Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2023, T. 512, № 1, стр. 5-9

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ p-РЕГУЛЯРНОСТИ

Будем рассматривать следующее уравнение

где отображение $F:W \times Y \to Z$, $F \in {{C}^{{p + 1}}}(W \times Y)$ и $W$, $Y$, Z – банаховы пространства.

Предположим, что в точке решения $(v{\kern 1pt} *,y{\kern 1pt} *) \in W \times Y$, ${\text{Im}}F{\kern 1pt} '(v{\kern 1pt} *,y{\kern 1pt} *) \ne Z$ и пусть

где ${{Z}_{1}} = {\text{cl}}({\text{Im}}F{\kern 1pt} '(v{\kern 1pt} *,y{\kern 1pt} *))$ и ${{V}_{1}} = Z$. Через ${{V}_{2}}$ обозначим дополнение Z₁ до Z (предпологается, что такое существует) и ${{P}_{{{{V}_{2}}}}}:Z \to {{V}_{2}}$ – оператор проектирования на V₂ параллельно Z₁. Полагаем Z₂ равно замыканию линейной оболочки квадратичной формы ${{P}_{{{{V}_{2}}}}}F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(v{\kern 1pt} *,y{\kern 1pt} *)[ \cdot {{]}^{2}}$. И далее индуктивно где ${{V}_{i}}$ – выбранное замкнутое дополнение (предполагается, что такое существует) ${{Z}_{1}} \oplus ... \oplus {{Z}_{{i - 1}}}$, $i = 2,...,p$ до $Z$, и ${{P}_{{{{V}_{i}}}}}:Z \to {{V}_{i}}$ – оператор проектирования на ${{V}_{i}}$ параллельно ${{Z}_{1}} \oplus ... \oplus {{Z}_{{i - 1}}}$, i = 2, ..., p.

Окончательно, ${{Z}_{p}} = {{V}_{p}}$. При этом порядок $p$ полагаем как минимальное число (если такое существует), для которого выполнено представление (3).

Обозначим ${{\varphi }^{{(0)}}} = \varphi $, для произвольного отображения $\varphi $.

Определим следующие отображения

где ${{P}_{{{{Z}_{i}}}}}:Z \to {{Z}_{i}}$ – оператор проектирования на Z_i параллельно ${{Z}_{1}} \oplus ... \oplus {{Z}_{{i - 1}}} \oplus {{Z}_{{i + 1}}} \oplus ... \oplus {{Z}_{p}}$.

Тогда отображение $F$ может быть представлено как

или

Обозначим $h\, = \,[{{h}_{{v}}},{{h}_{y}}]$, ${{h}_{v}}\, \in \,W$, ${{h}_{y}}\, \in \,Y$, $[{{h}_{v}},{{h}_{y}}]\, \in \,W$ × × Y.

Определение 1. Линейный оператор ${{\Psi }_{p}}(h):W \times Y \to Z$,

такой, что для $\xi = (v,y)$называется p-фактор оператором определенным элементом h или просто p-фактор оператором, если это ясно из контекста.

Определение 2. Говорим, что отображение $F$ абсолютно вырождено в точке $(v{\kern 1pt} *,y{\kern 1pt} *)$ до p-го порядка, если ${{F}^{{(i)}}}(v{\kern 1pt} *,y{\kern 1pt} *) = 0$, $i = 1, \ldots ,p - 1$.

В случае абсолютного вырождения p-фактор оператор сводится к ${{F}^{{(p)}}}(v{\kern 1pt} *,y{\kern 1pt} *)[h{{]}^{{p - 1}}}$.

Для отображений ${{F}_{i}}$ будет

т.е. ${{F}_{i}}$ абсолютно вырождено в точке $(v{\kern 1pt} *,y{\kern 1pt} *)$ до $i$-го порядка.

Введем в рассмотрение нелинейный оператор ${{\Psi }_{p}}{{[ \cdot ]}^{p}}$ так, что

Заметим, что ${{\Psi }_{p}}{{[h]}^{p}} = {{\Psi }_{p}}(h)[h]$.

