Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2023, T. 512, № 1, стр. 47-51

1. ВВЕДЕНИЕ

В работе обсуждаются интегральные свойства обобщенных решений неоднородного уравнения p-Лапласа, где p > 1, решений задачи Зарембы в плоской модельной области $D \subset {{\mathbb{R}}^{2}}$ такой, что $D = \{ (x,y)\;:\;0 < x < 1,\;0 < y < 1\} $. Для постановки задачи Зарембы введем соболевское пространство функций $W_{p}^{1}(D,F)$. Здесь $F \subset \partial D$ – замкнутое множество, $W_{p}^{1}(D,F)$ – пополнение бесконечно дифференцируемых в замыкании D функций, равных нулю в окрестности F, по норме

Априори для функций $v \in W_{p}^{1}(D,F)$ предполагается выполненным неравенство Фридрихса

о котором будет сказано ниже. Полагая G = $\partial D{{\backslash }}F$, рассмотрим задачу Зарембы где $\frac{{\partial u}}{{\partial n}}$ означает внешнюю нормальную производную функции $u$, а $l$ является линейным функционалом в пространстве, сопряженном к $W_{p}^{1}(D,F)$.

Под решением задачи (1.2) понимается функция $u \in W_{p}^{1}(D,F)$, для которой выполнено интегральное тождество

для всех пробных функций $\varphi \in W_{p}^{1}(D,F)$.

В силу неравенства Фридрихса (1.1) пространство $W_{p}^{1}(D,F)$ можно снабдить нормой, в которой присутствует только градиент. Используя теорему Хана-Банаха, нетрудно показать, что функционал $l$ можно записать в виде

где ${{f}_{i}} \in {{L}_{{p{\kern 1pt} '}}}(D)$, $p{\kern 1pt} ' = p{\text{/}}(p - 1)$. Поэтому в силу (1.3) для каждого конкретного функционала решение задачи (1.2) можно понимать в смысле интегрального соотношения для всех пробных функций $\varphi \in W_{p}^{1}(D,F)$, в котором компоненты вектор-функции $f = ({{f}_{1}},{{f}_{2}})$ являются функциями из ${{L}_{{p{\kern 1pt} '}}}(D)$.

С помощью методов теории монотонных операторов устанавливается, что задача (1.2) однозначно разрешима в соболевском пространстве функций $W_{p}^{1}(D,F)$ (см., например, теорему 2.1 из второго раздела главы 2 монографии [1]).

Нас интересует вопрос о повышенной суммируемости градиента решений задачи (1.2) в предположении, что $f \in {{L}_{{p{\kern 1pt} ' + \delta }}}(D)$, где $\delta > 0$.

Повышенная суммируемость градиента решений линейных дивергентных равномерно эллиптических уравнений с измеримыми коэффициентами на плоскости восходит к работе [2]. Позже в многомерном случае для уравнений такого же вида аналогичный результат для решения задачи Дирихле в области с достаточно регулярной границей установлен в [3]. Оценки повышенной суммируемости градиента решений задачи Зарембы в ограниченной липшицевой области для линейных эллиптических уравнений второго порядка можно найти в работах [4, 5] и [6]. В работе [7] рассматривается также задача Зарембы и обсуждается вопрос повышенной суммируемости градиента решения уравнения $p(x)$-Лапласа для одного частного случая.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Ниже предполагается, что открытое на $\partial D$ множество $G$, на котором задано однородное условие Неймана (см. (1.2)), принадлежит части границы $\Gamma = \{ (x,y): 0 \leqslant x \leqslant 1, y = 0\} $ области $D$. Таким образом, замкнутое множество $F$, являющееся носителем однородного условия Дирихле, можно представить в виде объединения двух замкнутых множеств. А именно,

Нас не интересует тривиальный случай, когда множество ${{F}_{1}}$ пусто. В задачах теории усреднения интересна ситуация быстрой смены краевых условий Дирихле и Неймана на части границы $\Gamma $, о чем будет сказано ниже. Поэтому нам понадобится условие на структуру множества ${{F}_{1}}$. Определим для компакта $K \subset {{\mathbb{R}}^{2}}$ емкость ${{C}_{q}}(K)$, которая при $1 < q < 2$ определяется равенством

Ниже $B_{r}^{{{{x}_{0}}}}$ означает открытый круг радиуса $r$ с центром в точке ${{x}_{0}}$. Сформулируем ограничение на множество ${{F}_{1}}$.

