Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2023, T. 512, № 1, стр. 96-101

ВВЕДЕНИЕ

Вопросы существования и определения размеров областей однолистности голоморфных отображений составляют важное направление геометрической теории функций и в различных постановках исследовались многими авторами. В данной работе мы сконцентрируем внимание на том, какое влияние на область однолистности ограниченного голоморфного отображения оказывают его неподвижные точки. Хорошо известен классический результат Ландау об области однолистности на классе голоморфных отображений f единичного круга $\mathbb{D} = \{ z \in \mathbb{C}:{\text{|}}z{\text{|}} < 1\} $ в себя, нормированных условиями $f(0) = 0$ и ${\text{|}}f{\kern 1pt} '(0){\text{|}} = \beta $, $\beta \in (0,1)$. Согласно теореме Ландау [1, 2] любая такая функция однолистна внутри круга $\{ z \in \mathbb{C}:{\text{|}}z{\text{|}} < \beta {\text{/}}(1 + \sqrt {1 - {{\beta }^{2}}} )\} $, причем оценка точная. Недавно было обнаружено [3], что наличие у голоморфного отображения двух неподвижных точек при определенных условиях влечет существование областей однолистности. Это обстоятельство мотивировало к исследованию геометрии указанных областей и поиску их точных размеров. Прежде чем сформулировать недавние результаты, а также результаты настоящей работы, полученные на пути решения обозначенной выше задачи, приведем необходимые сведения.

Пусть $\mathcal{B}$ – класс голоморфных отображений единичного круга $\mathbb{D}$ в себя. Если $f \in \mathcal{B}$ и , то в силу леммы Шварца–Пика (см. [4]) функция f может иметь внутри круга $\mathbb{D}$ не более одной неподвижной точки. В общем случае функция $f \in \mathcal{B}$ может не иметь в круге $\mathbb{D}$ неподвижной точки. Тогда ее заменяет некоторая выделенная точка на единичной окружности $\mathbb{T} = \{ z \in \mathbb{C}:\left| z \right|$ = 1}.

Теорема A (Данжуа, Вольф [5–8]). Пусть $f \in \mathcal{B}$ отлична от дробно-линейного преобразования единичного круга $\mathbb{D}$ на себя. Тогда существует единственная точка q, , такая, что последовательность натуральных итераций ${{f}^{n}} = f \circ {{f}^{{n - 1}}}$, $n\; \geqslant \;2$, функции $f = {{f}^{1}}$ сходятся к q локально равномерно в $\mathbb{D}$. Кроме того, если $q \in \mathbb{T}$, то существуют угловые пределы

причем $f(q) = q$ и $0 < f{\kern 1pt} '(q)\;\leqslant \;1$.

Точка $q$ называется точкой Данжуа–Вольфа функции f. Если $q \in \mathbb{D}$, то в силу леммы Шварца–Пика выполняется неравенство ${\text{|}}f{\kern 1pt} '(q){\text{|}}\;\leqslant \;1$. Таким образом, точка Данжуа–Вольфа $q$, , является притягивающей (${\text{|}}f{\kern 1pt} '(q){\text{|}} < 1$) или нейтральной (${\text{|}}f{\kern 1pt} '(q){\text{|}} = 1$) неподвижной точкой функции f.

Если функция $f \in \mathcal{B}$ с точкой Данжуа–Вольфа $q$, , имеет дополнительную неподвижную точку $a$, то она должна располагаться на единичной окружности $\mathbb{T}$ и ее неподвижность понимается в смысле углового предела. По теореме Жюлиа–Каратеодори (см. [9]) в граничной неподвижной точке $a$ всегда существует угловой предел

Более того, если этот предел конечен, то он является положительным числом и $f{\kern 1pt} '(z)$ имеет тот же угловой предел при $z \to a$. В этом случае предел (1) называется угловой производной функции f в точке $a$ и обозначается $f{\kern 1pt} '(a)$.

