Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2023, T. 512, № 1, стр. 42-46

ОБ АСИМПТОТИКЕ АТТРАКТОРОВ СИСТЕМЫ НАВЬЕ–СТОКСА В АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ С МЕЛКИМИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРЕПЯТСТВИЯМИ

К. А. Бекмаганбетов 12*, А. М. Толеубай 32**, Г. А. Чечкин 452***

1 Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Казахстанский филиал
Астана, Казахстан

2 Институт математики и математического моделирования
Алматы, Казахстан

3 Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева
Астана, Казахстан

4 Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Москва, Россия

5 Институт математики с компьютерным центром – подразделение Уфимского федерального исследовательского центра РАН
Уфа, Россия

* E-mail: bekmaganbetov-ka@yandex.kz
** E-mail: altyn.15.94@mail.ru
*** E-mail: chechkin@mech.math.msu.su

Поступила в редакцию 07.09.2022
После доработки 20.05.2023
Принята к публикации 25.05.2023

Полный текст (PDF)

Аннотация

В работе рассматривается двумерная система уравнений Навье–Стокса в среде с анизотропной переменной вязкостью и периодическими мелкими препятствиями. Доказано, что траекторные аттракторы этой системы стремятся в определенной слабой топологии к траекторным аттракторам усредненной системы уравнений Навье–Стокса с дополнительным потенциалом в среде без препятствий.

Ключевые слова: аттракторы, усреднение, система уравнений Навье–Стокса, нелинейные уравнения, слабая сходимость, перфорированная область, быстро осциллирующие члены, анизотропная среда

1. ВВЕДЕНИЕ

В этой работе изучается поведение аттракторов начально-краевой задачи для двумерной системы уравнений Навье–Стокса в среде с анизотропной вязкостью и локально периодическими мелкими препятствиями, расстояние между которыми и их диаметры зависят от малого параметра (см. рис. 1), при стремлении этого малого параметра к нулю. Предполагается, что поверхность препятствий взаимодействует со средой.

Рис. 1.

2D модель жидкости в среде с мелкими периодическими препятствиями.

Аттракторы для двумерной системы Навье–Стокса впервые были определены и начали изучаться с середины 1970-х годов. Отметим здесь работу М.И. Вишика и В.В. Чепыжова [1], в которой обосновывается применение техники траекторных и глобальных аттракторов для усреднения плоских начально-краевых задач гидродинамики ньютоновских жидкостей, а также рассмотрены физические приложения таких моделей (см. также [2]).

Естественным продолжением исследований в этой области является моделирование неньютоновских жидкостей, в частности, сильно анизотропных вязких несжимаемых сред (см., например, недавние работы по неньютоновской жидкости О.А. Ладыженской [3] и усреднению неньютоновской сильно анизотропной среды [4]).

Отметим некоторые результаты по усреднению аттракторов, которые появились в последнее время. В работах [5] и [6] изучалось усреднение аттракторов эволюционных уравнений и систем с диссипацией в периодически перфорированной области. Результаты по усреднению аттракторов системы уравнений Навье–Стокса в периодической изотропной среде см. в [7]. Методы, которые использовались при исследовании таких задач, были разработаны в [811].

В настоящей работе обобщаются результаты, полученные в [7]. Предполагается, что на границе включений выставлены специальные условия третьего рода. Такие краевые условия совместно с системой уравнений Навье–Стокса были предложены в [12] в качестве простейшей модели для паро-водяной конденсации на холодных стенках (подробнее о модели смотри [13, § 4.1]).

2. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Сначала мы определим перфированную область. Пусть Ω – гладкая ограниченная область в ${{\mathbb{R}}^{2}}$. Введем обозначения

$\begin{gathered} {{\Upsilon }_{\varepsilon }} = \left\{ {r \in {{\mathbb{Z}}^{2}}:{\text{dist}}\left( {\varepsilon r,\partial \Omega } \right) \geqslant \sqrt 2 \varepsilon } \right\}, \\ \square \; \equiv \left\{ {\xi : - \frac{1}{2} < {{\xi }_{i}} < \frac{1}{2},i = 1,2} \right\}. \\ \end{gathered} $