Определение 3. p-ядро оператора ${{\Psi }_{p}}$ есть множество нулей оператора ${{\Psi }_{p}}$:

по аналогии с ядром первой производной ${\text{Ker}}F{\kern 1pt} '(v{\kern 1pt} *,y{\kern 1pt} *) = \{ h \in W \times Y\,{\text{|}}\,F{\kern 1pt} '(v{\kern 1pt} *,y{\kern 1pt} *)[h] = 0\} $.

Заметим, что

Определение 4. Отображение $F$ называется $p$-регулярным в точке $(v{\kern 1pt} *,y{\kern 1pt} *)$ на $h$, если ${\text{Im}}{{\Psi }_{p}}(h) = Z$.

Определение 5. Отображение $F$ называется $p$-регулярным в точке $(v{\kern 1pt} *,y{\kern 1pt} *)$, если оно p-регулярно на каждом $h \in {{H}_{p}}(v{\kern 1pt} *,y{\kern 1pt} *){{\backslash }}\{ 0\} $ или ${{H}_{p}}(v{\kern 1pt} *,y{\kern 1pt} *)$ = {0}.

Следующая теорема является аналогом теоремы Люстерника о касательном подпространстве на вырожденный случай и является одним из главных результатов теории $p$-регулярности.

Теорема 1. Пусть $F \in {{C}^{{p + 1}}}(U \times M)$, F : U × × $M \to Z$, где $U$, $M$ и Z – банаховы пространства.

Предположим что $F(v{\kern 1pt} *,y{\kern 1pt} *)\, = \,0$ и $\forall \bar {y}\, \in \,M$, ${\text{||}}\bar {y}{\text{||}}$ = 1, такого, что

выполнено (Здесь ${{\{ \cdot \} }^{{ - 1}}}$ означает правый обратный оператор).

Тогда для достаточно малого $\delta > 0$ существует непрерывное отображение $v = v(y)$, $y \in {{V}_{\delta }}(y{\kern 1pt} *)$, где ${{V}_{\delta }}(y{\kern 1pt} *)$ окрестность точки $y{\kern 1pt} *$, $v(y) \in C({{V}_{\delta }}(y{\kern 1pt} *))$, такое, что $F(v(y),y) = 0$ и

где C > 0 – независимая константа.

Эта теорема позволяет описать множество решений уравнения$F(v,y) = 0$ в окрестности вырожденной точки $(u{\kern 1pt} *,\varepsilon {\kern 1pt} *)$ и в частности обосновать существование решения уравнения Бюргерса (1) с малым параметром, а также дать аналитический вид этого решения.

2. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ p-го ПОРЯДКА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Теперь мы можем сформулировать так называемые p-фактор теоремы о неявной функции, которые являются модификациями теоремы 1 и аналогичных теорем в [6] и на основании которых будут получены основные результаты этой работы.

Теорема 2. Пусть $W$, $Y$ и $Z$ банаховы пространства, $F \in {{C}^{{p + 1}}}(W \times Y)$, $F:W \times Y \to Z$, $F(v{\kern 1pt} *,y{\kern 1pt} *)$ = 0, отображения ${{F}_{k}}(v,y)$, $k = 1, \ldots ,p$ и p‑фактор оператор ${{\Psi }_{p}}(h)$ определены согласно (4) и (5).

Предположим, что существует $\bar {h}$ ∈ ∈ $\bigcap\nolimits_{r = 1}^p {\text{Ke}}{{{\text{r}}}^{r}}F_{{{{r}_{v}}}}^{{(r)}}(v{\kern 1pt} *$, y*), ${\text{||}}\bar {h}{\text{||}}$ = 1 такое, что ${\text{Im}}{{\Psi }_{p}}(\bar {h})$ = = Z, т.е. $F$ $p$-регулярно в точке $(v{\kern 1pt} *,y{\kern 1pt} *)$ на элементе $\bar {h}$.

