Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2023, T. 512, № 1, стр. 85-88

1. ФИНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ УСЛОВНО ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Пусть ${{\mathbb{T}}^{n}} = \{ {{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{n}}\bmod 1\} $ – $n$-мерный тор с угловыми координатами ${{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{n}}$ и $f:{{\mathbb{T}}^{n}} \to \mathbb{R}$ – непрерывная функция. Пусть числа ${{\omega }_{1}}, \ldots ,{{\omega }_{n}}$ линейно независимы над $\mathbb{Z}$. Функция

называется условно периодической функцией. Числа $\{ {{\omega }_{j}}\} $ – частоты, а $\{ x_{j}^{0}\} $ – начальные фазы. Можно сказать по-другому: условно периодическая функция – это композиция функций $t \mapsto x(t,{{x}^{0}})$, где $x({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ,{{x}^{0}})$ – решение системы дифференциальных уравнений на ${{\mathbb{T}}^{n}}$с начальным условием x⁰, и непрерывной функции $f:{{\mathbb{T}}^{n}} \to \mathbb{R}$.

Изучение интегралов

относится к классическим задачам теории условно периодических функций (см., например, [1, 2]). Согласно теореме Вейля об усреднении, для всех ${{x}^{0}} \in {{\mathbb{T}}^{n}}$

Усреднение f производится по инвариантной мере динамической системы, определяемой дифференциальными уравнениями (1.1). В дальнейшем будем считать среднее f равным нулю. Так что $F(t) = o(t)$ при $t \to \pm \infty $.

Теорема 1. Для почти всех ${{x}^{0}} \in {{\mathbb{T}}^{n}}$ имеет место свойство возвращаемости: для любого $\varepsilon > 0$ найдется последовательность ${{t}_{k}} \uparrow \infty $ такая, что

Расстояние dist между точками на торе определяется евклидовой метрикой $dx_{1}^{2} + \cdots + dx_{n}^{2}$. Последовательность моментов времени $\{ {{\tau }_{k}}\} $, удовлетворяющих только второму неравенству (1.2), универсальна: она не зависит от выбора функции f. Однако подпоследовательность $\{ {{\tau }_{k}}\} $, удовлетворяющая первому неравенству (1.2), уже может зависеть от выбора начальной фазы x⁰. По сравнению с общим результатом работы [3] в заключении теоремы 1 присутствует содержательное свойство одновременной возращаемости точки на торе с условно периодическим движением (второе неравенство (1.2)).

Положим $M = \{ x \in {{\mathbb{T}}^{n}}:f(x) \ne 0\} $. Это измеримое множество в ${{\mathbb{T}}^{n}}$.

Теорема 2. Для почти всех ${{x}^{0}} \in M$ функция $t \mapsto F(t,{{x}^{0}})$ имеет бесконечно много простых нулей как при $t \to + \infty $, так и $t \to - \infty $.

Это простое следствие теоремы 1. В [3] установлена бесконечность числа нулей функции $t \mapsto F(t,{{x}^{0}})$ для почти всех ${{x}^{0}} \in {{\mathbb{T}}^{n}}$. Теорема 2 утверждает бесконечность числа простых нулей для почти всех x⁰, удовлетворяющих неравенству $f({{x}^{0}}) \ne 0$. С другой стороны, справедливо утверждение, которое обобщает и усиливает классический результат Боля (см. [4, 5]).

Теорема 3. Найдутся точки $x_{ \pm }^{0} \in {{\mathbb{T}}^{n}}$, $f(x_{ \pm }^{0}) = 0$ такие, что

для всех $t \in \mathbb{R}$.

Это утверждение справедливо и без предположения о независимости частот ${{\omega }_{1}}, \ldots ,{{\omega }_{n}}$. Надо только предположить, что  f  непрерывна и $\langle f\rangle = 0$.

Свойство возвращаемости интеграла в Теореме 1 имеет место для почти всех, но не всех начальных фаз. Вот пример, восходящий к Пуанкаре [5, 6]: n = 2 и

где $\Lambda = \sqrt 2 + 1$, $(\Lambda + 1){\text{/}}2 < A < \Lambda $, а целые числа ${{u}_{m}}$ и ${{v}_{m}}$ определяются из разложения

Функция (1.3), очевидно, непрерывна на ${{\mathbb{T}}^{2}}$. Пусть частоты ${{\omega }_{1}}$, ${{\omega }_{2}}$ равны соответственно $1{\text{/}}2\pi $, $\sqrt 2 {\text{/}}2\pi $: а начальные фазы $x_{1}^{0}$, $x_{2}^{0}$ равны нулю. Тогда