Задавая 1-периодическую по ξ гладкую функцию $F(x,\xi )$ такую, что $F(x,\xi ){\kern 1pt} {{{\text{|}}}_{{\xi \in \partial \square }}} \geqslant {\text{const}} > 0$, $F(x,0)$ = = –1, ${{\nabla }_{\xi }}F \ne 0$ при $\xi \in \,\square \backslash \{ 0\} $, определяем

$G_{\varepsilon }^{r} = \left\{ {x \in \varepsilon \left( {\square \; + r} \right)\,{\text{|}}\,F\left( {x,\frac{x}{\varepsilon }} \right) \leqslant 0} \right\},\quad {{G}_{\varepsilon }} = \bigcup\limits_{r \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} G_{\varepsilon }^{r}$
и вводим перфорированную область следующим образом:

${{\Omega }_{\varepsilon }} = \Omega {{\backslash }}{{G}_{\varepsilon }}.$

В соответствии с выше приведенной конструкцией граница $\partial {{\Omega }_{\varepsilon }}$ состоит из $\partial \Omega $ и границы включений $\partial {{G}_{\varepsilon }} \subset \Omega $. Определим также Q = {(x, $t){\kern 1pt} |{\kern 1pt} x \in \Omega ,t \in (0,\infty )\} $ и ${{Q}_{\varepsilon }} = \{ (x,t)\,{\text{|}}\,x \in {{\Omega }_{\varepsilon }},t \in (0,\infty )\} $. Обозначим через H и V замыкание в ${{[{{L}_{2}}(\Omega )]}^{2}}$ и ${{[H_{0}^{1}(\Omega )]}^{2}}$ множества $\{ v\,{\text{|}}\,v\, \in \,{{[C_{0}^{\infty }(\Omega )]}^{2}},(\nabla ,v)$ = 0}. По аналогии определим ${{{\mathbf{H}}}_{\varepsilon }}$ – замыкание этого множества по норме ${{[{{L}_{2}}({{\Omega }_{\varepsilon }})]}^{2}}$, и ${{{\mathbf{V}}}_{\varepsilon }}$ – замыкание этого множества по норме ${{[{{H}^{1}}({{\Omega }_{\varepsilon }};\partial \Omega )]}^{2}}$, где ${{[{{H}^{1}}({{\Omega }_{\varepsilon }};\partial \Omega )]}^{2}}$ – множество вектор-функций из ${{[{{H}^{1}}({{\Omega }_{\varepsilon }})]}^{2}}$ с нулевым следом на $\partial \Omega $. Нормы в этих пространствах определяются, соответственно, следующим образом:

$\begin{gathered} {\text{||}}v{\text{|}}{{{\text{|}}}^{2}}: = \int\limits_\Omega \sum\limits_{k = 1}^2 {\text{|}}{{v}^{k}}(x){{{\text{|}}}^{2}}dx,\quad {\text{||}}v{\text{||}}_{\varepsilon }^{2}: = \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \sum\limits_{k = 1}^2 {\text{|}}{{v}^{k}}(x){{{\text{|}}}^{2}}dx, \\ {\text{||}}v{\text{||}}_{1}^{2}: = \int\limits_\Omega \sum\limits_{k = 1}^2 {\text{|}}\nabla {{v}^{k}}(x){{{\text{|}}}^{2}}dx,\quad {\text{||}}v{\text{||}}_{{1\varepsilon }}^{2}: = \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \sum\limits_{k = 1}^2 {\text{|}}\nabla {{v}^{k}}(x){{{\text{|}}}^{2}}dx. \\ \end{gathered} $

Мы будем изучать асимптотическое поведение траекторных аттракторов следующей начально-краевой задачи для автономной двумерной системы уравнений Навье–Стокса

