ПРОБЛЕМЫ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ

Том 55

2019

Вып. 3

УДК 621.391.15

И. Ланджев, А. Русева

ДЕЛИМЫЕ ДУГИ, ДЕЛИМЫЕ КОДЫ

И ЗАДАЧА О РАСШИРЕНИИ ДЛЯ ДУГ И КОДОВ¹

Ранее авторами был разработан единый поход к задаче о расширении для дуг

в PG(k - 1, q), или, эквивалентным образом, для линейных кодов над конечны-

ми полями. Был введен специальный класс дуг, называемых (t mod q)-дугами,

и было доказано, что свойство расширимости заданной дуги зависит от структу-

ры специальной двойственной дуги, которая оказывается (t mod q)-дугой. Здесь

изучается общая структура (t mod q)-дуг. Доказывается, что всякая такая ду-

га является суммой дополнений к гиперплоскостям. Кроме того, описываются

такие дуги для малых значений t, что в случае t = 2 дает альтернативное

доказательство теоремы Маруты о кодах, допускающих расширение. Этот ре-

зультат геометрически эквивалентен утверждению, что любая 2-квазиделимая

дуга в PG(k - 1, q), q ≥ 5, q нечетно, допускает расширение. В заключение наш

подход применяется к задаче о расширении для шапок в PG(3, q).

Ключевые слова: конечные проективные геометрии, дуги, блокирующие мно-

жества, делимые дуги, квазиделимые дуги, граница Грайсмера, (t mod q)-дуги,

дуги, допускающие расширение, шапки.

DOI: 10.1134/S0555292319030033

§ 1. Введение

Мы исследуем связь между возможностью расширения для дуг в конечных про-

ективных геометриях (соответственно, линейных кодов над конечными полями) и их

свойствами делимости. Для краткости мы не приводим основные понятия, отно-

сящиеся к дугам и кодам, а отсылаем читателя к [1, 2] для введения в конечную

геометрию и к [3-5] для введения в теорию кодирования.

Линейный [n, k, d]_q-код называется грайсмеровым кодом, если его длина лежит

на границе Грайсмера [6]:

⌈

⌉

∑

n ≥ g_q(k,d) :=

(1)

q^j

j=0

Линейный [n, k, d]_q-код C называется кодом, допускающим t-расширение (t ≥ 1),

если существует линейный [n + t, k, d + t]_q-код C^′, такой что C может быть полу-

чен из C^′ t-кратным выкалыванием (удалением t координатных позиций во всех

кодовых словах). В случае t = 1 их называют просто кодами, допускающими рас-

ширение.

¹ Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Фонда научных исследований Софий-

ского университета (контракт № 80-10-81/15.04.2019).

Линейный код над F_q называется делимым с делителем Δ > 1, если вес каждого

кодового слова кратен числу Δ. Почти очевидно, что если (Δ, q) = 1, то код полной

длины (т.е. код, в котором ни одна координатная позиция не является тождественно

нулевой) является Δ-кратным повторением одного кода, т.е. конкатенацией Δ оди-

наковых кодов [7]. Несколько семейств классических кодов обладают нетривиальной

делимостью. Самым ярким примером является семейство обобщенных кодов Рида -

Маллера. Грайсмеровы коды с минимальным весом, делящимся на характеристику

основного поля, также обладают свойством делимости. Процитируем замечатель-

ный результат из [7].

Теорема 1. Пусть C - грайсмеров код над F_p, где p - простое. Если мини-

мальный вес кода C делится на p^e, то p^e является делителем кода.

Линейный [n, k, d]_q-код называется t-квазиделимым по модулю Δ, если d ≡

≡ -t (mod Δ) и все веса в коде сравнимы с -t, . . ., -1, 0 по модулю Δ. Коды, получа-

емые t-кратным выкалыванием делимого кода с делителем Δ, являются t-квазидели-

мыми по модулю Δ. Довольно часто оказывается, особенно при малых значениях t,

что t-квазиделимые коды допускают t-расширение до делимого кода. Так, напри-

мер, классическая теорема Хилла - Лизака [8,9] утверждает, что каждый линейный

[n, k, d]-код с весами 0 и d по модулю q, где (d, q) = 1, допускает расширение до

[n + 1, k, d + 1]_q-кода. Простейшим случаем здесь является d ≡ -1 (mod q). Исполь-

зуя понятие квазиделимого кода, это можно сформулировать как утверждение, что

любой 1-квазиделимый код допускает расширение. Недавно Марута [10-14] получил

целый ряд результатов такого типа о возможности расширения. Наиболее интерес-

ный из них утверждает, что если [n, k, d]_q-код с нечетным q ≥ 5 и d ≡ -2 (mod q)

имеет только веса -2, -1, 0 (mod q), то он допускает расширение [12]. Это равно-

сильно утверждению, что любой 2-квазиделимый код над полем порядка q ≥ 5,

где q нечетно, допускает расширение.

Попытка найти единый подход к вопросу о возможности расширения для кодов

была сделана в [15], где эта задача рассматривалась с ее геометрической стороны.

Хорошо известно, что линейные коды над конечными полями и дуги в конечных

геометриях PG(k - 1, q) - эквивалентные объекты: каждому линейному [n, k, d]_q-ко-

ду C можно поставить в соответствие (n, n-d)-дугу K_C в PG(k-1, q) (разумеется, не

единственным способом), так что два кода C₁ и C₂ изоморфны тогда и только тогда,

когда соответствующие им дуги KC1 и KC2 проективно эквивалентны

[5, 16, 17].

Дуги, соответствующие кодам, лежащим на границе Грайсмера, называются грайс-

меровыми дугами.

В настоящей статье мы применяем геометрический подход к задаче о расшире-

нии. Наша цель - описать свойство расширимости в терминах структуры некоторых

дуг, называемых (t mod q)-дугами. С этой целью мы приводим различные конструк-

ции и доказываем структурные результаты для (t mod q)-дуг, которые сами по себе

являются интересными геометрическими объектами.

Статья имеет следующую структуру. В § 2 определяются (t mod q)-дуги и уста-

навливается связь между свойством расширимости для квазиделимых дуг и неко-

торыми структурными свойствами соответствующих (t mod q)-дуг. В § 3 приводятся

общие результаты о (t mod q)-дугах. Многие из них относятся к случаю геометрий

над простым полем F_p. Мы описываем так называемую конструкцию поднятия для

(t mod q)-дуг и доказываем, что над простым полем F_p всякая (t mod p)-дуга явля-

ется суммой аффинных пространств, и следовательно, суммой поднятий дуг. Далее,

§4 посвящен (2 mod q)-дугам. Доказывается, что всякая (2 mod q)-дуга в PG(r,q)

для нечетного q ≥ 5 и r ≥ 3 с точками кратностей 0, 1 и 2 является поднятием

некоторой дуги. Из этого вытекает результат Маруты о возможности расширения

для линейных кодов с весами -2, -1, 0 mod q для нечетных q ≥ 5. В § 5 наш подход

применяется к задаче о расширении для шапок в PG(3, q).

