Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2023, T. 512, № 1, стр. 81-84

В этой работе мы продолжаем изучение коммутирующих разностных операторов ранга один, начатое в [1]. Мы предполагаем, что коэффициенты операторов зависят от малого параметра и являются функциями на прямой, а не на решетке, как это принято в теории коммутирующих разностных операторов. С одной стороны, это предположение позволяет изучать взаимосвязь между коммутирующими разностными и дифференциальными операторами при стремлении малого параметра к нулю, с другой стороны, это сильно усложняет задачу, так как в этом случае не удается построить совместные собственные функции операторов (функцию Бейкера–Ахиезера) явно. Здесь мы концентрируемся на случае, когда разностный оператор второго порядка коммутирует с разностным оператором нечетного порядка и при стремлении малого параметра к нулю переходит в одномерный конечнозонный оператор Шредингера, хотя предложенная здесь конструкция работает и в общем случае.

Для начала напомним, что одномерный вещественный гладкий периодический оператор Шрёдингера $H = \partial _{x}^{2} + u(x),$ $u(x + \tau ) = u(x)$ называется конечнозонным, если его спектр Флоке (состоящий из собственных чисел, отвечающих блоховским функциям $\psi (x)$, $\psi (x + \tau ) = {{e}^{{ip}}}\psi (x),$ $p \in \mathbb{R}$) состоит из конечного числа отрезков (один из которых полубесконечен). По теореме Новикова [2], если H коммутирует с некоторым дифференциальным оператором нечетного порядка, то H – конечнозонен. Далее под конечнозонным оператором H мы будем понимать оператор коммутирующий с некоторым оператором нечетного порядка (гладкость, вещественность и периодичность потенциала $u(x)$ не предполагается). Собственная функция таких операторов (функция Бейкера–Ахиезера) найдена в [3] в терминах тэта-функции многообразия Якоби гиперэллиптической спектральной кривой. Цель этой работы – построить оператор вида

где ${{T}_{\varepsilon }}$ – оператор сдвига, ${{T}_{\varepsilon }}f(x) = f(x + \varepsilon )$, такой, что ${{L}_{2}}$ коммутирует с некоторым разностным оператором нечетного порядка и такой, что L₂ = = $H + O(\varepsilon ).$

Прежде чем рассматривать разностные операторы, коэффициенты которых – функции на прямой, напомним некоторые основные факты об операторах на решетке. Если разностные операторы

коммутируют, то существует ненулевой полином $F(z,w)$ (см. [4]) такой, что $F({{L}_{M}},{{L}_{N}}) = 0$. Спектральная кривая $\Gamma $ пары операторов задается уравнением $F(z,w) = 0$. В дальнейшем мы будем предполагать, что $\Gamma $ – гладкая кривая. Коммутативное кольцо $R$ разностных операторов изоморфно кольцу мероморфных функций на замкнутой римановой поверхности $\Gamma $ (на неприводимой замкнутой алгебраической кривой, которая может быть сингулярной) с полюсами в точках ${{q}_{1}}, \ldots ,{{q}_{s}} \in \Gamma $. Совместные собственные функции операторов образуют векторное расслоение ранга l над $\Gamma {{\backslash }}\{ \cup {{q}_{j}}\} $. Операторы из $R$ называются $s$-точечными операторами ранга l.

Классификация двухточечных операторов ранга 1 дана в [4, 5]. В случае гладкой спектральной кривой коэффициенты операторов выражаются через тэта-функцию многообразия Якоби (см. [4]). Одноточечные операторы ранга больше 1 рассматривались в [6], в частности, в этой работе найдены операторы ранга 2 в случае эллиптической спектральной кривой, примеры таких операторов в случае спектральной кривой рода больше 1 найдены в [7]. Рассмотрим одноточечные коммутирующие разностные операторы ранга 1. Функция Бейкера–Ахиезера $\psi $ для таких операторов восстанавливается по следующим спектральным данным