(1)
$\left\{ \begin{gathered} \frac{{\partial {{u}_{\varepsilon }}}}{{\partial t}} - 2\nu {\kern 1pt} {\text{div}}{\kern 1pt} \bar {e}({{u}_{\varepsilon }}) + ({{u}_{\varepsilon }},\nabla ){{u}_{\varepsilon }} + \hfill \\ \, + \nabla {{p}_{\varepsilon }} = g\left( {x,\frac{x}{\varepsilon }} \right),\quad x \in {{\Omega }_{\varepsilon }}, \hfill \\ (\nabla ,{{u}_{\varepsilon }}) = 0,\quad x \in {{\Omega }_{\varepsilon }}, \hfill \\ \sigma _{n}^{\varepsilon } + {{\alpha }_{n}}\varepsilon ({{u}_{\varepsilon }},n) = 0,\quad x \in \partial {{G}_{\varepsilon }},\quad t \in (0, + \infty ), \hfill \\ \sigma _{\tau }^{\varepsilon } + {{\alpha }_{\tau }}\varepsilon ({{u}_{\varepsilon }},\tau ) = 0,\quad x \in \partial {{G}_{\varepsilon }}, \hfill \\ {{u}_{\varepsilon }} = 0,\quad x \in \partial \Omega \hfill \\ {{u}_{\varepsilon }} = U(x),\quad x \in {{\Omega }_{\varepsilon }},\quad t = 0. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Здесь ${{p}_{\varepsilon }}(x,t)$ – давление, ${{u}_{\varepsilon }} = {{u}_{\varepsilon }}(x,t) = (u_{\varepsilon }^{1},u_{\varepsilon }^{2})$, $2\bar {e}({{u}_{\varepsilon }}) = \nabla {{u}_{\varepsilon }} + {{(\nabla {{u}_{\varepsilon }})}^{T}}$, ${{g}_{\varepsilon }}(x) = g\left( {x,\frac{x}{\varepsilon }} \right)$ = $({{g}^{1}},{{g}^{2}}) \in $ H, $\sigma _{n}^{\varepsilon }({{u}_{\varepsilon }},{{p}_{\varepsilon }})\, = \, - {\kern 1pt} {{p}_{\varepsilon }}\, + \,\nu ((\bar {e}({{u}_{\varepsilon }})n),n)$, $\sigma _{\tau }^{\varepsilon }({{u}_{\varepsilon }})$ = $\nu ((\bar {e}({{u}_{\varepsilon }})n),\tau )$, $n = ({{n}_{1}},{{n}_{2}})$ – вектор единичной внешней нормали к границе, $\tau = ({{\tau }_{1}},{{\tau }_{2}})$ – единичный тангенциальный вектор к границе включений. Обозначим $G(x) = \left\{ {\xi \in \;\square :F(x,\xi ) \leqslant 0} \right\}$ – локальное включение, $\partial G(x) = \left\{ {\xi \in \;\square :F(x,\xi ) = 0} \right\}$ – граница включения $G(x)$ в растянутом пространстве $\xi $.

Известно (см. ниже), что если $U \in {\mathbf{H}}$, то существует слабое решение $u(t)$ начально-краевой задачи (1), принадлежащее пространству ${\mathbf{L}}_{{2,w}}^{{loc}}({{R}_{ + }}$; ${{{\mathbf{V}}}_{\varepsilon }})\, \cap \,{\mathbf{L}}_{{\infty ,*w}}^{{loc}}({{R}_{ + }}$; Hε), такое, что $u(0) = U$. При этом имеем, что $\frac{{\partial u}}{{\partial t}} \in {\mathbf{L}}_{{2,w}}^{{loc}}\left( {{{R}_{ + }};{\mathbf{V}}{{'}_{\varepsilon }}} \right)$. Здесь ${\mathbf{V}}{{'}_{\varepsilon }}$ – сопряженное пространство к ${{{\mathbf{V}}}_{\varepsilon }}$.

Замечание 2.1. Для доказательства существования решения исходной задачи требуется техника диссипативных оценок, равномерных по параметру $\varepsilon $ (см. замечание 4.3 из [14]), а также существование оператора продолжения с сохранением регулярности функций (см. лемму 7.1 из [14]). Доказательство проводится методом Галёркина с использованием теоремы существования и единственности для стационарной системы Навье–Стокса (см. теорему 4.2 из [14]).