§ 2. Квазиделимые дуги и свойство расширимости

Чтобы зафиксировать обозначения, изложим некоторые основные определения

и факты о мультимножествах. Рассмотрим проективную геометрию Σ = PG(r, q),

r ≥ 2, q = p^h. Обозначим через P множество точек, а через H - множество гипер-

плоскостей геометрии Σ. Любое отображение K: P → N₀ из множества точек гео-

метрии в множество целых неотрицательных чисел называется мультимножеством

в Σ. По аддитивности это∑отображение продолжается на любое подмножество Q

множества P, т.е. K(Q) =

K(P ). Целое число n := K(P) называется мощностью

P∈Q

мультимножества K. Носителем K является множество всех точек положительной

кратности:

supp K = {P ∈ P | K(P ) > 0}.

Мультимножества с K(P ) ∈ {0, 1} называются проективными. Такие мультимноже-

ства можно рассматривать как обычные множества, отождествляя их с их носи-

телями. Для каждого множества точек Q ⊂ P определим его характеристическое

(мульти)множество χ_Q как

^{1, если P ∈ Q,

χ_Q(P) =

в противном случае.

Обозначим через a_i количество гиперплоскостей H в Σ, таких что K(H) = i. После-

довательность (a_i) называется спектром мультимножества K.

Мультимножества можно рассматривать как дуги или блокирующие множества.

Мультимножество K в Σ называется (n, w)-мультидугой (или просто (n, w)-дугой),

если

(1) K(P) = n;

(2) K(H) ≤ w для любой гиперплоскости H;

(3) существует гиперплоскость H₀, для которой K(H₀) = w.

Аналогично, мультимножество K в Σ называется (n, w)-блокирующим множеством

относительно гиперплоскостей (в англоязычной литературе используется также тер-

мин (n, w)-minihyper), если

(1) K(P) = n;

(2) K(H) ≥ w для любой гиперплоскости H;

(3) существует гиперплоскость H₀, для которой K(H₀) = w.

Будем говорить, что (n, w)-дуга K в Σ допускает t-расширение, если существует

(n + t, w)-дуга K^′ в той же геометрии, такая что K^′(P ) ≥ K(P ) для любой точки

P ∈ P. Говорят, что дуга просто допускает расширение, если она допускает 1-рас-

ширение. Дуги, допускающие расширение, соответствуют кодам, допускающим рас-

ширение, и наоборот. Аналогично, (n, w)-блокирующее множество K в Σ назовем

t-приводимым, если существует (n - t, w)-блокирующее множество K^′ в Σ, такое что

K^′(P) ≤ K(P) для любой точки P ∈ P.

Скажем, что (n, w)-дуга K со спектром (a_i) делима с делителем Δ > 1, если

a_i = 0 для всех i ≡ n (mod Δ). Назовем (n, w)-дугу K, такую что w ≡ n + t (mod q),

t-квазиделимой с делителем Δ > 1 (или t-квазиделимой по модулю Δ), если a_i = 0

для всех i ≡ n, n + 1, . . . , n + t (mod Δ), 1 ≤ t ≤ q - 1. Легко видеть, что линейные

коды, соответствующие делимым (соответственно, t-квазиделимым) дугам, являют-

ся делимыми (соответственно, t-квазиделимыми) с тем же делителем. В настоящей

статье делители Δ - всегда степени характеристики основного поля F_q.

Для заданной проективной геометрии Σ = PG(r, q) определим ее двойственную

геометрию

Σ обычным способом: гиперплоскости в Σ будем рассматривать как точ-

ки, подпространства коразмерности два - как прямые, и будем сохранять инцидент-

ность. Если S - подпространство в Σ (проективной) размерности s, то будем обозна-

чать через

S подпространство в

Σ, соответствующее подпространству S. Очевидно,

размерность

S в

Σ равна r - 1 - s. Для любой t-квазиделимой (n, w)-дуги K с дели-

телем q в Σ, t < q, можно определить двойственную дугу

K в геометрии

Σ как

{̃P→{0,1,...,t},

^K:

(2)

H→ K₍ H)=n+ t - K(H) (mod q),

где

P = H - множество всех точек в

Σ, т.е. множество всех гиперплоскостей в Σ.

Это означает, что гиперплоскости кратностей, сравнимых с n+a (mod q), становятся

(t-a)-точками в двойственной геометрии. В частности, максимальные гиперплоско-

сти являются 0-точками относительно

^K. Заметим, что размер

K зависит от спектра

дуги K, а не только от параметров дуги. Следующий простой результат устанавли-

вает базовые свойства делимости двойственной дуги

^K.

Теорема 2. Пусть K - (n,w)-дуга в Σ = PG(r,q), являющаяся t-квазиделимой

по модулю q, где t < q. Для любого подпространства

S в

Σ, такого что dimS ≥ 1,

S) ≡ t (mod q).

Доказательство. Пусть

S - прямая в двойственной геометрии

Σ. Она соот-

ветствует подпространству S коразмерности 2 в Σ. Обозначим через H_i, i = 0, . . ., q,

множество всех гиперплоскостей, проходящих через S. Тогда

∑

n = K(H_i) - qK(S).

i=0

Рассматривая обе части равенства по модулю q и используя тот факт, что K(H_i) +

+ K(Hi) ≡ n + t (mod q), получаем

∑

(q + 1)(n + t) -

^K(Hi) ≡ n (mod q),

i=0

откуда

∑

S)=

^K(H_i) ≡ t (mod q).

i=0

Для подпространств S большей размерности можно использовать тот факт, что

кратность любой прямой в

S равна t по модулю q, и суммировать кратности всех

прямых, проходящих через точку в

S. ▴

Это наблюдение приводит к следующему определению. Пусть t - фиксирован-

ное неотрицательное целое число. Дугу F в Σ будем называть (t mod q)-дугой, если

F (S) ≡ t (mod q) для любого подпространства S размерности не менее 1. По тео-

реме 2, если K - дуга, t-квазиделимая по модулю q, то ее двойственная дуга

^K,

определенная в (2), является (t mod q)-дугой с точками кратностей не выше t.

Пусть K - (n, w)-дуга в Σ, являющаяся t-квазиделимой по модулю q. Следующая

теорема устанавливает связь между свойством расширимости дуги K и структурой

(t mod q)-дуги

^K.

