Известия РАН. Механика твердого тела, 2023, № 5, стр. 79-88

ДИНАМИЧЕСКОЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ТОНКОГО КРУГЛОГО ИДЕАЛЬНО ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКОГО СЛОЯ

И. М. Цветков a*

a Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Москва, Россия

* E-mail: cvetkoviv@yandex.ru

Поступила в редакцию 30.08.2022
После доработки 11.11.2022
Принята к публикации 17.11.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматривается напряженно-деформированное состояние, возникающее при динамическом растяжении однородного круглого слоя из несжимаемого идеально жесткопластического материала, подчиняющегося критерию Мизеса–Генки. Верхнее и нижнее основания свободны от напряжений, на боковой границе задана радиальная скорость. Учитывается возможность утолщения либо утоньшения слоя, что моделирует шейкообразование и дальнейшее развитие шейки. Выявлено два характерных режима растяжения – один связан с достаточно большой скоростью удаления боковой границы слоя от центра, второй с ускорением. Во втором случае проведен анализ с использованием метода асимптотического интегрирования, позволяющий приближенно найти параметры напряженно-деформированного состояния.

Ключевые слова: идеальная пластичность, предел текучести, круглый слой, растяжение, шейка, квазистатика, динамика, скорость деформации, напряжение, асимптотические разложения

Интерес к динамическим задачам пластического течения возникает в самых разных областях [1, 2] – оптимизация быстрых производственных процессов, поведение грунтов при внезапных приложениях нагрузок, безопасность строений подверженных ударам или авариям. Локализация деформаций, шейкообразование – результат неустойчивости пластического течения и часто является предвестником разрушения конструкции.

В [3, 4] проведен анализ задач о динамическом растяжении идеально жесткопластических стержня и бесконечного листа в осесимметричной и плоской постановках соответственно. На основе метода асимптотического интегрирования, в случае когда ускорение торцов достаточно высоко, получены приближенно параметры напряженно-деформированного состояния, в том числе аппроксимация границы области квадратичным трехчленом.

Настоящая работа посвящена задаче об осесимметричном растяжении идеально жесткопластического слоя. С использованием метода асимптотического интегрирования, показано, что при переходе от квазистатики к динамическому деформированию прослеживается два характерных сценария растяжения. Каждый из них связан с достижением некоторой безразмерной функцией времени определенного порядка малости по отношению к малому геометрическому параметру, характеризующую форму слоя. Одна из этих функций представляет собой обратное число Эйлера, другая зависит от ускорения, с которым боковая поверхность удаляется от центра. При реализации режима связанного с достижением ускорения своих критических значений, приближенно вычислены параметры напряженно-деформированного состояния, в частности получена аппроксимация формы границы слоя, позволяющая моделировать шейкообразование.

1. Постановка задачи о динамическом растяжении круглого слоя. Рассмотрим деформирование во времени круглого слоя из однородного несжимаемого идеально жесткопластического материала, подчиняющегося критерию пластичности Мизеса–Генки с плотностью $\rho $ и пределом текучести ${{\sigma }_{s}}$. Область ${{\Omega }_{t}}$ в ${{\mathbb{R}}^{3}}$, занятая слоем в момент $t$, симметрична относительно оси z, имеет неизменный во времени объем ${\text{|}}\Omega {\text{|}}$ и в цилиндрической системе координат, связанной с осью симметрии слоя, имеет вид

(1.1)
${{\Omega }_{t}} = \left\{ {(r,\theta ,z)\,{\text{|}}\,0 \leqslant r \leqslant R(t),\,0 \leqslant \theta < 2\pi ,\, - h(t,r) \leqslant z \leqslant h(t,r)} \right\}$
(1.2)
${\text{|}}\Omega {\text{|}} = 4\pi \int\limits_0^{R(t)} rh(t,r)dr = 2\pi {{R}^{2}}(t)h{\kern 1pt} *(t)$

Средняя высота слоя h* определяется в (1.2) таким образом, чтобы объем слоя цилиндрической формы радиуса $R(t)$ и высоты 2h*(t) равнялся ${\text{|}}\Omega {\text{|}}$.

Верхнее и нижнее основания слоя $z = \pm h(r,t)$ свободны от напряжений, а на боковой поверхности $r = R(t)$ задана радиальная скорость:

(1.3)
$r = R(t){\kern 1pt} :\;{{{v}}_{r}} = V(t),\;V(t) > 0$

Итак, рассматривается растяжение слоя с заданной кинематикой движения его боковой поверхности. Функции $R(t)$ и h*(t) являются соответственно монотонно возрастающей и монотонно убывающей. Ограничимся рассмотрением поля вектора скорости следующего вида: ${v}\left( {x,t} \right) = ({{{v}}_{r}}(r,z,t),0,{{{v}}_{z}}(r,z,t))$. Это порождает тензор скоростей деформации ${\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{v} }$ с ненулевыми компонентами, где запятая в индексе обозначает дифференцирование по соответствующей переменной

(1.4)
${{{v}}_{{rr}}} = {{{v}}_{{r,r}}},\quad {{{v}}_{{\theta \theta }}} = \frac{{{{{v}}_{r}}}}{r},\quad {{{v}}_{{zz}}} = {{{v}}_{{z,z}}},\quad {{{v}}_{{rz}}} = \frac{1}{2}({{{v}}_{{r,z}}} + {{{v}}_{{z,r}}})$

В силу несжимаемости tr${\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{v} }$ = 0.

Представим симметричный тензор напряжений $\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{\sigma } ({\mathbf{x}},t)$ как сумму шаровой и девиаторной частей: $\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{\sigma } = - p\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{I} + \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{s} $, где p – давление, $\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{I} $ – единичный тензор второго ранга, tr$\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{s} $ = 0. Определим интенсивности скоростей деформаций ${{{v}}_{u}}$ и напряжений ${{\sigma }_{u}}$:

(1.5)
${{{v}}_{u}} = \sqrt {{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{v} }:{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{v} }} ,\quad {{\sigma }_{u}} = \sqrt {\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{s} :\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{s} } $

Векторные определяющие соотношения идеально жесткопластической среды

(1.6)
${{{v}}_{u}}\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{s} = {{\sigma }_{u}}{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{v} }$
тензорно линейны, следовательно ненулевыми у девиатора $\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{s} $ будут те же компоненты, что и у тензора ${\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\thicksim}$}}{v} }$. Выражая ${{s}_{{\theta \theta }}} = - {{s}_{{rr}}} - {{s}_{{zz}}}$, оставим у девиатора независимыми компоненты ${{s}_{{rr}}}$, ${{s}_{{rz}}}$, ${{s}_{{zz}}}$. Тогда определяющее соотношение ${{\sigma }_{u}} = {{\sigma }_{s}}$, являющееся условием пластичности Мизеса–Генки, запишется следующим образом:

(1.7)
$s_{{rr}}^{2} + s_{{zz}}^{2} + {{s}_{{rr}}}{{s}_{{zz}}} + s_{{rz}}^{2} = \tau _{s}^{2}$

Исключая интенсивности ${{\sigma }_{u}}$ и ${{{v}}_{u}}$, из соотношений (1.6) можно образовать независимые пропорции ${{s}_{{rr}}}{{{v}}_{{zz}}} = {{s}_{{zz}}}{{{v}}_{{rr}}}$, ${{s}_{{rz}}}{{{v}}_{{rr}}} = {{s}_{{rr}}}{{{v}}_{{rz}}}$, которые с учетом связей (1.4) преобразуются к виду:

(1.8)
${{s}_{{rr}}}{{{v}}_{{z,z}}} = {{s}_{{zz}}}{{{v}}_{{r,r}}},\quad {{s}_{{rr}}}({{{v}}_{{r,z}}} + {{{v}}_{{z,r}}}) = 2{{s}_{{rz}}}{{{v}}_{{r,r}}}$

Выпишем условие несжимаемости, а также два уравнения движения в осесимметричном случае:

(1.9)
${{{v}}_{{r,r}}} + \frac{{{{{v}}_{r}}}}{r} + {{{v}}_{{z,z}}} = 0$
(1.10)
$ - {{p}_{{,r}}} + {{s}_{{rr,r}}} + {{s}_{{rz,z}}} + \frac{1}{r}(2{{s}_{{rr}}} + {{s}_{{zz}}}) = \rho ({{{v}}_{{r,t}}} + {{{v}}_{r}}{{{v}}_{{r,r}}} + {{{v}}_{z}}{{{v}}_{{r,z}}})$
(1.11)
$ - {{p}_{{,z}}} + {{s}_{{rz,r}}} + {{s}_{{zz,z}}} + \frac{{{{s}_{{rz}}}}}{r} = \rho ({{{v}}_{{z,t}}} + {{{v}}_{r}}{{{v}}_{{z,r}}} + {{{v}}_{z}}{{{v}}_{{z,z}}})$

Нелинейная система шести уравнений (1.7)–(1.11) замкнута относительно шести функций ${{{v}}_{r}}$, ${{{v}}_{z}}$, p, ${{s}_{{rr}}}$, ${{s}_{{rz}}}$, ${{s}_{{zz}}}$ зависящих от $r,\;z$ и $t$ в области ${{\Omega }_{t}}$ с заранее неизвестной частью границы $z = \pm h(r,t)$, которая характеризуется нормалью n:

${{n}_{r}} = - \frac{{\partial h{\text{/}}\partial r}}{{\sqrt {1 + {{{(\partial h{\text{/}}\partial r)}}^{2}}} }},\quad {{n}_{z}} = \pm \frac{1}{{\sqrt {1 + {{{(\partial h{\text{/}}\partial r)}}^{2}}} }}$

На этих частях границы выполнены условия равенства нулю двух компонент вектора напряжений:

(1.12)
$z = \pm h(r,t){\kern 1pt} :\;(p - {{s}_{{rr}}})\frac{{\partial h}}{{\partial r}} \pm {{s}_{{rz}}} = 0,\quad - {\kern 1pt} {{s}_{{rz}}}\frac{{\partial h}}{{\partial r}} \pm ( - p + {{s}_{{zz}}}) = 0$

Также, выполняется кинематическое граничное условие на боковой границе слоя (1.3).

Для строгой постановки начально краевой задачи, рассматриваемой при $t > 0$, необходимо задать функцию $h(r,0) \equiv {{h}_{0}}(r)$, $0 \leqslant r < {{r}_{0}}$, удовлетворяющую интегральному условию

$\frac{{{\text{|}}\Omega {\text{|}}}}{{4\pi }} = \int\limits_0^{{{r}_{0}}} r{{h}_{0}}(r)dr$

Из симметричности области $\Omega $ вытекает, что функции ${{s}_{{rz}}}$, ${{{v}}_{z}}$ антисимметричны по z.

2. Квазистатический режим растяжения. Квазистатическая постановка задачи о растяжении идеально жесткопластического слоя отличается от динамической тем, что в правых частях уравнений (1.10), (1.11) стоят нули, т.е. время $t$ становится параметром, входящим в решения неявно через V, $h$ и $R$. Уравнения (1.10) и (1.11) превращаются в уравнения равновесия.

Аналитическое решение квазистатической задачи несложно получить, если в начальный момент времени слой имел цилиндрическую форму, т.е. $h_{0}^{*} = {\text{const}}$. Будем обозначать параметры этого решения верхним индексом “qs”. Имеем:

(2.1)
${v}_{r}^{{qs}} = \frac{{Vr}}{R},\quad {v}_{z}^{{qs}} = - 2\frac{{Vz}}{R}$
(2.2)
$s_{{rz}}^{{qs}} = 0,\quad s_{{rr}}^{{qs}} = s_{{\theta \theta }}^{{qs}} = \frac{{{{\tau }_{s}}}}{{\sqrt 3 }},\quad s_{{zz}}^{{qs}} = {{p}^{{qs}}} = - \frac{{2{{\tau }_{s}}}}{{\sqrt 3 }}$

Напряженное состояние (2.2) однородно и не зависит от заданной скорости V.

Интегрируя задачу Коши

$\frac{{dr}}{{dt}} = {v}_{r}^{{qs}}(r),\quad \frac{{dz}}{{dt}} = {v}_{z}^{{qs}}(z);\quad r{{{\text{|}}}_{{t = 0}}} = {{r}_{0}},\quad z{{{\text{|}}}_{{t = 0}}} = {{z}_{0}}$
найдем лагранжев закон движения частиц (при интегрировании полагаем, что V и $R$ постоянны):

${{r}^{{qs}}} = {{r}_{0}}\exp \left( {\frac{{Vt}}{R}} \right),\quad {{z}^{{qs}}} = {{z}_{0}}\exp \left( { - 2\frac{{Vt}}{R}} \right)$

Траектории частиц – семейство гипербол ${{r}^{2}}z = r_{0}^{2}{{z}_{0}}$. Независимость ${{r}^{{qs}}}$ от z0 и ${{z}^{{qs}}}$ от ${{r}_{0}}$ свидетельствует о том, что ${{\Omega }_{t}}$ представляет собой вытягивающийся со временем цилиндр.

Кинематика (2.1) обеспечивает отсутствие жестких зон в ${{\Omega }_{t}}$, так как согласно (1.4) и (1.5) ${v}_{u}^{{qs}} = \sqrt 6 \frac{V}{R} > 0$ во всех точках слоя.

Исследуем далее вопрос о том, при каких соотношениях безразмерных параметров системы (или на каких временах) выписанное выше квазистатическое приближение является главным и им можно ограничиться в технологических расчетах, а когда инерционные эффекты, вызванные слагаемыми в правых частях уравнений (1.10) и (1.11), начинают играть соизмеримую роль в распределении напряжений и движении точек слоя.

3. Асимптотическое разложение. Обратимся к динамическим уравнениям (1.10), (1.11) и образуем три явно зависящих от времени безразмерных параметра:

(3.1)
$\alpha (t) = \frac{{h{\kern 1pt} *(t)}}{{R(t)}} \ll 1,\quad {{\varepsilon }_{1}} = \frac{{\rho {{V}^{2}}(t)}}{{{{\tau }_{s}}}},\quad {{\varepsilon }_{2}} = \frac{{\rho \dot {V}(t)h{\kern 1pt} *(t)}}{{{{\tau }_{s}}}}$

Первый из них – малый геометрический параметр, второй – обратное число Эйлера. На разных интервалах процесса растяжения порядок малости $\alpha $ по отношению к ${{\varepsilon }_{1}}$ и ${{\varepsilon }_{2}}$ может меняться. От этого зависит вклад инерционных слагаемых в уравнениях движения.

Представим разложения шести неизвестных функций в виде регулярных асимтотических рядов по целым степеням малого асимптотического параметра $\alpha $ (в [3, 4] аналогичные по структуре разложения использовались при анализе растяжения осесимметричного стержня и бесконечного листа, в [5] разложения использовались в анализе задачи Прандтля):

${{{v}}_{r}}(r,z,t) = V(t)\sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{n}}(t){v}_{\xi }^{{\left\{ n \right\}}}(\xi ,\zeta ,\tau )$
(3.2)
${{{v}}_{z}}(r,z,t) = V(t)\sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{n}}(t){v}_{\zeta }^{{\left\{ n \right\}}}(\xi ,\zeta ,\tau )$
${{s}_{{(rr;rz;zz)}}}(r,z,t) = {{\tau }_{s}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{n}}(t)s_{{(\xi \xi ;\xi \zeta ;\zeta \zeta )}}^{{\left\{ n \right\}}}(\xi ,\zeta ,\tau )$
$p(r,z,t) = {{\tau }_{s}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{n}}(t){{p}^{{\left\{ n \right\}}}}(\xi ,\zeta ,\tau )$
(3.3)
$\xi = \frac{{\alpha (t)r}}{{h{\kern 1pt} *(t)}} = \frac{r}{{R(t)}},\quad \zeta = \frac{z}{{h{\kern 1pt} *(t)}},\quad \tau = \sqrt {\frac{{{{\tau }_{s}}}}{\rho }} \frac{t}{{h{\kern 1pt} *(t)}}$

Безразмерные коэффициенты рядов (3.2) (с верхними индексами) зависят от новых безразмерных координат $\xi $, $\zeta $ и безразмерного времени $\tau $. Область слоя ${{\Omega }_{t}}$ (1.1) в любой момент времени описывается неравенствами

(3.4)
${{\Omega }_{\tau }} = \left\{ {(\xi ,\theta ,\zeta )\,{\text{|}}\,0 \leqslant \xi \leqslant 1,\;0 \leqslant \theta < 2\pi ,\; - \eta (\xi ,\tau ) \leqslant \zeta \leqslant \eta (\xi ,\tau )} \right\}$
(3.5)
$\eta (\xi ,\tau ) = \frac{{h(r,t)}}{{h{\kern 1pt} {\text{*}}(t)}},\quad \int\limits_0^1 {\xi \eta (\xi ,\tau )d\xi } = \frac{1}{2},\quad \frac{{\partial h}}{{\partial r}} = \alpha \frac{{\partial \eta }}{{\partial \xi }}$

Отметим что порядок малости по α безразмерных производных $\partial h{\text{/}}\partial r$ и $\partial \eta {\text{/}}\partial \xi $ разный. Так как функция $\tau (t)$ монотонно возрастает, якобиан замены переменных $\partial (\xi ,\zeta ,\tau ){\text{/}}\partial (r,z,t)$ отличен от нуля, т.е. она невырождена.

Имеет место замена дифференциальных операторов:

(3.6)
$\frac{\partial }{{\partial r}} = \frac{1}{{R(t)}}\frac{\partial }{{\partial \xi }} = \frac{{\alpha (t)}}{{h{\kern 1pt} {\text{*}}(t)}}\frac{\partial }{{\partial \xi }},\quad \frac{\partial }{{\partial z}} = \frac{1}{{h{\kern 1pt} {\text{*}}(t)}}\frac{\partial }{{\partial \zeta }}$
(3.7)
$\frac{\partial }{{\partial t}} = - \frac{{V\xi }}{R}\frac{\partial }{{\partial \xi }} + \frac{{2V\zeta }}{R}\frac{\partial }{{\partial \zeta }} + \left( {\sqrt {\frac{{{{\tau }_{s}}}}{\rho }} \frac{1}{{h{\kern 1pt} {\text{*}}}} + \frac{{2V\tau }}{R}} \right)\frac{\partial }{{\partial \tau }}$

Из определения малого параметра (3.1) и средней высоты слоя (1.2) следуют кинетические соотношения:

(3.8)
$\dot {\alpha } = - \frac{{3\alpha V}}{R},\quad \dot {h}{\kern 1pt} * = - 2\frac{{h{\kern 1pt} {\text{*}}V}}{R}$

Подставим ряды (3.2) в пять уравнений (1.7)–(1.11) и граничные условия (1.3), (1.12). С учетом формул (3.5)–(3.8) получим систему, состоящую из уравнений движения (1.10), (1.11)

$\sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{n}}\left( { - \alpha p_{{,\xi }}^{{\left\{ n \right\}}} + \alpha s_{{\xi \xi ,\xi }}^{{\left\{ n \right\}}} + s_{{\xi \zeta ,\zeta }}^{{\left\{ n \right\}}} + \frac{1}{\xi }(2\alpha s_{{\xi \xi }}^{{\left\{ n \right\}}} + \alpha s_{{\zeta \zeta }}^{{\left\{ n \right\}}})} \right) = $
(3.9)
$\, = {{\varepsilon }_{1}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{{n + 1}}}( - 3n{v}_{\xi }^{{\left\{ n \right\}}} - \xi {v}_{{\xi ,\xi }}^{{\left\{ n \right\}}} + 2\zeta {v}_{{\xi ,\zeta }}^{{\left\{ n \right\}}} + 2\tau {v}_{{\xi ,\tau }}^{{\left\{ n \right\}}}) + $
$\, + \sqrt {{{\varepsilon }_{1}}} \sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{n}}{v}_{{\xi ,\tau }}^{{\left\{ n \right\}}} + {{\varepsilon }_{1}}\alpha \sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{n}}\sum\limits_{j = 0}^n {v}_{\xi }^{{\left\{ j \right\}}}{v}_{{\xi ,\xi }}^{{\left\{ {n - j} \right\}}} + {{\varepsilon }_{1}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{n}}\sum\limits_{j = 0}^n {v}_{\zeta }^{{\left\{ j \right\}}}{v}_{{\xi ,\zeta }}^{{\left\{ {n - j} \right\}}} + {{\varepsilon }_{2}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{n}}{v}_{\xi }^{{\left\{ n \right\}}}$
$\sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{n}}( - p_{{,\zeta }}^{{\left\{ n \right\}}} + \alpha s_{{\xi \zeta ,\xi }}^{{\left\{ n \right\}}} + s_{{\zeta \zeta ,\zeta }}^{{\left\{ n \right\}}} + \frac{\alpha }{\xi }s_{{\xi \zeta }}^{{\left\{ n \right\}}}) = $
(3.10)
$\, = {{\varepsilon }_{1}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{{n + 1}}}( - 3n{v}_{\zeta }^{{\left\{ n \right\}}} - \xi {v}_{{\zeta ,\xi }}^{{\left\{ n \right\}}} + 2\zeta {v}_{{\zeta ,\zeta }}^{{\left\{ n \right\}}} + 2\tau {v}_{{\zeta ,\tau }}^{{\left\{ n \right\}}}) + $
$\, + \sqrt {{{\varepsilon }_{1}}} \sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{n}}{v}_{{\zeta ,\tau }}^{{\left\{ n \right\}}} + {{\varepsilon }_{1}}\alpha \sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{n}}\sum\limits_{j = 0}^n {v}_{\xi }^{{\left\{ j \right\}}}{v}_{{\zeta ,\xi }}^{{\left\{ {n - j} \right\}}} + {{\varepsilon }_{1}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{n}}\sum\limits_{j = 0}^n {v}_{\zeta }^{{\left\{ j \right\}}}{v}_{{\zeta ,\zeta }}^{{\left\{ {n - j} \right\}}} + {{\varepsilon }_{2}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{n}}{v}_{\zeta }^{{\left\{ n \right\}}}$
условия несжимаемости (1.9), которое в силу линейности, может быть записано в виде рекуррентной цепочки (коэффициенты с отрицательными индексами далее всюду считаются равными нулю)
(3.11)
$\sum\limits_{n = 0}^\infty \left( {{v}_{{\xi ,\xi }}^{{\left\{ {n - 1} \right\}}} + \frac{1}{\xi }{v}_{\xi }^{{\left\{ {n - 1} \right\}}} + {v}_{{\zeta ,\zeta }}^{{\left\{ n \right\}}}} \right){{\alpha }^{n}} = 0 \Leftrightarrow {v}_{{\xi ,\xi }}^{{\left\{ {n - 1} \right\}}} + \frac{1}{\xi }{v}_{\xi }^{{\left\{ {n - 1} \right\}}} + {v}_{{\zeta ,\zeta }}^{{\left\{ n \right\}}} = 0,\quad n \geqslant 0$
критерия Мизеса–Генки (1.7)
${{\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{n}}s_{{\xi \xi }}^{{\left\{ n \right\}}}} \right)}^{2}} + {{\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{n}}s_{{\zeta \zeta }}^{{\left\{ n \right\}}}} \right)}^{2}} + \left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{n}}s_{{\xi \xi }}^{{\left\{ n \right\}}}} \right)\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{n}}s_{{\zeta \zeta }}^{{\left\{ n \right\}}}} \right) + {{\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{n}}s_{{\xi \zeta }}^{{\left\{ n \right\}}}} \right)}^{2}} = 1$
(3.12)
$ \Leftrightarrow {{(s_{{\xi \xi }}^{{\left\{ 0 \right\}}})}^{2}} + {{(s_{{\zeta \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}})}^{2}} + s_{{\xi \xi }}^{{\left\{ 0 \right\}}}s_{{\zeta \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}} + {{(s_{{\xi \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}})}^{2}} = 1,$
$\sum\limits_{j = 0}^n (s_{{\xi \xi }}^{{\left\{ j \right\}}}s_{{\xi \xi }}^{{\left\{ {n - j} \right\}}} + s_{{\zeta \zeta }}^{{\left\{ j \right\}}}s_{{\zeta \zeta }}^{{\left\{ {n - j} \right\}}} + s_{{\xi \xi }}^{{\left\{ j \right\}}}s_{{\zeta \zeta }}^{{\left\{ {n - j} \right\}}} + s_{{\xi \zeta }}^{{\left\{ j \right\}}}s_{{\xi \zeta }}^{{\left\{ {n - j} \right\}}}) = 0,\quad n \geqslant 1$
условия соосности девиатора напряжений и тензора скоростей деформаций (1.8)

$\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{n}}s_{{\xi \xi }}^{{\left\{ n \right\}}}} \right)\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{n}}{v}_{{\zeta ,\zeta }}^{{\left\{ n \right\}}}} \right) = \left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{n}}s_{{\zeta \zeta }}^{{\left\{ n \right\}}}} \right)\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{{n + 1}}}{v}_{{\xi ,\xi }}^{{\left\{ n \right\}}}} \right) \Leftrightarrow $
(3.13)
$\begin{gathered} \sum\limits_{j = 0}^n s_{{\xi \xi }}^{{\left\{ j \right\}}}{v}_{{\zeta ,\zeta }}^{{\left\{ {n - j} \right\}}} = \sum\limits_{j = 0}^{n - 1} s_{{\zeta \zeta }}^{{\left\{ j \right\}}}{v}_{{\xi ,\xi }}^{{\left\{ {n - 1 - j} \right\}}},\quad n \geqslant 0 \\ \left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{n}}s_{{\xi \xi }}^{{\left\{ n \right\}}}} \right)\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{n}}{v}_{{\xi ,\zeta }}^{{\left\{ n \right\}}} + \sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{{n + 1}}}{v}_{{\zeta ,\xi }}^{{\left\{ n \right\}}}} \right) = 2\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{n}}s_{{\xi \zeta }}^{{\left\{ n \right\}}}} \right)\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{{n + 1}}}{v}_{{\xi ,\xi }}^{{\left\{ n \right\}}}} \right) \Leftrightarrow \\ \end{gathered} $
$\sum\limits_{j = 0}^n s_{{\xi \xi }}^{{\left\{ j \right\}}}{v}_{{\xi ,\zeta }}^{{\left\{ {n - j} \right\}}} + \sum\limits_{j = 0}^{n - 1} s_{{\xi \xi }}^{{\left\{ j \right\}}}{v}_{{\zeta ,\xi }}^{{\left\{ {n - 1 - j} \right\}}} = 2\sum\limits_{j = 0}^{n - 1} s_{{\xi \zeta }}^{{\left\{ j \right\}}}{v}_{{\xi ,\xi }}^{{\left\{ {n - 1 - j} \right\}}},\quad n \geqslant 0$

Граничные условия (1.3) имеют вид:

(3.14)
$\xi = 1{\kern 1pt} :\;{v}_{\xi }^{{\left\{ 0 \right\}}} = 1,\quad {v}_{\xi }^{{\left\{ n \right\}}} = 0,\quad n \geqslant 1$

Условия того, что верхнее и нижнее основания свободны от напряжений (1.12) следующие:

(3.15)
$\begin{gathered} \zeta = \pm \eta (\xi ,\tau ){\kern 1pt} :\;\sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{{n + 1}}}({{p}^{{\left\{ n \right\}}}} - s_{{\xi \xi }}^{{\left\{ n \right\}}})\frac{{\partial \eta }}{{\partial \xi }} \pm \sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{n}}s_{{\xi \zeta }}^{{\left\{ n \right\}}} = 0 \\ - \sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{{n + 1}}}s_{{\xi \zeta }}^{{\left\{ n \right\}}}\frac{{\partial \eta }}{{\partial \xi }} \pm \sum\limits_{n = 0}^\infty {{\alpha }^{n}}( - {{p}^{{\left\{ n \right\}}}} + s_{{\zeta \zeta }}^{{\left\{ n \right\}}}) = 0 \\ \end{gathered} $

Безразмерные параметры ${{\varepsilon }_{1}}(t)$ и ${{\varepsilon }_{2}}(t)$ входят только в уравнения (3.9) и (3.10). На тех или иных временных интервалах порядок их малости по сравнению с $\alpha (t)$ может меняться. От этого зависит учет или неучет слагаемых в правых частях уравнений в процессе приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях малого параметра.

4. Метод асимптотического интегрирования. Воспользуемся методом асимптотического интегрирования [36] задачи (3.9)–(3.15), заключающемся в последовательном решении замкнутых систем уравнений относительно ${v}_{\xi }^{{\left\{ n \right\}}}$, ${v}_{\zeta }^{{\left\{ n \right\}}}$, $s_{{\xi \xi }}^{{\left\{ n \right\}}}$, $s_{{\xi \zeta }}^{{\left\{ n \right\}}}$, $s_{{\zeta \zeta }}^{{\left\{ n \right\}}}$, ${{p}^{{\left\{ n \right\}}}}$, где $n \geqslant 0$, в области ${{\Omega }_{\tau }}$ с заранее неизвестной частью границы $\zeta = \pm \eta (\xi ,\tau )$.

Обратимся к уравнению (3.11) при n = 0: ${v}_{{\zeta ,\zeta }}^{{\{ 0\} }}$ = 0. Отсюда следует, что ${v}_{\zeta }^{{\left\{ 0 \right\}}} = {v}_{\zeta }^{{\left\{ 0 \right\}}}(\xi ,\tau )$, а с учетом требования антисимметричности по $\zeta $ получим ${v}_{\zeta }^{{\left\{ 0 \right\}}} = 0$.

Из рекуррентной цепочки (3.11) при n = 1 и из второго условия (3.13) при n = 0 имеем

(4.1)
${v}_{{\xi ,\xi }}^{{\left\{ 0 \right\}}} + \frac{{{v}_{\xi }^{{\left\{ 0 \right\}}}}}{\xi } + {v}_{{\zeta ,\zeta }}^{{\left\{ 1 \right\}}} = 0,\quad s_{{\xi \xi }}^{{\left\{ 0 \right\}}}{v}_{{\xi ,\zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}} = 0$

Перепишем первое уравнение (4.1) следующим образом и запишем следствие второго уравнения

$\frac{1}{\xi }{{(\xi {v}_{\xi }^{{\left\{ 0 \right\}}})}_{{,\xi }}} = - {v}_{{\zeta ,\zeta }}^{{\left\{ 1 \right\}}},\quad {v}_{\xi }^{{\left\{ 0 \right\}}} = {v}_{\xi }^{{\left\{ 0 \right\}}}(\xi ,\tau )$

Таким образом, видно, что ${v}_{{\zeta ,\zeta }}^{{\left\{ 1 \right\}}}$ является функцией от $\xi ,\;\tau $. Обозначим ${v}_{{\zeta ,\zeta }}^{{\left\{ 1 \right\}}} = a(\xi ,\tau )$, тогда, с учетом нечетности ${v}_{\zeta }^{{\left\{ 1 \right\}}}$ по $\zeta $, общий вид ${v}_{\xi }^{{\left\{ 0 \right\}}}$ и ${v}_{\zeta }^{{\left\{ 1 \right\}}}$ следующий

(4.2)
${v}_{\xi }^{{\left\{ 0 \right\}}} = - \frac{1}{\xi }\left( {\int\limits_0^\xi {a(u,\tau )udu} - b(\tau )} \right),\quad {v}_{\zeta }^{{\left\{ 1 \right\}}} = a(\xi ,\tau )\zeta $
где $a(\xi ,\tau )$ и $b(\tau )$ произвольные функции, удовлетворяющие граничному условию (3.14)

$ - \int\limits_0^1 {a(u,\tau )udu} + b(\tau ) = 1$

Из физических соображений $\mathop {\lim }\limits_{\xi \to 0} {v}_{\xi }^{{\left\{ 0 \right\}}} = 0$, откуда необходимо вытекает $b(\tau ) \equiv 0$. Потребуем чтобы решение (4.2) совпало с квазистатическим для чего достаточно положить $a(\xi ,\tau )$ константой, таким образом

(4.3)
${v}_{\xi }^{{\left\{ 0 \right\}}} = \xi ,\quad {v}_{\zeta }^{{\left\{ 1 \right\}}} = - 2\zeta $

Линейные зависимости (4.3) имеют место для любых соотношений порядков малости по $\alpha $ параметров ${{\varepsilon }_{1}}(t)$ и ${{\varepsilon }_{2}}(t)$. Рассмотрев первое уравнение в (3.12) и уравнения (3.13) при n = 1, выведем незамкнутую систему уравнений относительно $s_{{\xi \xi }}^{{\left\{ 0 \right\}}}$, $s_{{\xi \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}}$, $s_{{\zeta \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}}$, ${v}_{\xi }^{{\left\{ 1 \right\}}}$:

(4.4)
${{(s_{{\xi \xi }}^{{\left\{ 0 \right\}}})}^{2}} + {{(s_{{\zeta \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}})}^{2}} + s_{{\xi \xi }}^{{\left\{ 0 \right\}}}s_{{\zeta \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}} + {{(s_{{\xi \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}})}^{2}} = 1,\quad - {\kern 1pt} 2s_{{\xi \xi }}^{{\left\{ 0 \right\}}} = s_{{\zeta \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}},\quad s_{{\xi \xi }}^{{\left\{ 0 \right\}}}{v}_{{\xi ,\zeta }}^{{\left\{ 1 \right\}}} = 2s_{{\xi \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}}$

Для замыкания системы (4.4) необходимо рассмотреть конкретный режим растяжения. Из (3.9) и (3.10) следует, что на временных интервалах, где одновременно ${{\varepsilon }_{1}}{{\alpha }^{2}}$ = o(1) и ${{\varepsilon }_{2}} = o(1)$, после приравнивания нулю коэффициентов при α0 в (3.9), с учетом (4.3), придем к следующей системе уравнений:

${{(s_{{\xi \xi }}^{{\left\{ 0 \right\}}})}^{2}} + {{(s_{{\zeta \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}})}^{2}} + s_{{\xi \xi }}^{{\left\{ 0 \right\}}}s_{{\zeta \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}} + {{(s_{{\xi \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}})}^{2}} = 1,\quad - 2s_{{\xi \xi }}^{{\left\{ 0 \right\}}} = s_{{\zeta \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}},\quad s_{{\xi \zeta ,\zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}} = 0$

Из последнего уравнения имеем, что $s_{{\xi \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}} = s_{{\xi \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}}(\xi ,\tau )$, а с учетом требования нечетности $s_{{\xi \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}}$ по $\zeta $ получаем

$s_{{\xi \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}} = 0,\quad s_{{\xi \xi }}^{{\left\{ 0 \right\}}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }},\quad s_{{\zeta \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}} = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 3 }}$

Таким образом пришли к напряженному состоянию, соответствующему квазистатическому растяжению слоя цилиндрической формы. Также, приравнивая коэффициенты при α0, из (3.10) следует, что $ - p_{{,\zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}} + s_{{\zeta \zeta ,\zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}} = 0$.

Итак, динамические эффекты начинают играть роль и вносить вклад в напряженно-деформированное состояние, сопоставимый с квазистатикой, если выполняется хотя бы одно из требований: а) параметр ${{\varepsilon }_{1}}$ становится порядка ${{\alpha }^{n}}$, $n \geqslant - 2$; б) параметр ${{\varepsilon }_{2}}$ становится порядка ${{\alpha }^{m}}$, $m \geqslant 0$.

Остановимся в данной работе на случае, когда ${{\varepsilon }_{2}} = O(1)$ и ${{\varepsilon }_{1}} = o({{\alpha }^{{ - 2}}})$. Рассмотрев коэффициенты при α0 в (3.9) и (3.10) и, добавив полученные уравнения к (4.4), имеем замкнутую систему относительно $s_{{\xi \xi }}^{{\left\{ 0 \right\}}}$, $s_{{\xi \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}}$, $s_{{\zeta \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}}$, ${v}_{\xi }^{{\left\{ 1 \right\}}}$:

(4.5)
$s_{{\xi \zeta ,\zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}} = {{\varepsilon }_{2}}\xi ,\quad - {\kern 1pt} p_{{,\zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}} + s_{{\zeta \zeta ,\zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}} = 0$

Первое уравнение (4.5) замыкает систему, а третье служит для определения давления ${{p}^{{\left\{ 0 \right\}}}}$.

Решение системы (4.5) следующее:

(4.6)
$\begin{gathered} s_{{\xi \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}} = {{\varepsilon }_{2}}\xi \zeta ,\quad s_{{\xi \xi }}^{{\left\{ 0 \right\}}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\sqrt {1 - \varepsilon _{2}^{2}{{\xi }^{2}}{{\zeta }^{2}}} ,\quad s_{{\zeta \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}} = - \frac{2}{{\sqrt 3 }}\sqrt {1 - \varepsilon _{2}^{2}{{\xi }^{2}}{{\zeta }^{2}}} \\ {v}_{\xi }^{{\left\{ 1 \right\}}} = - 2\sqrt 3 \frac{{\sqrt {1 - \varepsilon _{2}^{2}{{\xi }^{2}}{{\zeta }^{2}}} }}{{{{\varepsilon }_{2}}\xi }} + f(\xi ,\tau ) \\ \end{gathered} $
где функция $f(\xi ,\tau )$ определяется из последующих по α приближений. Заметим, что если формально устремить ${{\varepsilon }_{2}} \to 0$, то компоненты девиатора (4.6) будут стремиться к квазистатическому решению.

Вид функции ${v}_{\xi }^{{\left\{ 1 \right\}}}$ позволяет сделать следующие выводы:

1. Точно однородным граничным условиям на боковой границе слоя $\xi = 1$ удовлетворить не удается.

2. Когда ${\text{|}}\xi {\text{|}} \to 0$, т.е. при стремлении к центру слоя, ${\text{|}}{v}_{\xi }^{{\left\{ 1 \right\}}}{\text{|}} \to \infty $. Это говорит о потере асимптотичности в смысле Пуанкаре вблизи точки $\xi = 0$ ряда (3.2) для радиальной скорости ${{{v}}_{\xi }}$.

Из этих выводов следует, что использование асимптотических рядов (3.2) вблизи боковой поверхности $\xi = 1$ слоя, т.е. в зоне краевого эффекта и в центре $\xi = 0$, где происходит перестройка течения, неправомерно. По своей геометрии область неприменимости асимптотического разложения напоминает задачу Прандтля [5].

5. Уравнение для определения формы границы слоя. Обратимся к граничным условиям (3.15) на неизвестной границе слоя $\zeta = \pm \eta (\xi ,\tau )$. Порядок малости по $\alpha $ производной $\frac{{\partial \eta }}{{\partial \xi }}$ заранее неизвестен. Предположим сначала, что $\frac{{\partial \eta }}{{\partial \xi }} \sim 1$, т.е. $\frac{{\partial h}}{{\partial r}} \sim \alpha $. Тогда в главном по $\alpha $ приближении

$\zeta = \pm \eta (\xi ,\tau ){\kern 1pt} :\;{{p}^{{\left\{ 0 \right\}}}} - s_{{\zeta \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}} = 0,\quad s_{{\xi \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}} = 0$

Но согласно (4.6) компонента $s_{{\xi \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}}$ равна нулю только при $\xi = 0$ или при $\eta = 0$. Ни одно из этих уравнений форму границу описывать не может, что говорит о неправомерности предположения $\frac{{\partial \eta }}{{\partial \xi }} \sim 1$.

Пусть $\frac{{\partial \eta }}{{\partial \xi }} \sim \frac{1}{\alpha }$, т.е. $\frac{{\partial h}}{{\partial r}} \sim 1$. Тогда, в главном по $\alpha $ приближении, условия (3.15) имеют вид

(5.1)
$\zeta = \pm \eta (\xi ,\tau ){\kern 1pt} :\; - \alpha s_{{\xi \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}}\frac{{\partial \eta }}{{\partial \xi }} \pm ( - {{p}^{{\left\{ 0 \right\}}}} + s_{{\zeta \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}}) = 0,\quad \alpha \frac{{\partial \eta }}{{\partial \xi }}({{p}^{{\left\{ 0 \right\}}}} - s_{{\xi \xi }}^{{\left\{ 0 \right\}}}) \pm s_{{\xi \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}} = 0$

Будем работать только с верхней частью границы $\zeta = \pm \eta (\xi ,\tau )$ – т.к. нижнее основание получается отражением относительно плоскости $\zeta = 0$, то в уравнениях (5.1) оставим знак “+”. Исключая ${{p}^{{\left\{ 0 \right\}}}}$ из равенств (5.1) и подставляя из (4.6) компоненты девиатора напряжений, получаем нелинейное уравнение первого порядка для определения функции $\eta (\xi ,\tau )$:

(5.2)
$\sqrt 3 \alpha \sqrt {1 - \varepsilon _{2}^{2}{{\xi }^{2}}{{\eta }^{2}}} \frac{{\partial \eta }}{{\partial \xi }} = {{\varepsilon }_{2}}\xi \eta \left( {1 - {{\alpha }^{2}}{{{\left( {\frac{{\partial \eta }}{{\partial \xi }}} \right)}}^{2}}} \right)$

Необходимо учесть также интегральное условие нормировки (3.5). Частную производную можно заменить на обыкновенную, т.к. время в уравнение входит как параметр через известную функцию ${{\varepsilon }_{2}}$ (3.1).

Для приближенного интегрирования уравнения заметим, что если положить ${{\varepsilon }_{2}} = 0$, то с учетом (3.5) получим $\eta \equiv 1$, что соответствует слою цилиндрической формы в квазистатическом решении. Представим функцию $\eta (\xi ,\tau )$ в виде ряда по ${{\varepsilon }_{2}}$:

$\eta (\xi ,\tau ) = 1 + {{\varepsilon }_{2}}{{\eta }_{1}} + \varepsilon _{2}^{2}{{\eta }_{2}} + ...,\quad {{\varepsilon }_{2}} < 1$
и подставим в (5.2) и интегральное условие (3.5). В линейном приближении по ${{\varepsilon }_{2}}$ для ${{\eta }_{1}}$ будем иметь уравнение $\frac{{d{{\eta }_{1}}}}{{d\xi }} = \frac{\xi }{{\sqrt 3 \alpha }}$, откуда после интегрирования и нормировки следует параболическая зависимость
(5.3)
$\eta = 1 + \frac{{{{\varepsilon }_{2}}}}{{2\sqrt 3 \alpha }}\left( {{{\xi }^{2}} - \frac{1}{2}} \right)$
моделирующая утоньшение слоя в центре и утолщение вблизи его боковой поверхности, т.е. шейкообразование при динамическом растяжении.

Найдем последний из неопределенных коэффициентов главного по $\alpha $ приближения (3.2) – давление ${{p}^{{\left\{ 0 \right\}}}}$. Из второго уравнения (4.5) следует, что $ - {{p}^{{\left\{ 0 \right\}}}} + s_{{\zeta \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}}$ не зависит от $\zeta $, а из первого граничного условия (5.1) то, что эта же комбинация на границе равна $\alpha s_{{\xi \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}}\frac{{\partial \eta }}{{\partial \xi }}$. Следовательно всюду в области ${{\Omega }_{\tau }}$:

(5.4)
${{p}^{{\left\{ 0 \right\}}}} = s_{{\zeta \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}} - {{\left. {\alpha s_{{\xi \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}}\frac{{\partial \eta }}{{\partial \xi }}} \right|}_{{\zeta = \eta }}} = - \frac{2}{{\sqrt 3 }}\sqrt {1 - \varepsilon _{2}^{2}{{\xi }^{2}}{{\zeta }^{2}}} - \alpha {{\varepsilon }_{2}}\xi \eta \frac{{\partial \eta }}{{\partial \xi }}$
куда из (4.6) подставлены компоненты $s_{{\zeta \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}}$, $s_{{\xi \zeta }}^{{\left\{ 0 \right\}}}$ девиатора напряжений. В (5.4) входит функция удовлетворяющая дифференциальному уравнению (5.2). В качестве приближенного решения может быть использована аппроксимация квадратичным трехчленом (5.3).

Вернемся к размерным переменным зависящим от $r$, $z$, $t$:

${{{v}}_{r}} = \frac{{Vr}}{R} - \frac{{2\sqrt 3 V{{\tau }_{s}}}}{{\rho \dot {V}r}}\sqrt {1 - \frac{{{{\rho }^{2}}{{{\dot {V}}}^{2}}{{r}^{2}}{{z}^{2}}}}{{\tau _{s}^{2}{{R}^{2}}}}} + Vf(r,t)\frac{{h{\kern 1pt} *}}{R} + O((h{\kern 1pt} {\text{*/}}R{{)}^{2}})$
(5.5)
${{{v}}_{z}} = - \frac{{2Vz}}{R} + O((h{\kern 1pt} {\text{*/}}R{{)}^{2}})$
${{s}_{{rr}}} = \frac{{{{\tau }_{s}}}}{{\sqrt 3 }}\sqrt {1 - \frac{{{{\rho }^{2}}{{{\dot {V}}}^{2}}{{r}^{2}}{{z}^{2}}}}{{\tau _{s}^{2}{{R}^{2}}}}} + O(h{\kern 1pt} {\text{*/}}R),\quad {{s}_{{zz}}} = - \frac{{2{{\tau }_{s}}}}{{\sqrt 3 }}\sqrt {1 - \frac{{{{\rho }^{2}}{{{\dot {V}}}^{2}}{{r}^{2}}{{z}^{2}}}}{{\tau _{s}^{2}{{R}^{2}}}}} + O(h{\kern 1pt} {\text{*/}}R)$
${{s}_{{rz}}} = \frac{{\rho \dot {V}rz}}{R} + O(h{\kern 1pt} {\text{*/}}R)$

Аппроксимация границы $h(r,t)$ квадратичным трехчленом:

(5.6)
$h(r,t) = h{\kern 1pt} {\text{*}}\left( {1 + \frac{{\rho \dot {V}R}}{{2\sqrt 3 {{\tau }_{s}}}}\left( {\frac{{{{r}^{2}}}}{{{{R}^{2}}}} - \frac{1}{2}} \right)} \right),\quad \frac{{\partial h}}{{\partial r}} = \frac{{\rho \dot {V}h{\kern 1pt} {\text{*}}r}}{{\sqrt 3 {{\tau }_{s}}R}}$

Используя эту аппроксимацию можем выписать давление p, где h и $\partial h{\text{/}}\partial r$ следует взять из (5.6):

$p = - \frac{{2{{\tau }_{s}}}}{{\sqrt 3 }}\sqrt {1 - \frac{{{{\rho }^{2}}{{{\dot {V}}}^{2}}{{r}^{2}}{{z}^{2}}}}{{\tau _{s}^{2}{{R}^{2}}}}} - \frac{{\rho \dot {V}r}}{R}h\frac{{\partial h}}{{\partial r}} + O(h{\kern 1pt} {\text{*/}}R)$

Заметим, что в отличие от квазистатики, все исследуемые компоненты тензора напряжений отличны от нуля, в частности, осевое напряжение ${{\sigma }_{{zz}}}$ имеет вид ${{\sigma }_{{zz}}} \approx \frac{{\rho \dot {V}r}}{R}h\frac{{\partial h}}{{\partial r}}$.

6. Заключение. Таким образом, найдены условия, связывающие безразмерные параметры задачи, при которых необходим учет динамических эффектов. Показано, что переход от квазистатики к динамическому режиму растяжения круглого слоя, характеризующийся достижением ускорения $\dot {V}$ своих критических значений, влечет за собой образование и рост шейки в его центральной части. Параметры напряженно-деформированного состояния и других инерционных эффектов точно или приближенно найдены выше.

Список литературы

  1. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит, 2001.

  2. Ильюшин А.А. Труды. Т. 4. Моделирование динамических процессов в твердых телах и инженерные приложения. М.: Физматлит, 2009.

  3. Георгиевский Д.В. Динамические режимы растяжения стержня из идеально жесткопластического материала // Прикладная механика и техническая физика. 2021. 62. № 5. С. 119–130. https://doi.org/10.15372/PMTF20210513

  4. Цветков И.М. Динамическое растяжение листа из идеально жесткопластического материала. // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 2022. № 6. С. 51–60.

  5. Georgievskii D.V., Müller W.H., Abali B.E. Thin-layer inertial effects in plasticity and dynamics in the Prandtl problem // ZAMM. 2019. V. 99. № 12. P. 1–11. https://doi.org/10.1002/zamm.201900184

  6. Найфэ А.Х. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. 535 с. = Nayfeh A.H. Introduction To Perturbation Techniques. N.Y.: Wiley, 1981.

Дополнительные материалы отсутствуют.