Исходя из выше сказанного, будем исследовать слабые решения начально-краевой задачи (1), т.е. функции

$\begin{gathered} {{u}_{\varepsilon }}(x,t) \in {\mathbf{L}}_{{2,w}}^{{loc}}({{R}_{ + }};{{{\mathbf{V}}}_{\varepsilon }}) \cap {\mathbf{L}}_{{\infty ,{\kern 1pt} *w}}^{{loc}}({{R}_{ + }};{{{\mathbf{H}}}_{\varepsilon }}) \cap \\ \, \cap \left\{ {{v}:\frac{{\partial {v}}}{{\partial t}} \in {\mathbf{L}}_{{2,w}}^{{loc}}({{R}_{ + }};{\mathbf{V}}_{\varepsilon }^{'})} \right\}, \\ \end{gathered} $
которые удовлетворяют задаче (1) в смысле обобщенных функций, т.е.
(2)
$\begin{gathered} - \int\limits_{{{Q}_{\varepsilon }}} {{u}_{\varepsilon }} \cdot \frac{{\partial \psi }}{{\partial t}}dxdt + 2\nu \int\limits_{{{Q}_{\varepsilon }}} \bar {e}({{u}_{\varepsilon }})\bar {e}(\psi )dxdt + \\ \, + \int\limits_{{{Q}_{\varepsilon }}} ({{u}_{\varepsilon }},\nabla ){{u}_{\varepsilon }} \cdot \psi dxdt + \varepsilon \int\limits_0^{ + \infty } \int\limits_{\partial {{G}_{\varepsilon }}} ({{\alpha }_{n}}({{u}_{\varepsilon }},n){{\psi }_{n}} + \\ \, + {{\alpha }_{\tau }}({{u}_{\varepsilon }},\tau ){{\psi }_{\tau }})dsdt = \int\limits_{{{Q}_{\varepsilon }}} {{g}_{\varepsilon }}(x) \cdot \psi dxdt \\ \end{gathered} $
для любых вектор-функций $\psi \in {\mathbf{C}}_{0}^{\infty }({{R}_{ + }};{{{\mathbf{V}}}_{\varepsilon }})$. Здесь ${{y}_{1}} \cdot {{y}_{2}}$ означает скалярное произведение векторов ${{y}_{1}},{{y}_{2}} \in {{\mathbb{R}}^{2}}$, а ds – элемент кривой $\partial {{G}_{\varepsilon }}$.

При описании пространства траекторий $\mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + }$ для задачи (1) будем следовать общей схеме (см., например, [6]) и определим банаховы пространства для каждого отрезка $[{{t}_{1}},{{t}_{2}}] \in \mathbb{R}$

(3)
$\begin{gathered} {{\mathcal{F}}_{{{{t}_{1}},{{t}_{2}}}}}:{\mathbf{L}}_{{2,w}}^{{loc}}({{t}_{1}},{{t}_{2}};{{{\mathbf{V}}}_{\varepsilon }}) \cap {\mathbf{L}}_{{\infty ,{\kern 1pt} *w}}^{{loc}}({{t}_{1}},{{t}_{2}};{{{\mathbf{H}}}_{\varepsilon }}) \cap \\ \, \cap \left\{ {v:\frac{{\partial v}}{{\partial t}} \in {\mathbf{L}}_{{2,w}}^{{loc}}({{t}_{1}},{{t}_{2}};{\mathbf{V}}_{\varepsilon }^{'})} \right\} \\ \end{gathered} $
с нормой

(4)
${\text{||}}v{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{F}}_{{{{t}_{1}},{{t}_{2}}}}}}}}: = {\text{||}}v{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{L}}}_{2}}({{t}_{1}},{{t}_{2}};{\mathbf{V}})}}} + \;{\text{||}}v{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{L}}}_{\infty }}({{t}_{1}},{{t}_{2}};{\mathbf{H}})}}} + {{\left\| {\frac{{\partial v}}{{\partial t}}} \right\|}_{{{{{\mathbf{L}}}_{2}}({{t}_{1}},{{t}_{2}};{\mathbf{V}}')}}}.$

Положив ${{\mathcal{D}}_{{{{t}_{1}},{{t}_{2}}}}} = {{{\mathbf{L}}}_{2}}\left( {{{t}_{1}},{{t}_{2}};{\mathbf{V}}} \right)$, получаем, что ${{\mathcal{F}}_{{{{t}_{1}},{{t}_{2}}}}} \subseteq {{\mathcal{D}}_{{{{t}_{1}},{{t}_{2}}}}}$, а если $u(t) \in {{\mathcal{F}}_{{{{t}_{1}},{{t}_{2}}}}}$, тогда $A(u(t)) \in {{\mathcal{D}}_{{{{t}_{1}},{{t}_{2}}}}}$. Здесь $A(u) = - 2\nu {\kern 1pt} {\text{div}}{\kern 1pt} \bar {e}(u) - (u,\nabla )u$. Далее можно рассматривать слабые решения задачи (1) как решение системы уравнений из общей схемы (см. [6]).