A. Если $1 < p \leqslant 2$, то при $q = (p + 1){\text{/}}2$ предполагается выполнение следующего условия: для произвольной точки ${{x}_{0}} \in {{F}_{1}}$ при $r \leqslant 1$ справедливо неравенство

в котором положительная постоянная ${{c}_{0}}$ не зависит от ${{x}_{0}}$ и $r$.

B. Если $p > 2$, то предполагается, что множество ${{F}_{1}}$ не пусто: ${{F}_{1}} \ne \emptyset $.

В частности, условие (2.3) при $q = 3{\text{/}}2$ выполнено для классического канторовского множества ${{F}_{1}}$ на отрезке [0, 1], а при $1 < q < 3{\text{/}}2$ для канторового множества ${{F}_{1}}$ на [0, 1], также имеющего нулевую линейную меру $me{{s}_{1}}({{F}_{1}})$. Построение таких канторовых множеств основано на результататах работы [8].

Отметим, что из условия $me{{s}_{1}}({{F}_{1}} \cap \overline B _{r}^{{{{x}_{0}}}}) \geqslant {{c}_{0}}r$, аналогичного (2.3), вытекает и само условие (2.3). Это следует из оценки предложения 4 [9, § 9.1]. Кроме того, поскольку $me{{s}_{1}}(F) > 0$, то неравенство Фридрихса (1.1) хорошо известно, что влечет однозначную разрешимость задачи (1.2).

Приведем пример быстрой смены однородных краевых условий Дирихле и Неймана на части границы $\Gamma $. Отрезок на оси абсцис [0, 1] разделим на равные чередующиеся отрезки длины $\varepsilon $, где $\varepsilon = \frac{1}{N}$, и объединение отрезков с четными (или нечетными) номерами обозначим через ${{F}_{1}}$. В этом случае условие (2.3) при $1 < p \leqslant 2$ выполнено с постоянной ${{c}_{0}}$, не зависящей от $\varepsilon $.

3. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 1. Если $f \in {{L}_{{p{\kern 1pt} ' + {{\delta }_{0}}}}}(D)$, где ${{\delta }_{0}} > 0$, то существует положительная постоянная $\delta < {{\delta }_{0}}$, зависящая только от ${{\delta }_{0}}$ и $p$, такая, что для решения задачи (1.2) справедлива оценка

в которой константа C зависит только от $p$, ${{\delta }_{0}}$ и величины ${{c}_{0}}$ из (2.8) при $1 < p \leqslant 2$. При $p > 2$ постоянная $C$ зависит только от $p$ и ${{\delta }_{0}}$.

Доказательство. Ниже $Q_{r}^{{{{x}_{0}}}}$ означает открытый квадрат с центром в точке ${{x}_{0}}$ со сторонами длиной $2r$, параллельными координатным осям, а ${\text{|}}Q_{r}^{{{{x}_{0}}}}{\text{|}}$ – мера данного квадрата и полагается

Продолжим решение $u$ задачи (1.2) четно относительно оси абсцисс, оставив за продолжением предыдущее обозначение, и положим

Продолженная функция $u$ является решением задачи Дирихле

Компоненты вектор-функции $\tilde {f}\, = \,({{\tilde {f}}_{1}},{{\tilde {f}}_{2}})$, участвующей в представлении функционала ${{l}_{{\widetilde f}}}$ (см. (1.4)), определяются равенствами: $\widetilde f = f$ в $D$ и $\widetilde f(x,y) = ({{f}_{1}}(x, - y), - {{f}_{2}}(x, - y))$ в $\widetilde D{{\backslash }}(D \cup {{F}_{1}})$. Далее полагаем $u = 0$ и $\tilde {f} = 0$ вне области $\widetilde D$. Ясно, что продолженная нулем функция $u$ принадлежит соболевскому пространству $W_{p}^{1}({{\mathbb{R}}^{2}})$.