Теорема 3. Пусть K - (n,w)-дуга в Σ = PG(r,q), являющаяся t-квазиделимой

по модулю q, где t < q, и пусть двойственная ей дуга

K определена в (2). Если

∑

K₌ χ

+K^′

i=1

для некоторого мультимножества K^′ в

Σ и для c не обязательно различных ги-

перплоскостей

P₁, . . . ,Pc в

Σ, то K допускает c-расширение. В частности, если

в носителе

K содержится гиперплоскость, то K допускает расширение. (Здесь

мы по определению полагем (K₁ + K₂)(P) := K₁(P) + K₂(P).)

Доказательство. Проведем индукцию по c. Так как максимальные гипер-

плоскости соответствуют 0-точкам в двойственной геометрии, то условие теоремы

состоит в существовании точки P ∈ Σ, не инцидентной максимальным гиперплос-

костям. При увеличении кратности точки P на 1 мы также увеличим кратность

всех гиперплоскостей, проходящих через P . Следовательно, кратность всех точек

гиперплоскости

P₁ :=

P в двойственной геометрии увеличится на 1. Это означает,

что дуга

^{K(Q),

если Q = P₁,

L(Q) =

K(Q) + 1, если Q = P₁,

является (n + 1, w)-дугой в Σ и что

∑

K-χ

+K^′

i=2

для некоторой дуги K^′. ПосколькуL допускает (c-1)-расширение по предположению

индукции, отсюда следует утверждение теоремы. ▴

§ 3. Структурные результаты для (t mod q)-дуг

В этом параграфе будем изучать (t mod q)-дуги как чисто геометрические объ-

екты безотносительно задачи о расширении. Начнем с простой конструкции.

Теорема 4. Пусть F₁ и F₂ - (t₁ mod q)- и (t₂ mod q)-дуги, соответственно,

в PG(r, q). Тогда F₁ + F₂ является (t mod q)-дугой, где t = t₁ + t₂ (mod q). Анало-

гично αF₁, α ∈ {0, . . . , p - 1}, является (t mod q)-дугой с t ≡ αt₁ (mod q).

Эта теорема имеет полезное следствие в случае t = 0, когда q = p - простое

число.

Следствие 1. Пусть F и G - (0 mod p)-дуги в PG(r,p), где p - простое. То-

гда F + G и αF, α ∈ {0, . . . , p - 1}, также являются (0 mod p)-дугами. В част-

ности, множество всех (0 mod p)-дуг в PG(r, p) является векторным простран-

ством над F_p.

Следующая конструкция менее очевидна.

Теорема 5. Пусть F₀ - (t mod q)-дуга в гиперплоскости H

= PG(r - 1, q)

в геометрии Σ = P G(r, q), q = p^h. Для фиксированной точки P ∈ Σ \ H определим

дугу F в Σ следующим образом:

- F(P) = t;

- Для каждой точки Q = P положим F(Q) = F₀(R), где R = 〈P, Q〉 ∩ H.

Тогда F является (t mod q)-дугой размера q|F₀| + t.

F(P) = t

F(Q) = F0(R)

H= PG(r - 1, q)

К доказательству теоремы 5

Доказательство. Как уже было отмечено, достаточно доказать, что крат-

ность любой прямой равна t по модулю q. Для прямых, проходящих через точку P ,

это очевидно. Теперь рассмотрим прямую L в Σ, не инцидентную точке P . Пусть

π - плоскость, проходящая через P и L: π = 〈L,P〉. Положим L^′ = π ∩ H. Оче-

видно, L содержит точки тех же кратностей, что и L^′. Прямая L^′ имеет кратность

F (L^′) = F₀(L) ≡ t (mod q), откуда следует результат. Эта конструкция изображена

на рисунке. ▴

Назовем (t mod q)-дугу, полученную в теореме 5, поднятием дуги F₀, а точку

P - точкой поднятия. Можно слегка обобщить понятие поднятия дуги, заменяя

точку P на подпространство U. Пусть F₀ - (t mod q)-дуга в подпространстве V

в геометрии Σ = PG(r, q), и пусть U - дополнительное подпространство в Σ, т.е.

dim U + dim V = r - 1, U ∩ V = ∅. Дуга F в Σ, определяемая условиями

- F(P) = t для любой точки P ∈ U;

- Для каждой точки Q = P полагаем F(Q) = F₀(R), где R = 〈U, Q〉 ∩ H

называется поднятием дуги из подпространства U. Очевидно, что F также являет-

ся (t mod q)-дугой. Заметим, что если дуга поднята из подпространства, то ее можно

рассматривать как поднятие из любой точки этого подпространства. Имеет место

также частичное обращение этого наблюдения.

Лемма 1. Пусть F - (t mod q)-дуга в PG(r,q), являющаяся поднятием из то-

чек P и Q, P = Q. Тогда F является также поднятием из прямой PQ. В частно-

сти, все точки поднятия (t mod q)-дуги образуют подпространство S в геометрии

PG(r, q).

Доказательство. Все точки прямой PQ являются t-точками. Пусть R - про-

извольная точка в Σ. Тогда все точки прямой P R (соответственно, QR), отличные

от P (соответственно, Q), имеют одинаковую кратность, скажем, a. Тогда все точки

плоскости 〈P, Q, R〉 вне прямой P Q также имеют одинаковую кратность a, что и

доказывает лемму. ▴

Всюду далее мы будем рассматривать только геометрии Σ = PG(r, p) над просты-

ми полями F_p. Обозначим через V множество всех (0 mod p)-дуг в PG(r, p). Следую-

щий результат является аналогом наблюдения, сделанного в теореме 4 и следствии 1.

Лемма 2. Пусть F и G - (0 mod p)-дуги в PG(r,p), являющиеся подняти-

ями из одного и того же подпространства U, dimU ≥ 0. Тогда F + G и αF,

α ∈ {0,1,...,p-1}, также являются (0 mod p)-дугами, поднятыми из U. В част-

ности, (0 mod p)-дуги, поднятые из U, образуют подпространство в V .

Теперь обозначим через A матрицу инцидентности точек и прямых в геометрии

PG(r, p), где p - простое, относительно некоторого фиксированного упорядочивания

точек. Пусть F - дуга в PG(r, p) с точками кратностей не выше p - 1. Тогда дугу F

можно задать вектором x над F_p:

(

)

x = F(P₁),...,F(Ppr+1-1 )

p-1

где кратности точек рассматриваются как элементы поля F_p. Очевидно, что F яв-

ляется (0 mod p)-дугой тогда и только тогда, когда

xA = 0,

(3)

где через 0 обозначен нулевой вектор. Отсюда

qr+1 - 1

dim V =

- rk_p A.

q-1

Ранг матрицы A известен из знаменитой теоремы Хамады [18], которую мы приве-

дем в ее общем виде.

Теорема 6. Ранг над полем F_ph матрицы инцидентности точек и d-подпро-

странств в PG(r, p^h) равен

∑ ∑

∑

⁽r + 1⁾⁽r + sj+1p - s_j - ip⁾

R_d(r, p^h) =

(-1)ⁱ

sh-1 j=0 i=0

где s_h = s₀, суммы берутся по всем целым s_j , j = 0, . . . , h - 1, таким что d + 1 ≤

≤ s_j ≤ r + 1, 0 ≤ sj+1p - s_j ≤ (r + 1)(p + 1), а L(sj+1,s_j) - наибольшее целое число,

не превосходящее (sj+1p - s_j)/p, т.е.

⌋

^⌊sj+1p - s_j

L(sj+1, s_j ) =

Отметим, что в обозначениях Хамады A = R₁(r, p). Приведенная выше формула

не слишком удобна. Для специального случая d = 1, т.е. для матрицы инцидентности

точек и прямых, и при h = 1, т.е. для простого поля, имеется формула замкнуто-

го вида для ранга, найденная ван Линтом. Мы приводим ее в качестве следствия

(подробнее см. в [19]).

Следствие 2. Для матрицы инцидентности точек и прямых в геометрии

PG(r, p) справедлива формула

)

pr+1 - 1

⁽p + r - 1

rk_p R₁(r, p) =

p-1

Следствие 3. Размерность векторного пространства всех (0 mod p)-дуг рав-

⁽p+r-1⁾

на dimV =

Теперь мы можем охарактеризовать векторное пространство V всех (0 mod p)-

дуг.

Теорема 7. Векторное пространство всех (0 mod p)-дуг в PG(r,p) порожда-

ется дополнениями к гиперплоскостям.

Доказательство. Пусть B - матрица инцидентности точек и гиперплоско-

стей в PG(r, p). Из теоремы 6, как и из множества других источников (см. [20-22]),

известно, что

)

⁽p + r - 1

rk_p B =

+ 1.

)

⁽p+r-1

Пусть T₁, . . . , Ts+1, s =

, - такие гиперплоскости, что их характеристи-

ческие векторы χ

, i = 1,...,s + 1, образуют базис в пространстве столбцов мат-

рицы B. Ясно, что вектор из всех единиц j лежит в этом пространстве столбцов,

поскольку сумма всех столбцов матрицы B над полем F_p равна j. Значит, существу-

ют λ_i ∈ F_p, такие что

λ₁χ_T

+...+λ_sχ_T

+λs+1χ

=j.

(4)

Ts+1

Без ограничения общности можно считать, что λs+1 = 0. Предположим, что векторы

j-χ_T

,...,j-χ_T

линейно зависимы над F_p. Тогда существуют элементы μ_i ∈ F_p,

не все равные нулю, такие что

μ₁(j - χ_T

) + ... + μ_s(j - χ

) = 0.

(5)

Ясно, что μ₁ + . . . + μ_s = 0, поскольку в противном случае χ_T

,...,χ

были бы

линейно зависимыми. Тогда из (4), (5) получаем

(

∑ )

∑

μ₁ - λ₁

μ_i χ_T

+...+ μ_s -λ_s

μ_i χ_T

-λs+1

μ_iχ

= 0.

∑

Так как λs+1 μ_i = 0, мы пришли к противоречию с линейной независимостью

векторов χT1 , . . ., χ_T

. Следовательно, векторы j - χT1, . . . , j - χ линейно незави-_T

симы, и

s ≤ rk_p〈j - χ_T | T - гиперплоскость〉 ≤ s + 1.

С другой стороны, вектор j - χ_T является решением уравнения (3) для любой ги-

перплоскости T . Поэтому по следствию 3 получаем

)

⁽p + r - 1

rk_p〈j - χ_T | T - гиперплоскость〉 =

▴

Далее, поскольку дуга, соответствующая j - χ_T , является поднятием из любой

точки гиперплоскости T, отсюда вытекают следующие утверждения.

Следствие 4. Всякая (0 mod p)-дуга в PG(r,p) является суммой поднятий

дуг.

Следствие 5. Всякая (t mod p)-дуга в PG(r,p) является суммой поднятий

дуг.

Доказательство. Любую (t mod p)-дугу F можно представить в виде F =

= tχ_H + F₀, где H - фиксированная гиперплоскость, а F₀ - (0 mod p)-дуга. Теперь

результат вытекает из следствия 3 и того факта, что tχ_T очевидным образом явля-

ется поднятием. ▴

В случае плоскости можно доказать еще больше. Любую (t mod p)-дугу можно

представить в виде суммы не более чем p поднятий дуг.

Теорема 8. Пусть P₁,...,P_p - p точек коники в PG(2,p). Обозначим через V_i

векторное пространство всех (0 mod p)-дуг, поднятых из P_i, i = 1, . . ., p, а че-

рез V - векторное пространство всех (0 mod p)-дуг. Тогда

V =V₁ +V₂ +...+V_p.

Доказательство. Через Pp+1 обозначим (p+1)-ю точку коники, а через Vp+1

- подпространство всех (t mod p)-дуг, поднятых из Pp+1. Вначале докажем, что

(Vi1 + . . . + V_i

)∩V_i

k+1

=Vi1 ∩V_i

k+1

+...+V_i

∩V_i

k+1

(6)

для любого множества индексов {i₁, . . . , ik+1} ⊆ {1, . . . , p + 1}. Рассмотрим следую-

щие цепочки вложений:

(V₁+V₂)∩Vp+1

⊆

(V₁+V₂+V₃)∩Vp+1

⊆ ... ⊆ (V₁+...+V_p)∩Vp+1

∪

V₁∩Vp+1+V₂∩Vp+1 ⊆ V₁∩Vp+1+V₂∩Vp+1+V₃∩Vp+1 ⊆ . . . ⊆ V₁∩Vp+1+. . . +V_p∩Vp+1.

Очевидно, dim(V₁ + V₂) ∩ Vp+1 = dim(V₁ ∩ Vp+1 + V₂ ∩ Vp+1) = 2. Более того,

dim(V₁ + . . . + V_p) ∩ Vp+1 ≤ dim Vp+1 = p.

Предположим, что для некоторого k выполнено равенство

V₁ ∩ Vp+1 + . . . + V_k ∩ Vp+1 = V₁ ∩ Vp+1 + . . . + V_k ∩ Vp+1 + Vk+1 ∩ Vp+1.

(7)

Очевидно, dim V_i ∩ V_j = 1, i = j, и дуги в V_i ∩ V_j являются кратными вектора

j-χ

. Теперь из (7) имеем

PiPj

〉.

j - χPk+1Pp+1 ∈ 〈j - χP1Pp+1, . . ., j - χ

P_kPp+1

Это противоречит теореме 1.10 из [23], которая утверждает, что векторы j - χ

PiPj

1 ≤ i < j ≤ p + 1, линейно независимы. Поэтому

dim(V₁ ∩ Vp+1 + . . . + V_k ∩ Vp+1) = k

для всех k ∈ {2, . . . , p}. Тогда, поскольку dim(V₁ + . . . + V_p) ∩ Vp+1 ≤ p, то

(V₁ + . . . + V_p) ∩ Vp+1 = V₁ ∩ Vp+1 + . . . + V_p ∩ Vp+1,

откуда, в свою очередь, следует, что dim(V₁ + . . . + V_k) ∩ Vp+1 = k для всех k. Тогда

получаем

(V₁ + . . . + V_k) ∩ Vp+1 = V₁ ∩ Vp+1 + . . . + V_k ∩ Vp+1

для всех k ≤ p, поэтому, очевидно, равенство (6) выполнено и для любого подмно-

жества индексов {i₁, . . . , ik+1}.

Далее, в силу (6) можно применить формулу для размерности

∑

dim(V₁ + . . . + V_p) =

dim V_i - (dim V_i ∩ V_j ) +

dim(V_i ∩ V_j ∩ V_k) - . . . ,

i,j

i,j,k

которая в общем случае не верна. Поскольку V_i ∩ V_j ∩ V_k = (0), получаем

∑

dim(V₁ + V₂ + . . . + V_p) =

dim V_i - dim(V_i ∩ V_j ) =

i,j

⁽p⁾

⁽p + 1⁾

=p·p-

·1=

что совпадает с размерностью пространства всех плоских (0 mod p)-дуг. Отсюда сле-

дует, что всякая (0 mod p)-дуга в PG(2, p) является суммой не более чем p поднятий

дуг. ▴

Следствие 6. Любую (t mod p)-дугу в PG(2,p) можно представить в виде

суммы не более чем p поднятий дуг.

Замечание 1. Весьма вероятно, что теорема 8 и следствие 5 верны не только

для случая плоскости, но и в геометриях произвольной размерности. Если удастся

доказать (6), то останется проверить простое биномиальное тождество. Но проблема

в том, что в размерностях r ≥ 3 нет аналога теоремы 1.10 из [23].

§4. (t mod q)-дуги с ограниченными кратностями точек

Напомним, что (t mod q)-дуги, получаемые из t-квазиделимых дуг, имеют допол-

нительное свойство, что кратности точек в них ограничены сверху величиной t.

Оказывается, что если (t mod q)-дуга в PG(r, q) имеет свойство, что ее ограниче-

ние на любую гиперплоскость является поднятием из точки, то и сама дуга является

поднятием.

Теорема 9. Пусть K - (t mod q)-дуга в PG(r,q), такая что ограничение K|_H

на любую гиперплоскость H в PG(r, q) является поднятием. Тогда и сама K яв-

ляется поднятием дуги.

Доказательство. Рассмотрим (t mod q)-дугу K в PG(r,q). Пусть S - произ-

вольное подпространство PG(r, q) коразмерности 2. Обозначим через H_i, i = 0, . . ., q,

гиперплоскости, проходящие через S. Дуги K| являются поднятыми (t mod q)-ду-_H

гами. Обозначим через P_i, i = 0, . . . , q, соответствующие точки поднятия.

Предположим, что для некоторых индексов, скажем, i и j, выполнено P_i ∈ S

и P_j ∈ H_j \ S. Очевидно, прямая P_iP_j полностью состоит из t-точек. Пусть L -

произвольная прямая в H_j, инцидентная точке P_j , и положим L ∩ S = Q_j . Все

точки на прямой P_jQ_j, отличные от P_j, имеют одинаковую кратность a, где 0 ≤

≤ a ≤ t. Таким образом, все точки плоскости 〈P_i,P_j,Q_j〉 вне прямой P_iP_j являют-

ся a-точками. Теперь ясно, что K| можно рассматривать как поднятие из пря-_H

мой P_iP_j , и следовательно, из любой точки прямой P_iP_j .

Предположим, что P_i ∈ H_i \ S для всех i = 0, . . . , q. Если точки P₀, . . . , P_q колли-

неарны, то K является поднятием из прямой 〈P_i | i = 0, . . . , q〉.

Теперь предположим, что точки P_i не коллинеарны. Тогда существует гипер-

плоскость H в PG(r, q), не содержащая ни одной точки P_i. Положим T = H ∩ S.

Если обозначить G_i = H ∩ H_i, то все дуги K|_G

проективно эквивалентны дуге K|_S .

Предположим сперва, что точка поднятия Q дуги K|_H содержится в G_i \T . Поло-

жим Q_i = S ∩ QP_i. Очевидно, P_iQ_i - прямая из t-точек. Рассмотрим произвольную

прямую L в H_i, проходящую через P_i. Если точки на L, отличные от P_i, являются

a-точками, то все точки на прямой, проходящей через Q и L ∩ G_i, отличные от Q,

также являются a-точками. Следовательно, все точки плоскости 〈L, Q_i〉 вне прямой

P_iQ_i являются a-точками, и дуга K|Hi поднята из P_iQ_i. Таким образом, ее можно

рассматривать как поднятие из любой точки прямой P_iQ_i, в частности, из Q_i.

Пока что мы доказали, что без ограничения общности можно считать, что все

точки P_i содержатся в S. Рассмотрим подпространство T в S, натянутое на точ-

ки P_i: T = 〈P_i | i = 0, . . . , q〉. Все точки подпространства T имеют максимальную

кратность. Пусть Q ∈ S \ T - точка кратности a. Все точки в 〈T, Q〉 \ T также

имеют кратность a. Следовательно, ограничение K|_S является поднятием из под-

пространства T . Поскольку мы выбирали произвольное S, ограничение дуги K на

любое подпространство коразмерности 2 является поднятием дуги.

Повторим эти рассуждения для подпространств меньших размерностей. Для под-

пространств размерности 2 это означает, что любая плоскость содержит прямую, со-

стоящую из t-точек, а остальные ее точки имеют кратность a. Легко проверить, что

в таком случае имеется гиперплоскость, состоящая из t-точек, а все остальные точ-

ки вне этой гиперплоскости являются a-точками. Но такая дуга, очевидно, является

поднятием. ▴

В случае плоскости нетривиальные (t mod q)-дуги можно строить как σ-двой-

ственные к определенным блокирующим множествам. Пусть K - мультимножество

в Σ. Рассмотрим функцию σ, такую что σ(K(H)) - неотрицательное целое число

для всех гиперплоскостей H. Мультимножество

^{H → N₀,

K^σ :

(8)

H → σ(K(H)),

в двойственном пространстве

Σ называется σ-двойственным к K. Если σ - линейная

функция, то параметры мультимножества

K^σ, а также его спектр, легко вычисля-

ются по параметрам и спектру K [2].

Теорема 10. (t mod q)-дуга в PG(2,q) размера mq+t с точками максимальной

кратности t существует тогда и только тогда, когда существует блокирующее

множество в PG(2, q) с параметрами ((m - t)q + m, m - t) и прямыми с кратно-

стями из множества {m - t, m - t + 1, . . ., m}.

Доказательство. Пусть F - (t mod q)-дуга в PG(2,q) размера mq + t. Тогда

дуга F^σ, где σ(x) = (x - t)/q, является ((m - t)q + m, m - t)-блокирующим множе-

ством в двойственной плоскости. Более того, кратности прямых относительно этого

блокирующего множества принадлежат множеству {m - t, m - t + 1, . . . , m}. Чтобы

убедиться в этом, обозначим спектр дуги F через (a_i). Несложные вычисления дают

∑

at+iq = q² + q + 1,

(t + iq)at+iq = (mq + t)(q + 1).

Отсюда

∑

|F^σ| =

iat+iq = (m - t)q + m.

Далее, обозначим через b_i число i-прямых, проходящих через фиксированную c-

точку P (относительно F), 0 ≤ c ≤ t. Снова подсчитаем

∑

bt+iq = q + 1,

(t + iq)bt+iq = mq + t + cq,

∑

откуда ibt+iq = m - t + c. Значит, F^σ - блокирующее множество с параметрами

((m - t)q + m, m - t), а кратности прямых лежат в интервале от m - t (при c = 0)

до m (при c = t).

В другую сторону утверждение доказывается аналогично. Если начать с блоки-

рующего множества с данными параметрами и кратностями прямых из множества

{m - t, . . . , m}, то можно рассмотреть (m - t + j)-прямые как j-точки двойственной

геометрии, j = 0, . . . , t. Теперь параметры двойственной дуги легко проверяются. ▴

§ 5. (2 mod q)-дуги с ограниченными кратностями точек

Для начала заметим, что (1 mod q)-дуга, возникающая из 1-квазиделимой дуги,

проективна, и поэтому является либо гиперплоскостью, либо всем пространством.

В обоих случаях она содержит полную гиперплоскость, откуда следует, что лю-

бая 1-квазиделимая дуга допускает расширение. Теорема Хилла - Лизака о расши-

рении [8] на первый взгляд имеет несколько более общий характер, но ее можно

получить из нашего подхода, слегка изменив определение

^K.

Рассмотрим случай (2 mod q)-дуг для геометрий PG(r, q) с нечетным q ≥ 5.

В частности, (2 mod q)-дуги в плоскости PG(2, q) с максимальной кратностью то-

чек 2 были описаны в [12]. Они имеют следующий вид:

(I) Дуга, поднятая из 2-прямой; такая дуга имеет 2q + 2 точек, и имеются две

возможности:

(I-1) двойная прямая, или

(I-2) сумма двух различных прямых;

(II) Дуга, поднятая из (q + 2)-прямой; такая прямая содержит i двойных точек,

q+1

q-2i+2 простых точек, а также 0-точки в количестве i-1, где i = 1,...,

;

будем говорить, что такая дуга имеет тип (II-i), если она поднята из прямой

с i двойными точками;

(III) Дуга, поднятая из (2q + 2)-прямой, или, что то же самое, сумма двух копий

плоскости;

(IV) Исключительная (2 mod q)-дуга при нечетном q; она состоит из точек овала,

фиксированной касательной к этому овалу и двух копий каждой внутренней

точки овала (см. также [24]).

Теперь докажем, что в размерностях выше 2 каждая (2 mod q)-дуга является

поднятием дуги. Рассмотрим проекцию ϕ из 2-точки P на некоторую плоскость,

не инцидентную этой точке. Пусть L - прямая, инцидентная точке P . Для образа

прямой L имеются следующие возможности:

Тип прямой L

Кратность L Тип точки ϕ(L)

(2, 0, . . . , 0)

(2, 1, . . . , 1)

q+2

(2, 2, . . . , 2)

2q + 2

(2, 2, . . . , 2, 1, . . . , 1, 0, . . . , 0)

q+2

γ_i

q-2i

q-1

Отметим, что i = 1, . . .,

для типа γ_i. Тогда образы плоских (2 mod q)-дуг

при проекции ϕ имеют следующий вид:

Тип

Образ плоской дуги

Примечание

(I-1) (β, ω, . . . , ω)

(I-2) (α, α, ω, . . . , ω)

(II-i) (β, . . . , β, α, . . . , α, ω, . . . , ω)

Проекция из исключительной 2-точки

q-2i+1

i-1

(β, γ_i, γ_i, . . . , γ_i)

Проекция из любой другой 2-точки

(III) (β, β, . . . , β)

(IV) (α, γ q-1 , . . . , γ q-1 )

Проекция из 2-точки на овале

(γ q-1 , . . . , γ q-1

, γq-3 , . . . , γq-3

) Проекция из внутренней точки овала

q+3

q-1

Пусть задана (2 mod q)-дуга K в PG(3, q), где q нечетно; рассмотрим проекцию

из 2-точки P . Из последней таблицы следует, что

(i) Никакая прямая в плоскости проекции не инцидентна точкам типа ω и точкам

типа γ_i;

(ii) Если на прямой в плоскости проекции существуют точки типа γ_i и точки ти-

q-3

q-1

па γ_j , где i = j, то i =

, j =

Предположим вначале, что существует плоскость π₀, такая что K|_π является

исключительной дугой (IV). Пусть ϕ - проекция из 2-точки, лежащей на овале. То-

гда образ плоскости π₀ имеет тип (α, γ q-1 , . . . , γ q-1 ). Обозначим через L прямую

типа α и зафиксируем 1-точку Q на этой прямой. Предположим, что в плоско-

сти проекции есть точка типа β. Тогда плоскость проекции содержит прямую типа

(β, α, . . . , α), а все остальные прямые, проходящие через эту точку типа β, имеют

тип (β, γ q-1 , . . . , γ q-1 ), поскольку ω и γ q-1 несовместны. Следовательно, прямые

в плоскости проекц

ии, проходящие через точку типа α, имеют следующие типы:

• (α, α, . . . , α, β), такая прямая ровно одна;

• (α, γ q-2 , . . . , γ q-2 , γ q-2 ), имеется q таких прямых.

Обозначим точки, лежащие на 2(q + 1)-прямой (прообразе точки типа β), че-

рез P₀, P₁, . . . , P_q. Предположим, что найдется точка P_i, такая что все плоскости,

проходящие через QP_i (отличные от π₀), не имеют тип (IV). Тогда K, очевидно, яв-

ляется поднятием. Если же для любой P_i имеется плоскость, проходящая через QP_i

и такая, что ограничение дуги K на эту плоскость имеет тип (IV), то при проек-

тировании из каждой P_i будут получаться одни и те же типы прямых в плоскости

проекции (см. описание выше). Поэтому никакие три из q² 1-точек в овале не кол-

линеарны. Следовательно, выбирая эти q² 1-точек, а также, скажем, P₀ и P₁, мы

построим (q² + 2)-шапку. Это приводит к противоречию, поскольку максимальный

размер шапки в PG(3, q) равен q² + 1.

Мы доказали, что если в плоскости проекции имется точка типа β, то дуга K

является поднятием. Но точка типа β всегда обязана иметься, поскольку типы γ q-1

и ω несовместны. Таким образом, мы доказали, что если существует плоскость π,

такая что дуга K|_π имеет тип (IV), то K - поднятие дуги.

Теперь предположим, что такой плоскости, что K|_π имеет тип (IV), не существует.

Тогда ограничение K на любую плоскость является поднятием, и по теореме 9 дуга K

снова является поднятием. Итак, доказана следующая

Лемма 3. Пусть K - (2 mod q)-дуга в PG(3,q), где q нечетно. Тогда K явля-

ется поднятием дуги.

Теперь применим индукцию по размерности. Тогда, снова используя теорему 9,

получаем, что каждая (2 mod q)-дуга в геометрии размерности не менее 3 является

поднятием.

Теорема 11. Пусть K - (2 mod q)-дуга в PG(r,q), q нечетно, r ≥ 3. Тогда K

является поднятием дуги. В частности, носитель любой (2 mod q)-дуги в PG(r, q),

r ≥ 2, содержит гиперплоскость.

Замечание 2. Теорема 11 дает альтернативное доказательство теоремы Маруты

о расширимости кодов с весами -2, -1, 0 (mod q) [12]. Существование такого кода

равносильно существованию дуги K, 2-квазиделимой по модулю q. В § 2 (форму-

ла (2)) мы определили (t mod q)-дугу

K в геометрии

Σ для любой t-квазиделимой

дуги K в геометрии Σ. По теореме 3, если носитель дуги

^K содержит гиперплоскость,

то K допускает расширение. Именно этот факт установлен в теореме 11.

§ 6. Пример

Технику, развитую в предыдущих параграфах, можно проиллюстрировать на

примере задачи о расширимости шапок в PG(3, q). Напомним, что шапкой в PG(3, q)

называется множество точек этой геометрии, никакие три из которых не коллине-

арны. Хорошо известно, что максимальный размер шапки в PG(3, q) при q > 2

равен q² + 1. Оказывается, что если шапка имеет размер q² + 1 - t, где t не очень

большое, то она допускает расширение. Другими словами, все полные шапки разме-

ра менее q² + 1 имеют менее q² + 1 - t точек. Задача о нахождении значения t имеет

важное значение в конечной геометрии.

Результат такого типа для четных q следующий [25].

Теорема 12. В геометрии PG(3,q) при четном q для полной k-шапки, где k <

< q² + 1, справедливо неравенство

√q

k≤q² -

+ 1.

(9)

Для нечетных q имеется более сильный результат. Известно, что в этом случае

любая (q² + 1)-шапка является эллиптической квадрикой, и поэтому при больших

значениях q справедлив следующий результат [25].

Теорема 13. Пусть K - k-шапка в PG(3,q), где q ≥ 67 нечетно, и пусть

q√q

k>q² -

+ 2q.

(10)

Тогда полная шапка, содержащая K, является эллиптической квадрикой.

В этом параграфе мы покажем, как с помощью (t mod q)-дуг можно улучшить

эти результаты при некотором дополнительном условии. Предположим, что K -

(q² + 1 - t)-шапка с t < t₀, где t₀ - наименьшее целое число, такое что существует

блокирующее множество размера q+1+t₀ в PG(2, q), не содержащее полной прямой.

Приведем некоторые оценки на t₀:

• t₀ ≥

√q для всех q, с равенством, когда q - квадрат [26];

q+1

•

, если q = p - простое;

• t₀ = q2/3 = p², если q = p³ [27,28];

⌉

^⌈q/p^e + 1

• t₀ =p^e

, если q = p^h и e ≤ h/2 [27, 28].

p^e + 1

Теперь предположим, что K не содержит никакой (q + 2)-плоскости. Разумеется,

это условие всегда выполнено при нечетном q. Код, соответствующий такой шапке,

имеет параметры [q² + 1 - t, 4, q² - q - t]_q. Минимальное расстояние выражается как

d = q² - q - t = q³ - (q - 1)q² - q - t,

т.е. в обозначениях из [15] имеем s = 1, ε₂ = q - 1, ε₁ = 1, ε₀ = t. Поэтому теорему 6

из [15] непосредственно применить нельзя.

Заметим, что возможные кратности плоскости в PG(3, q) - это 0, 1, q + 1 - t, . . . ,

q + 1. Следовательно, K является t-квазиделимой. Кроме того, если L - прямая,

такая что K(L) = 2, то

^K(^L) = t.

Заметим, что любая точка P из K содержится в 1-плоскости. Чтобы доказать

это, рассмотрим проекцию ϕ из P на некоторую плоскость π, не проходящую че-

рез P . Тогда индуцированная плоская дуга K^ϕ проективна, поскольку K - шапка,

и имеет параметры (q² - t, q). Такая дуга является дополнением к (q + 1 + t, 1)-бло-

кирующему множеству, которое с необходимостью содержит некоторую прямую L

(так как t < t₀). Тогда плоскость 〈P, L〉 является 1-плоскостью (относительно K). За-

метим, что для 1-плоскости π имеем

^K(π) = 0, а для 1-прямой L в π имеем

^K(^L) = 1.

Две 1-плоскости не могут пересекаться по 1-прямой (прямой подсчет). Рассмот-

рим две 1-плоскости π₀ и π₁, пересекающиеся по 0-прямой L. Пусть π₂, . . . , π_q -

остальные q - 1 плоскостей, проходящих через L, и пусть их кратности равны, со-

ответственно, q + 1 - b_i, i = 2, . . ., q. Снова простой подсчет показывает, что среди

π₂, . . ., π_q нет ни одной 0- или 1-плоскости. Тогда

∑

2 + (q + 1 - b_i) = q² + 1 - t,

i=2

т.е.

∑ b_i = t, откуда следует, что для 0-прямой L, лежащей в двух 1-плоскостях,

i=2

выполнено

^K(^L) = t.

С учетом этих наблюдений оценим мощность дуги

^K. Рассмотрим 1-плоскость π

(относительно шапки K). Она содержит q + 1 1-прямых, q² - t 0-прямых, лежащих

в двух 1-плоскостях (поскольку каждая точка из K лежит на 1-плоскости), а так-

же t 0-прямых, не содержащихся в какой-либо другой 1-плоскости. Для прямых L

в плоскости π, являющихся 1- или 0-прямыми первого типа, имеем

^K(^L) = t; для

0-прямых L второго типа

^K(^L) = t или t + q. Так как

^K(π) = 0, то

|K| ≤ t(q² + q + 1) + tq.

