ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2019, том 45, № 5, с. 320-325
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ИОНИЗАЦИИ
В ОБОЛОЧКАХ СВЕРХНОВЫХ ТИПА II НА ФОТОСФЕРНОЙ ФАЗЕ
© 2019 г. М. Ш. Поташов1,2*, С. И. Блинников1,3,4**
1Институт теоретической и экспериментальной физики, Москва, Россия
2Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия
3Институт космических исследований, 117997, Москва
4Институт физики и математики Вселенной, Токийский университет, Кашива, Япония
Поступила в редакцию 29.01.2019 г.; после доработки 29.01.2019 г.; принята к публикации 29.01.2019 г.
Исследована упрощенная система кинетики атома водорода (два уровня плюс континуум) в условиях
сверхновой типа IIP на стадии плато, которая реалистично описывает основные свойства полной
системы. Найдена функция Ляпунова для приведенной системы, с помощью которой аналитически
получен эффект закалки ионизации при больших временах. Поскольку в равновесном приближении
на больших временах система полностью рекомбинирует, чего в реальности не происходит, то
этот результат подтверждает необходимость учета эффекта нестационарности в кинетике в течение
фотосферной фазы при взрыве сверхновой.
Ключевые слова: сверхновые, атмосферы, формирование спектров.
DOI: 10.1134/S0320010819050061
ВВЕДЕНИЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Для полного моделирования физических про-
цессов, происходящих в сверхновой, необходимо
Для исследования современной структуры Все-
одновременно учитывать гидродинамику разлета
ленной требуются новые данные — фотометриче-
оболочки, взаимодействие поля излучения с ве-
ские расстояния до объектов с известными крас-
ществом, перенос излучения в линиях и контину-
уме и кинетику населенностей уровней в атомах
ными смещениями. Среди многообразия различных
методик измерения расстояний есть способы, не
многозарядной плазмы вещества. Это дает систему
опирающиеся на лестницу космологических рас-
интегро-дифференциальных уравнений радиаци-
стояний, например, EPM (Expanding Photosphere
онной гидродинамики, полное численное решение
которой пока является непосильной задачей даже в
Method — метод расширяющейся фотосферы)
одномерном случае. Приходится прибегать к неиз-
(Киршнер, Кван, 1974), SEAM (Spectral-fitting
бежным упрощениям в этой полной системе. Одно
Expanding Atmosphere Method) (Барон и др., 2004)
из таких упрощений — стационарное приближение
или метод DSM (Dense Shell Method — метод
кинетической системы населенностей уровней, в
плотного слоя) (Блинников и др., 2012; Поташов
рамках которого считается, что система находится
и др.,
2013; Бакланов и др.,
2013), которые
в статистическом равновесии.
используют в качестве объектов сверхновые типов
IIP и IIn. Отметим, что использование такого
Эффект нестационарной ионизации водорода
метода, как SEAM, требует построения полной
в оболочках сверхновых II типа на фотосферной
физической модели сверхновой типа II, детально
фазе был применен Киршнером и Кваном (1975)
воспроизводящей ее спектр излучения.
для объяснения высокой светимости линии Hα в
спектрах SN 1970G, а также Чугаем (1991) для
Важность прямых методов измерения космоло-
объяснения высокой степени возбуждения водоро-
гических расстояний особенно актуальна в свете
да во внешних слоях атмосферы (v > 7000 км с-1)
проблемы неопределенности в измерении парамет-
SN 1987A в первые 40 дней после взрыва.
ра Хаббла (Hubble tension) (Рисс и др., 2018;
Морцель, 2018; Езквага, Сумалакарреги, 2018).
Утробин и Чугай (2002) нашли сильный эффект
нестационарности в кинетике ионизации и линиях
*Электронный адрес: Marat.Potashov@gmail.com
водорода в сверхновых типа IIP в течение фо-
**Электронный адрес: Sergei.Blinnikov@itep.ru
тосферной фазы. В следующей работе (Утробин,
320
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ИОНИЗАЦИИ
321
Чугай, 2005) нестационарность была учтена еще
важен ли эффект нестационарной ионизации или
и в уравнении энергии. Важным следствием этих
нет, по крайней мере на больших временах.