Обозначим через $\mathcal{B}\{ a\} $, $a \in \mathbb{T}$, класс функций f из $\mathcal{B}$, для которых точка a является граничной неподвижной точкой:

Для определенности положим a = 1. Для произвольного $\alpha > 1$ выделим в классе $\mathcal{B}\{ 1\} $ подкласс ${{\mathcal{B}}_{\alpha }}\{ 1\} $, состоящий из функций, имеющих ограничение на значение угловой производной в неподвижной точке:

В [10] показано, что ни при каком $\alpha > 1$ на классе ${{\mathcal{B}}_{\alpha }}\{ 1\} $ нет непустых областей однолистности. Другими словами, класс ${{\mathcal{B}}_{\alpha }}\{ 1\} $ слишком обширен и для продвижения в задаче об области однолистности необходимо рассматривать более узкие классы. Наиболее естественное сужение класса ${{\mathcal{B}}_{\alpha }}\{ 1\} $, $\alpha > 1$, – его подкласс, состоящий из функций, имеющих наряду с отталкивающей неподвижной точкой z = 1 притягивающую неподвижную точку $q$. В силу теоремы А притягивающая неподвижная точка обязательно существует (точка Данжуа–Вольфа), и дополнительное условие состоит лишь в фиксации ее расположения (внутри или на границе круга $\mathbb{D}$).

Задача об области однолистности в случае внутренней точки Данжуа–Вольфа исследовалась в [3, 10]. В [11] была найдена точная область однолистности при $\alpha \in (1,4]$. А именно, любая функция f из класса ${{\mathcal{B}}_{\alpha }}\{ 1\} $ с внутренней точкой Данжуа–Вольфа $q$, $q \in \mathbb{D}$, однолистна в области

причем ни в какой более широкой, чем $\mathcal{D}(\alpha ,q)$, области указанное свойство уже не выполняется.

В данной работе мы рассмотрим случай, когда точка Данжуа–Вольфа является граничной. Не нарушая общности, будем считать, что это точка $q = - 1$. Полученный класс обозначим следующим образом:

(Здесь через $\mathcal{B}[ - 1]$ обозначен класс функций $f \in \mathcal{B}$ с точкой Данжуа–Вольфа $q = - 1$.) Существование областей однолистности при некоторых значениях $\alpha $ на классе ${{\mathcal{B}}_{\alpha }}[ - 1,1]$ вытекает из результатов работы [12], в которой были найдены области однолистности на более широком классе ${{\mathcal{B}}_{\alpha }}\{ - 1,1\} $, состоящем из функций, имеющих ограничение на значение произведения угловых производных в двух граничных неподвижных точках:

Теорема B (Горяйнов [12]). Пусть $f\, \in \,{{\mathcal{B}}_{\alpha }}\{ - 1$, 1}, $\alpha \in (1,9)$. Тогда f однолистна в области

где $y{\kern 1pt} *(\alpha )$ – единственный в интервале $0\, < \,y\, < \,\pi {\text{/}}2$ корень уравнения

Для исследования области $\mathcal{J}(\alpha )$ полезно заметить, что $\cos y{\kern 1pt} *(\alpha ) = {{(1 + m(\alpha ))}^{{ - 1/2}}}$, где

Области $\mathcal{J}(\alpha )$ при каждом α, $\alpha \in (1,9)$, содержат вещественный диаметр и ограничены двумя дугами окружностей, проходящих через точки $z = \pm 1$.

Верхняя оценка области однолистности на классе ${{\mathcal{B}}_{\alpha }}\{ - 1,1\} $, $\alpha \in (1,9)$, найдена в [13]. А именно, показано, что при каждом s, $s \in ( - 1,1)$, функция

где $a(s)\, = \,(1\, + \,\sqrt \alpha )({{s}^{2}}\, + \,1)$, $b(s) = - 2(\sqrt \alpha + 3)s$, c(s) = = $(3 - \sqrt \alpha )({{s}^{2}} + 1)$, $d(s) = 2(\sqrt \alpha - 1)s$, принадлежит классу ${{\mathcal{B}}_{\alpha }}\{ - 1,1\} $ и имеет нулевую производную в точках где p₁(α) = $\sqrt {(\sqrt \alpha \, - \,1)(3\, + \,\sqrt \alpha )} $, p₂(α) = = $\sqrt {(\sqrt \alpha \, + \,1)(3\, - \,\sqrt \alpha )} $. Кривые ${{z}_{1}}(s)$ и ${{z}_{2}}(s)$, $s \in ( - 1,1)$, представляют собой дуги окружностей – границу области

Таким образом, за границу области $\mathcal{H}(\alpha )$ распространение области однолистности на классе ${{\mathcal{B}}_{\alpha }}\{ - 1,1\} $ невозможно.

