1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления
  4. T. 512, № 1, 2023

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2023, T. 512, № 1, стр. 65-68

О ПОДПРОСТРАНСТВАХ ПРОСТРАНСТВА ОРЛИЧА, ПОРОЖДЕННЫХ НЕЗАВИСИМЫМИ ОДИНАКОВО РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ

С. В. Асташкин 1, 2, 3, 4, *

1 Самарский национальный исследовательский университет
Самара, Россия

2 Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Москва, Россия

3 Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Москва, Россия

4 Bahcesehir University
Istanbul, Turkey

* E-mail: astash@ssau.ru

Поступила в редакцию 26.04.2023
После доработки 27.05.2023
Принята к публикации 30.05.2023

Полный текст (PDF)

Аннотация

Изучаются подпространства пространства Орлича LM, порожденные независимыми (в вероятностном смысле) копиями функции $f \in {{L}_{M}}$, $\int_0^1 {f(t){\kern 1pt} dt} = 0$. В терминах растяжений  f  получена характеризация сильно вложенных подпространств такого типа, а также найдены условия, гарантирующие, что их единичный шар имеет равностепенно непрерывные нормы в LM. Выделен класс пространств Орлича, для всех подпространств которых, порожденных независимыми и одинаково распределенными функциями, эти свойства эквивалентны и могут быть охарактеризованы с помощью индексов Матушевской–Орлича.

Ключевые слова: независимые функции, сильно вложенное подпространство, равностепенная непрерывность норм, функция Орлича, пространство Орлича, индексы Матушевской–Орлича

§ 1. Пусть M – функция Орлича, т.е. непрерывная выпуклая возрастающая функция на $[0,\infty )$, $M(0) = 0$. Пространство Орлича LM [1, 2] состоит из всех измеримых на $[0,1]$ функций, для которых конечна норма Люксембурга

${\text{||}}x{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}_{M}}}}}: = \inf \left\{ {\lambda > 0:{\kern 1pt} \int\limits_0^1 M({\text{|}}x(t){\text{|/}}\lambda ){\kern 1pt} dt \leqslant 1} \right\}.$

Аналогично, если $\psi $ – функция Орлича, то пространство Орлича последовательностей ${{\ell }_{\psi }}$ состоит из всех последовательностей $({{a}_{k}})_{{k = 1}}^{\infty }$, для которых

${\text{||}}({{a}_{k}})_{{k = 1}}^{\infty }{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{\ell }_{\psi }}}}}: = \inf \left\{ {\lambda > 0:\sum\limits_{k = 1}^\infty \psi ({\text{|}}{{a}_{k}}{\text{|/}}\lambda ) \leqslant 1} \right\} < \infty .$

Если $M(u)\, = \,{{u}^{p}}$ (соотв. $\psi (u) = {{u}^{p}}$), $p \geqslant 1$, то ${{L}_{M}}$ = Lp (соотв. ${{\ell }_{\psi }} = {{\ell }^{p}}$). При этом определение пространства LM (соотв. ${{\ell }_{\psi }}$) зависит (с точностью до эквивалентности норм) лишь от поведения функции M при больших значениях аргумента (соотв. функции $\psi $ при малых значениях аргумента).

Пространство LM (соотв. ${{\ell }_{\psi }}$) сепарабельно тогда и только тогда, когда $M(2u) \leqslant CM(u)$ для некоторого $C > 0$ и всех достаточно больших $u$ (соотв. $\psi (2u) \leqslant C\psi (u)$ для некоторого $C > 0$ и всех достаточно малых $u$). В этом случае пишем $M \in \Delta _{2}^{\infty }$ (соотв. $\psi \in \Delta _{2}^{0}$).

Для каждой функции Орлича M определим индексы Матушевской–Орлича в бесконечности:

$\begin{gathered} \alpha _{M}^{\infty }: = \sup \left\{ {p:\mathop {\sup }\limits_{t,s \geqslant 1} \frac{{M(t){{s}^{p}}}}{{M(ts)}} < \infty } \right\}, \\ \beta _{M}^{\infty }: = \inf \left\{ {p:\mathop {\inf }\limits_{t,s \geqslant 1} \frac{{M(t){{s}^{p}}}}{{M(ts)}} > 0} \right\}. \\ \end{gathered} $

Как нетрудно проверить, $1 \leqslant \alpha _{M}^{\infty } \leqslant \beta _{M}^{\infty } \leqslant \infty $.