Можно показать, что $F(t) \to \pm \infty $ при $t \to \pm \infty $. При этом $f(x_{1}^{0},x_{2}^{0}) > 0$ (ср. с заключением теоремы 3). В этом примере в качестве начальных фаз можно также взять $x_{1}^{0} = \alpha $, $x_{2}^{0} = \sqrt 2 {\kern 1pt} \alpha $, $\alpha \in \mathbb{R}$; тогда интеграл $F(t,\alpha ,\sqrt 2 {\kern 1pt} \alpha )$ также будет стремиться к $ \pm \infty $ при $t \to \pm \infty $. Это множество начальных фаз всюду плотно на ${{\mathbb{T}}^{2}}$, но, конечно, имеет нулевую меру.

Как показано в [5], функция (1.3) не дифференцируема по переменным ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ ни в одной точке двумерного тора. Это замечание имеет существенное значение. Дело в том, что для гладких f неравенства (1.2) в теореме 1 справедливы одновременно для всех начальных фаз. Этот результат сначала был установлен для $f \in {{C}^{2}}({{\mathbb{T}}^{2}})$ [7], затем для непрерывно дифференцируемых функций [8], а в заметке [9] для функций, абсолютно непрерывных на двумерном торе.

В многомерном случае возвращаемость интеграла F установлена в работе [10] в предположении аналитичности функции $f:{{\mathbb{T}}^{n}} \to \mathbb{R}$. Правда, при этом ничего не говорится о выполнении второго неравенства (1.2). Этому результату предшествовала работа [11] о равномерной возвращаемости интеграла от условно периодической функции в предположении нечетности f (в примере Пуанкаре функция f четная). Общий результат о возвращаемости интеграла при n = 3 получен в [12].

Приложение свойств возвращаемости интегралов условно периодических функций к теории динамических систем содержится в [5, 13, 14].

2. ДИСКРЕТНЫЙ СЛУЧАЙ

Имеется дискретный вариант теоремы 1. Чтобы  его сформулировать, рассмотрим отображение $T:{{\mathbb{T}}^{n}} \to {{\mathbb{T}}^{n}}$, которое определяется формулами

Так что T^k отображает точку $x \in {{\mathbb{T}}^{n}}$ в $x + k\alpha $. Числа ${{\alpha }_{1}}, \ldots ,{{\alpha }_{n}}$ и 1 считаем независимыми над $\mathbb{Z}$. Пусть $g:{{\mathbb{T}}^{n}} \to \mathbb{R}$ – непрерывная функция. Сопоставим ей сумму

Снова, по теореме Вейля,

равномерно по ${{x}^{0}} \in {{\mathbb{T}}^{n}}$. Пусть дальше $\langle g\rangle = 0$.

Теорема 4. Для почти всех ${{x}^{0}} \in {{\mathbb{T}}^{n}}$ имеет место свойство возвращаемости: для любого $\varepsilon > 0$ найдется последовательность целых чисел ${{k}_{s}} \uparrow \infty $ такая, что

В [15] указан дискретный вариант теоремы 3, справедливый для более широкого класса строго эргодических преобразований.

Теорема 1 вытекает из теоремы 4. Действительно, ${{\omega }_{n}} \ne 0$, поскольку числа ${{\omega }_{1}}, \ldots ,{{\omega }_{n}}$ независимы над $\mathbb{Z}$. Далее положим $\tau = 1{\text{/}}{{\omega }_{n}}$. Введем отображение $(n - 1)$-мерного тора на себя формулой

и непрерывную функцию Число $x_{n}^{0}\bmod 1$ фиксировано. Легко показать, что

Числа ${{\omega }_{1}}\tau , \ldots ,{{\omega }_{{n - 1}}}\tau $ и 1, очевидно, независимы над $\mathbb{Z}$. Наконец,

Остается применить теорему 4. Сама теорема 4 является следствием более общего результата из п. 3.

Замечание. Поскольку теорема 1 является следствием теоремы 4, то в теореме 1 моменты времени $\{ {{t}_{k}}\} $ можно выбрать из некоторой арифметической прогрессии.

3. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О ВОЗВРАЩЕНИИ

Пусть $\Gamma $ – полное компактное метрическое пространство с расстоянием $\rho $ и μ – конечная мера Каратеодори на $\Gamma $ (эта мера счетно аддитивная и все открытые множества в $\Gamma $ измеримы; подробности, например, в [16]). Пусть $T$ – непрерывное отображение, сохраняющее меру $\mu $.