Поскольку $f_{s}^{'}( \pm 1) = \sqrt \alpha $, $\alpha \in (1,9)$, то обе неподвижные точки функции f_s являются отталкивающими. Это означает, что функция f_s не принадлежит классу ${{\mathcal{B}}_{\alpha }}[ - 1,1]$. Таким образом, верхняя оценка области однолистности на классе ${{\mathcal{B}}_{\alpha }}\{ - 1,1\} $ (см. (4)) ничего содержательного для класса ${{\mathcal{B}}_{\alpha }}[ - 1,1]$ не дает. Более того, до настоящего момента не было известно никаких оценок сверху области однолистности на классе ${{\mathcal{B}}_{\alpha }}[ - 1,1]$. В данной работе впервые получена подобная оценка. Кроме того, мы предполагаем (и это будет объяснено далее), что найденная оценка есть точная область однолистности на классе ${{\mathcal{B}}_{\alpha }}[ - 1,1]$.

ОЦЕНКА ОБЛАСТИ ОДНОЛИСТНОСТИ

Основной результат работы (теорема 1) опирается на следующее утверждение, имеющее, на наш взгляд, самостоятельное значение.

Лемма 1. Пусть $\alpha $, $\beta $ – положительные числа, ${{z}_{0}} \in \mathbb{D}$. Если некоторая функция $f \in \mathcal{B}\{ - 1,1\} $ удовлетворяет условиям $f{\kern 1pt} '( - 1) = \beta $, $f{\kern 1pt} '(1) = \alpha $, $f{\kern 1pt} '({{z}_{0}}) = 0$, то какова бы ни была точка $\zeta \in \mathbb{D}$ такая, что

найдется функция $g \in \mathcal{B}\{ - 1,1\} $, удовлетворяющая условиям $g{\kern 1pt} '( - 1) = \beta $, $g{\kern 1pt} '(1) = \alpha $, $g{\kern 1pt} '(\zeta ) = 0$.

Если в дополнение ко всем условиям функция f не имеет других неподвижных точек, то и функцию $g$ можно выбрать так, чтобы она не имела других неподвижных точек.

Доказательство. Пусть для заданных чисел $\alpha $, $\beta $ и точки ${{z}_{0}}$ требуемая функция f найдена. При каждом $s \in ( - 1,1)$ рассмотрим функцию ${{T}_{s}}(z) = (z - s){\text{/}}(1 - sz)$, которая осуществляет дробно-линейное отображение круга $\mathbb{D}$ на себя и удовлетворяет условиям ${{T}_{s}}(1) = 1$, ${{T}_{s}}( - 1) = - 1$. Так как $f \in \mathcal{B}\{ - 1,1\} $, то функция ${{g}_{s}} = T_{s}^{{ - 1}} \circ f \circ {{T}_{s}}$ также принадлежит классу $\mathcal{B}\{ - 1,1\} $. Нетрудно проверить, что $g_{s}^{'}( - 1) = \beta $, $g_{s}^{'}(1) = \alpha $. Кроме того, $g_{s}^{'}(\zeta (s)) = 0$, где $\zeta (s) = T_{s}^{{ - 1}}({{z}_{0}})$.

Легко убедиться, что каждая точка кривой $\zeta (s)$, $s \in ( - 1,1)$, удовлетворяет соотношению (5). В силу непрерывности $\zeta (s)$ и того, что $\zeta (1 - 0) = 1$, $\zeta ( - 1 + 0) = - 1$, данная кривая представляет собой одну из двух симметричных относительно вещественного диаметра дуг окружностей, из которых состоит множество точек, описываемых условием (5). Вторая дуга $\overline {\zeta (s)} $, $s \in ( - 1,1)$, состоит из нулей производных функций ${{h}_{s}}(z) = \overline {{{g}_{s}}(\overline z } )$, каждая из которых принадлежит классу $\mathcal{B}\{ - 1,1\} $ и удовлетворяет условиям $h_{s}^{'}( - 1) = \beta $, $h_{s}^{'}(1) = \alpha $.

