Акустический журнал, 2021, T. 67, № 5, стр. 467-474

ВВЕДЕНИЕ

Исследование волнового процесса в упругих оболочках имеет широкое применение в различных областях науки и техники. Распространение волн деформации в упругих и вязкоупругих оболочках рассмотренo в [1–5]. В этих работах не рассматривается случай взаимодействия оболочек с вязкой несжимаемой жидкостью. В [6–8] исследованы гидроупругие колебания оболочек, взаимодействующих с идеальной жидкостью. В [9, 10] рассмотрено взаимодействие оболочки с вязкой несжимаемой жидкостью без учета волновых явлений, не исследовано также влияние локальных инерционных членов. Исследование взаимодействия упругой оболочки с вязкой несжимаемой жидкостью с учетом волновых явлений и влияния локальных членов инерции движения жидкости проведено в [11]. Исследование волновых явлений для соосных упругих оболочек с вязкой несжимаемой жидкостью между ними проведено в [12].

Методами качественного анализа в случае заполнения оболочки вязкой несжимаемой жидкостью затруднительно исследовать модели волн деформаций [11, 12]. Это приводит к необходимости применения численных методов [13].

В данной статье методом возмущений по малому параметру задачи получены математические модели волнового процесса в бесконечно длинных физически нелинейных соосных цилиндрических упругих оболочках. Они отличаются от известных учетом наличия несжимаемой вязкой жидкости как между оболочками, так и во внутренней оболочке. Эти модели рассмотрены на основе связанных задач гидроупругости в виде системы обобщенных модифицированных уравнений Кортевега–де Вриза (МКдВ). Выявлены эффекты влияния несжимаемой вязкой жидкости между оболочками на поведение волны деформаций в соосных оболочках. Наличие волны деформаций во внешней оболочке приводит к возникновению волны деформаций во внутренней оболочке, которой не было в начальный момент времени. В результате происходит “перекачка энергии” (через слой жидкости) от внешней оболочки к внутренней, сопровождающаяся немонотонным падением амплитуды волны во внешней оболочке и, как следствие, немонотонным снижением скорости ее распространения. При этом во внутренней оболочке происходит немонотонное увеличение амплитуды. С течением времени, вследствие осцилляций скорости и амплитуды волн выравниваются. Наличие жидкости во внутренней оболочке приводит к уменьшению скорости и падению амплитуд волн в обеих оболочках.

Численное исследование модели, построенной в ходе данной работы, проводится с использованием разностной схемы, аналогичной схеме Кранка–Николсона в случае уравнения теплопроводности [13].

ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ И РАЗРЕШАЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК

Рассмотрим две бесконечно длинные осесимметричные соосные упругие цилиндрические оболочки (рис. 1). Введем обозначения: R₁ – радиус внутренней поверхности внешней оболочки; R₂ – радиус внешней поверхности внутренней оболочки; R₃ – радиус внутренней поверхности внутренней оболочки; $\delta $ – толщина слоя жидкости при кольцевом сечении трубы; R⁽ⁱ⁾ – радиусы срединных поверхностей; $h_{0}^{{(i)}}$– толщины оболочки (i =1 для внешней, i = 2 для внутренней оболочек).

Деформационная теория пластичности А.А. Ильюшина [14] связывает компоненты тензора напряжений ${{\sigma }_{x}}$, ${{\sigma }_{\Theta }}$ с компонентами тензора деформаций ${{\varepsilon }_{x}}$, ${{\varepsilon }_{\Theta }}$ и квадратом интенсивности деформаций ${{\varepsilon }_{и}}$ [15, 16]:

где E – модуль Юнга; m – константа материала, определяемая из опытов на растяжение или сжатие; ${{\mu }_{0}}$ – коэффициент Пуассона материала оболочки.

Запишем связь компонент деформаций с упругими перемещениями в виде [14]

где x – продольная координата вдоль срединной поверхности; z – нормальная координата в оболочке $\left( { - \frac{{h_{0}^{{(i)}}}}{2} \leqslant z \leqslant \frac{{h_{0}^{{(i)}}}}{2}} \right)$; ${{U}^{{(i)}}}$ – продольное упругое перемещение оболочки по оси $x$; ${{W}^{{(i)}}}$ – прогиб оболочки, положительный к центру кривизны.