Пусть $g:\Gamma \to \mathbb{R}$ – непрерывная функция с нулевым средним:

Нас будет интересовать поведение суммы

По теореме Биркгофа–Хинчина,

для почти всех $x \in \Gamma $.

Теорема 5. Если $T$ – эргодическое преобразование, то для почти всех $x \in \Gamma $ имеет место свойство возвращаемости: для любого $\varepsilon > 0$ найдется последовательность целых ${{n}_{k}} \uparrow \infty $ такая, что

Возвращаемости может не быть при всех $x \in \Gamma $ (как показывает пример Пуанкаре из п. 1). Кроме того, последовательность $\{ {{n}_{k}}\} $ может зависеть от выбора точки x.

Справедлив непрерывный аналог теоремы 5. Пусть $(\Gamma ,\mu ,{{g}^{t}})$ – динамическая система на компактном метрическом пространстве $\Gamma $ с конечной мерой Каратеодори $\mu $ и $\{ {{g}^{t}}\} $ – семейство непрерывных преобразований $\Gamma $, сохраняющих меру $\mu $. Пусть $f$ – непрерывная функция на $\Gamma $ с нулевым средним значением.

Теорема 6. Пусть система $(\Gamma ,\mu ,{{g}^{t}})$ эргодическая. Тогда для почти всех $x \in \Gamma $ имеет место следующее свойство возвращаемости: для любого $\varepsilon > 0$ найдется последовательность ${{t}_{k}} \uparrow \infty $ такая, что

Это утверждение является некоторым усилением основного результата [3]. Непосредственным следствием этого утверждения является

Теорема 7. Пусть система $(\Gamma ,\mu ,{{g}^{t}})$ эргодическая и $f:\Gamma \to \mathbb{R}$ – непрерывная функция с нулевым средним значением. Тогда для почти всех x ∈ ∈ $\{ x\, \in \,\Gamma \,:\,f(x)\, \ne \,0\} $ функция

имеет бесконечно много простых нулей как при $t \to + \infty $, так и $t \to - \infty $.

Докажем теорему 5 (теорема 6 доказывается аналогично). Расширим фазовое пространство, заменив $\Gamma $ на $\Gamma \times \mathbb{R}$. Это снова будет метрическим пространством, причем локально компактным. Расширим теперь действие $T$ на $\Gamma $ до действия $\widehat T$ на $\Gamma \times \mathbb{R} = \{ (x,y)\} $, полагая

Отображение $\widehat T$ непрерывно и сохраняет меру $\widehat \mu $ на $\Gamma \times \mathbb{R}$, которая есть произведение меры $\mu $ на $\Gamma $ и стандартной меры Лебега на $\mathbb{R}$. Ясно, что

Расширенная динамическая система с дискретным временем часто называется цилиндрическим каскадом. Собственно нам надо показать, что почти все точки $(x,y) \in \Gamma \times \mathbb{R}$ цилиндрического каскада устойчивы по Пуассону.

Сначала покажем, что почти все точки $\Gamma \times \mathbb{R}$ не уходящие. Напомним, что точка $p = (x,y)$ будет уходящей, если последовательность $\{ {{\widehat T}^{n}}p\} $, $n \geqslant 0$ не имеет предельных точек. В нашем случае это означает, что последовательность ${\text{|}}G(n,x{\text{)|}}$, $n \geqslant 0$ должна стремиться к $ + \infty $ при $n \to \infty $.

Однако, поскольку $T$ эргодично и $\langle g\rangle = 0$, то для почти всех $x \in \Gamma $ сумма $G(n,x)$ меняет знак бесконечно много раз в слабом смысле: она не может быть в конечном счете положительной или отрицательной. Далее, поскольку $\Gamma $ компактно, а функция f непрерывна, то f ограничена. Следовательно, для почти всех $x \in \Gamma $ последовательность ${\text{|}}G(n,x){\text{|}}$, $n \geqslant 0$ не может стремиться к $ + \infty $ при $n \to \infty $.

Заметим теперь, что $\hat {\mu }(\Gamma \times \mathbb{R}) = \infty $, а для любого компактного подмножества $S \subset \Gamma \times \mathbb{R}$ мера $\hat {\mu }S$ конечна. Это позволяет применить известную эргодическую теорему Хопфа (см., например, [16]), согласно которой почти все точки $\Gamma \times \mathbb{R}$ являются либо уходящими, либо возвращающимися (устойчивыми по Пуассону). В нашем случае реализуется вторая возможность.