Определим пространства

$\begin{gathered} \mathcal{F}_{ + }^{{loc}} = {\mathbf{L}}_{2}^{{loc}}({{\mathbb{R}}_{ + }};{\mathbf{V}}) \cap {\mathbf{L}}_{\infty }^{{loc}}({{\mathbb{R}}_{ + }};{\mathbf{H}}) \cap \\ \, \cap \left\{ {v\,{\text{|}}\,\frac{{\partial v}}{{\partial t}} \in {\mathbf{L}}_{2}^{{loc}}({{\mathbb{R}}_{ + }};{\mathbf{V}}')} \right\}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \mathcal{F}_{{\varepsilon , + }}^{{loc}} = {\mathbf{L}}_{2}^{{loc}}({{\mathbb{R}}_{ + }};{{{\mathbf{V}}}_{\varepsilon }}) \cap {\mathbf{L}}_{\infty }^{{loc}}({{\mathbb{R}}_{ + }};{{{\mathbf{H}}}_{\varepsilon }}) \cap \\ \, \cap \left\{ {v\,{\text{|}}\,\frac{{\partial v}}{{\partial t}} \in {\mathbf{L}}_{2}^{{loc}}({{\mathbb{R}}_{ + }};{\mathbf{V}}_{\varepsilon }^{'})} \right\}. \\ \end{gathered} $

Обозначим через $\mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + }$ множество всех слабых решений задачи (1). Напомним, что для любой функции $U \in {\mathbf{H}}$ существует хотя бы одна траектория $u( \cdot ) \in \mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + }$ такая, что $u(0) = U(x)$. Следовательно, пространство траекторий $\mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + }$ задачи (1) не пусто и достаточно велико.

Ясно, что $\mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + } \subset \mathcal{F}_{ + }^{{loc}}$ и пространство траекторий $\mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + }$ является трансляционно-инвариантным, т.е., если $u(t) \in \mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + }$, тогда и $u(h + t) \in \mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + }$ для любых $h \geqslant 0$.

Далее, используя норму пространства ${{{\mathbf{L}}}_{2}}({{t}_{1}},{{t}_{2}}$; H), определим метрики ${{\rho }_{{{{t}_{1}},{{t}_{2}}}}}( \cdot , \cdot )$ в пространствах ${{\mathcal{F}}_{{{{t}_{1}},{{t}_{2}}}}}$ следующим образом

$\begin{gathered} {{\rho }_{{0,M}}}(u,v) = {{\left( {\int\limits_0^M {\text{||}}u(t) - v(t){\text{||}}_{{\mathbf{H}}}^{2}dt} \right)}^{{1/2}}}, \\ \forall \;u( \cdot ),v( \cdot ) \in {{\mathcal{F}}_{{0,M}}}. \\ \end{gathered} $

Эти метрики порождают топологию $\Theta _{ + }^{{loc}}$ в пространстве $\mathcal{F}_{ + }^{{loc}}$ (соответственно $\Theta _{{\varepsilon , + }}^{{loc}}$ в $\mathcal{F}_{{\varepsilon , + }}^{{loc}}$). Напомним, что последовательность $\{ {{v}_{k}}\} \subset \mathcal{F}_{ + }^{{loc}}$ сходится к функции $v \in \mathcal{F}_{ + }^{{loc}}$ при $k \to \infty $ в $\Theta _{ + }^{{loc}}$, если ${\text{||}}{{v}_{k}}( \cdot ) - v( \cdot ){\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{L}}}_{2}}(0,M;{\mathbf{H}})}}} \to 0$ $(k \to \infty )$ для любого $M > 0$. Топология $\Theta _{ + }^{{loc}}$ метризуема и соответствующее метрическое пространство является полным. Мы рассматриваем топологию в пространстве траекторий $\mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + }$ задачи (1).