Вторая часть леммы непосредственно следует из следующего факта: – неподвижная точка функции ${{g}_{s}}$ (функции ${{h}_{s}}$) тогда и только тогда, когда точка ${{T}_{s}}(a)$ (точка $\overline {{{T}_{s}}(a)} $) – неподвижная точка функции f. Лемма доказана. $\square $

Следующая теорема устанавливает, что точная область однолистности на классе ${{\mathcal{B}}_{\alpha }}[ - 1,1]$, $\alpha > 1$, содержится в области

Теорема 1. При каждом $\alpha > 1$ какова бы ни была область $\mathcal{V}$, $\mathcal{U}(\alpha ) \subset \mathcal{V} \subset \mathbb{D}$, $\mathcal{V} \ne \mathcal{U}(\alpha )$, найдется функция $f \in {{\mathcal{B}}_{\alpha }}[ - 1,1]$, не однолистная в области $\mathcal{V}$.

Доказательство. Рассмотрим функцию $h(\zeta )\, = \,{{\alpha }^{{ - 1}}}\left( {\zeta \, + \,i(\alpha \, - \,1)\, + \,(\alpha \, - \,1){\text{/}}(\zeta \, + \,i)} \right)$. Эта функция отображает правую полуплоскость $\mathbb{H}\, = \,\{ \zeta \, \in \,\mathbb{C}\,:\,{\text{Re}}\zeta $ > > 0} в себя и имеет ровно две неподвижные точки $\zeta = 0$ и $\zeta = \infty $. Кроме того, производная функции $h$ обращается в нуль в точке ${{\zeta }_{0}} = \sqrt {\alpha - 1} - i$.

Рассмотрим дробно-линейное преобразование $L(\zeta ) = (\zeta - 1){\text{/}}(\zeta + 1)$, отображающее полуплоскость $\mathbb{H}$ на круг $\mathbb{D}$, и составим композицию $f = L \circ h \circ {{L}^{{ - 1}}}$. Функция f отображает круг $\mathbb{D}$ в себя и имеет ровно две неподвижные точки $z = - 1$ и z = 1, одна из которых в силу теоремы A является точкой Данжуа–Вольфа. Несложные вычисления показывают, что в неподвижных точках функция f имеет следующие значения угловых производных: $f{\kern 1pt} '( - 1) = 1$, $f{\kern 1pt} '(1) = \alpha $. Тем самым точка $z = - 1$ является точкой Данжуа–Вольфа и $f \in {{\mathcal{B}}_{\alpha }}[ - 1,1]$. Производная функции f обращается в нуль в точке 

Тем самым $f \in {{\mathcal{B}}_{\alpha }}[ - 1,1]$ и на границе области $\mathcal{U}(\alpha )$ имеет нуль производной (точку z₀). Cогласно лемме 1 существование такой функции влечет существование для произвольной точки $z \in \mathbb{D}$, лежащей на границе области $\mathcal{U}(\alpha )$, функции $g \in {{\mathcal{B}}_{\alpha }}[ - 1,1]$, производная которой обращается в нуль в этой точке.

Пусть теперь $\mathcal{V}$ – произвольная область такая, что $\mathcal{U}(\alpha ) \subset \mathcal{V} \subset \mathbb{D}$, $\mathcal{V} \ne \mathcal{U}\alpha )$. Тогда некоторая граничная точка области $\mathcal{U}(\alpha )$ находится внутри области $\mathcal{V}$. Как показано выше, найдется функция, принадлежащая классу ${{\mathcal{B}}_{\alpha }}[ - 1,1]$ и имеющая в этой точке нулевую производную. Следовательно, эта функция не однолистна в области $\mathcal{V}$. Теорема доказана. $\square $

Интересно провести сравнение верхней и нижней оценок областей однолистности на классе ${{\mathcal{B}}_{\alpha }}[ - 1,1]$. Оценку сверху дает только что доказанная теорема 1, оценка снизу вытекает из теоремы B и вложения ${{\mathcal{B}}_{\alpha }}[ - 1,1] \subset {{\mathcal{B}}_{\alpha }}\{ - 1,1\} $. Заметим, что области $\mathcal{J}(\alpha )$ и $\mathcal{U}(\alpha )$ (см. (3) и (6)) имеют одинаковую структуру (см. рис. 1) и отличаются только размером, что, на наш взгляд, не случайно. В контексте леммы 1 можно предположить, что структура точной области однолистности на классе ${{\mathcal{B}}_{\alpha }}[ - 1,1]$ имеет такой же вид. Что касается сравнения размеров областей, то при $\alpha $, близких к 1, зазор между нижней и верхней оценками невелик. Действительно, дуги, ограничивающие области $\mathcal{J}(\alpha )$ и $\mathcal{U}(\alpha )$, образуют с вещественной осью в точках $z = \pm 1$ углы ${{\varphi }_{1}}(\alpha )$, ${{\varphi }_{2}}(\alpha )$ соответственно, тангенсы которых имеют следующую асимптотику:

Таким образом, полученная двусторонняя оценка областей однолистности на классе ${{\mathcal{B}}_{\alpha }}[ - 1,1]$ асимптотически точна при $\alpha \to 1 + 0$. Разумеется, при $\alpha $, близких к 9, верхняя и нижняя оценки различаются уже очень сильно, так как при $\alpha \to 9 - 0$ область $\mathcal{J}(\alpha )$ стягивается в вещественный диаметр. При $\alpha \; \geqslant \;9$ вообще никакой оценки снизу не известно. Тем не менее близость двусторонней оценки при $\alpha \to 1 + 0$ позволяет сформулировать гипотезу, что полученная в данной работе верхняя оценка и есть точная область однолистности на классе ${{\mathcal{B}}_{\alpha }}[ - 1,1]$. Эта гипотеза косвенно подтверждается также тем, что область $\mathcal{U}(\alpha )$ в определенном смысле мало отличается от точной области однолистности $\mathcal{D}(\alpha ,q)$ на классе функций ${{\mathcal{B}}_{\alpha }}\{ 1\} $ с внутренней неподвижной точкой $q$, расположенной вблизи точки $z = - 1$ (см. (2)), что видно из рис. 2.

В заключение обобщим результат теоремы 1 на случай, когда точка Данжуа–Вольфа произвольно расположена на единичной окружности $\mathbb{T}$. Обозначим через ${{\mathcal{B}}_{\alpha }}[q,1]$ класс, состоящий из функций $f \in {{\mathcal{B}}_{\alpha }}\{ 1\} $ с точкой Данжуа–Вольфа $q \in \mathbb{T}{{\backslash }}\{ 1\} $. Покажем, что точная область однолистности на классе ${{\mathcal{B}}_{\alpha }}[q,1]$ содержится в области

Теорема 2. Пусть $\alpha > 1$, $q \in \mathbb{T}{{\backslash }}\{ 1\} $. Какова бы ни была область $\mathcal{V}$, $\mathcal{U}(\alpha ,q) \subset \mathcal{V} \subset \mathbb{D}$, $\mathcal{V} \ne \mathcal{U}(\alpha ,q)$, найдется функция $f \in {{\mathcal{B}}_{\alpha }}[q,1]$, не однолистная в области $\mathcal{V}$.

Доказательство. Рассмотрим следующее дробно-линейное преобразование:

Поскольку ${\text{|}}q{\text{|}} = 1$, ${\text{Re}}q$ < 1 и ${\text{|}}(1 + q){\text{/}}(3q - 1){\text{|}}$ = (1 + + Req)/(5 – 3Req) < 1, функция S_q отображает круг $\mathbb{D}$ на себя, при этом точка z = 1 остается на месте, а точка $z = - 1$ переходит в точку z = q.

Как и при доказательстве теоремы 1 достаточно для каждой граничной точки области $\mathcal{U}(\alpha ,q)$ (см. (7)) предъявить функцию из класса ${{\mathcal{B}}_{\alpha }}[q,1]$, производная которой обращается в нуль в этой точке.

Фиксируем точку $z \in \mathbb{D}$, лежащую на границе $\mathcal{U}(\alpha ,q)$. Легко проверить, что имеет место равенство

Следовательно, точка $S_{q}^{{ - 1}}(z)$ расположена на границе области $\mathcal{U}(\alpha )$ (см. (6)), и в силу теоремы 1 найдется функция $g \in {{\mathcal{B}}_{\alpha }}[ - 1,1]$, производная которой обращается в нуль в точке $S_{q}^{{ - 1}}(z)$. Тогда функция ${{S}_{q}} \circ g \circ S_{q}^{{ - 1}}$ принадлежит классу ${{\mathcal{B}}_{\alpha }}[q,1]$ и имеет нуль в точке z. Теорема доказана. $\square $

На рис. 3 изображена граница области $\mathcal{U}(\alpha ,q)$ (см. (7)) в случае $q = - i$.