Тогда для достаточно малых $\alpha > 0$, $\nu > 0$ и $\delta = \alpha {{\nu }^{p}}$ существует непрерывное отображение $\varphi (y):{{U}_{\delta }}(y{\kern 1pt} *) \to {{U}_{\nu }}(v{\kern 1pt} *)$ и константа K > 0 такие, что выполнены соотношения

a) $\varphi (y{\kern 1pt} *) = v{\kern 1pt} *$;

b) $F(\varphi (y),y) = 0$ $\forall \;y \in {{U}_{\delta }}(y{\kern 1pt} *)$;

c) $\varphi (y) = v{\kern 1pt} * + \;h(y) + v(y)$, где $h(y) = \gamma (y)\bar {h}$, $\gamma ( \cdot ):{{U}_{\delta }}(y{\kern 1pt} *) \to \mathbb{R}$ и $\gamma ( \cdot )$ непрерывная функция, для которой

Более того для $v(y)$ будут справедливы оценки

$y \in {{U}_{\delta }}(y{\kern 1pt} *)$, $\gamma (y) \ne 0$, что означает

Следствие 1. Оценку (9) можно переписать следующим образом

Теорема 3. Пусть $W$, $Y$ и $Z$ банаховы прострaнства, $F \in {{C}^{{p + 1}}}(W \times Y)$, $F:W \times Y \to Z$, $F(v{\kern 1pt} *,y{\kern 1pt} *)$ = 0, отображения ${{F}_{i}}(v,y)$, $i = 1, \ldots ,p$ и p‑фактор оператор ${{\Psi }_{p}}(h)$ определены согласно (4) и (5).

Предположим, что существует элемент $\bar {h} \in \bigcap\nolimits_{r = 1}^p {\text{Ke}}{{{\text{r}}}^{r}}F_{{{{r}_{{(v,y)}}}}}^{{(r)}}(v{\kern 1pt} *,y{\kern 1pt} *)$, ${\text{||}}\bar {h}{\text{||}} = 1$, $\bar {h} \in W \times Y$, $\bar {h} = [{{\bar {h}}_{{v}}},{{\bar {h}}_{y}}]$, ${{\bar {h}}_{y}} = 0$ такой, что ${\text{Im}}{{\Psi }_{p}}(\bar {h}) \cdot (0 \times Y)$ = Z, т.е. $F$ $p$-регулярно в точке $(v{\kern 1pt} *,y{\kern 1pt} *)$ на элементе $\bar {h}$ относительно пространства $Y$.

Тогда для достаточно малых $\alpha > 0$, $\nu > 0$ и $\delta = \alpha {{\nu }^{p}}$ существуют непрерывное отображение $\varphi (y):{{U}_{\delta }}(y{\kern 1pt} *) \to {{U}_{\nu }}(v{\kern 1pt} *)$ и константа K > 0 такие, что выполнены следующие соотношения

a) $\varphi (y{\kern 1pt} *) = v{\kern 1pt} *$;

b) $F(\varphi (y),y) = 0$ $\forall \;y \in {{U}_{\delta }}(y{\kern 1pt} *)$;

c) $\varphi (y) = v{\kern 1pt} *\; + h(y) + v(y)$, где $h(y) = \gamma (y){{\bar {h}}_{y}}$, $\gamma ( \cdot ):{{U}_{\delta }}(y{\kern 1pt} *) \to \mathbb{R}$ и $\gamma ( \cdot )$ любая фиксированная, непрерывная функция, удовлетворяющая условию

Более того $v(y)$ удовлетворяет

$y \in {{U}_{\delta }}(y{\kern 1pt} *)$, $\gamma (y) \ne 0$, что означает

Замечание 1. Элемент $\bar {h}$ в теореме 2 определяется производными отображения $F$ по переменной $y$, а в теореме 3 – смешанными производными отображения $F$ по переменным $(v,y)$.

3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА

Рассмотрим нелинейное уравнение Бюргерса с малым параметром $\varepsilon $ вида

$F:\Omega \to С([0,\pi ] \times [0,T])$, T > 0, где $F$ достаточно гладкое отображение (по крайней мере до порядка $p + 1$) и $u(0,t) = u(\pi ,t) = 0$, $u(x,0) = k\sin x$, при этом $(u{\kern 1pt} *,\varepsilon {\kern 1pt} *) = (0,0)$ тривиальное решение этого уравнения, соответствующее $k = k{\kern 1pt} * = 0$.

При этом отображение $F(u,\varepsilon )$ является 3-регулярным на элементе $\bar {h} = [{{\bar {h}}_{u}}{{,0}_{\varepsilon }}]$, где ${{\bar {h}}_{u}} = {{e}^{{ - t}}}\sin x$.

Применяя к отображению $F(u,\varepsilon )$ теорему 3, полагая

получаем следующий результат о существовании решения (10).

Теорема 4. Для достаточно малых $\alpha > 0$, ν > 0 и $k(\varepsilon ) \in C(R)$, $\varepsilon \in R$, при ${\text{|}}\varepsilon {\text{|}} \leqslant \alpha {{\nu }^{3}}$, $\frac{{{{\varepsilon }^{{\frac{1}{3}}}}}}{{{{\alpha }^{{\frac{1}{3}}}}}} \leqslant k(\varepsilon ) \leqslant \nu $ существует непрерывное решение (10) вида

где $\gamma (\varepsilon )$ некоторая непрерывная функция такая, что $\gamma (\varepsilon ) = O(k(\varepsilon ))$, а ${\text{||}}y(x,t,\varepsilon ){\text{||}} = o({{\varepsilon }^{{\frac{1}{3}}}})$.

Доказательство данного результата подобно доказательству аналогичных теорем в [8–10], поэтому здесь не приводится.

Для неоднородного нелинейного уравнения Бюргерса вида $F(u,\varepsilon ) = u - {{u}_{{xx}}} + u{{u}_{{xx}}} + \varepsilon {{u}^{2}}$ = f(x, t), введя отображение $F(u,\varepsilon ,f) = F(u,\varepsilon ) - f$, получим однородное относительно $u$, $\varepsilon $,  f  уравнение

где $F\,:\,\Omega \, \times \,С([0,\pi ]\, \times \,[0,T])\, \to \,С([0,\pi ]\, \times \,[0,T])$, T > 0, $u(0,t) = u(\pi ,t) = 0$ и, не ограничивая общности, рассмотрим случай нулевых начальных условий $u(x,0) = 0$.

Заметим, что $F{\kern 1pt} '(0,0,0) = \left[ {\frac{d}{{dt}} - \frac{{{{d}^{2}}}}{{{{{(dx)}}^{2}}}}{{{,0}}_{\varepsilon }}{{{,1}}_{f}}} \right]$ и ${\text{Ker}}F{\kern 1pt} '(0,0,0)$ определяется решением уравнения

которое обозначим через $\bar {h} = (\bar {u}(x,t,f{{),0}_{\varepsilon }},f(x,t))$. Тогда и где $G(x,\xi ,t,\tau )$ – функция Грина (см., например, [13, 14]), а отображение $F(u,\varepsilon ,f)$ является 3-регулярным на элементы $\bar {h}$.

Применяя теорему 3 и полагая $F({v},y) = F(u,\varepsilon ,f)$, $v: = (u,f)$, $y: = \varepsilon $ и $(u{\kern 1pt} *,\varepsilon {\kern 1pt} *,f{\kern 1pt} *)$ = = (0, 0, 0).

Теорема 5. Для $\alpha > 0$, $\nu > 0$ достаточно малых при $\varepsilon \in ( - \alpha {{\nu }^{3}},\alpha {{\nu }^{3}})$ и ${\text{||}}f(x,t){\text{||}} \in \left( {\frac{{{{\varepsilon }^{{\frac{1}{3}}}}}}{\alpha },\nu } \right)$ существует непрерывное решение уравнения (11) вида

где

Аналогично могут быть исследованы уравнения

где ${{g}^{{(k)}}}(0) = 0$, $k = 1, \ldots ,p$, а также при неоднородных начальных условиях вида $u(x,0) = \varphi (x)$.

ИСТОЧНИКИ ФИНАНСИРОВАНИЯ

Исследование выполнено при частичной финансовой поддержке Российского научного фонда (грант № 21-71-30005, стр. 1–9), научной бюджетной теме ФИЦ ИУ РАН и научной теме № 144/23/B Mинистерства Образования и Науки Польши.