ПРОБЛЕМЫ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
Том 58
2022
Вып. 2
УДК 621.391 : 519.214 : 519.218.4
© 2022 г.
А.В. Логачёв, А.А. Могульский, Е.И. Прокопенко
ПРИНЦИП БОЛЬШИХ УКЛОНЕНИЙ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ
ОБОБЩЕННЫХ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ
С ПРИЛОЖЕНИЕМ К СВЯЗЫВАНИЮ ПОЛИМЕРОВ1
Получен принцип больших уклонений для обрывающихся многомерных обоб-
щенных процессов восстановления. Кроме того, получена асимптотика больших
уклонений для случая, когда происходит гиббсовская замена исходной вероят-
ностной меры. Рассмотренный тип случайных процессов широко используется
в моделях связывания полимеров.
Ключевые слова: обобщенный процесс восстановления, принцип больших укло-
нений, функционал уклонений, модель связывания полимеров, гиббсовская за-
мена меры.
DOI: 10.31857/S0555292322020053, EDN: DZDASV
§ 1. Введение
Статья посвящена изучению предельного поведения вероятностной меры, постро-
енной по многомерному обобщенному процессу восстановления (ОПВ), который, во-
обще говоря, может обрываться (т.е. допускается возможность того, что время меж-
ду моментами восстановления может быть равным ∞ с положительной вероятно-
стью). Такие случайные процессы находят свое применение, в частности, в моделях
связывания полимеров (polymer pinning models). Прежде чем привести обзор извест-
ных результатов, нам удобнее дать строгое математическое определение изучаемого
объекта.
Пусть случайный вектор (τ, ζ, v) принимает значения в пространстве
R+ × Rd × R,
где R+ := {t ∈ R : t > 0} ∪ {∞}, так что координата τ > 0 может принимать
значение ∞ c вероятностью P(τ = ∞) =: p ∈ [0, 1). Далее, пусть
{(τi, ζi, vi)}i≥1
- последовательность независимых копий вектора (τ, ζ, v). Обозначим
∑
∑
∑
T0 := 0, Tn :=
τi,
Z0 := 0, Zn := ζi,
V0 := 0, Vn :=
vi,
i=1
i=1
i=1
где n ∈ Z+.
1 Работа выполнена при поддержке Математического Центра в Академгородке, соглашение с
Министерством науки и высшего образования Российской Федерации № 075-15-2022-282.
48
По суммам (Tn, Zn) для t > 0 построим однородный ОПВ с d-мерным фазовым
пространством Rd:
Z(t) := Zν(t), ν(t) := sup{n ≥ 0 : Tn ≤ t},
возможно, обрывающийся (в случае, когда p = P(τ = ∞) > 0).
Рассмотрим семейство
(
)
E
eVν(t) ; Z(t) ∈ B
Pt(Z(t) ∈ B) :=
,
B∈Bd,
EeVν(t)
вероятностных распределений в пространстве Rd, где Bd - борелевская σ-алгеб-
ра в Rd.
Нас будет интересовать асимптотическое поведение последовательности
(
)
1
Z(t)
ln Pt
∈B
(1.1)
t
t
при t → ∞.
Сделаем теперь краткий обзор известных результатов, связанных с асимптоти-
кой последовательности (1.1). Работы, в которых изучается предельное поведение
последовательности (1.1), можно разделить на две группы. Первая носит чисто тео-
ретический характер, в ней изучается асимптотика, связанная с поведением непо-
средственно обобщенного процесса восстановления, т.е. полагается, что Vν(t) ≡ 0,
и изучается асимптотика последовательности
(
)
1
Z(t)
ln P
∈B .
(1.2)
t
t
В этом направлении для случая P(τ = ∞) = 0 хорошо изучена как грубая асимп-
тотика последовательности (1.2) (принцип больших уклонений (ПБУ)) [1-3], так и
точная асимптотика (локальные и инегро-локальные теоремы в области нормаль-
ных, умеренно больших и больших уклонений) [4] (для одмерного случая), [5, 6]
(для многомерного случая), [7] (для многомерных арифметических полумарковских
ОПВ). В работах [8,9] изучена, соответственно, грубая и точная асимптотика боль-
ших уклонений для конечномерных приращений многомерных ОПВ. Работы [10-12]
посвящены принципам больших и умеренно больших уклонений для траекторий
ОПВ. Отметим также работу [13], в ней получен ПБУ для мер, построенных по ОПВ.
В работе [14] для обрывающихся многомерных ОПВ в некоторой области фазового
пространства установлена интегро-локальная (локальная) предельная теорема.
Вторая группа работ имеет более прикладной характер, в ней изучается асимп-
тотическое поведение последовательности (1.1) для случая, когда, вообще говоря,
Vν(t) = 0 [15, 16]. В этих работах τ - целое число, которое является случайным
количеством мономеров, присоединяемых к имеющемуся полимеру в процессе син-
теза, ζ - числовая характеристика, присоединяемого блока мономеров (например,
количества мономеров того или иного вида в присоединяемом блоке). В частности,
если τ - количество мономеров, присоединенных до выхода полимера на границу
разных сред, то вероятность того, с какой стороны от границы был присоединен блок
мономеров, зависит от количества энергии в этих средах (см., например, [17, гл. 1;
18, гл. 2]).
Классическим примером является случай, когда vi ≡ β и, соответственно, Vν(t) =
= βν(t), где β - константа, обратно пропорциональная температуре сред (таким об-
разом, предполагается, что температура постоянна). В этом примере средняя ско-
рость присоединения новых блоков мономеров зависит только от температуры. Бо-
49
лее сложной является модель, в которой есть две различные среды, имеющие общую
границу и содержащие разные мономеры. В этой модели на каждом шаге присоеди-
няется блок, полностью состоящий из мономеров, находящихся с одной стороны от
границы, т.е. τi - количество присоединяемых мономеров между (i - 1)-м и i-м вы-
ходами на границу сред. Здесь vi = β - λζi и, соответственно, Vν(t) = βν(t) - λZν(t),
где константа λ > 0, ζi - количество присоединяемых мономеров (между (i - 1)-м
и i-м выходами на границу сред), которые находятся с одной фиксированной сторо-
ны от границы. При этом параметр λ отвечает за сложность преодоления границы
сред, в частности, если λ = ∞, то мономеры, находящиеся с одной фиксированной
стороны от границы, не могут быть присоединены.
Таким образом, из физических соображений возникает потребность рассматри-
вать не исходную вероятностную меру (1.2), а некоторое ее экспоненциальное преоб-
разование (1.1). Отметим также, что в этих моделях, в частности, событие {τ = ∞}
может означать невозможность присоединения нового блока мономеров.
Следует отметить, что в работах из первой группы тоже приходится сталкиваться
с экспоненциальным преобразованием исходной вероятностной меры, но совершенно
из других соображений, связанных с техникой доказательства ПБУ. Эта техника
помогает также успешно решить многие задачи, поставленные во второй группе
работ.
Наиболее близкой по содержанию к нашей статье является работа [16]. В ней
рассматривается случайный процесс Z(t), у которого фазовое пространство явля-
ется банаховым, в том числе и бесконечномерным, и в частности, успешно изучает-
ся асимптотическое поведение последовательности (1.1) для достаточно широкого
класса множеств B ∈ Bd в случае, когда выполнены дополнительные условия:
(a) Случайная величина τ принимает целые положительные значения или ∞;
(b) Случайная величина v имеет вид v = h(τ) для некоторой фиксированной неслу-
чайной функции h = h(t).
В настоящей статье проведено изучение асимптотического поведения последова-
тельности (1.1) в общем случае, т.е. без привлечения условий (a) и (b) (см. след-
ствие 1). Кроме того, для обрывающихся многомерных ОПВ в условиях, близких
к необходимым, установлен принцип больших уклонений в фазовом пространстве
(см. следствие 2). Отметим, что более общий вид функции v = h(τ) дает возмож-
ность рассматривать более сложные физические модели синтеза полимеров. В част-
ности, модели, в которых экспоненциальное преобразование меры зависит от типа
присоединенных мономеров. Отказ от целочисленности τ позволяет, в частности,
рассматривать модели, в которых мы можем фиксировать только моменты времени
выхода полимера на границу сред и не знаем, какое точно количество мономеров
было присоединено за время между этими моментами. Вопрос о выполнении ПБУ
для ОПВ в произвольном банаховом пространстве, когда условия (a) и (b) не вы-
полнены, остается открытым.
Для формулировок и доказательства основных результатов нам потребуются
некоторые дополнительные моментные условия. Везде далее будем предполагать,
что выполнено следующее условие:
[C∗] Для некоторых λ > 0 и ε > 0
(
)
E
e-λτ+ε|ζ|+v; τ < ∞
< ∞.
Заметим, что в силу того, что -λ∞ = -∞, в условии [C∗] можно оставить неравен-
ство
(
)
E
e-λτ+ε|ζ|+v
< ∞.
50
Поскольку
(
)
(
)
(
)
Z(t)
Z
ν(t)
Zν(t)
ln Pt
∈B
= ln E eVν(t) ;
∈B
- ln E eVν(t) ;
∈Rd
,
(1.3)
t
t
t
то для того чтобы изучить предельное поведение последовательности (1.1), доста-
точно получить предельные теоремы для последовательности
(
)
1
Z
ν(t)
ln E eVν(t) ;
∈B ,
(1.4)
t
t
что и осуществлено в теореме 1. Следствием теоремы 1 в частном случае, когда v = 0
п.н., является ПБУ для ОПВ Z(t) (возможно, обрывающегося), который сформули-
рован в следствии 2.
§2. Основные обозначения и основной результат
Обозначим
(
)
A(λ, μ) := ln E
eλτ+〈μ,ζ〉+v; τ < ∞
,
здесь и далее 〈· , ·〉 - скалярное произведение. Функция A(λ, μ) является преобразо-
ванием Лапласа над “неполной” мерой, отличающейся от меры
E(ev; τ ∈ · , ζ ∈ · ) = E(ev; τ ∈ · , ζ ∈ · , τ < ∞) + E(ev; ζ ∈ · , τ = ∞)
отсутствием второго слагаемого. Однако эта “неполнота” полностью согласуется
с тем очевидным обстоятельством, что изучаемая характеристика (1.1) не зависит
от распределения
P(ζ ∈ · , v ∈ · | τ = ∞).
Рассмотрим два множества
A≤0 := {(λ, μ) : A(λ, μ) ≤ 0}, A≤0γ := {(λ, μ) : λ < γ, A(λ, μ) ≤ 0},
где γ ∈ R := R ∪ {∞} фиксировано. В качестве γ будут выбираться:
• либо константы λ±, 0 ≤ λ+ ≤ λ- ≤ ∞, где
1
λ+ := sup{λ ≥ 0 : E eλτ < ∞} = - limsup
ln P(τ > t),
(2.1)
t→∞ t
1
λ- := - liminf
ln P(τ > t);
(2.2)
t→∞ t
• либо константы λ∗±, 0 ≤ λ∗+ ≤ λ∗- ≤ ∞, определенные при дополнительном усло-
вии
E(ev) < ∞
соотношениями
1
λ∗+ := sup{λ ≥ 0 : E ev+λτ < ∞} = - limsup
ln E(ev; τ > t),
t→∞ t
1
λ∗- := - liminf
ln E(ev; τ > t).
t→∞ t
Заметим, что если выполнено условие обрываемости p = P(τ = ∞) > 0, то выпол-
няется λ+ = λ- = 0.
51
Построим новые функции
A(μ) := - sup{λ : (λ, μ) ∈ A≤0}, Aγ (μ) := max{-γ, A(μ)},
(2.3)
где по определению считаем
sup{λ : λ ∈ ∅} = -∞.
Для функции H = H(μ): Rd → (-∞, ∞] определим (см., например, [19]) преобра-
зование Лежандра HLe = HLe(α), положив
HLe(α) := sup{〈μ, α〉 - H(μ)}, α ∈ Rd.
μ
Будем называть функцию H = H(α), отображающую Rd в [0, ∞], компактной,
если для любого c ≥ 0 множество {α : H(α) ≤ c} является компактом в Rd. Легко
показать, что любая компактная функция H(α) полунепрерывна снизу.
Определим две функции: для α ∈ Rd
D(α) := ALe(α), Dγ (α) := ALeγ(α).
В следующей лемме содержатся необходимые нам свойства этих функций.
Лемма 1. (i) Функции A(μ) и Aγ(μ) выпуклы и полунепрерывны снизу;
(ii) Функции D(α) и Dγ (α) выпуклы, полунепрерывны снизу и компактны;
(iii) Справедливы формулы
A(μ) = DLe(μ), Aγ (μ) = DLeγ(μ),
(2.4)
так что пары A(μ), D(α) и Aγ(μ), Dγ(α) являются парами взаимно сопря-
женных (относительно преобразования Лежандра) функций;
(iv) Функции Aγ (μ) и A(μ) совпадают (и следовательно, Dγ (α) = D(α)) тогда и
только тогда, когда выполнено условие
γ ≥ D(0);
(2.5)
(v) Для всех α ∈ Rd справедливо
Dγ(α) = inf {D(θ, α) + γ(1 - θ)},
(2.6)
θ∈[0,1]
где
D(θ, α) := sup
{λθ + 〈μ, α〉}.
(λ,μ)∈A≤0
Замечание 1. Дополнительные свойства функций D(α) и Dγ(α) будут приве-
дены в лемме 5 (см. § 4). Поскольку доказательства лемм 1 и 5 в значительной
степени повторяют доказательства аналогичных утверждений работы [20], то эти
доказательства мы опускаем. Однако для удобства читателя мы приводим полные
доказательства лемм 1 и 5 в расширенной версии [21] настоящей статья.
Определим теперь две функции:
D+(α) := Dλ+(α) - Aλ-(0), D-(α) := Dλ-(α) - Aλ+(0), α ∈ Rd,
где константы λ+ и λ- определены формулами (2.1) и (2.2) соответственно. Заметим,
что
Aλ±(0) = sup{λ < λ± : Eeλτ+v ≤ 1}.
52
Заметим, что если выполнено условие обрываемости p = P(τ = ∞) > 0, то
D+(α) = D-(α) = D0(α) - A0(0), α ∈ Rd.
Для множества B ∈ Bd через [B] и (B) будем обозначать его замыкание и внутрен-
ность соответственно. Положим для B ∈ Bd
Dγ(B) = inf
Dγ(α).
α∈B
Основными результатами данной статьи являются следующие утверждения.
Теорема 1. Для любого борелевского множества B ⊂ Rd
(
)
1
Z(t)
lim sup
ln E eVν(t) ;
∈B
≤ -Dλ+([B]),
(2.7)
t→∞
t
t
(
)
1
Z(t)
lim inf
ln E eVν(t) ;
∈B
≥ -Dλ-((B)).
(2.8)
t→∞
t
t
Используя равенство (1.3), находим оценки для последовательности (1.1).
Следствие 1. Для любого борелевского множества B ⊂ Rd
(
)
1
Z(t)
lim sup
ln Pt
∈B
≤ -D+([B]),
t→∞
t
t
)
1
(Z(t)
lim inf
ln Pt
∈B
≥ -D-((B)).
t→∞ t
t
Оценки для последовательности (1.2) очевидным образом извлекаются из теоре-
мы 1, накладывая условие P(v = 0) = 1.
Следствие 2. Пусть P(v = 0) = 1. Тогда для любого борелевского множества
B⊂Rd
(
)
1
Z(t)
lim sup
ln P
∈B
≤ -Dλ+([B]),
(2.9)
t→∞ t
t
(
)
1
Z(t)
lim inf
ln P
∈B
≥ -Dλ-((B)).
(2.10)
t→∞ t
t
В частности, если выполнено условие обрываемости p = P(τ = ∞) > 0, то λ- =
= λ+ = 0, и тогда выполнение неравенств (2.9), (2.10) означает, что семей-
Z(t)
ство
удовлетворяет принципу больших уклонений в Rd с функцией укло-
t
нений D0(α).
§ 3. Доказательство теоремы 1
В основе доказательства теоремы 1 лежат следующие леммы, которые доказы-
ваются в § 4.
Лемма 2. Для любого α ∈ Rd выполняется
(
)
1
Z(t)
lim lim sup
ln E eVν(t) ;
∈ (α)ε
≤ -Dλ+(α).
(3.1)
ε↓0
t→∞ t
t
53
Лемма 3. Для любых α ∈ Rd, ε > 0 выполняется
(
)
1
Z(t)
lim inf
ln E eVν(t) ;
∈ (α)ε
≥ -D(α),
(3.2)
t→∞ t
t
(
)
1
Z(t)
lim inf
ln E eVν(t) ;
∈ (α)ε
≥ -Dλ-(α).
(3.3)
t→∞ t
t
Поскольку Aλ-(μ) ≥ A(μ), то -Dλ-(α) ≥ -D(α), и следовательно, неравен-
ство (3.2) следует из неравенства (3.3). Однако неравенство (3.2), являющееся, во-
обще говоря, более грубым, чем неравенство (3.3), тем не менее представляет опреде-
ленный интерес, поскольку дает содержательную оценку снизу в тех случаях, когда
отсутствует информация о константе λ-.
Лемма 4. Для любого N ∈ (0,∞) найдется M ∈ (0,∞), такое что
(
)
1
|Z(t)|
lim sup
ln E eVν(t) ;
≥M
≤ -N.
t→∞
t
t
Проведем теперь на основе лемм 2-4 доказательство теоремы 1, которое повто-
ряет основные шаги доказательства теоремы 4.1.1 из [22, с. 259].
Доказательство теоремы 1. (i) Оценка сверху (2.7). Зафиксируем кон-
станты δ > 0, N < ∞ и обозначим D(B, δ, N) := min{N, Dλ+([B])} + δ,
(
)
1
Z(t)
L+(B) := limsup
ln E eVν(t) ;
∈B .
t→∞
t
t
В силу леммы 4 найдется компакт K ⊂ Rd, такой что для K := Rd \ K выполняется
L+(K) ≤ -2D(B, δ, N).
(3.4)
Далее, в силу леммы 2 для любого α из компакта K ∩ [B] найдется ε(α) > 0, такое
что выполняется
L+((α)ε(α)) ≤ -D(B, δ, N).
(3.5)
Получили открытое покрытие компакта K ∩ [B], из которого выделяем конечное
подпокрытие
{
}
⋃
I
(αi)ε(α
(3.6)
i)i=1 :
K ∩ [B] ⊂ (αi)ε(αi), I < ∞.
i=1
Поэтому
(
)
L+([B]) ≤ L+
(K ∩ [B]) ∪ K
,
и в силу (3.4)-(3.6) имеем
L+([B]) ≤ -D(B, δ, N).
Левая часть последнего неравенства не зависит от δ > 0 и N < ∞, поэтому нера-
венство сохранится, если в его правой части устремить δ → 0 и N → ∞. Получили
оценку сверху (2.7).
(ii) Оценка снизу (2.8). Фиксируем α ∈ (B) и ε > 0 таким образом, что (α)ε ⊂ (B),
и обозначим
(
)
1
Z(t)
L-(B) := liminf
ln E eVν(t) ;
∈B .
t→∞
t
t
54
Имеем
L-(B) ≥ L-((B)) ≥ L-((α)ε),
поэтому, применяя лемму 3, получаем
L-(B) ≥ -Dλ-(α).
Левая часть последнего неравенства не зависит от α ∈ (B), поэтому неравенство
сохранится, если его правую часть максимизировать по α ∈ (B). Получили оценку
снизу (2.8). ▴
§4. Доказательство лемм 2-4
Нам понадобятся следующие обозначения. Для (θ, α) ∈ Rd+1 обозначим
)
(θ
α
DΛ(θ, α) := inf
rΛ
,
,
(4.1)
r>0
r
r
где
Λ(θ, α) := sup{λθ + 〈μ, α〉 - A(λ, μ)}, (θ, α) ∈ Rd+1,
λ,μ
- функция уклонений, которая определяется как преобразование Лежандра функции
A(λ, μ):
Λ(θ, α) = ALe(θ, α).
Легко убедиться, что функция DΛ(θ, α) выпукла и линейчата (т.е. линейна вдоль
любого луча, выходящего из начала координат). Однако свойство полунепрерывно-
сти снизу для этой функции может отсутствовать.
В следующем утверждении приводятся дополнительные свойства функций D(α)
и Dγ(α).
Лемма 5. (i) Для всех α ∈ Rd справедливо
D(α) = sup
{λ + 〈μ, α〉},
(4.2)
(λ,μ)∈A≤0
Dγ(α) = sup
{λ + 〈μ, α〉};
(4.3)
(λ,μ)∈Aγ0
(ii) Для функции DΛ(θ, α) (см. (4.1)) имеет место равенство
(DLeΛ)Le(θ, α) = D(θ, α),
(4.4)
и для всех θ > 0, α ∈ Rd выполнено
D(θ, α) = lim
inf DΛ(θ, α′);
(4.5)
ε↓0
α′∈(α)ε
(iii) Если γ < ∞, то для функции
Dγ(α) := inf
{D(θ, α) + γ(1 - θ)}
θ∈(0,1)
имеет место равенство
lim
inf
Dγ(α′) = Dγ(α).
(4.6)
ε↓0
α′∈(αε)
55
Доказательство леммы 2. Из определения процесса Z(t) вытекает, что на
событии {Tn ≤ t < Tn + τn+1} выполнено Z(t) = Zn. Следовательно,
(
)
∑
Z(t)
E(t) := E eVν(t) ;
∈ (α)ε
= En(t),
(4.7)
t
n≥0
где
(
)
Zn
En(t) := E eVn;
∈ (α)ε, Tn ≤ t < Tn + τn+1
t
Оценим сначала часть суммы в (4.7) по n > t2:
∑
∑
(
)
∑
En(t) ≤
E
eVn ; Tn ≤ t
=:
Pn(t).
n>t2
n>t2
n>t2
Выберем число λ∗ > 0 таким образом, что A(-λ∗, 0) ≤ 0 (в силу условия [C∗]
такая константа λ∗ всегда найдется), и рассмотрим новые случайные независимые
величины τ∗j с распределением
(
)
P(τ∗ ∈ · ) := e-A(-λ∗,0) E
ev-λ∗τ ; τ ∈ ·
Легко показать, что P(τ∗ ∈ (0, ∞]) = 1, и следовательно, функция уклонений
{
}
Λ∗(θ) := sup
λθ - ln E eλτ∗
λ
неограниченно возрастает при монотонном приближении справа аргумента θ к на-
чалу координат, т.е. limΛ∗(θ) = ∞. Далее, для n ≥ 1 обозначим T∗n := τ∗1 + . . . + τ∗n,
θ↓0
так что справедливо неравенство
(
)
(
)
Pn(t) = e±nA(-λ∗,0) E
eVn±λ∗Tn ; Tn ≤ t
=enA(-λ∗,0) E
eλ∗
n; T∗n ≤t
≤
≤ enA(-λ∗,0)+λ∗t E(T∗n ≤ t) ≤ eλ∗t P(T∗n ≤ t),
где последнее неравенство справедливо в силу того, что A(-λ∗, 0) ≤ 0. Поэтому
t
в силу экспоненциального неравенства Чебышева при
≤ Eτ∗ имеем
n
Pn(t) ≤ eλ∗t-nΛ∗(n ).
Таким образом, для n ≥ t2,1
≤ Eτ∗ имеем оценку
t
Pn(t) ≤ eλ∗tqn(t),
где q(t) := e-Λ∗(t ) < 1 для всех достаточно больших t. Следовательно,
∑
En(t) ≤ eλ∗tqt2
1-q
n≥t2
Поэтому
∑
1
lim sup
ln
En(t) = -∞.
(4.8)
t→∞ t
n≥t2
56
Приведем теперь более точную оценку сверху для En(t), справедливую для всех
n ≥ 1. Для любого вектора (λ,μ) ∈ (A≤0) имеемλ
+
(
)
Zn
En(t) = E eVn±λTn±〈μ,Zn〉;
∈ (α)ε, Tn ≤ t < Tn + τn+1
t
На событии
}
{Zn
∈ (α)ε, Tn ≤ t < Tn + τn+1
t
выполняется неравенство
√
e-λTn-〈μ,Zn〉 ≤ e-t(λ+〈μ,α〉)+
d|μ|εt max{1, eλτn+1}.
(
)
Так как вектор (λ, μ) ∈
A≤0λ
, то λ < λ+, и следовательно (учитывая, что λ+ = 0
+
при p = P(τ = ∞) > 0), то получаем
E max{1, eλτn+1} < ∞.
Таким образом, для n ≥ 1 в любом случае имеем оценку
√
(
)
En(t) ≤ e-t(λ+〈μ,α〉)+
d|μ|εt E max{1, eλτn+1}eVn+λTn+〈μ,Zn〉
≤
√
≤e-t(λ+〈μ,α〉)+
d|μ|εt E max{1, eλτ }enA(λ,μ) ≤
√
≤e-t(λ+〈μ,α〉)+
d|μ|εt E max{1, eλτ },
из которой вытекает неравенство
[t2]
∑
√
En(t) ≤ Emax{1, eλτ}t2e-t(λ+〈μ,α〉)+
d|μ|εt.
(4.9)
n=1
Наконец, оценим E0(t) = P(0 ∈ (α)ε, τ > t). Имеем
1
{-∞, если α = 0,
lim lim sup
ln E0(t) =
(4.10)
ε↓0
t→∞ t
-λ+, если α = 0.
Таким образом, из (4.9) и (4.10) получается неравенство
[t2]
∑
√
1
lim sup
ln
En(t) ≤ -(λ + 〈μ, α〉) +
d|μ|ε.
(4.11)
t→∞ t
n=0
(
)
Из соотношений (4.7), (4.8), (4.11) вытекает, что для любого (λ, μ) ∈
A≤0λ
+
1
lim lim sup
ln E(t) ≤ -(λ + 〈μ, α〉).
(4.12)
ε↓0
t→∞ t
Так как к любой точке (λ, μ) границы ∂A≤0λ
можно приблизиться точками (λn, μn)
(
)
+
из внутренности
A≤0
, то неравенство (4.12) справедливо для всех (λ, μ) из замкну-
λ+
того выпуклого множества A≤0. Минимизируя правую часть неравенства (4.12) поλ
+
57
(λ, μ) ∈ A≤0 и используя утверждение (i) леммы 5, получаемλ
+
1
lim lim sup
ln E(t) ≤ -Dλ+(α),
ε↓0
t→∞ t
что завершает доказательство леммы 2. ▴
Доказательство леммы 3. Докажем сперва неравенство (3.2). Выберем
λ∗ > 0, такое что выполняется A(-λ∗, 0) ≤ 0, что эквивалентно E(e-λ∗τ+v) ≤ 1 (как
уже отмечалось при доказательстве леммы 2, в силу условия [C∗] такая константа λ∗
всегда найдется). Для этого λ∗ построим случайный вектор (τ∗, ζ∗, v∗) ∈ R+ ×Rd ×R
с распределением
P(τ∗ ∈ · , ζ∗ ∈ · , v∗ ∈ · ) := P∗(τ ∈ · , ζ ∈ · , v ∈ · ) :=
:= E(e-λ∗τ+v; τ ∈ · , ζ ∈ · , v ∈ · ).
Заметим, что в случае, когда A(-λ∗, 0) < 0, распределение этого вектора будет
несобственным, т.е.
P(τ∗ ∈ (0, ∞), ζ∗ ∈ Rd, v∗ ∈ R) = eA(-λ∗,0) < 1.
Это распределение можно произвольным образом доопределить на множестве {∞}×
×Rd × R. Преобразование Лапласа над распределением вектора (τ∗,ζ∗) обозначим
через
(
)
eA∗(λ,μ) := Eeλτ∗+〈μ,ζ∗〉 = E
eλτ+〈μ,ζ〉-λ∗τ+v
=eA(-λ∗+λ,μ),
т.е. положим
A∗(λ, μ) := A(-λ∗ + λ, μ).
Определим далее последовательность {(τ∗i, ζ∗i, v∗i); i = 1, . . .} независимых ко-
пий случайного вектора (τ∗, ζ∗, v∗) и для n = 0, 1, . . . обозначим через (T∗n, Z∗n, V∗n)
частичные суммы этих векторов. Процесс восстановления определим естественным
образом ν∗(t) := sup{n ≥ 0 : T∗n ≤ t}. Тогда можно определить новую пару ОПВ:
(
)
(T∗(t), Z∗(t)) :=
T∗ν∗(t), Zν∗(t)
Поясним, как определяется распределение (вообще говоря, несобственное) этой но-
вой пары ОПВ:
∑
P(Z∗(t) ∈ · , T∗(t) ∈ · ) =
P(Z∗n ∈ · , T∗n ∈ · ; T∗n ≤ t < T∗n + τ∗n+1) =
n≥0
∑
= E(e-λ∗Tn+1+Vn+1; Zn ∈ · ; Tn ∈ · , Tn ≤ t < Tn + τn+1).
n≥0
Для i ≥ 1 обозначим vi := -λ∗τi + vi, так что выполняется
P∗(τi ∈ · , ζi ∈ · , vi ∈ · ) := E(evi ; τi ∈ · , ζi ∈ · , vi ∈ · ).
Нетрудно видеть, что найдутся такие константы
q > 0,
0 < c < ∞,
0 < R < ∞,
что для событий Bi := {c < τi, |ζi| ≤ R, |vi| ≤ R}, i ≥ 1, выполняются неравенства
P∗(Bi) ≥ q.
58
T
Для T > 0 обозначим k(T ) :=
,
c
B(T ) := {c < τi, |ζi| ≤ R, |vi| ≤ R, для всех i ≤ ν(T ) + 1}.
Лемма 6. Для любого T > 0
P∗(B(T)) ≥ qk(T)+1.
Доказательство. Достаточнозаметить, что если τi > c, i ≥ 1, то справедливо
включение
⋂
Bi ⊆ B(T).
▴
i=1
Продолжим доказательство (3.2). Очевидно, что
(
) (
)
Zν(t)
Z
ν(t)
E eVν(t);
∈ (α)2ε
=E eλ∗Tν(t)+Vν(t);
∈ (α)2ε
≥
t
t
2δt
(
)
Zn
Tn
≥ E eλ∗Tn+Vn;
∈ (α)ε,
∈ (1 - δ)δ, t - Tn ∈ dT
× I(T,ε),
t
t
T =0
где
(
)
Z
ν(T )
I(T, ε) := E eλ∗Tν(T)-vν(T)+1+Vν(T)+1 ;
∈ (0)ε ∩ B(T )
t
}
{Tn
t
Поскольку на событии
∈
(1 - δ)δ при T ≤ 2δt выполняется
n
n
λ∗Tn ≥ λ∗t(1 - 2δ)
и на событии B(T ) при T ≤ 2δt и 2Rδ ≤ cε выполняются соотношения
}
{Z
ν(T )
λ∗Tν(T) - vν(T)+1 ≥ -R,
∈ (0)ε
∩ B(T) = B(T),
t
то имеем
(
)
Zν(t)
e-λ∗t(1-2δ) E eVν(t) ;
∈ (α)2ε
≥
t
2δt
(
)
Zn
t
Tn
t
≥ E eVn;
∈
(α)ε,
∈
(1 - δ)δ, t - Tn ∈ dT
× e-RJ(T, ε),
n
n
n
n
T =0
где
(
)
J (T, ε) := E
eVν(T)+1 ; B(T)
= P∗(B(T)) ≥ qk(T)+1.
59
В последнем неравенстве мы воспользовались леммой 6. Получаем
(
)
Zν(t)
E eVν(t);
∈ (α)2ε
≥
t
2tδ
(
)
Zn
t
Tn
t
≥eλ∗t(1-2δ)-Rq2ct+1 P∗
∈
(α)ε,
∈
(1 - δ)δ, t - Tn ∈ dT
=
n
n
n
n
0
)
(Zn
t
Tn
t
=eλ∗t(1-2δ)-Rq2ct+1P∗
∈
(α)ε,
∈
(1 - δ)δ
(4.13)
n
n
n
n
Чтобы продолжить доказательство формулы (3.2), нам понадобится следующее
утверждение.
Лемма 7. Для любых ε > 0, δ > 0, r > 0 имеет место следующая оценка снизу
)
(Tn
Zn
в принципе больших уклонений для сумм
,
, n := [rt], для несобственного,
n
n
вообще говоря, распределения P∗(·):
)
)
1
((Tn
Zn
t
(
)
lim inf
ln P∗
,
∈
(1 - δ)δ × (α)ε
≥ -Λ∗r
(1 - δ)δ × (α)ε
,
(4.14)
t→∞ t
n
n
n
)
((θ, α)
где Λ∗r(θ, α) := rΛ∗
и где для множества B ⊂ R+ × Rd
r
Λ∗r(B) := inf
Λ∗r(θ, α).
(θ,α)∈B
Доказательство. Наряду с несобственным распределением P∗(τ ∈ ·, ζ ∈ ·)
рассмотрим собственное распределение
P(τ ∈ · , ζ ∈ · ) := e-C P∗(τ ∈ · , ζ ∈ · ),
(4.15)
где C := ln E ev. Функцию уклонений, отвечающую
P-распределению вектора (τ, ζ),
обозначим
{
}
Λ(θ, α) := sup
λθ + 〈μ, α〉 - lnEeλτ+〈μ,ζ〉
(λ,μ)
Очевидно, что справедливо равенство
Λ(θ, α) = Λ∗(θ, α) + C.
(4.16)
Воспользуемся теперь известной (см., например, [22, теорема 1.2.1]) оценкой снизу
)
(Tn
Zn
в принципе больших уклонений для сумм
,
, n := [rt], для собственного
n
n
распределения
P(·):
)
)
1
((Tn
Zn
t
(
)
lim inf
lnP
,
∈
(1 - δ)δ × (α)ε
≥-Λr
(1 - δ)δ × (α)ε
,
(4.17)
t→∞ t
n
n
n
)
((θ, α)
где
Λr(θ, α) := rΛ
и где для множества B ⊂ R+ × Rd
r
Λr(B) := inf
Λr(θ, α).
(θ,α)∈B
Остается заметить, что в силу (4.15) и (4.16) левая (правая) часть (4.14) отличается
от левой (правой) части (4.17) на слагаемое -rC. ▴
60
Продолжим доказательство неравенства (3.2). Используя (4.13) и лемму 7, полу-
чаем
(
)
1
Zν(t)
L-(α, 2ε) := liminf
ln E eVν(t) :
∈ (α)2ε
≥
t→∞ t
t
≥ -Λ∗r((1 - δ)δ × (α)ε) + λ∗ - Wδ,
(4.18)
(
)
где W :=
4λ∗ +4| ln q| . Максимизируя правую часть (4.18) по r > 0, используя
c
обозначения
D∗Λ∗(θ, β) := inf
Λ∗r(θ, β), θ > 0, β ∈ Rd,
r>0
D∗Λ∗(B) := inf
D∗Λ∗(θ, β), B ⊂ (0, ∞) × Rd,
(θ,β)∈B
и равенство
(
)
(
)
inf
Λ∗r
(1 - δ)δ × (α)ε
= D∗Λ∗
(1 - δ)δ × (α)ε
,
r>0
получаем
(
)
L-(α, 2ε) ≥ -D∗Λ∗
(1 - δ)δ × (α)ε
+ λ∗ - Wδ.
Поскольку для любого u > 0 выполняется
D∗Λ∗(uθ, uβ) = uD∗Λ∗(θ, β),
то из последнего неравенства выводим
(
)
L-(α, 2ε) ≥ -(1 - δ)D∗Λ∗
(1)δ′ × (β)ε′
+λ∗ -Wδ≥
(
)
≥ -(1 - δ)D∗Λ∗
{1} × (β)ε′
+ λ∗ - Wδ,
(4.19)
ε
α
где δ′ :=δ
, ε′ :=
, β :=
. Заметим, что для любого ε > 0 найдется
1-δ
1-δ
1-δ
δ0 = δ0(ε) > 0, такое что для всех δ ∈ (0, δ0) выполняется
(α)ε/2 ⊂ (β)ε′ ,
и следовательно,
(
)
(
)
-D∗Λ∗
{1} × (β)ε′
≥ -D∗Λ∗
{1} × (α)ε/2
Используя последнее неравенство для оценки снизу правой части (4.19), получаем
(
)
L-(α, 2ε) ≥ -(1 - δ)D∗Λ∗
{1} × (α)ε/2
+λ∗ -Wδ;
устремляя δ ↓ 0, имеем для любого N ≥ 2
(
)
(
)
L-(α, 2ε) ≥ -D∗Λ∗
{1} × (α)ε/2
+ λ∗ ≥ -D∗Λ∗
{1} × (α)ε/N
+λ∗;
устремляя N → ∞ и используя (4.5), получаем неравенство
(
)
L-(α, 2ε) ≥ -
D∗Λ∗(1, α) + λ∗
(4.20)
Осталось установить взаимосвязь между функциями D∗(u, α) и D(α). Для лю-
бого 0 < u ≤ 1 воспользуемся представлениями
D∗(u, α) = sup
{λu + 〈μ, α〉}, A∗(λ, μ) = A(λ - λ∗, μ),
A∗(λ,μ)≤0
61
в силу которых получаем равенство
D∗(u, α) - λ∗u =
sup
{λu + 〈μ, α〉} - λ∗u = D(u, α).
(4.21)
A(λ-λ∗,μ)≤0
Применяя (4.21) при u = 1 к неравенству (4.20) и используя (4.18), получаем
доказательство неравенства (3.2). При этом получено доказательство неравенства
(3.3) в случае, когда выполнено
D(α) = Dλ-(α).
(4.22)
Докажем теперь неравенство (3.3) в случае, когда условие (4.22) не выполнено, т.е.
когда
D(α) > Dλ-(α).
(4.23)
Заметим, что в случае (4.23) выполняется λ- < D(0) (см. лемму 1, п. (iv)), и следо-
вательно,
λ- < ∞.
(4.24)
Поэтому достаточно доказать неравенство (3.3) в случае (4.24). Проведем это до-
казательство. В этом случае последний “большой скачок” τν(t)+1 вносит некоторый
вклад в асимптотику исследуемой вероятности. Очевидно, что
(
) (
)
Zν(t)
Z
ν(t)
E eVν(t);
∈ (α)2ε
=E eλ∗Tν(t)+Vν(t);
∈ (α)2ε
≥
t
t
(
)
Zn
Tn
≥E eλ∗Tn+Vn;
∈ (α)ε,
∈ (u - δ)δ
× P(τ > t(1 - u + 2δ)),
t
t
}
{Tn
t
где число u ∈ (0, 1) фиксировано. Поскольку на событии
∈
(u - δ)δ выпол-
n
n
няется
λ∗Tn ≥ λ∗t(u - 2δ),
то имеем
(
)
Zν(t)
E eVν(t);
∈ (α)2ε
≥
t
(
)
Zn
t
Tn
t
≥eλ∗t(u-2δ)E eVn;
∈
(α)ε,
∈
(u - δ)δ
× P(τ > t(1 - u + 2δ)).
(4.25)
n
n
n
n
Далее, повторяя с очевидными изменениями вывод из (4.13) неравенства (4.20), вы-
водим из (4.25) для всех u ∈ (0, 1), α ∈ Rd неравенство
L-(α, 2ε) ≥ -(D∗(u, α) - λ∗u + λ-(1 - u)).
(4.26)
Применяя (4.21) к правой части неравенства (4.26), получаем
L-(α, 2ε) ≥ -(D(u, α) + λ-(1 - u)).
Максимизируя правую часть последнего неравенства по u ∈ (0, 1), получаем для
всех α ∈ Rd
L-(α, 2ε) ≥ -Dλ-(α),
(4.27)
где функция
Dλ
(α) определена в п. (iii) леммы 5. Выберем теперь произвольные
-
α′ ∈ (α)ε и ε′ > 0, такие что выполняется (α′)ε′ ⊂ (α)ε. Применяя (4.27) для α′
62
и ε′, получаем
L-(α, 2ε) ≥ L-(α′, 2ε′) ≥ -Dλ-(α′).
(4.28)
Максимизируя далее правую часть (4.28) по α′ ∈ (α)ε, для любого ε′ ∈ (0, ε] полу-
чаем
Dλ
L-(α, 2ε) ≥ - inf
-
(α′).
α′∈(α)e′
Осталось воспользоваться равенством (4.6) и получить утверждение (3.3) при до-
полнительном условии λ- < ∞, что завершает доказательство леммы 3. ▴
Доказательство леммы 4. Легко видеть, что для любых γ > 0,
λ > 0 п.н.
справедливы неравенства
(
)
γ|Zν(t)|-λTν(t)
|Z(t)|
(
)
e
I
≥M
≤I
γ|Z(t)| -λTν(t) ≥ Mγt -λt
≤
,
(4.29)
t
eMγt-λt
-Tk
e
I(ν(t) = k) ≤ I(Tk ≤ t) = I(e-Tk ≥ e-t) ≤
(4.30)
e-t
Из условия [C∗] следует, что найдутся γ > 0 и
λ > 0, такие что
u := E ev+γ|ζ|-(λ+1)τ < 1.
(4.31)
Выбирая γ > 0 и
λ> 0 так, чтобы было выполнено неравенство (4.31), используя
неравенства (4.29), (4.30) и лемму Беппо Леви, получаем
(
)
)
|Z(t)|
(eVν(t)+γ|Zν(t)|-λT
ν(t)
E eVν(t);
≥M
≤E
≤
t
eMγt-λt
)
∑
(eVk+γ|Zk|-λTk
≤e-Mγt+λt +
E
; ν(t) = k
≤
eMγt-̃t
k=1
∑
(eVk+γ|Zk|-(λ+1)Tk)≤
≤e-Mγt+λt +
E
eMγt-(̃+1)t
k=1
∑(
)k
≤e-Mγt+λt +e-t(Mγ-λ-1)
Eev+γ|ζ|-(λ+1)τ
≤
k=1
(
)
u
≤ 1+
e-t(Mγ-λ-1).
(4.32)
1-u
N +λ+1
Используя неравенство (4.32), выбирая M =
, получаем
γ
(
)
1
|Z(t)|
lim sup
ln E eVν(t) ;
≥M
≤ -Mγ + λ + 1 = -N.
▴
t→∞
t
t
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Могульский А.А., Прокопенко Е.И. Принцип больших уклонений в фазовом простран-
стве для многомерного первого обобщенного процесса восстановления // Сиб. электрон.
2. Могульский А.А., Прокопенко Е.И. Принцип больших уклонений в фазовом простран-
стве для многомерного второго обобщенного процесса восстановления // Сиб. электрон.
63
3.
Tsirelson B. From Uniform Renewal Theorem to Uniform Large and Moderate Deviations
for Renewal-Reward Processes // Electron. Commun. Probab. 2013. V. 18. № 52. P. 1-13.
4.
Боровков А.А., Могульский А.А. Интегро-локальные предельные теоремы для обоб-
щенных процессов восстановления при выполнении условия Крамера. I, II // Сиб. ма-
тем. журн. 2018. Т. 59. № 3. С. 491-513. https://doi.org/10.17377/smzh.2018.59.302;
5.
Могульский А.А., Прокопенко Е.И. Интегро-локальные теоремы для многомерных
обобщенных процессов восстановления при моментном условии Крамера. I, II, III //
2018.15.041; С. 503-527. https://doi.org/10.17377/semi.2018.15.042; С. 528-553.
6.
Могульский А.А., Прокопенко Е.И. Локальные теоремы для арифметических много-
мерных обобщенных процесов восстановления при выполнении условия Крамера //
207
7.
Logachov A., Mogulskii A., Prokopenko E., Yambartsev A. Local Theorems for (Multidi-
mensional) Additive Functionals of Semi-Markov Chains // Stochastic Process. Appl. 2021.
8.
Могульский А.А., Прокопенко Е.И. Принцип больших уклонений для конечномер-
ных распределений многомерных обобщенных процессов восстановления // Матем. тр.
9.
Логачёв А.В., Могульский А.А. Локальные теоремы для конечномерных приращений
арифметических многомерных обобщенных процессов восстановления при выполнении
условия Крамера // Сиб. электрон. матем. изв. 2020. Т. 17. С. 1766-1786. https://doi.
org/10.33048/semi.2020.17.120
10.
Боровков А.А., Могульский А.А. Принципы больших уклонений для траектории обоб-
щенных процессов восстановления. I, II // Теория вероятн. и ее примен. 2015. Т. 60.
№ 2. С. 227-247. https://doi.org/10.4213/tvp4617; № 3. С. 417-438. https://doi.org/
10.4213/tvp4631
11.
Logachov A.V., Mogulskii A.A. Anscombe-type Theorem and Moderate Deviations for Tra-
jectories of a Compound Renewal Process // J. Math. Sci. (N.Y.). 2018. V. 229. P. 36-50.
12.
Могульский А.А. Расширенный принцип больших уклонений для траекторий обоб-
щенного процесса восстановления // Матем. тр. 2021. Т. 24. № 1. С. 142-174. https:
//doi.org/10.33048/mattrudy.2021.24.106
13.
Lefevere R., Mariani M., Zambotti L. Large Deviations for Renewal Processes // Stochastic
06.005
14.
Бакай Г.А. Большие уклонения обрывающихся многомерных обобщенных процессов
восстановления // Теория вероятн. и ее примен. 2021. Т. 66. № 2. С. 261-283. https:
//doi.org/10.1016/j.spa.2011.06.005
15.
Zamparo M. Large Deviations in Renewal Models of Statistical Mechanics // J. Phys. A:
ab523f
16.
Zamparo M. Large Deviations in Discrete-Time Renewal Theory // Stochastic Process.
17.
Giacomin G. Random Polymer Models. London: Imperial College Press, 2007.
18.
den Hollander F. Random Polymers. New York: Springer, 2009.
19.
Zălinescu C. Convex Analysis in General Vector Spaces. River Edge, N.J.; London: World
Sci., 2002.
20.
Могульский А.А., Прокопенко Е.И. Функция уклонений и базовая функция для мно-
гомерного обобщенного процесса восстановления // Сиб. электрон. матем. изв. 2019.
64
21. Logachov A., Mogulskii A., Prokopenko E. Large Deviations Principle for Terminating Mul-
tidimensional Compound Renewal Processes with Application to Polymer Pinning Models,
arxiv.org/abs/2112.09640 [math.PR], 2021.
22. Боровков А.А. Асимптотический анализ случайных блужданий. Быстроубывающие
распределения приращений. М.: Физматлит, 2013.
Логачёв Артём Васильевич
Поступила в редакцию
Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск
23.12.2021
Новосибирский государственный университет
После доработки
Новосибирский государственный технический университет
28.03.2022
omboldovskaya@mail.ru
Принята к публикации
Могульский Анатолий Альфредович
30.03.2022
Прокопенко Евгений Игоревич
Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск
Новосибирский государственный университет
mogul@math.nsc.ru
evgenii.prokopenko@gmail.com
65