Предположим, что |K| > t(q² + q + 1). Тогда легко проверить, что в

G(3, q) су-

ществует плоскость кратности t(q + 1) + q (относительно

^K). Тогда по теореме 10

существует блокирующее множество с параметрами (q + 1 + t, 1) с прямыми крат-

ностей 1, . . ., t + 1. Поскольку такое блокирующее множество обязательно содержит

прямую, должно выполняться t ≥ q, противоречие. Отсюда |K| = t(q² + q + 1),

и по следствию 3.5 из [29] дуга

K является суммой t плоскостей, а K допускает

t-расширение. Итак, доказана следующая

Теорема 14. Пусть K - (q² + 1 - t)-шапка в PG(3,q) с t < t₀, где t₀ - наи-

меньшее целое число, такое что существует блокирующее множество размера

q + 1 + t₀, не содержащее полной прямой. Кроме того, пусть K не содержит ни-

какую (q + 2)-плоскость. Тогда K допускает расширение.

Эта теорема охватывает случаи малых нечетных q и случаи четных q в предпо-

ложении, что не существует плоскости, пересекающей эту шапку по гиперовалу.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hirschfeld J.W.P. Projective Geometries over Finite Fields. Oxford: Clarendon, 1998.

2. Landjev I., Storme L. Linear Codes and Galois Geometries // Current Research Topics in

Galois Geometries. New York: Nova Sci. Publ., 2012. P. 187-214.

3. Мак-Вильямс Ф.Дж., Слоэн Н.Дж.А. Теория кодов, исправляющих ошибки. М.:

Связь, 1979.

4. Heise W., Quatrocchi P. Informations- und Codierungstheorie: mathematische Grundla-

gen der Daten-Kompression und -Sicherung in diskreten Kommunikationssystemen. Berlin:

Springer, 1995.

5. Tsfasman M.A., Vlǎdut S.G., Nogin, D.Yu. Algebraic Geometric Codes: Basic Notions.

Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 2007.

6. Griesmer J.H. A Bound for Error-Correcting Codes // IBM J. Res. Develop. 1960. V. 4.

№ 5. P. 532-542.

7. Ward H.N. Divisible Codes—A Survey // Serdica Math. J. 2001. V. 27. № 4. P. 263-278.

8. Hill R., Lizak P. Extensions of Linear Codes // Proc. 1995 IEEE Int. Sympos. on Informa-

tion Theory (ISIT’1995). Whistler, BC, Canada. September 17-22, 1995. P. 345.

9. Hill R. An Extension Theorem for Linear Codes // Des. Codes Cryptogr. 1999. V. 17.

№ 1-3. P. 151-157.

10. Maruta T. On the Extendability of Linear Codes // Finite Fields Appl. 2001. V. 7. № 2.

P. 350-354.

11. Maruta T. Extendability of Linear Codes over GF(q) with Minimum Distance d,

gcd(d, q) = 1 // Discrete Math. 2003. V. 266. № 1-3. P. 377-385.

12. Maruta T. A New Extension Theorem for Linear Codes // Finite Fields Appl. 2004. V. 10.

№ 4. P. 674-685.

13. Maruta T. Extension Theorems for Linear Codes over Finite Fields // J. Geom. 2011. V. 101.

№ 1-2. P. 173-183.

14.

Yoshida Y., Maruta T. An Extension Theorem for [n, k, d]q Codes with gcd(d, q) = 2 //

Australas. J. Combin. 2010. V. 48. P. 117-131.

15.

Landjev I., Rousseva A., Storme L. On the Extendability of Quasidivisible Griesmer Arcs //

Des. Codes Cryptogr. 2016. V. 79. № 3. P. 535-547.

16.

Dodunekov S., Simonis J. Codes and Projective Multisets // Electron. J. Combin. 1998.

V. 5. № 1. Research Paper R37.

17.

Landjev I. The Geometric Approach to Linear Codes // Finite Geometries (Proc. 4th Isle of

Thorns Conf. Chelwood Gate, UK. July 16-21, 2000). Dordrecht: Kluwer, 2001. P. 247-257.

18.

Hamada N. The Rank of the Incidence Matrix of Points and d-Flats in Finite Geometries //

J. Sci. Hiroshima Univ. Ser. A-I Math. 1968. V. 32. № 2. P. 381-396.

19.

Ceccherini P.V., Hirschfeld J.W.P. The Dimension of Projective Geometry Codes // Dis-

crete Math. 1992. V. 106/107. P. 117-126.

20.

Goethals J.-M., Delsarte P. On a Class of Majority-Logic Decodable Cyclic Codes // IEEE

Trans. Inform. Theory. 1968. V. 14. № 2. P. 182-188.

21.

MacWilliams F.J., Mann H.B. On the p-Rank of the Design Matrix of a Difference Set //

Inform. Control. 1968. V. 12. № 5. P. 474-489.

22.

Smith K.J.C. On the p-Rank of the Incidence Matrix of Points and Hyperplanes in a Finfite

Projective Geometry // J. Combin. Theory. 1969. V. 7. № 2. P. 122-129.

23.

Blokhuis A., Moorhouse G.E. Some p-Ranks Related to Orthogonal Spaces // J. Algebraic

Combin. 1995. V. 4. № 4. P. 295-316.

24.

Ball S., Hill R., Landjev I., Ward H. On (q² + q + 2, q + 2)-Arcs in the Projective Plane

PG(2, q) // Des. Codes Cryptogr. 2001. V. 24. № 2. P. 205-224.

25.

Hirschfeld J.W.P. Finite Projective Spaces in Three Dimensions. Oxford: Oxford Univ.

Press, 1985.

26.

Bruen A. Baer Subplanes and Blocking Sets // Bull. Amer. Math. Soc. 1970. V. 76. № 2.

P. 342-344.

27.

Polverino O. Small Blocking Sets in PG(2, p³) // Des. Codes Cryptogr. 2000. V. 20. № 3.

P. 319-324.

28.

Sziklai P., Szőnyi T. Blocking Sets and Algebraic Curves // Rend. Circ. Mat. Palermo (2)

Suppl. 1998. № 51. P. 71-86.

29.

Landjev I., Vandendriessche P. A Study of (xvt, xvt-1)-Minihypers in PG(t, q) // J. Combin.

Theory Ser. A. 2012. P. 119. № 6. P. 1123-1131.

Ланджев Иван Николов

Поступила в редакцию

Новый болгарский университет, София, Болгария

15.11.2018

Институт математики и информатики АН Болгарии,

После доработки

София, Болгария

25.06.2019

i.landjev@nbu.bg

Принята к публикации

Русева Ася Петрова

27.06.2019

Факультет математики и информатики

Софийского университета им. св. Климента Охридского,

София, Болгария

assia@fmi.uni-sofia.bg