Далее, определим ограниченные множества в $\mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + }$, используя банаховы пространства $\mathcal{F}_{ + }^{b}$. Ясно, что

(5)
$\begin{gathered} \mathcal{F}_{ + }^{b} = {\mathbf{L}}_{2}^{b}({{\mathbb{R}}_{ + }};{\mathbf{V}}) \cap {{{\mathbf{L}}}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};{\mathbf{H}}) \cap \\ \, \cap \left\{ {v\,{\text{|}}\,\frac{{\partial v}}{{\partial t}} \in {\mathbf{L}}_{2}^{b}({{\mathbb{R}}_{ + }};{\mathbf{V}}{\kern 1pt} ')} \right\} \\ \end{gathered} $
и $\mathcal{F}_{ + }^{b}$ – подпространство пространства $\mathcal{F}_{ + }^{{loc}}$.

Пусть ${{\mathcal{K}}_{\varepsilon }}$ означает ядро задачи (1), которое состоит из всех слабых решений $u(s),s \in \mathbb{R}$, ограниченных в пространстве

${{\mathcal{F}}^{b}} = {\mathbf{L}}_{2}^{b}(\mathbb{R};{\mathbf{V}}) \cap {{{\mathbf{L}}}_{\infty }}(\mathbb{R};{\mathbf{H}}) \cap \left\{ {v\,{\text{|}}\,\frac{{\partial v}}{{\partial t}} \in {\mathbf{L}}_{2}^{b}(\mathbb{R};{\mathbf{V}}{\kern 1pt} ')} \right\}.$

Имеет место утверждение, доказательство которого практически полностью совпадает с доказательством, приведенным [9] для более частного случая, учитывая при этом [14] и [15].

Лемма 2.1. Задача (1) имеет траекторные аттракторы ${{\mathfrak{A}}_{\varepsilon }}$ в топологическом пространстве $\Theta _{ + }^{{loc}}$. Множество ${{\mathfrak{A}}_{\varepsilon }}$ равномерно (по $\varepsilon \in (0,1)$) ограничено в $\mathcal{F}_{ + }^{b}$ и компактно в $\Theta _{ + }^{{loc}}$. Более того,

${{\mathfrak{A}}_{\varepsilon }} = {{\Pi }_{ + }}{{\mathcal{K}}_{\varepsilon }},$
ядро ${{\mathcal{K}}_{\varepsilon }}$непусто и равномерно (по $\varepsilon \in (0,1)$) ограничено в ${{\mathcal{F}}^{b}}$. Напомним, что пространства $\mathcal{F}_{ + }^{b}$ и $\Theta _{ + }^{{loc}}$ зависят от $\varepsilon $. Здесь ${{\Pi }_{ + }}$ обозначает оператор сужения на полуось ${{\mathbb{R}}_{ + }}.$

3. ОСНОВНОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ

В этом разделе изучаются предельное поведение аттракторов ${{\mathfrak{A}}_{\varepsilon }}$ для системы уравнений Навье–Стокса (1) при $\varepsilon \to 0 + $ и их сходимость к траекторному аттрактору соответствующего усредненного уравнения.

Стационарная задача на ячейке периодичности имеет вид (см. [14, § 2.1])

(6)
$\left\{ \begin{gathered} - 2\nu {\kern 1pt} {\text{div}}{\kern 1pt} \bar {e}({{\xi }^{{kl}}}) + \nabla {{\eta }^{{kl}}} = 0,\quad x \in \;\square \backslash G(x), \hfill \\ {\text{div}}{\kern 1pt} {{\xi }^{{kl}}} = - {{\delta }_{{kl}}},\quad x \in \;\square \backslash G(x), \hfill \\ - \sigma _{n}^{\varepsilon }({{\chi }^{{kl}}},{{\eta }^{{kl}}}) = 2\nu {{n}_{k}}{{n}_{l}},\quad x \in \partial G(x), \hfill \\ \sigma _{\tau }^{\varepsilon }({{\chi }^{{kl}}}) = \nu ({{n}_{k}}{{\tau }_{l}} + {{\tau }_{k}}{{n}_{l}}),\quad x \in \partial G(x), \hfill \\ \{ {{\chi }^{{kl}}},{{\eta }^{{kl}}}\} - {\text{1}} - {\text{периодические}}, \hfill \\ \frac{1}{{|\,\square \backslash G(x){\text{|}}}}\int\limits_{\square \backslash G(x)} {{\chi }^{{kl}}}d\xi = 0\quad (k,l = 1,2), \hfill \\ \end{gathered} \right.$
здесь ${{\delta }_{{kl}}}$ – символ Кронекера.