Следующий шаг – доказательство обратного неравенства Гёльдера для градиента $u$ решения задачи (3.10), которое удовлетворяет интегральному тождеству

на всех пробных функциях $\varphi \in W_{p}^{1}(\tilde {D})$ с нулевым следом на $\partial \widetilde D$.

Сначала рассмотрим случай, когда $Q_{{\frac{{3R}}{4}}}^{{{{x}_{0}}}} \subset \widetilde D$ и выберем в интегральном тождестве (3.3) пробную функцию $\varphi = (u - \lambda ){{\eta }^{p}}$, где

а срезающая функция $\eta \in C_{0}^{\infty }(Q_{{\frac{{3R}}{4}}}^{{{{x}_{0}}}})$ такова, что $0 < \eta < 1$, $\eta = 1$ в $Q_{{\frac{R}{2}}}^{{{{x}_{0}}}}$ и ${\text{|}}\nabla \eta {\text{|}} \leqslant C{{R}^{{ - 1}}}$. В результате получим

Из выбора срезающей функции $\eta $ и неравенства Юнга, примененного к подынтегральным выражениям в правой части данного равенства, получим

Пользуясь здесь неравенством Пуанкаре–Соболева

где $q = (p + 1){\text{/}}2$ при $1 < p \leqslant 2$ и $q = (p + 2){\text{/}}2$ при $p > 2$, найдем где $C = C(p)$. Пусть теперь ${{x}_{0}}$ принадлежит замыканию $\widetilde D$ и $Q_{{\frac{{3R}}{4}}}^{{{{x}_{0}}}} \cap \partial \widetilde D \ne \emptyset $. Выберем в интегральном тождестве (3.3) пробную функцию $\varphi = u{{\eta }^{p}}$ с такой же срезающей функцией $\eta $, что и ранее. В результате получаем оценку (3.4) c $\lambda = 0$, в силу которой

Перейдем к оценке первого интеграла в правой части (3.6). Сначала рассмотрим случай, когда $Q_{{\frac{{3R}}{4}}}^{{{{x}_{0}}}}\, \cap \,{{F}_{1}}\, \ne \,\emptyset $. Тогда найдется точка ${{z}_{0}}\, \in \,Q_{{\frac{{3R}}{4}}}^{{{{x}_{0}}}}\, \cap \,{{F}_{1}}$ такая, что $\overline {B_{{\frac{r}{8}}}^{{{{z}_{0}}}}} \in Q_{R}^{{{{x}_{0}}}}$. Пусть сначала $1 < p \leqslant 2$, выполнено условие (2.8) и $q = (p + 1){\text{/}}2$. Поскольку функция $u$ продолжена нулем вне области $\widetilde D$, то при выполнении условия (2.8) справедливо неравенство В.Г. Мазьи теоремы [9, § 10.1]

с постоянной $C$, зависящей только от p и ${{c}_{0}}$. Если $p > 2$, множество ${{F}_{1}}$ не пусто и $q = (p + 2){\text{/}}2$, то нужно воспользоваться определением внутреннего (кубического) диаметра открытого множества (см. [9, конец § 10.2]) и воспользоваться теоремой 1 из § 10.2.3 монографии [9]. В результате вновь придем к оценке (3.7) с постоянной $C$, зависящей только от $p$.

