ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2021, том 47, № 11, с. 812-820

К ВОПРОСУ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ АСТРОЦЕНТРИЧЕСКИХ

КООРДИНАТ В ПЛАНЕТНОЙ ЗАДАЧЕ

¹Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 05.10.2021 г.

После доработки 27.10.2021 г.; принята к публикации 02.11.2021 г.

Рассматриваются и сравниваются два способа определения астроцентрических координат Пуанкаре в

планетной задаче. Показано, что после исключенияцентра инерции оба способаприводятк одной и той

же системе уравнений планетного движения. Даются формулы перехода от оскулирующих элементов в

системе координат Пуанкаре к обычным астроцентрическим оскулирующим элементам. Построенный

в работе аналитический аппарат пригоден для практического применения методов теории возмущений,

в частности методов осреднения.

Ключевые слова: астроцентрические координаты, гелиоцентрические координаты, координаты Пу-

анкаре, планетная задача, оскулирующие элементы, канонические элементы Пуанкаре, канонические

преобразования, гамильтониан.

DOI: 10.31857/S0320010821110048

1. ВВЕДЕНИЕ

координат широко применяются в исследованиях,

посвященных планетной задаче.

Планетная задача является важным частным

случаем задачи нескольких тел. Важность этой

В настоящей работе речь будет идти о систе-

задачи была осознана еще классиками небесной

ме координат Пуанкаре. Как известно, основным

механики, поставившими и изучавшими вопрос об

удобством применения координат Пуанкаре явля-

устойчивости Солнечной системы. В связи с от-

ется то, что в них не требуется получать разложе-

крытием экзопланетных систем, в которых могут

ние возмущающей функции в ряд по степеням ма-

наблюдаться самые разнообразные орбитальные и

лых планетных масс¹. Внимательный анализ работ,

массовые параметры, планетная задача приобрела

в которых применяется данная система координат

естественное развитие и продолжает оставаться

(см., например, Дункан и др., 1998; Красинский,

актуальной.

1973; Ласкар, Робютель, 1995; Морбиделли, 2014,

глава 1, раздел 1.6; Рейн и др., 2019; Родригес,

Малость планетных масс по сравнению с мас-

Галлардо, 2005; Ферраз-Меллу и др., 2006), пока-

сой центральной звезды делает теорию возмущений

зывает, что для ее определения авторы используют

одним из наиболее эффективных средств изуче-

два близких, но разных подхода. А именно, коорди-

ния эволюции планетных орбит. Для применения

наты Пуанкаре в данных исследованиях определя-

методов этой теории требуется получить удобную

ются с помощью двух различных преобразований

форму уравнений планетного движения. Данная

исходных абсолютных координат. Насколько из-

форма подразумевает исключение центра инерции,

вестно автору, этому обстоятельству нигде в совре-

т.е. свед ´ение записанной в абсолютных коорди-

менной литературе не уделяется внимания. Обычно

натах исходной системы уравнений движения к

исследователи определяют координаты Пуанкаре

системе уравнений с 3N степенями свободы (здесь

N — число планет, вращающихся вокруг главной

некоторым преобразованием абсолютных коорди-

звезды). Исключение центра инерции осуществля-

нат (одним из указанных двух), показывают, каким

ется путем перехода к подходящей системе коорди-

¹Координаты Якоби, в отличие от координат Пуанкаре,

нат. Существуют две такие системы — координаты

требуют разложения возмущающего потенциала системы

Якоби и координаты Пуанкаре (Шарлье, 1966).

в ряд по степеням планетных масс. Впрочем, как спра-

Несмотря на существенные отличия, обе системы

ведливо отмечает Шарлье (1966, глава VI, § 3), при по-

строении планетных теорий данный недостаток координат

^*Электронный адрес: d.mikryukov@spbu.ru

Якоби оказывается несущественным.