работ являлся вывод, что учет временно-зависимой
ионизации позволил получить спектры излучения
пекулярной SN 1987A с более сильной линией Hα,
МОДЕЛИРОВАНИЕ
что ранее не удавалось сделать без замешивания
Опишем построение достаточно простой анали-
радиоактивного56Ni до внешних высокоскорост-
тической модели поведения электронных населен-
ных слоев при стационарном приближении. В сле-
ностей многозарядной плазмы в оболочке сверхно-
дующей работе (Утробин, 2007) важность эффекта
вой. Будем рассматривать чистоводородную обо-
была показана и для нормальной SN 1999em.
лочку, где атом водорода представлен системой
Выводы Утробина и Чугая были подтверждены
“два уровня + континуум”. Мы будем предпола-
Дессартом и Хилиером с помощью программного
гать l-равновесие для второго уровня атома. Это
пакета CMFGEN. В работе Дессарта и др. (2008)
означает, что населенности подуровней с учетом
применявшийся подход был еще стационарным,
тонкой структуры 2s, 2p пропорциональны своим
и именно он был реализован в пакете CMFGEN.
статистическим весам. Таким образом, второй уро-
Моделирование обнаруживало проблему — линия
вень рассматривается как единый супер-уровень
Hα в богатых водородом оболочках была слабее
(Хьюбени, Ланц, 1995).
наблюдаемой в рекомбинационную эпоху. В част-
Характерные стадии поведения кривой блеска
ности, для SN 1987A модель не воспроизводи-
типичной SN типа IIP можно записать следующим
ла линию для времен позже четырех дней, а для
образом (Утробин, 2007):
SN 1999em — позже 20 дней. Далее Дессарт и Хи-
лиер усовершенствовали программу, включив в нее
• выход ударной волны на поверхность звезды;
временную зависимость в кинетической системе и
в уравнении энергии (Дессарт, Хилиер, 2007), а за-
• фаза адиабатического охлаждения при рас-
тем и в переносе излучения (Дессарт, Хилиер, 2010;
ширении;
Хилиер, Дессарт, 2012). Это позволило усилить
линию Hα в результирующем спектре излучения,
• фотосферная фаза (формируется волна
что привело к лучшему согласию с наблюдениями.
охлаждения и рекомбинации);
С другой стороны, Де и др. (2010) нашли на
основе расчетов с помощью программного паке-
• фаза диффузного охлаждения (время диф-
та PHOENIX, что нестационарная кинетика важна
фузного излучения становится меньше ха-
только в первые дни после взрыва сверхновой.
рактерного времени расширения оболочки);
Более того, они утверждают, что роль нестацио-
нарности даже в эти первые дни не очень сильная,
• начало исчерпания тепловой энергии;
иллюстрируя это на примере моделей SN 1987A
и SN 1999em. C. Фогль и др. (2018), исполь-
• конец исчерпания тепловой энергии (фаза
зуя открытый код TARDIS и не отрицая важность
“хвоста” плато);
временно-зависимого эффекта в кинетике, тем не
• нетепловое свечение вследствие распа-
менее пренебрегают им при моделировании спек-
тров SN 1999em и получают хорошее согласие их с
дов
56Ni →56Co →56Fe (радиоактивный
наблюдаемыми. Подавляющее большинство кодов
“хвост”).
симуляций методом Монте-Карло также прене-
брегают эффектом нестационарности в кинетике.
Для изучения нестационарной ионизации водо-
Таким образом, выводы различных исследователь-
рода в плазме оболочки мы будем рассматривать
ских групп расходятся, и важность эффекта до сих
поведение системы только на фотосферной фазе.
пор ставится под сомнение.
Для типичной сверхновой SN 1999em (Бакланов
Поташов и др. (2017) показали, используя ко-
и др., 2005; Утробин, 2007) такая фаза длится от
ды STELLA и LEVELS в чистоводородном случае
t0 ∼ 20 до t1 ∼ 100 дней. По мере того, как обо-
на примере SN 1999em важность нестационарной
лочка расширяется, образуется волна охлаждения
кинетики. Также было исследовано влияние на-
и рекомбинации водорода. Болометрический поток
личия металлических примесей на выраженность
излучения на уровне внешней границы этой волны
эффекта: рост концентрации металлов в оболочке
равен светимости всей звезды. На этом же уровне
приводил к ослаблению эффекта нестационарно-
располагается и фотосфера. Важным является то,
сти в кинетике.
что в этот период радиус фотосферы Rph, темпе-
В настоящей статье в рамках простой аналити-
ратура излучения Tc и температура вещества Te
ческой модели мы попытаемся ответить на вопрос:
остаются почти постоянными. А следовательно, и
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45
№5
2019
322
ПОТАШОВ, БЛИННИКОВ
полная светимость звезды по времени не меняется,
усредненная по профилю линии; P2c(t) — полный
и кривая блеска выходит на плато.
коэффициент фотоионизации со второго уровня;
Наше дальнейшее описание будет предпола-
Rc2(t) — полный коэффициент излучательной ре-
гать, что t ≥ t0. Моделирование кодом STELLA по-
комбинации на второй уровень.
казывает, что переход к гомологическому (с вы-
В нашей модели мы будем использовать тот
сокой точностью) разлету оболочки SN 1999em
факт, что основным вкладом в непрозрачность
завершается примерно к 15-му дню после взрыва
в области частот лаймановского континуума ν ≥
(Бакланов и др., 2005), т.е. раньше, чем начало
≥ νLyC являются связно-свободные процессы
фотосферной фазы t0. Мы будем предполагать
(Поташов и др., 2017). Относительно малыми
изотропное сферически симметричное расширение.
вкладами связно-связанных процессов в линиях
Также в первоначальном рассмотрении мы не учи-
(так называемая непрозрачность при расшире-
тываем ударные процессы возбуждения и иониза-
нии — expansion opacity) и свободно-свободных
ции.
процессов в коэффициенты излучения и поглоще-
Выделим какую-то небольшую область оболоч-
ния мы пренебрегаем. Поглощение в этой полосе
ки над фотосферой. Уравнение неразрывности в
вызвано в основном нейтральным водородом, и
эйлеровых координатах для вещества в этой обла-
оптическая толщина очень велика. Поэтому фото-
сти имеет вид
сферное излучение здесь практически отсутствует,
и радиационное поле определяется для надфо-
∂ρ
= - ▽ (ρv),
(1)
тосферных областей диффузным излучением. В
∂t
этом случае можно показать, что темпы переходов
где ρ — плотность вещества оболочки, разлетаю-
фотоионизации с основного уровня водорода и
щегося со скоростью v. В лагранжевом формализ-
рекомбинация на основной уровень полностью
ме в сопутствующей системе отсчета мы получим
совпадают (даже если в составе оболочки бу-
Dρ
дет не только водород). Таким образом, первый
= -ρ(▽ · v).
(2)
уровень водорода находится в детальном балансе
Dt
с континуумом, и в систему уравнений (5), (6)
В период свободного гомологического разлета
соответствующие процессы не входят.
уравнение (2) упростится до
Следует заметить, что в диапазоне частот лай-
Dρ
3ρ
мановского континуума интенсивность контину-
+
= 0.
(3)
Dt
t
ального диффузного излучения Jc(ν) совпадает с
равновесным Bν (Te), только в чистоводородной
Тогда темп переходов на любой дискретный связ-
оболочке, что позволяет говорить о равновесии
ный или свободный уровень атома или иона водо-
вещества и излучения. В общем случае — с приме-
рода i можно записать как
сями — Jc(ν) = Bν (Te).
Dni
3ni
+
= Ki(t),
(4)
Выпишем стандартные формулы приближения
Dt
t
Соболева (Соболев, 1960; Кастор, 1970), но в
где ni — населенность уровня i атома или иона. В
упрощенном виде, используя условие относитель-
свою очередь, пренебрегая процессами вынужден-
ной малости населенности второго уровня N(t) -
ного излучения, мы определяем функцию Ki(t) как
-n1 -ne ≪n1.
Оптическая соболевская толща
K1(t) = (N(t) - n1 - ne)(Q + A21) +
(5)
c3 A21
+ n1B12J12(t),
τ (t) ∼
g2 n1t,
(8)
3
8π ν
g1
Lα
Ke(t) = (N(t) - n1 - ne)P2c(t) - n2eRc2(t).
(6)
усредненная по профилю и углам интенсивность
излучения
Здесь
t30
J12(t) = (1 - β(t))S(t) + β(t)Jc(νLα,t),
(9)
N (t) = N0
(7)
t3
где Jc(νLα) — интенсивность континуального из-
— концентрация водорода; Q — двухфотонный
лучения на частоте Lα.
распад 2s → 1s; скорость обратного перехода 1s →
Будем считать что τ(t) ≫ 1. Тогда вероятность
→ 2s (двухфотонное поглощение) гораздо меньше
локального выхода Lα фотона без рассеяния, про-
скорости 2s → 1s, и мы не учитываем этот процесс
интегрированная по направлениям и по частотам
(Поташов и др. 2017); A21 и B12 — эйнштей-
линии:
новские коэффициенты спонтанного изучения и
1-e-τ(t)
1
фотовозбуждения перехода 1 ↔ 2; J12(t) — сред-
β(t) =
∼
(10)
τ (t)
τ (t)
няя интенсивность излучения в переходе 2 → 1,
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45
№5
2019
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ИОНИЗАЦИИ
323
Функция источников
)
− BJc(νLα,t)
(t)2,
2hν3Lα
(g2n1
t0
S12(t) =
,
,
(11)
c2
g1n2
)3
0
(t
u
˙
e = (1 - u1 - ue)P2c(t) - ueR
(17)
все остальные обозначения стандартны.
t
Для оптически толстой в линии Lα оболочки
Здесь также введены новые обозначения
сверхновой оценка (10) нарушается. Необходимо
учитывать поглощение квантов в континууме (Хам-
8πν3Lα g1
1
1
A=
,
B=4π
,
мер, Райбики, 1985; Чугай, 1987). Но качественно
c3
g2 N0t0
hcN0t0
учет этих поправок не изменит итоговый результат
R=N0Rc2.
статьи.
Объединяя (4)-(6), (9)-(11), получаем систему
Принципиально важным для дальнейшего упроще-
ния системы (16), (17) является исследование по-
n
˙
1 = (N(t) - n1 - ne)(Q + A21β(t)) -
(12)
ведения Jc(νLα, t) и P2c(t) от времени. В оптически
3n1
- n1B12β(t)Jc(νLα,t) -
,
тонком случае можно записать Jc(t) = W (t)B(Tc).
t
Если в добавок положить, что рассматриваемая
n˙
(13)
нами область находится достаточно далеко от фо-
e = (N(t) - n1 - ne)P2c(t) -
тосферы, то фактор дилюции будет меняться со
3ne
- n2eRc2(t) -
временем как
t
2
1
(Rph)
В соответствии с Михаласом (1978, уравнения
W (t) ∼
(18)
4
Vt
5.66, 5.67), темп фотоионизации есть интеграл
∫∞
Тогда интенсивность континуума Jc(νLα, t) и темп
Jc(ν,t)
P2c(t) = 4π α12(ν)
dν.
(14)
фотоионизации P2c(t) будут спадать как ∝1/t2.
hν
В наблюдаемой сверхновой среда на рассматри-
ν2
ваемых частотах в континууме оптически толстая.
А темп фоторекомбинации для чистоводородной
Большое количество металлических примесей из-
плазмы в случае пренебрежения вынужденным из-
меняет поведение интенсивности излучения в жест-
лучением будет выглядеть как
кой полосе, ослабляя ее. Но даже в этом случае
∫∞
численное моделирование (например, при помощи
1 2hν3
кода STELLA) показывает степенную зависимость
Rc2 = 4πΦSaha(Te) α12(ν)
×
(15)
hν c2
интенсивности и темпа фотоионизации от времени.