Осталось предположить, что $Q_{{\frac{{3R}}{4}}}^{{{{x}_{0}}}}\, \cap \,(\partial \widetilde D{{\backslash }}{{F}_{1}})\, \ne \,\emptyset $. Тогда для двумерной меры Лебега ${{L}_{R}}$ множества $Q_{R}^{{{{x}_{0}}}} \cap ({{\mathbb{R}}^{2}}{{\backslash }}\widetilde D)$ справедлива оценка ${{L}_{R}} \geqslant C{{R}^{2}}$. Поскольку $u = 0$ вне $\widetilde D$, то хорошо известно, что неравенство (3.7) с постоянной $C = C(p)$ выполнено и в этом случае.

Таким образом, в силу (3.6) и (3.7) вновь приходим к (3.5). Ясно, что оценка (3.6) выполнена и для квадратов с центрами, лежащими вне $\widetilde D$. Итак, соотношение (3.5) имеет место для любых квадратов. Поскольку ${\text{|}}f{\text{|}} \in {{L}_{{p{\kern 1pt} ' + {{\delta }_{0}}}}}(D)$ и мы пользовались продолжением, сохраняющим норму, то по модифицированной лемме Геринга (см. [10], [11, гл. VII]) в каждом из рассматриваемых случаев относительно показателя $p$ существует положительная постоянная $\delta ({{\delta }_{0}},p) < \delta $ такая, что

где $C$ зависит только от $p$, ${{\delta }_{0}}$ и величины ${{c}_{0}}$ из (2.3) при $1 < p \leqslant 2$, а при $p > 2$ – только от p и ${{\delta }_{0}}$.

Теперь, исходя из энергетического неравенста для градиента решения задачи (1.2), которое вытекает из интегрального тождества (1.5) с пробной  функцией $\varphi = u$, приходим к искомой оценке (3.1). Теорема доказана.

Замечание 1. Отметим, что в настоящей работе использовался существенно модифицированный метод из [12].

4. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Если замкнутое множество $F$ носителя данных Дирихле задачи Зарембы (1.2) принадлежит только части границы $\Gamma = \{ (x,y): 0 \leqslant x \leqslant 1$, y = 0} области $D$, то, как нетрудно видеть (см. (2.6)), что $F = {{F}_{1}}$ и ${{F}_{2}} = \emptyset $. Теорема 1 справедлива и в этом случае. В отличие от приведенного доказательства здесь нужно пользоваться не только четным продолжением решения относительно оси абсцисс, но и четными продолжениями решения относительно трех остальных сторон квадрата, каковым является область $D$. Результат остается в силе и для произвольной ограниченной строго липшицевой области $D$. Главным отличием от приведенного доказательства будет использование техники локального распрямления границы области D. Задачу (1.2) можно рассмотреть и в $n$-мерном круговом ограниченном цилиндре, предполагая, что данные Неймана заданы только на одном из оснований цилиндра, а замкнутое множество ${{F}_{1}}$, принадлещащее этому основанию, имеет тот же смысл, что и выше. В этом случае емкость компакта из (2.7) определяется в ${{\mathbb{R}}^{n}}$ при $1\, < \,q\, < \,n$. При $p\, > \,n$ множество ${{F}_{1}}$ предполагается не пустым, а при $1\, < \,p\, \leqslant \,n$ требуется выполнение условия вида (2.8): ${{C}_{q}}({{F}_{1}}\, \cap \,\overline B _{r}^{{{{x}_{0}}}})\, \geqslant \,{{c}_{0}}{{r}^{{n - q}}}$, где $B_{r}^{{{{x}_{0}}}}$ означает открытый $n$-мерный шар радиуса $r$ с центром в ${{x}_{0}}$. Полагается $q = (p + 1){\text{/}}2$, если $p \in (1$, n/(n – 1)], а если $p \in (n{\text{/}}(n - 1),n]$, где $n > 2$, то $q = np{\text{/}}(n + p)$.