Усредненная (предельная) задача имеет следующий вид:

(7)
$\left\{ \begin{gathered} \frac{{\partial u_{0}^{i}}}{{\partial t}} - \sum\limits_{j,k,l = 1}^2 {{a}_{{ijkl}}}\frac{\partial }{{\partial {{x}_{j}}}}{{{\bar {e}}}_{{kl}}}({{u}_{0}}) + \sum\limits_{j = 1}^2 d_{{ij}}^{{(n)}}u_{0}^{j} + \sum\limits_{j = 1}^2 d_{{ij}}^{{(\tau )}}u_{0}^{j} + \hfill \\ \, + \sum\limits_{j = 1}^2 u_{0}^{j}\frac{{\partial u_{0}^{i}}}{{\partial {{x}_{j}}}} + \sum\limits_{j,k,l = 1}^2 {{b}_{{ijkl}}}u_{0}^{j}{{e}_{{kl}}}({{u}_{0}}) = \mathcal{G}(x), \hfill \\ x \in \Omega ,\quad t > 0\quad (i = 1,2) \hfill \\ {{u}_{0}} = 0,\quad x \in \partial \Omega , \hfill \\ {{u}_{0}} = U(x),\quad x \in \Omega ,\quad t = 0, \hfill \\ \end{gathered} \right.$
где

$\begin{gathered} {{a}_{{ijkl}}} = 2\nu \left( {{{\delta }_{{ijkl}}} + \frac{1}{{|\square \backslash G(x){\text{|}}}}\int\limits_{\square \backslash G(x)} \left( {{{e}_{{ij}}}({{\chi }^{{kl}}}) - {{\delta }_{{ij}}}\frac{{{{\eta }^{{kl}}}}}{{2\nu }}} \right)d\xi } \right), \\ {{\delta }_{{ijkl}}} = \frac{1}{2}({{\delta }_{{ik}}}{{\delta }_{{jl}}} + {{\delta }_{{il}}}{{\delta }_{{jk}}}), \\ \end{gathered} $
${{b}_{{ijkl}}} = \frac{1}{{|\square \backslash G(x){\text{|}}}}\int\limits_{\partial G(x)} \frac{{\partial \chi _{i}^{{kl}}}}{{\partial {{\xi }_{j}}}}d\xi ,\quad \mathcal{G}(x) = \int\limits_{\square \backslash G(x)} g(x,\xi ){\kern 1pt} d\xi ,$
$d_{{ij}}^{{(n)}} = \frac{{{{\alpha }_{n}}}}{{|\square \backslash G(x){\text{|}}}}\int\limits_{\partial G(x)} {{n}_{i}}{{n}_{j}}ds,\quad d_{{ij}}^{{(\tau )}} = \frac{{{{\alpha }_{\tau }}}}{{|\square \backslash G(x){\text{|}}}}\int\limits_{\partial G(x)} {{\tau }_{i}}{{\tau }_{j}}ds.$

Рассматриваются слабые решения начально-краевой задачи (7), т.е. функции

$\begin{gathered} {{u}_{0}}(x,s) \in {\mathbf{L}}_{{2,w}}^{{loc}}({{\mathbb{R}}_{ + }};{\mathbf{V}}) \cap {\mathbf{L}}_{{\infty ,*w}}^{{loc}}({{\mathbb{R}}_{ + }};{\mathbf{H}}) \cap \\ \, \cap \left\{ {{v}:\frac{{\partial {{u}_{\varepsilon }}}}{{\partial t}} \in {\mathbf{L}}_{{2,w}}^{{loc}}\left( {{{\mathbb{R}}_{ + }};{\mathbf{V}}{\kern 1pt} '} \right)} \right\}, \\ \end{gathered} $
которые удовлетворяют интегральному тождеству начально-краевой задачи (7) для любых функций $\psi \in {\mathbf{C}}_{0}^{\infty }({{\mathbb{R}}_{ + }};{\mathbf{V}})$.