Определим усилия в срединной поверхности оболочки и момент по следующим формулам

Уравнения динамики для оболочек запишем аналогично [16]

где t – время; r, x – цилиндрические координаты; $\rho _{0}^{{}}$ – плотность материала оболочки; $q_{x}^{{(i)}}$, q_n – напряжения со стороны жидкости, находящейся внутри кольцевого сечения, ${{\tilde {q}}_{x}},$ ${{\tilde {q}}_{n}}$ – напряжения со стороны жидкости,находящейся во внутренней оболочке.

Подставляя (1)–(3) в (4), получим уравнения в перемещениях [16]

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ОБОЛОЧЕК С ЖИДКОСТЬЮ

Проводимые оценки в безразмерных переменных характеризуют рассматриваемые задачи. Для волновых задач оболочку считаем бесконечной. Для продольных волн в оболочке вводятся безразмерные переменные и безразмерные параметры. Принимаем длину волны за характерную длину $l$, а u_m, w_m – характерные значения упругих перемещений

Здесь ${{c}_{0}} = \sqrt {\frac{E}{{\rho \left( {1 - {{\mu }_{0}}} \right)}}} $ – скорость распространения продольных упругих волн в оболочке. Определим порядки малости переменных:

где $\varepsilon $ – малый параметр задачи. Введем независимые переменные в виде где $\tau $ – медленное время. Зависимые переменные представим в виде асимптотического разложения

Для первых членов асимптотического разложения (6) получим аналогично [11, 12] связь

и с учетом (7) систему разрешающих уравнений

Полученные уравнения есть обобщенные уравнения МКдВ для $\frac{{\partial u_{{10}}^{{(i)}}}}{{\partial \xi }}$. В случае отсутствия жидкости правые части уравнений равны нулю и получаются два несвязанных уравнения МКдВ. Правую часть уравнений (5), (8) необходимо определить из решения уравнений гидродинамики.

ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ОБОЛОЧКИ СО СТОРОНЫ ЖИДКОСТИ

Уравнение движения несжимаемой вязкой жидкости и уравнение неразрывности в цилиндрической системе координат $\left( {r,\Theta ,x} \right)$ в случае осесимметричного течения записываются в виде:

Здесь ${{V}_{r}}$, ${{V}_{x}}$ – проекции на оси цилиндрической системы координат вектора скорости; $p$ – давление в жидкости; $\rho $ – плотность жидкости; $\nu $ – кинематический коэффициент вязкости.

На границе оболочек и жидкости в кольцевом сечении на рис. 1 при $r = {{R}_{i}} - {{W}^{{(i)}}}$ выполняются условия прилипания жидкости

В круговом сечении на рис. 1 имеем при $r = {{R}_{3}} - {{W}^{{(2)}}}$

При r = 0 функции ${{V}_{r}}$, ${{V}_{x}}$ ограничены.

Напряжения со стороны слоя жидкости, снесенные на невозмущенную поверхность в кольцевом сечении, определяются формулами

Напряжения ${{\tilde {q}}_{x}}$, ${{\tilde {q}}_{n}}$ со стороны жидкости, которая находится во внутренней оболочке, определяются теми же формулами (12) при r = R₃, в которых $\tilde {\rho }$ – плотность жидкости, а $\tilde {\nu }$ – коэффициент кинематической вязкости.

Рассмотрим кольцевое сечение. Введем безразмерные переменные и параметры аналогично [9]

Разложим давление и компоненты скорости по степеням малого параметра $\lambda $:

С точностью до малых параметров $\psi $, $\lambda $ получаем

Используя прямое разложение по степеням малых параметров $\frac{\delta }{{{{R}_{2}}}}$ и $\lambda $ для первых членов разложения (14) из уравнений динамики жидкости (9) и граничных условий (10), получим задачу для уравнения теории смазки с учетом локального члена инерции. Решение уравнения теории смазки методом итерации с его обоснованием найдено в [12, 17]. В этих работах получено выражение $q_{x}^{{\left( i \right)}} = {{\mu }_{0}}\frac{R}{l}\frac{{\partial {{q}_{n}}}}{{\partial \xi }}\left( {i - 1} \right)$.