Пусть $\psi $ – функция Орлича, $\psi \in \Delta _{2}^{0}$. Определим следующие (непустые компактные) подмножества пространства $C[0,1]$:

$E_{{\psi ,1}}^{0} = \overline {\{ \psi (st){\text{/}}\psi (s)\;:0 < s < 1\} } ,\quad C_{{\psi ,1}}^{0} = \overline {convE_{{\psi ,1}}^{0}} ,$
где ${\text{conv}}\,{\kern 1pt} U$ – выпуклая оболочка U, а замыкание берется в $C[0,1].$ Согласно известной теореме Й. Линденштраусса и Л. Цафрири [3], теорема 4.a.8, пространство Орлича ${{\ell }_{\varphi }}$ изоморфно некоторому подпространству пространства ${{\ell }_{\psi }}$ тогда и только тогда, когда $\varphi \in C_{{\psi ,1}}^{0}$. Определим также индексы Матушевской–Орлича функции $\psi $ в нуле:

$\begin{gathered} \alpha _{\psi }^{0}: = \sup \left\{ {p:\mathop {\sup }\limits_{0 < t,s \leqslant 1} \frac{{\psi (st)}}{{{{s}^{p}}\psi (t)}} < \infty } \right\}, \\ \beta _{\psi }^{0}: = \inf \left\{ {p:\mathop {\inf }\limits_{0 < t,s \leqslant 1} \frac{{\psi (st)}}{{{{s}^{p}}\psi (t)}} > 0} \right\}. \\ \end{gathered} $

Тогда $1 \leqslant \alpha _{\psi }^{0} \leqslant \beta _{\psi }^{0} \leqslant \infty $, и пространство ${{\ell }^{p}}$ (${{c}_{0}}$, если $p = \infty $) изоморфно некоторому подпространству пространства Орлича ${{\ell }_{\psi }}$ тогда и только тогда, когда $p \in [\alpha _{\psi }^{0},\beta _{\psi }^{0}]$ [3], теорема 4.a.9.

Говорят, что (замкнутое линейное) подпространство H пространства Орлича LM сильно вложено в LM, если сходимость в LM-норме и по мере на H эквивалентны11. В частности, в силу неравенства Хинчина [4], глава V, теорема 8.4, функции Радемахера ${{r}_{k}}(t) = {\text{sign}}(\sin {{2}^{k}}\pi t)$, $k \in N$, $t \in [0,1]$, порождают сильно вложенное подпространство в LM, если $M \in \Delta _{2}^{\infty }$.

Множество $K \subset {{L}_{M}}$ имеет равностепенно непрерывные нормы в пространстве Орлича LM, если

$\mathop {\lim }\limits_{\delta \to 0} \mathop {\sup }\limits_{mes(E) < \delta } \mathop {\sup }\limits_{x \in K} {\text{||}}x{{\chi }_{E}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}_{M}}}}} = 0.$

Нетрудно показать, что подпространство H сильно вложено в LM, если его единичный шар ${{B}_{H}}: = \{ x \in H:{\text{||}}x{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}_{M}}}}} \leqslant 1\} $ имеет равностепенно непрерывные нормы в LM. Обратное утверждение, вообще говоря, не имеет места (см., например, [5, пример 2]).

Главная цель этой заметки состоит в изучении введенных свойств для подпространств пространства Орлича LM, порожденных независимыми одинаково распределенными функциями. Изучению таких подпространств посвящена обширная литература. Ж. Бретаноль (J. Bretagnolle) и Д. Дакунья-Кастель (D. Dacunha-Castelle) [6–8] получили их описание в случае, когда ${{L}_{M}} = {{L}^{p}}$. Позднее эти исследования были продолжены в работах М.Ш. Бравермана [9–11], а также С.В. Асташкина, Д.В. Занина и Ф.А. Сукочева [12–14].

§ 2. Измеримые на $[0,1]$ функции $x$ и $y$ называются равноизмеримыми, если

$\begin{gathered} {\text{mes}}\{ t:{\text{|}}x(t){\text{|}} > \tau \} = {\text{mes}}\{ t:{\text{|}}y(t){\text{|}} > \tau \} \\ {\text{для}}\;{\text{каждого}}\quad \tau > 0 \\ \end{gathered} $
(mes – мера Лебега на $[0,1]$).

Всюду далее M – функция Орлича, $M \in \Delta _{2}^{\infty }$, LM – пространство Орлича, $\{ {{f}_{k}}\} _{{k = 1}}^{\infty }$ – последовательность независимых (в вероятностном смысле) функций, равноизмеримых с некоторой функцией $f \in {{L}_{M}}$, $\int_0^1 {{{f}_{k}}(t){\kern 1pt} dt} = 0$, $k = 1,2, \ldots $. Кроме того, через $[{{f}_{k}}]$ и ${{B}_{f}}$ будут обозначаться соответственно подпространство LM, порожденное последовательностью $\{ {{f}_{k}}\} $, и единичный замкнутый шар этого подпространства.