812

К ВОПРОСУ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ АСТРОЦЕНТРИЧЕСКИХ КООРДИНАТ

813

образом в результате данного преобразования ис-

обозначим через i и положим Expϕ = exp iϕ для

ключается центр инерции, и сосредотачивают все

любого комплексного ϕ. Для суммирования от 1 до

дальнейшее внимание на полученных уравнениях

N и для суммирования по треугольному множеству

планетного движения. При этом часто делается

1 ≤ j < k ≤ N будем использоватьсоответственно

утверждение, что преобразование, состоящее в пе-

символы

реходе к координатам Якоби, является единствен-

∑

ной альтернативой для исключения центра инер-

ции. В связи с этим представляется полезным по-

дробно рассмотреть вопрос определения координат

Относительно натурального числа N будет всюду

Пуанкаре в планетной задаче.

считаться, что это количество планет в системе и

В настоящей работе мы разберем и сравним

N ≥ 2.

два способа определения координат Пуанкаре. Мы

покажем, что, несмотря на различие в методе ис-

Предполагаем, что основными единицами изме-

ключения центра инерции, оба способа в конечном

рения в работе являются масса Солнца, астроно-

счете приводят к одной и той же системе уравне-

мическая единица и сидерический земной год, G =

ний планетного движения. Целесообразность та-

= 4π². Данная система единиц является удобной не

кого сравнения обусловлена также тем, что при

только в планетной, но и во многих других небесно-

сопоставлении полученных в различных работах

механических задачах. Ее также часто используют,

результатов нередко возникают путаница и несоот-

например, при изучении динамической эволюции

ветствие, связанные с указанной двойственностью

кратных звездных систем (Мельников и др., 2014).

определения координат Пуанкаре. Решением дан-

ной задачи мы надеемся внести больше ясности

в теорию применения данной системы координат.

Наше исследование будем выполнять таким об-

2. ПЕРВОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

разом, чтобы после его проведения мы получили

теорию определения координат Пуанкаре в виде,

удобном для применения на практике.

В абсолютной инерциальной системе отсчета с

началом в точке O рассмотрим движение N + 1

В основу всех построений мы положим гамиль-

материальных точек Q₀, . . . , Q_N , имеющих массы

тоновы уравнения движения в абсолютных коорди-

соответственно M₀, . . . , M_N . Будем считать, что

натах. Такой подход представляется наиболее есте-

ственным, так как в качестве оскулирующих эле-

расстояние между двумя любыми точками всегда

ментов почти всегда берутся канонические элемен-

остается больше некоторого положительного чис-

ты. Можно также опираться на уравнения Лагран-

ла (бесстолкновительное конфигурационное про-

жа (см., например, Холшевников и др., 2001), но

странство). Если

в этом случае, если используются канонические

M₀ ≫ M₁,... ,M_N ,

(1)

элементы, все равно придется при помощи пре-

образования Лежандра переходить к гамильтоно-

то мы получаем так называемый планетный ва-

вой формулировке планетной задачи. Данный путь

риант задачи нескольких тел (планетная задача).

перехода от уравнений Лагранжа к уравнениям

Обычно предполагается, что масса “Солнца” Q₀

Гамильтона проиллюстрирован в статье Микрю-

превосходит массу каждой “планеты” Q_s, 1 ≤ s ≤

кова (2016). К сожалению, в данной статье ее

≤ N, на три и более порядков.

автором при совершении преобразования Лежанд-

ра функции Лагранжа была допущена ошибка,

приведшая в результате к неверному определению

Если движение планетной системы изучается в

дополнительной части возмущающей функции. В

канонических элементах, то исходные уравнения

нашей работе (в разделе 3) мы рассмотрим, в чем

движения в абсолютной системе координат есте-

заключается данная ошибка, и приведем верные

ственно записать в гамильтоновом виде. Гамиль-

соответствующие формулы.

тониан этих уравнений, как известно, равен сумме

кинетической и потенциальной энергий и имеет вид

Для кеплеровых элементов будем использовать

стандартный набор переменных: a, e, i, M, g,

∑

Π²

M_jM_k

H₌

Ω обозначают соответственно большую полуось,

-G

(2)

2M_k

|ρ_j - ρ_k|

эксцентриситет, наклонение, среднюю аномалию,

k=0

0≤j<k≤N

аргумент перицентра и долготу восходящего узла.

Точкой сверху и чертой сверху мы будем обозна-

Здесь абсолютные импульсы Π_s = M_sρ˙_s, абсо-

чать соответственно дифференцирование по вре-

лютные координаты ρ_s задают положение точек от-

мени и комплексное сопряжение. Мнимую единицу

носительно начала O, а G — постоянная тяготения.

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№ 11

2021

814

МИКРЮКОВ

В планетной задаче использование интегралов

Важно отметить, что величина H зависит только от

движения центра масс обычно достигается за счет

планетных координат и импульсов r_s, P_s (1 ≤ s ≤

введения координат Якоби или астроцентрических

≤ N).

координат Пуанкаре (см. соответственно § 4 и § 3

гл. V руководства Шарлье, 1966). Обе системы

Гамильтониан^H не зависит от r₀, поэтому век-

каноничны, и каждую из них можно определить

тор P₀ — интеграл движения. Компоненты P0x,

соответствующим линейным унивалентным кано-

P0y, P0z вектора P₀ постоянны в процессе эволю-

ническим преобразованием исходных гамильтоно-

ции системы и равны своим начальным значениям

вых переменных ρ_s, Π_s, 0 ≤ s ≤ N. Координаты

Пуанкаре получаются по формулам

P(0)0x, P(0)0y, P(0)0z.

∑

r₀ = ρ₀, P₀ =

Π_k,

(3)

Основная цель введения и использования аст-

роцентрических координат — изучение движения

k=0

планет относительно Солнца (центральной звез-

r_j = ρ_j - ρ₀, P_j = Π_j, j = 1,2,... ,N.

ды). При описании этого движения можно без

Как видим, старые ρ_s и новые r_s координаты явля-

потери общности положить P₀ = P⁽⁰⁾⁰ = 0. В са-

ются простой линейной комбинацией друг друга. То

мом деле, вектор P₀ с точностью до массового

же верно для старых Π_s и новых P_s импульсов.

множителя представляет собой скорость движения

барицентра системы (относительно начала O) и

Терминологическое замечание. В литерату-

этот вектор никак не связан с относительным дви-

ре для наименования координат r₁, . . . , r_N , участ-

жением точек. Такой подход очень удобен, так как

вующих в определении канонических переменных

условие P₀ = 0 приводит к разделению системы (5)

(3), используется множество близких, но разли-

на две подсистемы

чающихся терминов. Чаще всего употребляются

∑

названия “канонические относительные коорди-

r₀ = -

(6)

наты”, “канонические относительные координаты

Пуанкаре”, “гелиоцентрические координаты Пу-

анкаре”, “астроцентрические координаты Пуан-

каре” и “астроцентрические координаты”. Будем

∂H

для краткости пользоваться термином “координа-

r_s =

Ps = -∂H , s = 1, 2, . . . , N.

(7)

∂P_s

∂r_s

ты Пуанкаре”.

Вторая подсистема уравнений (7), решающаяся

Выражая из (3) старые переменные через новые

независимо от первой (6), дает полное описание

и подставляя их в (2), получим

планетного движения. Определив из (7) векторы

P₀ ∑

H=P0

Ps, 1 ≤ s ≤ N, можно далее из первой подсистемы

Pk + H,

(4)

2M₀

M₀

(6) получить текущие положение и скорость Солн-

ца Q₀ в абсолютной системе координат.

где

H=H₀ +H₁,

)

Замечание. Поскольку вектор P₀ имеет про-

∑

⁽P2s

G(M₀ + M_s)B_s

стой физический смысл (полный ньютоновский им-

H₀ =

2B_s

r_s

пульс системы в абсолютных осях), может пока-

(

)

заться, что принять P₀ = 0 можно уже в гамиль-

∑

GM_jM_k

Pj Pk

H₁ =

тониане (4), т.е. еще до составления уравнений (5).

|r_j - r_k|

M₀

Это рассуждение ошибочно. В самом деле, если

M₀M_s

принять

H₌ H, то в (5) для вектора r₀

получа-

B_s =

r_s = |r_s|.

ем очевидно неверное уравнение ˙r₀ = ∂H/∂P₀ =

M₀ + M_s

= 0, которое означает, что Солнце Q₀ неподвижно

В итоге имеем уравнения движения в новых пере-

относительно точки O.

менных

∑

P₀

Гамильтоновы уравнения

(7), определяющие

r₀ =

Ps,

P₀ = 0,

(5)

M₀

эволюцию планетных орбит, представляют ос-

новной интерес. Однако перед переходом к их

P₀

∂H

r_s = -

дальнейшему исследованию рассмотрим для пол-

Ps = -∂H ,

M₀

∂P_s

∂r_s

ноты картины особенности движения Солнца Q₀ и

s = 1,2,...,N.

барицентра системы относительно точки O.

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№ 11

2021

К ВОПРОСУ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ АСТРОЦЕНТРИЧЕСКИХ КООРДИНАТ

815

Итак, каноническая система (7) с гамильтони-

аном H позволяет найти астроцентрические по-

ложения и скорости планет r_s, r_s, 1 ≤ s ≤ N, как

функции времени. Далее по этим функциям нахо-

дится искомое поведение астроцентрических оску-

лирующих элементов.

В силу условия (1) модули импульсов P_s =

= M_sρ˙_s, 1 ≤ s ≤ N, оказываются впринятой нами

системе единиц на несколько порядков меньше,

чем модули положений r_s, 1 ≤ s ≤ N. Однако при

интегрировании уравнений (7) удобно, чтобы все

фазовые переменные имели примерно один и тот

Рис. 1. Связь абсолютного и астроцентрического век-

же порядок. Добиться этого можно с помощью

торов планеты.

стандартного в планетной задаче введения малого

параметра μ. Положим

Условие P₀ = 0 означает, что барицентр систе-

μ = max

M_s .

1≤s≤N M₀

мы неподвижен относительно начала O. Но его по-

ложение B относительно O может быть абсолют-

С помощью равенств μm_k = M_k,

1≤k≤N,

но произвольным. Вектор B является интегралом

определим для каждой из N планет массовые

движения, и его можно найти по формуле

множители

∑

^MB = M₀ρ₀ + M_sρ_s,

(8)

m₁,... ,m_N .

(9)

Для симметрии обозначений положим также m₀ =

где

M=∑N

M_k. Это равенство дает возмож-

k=0

= M₀. Имеющие размерность массы постоянные

ность подобрать такие начальные координаты

(9) не малы и имеют порядок единицы. Они удовле-

Солнца

творяют неравенствам 0 < m_s ≤ m₀, и их можно

найти по формулам m_s = M_s/μ, 1 ≤ s ≤ N.

ρ⁽⁰⁾⁰ = (ρ(0)0x,ρ(0)0y,ρ(0)0z) = r⁽⁰⁾⁰ = (r(0)0x,r(0)0y,r(0)0z),

чтобы B = 0, т.е. чтобы точка O совпадала с

Совершим над переменными уравнений (7) ка-

барицентром системы. На практике обычно даны

ноническое преобразование, в котором новые ко-

начальные значения

ординаты равны старым, а новые импульсы даются

формулами

r⁽⁰⁾¹,... ,r(0)N

p_s = P_s/μ,

1≤s≤N.

планетных астроцентрических векторов

r₁,... ,r_N .

Для новых координат оставим прежние обозна-

чения r_s, 1 ≤ s ≤ N. В отличие от канонической

В этом случае нужно с помощью формулы (8)

подстановки (3), данное преобразование не со-

выразить ρ⁽⁰⁾⁰ через rs0), 1 ≤ s ≤ N. Подстановка

храняет численное значение гамильтониана: новый

равенств ρ_s = r_s + ρ₀, 1 ≤ s ≤ N, (рис. 1) в (8)

гамильтониан h = H/μ (см., например, Маркеев,

дает

2001, раздел 170, пример 3). Теперь в используемой

∑

нами системе единиц новый гамильтониан h и но-

^MB = M₀ρ₀ + M_s(r_s + ρ₀) =

вые переменные r_s, p_s, 1 ≤ s ≤ N, имеют порядок

единицы (см. также Робютель и др., 2016).

¹∑

= M˜ρ₀ + M_kr_k.

Введем обозначения

B_s

m₀m_s

Отсюда при B = 0 получаем

β_s =

κ2s = G(M₀ + M_s),

∑

m₀ + μm_s

ρ₀ = -

M_sr_s

1≤s≤N.

Функция Гамильтона h представляется стандарт-

и, в частности, для начальных координат Солнца

ной суммой невозмущенной и малой возмущающей

∑

частей:

ρ⁽⁰⁾⁰ = -¹

M_sr(0)s.

h = h₀ + μh₁,

(10)

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№ 11

2021

816

МИКРЮКОВ

где

∑

p2s

κ2sβ_s

h₀ =

h0s, h0s =

2β_s

r_s

(

)

∑

Gm_jm_k

p_jp_k

h₁ =

|r_j - r_k|

m₀

Если в (10) положить μ = 0, то уравнения движе-

ния

Рис. 2. Связь абсолютного и барицентрического век-

∂h

торов планеты. Точка B — барицентр системы.

r_s =

p_s = -

∂h , 1≤s≤N,

(11)

∂p_s

∂r_s

распадаются на N независимых задач одного при-

тягивающего центра

Здесь

r_s

∂h₀

κ⁴β

rs + κ^s

= 0,

1≤s≤N.

(12)

ω=

= κa-3/2,

(16)

r3s

∂Λ

Λ³

причем в формулах (13)-(16) подразумевается, что

Каждое s-е уравнение в (12) порождается гамиль-

все переменные снабжены одним и тем же индек-

тонианом h0s и определяет текущие положение r_s

сом j, равным номеру планеты (1 ≤ j ≤ N).

и скорость p_s/β_s тела массы β_s в его движении

относительно неподвижного тела массы M₀ + M_s.

Уравнения (12) решаются стандартным методом

3. ВТОРОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Гамильтона-Якоби, в результате чего получаются

В предыдущем разделе мы отметили, что в пла-

различные системы канонических элементов (Еме-

нетной задаче основными используемыми систе-

льянов, 2015, глава 7). Данные элементы при учете

мами координат являются координаты Якоби и

возмущения μh₁ в гамильтониане h превращаются,

координаты Пуанкаре. С точки зрения построения

согласно методу вариации произвольных постоян-

ных, в функции времени. Например, если использу-

планетных теорий, главное отличие между эти-

ми системами заключается в существенно различ-

ется каноническая система комплексных элемен-

тов Пуанкаре (Ласкар, Робютель, 1995; Микрю-

ном представлении функции Гамильтона (Шарлье,

1966; Микрюков, 2016).

ков, Холшевников, 2016)

√

Мы определили координаты Пуанкаре канони-

Γ=X

Λ/2, γ = -iΓ,

(13)

√

ческим преобразованием (3). Однако это не един-

Z=Y

2Λ, ζ = -iZ,

ственная каноническая замена исходных перемен-

ных

Λ=βκ

√a, λ = M + g,

ρ_s,Π_s,

0≤s≤N,

где

√

которой координаты Пуанкаре могут определяться.

X =

2(1 - η)Exp g,

(14)

Рассмотрим унивалентное каноническое преобра-

√

зование

Y =

η(1 - cos i)/2Exp Ω,

√

∑

η=

1-e²,

g = g + Ω,

r₀ = B =

M_kρ_k,

P₀ =

Π_k,

(17)

то с учетом равенства

k=0

∑

β3sκ4s

h₀ = -

rj = ρj - ρ0,

Π_k,

2Λ2s

k=0

приходим к уравнениям

j = 1,2,...,N.

∂h₁

Как и в случае преобразования (3), переменные

Γ=-μ∂h1

γ=μ

(15)

(17) имеют простой физический смысл. Немного

∂γ

∂Γ

не очевиден лишь смысл векторовPk, 1 ≤ k ≤ N.

∂h₁

Ż=-μ∂h1

ζ =μ

Покажем, что эти векторы являются барицентри-

∂ζ

∂Z

ческими импульсами планет. Продифференцируем

Λ=-μ∂h1

λ=ω+μ∂h1

по времени барицентрическое положение планеты

∂λ

∂Λ

ρ_k - r₀ (рис. 2). Полученную барицентрическую

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№ 11

2021

К ВОПРОСУ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ АСТРОЦЕНТРИЧЕСКИХ КООРДИНАТ

817

скорость

ρ_k

r0 умножим на планетную массу

Как показывают равенства (4) и (19), гамильто-

M_k:

ниан^H выражается через переменные (17) иначе,

чем через переменные (3). Это вполне нормаль-

M_k(ρ˙_k -˙r₀) = Π_k -Mk

r₀ =

ная ситуация, так как (3) и (17) — это различ-

ные канонические подстановки. Однако функцио-

∑

M_k

нальная зависимость величины H от переменных

=Π_k -

Π_s.

(3) идентична функциональной зависимости F от

s=0

переменных (17), и это здесь оказывается самым

Обратное преобразование получается по форму-

важным. Так как описание планетного движения

лам

полностью определяется либо H, либо F (см. соот-

∑

ветственно уравнения (7) и (21)), то канонический

ρ₀ = r₀ -

M_sr_s,

(18)

набор (17), наряду с (3), также можно положить

в основу определения астроцентрических коорди-

M₀

∑

нат Пуанкаре. В литературе можно встретить оба

Π₀ =

P₀ -

Ps,

способа. Например, в работах (Ласкар, Робютель,

1995; Ферраз-Меллу и др., 2006) используется

∑

определение (3), а в работах (Дункан и др., 1998;

ρ_k = r_k + r₀ -

M_sr_s,

Рейн и др., 2019) авторы определяют координаты

Пуанкаре формулами (17). Сам Пуанкаре (1965,

Π_k =Pk +Mk

P₀,

1≤k≤N.

раздел 26) определял астроцентрические коорди-

наты формулами (3). Оба определения приводят к

Подстановка (18) в исходное представление га-

одной и той же системе гамильтоновых уравнений

мильтониана (2) после некоторых выкладок дает

планетного движения порядка 6N, к которой далее

уже могут применяться стандартные методы теории

возмущений.

H₌

⁰ +F,

(19)

2M˜

где

В работе Микрюкова (2016) для определения

F =F₀ +F₁,

канонических координат и импульсов (17) исполь-

(

)

зуется лагранжев формализм. Следуя Уинтнеру

∑

G(M₀ + M_s)B_s

(1967, § 340-§ 342), Микрюков (2016) делает

F₀ =

rs = |rs|,

2B_s

точечное преобразование переменных ρ₀, . . . , ρ_N к

(

)

переменным

∑

GM_jM_k

Pj^Pk

F₁ =

|r_j - r_k|

M₀

r₀,... ,r_N ,

(22)

В результате мы снова приходим к двум группам

после чего записывает в новых переменных (22)

уравнений:

уравнения Лагранжа

P₀

d ∂L

∂L

r₀ =

P₀ = 0

(20)

= 0,

0≤s≤N.

dt∂

∂r

r_s

Лагранжиан L, кинетическая E₁ и потенциальная

∂F

E₂ энергии имеют вид

r_s =

Ps = -

∂F , 1≤s≤N.

(21)

∂Ps

∂r_s

L=E₁ -E₂,

Вторая группа уравнений (21), аналогично системе

)₂

∑

(∑

(7), дает полное описание планетного движения.

2E₁ =

r²⁰ +

M_s ˙r2s -¹

M_s ˙r_s

Первая группа (20) описывает движение барицен-

тра (ср. с уравнениями для r₀ и P₀ в формулах

∑

GM₀M_s

GM_jM_k

(5)). Начальные значения r⁽⁰⁾⁰,P(0)0 можно задавать

-E₂ =

|r_j - r_k|

произвольно, они никак не влияют на поведение

планетных векторов r_s,Ps, 1 ≤ s ≤ N.

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№ 11

2021

818

МИКРЮКОВ

Далее Микрюков (2016) выполняет преобразова-

В работе Микрюкова (2018) при описании разло-

ние Лежандра функции Лагранжа L и определя-

жения дополнительной части возмущающей функ-

ет обобщенные импульсы частными производными

ции приводится лишь метод разложения величины

∂L/∂˙r_s, 0 ≤ s ≤ N. С помощью вытекающих из

(25). Так как этот метод, очевидно, сохраняет си-

лу вне зависимости от того, на какой множитель

(18) равенств

разложение (25) должно далее умножаться, то все

∑

r_s -

M_k ˙r_k =ρ˙_s -˙r₀,

1≤s≤N,

выкладки работы Микрюкова (2018), посвящен-

ные разложению дополнительной части, остают-

ся верными. Далее, в статье Микрюкова (2020)

получаем

исследуется космогоническая эволюция некоторых

∂L

планетных систем в рамках теории первого порядка

= M˜˙r₀ =P0,

(23)

r₀

по планетным массам. В этой работе дополнитель-

(

)

ная часть не используется совсем, так как теория

∂L

1^∑

первого порядка строится на основе среднего зна-

=M_s

r_s -

M_k ˙r_k

= P_s,

r_s

чения возмущающей функции, а среднее значение

дополнительной части равно нулю².

1≤s≤N.

Мы с извинениями приводим верный вари-

Кинетическая энергия E₁ является квадратичной

ант определения обобщенных импульсов, который

формой по скоростям, так что

должен быть использован в работе Микрюкова

H₌ E₁ + E₂.

(24)

(2016):

∂E₁

Выражая здесь E₁ черезPs, 0 ≤ s ≤ N, убежда-

u₀ =

= m0 m ˙r₀,

(26)

емся, что (24) совпадает с (19), и, таким образом,

∂r₀

(

)

приходим к уравнениям (20) и (21).

∂E₁

μ^∑

u_j =

= μm_jm₀ ˙r_j -

m_k ˙rk ,

Мы с сожалением вынуждены отметить, что в

∂r_j

указанной работе Микрюкова (2016) ее автор при

1≤j ≤N.

определении обобщенных импульсовPs, 0 ≤ s ≤

≤ N, допустил ошибку (неправильно продиффе-

Формулы (26) представляют собой формулы (23),

переписанные в обозначениях работы Микрюкова

ренцировал L по обобщенным скоростям˙r_s, 0 ≤

(2016).

≤ s ≤ N). В результате представления гамильто-

ниана (10) и (12) в виде суммы невозмущенной и

малой возмущающей частей, приведенные в данной

работе, оказались неверными. Точнее, указанные

4. ПЕРЕХОД К АСТРОЦЕНТРИЧЕСКИМ

представления (10) и (12) верны с математической

ОСКУЛИРУЮЩИМ ЭЛЕМЕНТАМ

точки зрения: гамильтониан можно представить

Переход от уравнений (11) к уравнениям в ка-

обоими способами. Но они неверны в том смысле,

нонических элементах типа (15) обусловлен удоб-

что при μ = 0 они не дают N независимых задач

одного притягивающего центра (формула (15) в

ством применения методов теории возмущений, в

частности, метода осреднения. Поведение канони-

статье Микрюкова, 2016). Верный вариант пред-

ческих элементов определяет текущее положение

ставления h в виде суммы h₀ и μh₁ дается фор-

r_s и скорость p_s/β_s планеты Q_s в системе коор-

мулой (10), полученной нами в настоящей работе.

динат Пуанкаре, т.е. текущие значения переменных

То, что (10) при μ = 0 приводит к N независимым

уравнениям (12), проверяется элементарным обра-

уравнений (11). Для получения этих значений нуж-

но от канонических элементов перейти к кеплеро-

зом.

вым.

Отметим, что данная ошибка не влияет суще-

ственным образом на результаты работ Микрю-

В случае переменных (13) сначала вычисля-

√

кова (2018, 2020). В самом деле, сопоставление

ются безразмерные величины X = Γ

2/Λ и Y =

√

формул (10) и (12) работы Микрюкова (2016) с

= Z/

2Λ. Далее из (14) по найденным X и Y

верным представлением (10) показывает, что в

вычисляются e, i, g и Ω:

результате совершения данной ошибки неверно

√

оказалась определена дополнительная часть воз-

|X|²

η=1-

1-η²,

(27)

мущающей функции. Верный вариант от неверного

отличается некоторым массовым множителем, на

²Дополнительная часть возмущающей функции фигури-

который умножается скалярное произведение

рует в теории второго и более высоких порядков по

p_jp_k,

1≤j<k≤N.

(25)

планетным массам.

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№ 11

2021

К ВОПРОСУ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ АСТРОЦЕНТРИЧЕСКИХ КООРДИНАТ

819

2|Y |

В следующей работе мы продолжим начатое

cos i = 1 -

в статье Микрюкова (2020) изучение долговре-

менной орбитальной эволюции нерезонансных и

g = argX, Ω = argY, g = g - Ω.

слаборезонансных планетных систем. Мы перей-

Наконец, a и M даются равенствами

дем к рассмотрению теории второго порядка по

планетным массам. Исследование будем вести уже

M = λ - g.

(28)

с использованием гамильтоновой формулировки

β²κ²

координат Пуанкаре, изложенной в настоящей ра-

боте.

Найденные элементы (27) и (28) — это кеплеровы

элементы планеты в системе координат Пуанкаре.

Поведение этих элементов не представляет суще-

ственного интереса. Нас больше всего интересует

Автор благодарен К.В. Холшевникову (1939-

изменение обычных астроцентрических кеплеро-

2021) за предложенную тему. Автор также благо-

вых элементов.

дарит анонимного рецензента за полезные замеча-

ния, способствовавшие улучшению работы. Работа

Подстановка найденных элементов (27) и (28) в

выполнена при финансовой поддержке РНФ (грант

формулы задачи двух тел

19-72-10023).

r = r(acosu + bsinu),

ωa

[-a(sin u + e sin g) + b(cos u + e cos g)] ,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

где u — аргумент широты (истинная аномалия

определяется по средней M), a = (cos Ω, sin Ω, 0),

Дункан и др. (M.J. Duncan, H.F. Levison and

b = (-cosisinΩ,cosicosΩ,sini), дает эволюцию

M.H. Lee) Astron. J. 116, 2067 (1998).

векторов r_s, p_s, 1 ≤ s ≤ N. Осталось найти аст-

Емельянов Н.В., Основы теории возмущений в

роцентрические скорости ˙r_s, 1 ≤ s ≤ N. Выполняя

небесной механике (М.: Физический факультет

дифференцирование в первой группе уравнений

МГУ, 2015).

(11), получаем окончательно

Красинский Г.А., Основные уравнения планет-

∂h

p_s

μp_s

∑

ной теории (М.: Наука, сб. Малые Планеты, под

r_s =

p_k =

∂p_s

β_s

m₀

ред. Н.С. Самойловой-Яхонтовой, 1973), с. 81.

p_s

μ^∑

Ласкар, Робютель (J. Laskar and P. Robutel), Celest.

p_k,

1≤s≤N.

Mech. Dynam. Astron. 62, 193 (1995).

m_s

m₀

Маркеев А.П., Теоретическая механика

По найденным r_s, ˙r_s, 1 ≤ s ≤ N, находим искомое

(Ижевск: РХД, 2001).

изменение астроцентрических кеплеровых элемен-

Мельников А.В., Орлов В.В., Шевченко И.И, Аст-

тов (см., например, Холшевников, Титов, 2007,

рон. журн. 91, 735 (2014) [A.V. Mel’nikov, et al.,

гл. 4, раздел 4.2).

Astron. Rep. 58, 640 (2014)].

Микрюков Д.В., Письма в Астрон. журн. 42, 611

(2016) [D.V. Mikryukov, Astron. Lett. 42, 555 (2016)].

5. ИТОГИ И ДАЛЬНЕЙШИЕ ЗАДАЧИ

Микрюков Д.В., Письма в Астрон. журн. 44, 361

(2018) [D.V. Mikryukov, Astron. Lett. 44, 337 (2018)].

Итак, мы показали, что в основу определе-

Микрюков Д.В., Письма в Астрон. журн. 46, 366

ния астроцентрических координат Пуанкаре могут

(2020) [D.V. Mikryukov, Astron. Lett. 46, 344 (2020)].

быть равноправным образом положены две раз-

10.

Микрюков Д.В., Холшевников К.В., Письма в

личные системы канонических переменных. Мы

Астрон. журн. 42, 302 (2016) [D.V. Mikryukov,

разработали аналитический аппарат использова-

K.V. Kholshevnikov, Astron. Lett. 42, 268 (2016)].

ния координат Пуанкаре, к которому уже удобно

11.

Морбиделли А., Современная небесная механи-

непосредственно применять методы теории возму-

ка. Аспекты динамики Солнечной системы (М.:

щений. Наконец, мы показали, как по эволюции

ИКИ, 2014).

орбит в данной системе координат восстанавлива-

ется поведение обычных астроцентрических эле-

12.

Пуанкаре А., Лекции по небесной механике (М.:

ментов.

Наука, 1965).

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47

№ 11

2021