Здесь $\Gamma $ – риманова поверхность рода $g,$ $q$ – некоторая точка на $\Gamma ,$ k^–1 – локальный параметр в окрестности $q$, $\gamma = {{\gamma }_{1}} + \ldots + {{\gamma }_{g}}$ – неспециальный дивизор на $\Gamma $, ${{p}_{n}} \in \Gamma $ – набор точек в общем положении. Обозначим через ${{\mathcal{A}}_{q}}$ кольцо мероморфных функций на $\Gamma $ с полюсом в $q$ и пусть $\varepsilon \in \mathbb{R}$. Имеет место теорема.

Теорема 1. Существует единственная мероморфная функция $\psi (n,P),P \in \Gamma ,$ которая обладает следующими свойствами.

1. $\psi (0,P) = 1.$

2. Дивизор нулей и полюсов $\psi $ имеет вид

если $n > 0,$если $n < 0.$

3. В окрестности q имеет место разложение

Для $f(P) \in {{\mathcal{A}}_{q}}$ существует единственный разностный оператор видатакой, что

Для другой функции $g(P) \in {{\mathcal{A}}_{q}}$ операторы $L(f)$ и $L(g)$ коммутируют.

Теперь расширим построенные в теореме 1 операторы так, чтобы коэффициенты операторов были определены не на решетке, а на прямой. Основная сложность для этого заключается в том, что степень дивизора нулей $\psi (n,P)$ зависит от n. Чтобы преодолеть эту сложность, рассмотрим

Заметим, что дивизор нулей и полюсов $\chi $ имеет вид

Мы видим, что степень дивизора нулей и полюсов не зависит от n (и равна g + 1). Это наблюдение позволяет расширить функцию $\chi (n,P)$ до функции $\chi (x,P),\;x \in \mathbb{R}$ (или $x \in \mathbb{C}$) и построить коммутирующие разностные операторы с нужными нам свойствами. Изменим спектральные данные (2) на спектральные данные вида

где $p(x,\varepsilon ) \in \Gamma $ – гладкое семейство точек такое, что $p(x,0) = q$. Предположим, что координата точки $p(x,\varepsilon )$ имеет вид

Имеет место

Теорема 2. Существует единственная мероморфная функция $\chi (x,\varepsilon ,P),P \in \Gamma ,$ которая обладает следующими свойствами.

1. Дивизор нулей и полюсов $\chi $ имеет вид

2. В окрестности q функция $\chi $ имеет разложение

3. $\chi = \frac{1}{\varepsilon } + O(1).$

Для $f(P) \in {{\mathcal{A}}_{q}}$ существует единственный оператор

${{u}_{m}}(x,\varepsilon )\, = \,{{p}_{1}}(x){{p}_{1}}(x\, + \,\varepsilon ) \ldots {{p}_{1}}(x\, + \,(m\, - \,1)\varepsilon )$ такой, чтогде $\tilde {L}(f)$ – некоторый разностный оператор порядка m – 1, коэффициенты которого – функции от x и $P$. Для $g(P) \in {{\mathcal{A}}_{q}}$ операторы $L(f)$ и $L(g)$ коммутируют. Причем

Пример. Пусть $\Gamma = \mathbb{C}{\text{/}}\Lambda $ – эллиптическая кривая, $\Lambda = \{ 2n\omega + 2m\omega {\kern 1pt} ',n,m \in \mathbb{Z}\} $ – решетка в $\mathbb{C}$. Рассмотрим мероморфную функцию на $\Gamma $

где $\zeta (z)$ – функция Вейерштрасса. Функция $\chi (x,z)$ имеет простые полюса в точках z = 0, $z = \gamma (x,\varepsilon )$ и простые нули в точках $z = \gamma (x + \varepsilon ,\varepsilon )$, $z = p(x,\varepsilon ) = \gamma (x + \varepsilon ,\varepsilon ) - \gamma (x,\varepsilon ).$ Оператор, отвечающий эллиптической функции Вейерштрасса $\wp (z)$, имеет вид (1), где

Предположим, что $\gamma (x,\varepsilon )$ имеет разложение

тогда

Положим для простоты ${{\alpha }_{0}}(x) = x,{{\alpha }_{1}}(x) = {\text{const}}$. Тогда

Таким образом, оператор ${{L}_{2}}$ переходит в оператор Ламе при $\varepsilon \to 0$.