Теоремы существования и единственности для такой задачи см. в [14]. Их доказательство опирается на методы, которые использовала О.А. Ладыженская в своих пионерских работах по двумерной системе Навье–Стокса.

Задача (7) имеет траекторный аттрактор в пространстве траекторий , соответствующем задаче (7), причем

где – ядро задачи (7) в ${{\mathcal{F}}^{b}}$.

Сформулируем основную теорему об усреднении аттракторов системы уравнений Навье–Стокса.

Теорема 3.1. В топологическом пространстве $\Theta _{ + }^{{loc}}$ справедливо предельное соотношение

(8)

Кроме того

(9)

Доказательство теоремы опирается на доказательство сходимости продолженных решений (см. теоремы 2.4 и 2.5 из работы [14]).

Список литературы

  1. Chepyzhov V.V., Vishik M.I. Non-autonomous 2D Navier–Stokes system with singularly oscillating external force and its global attractor // J. Dyn. Diff. Eqns. 2007. V. 19. P. 655–684.

  2. Chepyzhov V.V., Vishik M.I. Evolution equations and their trajectory attractors // J. Math. Pures Appl. 1997. V. 76. № 10. P. 913–964.

  3. Самохин В.Н., Фадеева Г.М., Чечкин Г.А. Уравнения пограничного слоя для модифицированной системы Навье–Стокса // Труды семинара им. И.Г. Петровского. Вып. 28. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2011. С. 329–361.

  4. Chechkin G.A., Chechkina T.P., Ratiu T.S., Romanov M.S. Nematodynamics and Random Homogenization // Applicable Analysis. 2016. V. 95. № 10. P. 2243–2253.

  5. Бекмаганбетов К.А., Чечкин Г.А., Чепыжов В.В. Сильная сходимость аттракторов системы реакции–диффузии с быстро осциллирующими членами в ортотропной пористой среде // Известия РАН. 2022. Т. 86. № 6. С. 3–34.

  6. Bekmaganbetov K.A., Chechkin G.A., Chepyzhov V.V. “Strange Term” in Homogenization of Attractors of Reaction–Diffusion Equation in Perforated Domain // Chaos, Solitons & Fractals. 2020. V. 140. Art. No 110208.

  7. Бекмаганбетов К.А., Толеубай А.М., Чечкин Г.А. Об аттракторах системы уравнений Навье–Стокса в двумерной пористой среде // Проблемы математического анализа. 2022. Т. 115. С. 15–28.

  8. Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. М.: Наука, 1989.

  9. Chepyzhov V.V., Vishik M.I. Attractors for equations of mathematical physics. Providence (RI): Amer. Math. Soc., 2002.

  10. Temam R. Navier–Stokes equations: Theory and numerical analysis. Amsterdam–New York–Oxford: North Holland, 1979.

  11. Temam R. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. Applied Mathematics Series. V. 68. New York (NY): Springer-Verlag, 1988.

  12. Conca C. Mathematical modeling of the steam-water condensation in a condenser. Large-scale computations in fluid mechanics, Part 1 (La Jolla, Calif., 1983), 87–98, Lectures in Appl. Math., 22-1, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1985.

  13. Conca C. Numerical results on the homogenization of Stokes and Navier-Stokes equations modeling a class of problems from fluid mechanics // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 1985. V. 53. № 3. P. 223–258.

  14. Conca C. On the application of the homogenization theory to a class of problems arising in fluid mechanics. // J. Math. Pures Appl. 1985. V. 64 (9). № 1. P. 31–75.

  15. Беляев А.Г., Пятницкий А.Л., Чечкин Г.А. Усреднение в перфорированной области с осциллирующим третьим краевым условием // Математический сборник. 2001. Т. 192. № 7. С. 3–20.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления