ПРОБЛЕМЫ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ

Том 55

2019

Вып. 2

УДК 621.391.15

Д.И. Кошелев

НЕРАСЩЕПИМЫЕ ТОРИЧЕСКИЕ КОДЫ¹

Вводится новый широкий класс корректирующих кодов, называемых нерас-

щепимыми торическими кодами. Они являются естественным обобщением то-

рических кодов, где вместо обычных (т.е. расщепимых) алгебраических торов

берутся нерасщепимые. Основным преимуществом новых кодов является их

цикличность, и следовательно, они потенциально могут быть декодированы

довольно быстро. Многие классические коды, такие как (дважды расширен-

ные) коды Рида - Соломона и (проективные) коды Рида - Маллера, содержатся

(с точностью до эквивалентности) в новом классе. Наши коды явно описыва-

ются в терминах алгебраической и торической геометрии над конечными по-

лями, поэтому их легко построить на практике. Наконец, мы получаем новые

циклические реверсивные коды, являющиеся нерасщепимыми торическими на

поверхности дель Пеццо степени 6 с числом Пикара 1. Мы также вычисляем их

параметры, которые, как оказывается, достигают текущих нижних границ, по

крайней мере для малых конечных полей.

Ключевые слова: конечные поля, торические и циклические коды, нерасщепи-

мые алгебраические торы и торические многообразия, поверхности дель Пеццо,

эллиптические кривые.

DOI: 10.1134/S0555292319020025

§ 1. Введение

Имеется хорошо развитая теория так называемых торических кодов [1, глава 8],

т.е. алгеброгеометрических кодов (Гоппы) [1, глава 7] на торических многообрази-

ях [2] (размерности d над конечным полем F_q). Эти коды были обнаружены в [3,4]

как обобщение кодов Рида - Соломона (для d = 1). Торические коды являются d-мер-

ными циклическими кодами (также известными как мультициклические или абе-

левы) [5, 6]. Несмотря на это, достаточно быстрые способы их декодирования не

известны, а неэффективные представлены в [7, § 5].

Помимо обычных (т.е. расщепимых) торов и торических многообразий существу-

ют также нерасщепимые (над F_q) [8]. Поэтому естественно рассмотреть алгеброгео-

метрические коды на последних. Мы называем их нерасщепимыми торическими

кодами. У них есть некоторые преимущества. Во-первых, группы F_q-точек нерасще-

пимых торов часто являются циклическими, поэтому соответствующие коды оказы-

ваются циклическими (с простыми корнями) [9, п. 1.2.2]. Более того, некоторые тори-

ческие циклические коды являются также реверсивными [10]. Во-вторых, нерасще-

пимые торы содержат больше F_q-точек, чем расщепимый тор, т.е. больше чем (q-1)^d.

Другими словами, нерасщепимые торические коды длиннее расщепимых, следова-

тельно, они потенциально могут иметь лучшую корректирующую способность для

исправления ошибок. Наконец, многие классические коды, такие как дважды расши-

¹ Работа выполнена при частичной финансовой поддержке фонда Саймонса.

ренные коды Рида - Соломона [9, п. 4.4.1], циклические коды Рида - Маллера (и их

проективный аналог [11]), эквивалентны некоторым нерасщепимым торическим.

Статья организована следующим образом. В § 2 мы напоминаем некоторые ре-

зультаты теории нерасщепимых алгебраических торов и торических многообразий

над конечными полями. В частности, пп. 2.2, 2.4 ограничены размерностью d ≤ 2.

Наконец, в п. 2.5, где рассматриваются только поверхности дель Пеццо степени 6

[12, § 3], мы получаем много результатов для поверхности D₆ с F_q-числом Пика-

ра 1 (торическая поверхность дель Пеццо с наибольшим полем расщепления) и ее

антиканонической линейной системы. Затем в п. 3.1 мы определяем и изучаем нерас-

щепимые торические коды методами алгебраической, торической и комбинаторной

геометрии. В частности, это позволяет явно выписать порождающие матрицы для

всех торических кодов и даже порождающие многочлены, если эти коды цикличе-

ские. В п. 3.2 представлена полная классификация торических кодов (с точностью

до эквивалентности) на P¹, P² и квадратичных поверхностях. Наконец, в п. 3.3 мы

получаем новые циклические реверсивные нерасщепимые торические коды на по-

верхности D₆, вычисляя их параметры. Согласно кодовым таблицам [13] оказыва-

ется, что по крайней мере для небольших q эти коды в настоящее время являются

наилучшими.

§ 2. Торическая геометрия над конечными полями

2.1. Алгебраические торы. Пусть F_q - конечное поле порядка q характеристики p,

F_q - его алгебраическое замыкание, а G_m = F_q \ {0}. По определению алгебраиче-

ская группа T над F_q называется алгебраическим тором размерности d, если суще-

∼

ствует изоморфизм алгебраических многообразий ϕ: G^dm

→ T, определенный над

некоторым расширением F_qe. Можно предполагать, что ϕ является изоморфизмом

в категории алгебраических групп [12, теорема 7]. Если такое e минимально, то F_qe

называется полем расщепления тора T . Мы называем T расщепимым, если e = 1.

Заметим, что в случае циклической группы T (F_q) ее порядок делит q^e - 1.

Пусть x ∈ G^dm, m ∈ Z^d, а Φ ∈ GL(d, Z). Всюду далее мы придерживаемся обозна-

чений

(

)

xΦ□,1 , . . ., xΦ□,d

x^m = xm11 · . . . · xdd и Φ(x) =

где Φ□,j - j-й столбец матрицы Φ. Кроме того, мы предполагаем, что Φ действует

на m слева, т.е. Φ(m) = Φm.

Для данного тора T рассмотрим его решетки характеров M = HomFq (T, G_m) и

кохарактеров N = M^∗ с действиями Фробениуса Φ, Φ^t ∈ GL(d, Z) соответственно.

Напомним, что они сопряжены в GL(d, Z). Порядок матрицы Φ (т.е. Φ^t) равен e, по-

этому все ее собственные значения содержатся в μ_e = {ζ ∈ F_q | ζ^e = 1}. Ранг r тора T

определяется как ранг подрешетки инвариантов M^Φ (т.е. NΦt). Тор T называется

изотропным, если r > 0, т.е. при наличии у него нетривиальных F_q-(ко)характеров.

В противном случае T называется анизотропным.

Теорема 1 [14, п. 2.1.7]. Следующие свойства эквивалентны:

1. Тор T расщепим;

2. r = d;

3. Все (ко)характеры тора T определены над F_q;

4. Все собственные значения матрицы Φ равны 1.

Теорема 2 [12, §1]. Отображение T → Φ является биекцией между множе-

ством d-мерных F_q-торов, расщепимых над F_qe, и множеством матриц (с точно-

стью до сопряжения) из GL(d, Z) порядка e. Точнее говоря, под действием обрат-

ного отображения матрица Φ соответствует геометрическому фактору T_Φ =

= G^dm/Φ.

Теорема 3 [12, §2]. При фиксированном d существует лишь конечное (с точ-

ностью до сопряжения) число конечных подгрупп в GL(d, Z). В частности, суще-

ствует лишь конечное число d-мерных F_q-торов.

Теорема 4 [14, п. 2.1.7; 8, п. 9.2]. Справедливы следующие утверждения:

1. Тор T обладает единственным максимальным расщепимым (анизотропным)

F_q-подтором T_s (соответственно, T_a);

2. Более того, T_sT_a = T и |T_s ∩ T_a| < ∞. Другими словами, отображение

T_s × T_a → T, (P_s, P_a) → P_s · P_a

является F_q-изогенией. В частности,

|T (F_q)| = (q - 1)^r|T_a(F_q)|;

3. Торы T_s и T_a соответствуют решеткам M^Φ и M/M^Φ с естественно индуци-

рованным действием Φ. В частности, r = dim(T_s) и поля расщепления торов T

и T_a совпадают.

Лемма 1 [8, теорема 9.1.1]. Прообраз ϕ-1(T(F_q)) равен “собственному про-

странству”

E_q(Φ) = {x ∈ G^dm(F_qe) | Φ(x) = x^q},

ассоциированному с собственным значением q.

Иначе говоря, если α - некоторый примитивный элемент поля F_qe , то

G^dm(F_qe) = {(αv1, . . ., αvd ) | v_i ∈ Z/(q^e - 1)}

{

}

 ∑d



E_q(Φ) = (αv1, . . ., αvd )



Φ_i,jv_i ≡ qv_j (mod q^e - 1)

i=1

Лемма 2. Пусть x ∈ E_q(Φ), m ∈ M, и пусть k - мощность орбиты вектора m

относительно Φ. Тогда xΦs(m) = xqsm для 0 ≤ s ≤ k - 1 (в частности, x^m ∈ F_qk).

Доказательство. Утверждение следует из цепочки равенств

(

^∑ Φi,jmj

)m^j d_∏

∏

xΦi,j

▴

xΦ(m) = xj=1i

= xqmjj = x^qm.

i=1

j=1

i=1

j=1

Теорема 5. Верно, что

|T (F_q)| = χ(q) ≡ ±1 (mod q),

где χ(λ) = det(λI - Φ) - характеристический многочлен матрицы Φ. Более того,

если тор T нерасщепим, то он имеет строго больше F_q-точек, чем расщепимый,

т.е.

|T (F_q)| > (q - 1)^d.

Доказательство. Первая часть утверждения доказана в [8, теорема 9.1.2].

Для второй приведем доказательство, предложенное Б. Кунявским в частном пись-

ме. Пусть λ₁, . . . , λ_d - все собственные значения матрицы Φ. По теореме 1 хотя бы

одно из них отлично от 1. Таким образом, получаем строгое неравенство

∏

|T (F_q)| = χ(q) =

|q - λ_i| > (q - |λ_i|) = (q - 1)^d.

▴

i=1

Пусть n, m ∈ N, m | n, и пусть R_n,q - ограничение скаляров Вейля тора G_m

относительно расширения F_qn/F_q (см., например, [8, п. 3.12]). Универсальное свой-

ство ограничения Вейля дает отображение нормы N_n,m,q : R_n,q → R_m,q [15, § 5],

являющееся сюръективным F_q-гомоморфизмом алгебраических торов. В частности,

N_n,q := Nn,1,q : R_n,q → G_m, N_n,q(P) = P · P⁽¹⁾ · . . . · P(n-1),

является обычным отображением нормы, т.е. произведением n сопряженных

(над F_q) точек. Кроме того, согласно [15, лемма 5.1.ii] ограничение отображения

N_n,m,q на подгруппу R_n,q(F_q) - это норма расширения F_qn/F_qm. Наконец, рассмот-

рим F_q-торы

⋂

R(m)n,q = ker(N_n,m,q), T_n,q =

R(m)n,q.

m|n

m=n

При m = 1 первый из них называется норменным тором. Интересно, что для n,

равных произведению различных простых чисел, группы T_n,q(F_q) используются в

криптографии [15, § 6].

Теорема 6 [14, п. 2.1.7; 15, §5]. Справедливы следующие утверждения:

1. (R_n,q)_a = Rn,q, и поэтому Tn,q является анизотропным тором;

2. Поля расщепления торов R_n,q, Rⁿ

,q и Tn,q равны Fqn ;

3. dim(T_n,q) = ϕ(n) и T_n,q(F_q) ≃ Z/(Φ_n(q)), где ϕ - функция Эйлера, а Φ_n - n-й

круговой многочлен.

2.2. Алгебраические торы размерности 1 и 2.

Теорема 7 [16]. Существуют лишь следующие одномерные

алгебраические

F_q-торы:

e r Φ

T (F_q)

G_m

Z/(q - 1)

T₂ = R(1)2,q

-1

Z/(q + 1)

Теорема 8 [16]. Существуют лишь следующие двумерные

алгебраические

F_q-торы:

e r Φ ∈ GL(M)

T (F_q)

(

)

G2m

(Z/(q - 1))²

(

)

-1

T2.a = T²²

(Z/(q + 1))²

-1

(

)

T2.b = G_m × T₂

Z/(q - 1) × Z/(q + 1)

-1

(

)

T2.c = R2,q

Z/(q² - 1)

(

)

-1

T₃ = R(1)3,q

Z/(q² + q + 1)

(

)

(

)

-1

T₄ = R2,q

R(1)2,q2

Z/(q² + 1)

(

)

-1

T₆ = T6,q

Z/(q² - q + 1)

В работе [16] не приведены значения r и T (F_q), которые очевидны или следуют

из теоремы 6. Кроме того, в [16] тор T₃ (соответственно, T₄) обозначается через T₄

(соответственно, T₅). Мы поменяли обозначение, потому что степень расширения

тора T₃ (соответственно, T₄) равна 3 (соответственно, 4). Кроме того, мы будем

обозначать матрицу Φ для T_i через Φ_i.

Помимо классификации нам будет полезна

Теорема 9 [17]. Все F_q-торы размерности 1 и 2 являются рациональными

над F_q.

2.3. Торические многообразия. Мы сохраняем обозначения из п. 2.1. Пусть T -

F_q-тор, а V - проективное гладкое Fq-многообразие (размерности d). Мы говорим,

что V является торическим многообразием (относительно T ), если оно содержит T

в качестве открытого подмножества и групповая операция на T может быть про-

должена до действия тора T на V . Оно называется расщепимым, если T расщепим.

Кроме того, пусть V^′ - другое торическое многообразие относительно некоторого то-

ра T^′. Тогда морфизм ϕ: V → V^′ называется морфизмом торических многообразий,

если его ограничение ϕ: T → T^′ является гомоморфизмом.

Теорема 10. Пусть V - проективное гладкое F_q-многообразие с точным дей-

ствием F_q-тора T и открытой орбитой U. Тогда T и U изоморфны над F_q (с уче-

том действия T ), и поэтому V является торическим многообразием (относи-

тельно T ).

Доказательство. Орбита U является T-торсором, поэтому T и U изоморфны

над F_q, а многообразие V геометрически рационально. По теореме из [18, § 2] оно

имеет F_q-точку. С другой стороны, [19, предложение 4] гарантирует существование

F_q-точки на U, и таким образом, T и U изоморфны над F_q. ▴

В дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения:

M_R = M ⊗_Z R, N_R = N ⊗_Z R, ρ(V ) = rank(Pic(V )),

V = V ⊗Spec(Fq) Spec(Fq),

и пусть TDiv(V ) - множество T -инвариантных F_q-дивизоров на V . Используя стан-

дартную терминологию торической геометрии (см., например, [2]), рассмотрим сле-

дующие множества:

Poly: Пары (P, Φ), где P ⊂ M_R - полномерный гладкий выпуклый решетчатый

многогранник, а Φ ∈ GL(M) - матрица конечного порядка, такая что Φ(P) = P.

Fan: Тройки (Σ, Φ, D), где Σ - проективный гладкий веер в N_R, инвариантный от-

носительно матрицы Φ ∈ GL(N) конечного порядка. Другими словами, для лю-

бого конуса σ ∈ Σ мы имеем, что Φ(σ) ∈ Σ. Наконец, D - (очень) обильная

Φ-инвариантная целочисленная комбинация лучей из Σ.

Split: Тройки (V, Φ, D), где V - расщепимое торическое F_q-многообразие, Φ - авто-

морфизм на V (как торического многообразия), а D ∈ TDiv(V ) - (очень) обиль-

ный Φ-дивизор.

Tor: Тройки (V, T, D), где V - торическое F_q-многообразие относительно F_q-тора T ,

а D ∈ TDiv(V ) - (очень) обильный дивизор.

Хорошо известно, что эти множества соответствуют друг другу с помощью сле-

дующих отображений (расщепимый случай обсуждается в [2]):

1. Отображение

Poly → Fan, (P, Φ) → (Σ_P , Φ^t, D_P ),

где Σ_P и D_P - это соответствующие многограннику P нормальный веер [2, тео-

рема 2.3.2] и целочисленная комбинация лучей [2, § 4.2];

2. Отображение

Fan → Split, (Σ, Φ, D) → (V_Σ, Φ, D),

где V_Σ - соответствующее вееру Σ расщепимое торическое многообразие [2, § 3.1],

а Φ - автоморфизм на G^dm из п. 2.1, продолженный на V_Σ;

3. Отображение

Split → Tor, (V_Σ, Φ, D) → (VΣ,Φ, T_Φ, D),

где

VΣ,Φ = V_Σ/Φ, T_Φ = G^dm/Φ

- геометрические факторы многообразий V_Σ и G^dm по автоморфизму Φ. Ториче-

ское многообразие VΣ,Φ называется моделью Демазюра тора T_Φ.

Теорема 11 [12, §§1, 2]. Все F_q-формы многообразия V_Σ (без торической

структуры) являются торическими, т.е. имеют вид VΣ,Φ для Φ ∈ Aut(Σ). Кроме

того, для Φ^′ ∈ Aut(Σ) многообразия VΣ,Φ, VΣ,Φ′ изоморфны над F_q (как торические

многообразия), если и только если матрицы Φ, Φ^′ сопряжены в Aut(Σ). Наконец,

V_Σ, VΣ,Φ изоморфны над F_qe.

Наоборот, рассмотрим матрицу Φ ∈ GL(N) и тор T_Φ. Имеется проективный

гладкий веер в N_R, инвариантный относительно Φ. Другими словами, существует

торическое F_q-многообразие относительно T_Φ.

Пусть ΣΦt - множество инвариантных конусов веера Σ относительно матрицы

Φ^t ∈ Aut(Σ). Кроме того, для σ ∈ ΣΦt обозначим через σ^∗ ⊂ M_R конус, двойственный

к σ, а через T_Φ,σ - тор, соответствующий ограничению действия Φ на подрешетку

M_σ = -σ^∗ ∩ σ^∗ ∩ M (размерности d - dim(σ)).

Теорема 12 [20, теорема 1.3.2, следствие 1.3.6]. Имеется естественное биек-

тивное соответствие

⊔

VΣ,Φ(F_q) =

T_Φ,σ(F_q).

σ∈Σ^Φt

В частности, для анизотропного тора T_Φ выполнено равенство VΣ,Φ(F_q) = T_Φ(F_q).

Теорема 13 [12, §1]. Естественное вложение Pic(V_Σ) ↪→ Pic(V_Σ) является

изоморфизмом. Другими словами, любой дивизор на V_Σ эквивалентен некоторо-

му F_q-дивизору. В то же время существует естественный изоморфизм между

Gal(F_q/F_q)-модулем Pic(VΣ,Φ) и Φ-модулем Pic(V_Σ). В частности,

ρ(VΣ,Φ) = rank(Pic(V_Σ)^Φ).

Теорема 14 [8, теорема 4.3.1; 20, п. 1.3]. Имеет место точная последователь-

ность Φ-модулей

0 → M → TDiv(V_Σ) → Pic(V_Σ) → 0,

а при переходе к инвариантам получаем точную последовательность групп

0 → M^Φ → TDiv(V_Σ)^Φ → Pic(V_Σ)^Φ → Pic(T_Φ) → 0.

Более того, группа

Pic(T_Φ) ≃ H¹(Φ, M)

конечна, и поэтому количество Φ^t-орбит на Σ(1) равно r(T_Φ) + ρ(VΣ,Φ).

−

Φ=1

Φ = -1

Рис. 1. Действия на примитивных векторах веера Σ_P1

При рассмотрении торических кодов нас будет интересовать образ TDiv(V_Σ)^Φ в

Pic(V_Σ)^Φ, который мы обозначаем через TPic(V_Σ, Φ). В частности,

TPic(V_Σ, I) = Pic(V_Σ).

2.4. Проективная прямая

¹ и торические поверхности. Хорошо известно, что P¹

является единственным одномерным проективным гладким торическим многообра-

зием. Пусть x, y - его однородные координаты. Простыми G_m-инвариантными ди-

визорами на P¹ являются лишь точки P_x = (0 : 1), P_y = (1 : 0).

Теорема 15 [2, пример 2.4.10]. Веер прямой P¹ и все возможные действия на

нем представлены на рис. 1. Точнее говоря,

Aut(Σ_P1) = 〈-1〉 ≃ Z/2.

Кроме того, ясно, что

Pic(P¹) = Z[P_y ], TPic(P¹, -1) = Z[D_x,y],

где D_x,y = P_x + P_y.

Далее мы будем говорить о торических поверхностях. Нам понадобится обозна-

чение V(f₁, . . . , f_n) для алгебраического многообразия, порожденного некоторым се-

мейством F_q-многочленов f₁, . . . , f_n, n ∈ N.

Теорема 16 [21, §4.1]. Любая торическая F_q-поверхность может быть полу-

чена с помощью последовательности раздутий в F_q-орбитах тор-инвариантных

точек, начиная с F_q-минимальных поверхностей, являющихся F_q-формами для

1. P²;

2. P¹ × P¹;

3. Поверхностей Хирцебруха F_m при m > 1;

4. Поверхности дель Пеццо степени 6 с F_q-числом Пикара 1.

Проективная плоскость

². Напомним, что формы (над любым полем) плос-

кости P² называются поверхностями Севери - Брауэра. Согласно [22, предложе-

ние 4.5.10; 18, § 2] имеет место

Лемма 3. Не существует поверхностей Севери-Брауэра над F_q, отличных

от P².

Пусть x, y, z - однородные координаты на P². Хорошо известно, что P² является

расщепимой торической поверхностью и все ее простые тор-инвариантные дивизоры

- это прямые L_x = V(x), L_y = V(y), L_z = V(z).

Теорема 17 [2, пример 3.1.9]. Веер плоскости P² и все возможные действия

на нем (с точностью до сопряжения) представлены на рис. 2. Точнее говоря,

Aut(Σ_P2) = 〈Φt3〉 ⋊ 〈Φ2.c〉 ≃ S₃.

Кроме того, ясно, что

Pic(P²) = TPic(P², Φ2.c) = Z[L_z], TPic(P², Φ₃) = Z[D_x,y,z],

где D_x,y,z = L_x + L_y + L_z.

Φ2.c

Φt3

Рис. 2. Действия на примитивных векторах веера Σ_P2

Квадратичные поверхности. Рассмотрим две различные точки P₁, P₂ ∈ P² и

прямую L между ними. Последовательное раздутие в точках P₁, P₂ и стягивание

собственного прообраза прямой L приводит к F_q-поверхности Q. Если P₁, P₂ опре-

делены над F_q, то Q называется гиперболической квадратичной поверхностью H.

В противном случае, т.е. если P₁, P₂ сопряжены над F_q, поверхность Q называется

эллиптической квадратичной поверхностью E.

Теорема 18. Во-первых, E является единственной нетривиальной F_q-формой

для H. Кроме того, имеются следующие F_q-изоморфизмы:

H ≃ P¹ × P¹ ≃ V(xy - zt), E ≃ R_F

q² /^Fq (P1)≃V(xy-Q(z,t)),

где x, y, z, t - однородные координаты для P³, поверхность R_F

- ограничение

q² /^Fq (P1)

скаляров Вейля, а

^{z² - at²

(где a ∈ F^∗q,

√a ∈ F_q),

если p = 2,

Q(z, t) =

z² + zt + at² (где a ∈ F^∗q, Tr_F

q/F2 (a)=1),еслиp=2.

Доказательство. Классификация F_q-форм следует из результатов [23, лем-

ма 15.3.1; 12, § 3]. В свою очередь, наличие изоморфизмов обсуждается, например,

в [24, п. 2.2.1; 25, пример 3.8]. ▴

Пусть x, y и u, v - две пары однородных координат на P¹ × P¹. Действие тора G2m

на H естественно наследуется от действия тора G_m на P¹, а соответствующие про-

стые G2m-инвариантные дивизоры - это прямые

L_x = {P_x} × P¹, L_y = {P_y} × P¹, L_u = P¹ × {P_u}, L_v = P¹ × {P_v}.

Теорема 19 [2, пример 3.1.12]. Веер поверхности H и все возможные дей-

ствия на нем (с точностью до сопряжения) представлены на рис. 3. Точнее гово-

ря,

Aut(Σ_H) = 〈Φt4〉 ⋊ 〈Φ2.c〉 ≃ D₄.

Заметим, что в геометрических терминах автоморфизм Φ2.c является инволюци-

ей (P, Q) → (Q, P).

Лемма 4. Имеются F_q-изоморфизмы (без учета торической структуры)

H ≃ VΣH,Φ2.a ≃ VΣH,Φ2.b,E ≃ VΣH,Φ2.c≃ VΣH,Φ4^.

Доказательство. Достаточноявно реализоватьвсе торические F_q-формы по-

верхности H. Первая часть леммы очевидна, потому что P¹×P¹ является торической

поверхностью относительно торов T2.a, T2.b. С другой стороны, благодаря универ-

сальному свойству ограничения Вейля действие тора G_m (соответственно, T₂) на P¹

Φ2.a

Φ2.b

Φ2.c

Φt4

Рис. 3. Действия на примитивных векторах веера ΣH

преобразуется в действие тора T2.c (соответственно, T₄) на RFq2 /Fq(P1).Такимобра-

зом, вторая часть также верна. ▴

Наконец, легко доказывается, что

Pic(H) = Z[L_y] ⊕ Z[L_v], TPic(H, Φ2.a) = Z[D_x,y] ⊕ Z[D_u,v],

TPic(H, Φ2.b) = Z[L_y] ⊕ Z[D_u,v], Pic(E) = TPic(H, Φ2.c) = Z[D_y,v],

TPic(H, Φ₄) = Z[D_x,y,u,v],

где

D_x,y = L_x + L_y, D_u,v = L_u + L_v, D_y,v = L_y + L_v, D_x,y,u,v = D_x,y + D_u,v.

Поверхности Хирцебруха_m при m > 0. Эти поверхности задаются уравнением

F_m = V(u^my - v^mx) ⊂ P2(x:y:z) × P1(u:v).

Проекция f : F_m → P1(u:v) является единственным P¹-расслоением на F_m. Легко дока-

зать, что не существует нетривиальных F_q-форм для F_m, и эта поверхность является

расщепимой торической. Ее тор-инвариантные простые дивизоры имеют вид

F_u = V(u, x), F_v = V(v, y), Σ = V(x, y), S = V(F_m, z).

Кривые F_u, F_v являются слоями расслоения f над точками P_u, P_v ∈ P¹ соответствен-

но. В свою очередь, кривые Σ и S являются образами сечений для f, чьи кратности

самопересечения равны -m и m соответственно.

Рассмотрим матрицу

(

)

ΦFm =

∈ GL(M)

m -1

и заметим, что она сопряжена к Φ2.b, если 2 | m, и к Φ2.c, если 2 ∤ m.

Σ .

ΦtFm

Рис. 4. Действия на примитивных векторах веера ΣFm при m > 0

Теорема 20 [2, пример 3.1.16]. Веер поверхности F_m и все возможные дей-

ствия на нем представлены на рис. 4. Точнее говоря,

Aut(ΣFm) = 〈Φ^t

〉 ≃ Z/2.

Наконец, легко проверяется, что

Pic(F_m) = Z[S] ⊕ Z[F_v ], TPic(F_m, ΦFm) = Z[S] ⊕ Z[D_m],

где

{

u + Fv,

если 2 | m,

^{2F_v,

если 2 | m,

D_m =

m-1

D_m ∼

Σ+

(F_u + F_v), если 2 ∤ m,

S - F_v, если 2 ∤ m.

Стоит также отметить, что дивизор r₁S + r₂F_v (очень) обилен тогда и только тогда,

когда r₁, r₂ > 0.

2.5. Поверхности дель Пеццо степени 6. В этом пункте мы будем использовать

обозначения для P² и базовые факты из [12, § 3]. Рассмотрим точки

P_x = (1 : 0 : 0), P_y = (0 : 1 : 0), P_z = (0 : 0 : 1).

Хорошо известно, что совокупное раздутие P² в этих точках дает F_q-поверхность

дель Пеццо D₁ степени 6, и она единственна над F_q. Кроме того, D₁ является тори-

ческой поверхностью, потому что точки P_x, P_y, P_z тор-инвариантны.

Пусть E_x, E_y, E_z - исключительные кривые, ассоциированные с точками P_x, P_y, P_z

соответственно, а

L_x,Ly,Lz - собственные прообразы прямых Lx, Ly, Lz соответ-

ственно. Эти шесть кривых являются единственными тор-инвариантными простыми

дивизорами на D₁. Кроме того, дивизор

H₀ = E_x + E_y + E_z +

L_x +

L_y +

L_z

антиканоничен и дает F_q-вложение D₁ ↪→ P⁶.

Теорема 21. Веер поверхности D₁ и все возможные действия на нем пред-

ставлены на рис. 5, где

Φ′2.c = (-1)Φ2.c = Φ₄Φ2.cΦ-14.

Точнее говоря,

Aut(ΣD1) = Aut(Σ_P2) × 〈Φ2.a〉 = 〈Φt6〉 ⋊ 〈Φ2.c〉⁼ D₆.

L_x

L_y

L_z

Φ2.a

Φ2.c

Φ′2.c

Φt3

Φt6

Рис. 5. Действия на примитивных векторах веера ΣD₁

Таблица 1

Fq-поверхности дель Пеццо степени 6

|D(Fq )|

ρ(D)

D1 = Bl1,1,1(P²) = Bl1,1(H)

q² + 4q + 1

D2.a = Bl2(H)

q² + 2q + 1

D2.c = Bl1,2(P²) = Bl1,1(E)

q² + 2q + 1

D′2.c = Bl2(E)

q² + 1

D3 = Bl3(P²)

q² + q + 1

q² - q + 1

Заметим, что в геометрических терминах Φ2.a является стандартным квадратич-

ным преобразованием

P² --→ P², (x : y : z) → (yz : xz : xy) = (x-1 : y-1 : z-1),

поднятым на D₁.

Будем обозначать через D_i (соответственно, D′2.c) торическую поверхность VΣD

,Φi

(соответственно, VΣD1 ,Φ′2.c ). Подчеркнем, что поверхности D2.c и D².c не изоморф-

ны над F_q, хотя обе содержат тор T2.c. Кроме того, для произвольной торической

поверхности S обозначим через Bla1,...,an (S) ее раздутие в некоторых Fq-орбитах

(мощностей a₁, . . . , a_n, n ∈ N) тор-инвариантных точек. Вообще говоря, такое раз-

дутие, разумеется, зависит от выбора F_q-орбит с данными мощностями. Согласно

теоремам 12, 14 и рис. 5 справедлива

Теорема 22. Все F_q-поверхности дель Пеццо степени 6 приведены в табл. 1.

В частности, D₆ является единственной среди них F_q-минимальной поверхно-

стью.

В дальнейшем мы сосредоточим свое внимание на поверхности D₆, потому что то-

рические коды на ней, кажется, имеют наилучшие параметры по сравнению с осталь-

Рис. 6. Многоугольник PH₀ с действием Φ6

ными поверхностями дель Пеццо степени 6. Прежде всего,

Pic(D₆) = TPic(D₁, Φ₆) = Z[H₀],

а многоугольник PH0 с действием Φ₆ изображен на рис. 6. Следующая лемма пред-

ставляет собой элементарное упражнение.

Лемма 5. Для r ∈ N множество

{(0, 0)} ∪ {1 ≤ i, 0 ≤ j, i + j ≤ r} ⊂ M

состоит из представителей всех орбит относительно действия Φ₆ на PrH0 ∩ M.

Кроме того, ненулевые точки этого множества представляют орбиты мощно-

сти 6. В частности,

|PrH0 ∩ M| = 3r(r + 1) + 1.

Пусть P = {P₁, P₂, P₃} - тройка неколлинеарных F_q-сопряженных точек на P²,

а Q = {Q₁,Q₂} - пара различных F_q-сопряженных точек на P². В частности, эти

пять точек находятся в общем положении, поэтому можно рассмотреть однозначно

определенную невырожденную конику C, проходящую через них. Для i, j ∈ {1, 2, 3}

(i = j), k ∈ {1, 2} обозначим через L_i,j , M и N_j,k прямые, проходящие, соответ-

ственно, через P_i и P_j, Q₁ и Q₂, P_j и Q_k. Кроме того, пусть

∑

L=L1,2 +L1,3 +L2,3, N =

N_j,k.

j,k=1

Все упомянутые геометрические объекты представлены на рис. 7.

Поскольку прямые N_j,k сопряжены друг другу и любая торическая F_q-поверх-

ность однозначно определена действием Фробениуса на ее простых тор-инвариант-

ных дивизорах, справедлива

Лемма 6. Поверхность D₆ получается раздутием P² в орбитах P,Q с по-

следующим стягиванием собственных прообразов

M,C кривых M, C соответ-

ственно.

Будем обозначать через B соответствующую поверхность раздутия (являющуюся

поверхностью дель Пеццо степени 4), а через ϕ_u (соответственно, ϕ_d) - отображение

раздутия (стягивания). Другими словами, имеем диаграмму

ϕu

P²

−→

D₆.

Кроме того, пусть

P_M = ϕ_d(^M), P_C = ϕ_d

C), ϕ_ud = ϕ_u ◦ ϕ-1d,

N2,2

N2,1

L1,3

N1,2

L2,3

L1,2

N1,1

N3,2

N3,1

Рис. 7. Точки Pj , Qk, прямые Li,j , M, Nj,k и коника C

E′P2

E′P1

E′P3

E′Q1

E′Q2

Рис. 8. Точки PM, PC и кривые E^P , E^Q

и пусть

L^′ = L′1,2 + L′1,3 + L′2,3

- собственный прообраз дивизора L относительно ϕ_ud. Наконец, пусть

E_P = EP1 + EP2 + EP3, E_Q = EQ1 + EQ2

- исключительные дивизоры, ассоциированные с P , Q соответственно, и

E^′P = (ϕ_d)_∗(E_P ) = E^′P

+E^′P

E^′Q = (ϕ_d)_∗(E_Q) = E^′Q

+E^′Q

(см. рис. 8). Заметим, что имеются биективные соответствия

ϕ_ud

∼

D₆ \ (E^′P ∪ E^′Q)

→ P² \ (M ∪ C),

ϕ_ud

∼

T₆(F_q) \ {P_M, P_C} = D₆(F_q) \ {P_M, P_C}

→ P²(F_q) \ (M ∪ C).

Прямые N_j,k не являются касательными к C, поэтому их собственные прообразы

ϕ_d

∼

N_j,k ⊂ B не пересекают

C (и, разумеется,

M). Следовательно,

N_j,k

→ ϕ_d(Nj,k),

и мы будем использовать для них одно и то же обозначение. Легко видеть, что

N_j,k - исключительные кривые на D₆, и таким образом,

∑

H₀ =

N_j,k ∈ Div(D₆) (или Div(B)).

j,k=1

Лемма 7. Множество гиперплоских F_q-сечений на D₆ ⊂ P⁶ представляется

в виде

|H₀| = ϕ^∗ud(L) - 2E^′P - 3E^′Q,

где неполная линейная система

L = |N - 2P - 3Q|

по определению состоит из плоских (возможно, приводимых) F_q-секстик, прохо-

дящих через P с кратностью 2 и через Q с кратностью 3.

Доказательство. Действительно, нетрудно доказать, что

ϕ^∗u(L) - 2E_P - 3E_Q = |ϕ^∗u(N) - 2E_P - 3E_Q| = |H₀| ⊂ Div(B),

поэтому

(

)

(

)

ϕ^∗ud(L) - 2E^′P - 3E^′Q = (ϕ_d)_∗

ϕ^∗u(L) - 2E_P - 3E_Q

= (ϕ_d)_∗

|H₀|

= |H₀| ⊂ Div(D₆).

Для лучшего понимания прямого и обратного образов дивизоров на алгебраических

многообразиях см., например, [26, §§ II.5, II.6, IV.2]. ▴

Согласно формуле из [26, пример V.3.9.2] для рода абсолютно неприводимой кри-

вой (разновидность формулы Плюккера) легко убедиться, что справедлива

Лемма 8. Существуют лишь следующие разложения на неприводимые ком-

поненты для F_q-кривых из L:

6: Секстика с μ_P = 2, μ_Q = 3;

5 + M: Квинтика с μ_P = μ_Q = 2 и M;

4 + C: Квартика с μ_P = 1, μ_Q = 2 и C;

3 + C + M: Кубика с μ_P = μ_Q = 1, C и M;

2 + 2 · C: Коника с μ_P = 0, μ_Q = 1 и две копии коники C;

2 + 2 · M + C: Коника с μ_P = 1, μ_Q = 0, две копии прямой M и коника C;

2 · C + M + 1: Две копии коники C, M и прямая;

M + 1 + 2 + 2⁽¹⁾: Прямая M, еще одна прямая и две F_q-сопряженные коники с

μ_P = 1, такие что M является касательной к каждой из них в единствен-

ной точке из Q;

2^′ + 2 + 2⁽¹⁾: Коника и две F_q-сопряженные коники, как в предыдущем случае;

3 · C: Три копии коники C;

2 · C + 2 · M: Две копии коники C и прямой M;

L + 3 · M: Прямые L_i,j и три копии прямой M;

N: Прямые N_j,k;

Вырожденные случаи: Остальные разложения, не содержащие F_q-кривых, отлич-

ных от M и C.

В частности, во всех случаях имеется не более чем одна абсолютно неприводимая

F_q-кривая (геометрического рода g ≤ 1), отличная от M и C. Более того, для этой

кривой g = 1 лишь в случаях 6, 5 + M, 4 + C и 3 + C + M, в которых отсутствуют

особые точки вне P и Q.

Согласно леммам 7, 8 и свойствам раздутий [26, § V.3] получаем

Следствие 1. Полная классификация гиперплоских F_q-сечений на D₆ ⊂ P⁶

представлена в табл. 2.

Таблица 2

Классификация гиперплоских Fq-сечений на D6 ⊂ P⁶

S ∈L

H = ϕ^∗ud(S) - 2E^′P - 3E^′Q

|H(Fq)|

μP

(H) μP_C (H)

Эллиптическая или рациональ-

[9, теорема 3.3.12]

5+M

ная кривая с одной особой точ-

или ≤ q + 2

4+C

кой (кратности 2)

соответственно

3+C+M

2+2·C

Рациональная кривая, гладкая

2+2·M+C

вне PM, PC

2·C+M+1

≤q+2

M+1+2+2⁽¹⁾ Три рациональные кривые, глад-

кие вне PM, PC; две из них Fq-со-

2^′ + 2 + 2⁽¹⁾

пряжены

≤q+4

3·C

E^′P

2·C+2·M

E^′Q

L+3·M

L^′

Одна или две Fq-орбиты сопря-

Вырожденные

женных гладких рациональных

≤4

случаи

кривых

Следствие 2. При q ≥ 5 каждая эллиптическая F_q-кривая изоморфна над F_q

некоторому гиперплоскому сечению на D₆ ⊂ P⁶.

Доказательство. С одной стороны, классификация элементов из |H₀| (след-

ствие 1) не зависит от выбора множеств P , Q. С другой стороны, при q ≥ 5 любая

эллиптическая F_q-кривая E содержит такие множества. Действительно, пусть S -

множество точек из E(F_q3 ), коллинеарных с их F_q-сопряженными. По теореме Безу

мощность данного множества ограничена числом 3(q² + q), потому что уравнение

коллинеарности для трех сопряженных точек, очевидно, имеет степень q² + q. При-

меняя границу Хассе [9, п. 3.3.3], мы видим, что

|E(F_q3 ) \ S| ≥ q³ - 3q² - ⌊2q√q⌋ - 3q + 1 > 0,

|E(F_q2 ) \ E(F_q)| ≥ q² - 3q - ⌊2√q⌋ > 0

для q ≥ 5. ▴

§3. Торические коды

3.1. Определение и основные свойства. Данный пункт основывается на результа-

тах пп. 2.1, 2.3. Рассмотрим тройку (V, T, D) ∈ Tor и соответствующие ей объекты

−→ V - F_qe-изоморфизм (торических

многообразий) и T (F_q) = {P₀, . . . , Pn-1}.

Отображение вычисления

Ev: H⁰(V, D) → F^nq, Ev(f) = (f(P₀), . . . , f(Pn-1)),

корректно определено, потому что T ∩ Supp(D) = ∅. Мы будем предполагать, что

оно инъективно, т.е. не существует F_q-кривой из линейной системы |D|, полностью

содержащей T (F_q). По определению торический код - это образ

C_q(V, T, D) = Im(Ev).

Он называется расщепимым, если тор T расщепим.

Мы хотели бы переписать данное определение более конструктивно. Напомним,

что обычное отображение Фробениуса V соответствует (посредством ϕ) действию Φ

на V_Σ. В то же время [2, предложение 4.3.3]

∗

∼

H⁰(V , D)

→ H⁰(V_Σ, D), H⁰(V_Σ, D) = F_q[{x^m | m ∈ P_D ∩ M}].

Следовательно, ϕ^∗ является изоморфизмом F_q-пространств H⁰(V, D) и

{∑



}



L(P_D, Φ) := H⁰(V_Σ, D)Φ∗ =

c_mx^m

 cm ∈ Fqe , c^m

=cΦ(m)

Таким образом, по лемме 1 код C_q(V, T, D) также равен образу отображения вычис-

ления L(P_D, Φ) → F^nq в точках из E_q(Φ), которые мы продолжаем обозначать через

P₀, . . ., Pn-1.

Код C_q(V, T, D) невырожден и не имеет повторений. Действительно, D является

очень обильным дивизором, поэтому для произвольного базиса f₁, . . . , f_k простран-

ства H⁰(V, D) отображение

ϕ_D : V ↪→ Pk-1, ϕ_D(P) = (f₁(P) : . . . : f_k(P)),

является вложением. Следовательно, C_q(V, T, D) может быть определен как алгеб-

рогеометрический код (Гоппы), соответствующий (в смысле [9, теорема 1.1.6]) про-

ективной системе ϕ_D(T(F_q)) без кратных точек. Линейно эквивалентные дивизоры

определяют эквивалентные коды Гоппы, поэтому можно предполагать, что D явля-

ется эффективным дивизором из TPic(V, Φ).

Замечание 1. По определению длина n и размерность k кода C_q(V, T, D) равны

|T (F_q)| и |P_D ∩ M| соответственно.

Теорема 23. Пусть C = C_q(V,T,D) и C^′ = C_qe(V,G^dm,D). Тогда

(

)

(

)



C =

C′E

C^′|_F

q (Φ)

q Eq(Φ)

Другими словами, любой торический код C является последовательным выкалыва-

нием [9, п. 1.1.6] расщепимого торического кода C^′ в множестве координат E_q(Φ)

и ограничением [9, п. 1.2.3] на F_q (или в другом порядке).

Доказательство. Второе равенство выполнено, потому что кодовые опера-

ции выкалывания и ограничения на подполе всегда коммутируют. Первое следует

из легко проверяемых тождеств

(

)

C⊗Fq F_qe =C′E

C⊗Fq F_qe

= C.

▴

q (Φ)

Замечание 2. Теорема 23 позволяет нам думать о нерасщепимых торических ко-

дах как о многомерном аналоге кодов БЧХ [9, п. 1.2.2]. Однако идея рассматривать

подкоды торических кодов над подполем уже возникала в [27].

Пусть O(m₀), . . . , O(ml-1) - все орбиты действия Φ на P_D ∩ M, k_i = |O(m_i)|, а

{b_i,j}ki-1j=0 - базис F_q-пространства F_qki . Кроме того, через Trki,q обозначим отобра-

жение следа относительно расширения F_qki /F_q.

Легко видеть, что имеет место

Лемма 9. Множество

{

}l-1,ki-1

∑

xΦs(mi)

s=0

i=0, j=0

является базисом F_q-пространства L(P_D, Φ).

Из лемм 2 и 9 немедленно вытекает

Теорема 24. Порождающая матрица кода C_q(V,T,D) имеет вид

⎛

⎞

Trk0,q(b0,0

)

Trk0,q(b0,0

)

Trk0,q(b0,0

n-1

)

⎜

Trk0,q(b0,1

)

Trk0,q(b0,1

)

Trk0,q(b0,1

n-1

)

⎟

⎝

⎠.

Tr_k

) Tr_k

) ... Tr_k

)

l-1,q(^bl-1,kl-1

n-1

До конца п. 3.1 будем предполагать, что T(F_q) = 〈P〉 ↪→ F^∗qe является цикли-

ческой группой, P_s = P^s для 0 ≤ s ≤ n - 1, а b_i,j = bqji - нормальные базисы

расширений F_qki /F_q для 0 ≤ i ≤ l - 1. Доказательство следующей леммы легко

может быть получено из доказательства предложения 4.1.22 в [9].

Лемма 10. Код C_q(V,T,D) является циклическим кодом без кратных корней

(т.е. p ∤ n).

Теорема 25. Проверочный многочлен циклического кода C_q(V,T,D) равен

∏

(

)

h(x) = h_P -mi (x), где h_P -mi (x) =

x-P-Φj(mi)

i=0

j=0

– минимальный (над F_q) многочлен элемента P-mi.

Доказательство. По определению проверочный многочлен равен фактору

xⁿ -1 по порождающему многочлену g. В то же время g равен наибольшему общему

делителю базисных многочленов

∑

B_i,j(x) =

Trki,q(bij Psmi )x^s.

s=0

(

)

Пусть n_i,t = ord

Pmi(qt-¹⁾

∑

(

)_s

∑

(

)_s

^{n = ±1, если n_i,t = 1,

S_t =

Pmi(qt-¹⁾

в противном случае.

s=0

i,t s=0

В частности, S₀ = n = ±1. Таким образом,

∑

B_i,j(P-mi ) =

bqj+tiSt = 0

t=0

и h(P-mi) = 0. Наконец, deg(h_P-mi ) = k_i, поэтому deg(h) = k, т.е. мы нашли все

корни многочлена h. ▴

Напомним, что циклический код называется реверсивным, если его порождаю-

щий (или, эквивалентно, проверочный) многочлен самодвойственен.

Следствие 3. Если многогранник P_D центрально-симметричен (т.е. -P_D =

= P_D), то код C_q(V,T,D) реверсивен.

Среди центрально-симметричных многогранников выделим так называемые мно-

гогранники дель Пеццо, которые обсуждаются в [19]. В то же время теорию цикличе-

ских реверсивных кодов (или, эквивалентно, LCD-кодов) можно найти в [10, 28, 29].

3.2. Торические коды на

¹ и торических поверхностях. Мы сохраняем обозна-

чения из п. 2.4.

Таблица 3

Торические коды на P¹

ограничения

ссылка

RSq(r)

q-1

0<r<q-1

[9, п. 1.2.1]

r+1

n-r

PRSq (r)

q+1

0 < r < q + 1, 2 | r

[9, п. 4.4.1]

Таблица 4

Торические коды на P²

ограничения

ссылка

[4, теоре-

Cq(P², G^m, rLz)

(q - 1)²

n - r(q - 1)

0<r<q-1

ма 1.3]

(r + 1)(r + 2)

Cq(P², T2.c, rLz)

q² - 1

n-rq

0<r<q

[30, §§ 2, 3]

0 < r < q+1,

Cq(P², T3,^rDx,y,z) q2 + q + 1

n - (rq + 1)

[11, § 2]

3|r

Теорема 26. Коды

RS_q(r) = C_q(P¹, G_m, rP_y ), PRS_q(r) = C_q(P¹, T₂,

D_x,y)

являются единственными возможными (с точностью до эквивалентности) среди

торических кодов на P¹, и их параметры представлены в табл. 3.

Код RS_q(r) известен как (выколотый) код Рида - Соломона, а PRS_q(r) эквивален-

тен так называемому проективному (дважды расширенному) коду Рида - Соломона,

потому что для четного r дивизоры rP_y и

D_x,y эквивалентны. Более того, соглас-

но теореме 23 это код БЧХ (не примитивный и не в узком смысле). Наконец, легко ][

видеть, что многогранник дивизора

D_x,y является отрезком

, поэтому по

следствию 3 код PRS_q(r) реверсивен.

Теорема 27. Все возможные (с точностью до эквивалентности) торические

коды на P² представлены в табл. 4.

Второй код табл. 4 известен как (выколотый) код Рида - Маллера, а третий экви-

валентен так называемому проективному коду Рида - Маллера, потому что для 3 | r

дивизоры rL_z и

D_x,y,z эквивалентны.

Теорема 28. Коды

r₁

r₂

C₁ = C_q(H, G2m, r₁L_y + r₂L_v), C2.a = C_q(H, T2.a,

D_x,y +

D_u,v),

r₂

C2.b = C_q(H, T2.b, r₁L_y +

D_u,v), C2.c = C_q(E, T2.c, rD_y,v),

C₄ = C_q(E, T₄,

D_x,y,u,v)

являются единственными возможными (с точностью до эквивалентности) среди

торических кодов на квадратичных поверхностях, и их параметры представлены

в табл. 5.

Легко доказывается, что

C₁ = RS_q(r₁) ⊗ RS_q(r₂), C2.a = PRS_q(r₁) ⊗ PRS_q(r₂),

C2.b = RS_q(r₁) ⊗ PRS_q(r₂),

Таблица 5

Торические коды на квадратичных поверхностях

ограничения

ссылка

(q - 1 - r1) ×

(q - 1)²

0 < r1,r2 < q - 1

[4, теорема 1.4]

×(q - 1 - r2)

(q + 1 - r1) ×

0 < r1,r2 < q+1,

[31, замеча-

C2.a (q + 1)²

(r1 + 1)(r2 + 1)

×(q + 1 - r2)

2 | r1

ние 3.2]

2 | r2

(q - 1 - r1) ×

0 < r1 < q - 1,

C2.b

×(q + 1 - r2)

0 < r2 < q + 1

q² - 1

[31, предложе-

C2.c

0<r<q-1

ние 4.2]

(r + 1)²

n - r(q + 1)

[31, предложе-

q² + 1

0<r<q, 2|r

ние 4.7]

где символ ⊗ обозначает тензорное (кронекерово) произведение кодов. В то же вре-

мя C2.c является примитивным кодом БЧХ в узком смысле согласно [31, предложе-

ние 4.2]. Наконец, код C₄ реверсивен по следствию 3, поскольку многоугольник диви- ] [

]

зора

D_x,y,u,v является, как легко видеть, замкнутым квадратом

× -

Лемма 11 [4, теорема 1.5]. Все возможные (с точностью до эквивалентно-

сти) расщепимые торические коды на поверхностях Хирцебруха F_m при m > 0

имеют вид

C_q(F_m, G2m, r₁S + r₂F_v), где

0 < r₁,r₂,mr₁ + r₂ < q - 1,

и их параметры равны

(r₁ + 1)(mr₁ + 2r₂ + 2)

n = (q - 1)², k =

d = n - (q - 1)(mr₁ + r₂).

Замечание 3. Автор изучил нерасщепимые торические коды на поверхностях

Хирцебруха и пришел к выводу, что они не представляют большого интереса.

3.3. Торические коды на поверхностях дель Пеццо степени 6. Мы сохраняем

обозначения из пп. 2.5, 3.1. Среди всех поверхностей дель Пеццо степени 6 поверх-

ность D₆ кажется наиболее подходящей для рассмотрения на ней торических кодов,

потому что ее поле расщепления является наибольшим. Другими словами, данная

поверхность “самая нерасщепимая”. Для сравнения см. неторические и расщепимые

торические коды на поверхности D₁ в [32; 33, пример 5.2] соответственно.

Пусть β ∈ F∗q6 - элемент порядка n = q² - q + 1, и пусть P_β = (β, β^q). Ясно, что

E_q(Φ₆) = 〈P_β〉 ≃ 〈β〉

и P(i,j)β = βi+jq для (i,j) ∈ M. Напомним также, что через h_βi обозначается мини-

мальный (над F_q) многочлен элемента βⁱ, где 0 ≤ i ≤ n - 1.

В следующей теореме используется величина N_q(1), т.е. максимально возможное

число F_q-точек на эллиптической кривой. Известно [9, теорема 3.4.49], что

^{q + ⌊2√q⌋,

если

√q ∈ N, p < q и p | ⌊2√q⌋,

N_q(1) =

q + ⌊2√q⌋ + 1 в противном случае.

Эллиптические кривые, для которых число F_q-точек достигает N_q(1), называются

F_q-оптимальными (F_q-максимальными, если

√q ∈ N). Такие кривые интересны

сами по себе, потому что алгеброгеометрические коды на них являются так называ-

емыми почти МДР-кодами с достаточно большой длиной [9, п. 4.4.2].

Теорема 29. Рассмотрим r ∈ N, такое что rN_q(1) < n и для любого разбиения

∑

r = r_i > m (где r_i ∈ N) выполнено неравенство

i=1

∑

m(q + 1) + ⌊2√q⌋

g_i ≤ rN_q(1), где g_i = 3r_i(r_i - 1) + 1.

i=1

Тогда торический код C_q,r = C_q(D₆, T₆, rH₀) имеет параметры

n = q² - q + 1, k = 3r(r + 1) + 1, d ≥ n - rN_q(1).

Более того, если в определении кода C_q,r точка P_β взята в качестве образующей

группы E_q(Φ₆), то C_q,r является циклическим реверсивным кодом с проверочным

многочленом

∏

h(x) = (x - 1)

h_βi+jq (x).

1≤i; 0≤j

i+j≤r

Доказательство. Длина n очевидна. Вначале оценим минимальное расстоя-

∑

ние d. Пусть D = C_i - разложение на неприводимые (над F_q) компоненты для

i=1

произвольного элемента линейной системы |rH₀|. Группа Пикара поверхности D₆

∑

порождается дивизором H₀, поэтому C_i ∼ r_iH₀, r_i ∈ N и

= r. В частности,

i=1

арифметический род g_i кривой C_i равен 3r_i(r_i - 1) + 1 (см., например, [26, при-

мер V.1.3]). Поэтому согласно [34, предложение 2.3] получаем

|C_i(F_q)| ≤ q + g(C_i)⌊2√q⌋ + 1 + gi - g(Ci) ≤ q + gi⌊2√q⌋ + 1.

Более того, если r = m (т.е. r_i = g_i = 1 для 1 ≤ i ≤ m), то |C_i(F_q)| ≤ N_q(1) по

следствию 1. Таким образом,

∑

|D(F_q)| ≤

|C_i(F_q)| ≤ rN_q(1),

i=1

и мы получаем желаемую границу на d, поскольку T (F_q) = D₆(F_q). В свою очередь,

размерность k следует из леммы 5 и неравенства rN_q(1) < n.

Цикличность кода C_q,r имеет место в соответствии с леммой 10. Многогранник

PrH0 = rPH0 (см. рис. 6 при r = 1) центрально-симметричен, следовательно, ре-

версивность кода C_q,r вытекает из следствия 3. Наконец, требуемый проверочный

многочлен получается с помощью леммы 5 и теоремы 25. ▴

Из теоремы 29 и следствия 2 немедленно получаем

Следствие 4. При q ≥ 5 код Cq,1 является [n,7,n - N_q(1)]_q-кодом.

Замечание 4. При малых q коды Cq,1 имеют параметры

[21, 7, 11]₅,

[43, 7, 30]₇,

[57, 7, 43]₈,

[73, 7, 57]₉.

Коды C7,1, C8,1, C9,1 уже были найдены (с помощью не исчерпывающего компьютер-

ного поиска) в [35-37] соответственно. Согласно таблицам Брауэра - Грассла [13] на

данный момент они известны как наилучшие для заданных q, n и k. Таким образом,

можно предположить, что коды C_q,r (по крайней мере, при r = 1) также достаточно

хороши и для больших q.

Замечание 5. В соответствии со следствиями 1, 2 и теоремой Дойринга - Ватер-

хауза [9, теорема 3.3.12] мы знаем все веса кода Cq,1 при q ≥ 5. В частности, его

кодовые слова минимального веса (с точностью до умножения на элемент из F^∗q)

биективно соответствуют F_q-оптимальным эллиптическим кривым из |H₀|. Однако

в этой линейной системе имеется много различных (как множества) эллиптических

кривых, которые F_q-изогенны, т.е. имеют равное количество F_q-точек. Тем не ме-

нее, благодаря реверсивности любого кода C_q,r для полного вычисления его спектра

достаточно решить систему линейных уравнений, полученную из тождества Мак-

Вильямс [9, теорема 1.1.17].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю

М.А. Цфасману, а также В. Батыреву, С. Горчинскому, Г. Кабатянскому, Б. Ку-

нявскому, К. Логинову, А. Перепечко, С. Рыбакову, К. Шрамову, В. Стукопину,

Д. Тимашеву, А. Трепалину, С. Влэдуцу, И. Воробьеву и участникам семинара по

теории кодирования в ИППИ РАН под руководством Л.А. Бассалыго за помощь и

ценные замечания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Mart´ınez-Moro E., Munuera C., Ruano D. Advances in Algebraic Geometry Codes. Singa-

pore: World Sci., 2008.

Cox D.A., Little J.B., Schenck H.K. Toric Varieties. Providence, R.A.: Amer. Math. Soc.,

2011.

Hansen J.P. Toric Surfaces and Error-Correcting Codes // Coding Theory, Cryptography

and Related Areas (Proc. Int. Conf. on Coding Theory, Cryptography and Related Areas,

held in Guanajuato, Mexico, in April 1998). Berlin: Springer, 2000. P. 132-142.

Hansen J.P. Toric Varieties Hirzebruch Surfaces and Error-Correcting Codes // Appl. Al-

gebra Engrg. Comm. Comput. 2002. V. 13. № 4. P. 289-300.

Берман С.Д. К теории групповых кодов // Кибернетика. 1967. Т. 3. № 1. С. 31-39.

Берман С.Д. Полупростые циклические и абелевы коды. II // Кибернетика. 1967. Т. 3.

№ 3. С. 21-30.

Joyner D. Toric Codes over Finite Fields // Appl. Algebra Engrg. Comm. Comput. 2004.

V. 15. № 1. P. 63-79.

Voskresenskii V.E. Algebraic Groups and Their Birational Invariants. Providence, R.A.:

Amer. Math. Soc., 1998.

Влэдуц С.Г., Ногин Д.Ю., Цфасман М.А. Алгеброгеометрические коды. Основные по-

нятия. М.: МЦНМО, 2003.

10.

Massey J.L. Reversible Codes // Inform. and Control. 1964. V. 7. № 3. P. 369-380.

11.

Lachaud G. The Parameters of Projective Reed-Müller Codes // Discrete Math. 1990. V. 81.

№ 2. P. 217-221.

12.

Воскресенский В.Е. Проективные инвариантные модели Демазюра // Изв. АН СССР.

Сер. матем. 1982. Т. 46. № 2. С. 195-210.

13.

Grassl M. Bounds on the Minimum Distance of Linear Codes and Quantum Codes (elec-

tronic tables). Available at http://www.codetables.de (accessed on October 12, 2018).

14.

Платонов В.П., Рапинчук А.С. Алгебраические группы и теория чисел. М.: Наука,

1991.

15.

Rubin K., Silverberg A. Compression in Finite Fields and Torus-Based Cryptography //

SIAM J. Comput. 2008. V. 37. № 5. P. 1401-1428.

16.

Воскресенский В.Е. О двумерных алгебраических торах // Изв. АН СССР. Сер. матем.

1965. Т. 29. № 1. С. 239-244.

17.

Воскресенский В.Е. О двумерных алгебраических торах. II // Изв. АН СССР. Сер.

матем. 1967. Т. 31. № 3. С. 711-716.

18.

Graber T., Harris J., Mazur B., Starr J. Arithmetic Questions Related to Rationally Con-

nected Varieties // The Legacy of Niels Henrik Abel (The Abel Bicentennial Conf. Oslo,

Norway. June 3-8, 2002). Berlin: Springer, 2004. P. 531-542.

19.

Воскресенский В.Е., Клячко А.А. Торические многообразия Фано и системы корней //

Изв. АН СССР. Сер. матем. 1984. Т. 48. № 2. С. 237-263.

20.

Batyrev V.V., Tschinkel Y. Rational Points of Bounded Height on Compactifications of

Anisotropic Tori // Int. Math. Res. Notices. 1995. V. 1995. № 2. P. 591-635.

21.

Ballard M.R., Duncan A., McFaddin P.K. On Derived Categories of Arithmetic Toric Va-

rieties // arXiv:1709.03574v3 [math.AG], 2018.

22.

Poonen B. Rational Points on Varieties. Providence, R.A.: Amer. Math. Soc., 2017.

23.

Hirschfeld J.W.P. Finite Projective Spaces of Three Dimensions. Oxford: Oxford Univ.

Press, 1986.

24.

Couvreur A. Construction of Rational Surfaces Yielding Good Codes // Finite Fields Appl.

2011. V. 17. № 5. P. 424-441.

25.

Kollár J. Looking for Rational Curves on Cubic Hypersurfaces // Higher-Dimensional Ge-

ometry over Finite Fields (Proc. of the NATO Advanced Study Institute. Göttingen, Ger-

many. June 25 - July 6, 2007). Amsterdam: IOS Press, 2008. P. 92-122.

26.

Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. М.: Мир, 1981.

27.

Hernando F., O’Sullivan M.E., Popovici E., Srivastava S. Subfield-Subcodes of Generalized

Toric Codes // Proc. 2010 IEEE Int. Sympos. on Information Theory (ISIT’2010). Austin,

TX, USA. June 13-18, 2010. P. 1125-1129.

28.

Massey J.L. Linear Codes with Complementary Duals // Discrete Math. 1992. V. 106-107.

P. 337-342.

29.

Yang X., Massey J.L. The Condition for a Cyclic Code to Have a Complementary Dual //

Discrete Math. 1994. V. 126. № 1-3. P. 391-393.

30.

Kasami T., Lin S., Peterson W. New Generalizations of the Reed-Muller Codes. I: Primitive

Codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 1968. V. 14. № 2. P. 189-199.

31.

Couvreur A., Duursma I. Evaluation Codes from Smooth Quadric Surfaces and Twisted

Segre Varieties // Des. Codes Cryptogr. 2013. V. 66. № 1-3. P. 291-303.

32.

Богуславский М.И. Сечения поверхностей Дель Пеццо и обобщенные веса // Пробл.

передачи информ. 1998. Т. 34. № 1. С. 18-29.

33.

Ruano D. On the Parameters of r-Dimensional Toric Codes // Finite Fields Appl. 2007.

V. 13. № 4. P. 962-976.

34.

Aubry Y., Perret M. A Weil Theorem for Singular Curves // Arithmetic, Geometry and

Coding Theory (Proc. Int. Conf. held at Luminy, France, June 28 - July 2, 1993). Berlin:

de Gruyter, 1996. P. 1-7.

35.

Даскалов Р., Христов П. Новые квазициклические коды над GF (7) с одним порожда-

ющим многочленом // Пробл. передачи информ. 2002. Т. 38. № 1. С. 59-63.

36.

Даскалов Р.Н., Христов П.В. Новые квазициклические вырожденные линейные коды

над GF (8) // Пробл. передачи информ. 2003. Т. 39. № 2. С. 29-35.

37.

Даскалов Р.Н., Методиева Е., Христов П.В. Новые границы для минимального рас-

стояния линейных кодов над GF (9) // Пробл. передачи информ. 2004. Т. 40. № 1.

С. 15-26.

Кошелев Дмитрий Игоревич

Поступила в редакцию

Институт проблем передачи информации

22.11.2018

им. А.А. Харкевича РАН, лаборатория

После доработки

алгебры и теории чисел

09.01.2019

Московский физико-технический институт

Принята к публикации

(государственный университет), кафедра

15.01.2019

дискретной математики

Университет Версаль-Сен-Кантен-ан-Ивелин,

лаборатория математики Версаля

dishport@yandex.ru