Пусть $\Gamma $ – риманова поверхность рода g. Приведем явную формулу для $\chi $ с помощью тэта-функции многообразия Якоби поверхности $\Gamma $. Пусть ${{a}_{j}},{{b}_{j}},\;j = 1, \ldots ,g$ – базис циклов на $\Gamma $ с индексами пересечений ${{a}_{i}} \circ {{a}_{j}} = {{b}_{i}} \circ {{b}_{j}} = 0$, ${{a}_{i}} \circ {{b}_{j}}$ = = δ_ij. Обозначим через ${{\omega }_{1}}, \ldots ,{{\omega }_{g}}$ базис нормированных абелевых дифференциалов $\int_{{{a}_{i}}} {{{\omega }_{j}}} = {{\delta }_{{ij}}}.$ Многообразие Якоби $J(\Gamma )$ поверхности $\Gamma $ имеет вид

Тэта-функция задается рядом

Тэта-функция обладает следующими свойствами периодичности

Пусть ${{\omega }_{{pq}}}$ – мероморфная 1-форма на $\Gamma $ с простыми полюсами в $p = p(x,\varepsilon )$ и q, с вычетами ${\text{Re}}{{{\text{s}}}_{p}}{{\omega }_{{pq}}} = \frac{1}{\varepsilon },$ ${\text{Re}}{{{\text{s}}}_{q}}{{\omega }_{{pq}}} = - \frac{1}{\varepsilon }$ и нормированная условием $\int_{{{a}_{i}}} {{{\omega }_{{pq}}}} = 0$.

Отображение Абеля $A:\Gamma \to J(\Gamma )$ задается следующим образом

Пусть $\zeta = A(\gamma ) + \mathcal{K} = A({{\gamma }_{1}}) + \ldots + A({{\gamma }_{g}}) + \mathcal{K},$ где $\mathcal{K}$ – вектор римановых констант. Пусть $V(x,\varepsilon )$ – решение разностного уравнения

$\int_b {{{\omega }_{{pq}}}} $ – вектор $b$-периодов, составленный из $\int_{{{b}_{j}}} {{{\omega }_{{pq}}}} $. Тогда функция $\chi $ имеет вид где $\xi = \xi (x,\varepsilon )$ – нормировочный коэффициент для выполнения асимптотики (1), ${{P}_{0}}$ – некоторая точка на $\Gamma $. Путь от ${{P}_{0}}$ до $P$ состоит из фиксированного пути от ${{P}_{0}}$ до $q$ и от q до ${{P}_{0}}$.

Заметим, что при $\varepsilon \to 0$ форма ${{\omega }_{{pq}}}$ переходит в мероморфную форму ${{\omega }_{1}}$, которая имеет полюс второго порядка в q и нулевые a-периоды. Пусть $B = \int_b {{{\omega }_{1}}} $ – вектор ее b-периодов.

Рассмотрим гиперэллиптическую спектральную кривую $\Gamma ,$ заданную уравнением

в качестве выделенной точки выберем $q = \infty ,$ пусть ${{k}^{{ - 1}}} = \frac{1}{{\sqrt z }}$. Тогда по теореме 2 мероморфной функции $f(P) = z$ отвечает оператор ${{L}_{2}}$ вида (1). Имеет место

Теорема 3. Имеют место разложения

где c – некоторая константа.

Таким образом, при $\varepsilon \to 0$ оператор ${{L}_{2}}$ переходит в одномерный конечнозонный оператор Шрёдингера.