Рассмотрим круговое сечение. Введем безразмерные переменные и параметры аналогично [11]:

Раскладывая давление и компоненты скорости по степеням малого параметра $\tilde {\lambda }$, получим

С точностью до $\tilde {\lambda }$, $\tilde {\psi }$ имеем

Аналогично предыдущему, используя прямое разложение по степеням $\tilde {\psi }$, $\tilde {\lambda }$ для первых членов разложения (16) из уравнений динамики жидкости (9) и граничных условий (11), получим краевую задачу для уравнения теории смазки с учетом инерции движения жидкости. Решение уравнения теории смазки методом итерации с его обоснованием найдено в [11, 17]. В этих работах получено выражение ${{\tilde {q}}_{x}} = {{\mu }_{0}}\frac{R}{l}\frac{{\partial {{{\tilde {q}}}_{n}}}}{{\partial \xi }}$.

УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ СООСНЫХ ОБОЛОЧЕК

Система уравнений (5), с учетом найденных выше правых частей, приобретает вид

Введем обозначения $u_{{10\xi }}^{{(1)}} = {{c}_{3}}{{\phi }^{{(1)}}}$, $u_{{10\xi }}^{{(2)}} = {{c}_{3}}{{\phi }^{{(2)}}}$, $\eta = {{c}_{1}}\xi $, $t = {{c}_{2}}\tau $, где

Обозначим также

и получим из (17)–(19) систему уравнений

Система уравнений (20) при ${{\sigma }_{2}} = {{\sigma }_{3}} = 0$ (отсутствие жидкости во внутренней оболочке) имеет следующее точное решение,

которое при t = 0 можно использовать в качестве начального условия.

Рассмотрим случай, когда возмущение присутствует во внешней оболочке и отсутствует во внутренней в начальный момент времени. Эта задача требует численного решения уравнений (20) с начальными условиями вида

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Для численного моделирования рассмотрим разностную схему для уравнений (20), аналогичную схеме Кранка–Николсона для уравнения теплопроводности [13]. Графики для численного решения уравнений (20) представлены на рис. 2–4. Проведенные вычислительные эксперименты позволили оценить влияние вязкой несжимаемой жидкости во внутренней оболочке на поведение нелинейной волны деформации с учетом силы трения и инерции движения жидкости. Во всех случаях k = 0.2.

Согласно рис. 2, поведение волны совпадает с поведением точного решения (21). Это означает эквивалентность разностной схемы и разрешающих уравнений динамики. Движение профиля волны происходит в отрицательном направлении, следовательно, скорость волны дозвуковая.

Согласно рис. 3, инерция движения жидкости во внутренней оболочке (${{\sigma }_{3}}$) снижает скорость движения волны, а график смещается влево быстрее, чем в предыдущем случае (рис. 2). Это справедливо для оболочки из несжимаемого материала ${{\mu }_{0}} = \frac{1}{2}$, т.е. ${{\sigma }_{2}} = 0$, что свидетельствует об отсутствии влияния жидкостного трения во внутренней оболочке.

Согласно рис. 4, при наличии волны во внешней оболочке и отсутствии волны во внутренней оболочке в начальный момент времени, влияние силы трения (${{\sigma }_{2}}$) и инерции движения жидкости во внутренней оболочке (${{\sigma }_{3}}$) привело к следующему: во внутренней оболочке амплитуда волны увеличивалась от нуля до некоторого значения, меньшего, чем амплитуда волны во внешней оболочке, после этого амплитуда волны падает до значения, близкого к нулю. Во внешней оболочке амплитуда волны падает до значения, близкого к амплитуде волны во внутренней оболочке.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Уединенная продольная волна деформации в упругой оболочке может возникать за счет действия пьезоэлемента. Распространение таких волн в соосных упругих оболочках, взаимодействующих с вязкой несжимаемой жидкостью, является предметом настоящего исследования, которое сводится к решению системы двух обобщенных модифицированных уравнений Кортевега–де Вриза. При этом учитывались эффекты трения и инерции движения жидкости как между оболочками, так и во внутренней оболочке.

Численный эксперимент позволил учесть влияние всех факторов рассматриваемой задачи. Наличие жидкости между оболочками приводит к передаче энергии между ними. С течением времени при наличии волны во внешней оболочке и отсутствии волны во внутренней оболочке в начальный момент времени амплитуда волны уменьшается во внешней оболочке, а амплитуда волны во внутренней оболочке увеличивается от нуля до некоторого значения. Затем амплитуда волн в обеих оболочках уменьшается, и они асимптотически приближаются к нулю, при этом скорости волн также уменьшаются. Это происходит под действием трения и инерции движения жидкости во внутренней оболочке.

Полученные результаты являются новыми и показывают возможность использования нелинейных волн в оболочках для передачи информации на большие расстояния или для акустической диагностики трубопроводов.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 19-01-00014а.