Из результатов работы [15] следует, что последовательность $\{ {{f}_{k}}\} $ эквивалентна в LM каноническому единичному базису $\{ {{e}_{k}}\} $ в пространстве Орлича последовательностей ${{\ell }_{\psi }}$ (обозначаем это как $[{{f}_{k}}] \approx {{\ell }_{\psi }}$), где функция $\psi $ удовлетворяет соотношению:

$\begin{gathered} \frac{1}{C} \cdot \frac{1}{{{{\psi }^{{ - 1}}}(1{\text{/}}n)}} \leqslant {\text{||}}{{\sigma }_{n}}f{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}_{M}}}}} + {{\left( {n\int\limits_{1/n}^1 f{{{(s)}}^{2}}{\kern 1pt} ds} \right)}^{{1/2}}} \leqslant \\ \, \leqslant \frac{C}{{{{\psi }^{{ - 1}}}(1/n)}},\quad n \in \mathbb{N}. \\ \end{gathered} $

Здесь ${{\sigma }_{n}}$ – оператор растяжения, σnx(t) := := $x(t{\text{/}}n){{\chi }_{{(0,1)}}}(t)$, $0 \leqslant t \leqslant 1$, и константа $C > 0$ не зависит от $n$. Напомним, что оператор ${{\sigma }_{n}}$ ограничен в каждом пространстве Орлича LM и ${\text{||}}{{\sigma }_{n}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}_{M}} \to {{L}_{M}}}}} \leqslant n$, $n \in \mathbb{N}$ [16, теорема II.4.4].

Следующие два утверждения показывают, что введенные в § 1 свойства подпространства $[{{f}_{k}}]$ пространства Орлича LM при определенных условиях могут быть охарактеризованы в терминах растяжений функции $f \in {{L}_{M}}$.

Предложение 1. (i) Если ${{\lim }_{{t \to \infty }}}M(t){\text{/}}t$ = ∞ и для некоторого $C > 0$

(1)
${\text{||}}{{\sigma }_{n}}f{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}_{M}}}}} \leqslant C{\text{||}}{{\sigma }_{n}}f{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{1}}}}},\quad n \in \mathbb{N},$
то подпространство $[{{f}_{k}}]$ сильно вложено в LM.

(ii) Наоборот, если подпространство $[{{f}_{k}}]$ сильно вложено в ${{L}_{M}}$ и $[{{f}_{k}}] \approx {{\ell }_{\psi }}$, где $1 < \alpha _{\psi }^{0} \leqslant \beta _{\psi }^{0} < 2$, то имеет место соотношение (1).

Предложение 2. Рассмотрим следующие условия:

(a) шар ${{B}_{f}}$ имеет равностепенно непрерывные нормы в LM;

(b) существует функция Орлича $N \in \Delta _{2}^{\infty }$ такая, что ${{\lim }_{{u \to \infty }}}\frac{{N(u)}}{{M(u)}} = \infty $ и для некоторого C > 0

(2)
${\text{||}}{{\sigma }_{n}}f{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}_{N}}}}} \leqslant C{\text{||}}{{\sigma }_{n}}f{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}_{M}}}}},\quad n \in \mathbb{N}.$

Имеет место импликация $(b) \Rightarrow (a)$. Если дополнительно известно, что ${{[{{f}_{k}}]}_{{{{L}_{M}}}}} \approx {{\ell }_{\psi }}$, где 1 < < $\alpha _{\psi }^{0} \leqslant \beta _{\psi }^{0}$ < 2, то справедлива также и обратная импликация $(a) \Rightarrow (b)$.

Применяя эти предложения вместе с результатами работ [17] и [13], получаем следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть $1 < \alpha _{M}^{\infty } \leqslant \beta _{M}^{\infty } < 2$ и 1 < < $\alpha _{\psi }^{0} \leqslant \beta _{\psi }^{0}$ < 2. Предположим, что подпространство $[{{f}_{k}}]$ сильно вложено в LM. Тогда, если существует функция $\varphi \in C_{{\psi ,1}}^{0}$ такая, что для некоторого $C > 0$ и всех $s,t \in [0,1]$

(3)
$\psi (st) \leqslant C\psi (s)\varphi (t),$
то шар Bf имеет равностепенно непрерывные нормы в LM.

В частности, утверждение теоремы 1 справедливо при выполнении хотя бы одного из следующих условий:

(a) $\psi (st) \leqslant C\psi (s)\psi (t)$ для некоторого C > 0 и всех $s,t \in [0,1]$;

(b) $\psi (st) \leqslant C{{t}^{{\alpha _{\psi }^{0}}}}\psi (s)$ для некоторого C > 0 и всех $s,t \in [0,1]$;

(c) ${{t}^{{ - 1/p}}} \in {{L}_{M}}$ для некоторого $p \in (0,\alpha _{\psi }^{0})$.

В случае, когда , рассматриваемые свойства подпространств могут быть охарактеризованы с помощью индексов Матушевской–Орлича.

Теорема 2. Пусть M – такая функция Орлича, что $1 < \alpha _{M}^{\infty } \leqslant \beta _{M}^{\infty } < 2$ и . Следующие условия эквивалентны:

(a) шар Bf имеет равностепенно непрерывные нормы в LM;

(b) подпространство $[{{f}_{k}}]$ сильно вложено в LM;

(c) $\alpha _{\psi }^{0} > \beta _{M}^{\infty }$, где функция $\psi $ – такова, что $[{{f}_{k}}] \approx {{\ell }_{\psi }}$.

В частности, так как $\beta _{M}^{\infty } = p$, если $M(t) = {{t}^{p}}$, получаем

Следствие 1. Если $1 < p < 2$, то ${{[{{f}_{k}}]}_{{{{L}^{p}}}}}$ – $\Lambda (p)$-пространство $ \Leftrightarrow $ ${{[{{f}_{k}}]}_{{{{L}^{p}}}}}$ – $\Lambda (q)$-пространство для некоторого $q > p$ $ \Leftrightarrow $ $\alpha _{\psi }^{0} > p$, где ${{[{{f}_{k}}]}_{{{{L}^{p}}}}} \approx {{\ell }_{\psi }}$.

Последний результат показывает, что в гильбертовом случае, т.е. когда $M(t) = {{t}^{2}}$, ситуация сильно упрощается.

Теорема 3. Пусть $f \in {{L}^{2}},$ $\{ {{f}_{k}}\} _{{k = 1}}^{\infty }$ – последовательность независимых функций, равноизмеримых с f, $\int_0^1 {{{f}_{k}}(t){\kern 1pt} dt} = 0,$ $k = 1,2, \ldots $. Тогда единичный шар подпространства ${{[{{f}_{k}}]}_{{{{L}^{2}}}}}$ имеет равностепенно непрерывные нормы в L2.

ИСТОЧНИК ФИНАНСИРОВАНИЯ

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 23-71-30001) в МГУ им. М.В. Ломоносова.

Список литературы

  1. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматгиз, 1958. 271 с.

  2. Rao M.M., Ren Z.D. Theory of Orlicz spaces, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. V. 146. N.Y.: Marcel Dekker Inc., 1991. 445 p.

  3. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces I. Sequence Spaces, Springer-Verlag, Berlin, 1977.

  4. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. I. М.: Мир, 1965. 615 с. [перевод с английского Zygmund A. Trigonometric series. V. I. Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK, 1959.]

  5. Astashkin S.V. $\Lambda (p)$-spaces // J. Funct. Anal. 2014. V. 266. P. 5174–5198.

  6. Bretagnolle J., Dacunha-Castelle D. Mesures aléatoires et espaces d’Orlicz (French) // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A-B. 1967, V. 264. P. A877–A880.

  7. Bretagnolle J., Dacunha-Castelle D. Application de l’étude de certaines formes l’étude aléatoires au plongement d’espaces de Banach dans des espaces ${{L}^{p}}$ // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1969. V. 2. № 5. P. 437–480.

  8. Dacunha-Castelle D. Variables aléatoires échangeables et espaces d’Orlicz // Séminaire Maurey-Schwartz 1974–1975: Espaces ${{L}^{p}},$ applications radonifiantes et géométrie des espaces de Banach, Exp. Nos. X et XI, 21 pp. Centre Math., мole Polytech., Paris, 1975.

  9. Braverman M.Sh. On some moment conditions for sums of independent random variables // Probab. Math. Statist. 1993. V. 14. № 1 P. 45–56.

  10. Braverman M.Sh. Independent Random Variables and Rearrangement Invariant Spaces. London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 194, Cambridge University Press, Cambridge, 1994.

  11. Braverman M.Sh. Independent random variables in Lorentz spaces // Bull. London Math. Soc. 1996. V. 28. № 1. P. 79–87.

  12. Astashkin S., Sukochev F. Orlicz sequence spaces spanned by identically distributed independent random variables in ${{L}_{p}}$-spaces // J. Math. Anal. Appl. 2014. V. 413. № 1. P. 1–19.

  13. Astashkin S., Sukochev F., Zanin D. On uniqueness of distribution of a random variable whose independent copies span a subspace in ${{L}^{p}}$ // Stud. Math. 2015. V. 230. № 1. P. 41–57.

  14. Astashkin S., Sukochev F., Zanin D. The distribution of a random variable whose independent copies span ${{\ell }_{M}}$ is unique // Rev. Mat. Complut. 2022. V. 35. № 3. P. 815–834.

  15. Johnson W., Schechtman G., Sums of independent random variables in rearrangement invariant function spaces // Ann. Probab. 1989. V. 17. P. 789–808.

  16. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978. 400 с.

  17. Astashkin S.V. On symmetric spaces containing isomorphic copies of Orlicz sequence spaces // Comment. Math. 2016. V. 56. № 1. P. 29–44.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал