ПРОБЛЕМЫ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ

Том 58

2022

Вып. 1

УДК 621.391.1 : 519.725 : 512.647.2

С. Шарма¹, А. Шарма²

МУЛЬТИСКРУЧЕННЫЕ АДДИТИВНЫЕ КОДЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ

ДВОЙСТВЕННЫМИ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ

Мультискрученные (МС) аддитивные коды над конечными полями образуют

важный класс аддитивных кодов, обобщающий констациклические аддитивные

коды. Изучается специальный класс аддитивных МС-кодов над конечными по-

лями, а именно аддитивные МС-коды с дополнительными двойственными кода-

ми относительно обычной билинейной, эрмитовой и ∗-формы следа. Также вы-

водится необходимое и достаточное условие, при котором аддитивный МС-код

над конечным полем имеет дополнительный двойственный. Затем приводят-

ся явные формулы для числа всех аддитивных МС-кодов с дополнительными

двойственными над конечными полями относительно вышеупомянутых били-

нейных форм следа. Результаты проиллюстрированы несколькими примерами.

Ключевые слова: констациклические аддитивные коды, разложение Витта, ин-

декс Витта.

DOI: 10.31857/S055529232201003X

§ 1. Введение

Линейные коды над конечными полями - наиболее хорошо изученный класс ко-

дов, исправляющих ошибки. Линейный код, имеющий тривиальное пересечение со

своим двойственным кодом, называется линейным кодом с дополнительным двой-

ственным (или LCD-кодом - linear complementary-dual code). LCD-коды над конеч-

ными полями были введены в [1], где была дана алгебраическая характеризация

LCD-кодов над конечными полями и показано, что существуют асимптотически хо-

рошие LCD-коды. Там же было показано, что LCD-коды дают оптимальное реше-

ние задачи линейного кодирования для двоичного суммирующего канала с двумя

пользователями. Позже в [2] было получено необходимое и достаточное условие,

при котором циклический код над конечным полем является LCD-кодом. В [3], ис-

пользуя спектры размерностей остовов (hulls) линейных кодов, было показано, что

LCD-коды над конечными полями лежат на асимптотической границе Варшамова-

Гилберта. В [4] были построены LCD-коды с помощью ортогональных матриц, ком-

бинаторных дизайнов, самодвойственных кодов и отображений Грея из кодов над

семейством колец F₂[u₁, u₂, . . ., u_k]/〈u2i, u_iu_j - u_ju_i〉. Там же была получена грани-

ца линейного программирования на наибольший размер LCD-кода заданной длины

с заданным минимальным расстоянием и представлена таблица нижних границ для

этой комбинаторной функции для умеренных значений параметров. Помимо приме-

нения LCD-кодов в системах связи и хранения данных, LCD-коды недавно нашли

¹ Работа выполнена при финансовой поддержке Комиссии по университетским грантам (UGC)

Индии.

² Работа выполнена при финансовой поддержке фонда iHub-Anubhuti-IIITD в рамках програм-

мы NM-ICPS Министерства науки и технологии Индии (номер гранта IHUB Anubhuti/Project

Grant/12).

применение в криптографии. В [5] было показано, что LCD-коды могут быть по-

лезны для защиты конфиденциальной информации от атак по сторонним каналам

(SCA) и по привнесенным помехам (FIA). Также там было представлено несколько

конструкций LCD-кодов над конечными полями, основанных на расширении кодов

Рида-Соломона.

Как естественное обобщение линейных кодов в другом направлении в [6] были

введены и изучены аддитивные коды над конечным полем F₄. Там же были рас-

смотрены их двойственные коды относительно скалярного произведения, заданного

функцией следа, и предложен метод построения квантовых кодов, исправляющих

ошибки, из самоортогональных аддитивных кодов над F₄. Затем в [7,8] изучались

аддитивные коды над произвольными конечными полями. Позднее в [9, 10] были

исследованы циклические аддитивные коды длины n над F₄ и найдено канониче-

ское разложение для таких кодов. Также в [9, 10] изучались их двойственные ко-

ды относительно скалярного произведения с функцией следа на Fn4 и было найдено

число всех самоортогональных и самодвойственных циклических аддитивных кодов

над F₄. Обобщением этой работы явилась работа [11], в которой изучались цикли-

ческие аддитивные коды длины n над F_qt, где t ≥ 2 - целое число, q - степень

простого, F_qt - конечное поле порядка q^t, а n - положительное целое число, такое

что НОД(n, q) = 1. Число всех таких кодов было найдено с помощью полученного

канонического разложения для этих кодов. Там же были изучены их двойственные

коды и найдено число всех самоортогональных и самодвойственных циклических

аддитивных кодов над F_qt относительно обыкновенной и эрмитовой билинейных

форм следа на Fnqt. Позже в [12] была введена и изучена новая билинейная фор-

ма следа на Fnqt , названная ∗-формой следа, а также исследованы двойственные

коды циклических аддитивных кодов и найдено число всех самоортогональных и

самодвойственных циклических аддитивных кодов над F_qt относительно билиней-

ной ∗-формы следа. В другой работе тех же авторов [13] были изучены циклические

аддитивные коды длины n с дополнительными двойственными над F_qt относительно

обычной билинейной, эрмитовой и ∗-формы следа и приведены явные формулы для

числа кодов этих трех классов. В последующей работе [14] циклические аддитивные

коды над F_qt были обобщены далее - изучались констациклические аддитивные

коды длины n над F_qt, где t - простое число и НОД(n, q) = 1. Были также изуче-

ны их двойственные коды относительно обычной билинейной формы следа на Fnqt.

В той же работе были получены необходимые и достаточные условия для того, что-

бы негациклический аддитивный код длины n над F_q2 был самодвойственным или

самоортогональным. Далее, для любого целого числа t ≥ 2 (не обязательно степени

простого) в [15] была тщательно исследована алгебраическая структура констацик-

лических аддитивных кодов длины n над F_qt, и число всех таких кодов было найдено

с помощью полученного там канонического разложения. Кроме того, были изучены

их двойственные коды и даны явные формулы для числа всех констациклических

аддитивных самоортогональных, самодвойственных кодов и кодов с дополнитель-

ными двойственными длины n над F_qt относительно обычной билинейной, эрмито-

вой и ∗-формы следа на F^nqt. Как обобщение констациклических аддитивных кодов

в недавней работе [16] были введены и исследованы аддитивные мультискручен-

ные (multi-twisted) коды (МС-коды) над конечными полями. Были также изучены

их двойственные коды и получены явные выражения для числа всех самоортого-

нальных и самодвойственных аддитивных МС-кодов длины n над F_qt относительно

обычной билинейной, эрмитовой и ∗-формы следа на F^nqt.

Основной целью настоящей статьи является изучение аддитивных МС-кодов с до-

полнительными двойственными над конечными полями относительно следующих

билинейных форм следа: обычной, эрмитовой и ∗-формы. Более точно, будет вы-

ведено необходимое и достаточное условие, при котором аддитивный МС-код над

конечным полем имеет дополнительный двойственный. Будут также получены яв-

ные формулы для числа всех аддитивных МС-кодов над конечными полями с до-

полнительными двойственными относительно вышеуказанных билинейных форм

следа.

Статья имеет следующую структуру. В § 2 приведены некоторые предваритель-

ные сведения, необходимые для вывода основных результатов. В § 3 выведено необхо-

димое и достаточное условие, при котором аддитивный МС-код над конечным полем

имеет дополнительный двойственный (теорема 3). В § 4 получены явные формулы

для числа всех аддитивных МС-кодов над конечными полями относительно обычной

билинейной, эрмитовой и ∗-формы следа (теорема 4), а также приведены примеры,

иллюстрирующие эти результаты. В § 5 вкратце подведены итоги и сформулирован

интересный открытый вопрос в данном направлении.

§2. Предварительные сведения

В этом параграфе вводятся обозначения и приводятся некоторые базовые опре-

деления и факты, необходимые для вывода основных результатов. Всюду далее

t ≥ 2 - целое число, q - степень простого числа p, а через Fq и Fqt обозначают-

ся конечные поля порядков q и q^t соответственно. Пусть m₁, m₂, . . . , m_ℓ - нату-

ральные числа, взаимно простые с q, и пусть n = m₁ + m₂ + . . . + m_ℓ. Зафикси-

руем множество Ω = (ω₁, ω₂, . . . , ω_ℓ), где ω₁, ω₂, . . . , ω_ℓ - ненулевые элементы по-

ля F_q. Для каждого 1 ≤ i ≤ ℓ определим факторкольцо V_i = F_qt[x]/〈xmi - ω_i〉.

∏

Тогда множество V =

V_i можно рассматривать как F_q[x]-модуль относитель-

i=1

но операций покомпонентного сложения и покомпонентного умножения на скаля-

ры, который будем называть Ω-мультискрученным модулем (Ω-МС-модулем). Тогда

Ω-мультискрученный аддитивный код (аддитивный Ω-МС-код) C длины n с длинами

блоков (m₁, m₂, . . . , m_ℓ) над F_qt определяется [16] как F_q[x]-подмодуль модуля V.

Всюду далее в качестве элементов факторкольца F_Q[x]/〈F (x)〉 будут рассматри-

ваться их представители в F_Q[x] степени строго меньшей, чем степень F(x), и их сло-

жение и умножение будет выполняться по модулю F (x), где F_Q - конечное поле по-

рядка Q, а F (x) - непостоянный многочлен из F_Q[x]. При этом вектор α ∈ Fnqt будем

записывать в виде (α1,0, α1,1, . . . , α1,m1-1; . . .; αℓ,0, αℓ,1, . . ., αℓ,m_ℓ-1) и будем отож-

дествлять его с элементом α(x) = (α₁(x), α₂(x), . . . , α_ℓ(x)) ∈ V, где α_i(x) = αi,0 +

+αi,1x+ . . .+ αi,mi-1xmi-¹ ∈ Vi для 1 ≤ i ≤ ℓ. Это отображение из F^qt в V является

изоморфизмом векторных пространств. При таком отождествлении Ω-аддитивный

МС-код C можно рассматривать как F_q-линейное подпространство пространства Fnqt

(или аддитивный код длины n над F_qt), удовлетворяющее следующему свойству: ес-

ли c = (c1,0, c1,1, . . . , c1,m1-1; c2,0, c2,1, . . . , c2,m2-1; . . . ; cℓ,0, cℓ,1, . . . , cℓ,mℓ-1^{)-кодовое}

слово кода C, то его Ω-мультискрученный сдвиг (Ω-МС-сдвиг)

T_Ω(c) = (ω₁c1,m1-1, c1,0, . . ., c1,m1-2; ω2c2,m2-1, c2,0, . . . , c2,m2-2; . . . ;

ω_ℓc_ℓ,m

ℓ-1,cℓ,0^,...,cℓ,mℓ-2⁾

также является кодовым словом кода C. Следует отметить, что аддитивные Ω-МС-

коды над F_qt совпадают с

• ω₁-констациклическими аддитивными кодами над F_qt при ℓ = 1 (см. [14,15]);

• циклическими аддитивными кодами над F_qt при ℓ = 1 и ω₁ = 1 (см. [11-13]);

• негациклическими аддитивными кодами над F_qt при ℓ = 1 и ω₁ = -1 (см. [15]).

Для дальнейшего изучения алгебраической структуры аддитивных Ω-МС-кодов

длины n над F_qt обозначим через g₁(x), g₂(x), . . . , g_r(x) все различные неприводимые

множители многочленов xm1 -ω₁, xm2 -ω₂, . . . , xmℓ -ω_ℓ в кольце F_q[x]. Для 1 ≤ u ≤ r

и 1 ≤ i ≤ ℓ положим

^{1, если g_u(x) делит x^mi - ω_i в F_q[x],

ε_u,i =

в противном случае.

⊕

Из китайской теоремы об остатках получаем, что F_q[x]/〈xmi - ω_i〉 ≃

ε_u,iF_u для

u=1

1 ≤ i ≤ ℓ, где F_u = F_q[x]/〈g_u(x)〉 ≃ F_qdu, du = deggu(x) для 1 ≤ u ≤ r. Соглас-

но [11, лемма 1] можно далее разложить многочлен g_u(x) на неприводимые мно-

гочлены над F_qt в виде g_u(x) = gu,0(x)gu,1(x) . . . gu,au-1(x), где au = НОД(t, du),

а g_u,j(x) - неприводимый многочлен над F_qt степени degg_u,j(x) = d_u/a_u = D_u для

0 ≤ j ≤ a_u - 1. Снова применяя китайскую теорему об остатках, получаем, что

⊕

V_i ≃

ε_u,iF_u,j для каждого i, где F_u,j = F_qt [x]/〈g_u,j(x)〉 ≃ F_qtDu для 1 ≤ u ≤ r

u=1 j=0

и 0 ≤ j ≤ a_u - 1. В действительности для 1 ≤ i ≤ ℓ соответствующий изоморфизм

⊕

колец ψ_i : V_i →

ε_u,iF_u,j задается как

u=1 j=0

(

ψ_i(α_i(x)) =

ε1,iα_i(x) + 〈g1,0(x)〉, ε1,iα_i(x) + 〈g1,1(x)〉, . . . , ε1,iα_i(x) + 〈g1,a1-1(x)〉,

)

...,ε_r,iα_i(x) + 〈gr,0(x)〉,ε_r,iα_i(x) + 〈gr,1(x)〉,... ,ε_r,iα_i(x) + 〈gr,ar-1(x)〉

для любого α_i(x) ∈ V_i.

Из этого следует, что

⊕

V ≃

(εu,1F_u,j , εu,2F_u,j , . . . , ε_u,ℓF_u,j

u=1 j=0

Gu,j

⊕

Положим G = G_u, где G_u =

G_u,j для 1 ≤ u ≤ r. Тогда соответствующий

u=1

j=0

изоморфизм колец ψ : V → G задается как

ψ(α₁(x), α₂(x), . . . , α_ℓ(x)) = A = (A₁, A₂, . . . , A_r)

для любого (α₁(x), α₂(x), . . . , α_ℓ(x)) ∈ V,

где A_u = (Au,0, Au,1, . . . , Au,au-1) ∈ Gu, а Au,j ∈ Gu,j имеет вид Au,j = (A^u

,A(2)u,j,

...,A(ℓ)u,j), где A(i)u,j := ε_u,iα_i(x) + 〈g_u,j(x)〉 ∈ ε_u,iF_u,j для любых i, u и j. Далее, для

∑

1 ≤ u ≤ r положим ε_u = ε_u,i. Заметим, что множество G_u является (ε_ut)-мерным

i=1

векторным пространством над F_u относительно покомпонентного сложения и по-

компонентного умножения на скаляры. Теперь приведем теорему 2.2 из работы [16],

описывающую каноническое разложение всякого Ω-аддитивного МС-кода длины n

над F_qt .

Теорема 1 [16]. Справедливы следующие утверждения.

(a) Пусть C - Ω-аддитивный МС-код длины n над F_qt. Для 1 ≤ u ≤ r положим

C_u = C ∩ G_u. Тогда для каждого u множество C_u является F_u-линейным под-

пространством пространства G_u, а код C имеет единственное разложение в

⊕

прямую сумму C = C_u. (Подпространства C₁, C₂, . . . , C_r называются компо-

u=1

нентами кода C.)

(b) И наоборот, если D_u - F_u-линейное подпространство пространства G_u для 1 ≤

∑

⊕

≤ u ≤ r и D = D_u, то D = D_u и множество D является Ω-аддитивным

u=1

МС-кодом длины n над F_qt.

В [16, §§ 2, 3] изучались двойственные коды аддитивных Ω-МС-кодов длины n

над F_qt относительно следующих билинейных форм следа: обычной, эрмитовой и

∗-формы следа на Fnqt, которые определяются следующим образом.

Обычная билинейная форма следа - это отображение 〈· , ·〉₀ : F^nqt × F^nqt → Fq,

задаваемое формулой

∑

〈α, β〉₀ =

Tr_qt,q(αi,hβi,h)

i=1 h=0

для любых α, β ∈ Fnqt, где Tr_qt_,q - отображение следа из F_qt в F_q. Как указано

в [11, лемма 5], эта билинейная форма следа 〈· , ·〉₀ является невырожденной сим-

метрической билинейной формой на Fnqt.

Для определения эрмитовой билинейной форм следа пусть t ≥ 2 - четное целое,

и пусть t = 2^aU, где a ≥ 1, а U - нечетное целое. Нетрудно видеть, что существует

ненулевой элемент γ ∈ F_q2a , такой что γ + γq2a-1 = 0. Тогда эрмитова билинейная

форма следа - это отображение 〈· , ·〉_γ : F^nqt × F^nqt → Fq, задаваемое формулой

∑

〈α, β〉_γ =

)

i=1 h=0

для любых α, β ∈ F^nqt. Как указано в [11, лемма 5], эрмитова билинейная форма следа

〈· , ·〉_γ является невырожденной рефлексивной неопределенной билинейной формой

на F^nqt .

Наконец, для определения билинейной ∗-формы следа пусть t ≥ 2 - целое число,

такое что t ≡ 1 (mod p). Тогда отображение ϕ: F_qt → F_qt , задаваемое формулой

∑

ϕ(a) =

aqλ = Tr_qt_,q(a) - a для всех a ∈ F_qt , является F_q-линейным изоморфиз-

λ=1

мом векторных пространств. Билинейная ∗-форма следа - это отображение 〈· , ·〉_∗ :

F^nqt × F^nqt → Fq, задаваемое формулой

∑

〈α, β〉_∗ =

Tr_qt,q(αi,hϕ(βi,h))

i=1 h=0

для любых α, β ∈ Fnqt. Согласно [12, лемма 3.2] билинейная ∗-форма следа 〈· , ·〉_∗ яв-

ляется невырожденной симметрической билинейной формой на Fnqt, причем неопре-

деленной в случае четного q.

Всюду далее будем использовать обозначение δ ∈ {0, ∗, γ} и определим T_δ как

множество (i) всех целых чисел t ≥ 2, если δ = 0, (ii) всех целых t ≥ 2, таких

что t ≡ 1 (mod p), если δ = ∗, и (iii) всех четных целых t ≥ 2, если δ = γ. Далее,

если C (⊆ Fnqt ) - Ω-аддитивный МС-код длины n над F_qt, то его δ-двойственный

код C⊥δ определяется как C⊥δ = {v ∈ F^nqt : 〈v, c〉δ = 0 для всех c ∈ C}. Можно

показать, что δ-двойственный код C⊥δ является Ω^′-аддитивным МС-кодом длины n

над F_qt , где Ω^′ = (ω-11, ω-12, . . . , ω-1ℓ). При этом Ω-аддитивный МС-код C называ-

ется кодом, имеющим дополнительный δ-двойственный, где δ ∈ {0, ∗, γ}, если он

удовлетворяет соотношению C ∩ C⊥δ = {0}. Рассуждая как и выше, нетрудно пока-

зать, что δ-двойственный код C⊥δ можно также рассматривать как F_q[x]-подмодуль

∏

Ω^′-МС-модуля V^′ = V^′i, где V^′i = F_qt[x]/〈xmi - ω-1i〉 для 1 ≤ i ≤ ℓ.

i=1

Для дальнейшего изучения алгебраической структуры δ-двойственных кодов для

аддитивных Ω-МС-кодов над F_qt заметим, что число m = НОК[m₁O(ω₁), m₂O(ω₂),

...,m_ℓO(ω_ℓ)] является наименьшим натуральным числом, таким что НОК[xm1 -ω₁,

xm2 -ω₂, . . . , xmℓ -ω_ℓ] делит x^m -1 в F_q[x], где через O(ω_i) обозначается мультипли-

кативный порядок элемента ω_i, 1 ≤ i ≤ ℓ. Отметим, что TmΩ = I, где I - тождествен-

ный оператор на F^nqt. Теперь пусть Q = q^e, где e ≥ 1, π ∈ {1, -1}, и пусть θ - целое

∑

число, такое что 0 ≤ θ ≤ e - 1. Далее, пусть F (x) =

a_hx^h + x^d - нормированный

h=0

делитель многочлена x^m - 1 в F_Q[x]. Тогда многочлен, взаимный c F (x), определя-

∑

ется как F^†(x) = a-10

a_hx^d-h +a-10. Кроме того, определим

F (x) =

aqθh x^h +x^d,

h=0

∑

если π = 1, и

F (x) = a-qθ

aqθh x^d-h + a0qθ , если π = -1. Тогда отображение

h=0

τ_qθ,π : FQ[x]/〈F(x)〉 → FQ[x]/

F (x)〉, определяемое как

(

)

∑

f_hxh

f_hx^h ∈ F_Q[x]/〈F(x)〉,

τ_qθ,π

= fqθh x^πh для любого

h=0

является изоморфизмом колец, где x-1 = xm-1 в F_Q[x]/

F (x)〉, если π = -1. Бо-

лее того, изоморфизм τ_qe-θ_,π является обратным к τ_qθ_,π. В частности, если F (x) =

= xmi - ω-1i ∈ F_qt[x], то

F (x) = xmi - ω_i, где 1 ≤ i ≤ ℓ. Кроме того, для 1 ≤ i ≤ ℓ

изоморфизм τ1,-1 : V^′i → V_i задается равенством τ1,-1(β_i(x)) = β_i(x-1) для любого

β_i(x) ∈ V′i, где x-1 = ω-1ixmi-1 ∈ Vi. Отображение τ1,-1 можно далее продол-

(

жить до отображения τ1,-1 : V^′ → V как τ1,-1(β(x)) =

τ1,-1(β₁(x)), τ1,-1(β₂(x)), . . . ,

)

τ1,-1(β_ℓ(x))

для любого β(x) = (β₁(x), β₂(x), . . . , β_ℓ(x)) ∈ V^′. С другой стороны, ес-

ли F (x) = x^m - 1, то

F (x) = x^m - 1, и поэтому отображение τ1,-1 : F_q[x]/〈x^m - 1〉 →

→ F_q[x]/〈x^m - 1〉 задается как

(

)

∑

τ1,-1

a_hxh

= a_hx^-h для любого

a_hx^h ∈ F_q[x]/〈x^m - 1〉,

h=0

где x-1 = xm-1 в F_q[x]/〈x^m - 1〉. Теперь для δ ∈ {0, ∗, γ} определим отображение

(· , ·)_δ : V × V^′ → F_q[x]/〈x^m - 1〉 следующим образом.

Для α(x) ∈ V и β(x) ∈ V^′ положим

⎧

(

)

⎪

∑

x^m - 1

(

)

⎪

ω_i

τ_qμ,1

α_i(x)τ1,-1(β_i(x))

для δ = 0,

⎪

x^mi - ωi

i=1 μ=0

⎨

)

(

) (

∑

x^m - 1

∑

(α(x), β(x))_δ =

ω_i

τ_qμ,1

α_i(x)

τ_qλ,-1(βi(x))

для δ = ∗,

⎪

x^m

i - ωi

i=1 μ=0

λ=1

⎪

(

)

⎪∑

∑

x^m - 1

(

)

⎩

ω_i

τ_qμ,1

γα_i(x)τ_qt/2,-1(β_i(x))

для δ = γ.

i=1 μ=0

x^mi - ωi

Здесь факторкольцо F_q[x]/〈x^m - 1〉 рассматривается как F_q[x]-модуль. Согласно [16,

∑

лемма 2.2] для δ ∈ {0, ∗, γ} имеем (α(x), β(x))_δ =

〈α, TkΩ′ (β)〉δ x^k для α(x) ∈ V и

k=0

β(x) ∈ V^′, где через TkΩ′ (β) обозначен k-кратный Ω^′-МС-сдвиг вектора β ∈ F^nqt . При

этом отображение (· , ·)_δ является рефлексивной невырожденной τ1,-1-полуторали-

нейной формой на V × V^′ для δ ∈ {0, ∗, γ}. Отображение (· , ·)_δ эрмитово, когда

δ ∈ {0,∗}, и антиэрмитово, когда δ = γ. Кроме того, согласно [16, теорема 2.4], если

C (⊆ V) - Ω-аддитивный МС-код длины n над F_qt, то для δ ∈ {0, ∗, γ} соответству-

ющий δ-двойственный код C⊥δ(⊆ V^′) кода C является F_q[x]-подмодулем V^′ и имеет

вид C⊥δ = {β(x) ∈ V^′ : (α(x), β(x))_δ = 0 для всех α(x) ∈ C}.

Снова применяя китайскую теорему об остатках и рассуждая как выше, получа-

⊕

(

)

ем, что V^′ ≃ G^′ =

G^′u, где G^′u =

G^′u,j, а G^′u,j =

εu,1F^†u,j, εu,2F^†u,j, . . . , ε_u,ℓF^†u,j

u=1

j=0

где F^†u,j = F_qt [x]/〈g^†u,j(x)〉 для 1 ≤ u ≤ r и 0 ≤ j ≤ a_u - 1. Поэтому всякий элемент

(β₁(x), β₂(x), . . . , β_ℓ(x)) ∈ V^′ отождествляется с элементом B = (B₁, B₂, . . . , B_r) ∈ G^′,

где B_u = (Bu,0, Bu,1, . . . , Bu,au-1) ∈ G^u, а элемент Bu,j ∈ G^u,j имеет вид Bu,j = (B^u

B(2)u,j, . . ., B(ℓ)u,j), где B(i)u,j := ε_u,iβ_i(x) + 〈g^†u,j(x)〉 ∈ ε_u,iF^†u,j для 1 ≤ i ≤ ℓ, 1 ≤ u ≤ r и

0 ≤ j ≤ a_u - 1. При таких отождествлениях V с G и V^′ с G^′ пусть [·,·]_δ: G × G^′ →

⊕

→ Fu - отображение, соответствующее τ1,-1-полуторалинейной форме (·,·)_δ для

u=1

δ ∈ {0,γ,∗}, имеющее в трех случаях следующий вид соответственно:

(

∑

[A, B]₀ =

ε1,i

τ_qμa1+j,1(A(i)1,a

τ1,-1(B(i)1,a

)), . . .

1-j

i=1

j=0

μ=0

)

∑

...,

ε_r,i

τ_qμar +j,1(A(i)r,a

τ1,-1(B(i)r,a

))

r-j

-j

i=1

j=0

μ=0

(

∑

[A, B]_γ =

ε1,i

τ_qμa1+j,1(γA(i)1,a

(B(i)

)), . . .

1-j

2 ,-1

1,t2 -j

i=1

j=0

μ=0

)

∑

...,

ε_r,i

τ_qμar +j,1(γA(i)r,a

(B(i)

))

r-j

2 ,-1

r,t2-j

i=1

j=0

μ=0

(

((

)

∑

[A, B]_∗ = -[A, B]₀ +

ε1,i

τ_qμa1+j,1(A(i)1,a

)

-j

i=1

j=0

μ=0

(

))

∑

τ_qσa1+j,1(τ1,-1(B(i)1,a

))

,...

-j

j=0

σ=0

((

)

∑

...,

ε_r,i

)

τ_qμar +j,1(Ar,ar-j

i=1

j=0

μ=0

(

)))

∑

))

τ_qσar +j,1(τ1,-1(Br,ar

-j

j=0

σ=0

для любых A ∈ G и B ∈ G^′. Согласно [16, леммы 2.3, 2.4] отображение [· , ·]_δ является

рефлексивной невырожденной эрмитовой τ1,-1-полуторалинейной формой на G × G^′

при δ ∈ {0, ∗}, а отображение [· , ·]_γ - рефлексивной невырожденной антиэрмитовой

τ1,-1-полуторалинейной формой на G × G^′. Ввиду вышесказанного δ-двойственный

код C⊥δ для Ω-аддитивного МС-кода C(⊆ G) длины n над F_qt задается как

C⊥δ = {B ∈ G^′ : [A, B]_δ = 0 для всех A ∈ C}.

Теперь без ограничения общности пусть g1,0(x), g1,1(x), . . . , g1,a1-1(x), . . . , ge1,0(x),

ge1,1(x), . . . , ge1,ae₁ -1(x) - все различные возвратные (взаимные самим себе) непри-

водимые множители многочленов xm1 - ω₁, xm2 - ω₂, . . . , xmℓ - ω_ℓ в кольце F_qt[x],

ge1+1,0(x), ge1+1,0(x), ge1+1,1(x), g^e1+1,1(x),...,ge1+1,ae1+1-1(x),ge1+1,ae1+1-1(x),...,

ge2,0(x), ge2,0(x), ge2,1(x), g^e2,1(x),...,ge2,ae2 -1(x),ge2,ae₂ -1(x)-неприводимыемно-

жители, образующие взаимные пары, а ge2+1,0(x), ge2+1,1(x), . . . , ge2+1,ae2+1-1(x), . . . ,

ge3,0(x), ge3,1(x), . . . , ge3,ae₃ -1(x) - все остальные неприводимые множители этих мно-

гочленов. Заметим, что r = e₂ + e₃ - e₁.

Далее, для e₁ + 1 ≤ w ≤ e₂ и 1 ≤ i ≤ ℓ положим

{

†

1, если g_w

(x) | (xmi - ω_i) в F_qt [x] для некоторого j,

ε^†w,i =

в противном случае.

Пусть I_w = {i : 1 ≤ i ≤ ℓ, ε_w,i = ε^†w,i} и I^′w = {i : 1 ≤ i ≤ ℓ, ε_w,i = ε^†w,i}. Заметим,

∑

что тогда {1, 2, . . . , ℓ} = I_w ∪ I^′w (несвязное объединение). Положим η_w =

ε_w,i,

∑

i∈Iw

ϱ_w =

ε_w,i и τ_w =

ε^†w,i для e₁ + 1 ≤ w ≤ e₂. Тогда

i∈I^′

(

) (

)

(

)

⊕

(

)

⊕

G =

G_ν

⊕

G_w ⊕ G^†w

⊕

G_s

ν=1

w=e1+1

s=e2+1

где G_ν (соответственно, G_w , G^†w и G_s) - векторное пространство над F_ν (соответствен-

но, F_w, F^†w и F_s) для каждого ν (соответственно, w и s). Заметим также, что

(

) (

)

(

)

⊕

(

)

⊕

G^′

G_ν

⊕

H_w ⊕ H^†w

⊕

G^†

ν=1

w=e1+1

s=e2+1

где G_ν (соответственно, H_w, H^†w и G^†s) - векторное пространство над F_ν (соответ-

ственно, F_w, F^†w и F^†s) для каждого ν (соответственно, w и s). Таким образом, спра-

ведлива следующая

Теорема 2 [16]. Пусть C - Ω-аддитивный МС-код длины n над F_qt. Тогда

имеют место следующие разложения:

(

) (

)

⊕

(

)

⊕

(a) C =

C_ν

⊕

C_w⊕C^†w

⊕

C_s

, где C_ν (соответственно, C_w, C^†w

ν=1

w=e1+1

s=e2+1

и C_s) - подпространство пространства G_ν (соответственно, G_w, G^†w и G_s) над

и F_s) для каждого ν (соответственно, w и s);

F_ν (соо(ветственно, Fw, Fw ()

) (

)

⊕

(

)

⊕

(b) C⊥δ =

C⊥δν

⊕

C†⊥δw ⊕ Cwδ

⊕

C^⊥

, где C⊥δν (соответ-

ν=1

w=e1+1

s=e2+1

ственно, C⊥δw, Cw⊥δ и Csδ ) - ортогональное дополнение к Cν (соответственно,

C_w, C^†w и C_s) относительно полуторалинейной формы [· , ·]_δ, ограниченной на

G_ν × G_ν (соответственно, H^†w × G_w, H_w × G^†w и G^†s × G_s) для каждого ν (соот-

ветственно, w и s).

Подробнее об алгебраических структурах аддитивных Ω-МС-кодов над F_qt и их

δ-двойственных кодов см. в [16, §§ 2, 3].

§ 3. Необходимое и достаточное условие, при котором Ω-аддитивный

МС-код над F_qt имеет дополнительный δ-двойственный

В следующей теореме выводится необходимое и достаточное условие, при кото-

ром Ω-аддитивный МС-код длины n над F_qt имеет дополнительный δ-двойственный,

где δ ∈ {0, ∗, γ}.

Теорема 3. Пусть Ω = (ω₁,ω₂,...,ω_ℓ) фиксировано. Рассмотрим Ω-аддитив-

ный МС-код

(

) (

)

(

)

⊕

(

)

⊕

C =

C_ν

⊕

C_w ⊕ C^†w

⊕

C_s

ν=1

w=e1+1

s=e2 +1

длины n над F_qt. Для δ ∈ {0, ∗, γ} код C имеет дополнительный δ-двойственный

тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

• Для 1 ≤ ν ≤ e₁ пространство C_ν является F_ν-подпространством G_ν, таким

что C_ν ∩ C⊥δν = {0} (т.е. Cν - невырожденное Fν-подпространство Gν);

• Для e₁ +1 ≤ w ≤ e₂ пространство C_w является F_w-подпространством G_w, a C^†w

- F^†w-подпространством G^†w, и при этом C_w ∩ C†⊥δw = {0} и C^w ∩ Cwδ = {0}.

Как следствие, общее число D различных аддитивных Ω-МС-кодов длины n над F_qt,

имеющих дополнительные δ-двойственные, равно

∏

D= D_ν

D_w

D_s,

(1)

ν=1

w=e1+1

s=e2+1

где D_ν , 1 ≤ ν ≤ e₁, - число различных невырожденных F_ν -подпространств в G_ν ,

D_w, e₁ +1 ≤ w ≤ e₂, - число различных пар (C_w, C^†w), где C_w - F_w-подпространство

в G_w, а C^†w - F^†w-подпространство в G^†w, таких что C_w ∩ C†⊥δw = {0} и C^w ∩ Cwδ =

= {0}, а D_s, e₂ + 1 ≤ s ≤ e₃, - число различных F_s-подпространств в G_s.

Доказательство непосредственно вытекает из теорем 1 и 2. ▴

Теперь применим эту теорему и теорию разложений Витта для подсчета коли-

чества всех аддитивных Ω-МС-кодов длины n над F_qt, имеющих дополнительные

δ-двойственные, где δ ∈ {0, ∗, γ}. Для этого вначале напомним некоторые определе-

ния из геометрии и теории групп. Если V - конечномерное векторное пространство

над полем F_Q, а B - полуторалинейная форма на V , то пара (V, B) называется полу-

торалинейным пространством (formed space) над F_Q. Размерностью полуторалиней-

ного пространства (V, B) называется размерность V как векторного пространства

над F_Q и обозначается через dim_F

V . Пусть теперь (V,B) - n-мерное рефлексивное

невырожденное полуторалинейное пространство над F_Q. Индексом Витта m про-

странства (V, B) называется размерность максимального самоортогонального (или,

что то же самое, максимального вполне изотропного) подпространства V . Отметим,

что n ≥ 2m. Ненулевой вектор v ∈ V называется изотропным, если B(v, v) = 0. Ги-

перболической парой называется пара (v, w) изотропных векторов v, w ∈ V , таких

что B(v, w) = 1. Всюду далее через Im,n-2m и Hm,n-2m будем обозначать, соответ-

ственно, число изотропных векторов и гиперболических пар в n-мерном полутора-

линейном пространстве (V, B) с индексом Витта m. Подробнее см. в [17, 18].

Напомним также следующий хорошо известный факт.

Лемма 1. Для любого числа Q, равного степени простого, и любых натураль-

ных чисел B, K, таких что B ≤ K, число различных B-мерных подпространств

K-мерного векторного пространств над F_Q равно Q-ичному гауссовскому биноми-

^[K^]

∏

(Q^K-b - 1)

альному коэффициенту

(напомним, что Q-ичный биноми-

B Qb=0 (Qb+1 - 1)

^[K^]

альный коэффициент

по определению равен 1). Как следствие, общее число

различных подпространств K-мерного векторного пространства над F_Q равно

∑

^[K^]

∑

^[K^]

N (K, Q) =

=1+

B=0

B Q

B=1

B Q

Теперь приступим к подсчету количества всех аддитивных Ω-МС-кодов длины n

с длинами блоков (m₁, m₂, . . . , m_ℓ) над F_qt , имеющих дополнительные δ-двойствен-

ные, для δ ∈ {0, ∗, γ}.

§ 4. Число аддитивных Ω-МС-кодов над F_qt,

имеющих дополнительные δ-двойственные

В следующей теореме получены явные формулы для числа всех аддитивных

Ω-МС-кодов длины n над F_qt, имеющих дополнительные δ-двойственные, для δ ∈

∈ {0, ∗, γ}.

Теорема 4. Пусть Ω = (ω₁,ω₂,...,ω_ℓ) фиксировано. Тогда для δ ∈ {0,∗,γ}

общее число D различных аддитивных Ω-МС-кодов длины n над F_qt, имеющих до-

полнительные δ-двойственные, равно

(_η

)

∏

∑

^[η_wt^]

^[ϱ_wt^]

^[τ_wt^]

D= D_ν

qkdw(ηwt-k)

k₁

k₂

qdw

ν=1

w=e1+1

k=0 k1=0 k2=0

(

)

∏

∑

^[ε_st^]

s=e2+1

a=0

qds

где число D_ν , 1 ≤ ν ≤ e₁, равно следующему:

]

∑

^[ενt/2

• 2+

qk(εν2-k)

, если ν ∈ J₁ и либо δ = γ и ε_νt четно, либо δ = ∗ и

k/2

k=1

k четно

оба числа ε_ν t, q четны;

]

∑

^[(ενt - 1)/2

• 2+

qk(ενt2 k+1)

q(^ενt-2)(k+1)

, если ν ∈ J₁,

k=1

k/2

q²

k=1

(k - 1)/2 q

k четно

k нечетно

δ ∈ {0,∗} и оба числа ε_νt,q нечетны;

]

∑

^[ενt/2

^[(ενt - 2)/2^]

• 2 +

qk(εν2-k)

q(^kενt

(qε2t + 1)

, если

k=1

k/2

q²

k=1

(k - 1)/2 q²

k четно

k нечетно

ν ∈ J₁, δ ∈ {0,∗} и либо ε_νt четно и q ≡ 1 (mod 4), либо ε_νt ≡ 0 (mod 4) и

q ≡ 3 (mod 4);

]

∑

^[ενt/2

∑

^[(ενt - 2)/2^]

• 2 +

qk(εν2-k)

q(^kενt

(qε2t - 1)

, если

k/2

q²

(k - 1)/2 q2

k=1

k четно

k нечетно

ν ∈ J₁, δ ∈ {0,∗}, ε_νt ≡ 2 (mod 4) и q ≡ 3 (mod 4);

]

∑

^[(ενt - 1)/2

• 2

qk(ενt2 k+1)

q(^ενt-2)(k+1)

если

k/2

q²

(k - 1)/2 q

k=1

k четно

k нечетно

ν ∈ J₁, δ = 0, q четно и ε_νt нечетно;

{

∑

^[(ενt - 2)/2^]

•

2 +

q(kενt 2k2-2)

(q^k + q - 1)

+ (qενt-k+1 - qεν t-k + 1) ×

k=1

k/2

q²

k четно

}

]

∑

^[(ενt - 2)/2^]

^[(ενt - 2)/2

q(k+1)εν2-(k2+1)

, если ν ∈ J₁, δ = 0 и оба

(k - 2)/2 q2

k=1

(k - 1)/2 q2

k нечетно

числа ε_νt, q четны;

(

)

(εν t-a)dν

∑

∏

- (-1)ενt-a

• 2+

qk(ενt2 k)dν

, если ν ∈ J₂.

(k-a)dν

k=1

a=0

- (-1)^k-a

Для доказательства теоремы напомним, что согласно (1) общее число D различ-

ных аддитивных Ω-МС-кодов длины n над F_qt, имеющих дополнительные δ-двой-

∏

ственные, равно D =

D_ν

D_w

D_s, где

ν=1

w=e1+1

s=e2+1

• D_ν, 1 ≤ ν ≤ e₁, равно числу различных невырожденных F_ν-подпространств в G_ν;

• D_w, e₁ + 1 ≤ w ≤ e₂, равно числу различных пар (C_w,C^†w), где C_w - F_w-подпро-

странство в G_w, а C^†w - F^†w-подпространство в G^†w , таких что C_w ∩ C†⊥δw = {0} и

C^†w ∩ C⊥δw = {0};

• D_s, e₂ + 1 ≤ s ≤ e₃, равно числу различных F_s-подпространств в G_s.

Ввиду этого для доказательства теоремы 4 достаточно определить числа D_ν для

1 ≤ ν ≤ e₁, D_w для e₁ + 1 ≤ w ≤ e₂ и D_s для e₂ + 1 ≤ s ≤ e₃. С этой целью введем

множества J₁ = {ν : 1 ≤ ν ≤ e₁, d_ν = 1} и J₂ = {ν : 1 ≤ ν ≤ e₁, d_ν > 1}. Отметим,

что {1, 2, . . . , e₁} = J₁ ∪ J₂ (несвязное объединение). Теперь приведем лемму 3.4 из

работы [16], полезную для определения чисел D_ν , 1 ≤ ν ≤ e₁.

Лемма 2 [16]. Зафиксируем ν ∈ J₁∪J₂ = {1,2,...,e₁}. Для δ ∈ {0,∗,γ} обозна-

чим через [· , ·]_δ↾Gν×Gν^{ограничениеτ}1,-1-полуторалинейнойформы[·,·]δ^наGν^×Gν^.

Тогда справедливы следующие утверждения:

(a) Для δ ∈ {0, ∗, γ} ограничение [· , ·]_δ↾

является рефлексивной невырожден-

Gν ×Gν

ной τ1,-1-полуторалинейной формой на G_ν ;

(b) Для ν ∈ J₁ форма [· , ·]_δ↾

является симметрической при δ ∈ {0, ∗}, а фор-

Gν ×Gν

ма [· , ·]_γ↾

- неопределенная;

Gν ×Gν

является эрмитовой при δ ∈ {0, ∗}, а форма

Gν ×Gν

[· , ·]_γ ↾

- антиэрмитова.

Gν ×Gν

Для доказательства теоремы 4 вначале найдем значения D_ν для ν ∈ J₁ ∪ J₂ =

= {1, 2, . . ., e₁}. Для этого сперва заметим, что если обозначить через N_ν,k число

различных k-мерных невырожденных F_ν -подпространств в G_ν для 0 ≤ k ≤ ε_ν t, то

∑

D_ν = N_ν,k. Так как τ1,-1-полуторалинейная форма [· , ·]_δ↾

рефлексивна и

Gν ×Gν

k=0

невырождена, то Nν,0 = Nν,ενt = 1, откуда получаем

∑

D_ν = 2 +

N_ν,k для ν ∈ J₁ ∪ J₂ = {1, 2, . . ., e₁}.

(2)

k=1

4.1. Определение числа D_ν для ν ∈ J1. В этом пункте рассмотрим случай

ν ∈ J₁ и найдем значения D_ν для δ ∈ {0,∗,γ}. Здесь d_ν = 1, и поэтому F_ν ≃ F_q.

В следующем предложении вычисляются значения D_ν, когда либо δ = γ, либо δ = ∗

и q четно.

Предложение 1. Пусть ν ∈ J₁ фиксировано. Если либо δ = γ, либо δ = ∗ и

q четно, то

]

∑

k(εν t-k)

^[ε_νt/2

D_ν = 2 +

k/2

k=1

q²

k четно

Доказательство. Согласно формуле (2) для доказательства достаточно най-

ти числа N_ν,k для 1 ≤ k ≤ ε_νt - 1. Для этого заметим, что по утверждениям (a), (b)

леммы 2 (G_ν , [· , ·]_δ↾_G

) является симплектическим пространством над F_ν , ко-

ν×Gν

гда δ = γ. Кроме того, когда δ = ∗ и q четно, [A_ν , A_ν ]_∗ = 0 для всех A_ν ∈ G_ν .

Отсюда по лемме 2(a) следует, что (G_ν, [· , ·]_∗↾

) также является симплектиче-

Gν ×Gν

ским пространством над F_ν , когда q четно. Далее, любое k-мерное невырожденное

F_ν-подпространство W в G_ν также является симплектическим пространством. Со-

гласно [18, с. 69] размерность k такого подпространства W должна быть четной.

Значит, N_ν,k = 0, если k нечетно.

Пусть k четно. В этом случае k-мерное подпространство W в G_ν имеет разложение

)

Витта W = 〈Aν1), Bν1)〉 ⊥ 〈Aν2), Bν2)〉 ⊥ . . . ⊥ 〈A⁽

,Bν2)〉, где (Aνh),Bνh)) - гипербо-

)

лическая пара в G_ν для 1 ≤ h ≤

; множество {Aν1), Bν1), Aν2), Bν2), . . . , A⁽

,Bν2)}

называется базисом Витта пространства W над F_ν (см. [18, с. 69]). Применяя [17,

предложение 2.9] и теорему Витта о сокращении, получаем, что число базисов Витта

{

)

типа

Aν1), Bν1), Aν2), Bν2), . . . , A⁽

,Bν2)} в G_ν равно

Uk,εν t = Hεν t,0

H ενt-2

. . . Hενt-k+2,0

Аналогично выводится, что число базисов Витта k-мерного F_ν -подпространства в G_ν

равно

U_k = Hk

Hk-2

...H1,0.

Тогда согласно [18, с. 70] получаем

]

Uk,εν t

k(εν t-k)

^[ε_ν t/2

N_ν,k =

U_k

k/2

q²

Из этого с учетом (2) немедленно вытекает требуемое. ▴

В следующем предложении найдены числа D_ν в случае нечетного q и δ ∈ {0, ∗}.

Предложение 2. Пусть ν ∈ J₁ фиксировано. Если δ ∈ {0,∗}, а нечетное q -

степень простого числа, то

⎧

]

∑

⎪

^[(ενt - 1)/2

⎪2+

qk(ενt2 k+1)

q(^ενt-2)(k+1)

⎪

k/2

q²

(k - 1)/2 q²

k=1

⎪

k четно

k нечетно

⎪

если ε_ν t нечетно,

⎪

∑

]

∑

⎪

^[ενt/2

^[(ενt - 2)/2^]

qk(εν2-k)

q(^ενtk

(qε2t + 1)

⎨

k/2

q²

(k - 1)/2 q2

k=1

D_ν =

k четно

k нечетно

⎪

если либо ε_ν t четно и q ≡ 1 (mod 4),

⎪

либо ε_νt ≡ 0 (mod 4) и q ≡ 3 (mod 4),

⎪

]

⎪

∑

^[ενt/2

∑

^[(ενt - 2)/2^]

qk(εν2-k)

q(^ενtk

(qε2t - 1)

⎪

k/2

q²

(k - 1)/2 q2

⎪

k=1

⎪

k четно

k нечетно

⎩

если ε_ν t ≡ 2 (mod 4) и q ≡ 3 (mod 4).

Доказательство. В случае δ ∈ {0,∗} согласно утверждениям (a), (b) леммы 2

(G_ν , [· , ·]_δ↾_G

) является (ε_ν t)-мерным ортогональным пространством над F_ν . Да-

ν×Gν

лее, поскольку q нечетно, ортогональное пространство (G_ν, [· , ·]_δ↾

) может рас-

Gν ×Gν

сматриваться как невырожденное квадратичное пространство (G_ν , Q_ν ) относительно

квадратичной формы Q_ν : G_ν → F_ν , определяемой как Q_ν (A_ν ) =

[A_ν , A_ν ]_δ для всех

A_ν ∈ G_ν. Далее, индекс Витта θ для G_ν (см. [11, с. 279]) имеет вид

⎧

⎪(εν t - 1)/2, если εν t нечетно,

⎨

ε_νt/2,

если ε_ν t ≡ 2 (mod 4) и q ≡ 3 (mod 4),

θ=

(3)

⎪

ε_νt - 2)/2, если либо ε_νt четно и q ≡ 1 (mod 4),

⎩⁽

либо ε_ν t ≡ 0 (mod 4) и q ≡ 3 (mod 4).

Для вычисления D_ν согласно (2) достаточно определить числа N_ν,k для 1 ≤ k ≤

≤ ε_νt - 1. Поэтому далее будем считать, что 1 ≤ k ≤ ε_νt - 1 фиксировано. Из

[18, с. 138] известно, что k-мерное невырожденное квадратичное F_ν -подпростран-

ство W в G_ν имеет разложение Витта вида W = 〈Aν1), Bν1)〉 ⊥ 〈Aν2), Bν2)〉 ⊥ . . . ⊥

⊥ 〈Aνθk), Bνθk)〉 ⊥ W_k, где θ_k - индекс Витта пространства W , (Aνh), Bνh)) - гипербо-

лическая пара в G_ν для 1 ≤ h ≤ θ_k, а W_k - анизотропное F_ν -подпространство в G_ν ,

такое что dimFν W_k = k - 2θ_k ≤ 2. Рассмотрим отдельно следующие два случая:

(i) k нечетно и (ii) k четно.

(i) Вначале пусть k нечетно. Тогда согласно [18, с. 138] имеем θ_k = (k - 1)/2,

откуда dimFν W_k = 1. Из этого, в свою очередь, следует, что k-мерное F_ν-подпро-

странство W в G_ν имеет разложение Витта W = 〈Aν1), Bν1)〉 ⊥ 〈Aν2), Bν2)〉 ⊥ . . . ⊥

k-1

)

⊥ 〈A⁽

,Bνk

〉 ⊥ 〈Z_ν〉, где (Aνh),Bνh)) - гиперболическая пара в G_ν для 1 ≤ h ≤

k-1

≤

, а Z_ν

- несингулярный вектор в G_ν ; множество {Aν1), Bν1), Aν2), Bν2), . . . ,

k-1

)

A⁽

,Bνk

,Z_ν} называетсябазисом Виттапространства W над F_ν. Применяя [17,

предложение 2.9] и теорему Витта о сокращении, получаем, что число базисов Витта

k-1

)

типа {Aν1), Bν1), Aν2), Bν2), . . . , A⁽

,Bνk

,Z_ν} в G_ν равно

(

)

Uk-1

= Hθ,ενt-2θHθ-1,ενt-2θ . . . H_θ-(k-3)

qεν t-k+1

- 1 - I_θ-(k-1)

,θ

,εν t-2θ

Аналогично выводится, что число базисов Витта для k-мерного F_ν -подпространства

в G_ν равно

Uk-1 = Hk-1

Hk-3

...H1,1(q - 1).

Тогда в силу [18, с. 140-141] имеем

⎧

^[(ενt - 2)/2^]

⎪

q(^kενt

(qε2t - 1)

если θ = ε_ν t/2,

⎪

(k - 1)/2 q²

⎨

U k-1

]

,θ

^[(ενt - 1)/2

N_ν,k =

q(^ενt-2)(k+1)

если θ = (ε_ν t - 1)/2,

(4)

U k-1

⁼⎪⎪

(k - 1)/2 q²

⎪

^[(ενt - 2)/2^]

^⎩q(kενt

(qε2t + 1)

если θ = (ε_ν t - 2)/2.

(k - 1)/2 q2

(ii) Теперь пусть k четно. Согласно [18, с. 138] имеем либо θ_k = k/2, либо θ_k =

= (k-2)/2. Обозначим через R_ν,k и S_ν,k число k-мерных невырожденных квадратич-

ных F_ν -подпространств в G_ν , имеющих индексы Витта k/2 и (k-2)/2 соответственно.

Отметим, что N_ν,k = R_ν,k + S_ν,k.

Если θ_k = k/2, то dimFν W_k = 0. Тогда k-мерное F_ν -подпространство W в G_ν

)

имеет разложение Витта W = 〈Aν1), Bν1)〉 ⊥ 〈Aν2), Bν2)〉 ⊥ . . . ⊥ 〈A⁽

,Bν2)〉, где

(Aνh), Bνh)) - гиперболическая пара в G_ν для 1 ≤ h ≤^k; множество {Aν1), Bν1), Aν2),

Bν2), . . . , A^ν

⁾, Bν2)} называется базисом Витта пространства W над F_ν. Применяя

[17, предложение 2.9] и теорему Витта о сокращении, получаем, что число базисов

)

Витта типа {Aν1), Bν1), Aν2), Bν2), . . . , A⁽

,Bν2)} в G_ν равно

,θ

= Hθ,ενt-2θHθ-1,ενt-2θ . . . Hθ-k-22,ενt-2θ^,

а число базисов Витта k-мерного F_ν -подпространства в G_ν , имеющего индекс Вит-

та

, равно U k = H k

Hk-2

...H1,0. Тогда из [18, с. 140-141] получаем

⎧

k(εν t-k)

⎪

(q² + 1)(qεν2-k + 1)^[ενt/2^]

если θ = ε_ν t/2,

⎪

εν t

k/2

q²

⎪

2(q

+ 1)

⎨

k(εν t-k)

,θ

(q² + 1)^[(ενt - 1)/2^]

R_ν,k =

если θ = (ε_ν t - 1)/2,

⁼⎪⎪

k/2

q²

⎪

k(εν t-k)

⎪

(q² + 1)(qεν2-k - 1)^[ενt/2^]

⎩

если θ = (ε_ν t - 2)/2.

εν t

k/2

q²

2(q

- 1)

Если θ_k = (k - 2)/2, то dimFν W_k = 2. В этом случае, рассуждая так же, как и в [13,

леммы 3.2, 3.3], получаем что каждое двумерное анизотропное F_ν -подпространство

в W имеет ортогональный базис и что число различных ортогональных базисов

двумерного анизотропного F_ν -подпространства в W равно

⎧

⎪

qενt-k(q - 1)²(qεν2-k - 1)(q^ενt

- 1)

⎪

если θ = ε_ν t/2,

⎪

⎨

qενt-k(q - 1)²(qενt-k+1 - 1)

X_k,θ =

если θ = (ε_ν t - 1)/2,

⎪

ν t-k

εν t-k+2

+ 1)(q

+ 1)

⎩qενt-k(q - 1)²(q^ε

если θ = (ε_ν t - 2)/2.

Таким образом, k-мерное F_ν -подпространство W пространства G_ν имеет разложе-

k-2

)

ние Витта W = 〈Aν1), Bν1)〉 ⊥ 〈Aν2), Bν2)〉 ⊥ . . . ⊥ 〈A⁽

,Bνk

〉 ⊥ 〈Zν1),Zν2)〉, где

(Aνh), Bνh)) - гиперболическая пара в G_ν для 1 ≤ h ≤k-2, а {Zν1),Zν2)} - ортого-

нальный базис двумерного анизотропного F_ν -подпространства W_k пространства W ;

k-2

)

множество

{Aν1), Bν1), Aν2), Bν2), . . . , A⁽

,Bνk

,Zν1), Zν2)} называется базисом

Витта пространства W над F_ν . Применяя [17, предложение 2.9] и теорему Витта о со-

k-2

)

кращении, получаем, что число базисов Витта типа {Aν1), Bν1), Aν2), Bν2), . . . , A⁽

k-2

B^ν

⁾,Zν1),Zν2)} в G_ν равно

U k-2

= Hθ,ενt-2θHθ-1,ενt-2θ . . . H_θ-(k-4)

X_k,θ.

,θ

,εν t-2θ

Аналогично выводится, что число базисов Витта k-мерного F_ν -подпространства

k-2

в G_ν, имеющих индекс Витта

, равно

Uk-2 = Hk-2

Hk-4

...H1,2(q² - 1)(q - 1).

Тогда согласно [18, с. 140-141] получаем

⎧

k(εν t-k)

⎪

(q² - 1)(qεν2-k - 1)^[ενt/2^]

если θ = ε_ν t/2,

⎪

k/2

q²

⎪

2(qε2t + 1)

⎨

U k-2

k(εν t-k)

,θ

(q² - 1)^[(ενt - 1)/2^]

S_ν,k =

если θ = (ε_ν t - 1)/2,

U k-2

⁼⎪⎪

k/2

q²

⎪

k(εν t-k)

⎪

(q² - 1)(qεν2-k + 1)^[ενt/2^]

⎩

если θ = (ε_ν t - 2)/2.

εν t

k/2

q²

2(q

- 1)

Отсюда следует, что

⎧

]

^[ενt/2

⎪qk(εν2-k)

если θ = ε_ν t/2,

⎪

k/2

q²

⎨

]

^[(ενt - 1)/2

N_ν,k = R_ν,k + S_ν,k =

qk(ενt2 k+1)

если θ = (ε_ν t - 1)/2,

(5)

⎪

k/2

q²

⎪

]

^[ενt/2

^⎩qk(εν2-k)

если θ = (ε_ν t - 2)/2.

k/2

q²

Наконец, подставляя значения N_ν,k из (4), (5) в (2), получаем требуемый резуль-

тат. ▴

В следующем предложении найдены числа D_ν в случае, когда q четно и δ = 0.

Предложение 3. Пусть ν ∈ J₁ фиксировано. Если δ = 0, а четное q - сте-

пень простого числа, то

⎧

]

⎪

∑

^[(ενt - 1)/2

⎪2+

qk(ενt2 k+1)

⎪

k/2

q²

⎪

k=1

k четно

⎪

]

∑

⎪

^[(ενt - 1)/2

⎪

q(^ενt-2)(k+1)

если ε_ν t нечетно,

⎪

k=1

(k - 1)/2 q²

⎨

k нечетно

(

∑

D_ν =

^[(ενt - 2)/2^]

q(kενt 2k2-2)

(q^k + q - 1)

⎪

k=1

k/2

q²

⎪

k четно

)

⎪

^[(ενt - 2)/2^]

⎪

+ (qεν t-k+1 - qεν t-k + 1)

⎪

(k - 2)/2 q²

⎪

]

⎪

∑

^[(ενt - 2)/2

⎪

q(k+1)εν2-(k2+1)

если ε_ν t четно.

⎩ +

(k - 1)/2 q2

k=1

k нечетно

Доказательство. Чтобы вычислить D_ν, в силу (2) достаточно найти числа

N_ν,k для 1 ≤ k ≤ ε_νt - 1. Для этого зафиксируем 1 ≤ k ≤ ε_νt - 1. Заметим, что

поскольку q здесь четно, все m_i - нечетные целые числа. Следовательно, m нечет-

но, откуда, в свою очередь, вытекает, что

= 1 в F_ν. Так как ν ∈ J₁, то d_ν = 1,

откуда a_ν = НОД(t, d_ν) = 1. Поэтому каждый A_ν ∈ G_ν можно представить в виде

A_ν = Aν,0 = (A(1)ν,0, A(2)ν,0, . . . , A(ℓ)ν,0), где A(i)ν,0 ∈ ε_ν,iFν,0 для 1 ≤ i ≤ ℓ. Теперь положим

}

{(

)

∑

(

)

M_ν =

A(1)ν,0, A(2)ν,0, . . ., A(ℓ)ν,0

∈G_ν :

ε_ν,i

A(i)ν,0 +τq,1(A(i)ν,0)+. . .+τ_qt-1,1(A(i)ν,0)

=0 .

i=1

Заметим, что множество M_ν является (ε_νt - 1)-мерным F_ν-подпространством в G_ν.

Положим также Θ_ν = (εν,1, εν,2, . . . , ε_ν,ℓ) ∈ G_ν. Легко видеть, что Θν ∈ Mν то-

гда и только тогда, когда ε_ν t четно. Соответственно возникают следующие случаи:

(i) ε_ν t нечетно и (ii) ε_ν t четно.

(i) Пусть ε_ν t нечетно. Тогда Θ_ν ∈ M_ν и dimFν 〈Θ_ν 〉 = 1. Кроме того, [A_ν , Θ_ν ]₀ =

= 0 для всех A_ν ∈ M_ν, и при этом M_ν ∩ 〈Θ_ν〉 = {0}. Отсюда следует, что про-

странство G_ν является ортогональной прямой суммой своих F_ν -подпространств M_ν

и 〈Θ_ν 〉, т.е. G_ν = M_ν ⊥ 〈Θ_ν 〉. Далее, (M_ν , [· , ·]₀↾

) - симплектическое про-

Mν×Mν

странство над F_ν . При этом любое F_ν -подпространство в G_ν либо содержится в M_ν ,

либо не содержится в M_ν .

Для вычисления N_ν,k вначале определим число различных k-мерных невырож-

денных F_ν -подпространств пространства G_ν , содержащихся в M_ν . Для этого, рас-

суждая так же, как и в предложении 1, получаем, что для нечетного k в M_ν не

существует k-мерных невырожденных F_ν-подпространств, а для четного k в M_ν

содержится ровно

]

^[(ε_ν t - 1)/2

N(e)ν,k = qk(ενt2k-1)

k/2

q²

различных k-мерных невырожденных F_ν -подпространств.

Далее, нетрудно видеть, что любое k-мерное F_ν-подпространство W в G_ν, не

содержащееся в M_ν , имеет тип W = 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-1), Aνk) +Θ_ν〉, где Aνh) ∈

∈ Mν \{0} для 1 ≤ h ≤ k -1 и Aνk) ∈ M_ν. Теперь отдельно рассмотрим следующие

два случая: k нечетно и k четно.

Вначале пусть k нечетно. Тогда, применяя [19, теорема 5.1.1] и [20, гл. 6, упраж-

нение 21], получаем, что F_ν -подпространство 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-1), Aνk) + Θ_ν 〉 про-

странства G_ν невырождено тогда и только тогда, когда 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-1)〉 явля-

ется (k - 1)-мерным невырожденным F_ν-подпространством в M_ν. Далее заметим,

что все Aνk) ∈ 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-1)〉⊥0 порождают различные k-мерные невырож-

денные F_ν -подпространства 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-1), Aνk) + Θ_ν 〉 в G_ν и что есть ровно

qεν t-k способов выбрать Aνk). Отсюда, рассуждая так же, как в предложении 1,

получаем, что число различных k-мерных невырожденных F_ν -подпространств типа

〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-1), Aνk) + Θ_ν 〉 в G_ν равно

]

^[(ε_ν t - 1)/2

M(o)ν,k = qεν t-kq(k-1)(2νt-k)

(k - 1)/2q2

Теперь пусть k четно. Если Aνk) = 0, то в силу [19, теорема 5.1.1] и [20, гл. 6,

упражнение 21] получаем, что F_ν -подпространство 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-1), Θ_ν 〉 про-

странства G_ν вырождено.

Если Aνk) = 0, то снова применяя [19, теорема 5.1.1] и [20, гл. 6, упражнение 21],

находим, что F_ν -подпространство 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-1), Aνk) + Θ_ν 〉 в G_ν невырожде-

но тогда и только тогда, когда 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk)〉 является k-мерным невырожден-

ным F_ν -подпространством в M_ν . Далее, каждое k-мерное невырожденное F_ν -под-

пространство 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk)〉 в M_ν порождает ровно (q^k -1) различных F_ν -под-

пространств 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-1), Aνk) + Θ_ν 〉 в G_ν . Отсюда, рассуждая так же, как

и в предложении 1, заключаем, что число различных k-мерных невырожденных

F_ν-подпространств типа 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-1), Aνk) + Θ_ν〉 в G_ν, где Aνh) ∈ M_ν \ {0}

для 1 ≤ h ≤ k, равно

]

^[(ε_ν t - 1)/2

M(e)ν,k = qk(ενt2k-1) (q^k - 1)

k/2

q²

Объединяя эти случаи, получаем

]

^[(ε_ν t - 1)/2

N_ν,k = M(o)ν,k = q(k+1)(2νt-k)

если k нечетно,

(k - 1)/2q2

]

^[(ε_ν t - 1)/2

N_ν,k = N(e)ν,k + M(e)ν,k = qk(ενt2k+1)

если k четно.

k/2

q²

M_ν - (ε_νt - 2)-мерное

(ii) Пусть ε_ν t четно. Тогда Θ_ν ∈ M_ν ∩ M⊥0ν . Пусть теперь

F_ν-подпространство в M_ν, такое что Θ_ν ∈

M_ν, так что M_ν =

M_ν ⊕ 〈Θ_ν〉. Да-

лее, заметим, что существует y_ν ∈

M_ν ⊕ 〈Θ_ν〉 ⊕ 〈y_ν〉.

M⊥0ν \ Mν, такой что Gν =

При этом

M_ν, [· , ·]₀↾_̂

является (ε_ν t - 2)-мерным симплектическим F_ν -под-

Mν×Mν )

пространством в G_ν . Далее заметим, что каждое k-мерное F_ν -подпространство в G_ν

либо содержится в

M_ν, либо содержится в

Mν ⊕ 〈Θν 〉, но не содержится в

M_ν, либо

содержится в

M_ν ⊕ 〈y_ν〉, но не содержится в

M_ν, либо содержится в G_ν =

M_ν ⊕

⊕ 〈Θ_ν 〉 ⊕ 〈y_ν 〉, но не содержится ни в одном из подпространств

M_ν,

M_ν ⊕ 〈Θ_ν〉 и

M_ν ⊕ 〈y_ν〉. В соответствии с этим рассмотрим следующие четыре случая по отдель-

ности.

A. Вначале подсчитаем число различных k-мерных невырожденных F_ν-подпро-

странств в

M_ν. Для этого, рассуждая так же, как и в предложении 1, заметим, что

для нечетного k в

M_ν не существует k-мерных невырожденных F_ν-подпространств,

а для четного k в

M_ν есть ровно

k(εν t-k-2)

[(ενt-2)/2k/2]

R(e)ν,k = q

q²

различных k-мерных невырожденных F_ν -подпространств.

B. Теперь подсчитаем все различные k-мерные невырожденные F_ν -подпростран-

ства пространства G_ν , содержащиеся в

M_ν ⊕ 〈Θ_ν〉, но не содержащиеся в

Mν . Рас-

суждая, как и в случае (i), получаем, что если k нечетно, то в G_ν не существует

таких k-мерных невырожденных F_ν -подпространств, а если k четно, то в G_ν есть

ровно

k(εν t-k-2)

[(ενt-2)/2k/2]

S(e)ν,k = (q^k - 1)q

q²

таких k-мерных невырожденных F_ν -подпространств.

C. Теперь подсчитаем все различные k-мерные невырожденные F_ν -подпростран-

ства пространства G_ν , содержащиеся в

M_ν ⊕〈y_ν〉, но не содержащиеся в

M_ν. Снова

рассуждая, как в случае (i), получаем, что если k нечетно, то в G_ν есть ровно

]

^[(ε_ν t - 2)/2

T(o)ν,k = q(k+1)(ε2t-k-1)

(k - 1)/2q2

таких k-мерных невырожденных F_ν -подпространств, а если k четно, то ровно

k(εν t-k-2)

[(ενt-2)/2k/2]

T(e)ν,k = (q^k - 1)q

q²

таких k-мерных невырожденных F_ν -подпространств.

D. Теперь заметим, что любое k-мерное F_ν-подпространство W пространства G_ν,

содержащееся в G_ν =

M_ν ⊕ 〈Θ_ν〉 ⊕ 〈y_ν〉, но не содержащееся ни в одном из его

подпространств

M_ν,

M_ν ⊕ 〈Θ_ν〉 и

M_ν ⊕ 〈y_ν〉, относится к одному из следующих

двух типов:

I. W = 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-1), Aνk) + Θ_ν + λ_ν y_ν 〉, где λ_ν ∈ F_ν \ {0}, Aνh) ∈

M_ν \{0}

для 1 ≤ h ≤ k - 1 и Aνk) ∈

Mν .

II. W = 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2), Aνk-1) + Θ_ν, Aνk) + y_ν 〉, где k ≥ 2, Aνh) ∈

M_ν \ {0}

для 1 ≤ h ≤ k - 2 и Aνk-1), Aνk) ∈

M_ν.

Чтобы вычислить N_ν,k, вначале определим число различных k-мерных невырож-

денных F_ν -подпространств типа 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-1), Aνk) + Θ_ν + λ_ν y_ν 〉 в G_ν , где

λ_ν ∈ F_ν \{0}, Aνh) ∈

M_ν \{0} для 1 ≤ h ≤ k-1 и Aνk) ∈

M_ν. Для этого рассмотрим

следующие два случая: k четно и k нечетно.

Сперва пусть k четно. Если Aνk) = 0, то в силу [19, теорема 5.1.1] и [20, гл. 6,

упражнение 21] получаем, что F_ν -подпространство 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-1), Θ_ν +λ_ν y_ν 〉

пространства G_ν вырождено.

Если же Aνk) = 0, то снова применяя [19, теорема 5.1.1] и [20, гл. 6, упражне-

ние 21], получаем, что F_ν -подпространство 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-1), Aνk) + Θ_ν + λ_ν y_ν 〉

пространства G_ν невырождено тогда и только тогда, когда 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-1),

Aνk)〉 является k-мерным невырожденным F_ν-подпространством в

M_ν. Далее, каж-

дое k-мерное невырожденное F_ν -подпространство 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-1), Aνk)〉 в

M_ν

порождает ровно (q^k - 1)(q - 1) различных k-мерных невырожденных F_ν -подпро-

странств 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-1), Aνk) + Θ_ν + λ_ν y_ν 〉 пространства G_ν .

Отсюда, рассуждая, как в предложении 1, получаем, что число различных k-мер-

ных невырожденных F_ν -подпространств пространства G_ν , имеющих тип 〈Aν1), Aν2),

...,Aνk-1),Aνk) + Θ_ν + λ_νy_ν〉, равно

]

^[(ε_ν t - 2)/2

U(e)ν,k = qk(ενt2k-2) (q^k - 1)(q - 1)

k/2

q²

Теперь предположим, что k нечетно. Тогда в силу [19, теорема 5.1.1] и [20, гл. 6,

упражнение 21] получаем, что подпространство 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-1), Aνk) + Θ_ν +

+λ_νy_ν〉 в G_ν невырождено тогда и только тогда, когда 〈Aν1),Aν2),...,Aνk-1)〉 являет-

ся (k-1)-мерным невырожденным F_ν -подпространством вMν . Далее, заметим, что

все элементы λ_ν ∈ F_ν \{0} и все элементы Aνk) ∈ 〈Aν1), Aν2), . . ., Aνk-1)〉⊥0 порожда-

ют различные k-мерные невырожденные F_ν -подпространства 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-1),

Aνk) + Θ_ν + λ_νy_ν〉 в G_ν. Отсюда, рассуждая, как в предложении 1, получаем, что

число различных k-мерных невырожденных F_ν -подпространств в G_ν , имеющих тип

〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-1), Aνk) + Θ_ν + λ_ν y_ν 〉, где λ_ν ∈ F_ν \ {0} и Aνh) ∈

Mν \ {0} для

1≤h≤k-1и Aνk) ∈

M_ν, равно

]

^[(ε_ν t - 2)/2

U(o)ν,k = q(k+1)(ε2t-k-1) (q - 1)

(k - 1)/2q2

Теперь подсчитаем количество различных k-мерных невырожденных F_ν -подпро-

странств в G_ν , имеющих тип 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2), Aνk-1) + Θ_ν , Aνk) + y_ν 〉, где k ≥ 2,

Aνh) ∈

M_ν \ {0} для 1 ≤ h ≤ k - 2 и Aνk-1), Aνk) ∈

M_ν. Для этого снова отдельно

рассмотрим два случая: k нечетно и k четно.

Сперва пусть k нечетно. Если Aνk-1) = 0, то в силу [19, теорема 5.1.1] и [20, гл. 6,

упражнение 21] получаем, что F_ν -подпространство 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2), Θ_ν, Aνk) +

+y_ν〉 пространства G_ν вырождено.

Если Aνk-1) = 0, а Aνk) = 0, то в силу [19, теорема 5.1.1] и [20, гл. 6, упражне-

ние 21] получаем, что подпространство 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2), Aνk-1) + Θ_ν , y_ν 〉 в G_ν

невырождено тогда и только тогда, когда 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2), Aνk-1)〉 является

(k - 1)-мерным невырожденным F_ν -подпространством в

M_ν. Тогда, рассуждая, как

и в случае (i), получаем, что число различных k-мерных невырожденных F_ν-под-

пространств в G_ν , имеющих тип 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2), Aνk-1) + Θ_ν , y_ν 〉, равно

]

^[(ε_ν t - 2)/2

W(o1)_ν,k = q(k-1)(ε2t-k-1) (qk-1 - 1)

(k - 1)/2q2

Теперь пусть оба вектора Aνk-1) и Aνk) ненулевые. Тогда отдельно рассмотрим

следующие два случая: Aνk-1), Aνk) линейно зависимы или Aνk-1), Aνk) линейно неза-

висимы над F_ν .

Сперва пусть Aνk-1) и Aνk) линейно зависимы над F_ν. Тогда Aνk) = α_νAνk-1) для

некоторого α_ν ∈ F_ν \{0}. Нетрудно заметить, что 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2), Aνk-1) +Θ_ν ,

Aνk) + y_ν〉 = 〈Aν1), Aν2), . . ., Aνk-2), Aνk-1) + Θ_ν, λ_νy_ν + Θ_ν〉, где λν ∈ Fν \ {0} и

Aνh) ∈

Mν \{0} для 1 ≤ h ≤ k-1. Применяя [19, теорема 5.1.1] и [20, гл. 6, упражне-

ние 21], получаем, что подпространство 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2), Aνk-1) +Θ_ν, λ_ν y_ν +Θ_ν 〉

в G_ν невырождено тогда и только тогда, когда (k - 1)-мерное F_ν-подпростран-

ство 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-1)〉 пространства

M_ν невырождено. Снова рассуждая, как

в случае (i), получаем, что число различных k-мерных невырожденных F_ν-подпро-

странств в G_ν , имеющих тип 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2), Aνk-1) + Θ_ν , Aνk) + y_ν 〉, в случае,

когда Aνk-1) и Aνk) линейно зависимы над F_ν , равно

]

^[(ε_ν t - 2)/2

W(o2)_ν,k = q(k-1)(ε2t-k-1) (qk-1 - 1)(q - 1)

(k - 1)/2q2

Теперь предположим, что Aνk-1) и Aνk) линейно независимы над F_ν . Тогда, снова

применяя [19, теорема 5.1.1] и [20, гл. 6, упражнение 21], получаем, что подпростран-

ство 〈Aν1), Aν2), . . ., Aνk-2), Aνk-1) + Θ_ν, Aνk) + y_ν〉 в G_ν невырождено тогда и только

тогда, когда 〈Aν1), Aν2), . . ., Aνk-1)〉 является (k-1)-мерным невырожденным F_ν-под-

пространством в

M_ν. Далее, заметим, что каждое (k - 1)-мерное невырожденное

F_ν-подпространство 〈Aν1), Aν2), . . ., Aνk-1)〉 в

M_ν порождает ровно (qk-1 - 1) раз-

личных (k - 1)-мерных невырожденных F_ν -подпространств 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2),

Aνk-1) + Θ_ν〉 в G_ν. Кроме того, в силу [17, предложение 2.9] можно представить

∑

Aνk) ∈

M_ν в виде Aνk) = ανh)Aνh) +

, где ανh) ∈ F_ν для 1 ≤ h ≤ k-1 и

∈

h=1

∈ 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-1)〉⊥0 . Теперь заметим, что 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2), Aνk-1) + Θ_ν ,

Aνk)+y_ν〉 = 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2), Aνk-1)+Θ_ν, ανk-1)Aνk-1)+

+y_ν〉. Нетрудно ви-

деть, что все ненулевые элементы Aνk) = ανk-1)Aνk-1) +

ν порождают различные

k-мерные невырожденные F_ν-подпространства 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2), Aνk-1) + Θ_ν,

Aνk) + y_ν〉 в G_ν. Отсюда, рассуждая, как в предложении 1, получаем, что чис-

ло различных k-мерных невырожденных F_ν -подпространств в G_ν , имеющих тип

〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2), Aνk-1) + Θ_ν , Aνk) + y_ν 〉, в случае, когда Aνk-1) и Aνk) линейно

независимы над F_ν, равно

]

^[(ε_ν t - 2)/2

W(o3)_ν,k = (qεν t-k - q)(qk-1 - 1)q(k-1)(ε2t-k-1)

(k - 1)/2q2

Объединяя рассмотренные выше случаи, получаем, что число различных k-мер-

ных невырожденных F_ν -подпространств в G_ν , имеющих тип 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2),

Aνk-1) + Θ_ν, Aνk) + y_ν〉, где Aνh) ∈

M_ν \ {0} для 1 ≤ h ≤ k - 2 и Aνk-1), Aνk) ∈

M_ν,

равно

]

^[(ε_ν t - 2)/2

W(o)ν,k = W(o1)_ν,k + W(o2)_ν,k + W(o3)_ν,k = qk(ενt-k)+2ενt-2k+1) (qk-1 - 1)

(k - 1)/2q2

Пусть теперь k четно. Если Aνk-1) = Aνk) = 0, то в силу [19, теорема 5.1.1]

и [20, гл. 6, упражнение 21] получаем, что F_ν -подпространство 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2),

Θ_ν, y_ν〉 в G_ν невырождено тогда и только тогда, когда 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2)〉 явля-

ется (k - 2)-мерным невырожденным F_ν-подпространством в

M_ν. Рассуждая, как

и в предложении 1, получаем, что число таких подпространств равно

]

^[(ε_ν t - 2)/2

W(e1)_ν,k = q(k-2)(2νt-k)

(k - 2)/2q2

Далее, если Aνk-1) = 0, а Aνk) = 0, то снова применяя [19, теорема 5.1.1] и [20,

гл. 6, упражнение 21], получаем, что F_ν -подпространство 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2), Θ_ν ,

Aνk) + y_ν〉 в G_ν невырождено тогда и только тогда, когда (k - 2)-мерное F_ν-подпро-

странство 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2)〉 пространства

M_ν невырождено. Заметим также,

что все элементы Aνk) ∈ 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2)〉⊥0 \{0} порождают различные k-мер-

ные невырожденные F_ν-подпространства 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2), Θ_ν , Aνk) + y_ν〉 в G_ν и

что есть ровно (qεν t-k - 1) способов выбрать Aνk). Отсюда, рассуждая, как в пред-

ложении 1, получаем, что число различных k-мерных невырожденных F_ν -подпро-

странств пространства G_ν , имеющих тип 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2), Θ_ν , Aνk) + y_ν〉, равно

]

^[(ε_ν t - 2)/2

W(e2)_ν,k = q(k-2)(2νt-k) (qεν t-k - 1)

(k - 2)/2q2

Далее, если Aνk) = 0, а Aνk-1) = 0, то рассуждая, как и выше, получаем, что

число различных k-мерных невырожденных F_ν -подпространств в G_ν , имеющих тип

〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2), Aνk-1) + Θ_ν , y_ν 〉, равно

]

^[(ε_ν t - 2)/2

W(e3)_ν,k = q(k-2)(2νt-k) (qεν t-k - 1)

(k - 2)/2q2

Наконец, пусть оба вектора Aνk-1) и Aνk) ненулевые. Тогда выделяются следу-

ющие случаи: Aνk-1), Aνk) линейно зависимы или Aνk-1), Aνk) линейно независимы

над F_ν .

Сперва пусть Aνk-1) и Aνk) линейно зависимы над F_ν. Тогда Aνk) = β_νAνk-1) для

некоторого β_ν ∈ F_ν \ {0}. Нетрудно видеть, что 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2), Aνk-1) + Θ_ν ,

Aνk) +y_ν〉 = 〈Aν1), Aν2), . . ., Aνk-1) +Θ_ν, β_νy_ν +Θ_ν〉, где β_ν ∈ F_ν \{0} и Aνh) ∈

M_ν\{0}

для 1 ≤ h ≤ k - 1. В силу [19, теорема 5.1.1] и [20, гл. 6, упражнение 21] получаем,

что F_ν -подпространство 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-1) + Θ_ν, β_ν y_ν + Θ_ν 〉 в G_ν невырождено

тогда и только тогда, когда 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2)〉 является (k - 2)-мерным невы-

рожденным F_ν -подпространством в

Mν . Далее, заметим, что все βν ∈ Fν \ {0} и

все Aνk-1) ∈ 〈Aν1), Aν2), . . ., Aνk-2)〉⊥0 порождают различные k-мерные невырожден-

ные F_ν -подпространства 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-1) + Θ_ν , β_ν y_ν + Θ_ν 〉 в G_ν . Отсюда, рас-

суждая, как в предложении 1, получаем, что число различных k-мерных невырож-

денных F_ν -подпространств в G_ν , имеющих тип 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2), Aνk-1) + Θ_ν ,

Aνk) + y_ν〉, в случае, когда Aνk-1) и Aνk) линейно зависимы над F_ν, равно

]

^[(ε_ν t - 2)/2

W(e4)_ν,k = q(k-2)(2νt-k) (qεν t-k - 1)(q - 1)

(k - 2)/2q2

Пусть теперь Aνk-1) и Aνk) линейно независимы над F_ν . Тогда, снова применяя

[19, теорема 5.1.1] и [20, гл. 6, упражнение 21], получаем, что F_ν -подпространство

〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2), Aνk-1) + Θ_ν , Aνk) + y_ν 〉 пространства G_ν невырождено тогда и

только тогда, когда либо

(⋆) k-мерное F_ν -подпространство 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk)〉 пространства

M_ν вырожде-

но, а (k -2)-мерное F_ν -подпространство 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2)〉 пространств

M_ν

невырождено, либо

(⋄) k-мерное F_ν -подпространство 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk)〉 пространств

M_ν невырожде-

но, а (k -2)-мерное F_ν -подпространство 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2)〉 пространств

M_ν

вырождено, либо

(‡) оба F_ν -подпространства 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk)〉 и 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2)〉 простран-

ств

M_ν невырождены и detG(Aν1), Aν2), . . . , Aνk)) = detG(Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2)),

где det G(Aν1), Aν2), . . . , Aνk)) и det G(Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2)) - определители мат-

риц Грама F_ν -подпространств 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk)〉 и 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2)〉

M_ν

относительно базисов

{Aν1), Aν2), . . . , Aνk)} и

{Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2)} соответ-

ственно.

Вначале найдем число k-мерных F_ν -подпространств типа 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2),

Aνk-1) + Θ_ν, Aνk) + y_ν〉 в G_ν, удовлетворяющих условию (⋆). Для этого заметим, что

〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2)〉 - невырожденное F_ν-подпространство в

M_ν. Следовательно,

в силу [17, предложение 2.9] имеем

M_ν = 〈Aν1), Aν2), . . ., Aνk-2)〉 ⊥ 〈Aν1), Aν2), . . . ,

Aνk-2)〉⊥0 , где 〈Aν1), Aν2), . . ., Aνk-2)〉⊥0 - (ε_νt - k)-мерное невырожденное F_ν-под-

пространство в

M_ν. Далее, все пары (Aνk-1), Aνk)) линейно независимых векторов в

〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2)〉⊥0 порождают различные k-мерные невырожденные F_ν -под-

пространства 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2), Aνk-1) + Θ_ν , Aνk) + y_ν 〉 в G_ν . Нетрудно видеть,

что 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk)〉 = 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2)〉 ⊥ 〈Aνk-1), Aνk)〉, откуда следует,

что det G(Aν1), Aν2), . . . , Aνk)) = det G(Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2)) det G(Aνk-1), Aνk)). По-

этому F_ν-подпространство 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk)〉 в

Mν вырождено тогда и только то-

гда, когда det G(Aνk-1), Aνk)) = 0, что имеет место тогда и только тогда, когда Aνk) ∈

∈ 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-1)〉⊥0 . Кроме того, заметим, что Aνk-1)

∈ 〈Aν1), Aν2), . . . ,

Aνk-2)〉⊥0 \ {0}, поэтому его можно выбрать (qεν t-k - 1) способами. Далее, заметим,

что есть (qεν t-k -1)(qεν t-k-1 -q) способов выбрать пару (Aνk-1), Aνk)). Отсюда, рас-

суждая так же, как и в предложении 1, получаем, что число различных k-мерных

невырожденных F_ν -подпространств в G_ν типа 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2), Aνk-1) + Θ_ν ,

Aνk) + y_ν〉, удовлетворяющих условию (⋆), равно

]

^[(ε_ν t - 2)/2

W(e5)_ν,k = q(k-2)(2νt-k) (qεν t-k - 1)(qεν t-k-1 - q)

(k - 2)/2q2

Теперь подсчитаем количество k-мерных F_ν -подпространств типа 〈Aν1), Aν2), . . . ,

Aνk-2), Aνk-1) + Θ_ν, Aνk) + y_ν〉 в G_ν, удовлетворяющих условию (⋄). Рассуждая, как

в предложении 1, получаем, что число k-мерных невырожденных F_ν -подпространств

]

^[(ενt - 2)/2

M_ν равно qk(ενt2k-2)

. Отметим, что каждое k-мерное невырожденное

k/2

q²

[

]

k/2

F_ν-подпространство 〈Aν1), Aν2), . . ., Aνk)〉 в

M_ν имеет ровно qk-2

раз-

(k - 2)/2 q2

личных (k - 2)-мерных невырожденных F_ν -подпространств. Отсюда с учетом лем-

[

]

[

]

k/2

мы 1 получаем, что в

M_ν есть ровно

-qk-2

различных (k - 2)-

k-2 q

(k - 2)/2 q²

мерных вырожденных F_ν -подпространств 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk)〉. Пусть 〈Bν1), Bν2), . . . ,

Bνk-2)〉 - фиксированное (k - 2)-мерное вырожденное F_ν-подпространство в 〈Aν1),

Aν2), . . ., Aνk)〉. Выберем два линейно независимых вектора Bνk-1), Bνk), принадле-

жащих F_ν -подпространству 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk)〉 пространства

M_ν, таких что 〈Bν1),

Bν2), . . . , Bνk)〉

= 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk)〉. Заметим, что пару (Bνk-1), Bνk)) можно вы-

брать (q² - 1)(q² - q) различными способами. Отсюда, рассуждая так же, как и

в предложении 1, получаем, что число различных k-мерных невырожденных F_ν -под-

пространств типа 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2), Aνk-1) + Θ_ν , Aνk) + y_ν 〉 в G_ν , удовлетворяю-

щих условию (⋄), равно

W(e6)_ν,k = qk(ενt2k-2) (q² - 1)(q² - q) ×

)

]

([

]

[

]

^[(ε_ν t - 2)/2

k/2

q-qk-2

k/2

k-2

(k - 2)/2q2

q²

Наконец, подсчитаем число k-мерных F_ν-подпространств типа 〈Aν1), Aν2), . . . ,

Aνk-2), Aνk-1) + Θ_ν, Aνk) + y_ν〉 в G_ν, удовлетворяющих условию (‡). Рассуждая, как

]

^[(ενt - 2)/2

и в предложении 1, получаем, что в

M_ν есть ровно q(k-2)(2νt-k)

раз-

(k - 2)/2 q²

личных (k - 2)-мерных невырожденных F_ν -подпространств. Применяя [17, пред-

ложение 2.9], получаем

M_ν = 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2)〉 ⊥ 〈Aν1), Aν2), . . ., Aνk-2)〉⊥0 ,

где 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2)〉⊥0 - (ε_ν t - k)-мерное невырожденное F_ν -подпространство

M_ν. Отсюда получаем detG(Aν1), Aν2), . . ., Aνk)) = detG(Aν1), Aν2), . . ., Aνk-2)) ×

× det G(Aνk-1), Aνk)), откуда в свою очередь следует, что F_ν -подпространство 〈Aν1),

Aν2), . . ., Aνk)〉 в

M_ν невырождено тогда и только тогда, когда detG(Aνk-1), Aνk)) =

= 0, т.е. тогда и только тогда, когда Aνk) ∈ 〈Aνk-1)〉⊥0 и (Aνk-1), Aνk)) не явля-

ется гиперболической парой в 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2)〉⊥0 . Таким образом, есть ров-

но qεν t-k-1(q - 1)(qεν t-k - 1) различных способов выбрать пару (Aνk-1), Aνk)) так,

чтобы F_ν -подпространства 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2)〉 и 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk)〉 в

M_ν были

невырожденными. Далее, согласно [18, с. 69-70] получаем, что индекс Витта про-

странства 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2)〉⊥0 равен (ε_ν t - k)/2, а число гиперболических пар

в 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2)〉⊥0 равно H εν t-k

= qενt-k-1(qενt-k - 1). Итак, есть ровно

qεν t-k-1(q-1)(qεν t-k -1)-qενt-k-1(qεν t-k -1) = qεν t-k-1(q-2)(qεν t-k -1) способов

выбрать пару (Aνk-1), Aνk)). Отсюда получаем, что число различных k-мерных невы-

рожденных F_ν -подпространств типа 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2), Aνk-1) + Θ_ν , Aνk) + y_ν 〉

в G_ν, удовлетворяющих условию (‡), равно

]

^[(ε_ν t - 2)/2

W(e7)_ν,k = q(k-2)(2νt-k) qεν t-k-1(q - 2)(qεν t-k - 1)

(k - 2)/2q2

Объединяя эти случаи, получаем, что число различных k-мерных невырожден-

ных F_ν -подпространств типа 〈Aν1), Aν2), . . . , Aνk-2), Aνk-1) +Θ_ν , Aνk) +y_ν 〉 в G_ν в слу-

чае, когда Aνh) ∈

M_ν \ {0} для 1 ≤ h ≤ k - 2 и Aνk-1), Aνk) ∈

M_ν, равно

W(e)ν,k = W(e1)_ν,k + W(e2)_ν,k + W(e3)_ν,k + W(e4)_ν,k + W(e5)_ν,k + W(e6)_ν,k + W(e7)_ν,k =

]

^[(ε_ν t - 2)/2

=q^kενt

(qεν t-k+1 - qεν t-k + 1)

(k - 2)/2q2

k(εν t-k-2)

^[(ε_ν t - 2)/2^]

(qk+1 - q)(qk-2 - 1)

k/2

q²

Объединяя все рассмотренные случаи, получаем

]

^[(ε_ν t - 2)/2

N_ν,k = T(o)ν,k + U(o)ν,k + W(o)ν,k = q(k+1)εν2-(k2+1)

если k нечетно,

(k - 1)/2q2

(

N_ν,k = R(e)ν,k + S(e)ν,k + T(e)ν,k + U(e)ν,k + W(e)ν,k = q^kενt

(q^k + q - 1) ×

)

]

^[(ε_ν t - 2)/2

^[(ε_ν t - 2)/2^]

+ (qεν t-k+1 - qεν t-k + 1)

если k четно.

k/2

(k - 2)/2q2

q²

Наконец, подставляя найденные значения N_ν,k в уравнение (2) в соответствую-

щих случаях, получаем требуемый результат. ▴

4.2. Определение числа D_ν для ν ∈ J₂. В следующем предложении определя-

ется число D_ν в случае, когда ν ∈ J₂ и δ ∈ {0, ∗, γ}.

Предложение 4. Пусть ν ∈ J₂ фиксировано. Для δ ∈ {0,∗,γ} имеем

(

)

∑

∏

k(εν t-k)dν

q(^ενt

- (-1)ενt-a

D_ν = 2 +

(k-a)dν

- (-1)^k-a

k=1

a=0

Доказательство. Чтобы вычислить D_ν, в силу (2) достаточно найти числа

N_ν,k для 1 ≤ k ≤ ε_νt - 1. Для этого рассмотрим следующие два случая: I. δ ∈ {0, ∗}

и II. δ = γ.

I. Пусть δ ∈ {0, ∗}. Тогда в силу утверждений (a), (c) леммы 2 (G_ν, [· , ·]_δ↾

)

Gν ×Gν

является унитарным пространством над F_ν . Тогда всякое k-мерное невырожденное

F_ν-подпространство пространства G_ν также является унитарным пространством.

Рассмотрим отдельно следующие случаи: (i) k нечетно и (ii) k четно.

(i) Вначале пусть k нечетно. Тогда k-мерное F_ν -подпространство W в G_ν имеет

k-1

)

разложение Витта W = 〈Aν1), Bν1)〉 ⊥ 〈Aν2), Bν2)〉 ⊥ . . . ⊥ 〈A⁽

,Bνk

〉 ⊥ 〈Z_ν〉, где

(Aνh), Bνh)) - гиперболическая пара в G_ν для 1 ≤ h ≤k-1, а Zν - анизотропный век-

k-1

)

тор в G_ν; множество {Aν1), Bν1), Aν2), Bν2), . . . , A⁽

,Bνk

,Z_ν} называется базисом

Витта пространства W над F_ν (см. [18, с. 116]). Через ϑ_h обозначим индекс Витта

k+1

пространства 〈Aν1), Bν1), Aν2), Bν2), . . . , Aνh-1), Bνh-1)〉⊥δ ⊆ Gν для 1 ≤ h ≤

Применяя [17, предложение 2.9] и теорему Витта о сокращении, получаем, что чис-

k-1

)

ло базисов Витта типа {Aν1), Bν1), Aν2), Bν2), . . . , A⁽

,Bνk

,Z_ν} в G_ν равно

Uk,εν t = Hϑ1,εν t-2ϑ1 Hϑ2,ενt-2-2ϑ2 . . . Hϑ k-1 ,εν t-k+3-2ϑ k-1^×

(

)

× q(ενt-k+1)dν -1-I_ϑ

k+1 ,ενt-k+1-2ϑ k+1

Аналогичными рассуждениями получаем, что число базисов Витта k-мерного уни-

тарного F_ν -подпространства в G_ν равно

U_k = Hk-1

Hk-3

...H1,1(qdν - 1).

Применяя теперь [18, лемма 10.4 и следствие 10.6], получаем

(

)

∏

q(^ενt

- (-1)ενt-a

Uk,εν t

k(εν t-k)dν

N_ν,k =

1 ≤ k ≤ ε_νt - 1.

a=0

q(k-2)dν

- (-1)^k-a

(ii) Пусть теперь k четно. Тогда получаем, что k-мерное F_ν -подпространство W

)

в G_ν имеет разложение Витта W = 〈Aν1),Bν1)〉 ⊥ 〈Aν2),Bν2)〉 ⊥ ... ⊥ 〈A⁽

,Bν2)〉,

где (Aνh), Bνh)) - гиперболическая пара в G_ν для 1 ≤ h ≤^k. Рассуждая так же, как

в случае (i), и снова применяя [18, лемма 10.4 и следствие 10.6], получаем

(

)

∏

k(εν t-k)dν

q(^ενt

- (-1)ενt-a

N_ν,k = q

1 ≤ k ≤ ε_νt - 1.

(k-a)dν

- (-1)^k-a

a=0

II. Пусть δ = γ. В этом случае согласно утверждениям (a) и (c) леммы 2 получаем,

что [· , ·]_γ ↾_G

является рефлексивной невырожденной антиэрмитовой τ1,-1-полу-

ν×Gν

торалинейной формой. Вначале приведем антиэрмитову форму [· , ·]_γ↾

к сохра-

Gν ×Gν

няющей ортогональность эрмитовой τ1,-1-полуторалинейной форме [· , ·]_γ(H) ↾

Gν ×Gν

Для этого, применяя [16, лемма 3.1(b)], заметим, что τ1,-1 - автоморфизм F_ν по-

рядка два. Поэтому существует элемент ξ_ν ∈ F_ν , такой что τ1,-1(ξ_ν ) = ξ_ν . Теперь

возьмем ζ_ν = ξ_ν - τ1,-1(ξ_ν)(= 0) ∈ F_ν. Отметим, что τ1,-1(ζ_ν) = -ζ_ν. Теперь опре-

делим отображение [· , ·]_γ(H) : G_ν × G_ν → F_ν как [A_ν , B_ν ]_γ(H) = ζ_ν [A_ν , B_ν ]_γ для всех

A_ν, B_ν ∈ G_ν. Заметим, что отображение [· , ·]_γ(H) является невырожденной эрмитовой

τ1,-1-полуторалинейной формой на G_ν, так что (G_ν, [· , ·]_γ(H) ↾

) - унитарное про-

Gν ×Gν

странство размерности ε_ν t над F_ν ≃ F_qdν . Поскольку ζν ∈ Fν \ {0}, получаем, что

число k-мерных невырожденных F_ν -подпространств в G_ν относительно [· , ·]_γ рав-

но числу k-мерных невырожденных F_ν -подпространств в G_ν относительно [· , ·]_γ(H) .

Рассуждая далее, как в случае I, получаем

(

)

k(εν t-k)dν

∏

q(^ενt

- (-1)ενt-a

N_ν,k = q

1 ≤ k ≤ ε_νt - 1.

(k-a)dν

- (-1)^k-a

a=0

От сюда с учетом (2) немедленно вытекает требуемый результат. ▴

4.3. Определение числа D_w для e₁ + 1 ≤ w ≤ e₂. В этом пункте опреде-

лим число D_w различных пар (C_w, C^†w), где C_w - F_w-подпространство в G_w, а C^†w -

F^†w-подпространство в G^†w, такие что C_w ∩ C†⊥δw = {0} и C^w ∩ Cwδ = {0} для e1 + 1 ≤

≤ w ≤ e₂, где δ ∈ {0,∗,γ}. С этой целью зафиксируем e₁ + 1 ≤ w ≤ e₂. Напомним,

что I_w = {i :

1 ≤ i ≤ ℓ, ε_w,i = ε^†w,i} и I^′w = {i :

1 ≤ i ≤ ℓ, ε_w,i = ε^†w,i}, а так-

же что {1, 2, . . . , ℓ} = I_w ∪ I^′w (несвязное объединение). Кроме того, напомним, что

∑

η_w =

ε_w,i, ϱ_w =

ε_w,i и τ_w =

ε^†w,i.

i∈Iw

i∈I^′

Без ограничения общности можно считать, что существует целое h, удовлетво-

ряющее 1 ≤ h ≤ ℓ, такое что ε_w,i = ε^†w,i для 1 ≤ i ≤ h и ε_w,i = ε^†w,i для h + 1 ≤ i ≤ ℓ,

∑

т.е. I_w = {1, 2, . . . , h} и I^′w = {h + 1, h + 2, . . . , ℓ}. Тогда η_w =

ε_w,i, ϱ_w =

ε_w,i

i=1

i=h+1

∑

и τ_w =

ε^†w,i. Поэтому можно записать G_w = K_w ⊕ K^′w и G^†w = K^†w ⊕ K^†′w, где

i=h+1

⊕

(

)

K_w =

εw,1F_w,j, εw,2F_w,j, . . . , ε_w,hF_w,j, 0, . . ., 0

j=0

Kw,j

⊕

(

)

K^′w =

0, . . ., 0, εw,h+1F_w,j, εw,h+2F_w,j, . . . , ε_w,ℓF_w,j

j=0

K^′

w,j

⊕

(

)

K^†w =

εw,1F^†w,j, εw,2F^†w,j, . . . , ε_w,hF^†w,j, 0, . . ., 0

j=0

K^†

w,j

⊕

(

)

K^†′w =

0, . . ., 0, ε†w,h+1F^†w,j, ε†w,h+2F^†w,j, . . . , ε^†w,ℓF^†w,j

j=0

K^†′

w,j

Тогда каждое F_w-подпространство C_w в G_w и каждое F^†w-подпространство C^†w в G^†w

можно единственным образом представить в виде C_w = D_w ⊕ D^′w и C^†w = D^†w ⊕ D^†′w,

где D_w и D^′w (соответственно, D^†w и D^†′w ) - подпространства пространств K_w и K^′w

(соответственно, K^†w и K^†′w) над F_w (соответственно, над F^†w) соответственно. Те-

перь заметим, что K_w (соответственно, K^†w) - (η_wt)-мерное векторное пространство

над F_w (соответственно, над F^†w). Кроме того, заметим, что K^′w и K^†′w - (ϱ_wt)-мерное

и (τ_wt)-мерное пространства над F_w и F^†w соответственно.

Всюду далее в этом пункте элементы прямой суммы K_w ⊕ K^†w будем представ-

лять в виде A_w + A^†w, где A_w ∈ K_w, а A^†w ∈ K^†w. Аналогично будем представлять

элементы прямой суммы F_w ⊕ F^†w в виде α_w + α^†w(где αw ) Fw, а α†w ∈ F†w. При

этом множество K_w ⊕ K^†w будем рассматривать как

F_w ⊕ F^†w

-модуль относительно

следующих операций:

(A_w + A^†w) + (B_w + B^†w) = (A_w + B_w) + (A^†w + B^†w)

(сложение) (6)

(α_w + α^†w)(A_w + A^†w) = α_wA_w + α^†wA^†w

(умножение на скаляры) (7)

для любых A_w + A^†w, B_w + B^†w ∈ K_w ⊕ K^†w и α_w + α^†w ∈ F_w ⊕ F^†w. Далее, для

δ ∈ {0,∗,γ} заметим, что [A_w + A^†w,B_w + B^†w]_δ = [A_w,B^†w]_δ + [A^†w,B_w]_δ ∈ F_w ⊕ F^†w

для любых A_w + A^†w, B_w + B^†w ∈ K_w ⊕ K^†w. Теперь для δ ∈ {0, ∗, γ} обоз(ачим че)ез

[· , ·]_δ↾(K

K_w ⊕K^†w

(

w⊕K))×(Kw⊕Kw) ограничениеполуторалинейнойформы[·,·]δ на

K_w ⊕ K^†w

. Тогда имеет место следующая

Лемма 3. Пусть e₁ + 1 ≤ w ≤ e₂ фиксировано. Для δ ∈ {0,∗,γ} справедливы

следующие утверждения:

(

)

(a) K_w ⊕ K^†w является свободным

F_w ⊕ F^†w

-модулем ранга η_wt;

(b) Форма [· , ·]_δ↾(K

рефлексивна и невырождена;

w⊕K^w)×(Kw⊕K^w)

w⊕K^w)×(Kw⊕K^w) эрмитоваприδ∈{0,∗}иантиэрмитовапри

δ=γ.

Если L_w - F_w-подпространс(во в Kw), а L†w - F†w-подпространство в K†w, то их

прямая сумма L_w ⊕L^†w является

F_w⊕F^†w

-подмодулем модуля K_w ⊕K^†w относительно

операций (6), (7). Для δ ∈ {0, ∗, γ} ортогональное дополнение к L_w ⊕L^†w относительно

формы [· , ·]_δ↾(K

определяется как

w⊕K^w)×(Kw⊕K^w)

(

)_⊥

{

L_w ⊕ L^†w

^δ =

A_w + A^†w ∈ K_w ⊕ K^†w : [A_w + A^†w, B_w + B^†w]_δ = 0

}

для всех B_w + B^†w ∈ L_w ⊕ L^†w

(

)_⊥

(

)

Легко видеть, что

L_w ⊕ L^†w

^δ является

F_w ⊕ F^†w

-подмодулем K_w ⊕ K^†w и что

(

)_⊥

(

)

L_w ⊕ L^†w

F_w ⊕ F^†w

-подмодуль

= L†⊥δw ⊕ Lwδ. Для δ ∈ {0, ∗, γ} говорят, что

(

)

L_w ⊕ L^†w модуля K_w ⊕ K^†w невырожден, если он удовлетворяет условию

L_w ⊕ L^†w

∩

(

)_⊥

(

)

(

)

∩

L_w ⊕ L^†w

^δ = {0}, т.е.

L_w ⊕ L^†w

∩

= {0}.

L†⊥δw ⊕ Lwδ

Из леммы 3(c) получаем, что [· , ·]_γ↾(K

является антиэрмитовой

w⊕K^w)×(Kw⊕K^w)

формой. Вначале приведем ее к эрмитовой форме [· , ·]_γ(H) ↾(K

. С этой

w⊕K^w)×(Kw⊕K^w)

целью заметим для e₁ + 1 ≤ w ≤ e₂, что τ1,-1 является автоморфизмом F_w порядка

два, так что существует элемент κ_w(= 0) ∈ F_w, такой что κ_w = τ1,-1(κ_w). Тогда

ζ_w = κ_w - τ1,-1(κ_w)(= 0) ∈ F_w ⊕ F^†w удовлетворяет соотношению τ1,-1(ζ_w) = -ζ_w.

(

)

(

)

Теперь определим отображение [· , ·]_γ(H) :

K_w ⊕ K^†w

→ Fw ⊕ F^†w как

[A_w +A^†w, B_w +B^†w]_γ(H) = ζ_w[A_w +A^†w, B_w +B^†w]_γ для всех A_w +A^†w, B_w +B^†w ∈ K_w ⊕K^†w.

Легко видеть, что отображение [· , ·]_γ(H) является невырожденной эрмитовой формой

(

)

(

)

(

)

на

K_w ⊕K^†w

. Далее, заметим, что

F_w⊕F^†w

-подмодуль модуля K_w ⊕K^†w

невырожден относительно формы [· , ·]_γ(H) ↾(K

тогда и только тогда,

w⊕K^w)×(Kw⊕K^w)

когда он невырожден относительно формы [· , ·]_γ ↾(K

. Поэтому всюду

w⊕K^w)×(Kw⊕K^w)

далее вместо антиэрмитовой невырожденной формы [· , ·]_γ ↾(K

будем

w⊕K^w)×(Kw⊕K^w)

рассматривать эрмитову невырожденную форму [· , ·]_γ(H) ↾(K

w⊕K^w)×(Kw⊕K^w)

В следующем предложении определяется число D_w в случае, когда e₁ + 1 ≤ w ≤

≤ e₂, а δ ∈ {0, ∗, γ(H)}, и тем самым, δ ∈ {0, ∗, γ}.

Предложение 5. Пусть e₁ + 1 ≤ w ≤ e₂ фиксировано. Для δ ∈ {0,∗,γ(H)}

имеем

∑

^[η_wt^]

^[ϱ_wt^]

^[τ_wt^]

D_w =

qkdw(ηwt-k)

k₁

k₂

qdw

k=0 k1=0 k2=0

Доказательство. Заметим, что согласно теореме 3 число D_w равно числу

различных пар (C_w, C^†w), где C_w - F_w-подпространство в G_w, а C^†w - F^†w-подпростран-

ство в G^†w, такие что C_w ∩ C†⊥δw = {0} и C^w ∩ Cwδ = {0}. Далее, заметим, что каждое

F_w-подпространство C_w в G_w и каждое F^†w-подпространство C^†w в G^†w можно един-

ственным образом представить в виде C_w = D_w ⊕ D^′w и C^†w = D^†w ⊕ D^†′w, где D_w и D^′w

(соответственно, D^†w и D^†′w ) - подпространства пространств K_w и K^′w (соответствен-

но, K^†w и K^†′w) над F_w (соотв(тствен)о,(над F†w) с)ответственно. Теперь для каждой

пары (D^′w, D^†′w) заметим, что

C_w⊕C^†w

∩

= {0} тогда и только тогда, когда

(

)

(

)

C†⊥δw ⊕Cwδ

(

)

(

)

D_w⊕D^†w

∩

= {0}. Кроме того, заметим, что

D_w⊕D^†w

∩

D†⊥δw ⊕Dwδ

= {0} тогда и только тогда, когда D_w ∩ D†⊥δw = {0} и D^w ∩ Dwδ = {0}. Из леммы 1

получаем, что есть ровно

∑

^[ϱwt^]

^[τ_wt^]

E_w =

qdw k2qdw

k1=0 k2=0

различных способов выбрать пару (D^′w, D^†′w). Таким образом, чтобы вычислить D_w,

достаточно определить число F_w различных способов выбрать пару (D_w, D^†w), где

D_w - F_w-подпространство в K_w, а D^†w - F^†w-подпространство в K^†w, такие что D_w ∩

∩D†⊥δw = {0} и D^w ∩Dwδ = {0(. Из этих)рассуждений заключаем, что Fw равно числу

различных невырожденных

F_w ⊕ F^†w

-подмодулей D_w ⊕ D^†w модуля K_w ⊕ K^†w, где

D_w - F_w-подпространство в K_w, а D^†w - F^†w-подпространство в K^†w. Тогда, рассуждая,

как в [13, предложение 3.5], получаем

ηw∑t-1

^[η_wt^]

F_w = 2 +

qk(ηwt-k)dw

k=1

k qdw

Отсюда

∑

^[η_wt^]

^[ϱ_wt^]

^[τ_wt^]

D_w = E_wF_w =

qkdw(ηwt-k)

▴

k₁

k₂

qdw

k=0 k1=0 k2=0

4.4. Определение числа D_s для e₂ + 1 ≤ s ≤ e₃. В следующем предложении

определяется число D_s в случае e₂ + 1 ≤ s ≤ e₃ и δ ∈ {0, ∗, γ}.

Предложение 6. Пусть e₂+1 ≤ s ≤ e₃ фиксировано. Для δ ∈ {0,∗,γ} имеем

∑

^[ε_st^]

D_s =

a=0

a qds

Доказательство. Из теоремы 3 получаем, что число D_s равно числу различ-

ных F_s-подпространств в G_s для e₂ +1 ≤ s ≤ e₃. Так как dimFs G_s = ε_st, то применяя

∑

^[εst^]

лемму 1, получаем D_s =

▴

a=0

a qds

Доказательство теоремы 4. Подставляя значения D_ν (1 ≤ ν ≤ e₁) из

предложений 1-4, значения D_w (e₁ + 1 ≤ w ≤ e₂) из предложения 5 и значения D_s

(e₂ +1 ≤ s ≤ e₃) из предложения 6 в формулу (1), получаем требуемый результат. ▴

Следующие примеры иллюстрируют теорему 4.

Пример 1. Пусть q = 5, t = 2, m₁ = m₂ = 3, ω₁ = 1 и ω₂ = 2, так что n =

= m₁ + m₂ = 6 и Ω = (ω₁,ω₂) = (1,2). Тогда xm1 - ω₁ = x³ - 1 = (x + 4)(x² + x + 1)

и xm2 - ω₂ = x³ -2 = (x +2)(x² + 3x+4) - неприводимые разложения многочленов

xm1 -ω₁ и xm2 -ω₂ над F₅ соответственно. Возьмем g₁(x) = x+4, g₂(x) = x² +x+1,

g₃(x) = x+ 2 и g₄(x) = x² + 3x+ 4. Тогда получаем, что g^†u(x) = g_u(x) для 1 ≤ u ≤ 2,

g†3(x) = g₃(x), g†4(x) = g₄(x) и g†3(x) = g₄(x), откуда d₁ = d₃ = 1, d₂ = d₄ = 2,

ε1,1 = ε2,1 = ε3,2 = ε4,2 = 1 и ε1,2 = ε2,2 = ε3,1 = ε4,1 = 0. Отсюда вытекает, что ε₁ =

= ε₂ = ε₃ = ε₄ = 1. Вычисления с помощью системы компьютерной алгебры Magma

показывают, что существует ровно 39424 различных аддитивных Ω-МС-кодов дли-

ны 6 над F₅2, имеющих дополнительные 0-двойственные, что согласуется с теоре-

мой 4.

Пример 2. Пусть q = 5, t = 2, m₁ = 2, m₂ = 4, ω₁ = 3 и ω₂ = 4, так что

n = m₁+m₂ = 6 и Ω = (ω₁,ω₂) = (3,4). Тогда xm1 -ω₁ = x²-3 = x²+2 и xm2 -ω₂ =

= x⁴-4 = (x²+2)(x²+3) - неприводимые разложения многочленов xm1-ω₁ и xm2-ω₂

над F₅ соответственно. Возьмем g₁(x) = x² + 2 и g₂(x) = x² + 3. Тогда получаем,

что g†1(x) = g₂(x), откуда d₁ = d₂ = 2, ε1,1 = ε1,2 = ε†1,2 = 1, ε†1,1 = 0, I₁ = {2}

и I′1 = {1}. Отсюда вытекает, что η₁ = ϱ₁ = 1 и τ₁ = 0. Вычисления с помощью

системы компьютерной алгебры Magma показывают, что существует ровно 18256

различных аддитивных Ω-МС-кодов длины 6 над F₅2, имеющих дополнительные

∗-двойственные, что согласуется с теоремой 4.

Пример 3. Пусть q = 7, t = 2, m₁ = 2, m₂ = 4, m₃ = 6, ω₁ = 5, ω₂ = 2

и ω₃ = 6, так что n = m₁ + m₂ + m₃ = 12 и Ω = (ω₁,ω₂,ω₃) = (5,2,6). Тогда

xm¹ - ω₁ = x² - 5 = x² + 2, xm2 - ω₂ = x⁴ - 2 = (x + 2)(x + 5)(x² + 4) и xm3 -

ω₃ = x⁶ - 6 = (x² + 1)(x² + 2)(x² + 4) - неприводимые разложения многочленов

xm1 - ω₁, xm2 - ω₂ и xm3 - ω₃ над F₇ соответственно. Возьмем g₁(x) = x² + 1,

g₂(x) = x² + 2, g₃(x) = x² + 4, g₄(x) = x + 2 и g₅(x) = x + 5. Тогда получаем, что

g†1(x) = g₁(x), g†2(x) = g₃(x), g†4(x) = g₄(x), g†5(x) = g₅(x) и g†4(x) = g₅(x), откуда

d₁ = d₂ = d₃ = 2, d₄ = d₅ = 1, ε1,3 = ε2,1 = ε2,3 = ε4,2 = ε5,2 = ε†2,2 = ε†2,3 = 1,

ε1,1 = ε1,2 = ε2,2 = ε4,1 = ε4,3 = ε5,1 = ε5,3 = ε†2,1 = 0, I₂ = {3} и I′2 = {1, 2}. Отсюда

вытекает, что ε₁ = ε₄ = ε₅ = η₂ = ϱ₂ = τ₂ = 1 и ε₂ = 2.

Вычисления с помощью системы компьютерной алгебры Magma показывают,

что существует ровно 29172915200 различных аддитивных Ω-МС-кодов длины 12

над F₇2 , имеющих дополнительные γ-двойственные, что согласуется с теоремой 4.

Замечание 1. Заметим, что теорема 3.1 работы [13] вытекает из теоремы 4 при

выборе ℓ = 1 и ω₁ = 1, а теорема 5.6 работы [15] - при выборе ℓ = 1 и ω₁ = -1.

§5. Заключение и направления дальнейшей работы

В статье исследованы аддитивные МС-коды с дополнительными двойственными

над конечными полями относительно обычной билинейной, эрмитовой и ∗-формы

следа. Выведено необходимое и достаточное условие, при котором аддитивный МС-

код имеет дополнительный двойственный. Также получены явные формулы для чис-

ла аддитивных МС-кодов с дополнительными двойственными. Эти формулы полез-

ны для классификации аддитивных МС-кодов с дополнительными двойственными

над конечными полями с точностью до эквивалентности. Результаты, полученные

в [13, 15], вытекают из наших результатов как частные случаи (см. замечание 1).

В последующей работе мы покажем, что класс аддитивных МС-кодов с дополни-

тельными двойственными над конечными полями является асимптотически хоро-

шим. Было бы интересно получить классификацию аддитивных МС-кодов с допол-

нительными двойственными над конечными полями с точностью до эквивалентно-

сти с помощью полученных формул.

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов в отношении содержания

настоящей статьи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Massey, J.L. Linear Codes with Complementary Duals // Discrete Math. 1992. V. 106-107.

P. 337-342. https://doi.org/10.1016/0012-365X(92)90563-U

2. Yang X., Massey J.L. The Condition for a Cyclic Code to Have a Complementary Dual //

Discrete Math. 1994. V. 126. № 1-3. P. 391-393. https://doi.org/10.1016/0012-365X(94)

90283-6

3. Sendrier N. Linear Codes with Complementary Duals Meet the Gilbert-Varshamov

Bound // Discrete Math. 2004. V. 285. № 1-3. P. 345-347. https://doi.org/10.1016/

j.disc.2004.05.005

Dougherty S.T., Kim J.L.,

Özkaya B., Sok L., Solé P. The Combinatorics of LCD Codes:

Linear Programming Bound and Orthogonal Matrices // Int. J. Inform. Coding Theory.

2017. V. 4. № 2-3. P. 116-128. https://doi.org/10.1504/IJICOT.2017.083827

Carlet C., Guilley S. Complementary Dual Codes for Counter-measures to Side-Channel

Attacks // Adv. Math. Commun. 2016. V. 10. № 1. P. 131-150. http://dx.doi.org/10.

3934/amc.2016.10.131

Calderbank A.R., Rains E.M., Shor P.W., Sloane N.J.A. Quantum Error Correction via

Codes over GF(4) // IEEE Trans. Inform. Theory. 1998. V. 44. № 4. P. 1369-1387. https:

//doi.org/10.1109/18.681315

Bierbrauer J., Edel Y. Quantum Twisted Codes // J. Combin. Des. 2000. V. 8. № 3.

P. 174-188. https://doi.org/10.1002/(SICI)1520-6610(2000)8:3<174::AID-JCD3>3.0.

CO;2-T

Rains E.M. Nonbinary Quantum Codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 1999. V. 45. № 6.

P. 1827-1832. https://doi.org/10.1109/18.782103

Huffman W.C. Additive Cyclic Codes over F4 // Adv. Math. Commun. 2007. V. 1. № 4.

P. 427-459. http://doi.org/10.3934/amc.2007.1.427

10.

Huffman W.C. Additive Cyclic Codes over F4 of Even Length // Adv. Math. Commun.

2008. V. 2. № 3. P. 309-343. http://doi.org/10.3934/amc.2008.2.309

11.

Huffman W.C. Cyclic Fq-Linear Fqt -Codes // Int. J. Inf. Coding Theory. 2010. V. 1. № 3.

P. 249-284. http://doi.org/10.1504/IJICOT.2010.032543

12.

Sharma A., Kaur T. On Cyclic Fq-Linear Fqt -Codes // Int. J. Inform. Coding Theory. 2017.

V. 4. № 1. P. 19-46. https://doi.org/10.1504/IJICOT.2017.081457

13.

Sharma A., Kaur T. Enumeration of Complementary-Dual Cyclic Fq-Linear Fqt -Codes //

Discrete Math. 2018. V. 341. № 4. P. 965-980. https://doi.org/10.1016/j.disc.2017.

12.006

14.

Cao Y., Chang X., Cao Y. Constacyclic Fq-Linear F_qℓ -Codes // Appl. Algebra Engrg.

Comm. Comput. 2015. V. 26. № 4. P. 369-388. https://doi.org/10.1007/s00200-015-

0257-4

15.

Kaur T., Sharma A. Constacyclic Additive Codes over Finite Fields // Discrete Math.

Algorithms Appl. 2017. V. 9. № 3. Article no. 1750037 (35 pp.). https://doi.org/10.

1142/S1793830917500379

16.

Sharma S., Sharma A. Multi-twisted Additive Codes over Finite Fields // Beitr. Algebra

Geom. 2021. Online First article (34 pp.). https://doi.org/10.1007/s13366-021-00576-1

17.

Grove L.C. Classical Groups and Geometric Algebra. Providence, RI: Amer. Math. Soc.,

2002.

18.

Taylor D.E. The Geometry of the Classical Groups. Berlin: Heldermann, 1992.

19.

Szymiczek K. Bilinear Algebra: An Introduction to the Algebraic Theory of Quadratic

Forms. Amsterdam: Gordon & Breach, 1997.

20.

Brualdi R.A. Introductory Combinatorics. Upper Saddle River, NJ: Pearson/Prentice Hall,

2010.

Шарма Сандип

Поступила в редакцию

Шарма Анурадха

05.08.2021

Отделение математики, Институт информационных

После доработки

технологий Индрапрастха (IIIT-Delhi), Нью-Дели, Индия

05.08.2021

anuradha@iiitd.ac.in

Принята к публикации

23.01.2022