{2}}),\,\,\,\,Q = - qx.$

Средний по z угол поворота сечения находится по (43):

(57)

$\theta = \frac{1}{I}\int\limits_{ - c}^c {{{u}_{x}}zdz} = \frac{q}{{2EI}}x\left[ {\left( {{{l}^{2}} - \frac{{{{x}^{2}}}}{3}} \right) - \frac{{4\nu }}{5}{{с}^{2}}} \right].$

Выражения (50)–(57) дают все характеристики напряженно-деформированного состояния изогнутой балки при точном решении уравнений упругости.

3.1.2. Решение 2D-уравнений Рейснера

В отличие от достаточно трудоемкого решения точных уравнений решение 2D-уравнений в приближении Рейснера получается очень просто, а для функции изгиба фактически в несколько строк. Система уравнений 2D-изгиба в приближении Рейснера для балки была выписана выше (45)–(47).

Граничные условия свободно опертой балки по сравнению с (48)–(50) достаточно записать в более простом виде:

(58)

$w\left( { \pm l} \right) = 0,\,\,\,\,M\left( { \pm l} \right) = 0,$

поскольку условия для напряжений на верхней и нижней границах (48), а также условие отсутствия продольных усилий на торцах (50) уже использованы при выводе самих уравнений изгиба тонких и толстых плит и балок.

Решение уравнения четвертого порядка для функции изгиба w (45) с учетом симметрии модели $w\left( x \right) = w\left( { - x} \right)$ ищем в виде $EI{\kern 1pt} w = $ $ = q{{{{x}^{4}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{x}^{4}}} {24}}} \right. \kern-0em} {24}} + {{c}_{1}}{{{{x}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{x}^{2}}} 2}} \right. \kern-0em} 2} + {{c}_{0}}$. Тогда , откуда $ = - q{{{{x}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{x}^{2}}} 2}} \right. \kern-0em} 2} - {{c}_{1}} - bq$. Из граничного условия для момента $M\left( { \pm l} \right) = 0$ следует ${{c}_{1}} = - q{{{{l}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{l}^{2}}} 2}} \right. \kern-0em} 2} - bq$. Из граничного условия $w\left( { \pm l} \right) = 0$ следует ${{c}_{0}} = q\left( {{{5{{l}^{4}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{5{{l}^{4}}} {24}}} \right. \kern-0em} {24}} + {{b{{l}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{b{{l}^{2}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)$.

В результате получается следующее решение уравнения Рейснера для изгиба:

(59)

${\kern 1pt} w = \frac{q}{{4EI}}\left[ {\frac{1}{6}(5{{l}^{4}} + {{x}^{4}}) - {{l}^{2}}{{x}^{2}} + 2b({{l}^{2}} - {{x}^{2}})} \right],$

где $b = \frac{{4 + 2\nu }}{5}{{c}^{2}}$, с изгибным моментом и поперечной силой,

(60)

$M = - {\kern 1pt} \frac{q}{2}({{x}^{2}} - {{l}^{2}}),\,\,\,\,Q = - qx.$

Напряжения, продольные смещения и угол поворота при этом выражаются формулами:

(61)

$\begin{gathered} {{\sigma }_{{xx}}} = \frac{M}{I}z = \frac{q}{{2I}}({{l}^{2}} - {{x}^{2}})z, \\ {{\sigma }_{{zz}}} = - \frac{q}{{2I}}\left( {\frac{2}{3}{{c}^{3}} - {{c}^{2}}z + \frac{1}{3}{{z}^{3}}} \right), \\ {{\sigma }_{{xz}}} = - \frac{q}{{2I}}x({{c}^{2}} - {{z}^{2}}), \\ \end{gathered} $

(62)

$\begin{gathered} {{u}_{x}} = \frac{q}{{2EI}}x\left[ {\left( {{{l}^{2}} - \frac{1}{3}{{x}^{2}}} \right)z} \right. + \\ \left. { + \,\,\left( { - \frac{2}{5}{{c}^{2}}z + \frac{2}{3}{{z}^{3}}} \right) + \nu \left( { - \frac{6}{5}{{c}^{2}}z + \frac{2}{3}{{z}^{3}}} \right)} \right], \\ \end{gathered} $

(63)

$\theta = \frac{q}{{2EI}}x\left[ {\left( {{{l}^{2}} - \frac{1}{3}{{x}^{2}}} \right) - \frac{{4\nu }}{5}{{c}^{2}}} \right].$

3.1.3 Отличия решений

Сравнение характеристик изгиба балки по решению 2D-уравнений Рейснера (59)–(62) и точному решению (51)–(57) показывает, что вычисленные по простым уравнениям (46) изгибный момент, поперечная сила, угол поворота сечения, напряжения σ_zz и σ_xz совпадают с точным решением. Напряжение σ_xx в отличие от точного решения не имеет поправки к теории тонких балок. Продольное смещение в точном решении

$\begin{gathered} {{u}_{x}} = \frac{q}{{2EI}}x\left[ {\left( {{{l}^{2}} - \frac{1}{3}{{x}^{2}}} \right)z} \right. + \\ \left. { + \,\,\left( { - \frac{2}{5}{{c}^{2}}z + \frac{2}{3}{{z}^{3}}} \right) + \nu \left( {\frac{2}{3}{{c}^{3}} - {{c}^{2}}z + \frac{1}{3}{{z}^{3}}} \right)} \right] \\ \end{gathered} $

имеет некоторые отличия от выражения в приближении Рейснера

$\begin{gathered} {{u}_{x}} = \frac{q}{{2EI}}x\left[ {\left( {{{l}^{2}} - \frac{1}{3}{{x}^{2}}} \right)z} \right. + \\ \left. { + \,\,\left( { - \frac{2}{5}{{c}^{2}}z + \frac{2}{3}{{z}^{3}}} \right) + \nu \left( { - \frac{6}{5}{{c}^{2}}z + \frac{2}{3}{{z}^{3}}} \right)} \right] \\ \end{gathered} $

только лишь в трех членах, которые пропорциональны ν и описывают продольное расширение от поперечного сжатия под нагрузкой. Поправочный член νc²z в точном решении имеет коэффициент 1, а в решении по Рейснеру 6/5. Член νz³ в точном решении имеет коэффициент 1/3, а по Рейснеру 2/3. В решении по Рейснеру также отсутствует постоянный член 2νc³/3, смещающий точки срединной линии. Для понимания этих расхождений следует вспомнить, что в исходных допущениях теории Рейснера искусственно обнуляются продольные деформации при z = 0, которые на самом деле имеют место и влияют на смещения при других значениях z.

Функция изгиба по 2D-уравнениям Рейснера (59) с учетом $b = 0.4\left( {2 + \nu } \right){{с}^{2}}$ имеет вид:

${\kern 1pt} w = \frac{q}{{2EI}}\left[ {\frac{1}{{12}}(5{{l}^{4}} + {{x}^{4}}) - \frac{1}{2}{{l}^{2}}{{x}^{2}} + \frac{{8 + 4\nu }}{{10}}{{c}^{2}}({{l}^{2}} - {{x}^{2}})} \right]$

и отличается от точного выражения

$w = \frac{q}{{2EI}}\left[ {\frac{1}{{12}}(5{{l}^{4}} + {{x}^{4}}) - \frac{1}{2}{{l}^{2}}{{x}^{2}} + \frac{{8 + 5\nu }}{{10}}{{c}^{2}}({{l}^{2}} - {{x}^{2}})} \right]$

только коэффициентом при ν, равным 0.4 вместо точного 0.5. В случае ν = 0.25 множитель при ${{c}^{2}}({{l}^{2}} - {{x}^{2}})$ в точном решении будет равен 0.925, а в приближении Рейснера 0.9 с разницей в 3%.

Непосредственной подстановкой можно убедиться, что полученное решение уравнений Рейснера в форме (45)–(47) является также решением и уравнений Рейснера до преобразований, в оригинальной форме (27)–(31) с дифференциальным уравнением для функции Q(x), поскольку при переходе к (45)–(47) никаких дополнительных приближений не вводилось.

4. ОБСУЖДЕНИЕ

1. Главными критериями теорий является степень точности получаемых результатов и простота расчетов. Несмотря на упрощения, 3D-уравнения теорий толстых пластин все-таки оказываются достаточно трудоемкими. Но, как, в частности, показано в настоящей работе на примере приближения Рейснера, решение 2D-уравнений, наоборот, оказывается столь же простым, как и решение уравнений теории тонких пластин. Однако в приближении Рейснера уточняются не все компоненты напряженно-деформированного состояния, а только функция изгиба. Можно еще уточнить продольное смещение u_x(x, z), явное выражение которого и было добавлено выше в (44) и (46) к оригинальным уравнениям Рейснера. В то же время зависимость поперечного смещения u_z(x, z) от z в рамках приближения Рейснера не находится, так как одним из исходных приближений теории является пренебрежение зависимостью поперечного смещения от z. Это допущение вводится в теории для упрощения уравнений, хотя это неизбежно приводит к ее неточности. На примере тестовой модели изгиба свободно опертой балки с постоянной нагрузкой можно видеть (53), (55), насколько выражение для w(x) проще, чем u_z(x, z) .

2. Рассчитанное по 2D-уравнениям изгиба плит в приближении Рейснера продольное напряжение σ_xx не уточняется из-за того, что в приближении Рейснера вариационное решение ищется в ограниченном классе функций (46), а именно виде ${{\sigma }_{{xx}}} = M{{I}^{{ - 1}}}z$. К чему это приводит, можно пояснить сравнением с рассмотренным выше точным решением с постоянной нагрузкой. Учитывая выражение для момента (56), преобразуем точное решение для напряжения σ_xx (50) к виду ${{\sigma }_{{xx}}} = M{{I}^{{ - 1}}}z - q{{I}^{{ - 1}}}\left( {{{{{c}^{2}}z} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{c}^{2}}z} 5}} \right. \kern-0em} 5} - {{{{z}^{3}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{z}^{3}}} 3}} \right. \kern-0em} 3}} \right)$. Ясно, что оно содержит, в отличие от решения Рейснера, два дополнительных члена, зависящих от z. Эти члены имеют тот же порядок малости c³ = (h/2)³, ради учета которого и строилась теория толстых плит Рейснера. Поэтому для уточнения формул для напряжений требуется теория, более полная, чем теории Тимошенко–Рейснера, учитывающая эффекты не только поперечного сдвига, но и поперечного сжатия.

3. Сдвиговое напряжение σ_xz в приближении Рейснера не содержит поправки, так как уже в первом приближении тонких пластин включает малую величину порядка h². Дальнейшая поправка к нему должна будет иметь порядок h⁴, а теория Рейснера содержит члены не выше порядка h³.

4. Из уравнений 2D-приближения Рейснера (45)–(47) может показаться, что момент должен иметь поправку –bq по сравнению с уравнениями Кирхгофа–Лява. Однако, кроме этого явного члена, сама функция w согласно уравнению равновесия тоже имеет поправку к изгибу по Кирхгофу. При вычислении момента обе поправки взаимно сокращаются. В этом можно убедиться, если два раза продифференцировать выражение для момента и в получившееся выражение вместо w'''' подставить его значение из уравнения равновесия. В результате для момента получается соотношение M'' = –q, не содержащее поправок.

5. Несмотря на указанную неточность расчета напряжений, приближение Рейснера дает возможность достаточно точно вычислять функцию изгиба плит. Это объясняется тем, что несмотря на грубый выбор класса функций, при использования вариационного метода функция изгиба находится такой, чтобы лучше соответствовать точному решению. Может возникнуть вопрос, почему функция изгиба w(x) уточняется по сравнению с теорией Кирхгофа–Лява даже в случае постоянной нагрузки, если дифференциальное уравнение для нее (45) при q'' = 0 совпадает с уравнением изгиба тонких плит Жермен. Причина в изменении граничных условий, поскольку в силу равенства граничное условие для момента равносильно граничному условию для w'', в которое входит поправка bq.

6. Вычисленный в приближении Рейснера средний угол поворота θ(x) оказывается достаточно точным и для рассматриваемых моделей даже совпадает с точным решением. Это объясняется тем, что физический смысл приближений Рейснера, Тимошенко и Миндлина состоит именно в том, что они учитывают поперечный сдвиг слоев при изгибе толстых плит, влияющий на угол поворота сечения.

Можно отметить, что главной целью теорий Тимошенко и Рейснера (как и пионерских работ Жермен) был не расчет всех компонент напряженно-деформированного состояния пластин, а приложения теории – при ее минимальном усложнении – к задачам изгибных колебаний, когда достаточно решить уточненное уравнение изгиба пластины с добавлением инерционного члена при зависящей от времени нагрузке.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Чтобы пользоваться уточненной (но все же приближенной) теорией, требуется не только найти поправки к менее точной теории, но и сравнить их с точным решением. Точность 3D‑теории толстых пластин до настоящего времени проанализирована недостаточно [Доннелл, 1982]. В 3D-теории Рейснера, в отличие от 2D‑теории возникают поправки к двум изгибающим и крутящему моментам и соответственно к напряжениям благодаря взаимному влиянию деформаций по осям x и y. Эти поправки велики вблизи угловых граничных точек закрепления пластины.

В отличие от инженерных применений в геофизике более часто используют 2D-модели. Так, теория изгиба океанических литосферных плит в основном строится именно в 2D-приближении [Теркот, Шуберт, 1985]. При этом важным критерием является простота использования теории. Для 2D-моделей имеется ряд точных аналитических решений уравнений теории упругости. Это позволило провести более полный анализ 2D-теорий приближении Рейснера.

В работе выписана полная система уравнений как для изгиба плит (плоская деформация), так и балок (плоское напряжение) со всеми необходимыми явными выражениями для напряжений и смещений. Получены аналитические решения уравнений 2D-приближения Рейснера для двух наиболее используемых тестовых моделей изгиба с постоянной и синусоидальной нагрузкой. Точное решение для модели с синусоидальной нагрузкой, воспроизводимое в ряде книг и неудобное для сравнения, преобразовано в ряды и получено аналитическое решение для функции изгиба. Исследованы не только поправки к классической теории тонких пластин, но и остающиеся неточности теории Рейснера по сравнению с точными решениями уравнений упругости.

Сравнением с точными решениями в явном аналитическом виде показано, насколько теория Рейснера уточняет функцию изгиба по сравнению с классической теорией и насколько она все еще отличается от точного решения.

Поскольку расчет функции изгиба толстых двумерных плит и балок по приведенным уравнениям оказывается очень простым и в то же время почти на порядок более точным по сравнению с классической теорией изгиба тонких плит, то появляется возможность использования приведенных уравнений теории толстых плит в геофизических приложениях для расчета изгибов литосферы. В частности, можно уточнять оценки толщины упругой океанической литосферы, поскольку для этого достаточно знать только функцию изгиба.