ν2
А именно,
)
π
( hν2
×e
kTe dν ∼ ΦSaha(Te)gII (1, νLα)
E1
(t0)s1
c2
kTe
Jc(νLα,t) = Jc(νLα,t0)
,
(19)
t
Здесь ΦSaha(Te) — фактор Саха; gII (1, νLα) —
гаунтовский множитель для связно-свободного пе-
(t0)s2
(t0)s2
P2c(t) = P2c(t0)
=P
(20)
рехода 1 ↔ 2; E1 — модифицированная интеграль-
t
t
ная показательная функция. Можно заметить, что
Значения показателей s1 и s2 зависят от удален-
из постоянства Te следует постоянство по времени
ности от фотосферы, но они всегда больше, чем 2.
Rc2.
Таким образом, в общем случае, мы ограничиваем
Введем теперь безразмерные переменные
область определения степеней как s1 ≥ 2 и s2 ≥ 2.
3
n1
n1 t
Система (16), (17) с учетом (19), (20) будет
u1 =
=
,
N (t)
N0 t3
выглядеть как
0
3
ne
ne t
u˙
1
td = (1 - utd1 - utde) ×
(21)
ue =
=
,
[
]
)2
N (t)
N0 t3
0
A
(t
(t0)s1-2
× Q+
−B
,
которые представляют собой нормированные на
utd
t0
t
1
полную текущую концентрацию населенности
уровней.
(t0)s2
Переписывая в них систему, мы получаем
u˙
e
td = (1 - utd1 - utde)P
-
(22)
t
[
]
)
2
A
(t
(t0)3
u˙
1 = (1 - u1 - ue) Q +
−
(16)
- (utde )2R
,
u1
t0
t
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45
№5
2019
324
ПОТАШОВ, БЛИННИКОВ
где B =BJc(νLα, t0).
Очевидно, что (27) положительно определена для
Равновесные населенности в этом же прибли-
всех моментов времен. Ее производная по времени
жении находятся из решения системы алгебраиче-
в силу линеаризованной системы (25), (26) записы-
ских уравнений:
вается как
[
]
∂V
∂V
2
A
(t)
V (t, x, y) = ∂V
+
x+
y,
(28)
∂t
∂x
∂y
(1 - uss1 - usse) Q +
−
(23)
uss
t0
1
где x и y —это (25) и (26) соответственно. Она
)s1-2
представляет из себя отрицательно определенную
(t0
-B
= 0,
по критерию Сильвестра квадратичную форму, так
t
как ее угловые миноры при t → ∞ это
)s2
)2
(t0
2A
(t
Δ1 ∝ -
< 0, Δ2 ∝
( B )2 > 0.
(1 - uss1 - usse)P
-
(24)
t
ũ1
t0
ũ
1
)3
Сама же производная (29) знакоотрицательна на
(t0
- (usse )2R
= 0.
больших временах
t
(x + y)2
Таким образом, ответ на вопрос о важности учета
V (t, x, y) = -2A
( t )2 + O(t).
(29)
ũ1
t0
нестационарности в кинетике надо искать, сличая
решения систем (21), (22) и (23), (24) или (что то
А значит, по первой теореме Ляпунова об устой-
же) utd1, utde и uss1, usse соответственно.
чивости (Демидович, 1978, с. 238; Халил, 2002,
с. 151), тривиальное решение системы (25), (26)
Далее покажем, что любое физически разумное
устойчиво по Ляпунову “в малом”. Следует отме-
ограниченное решение (21), (22) является устой-
тить, что для рассматриваемой системы задачу об
чивым по Ляпунову “в малом”, т.е. устойчивость
устойчивости удается решить таким способом на
гарантируется при достаточно малых отклонениях.
полуоси t > t c достаточно далекой границей t ≥
Пусть нам известно какое-то одно из ограни-
≥ t0. Устойчивость на заранее заданной полуоси
ченных решений 0 < ũ1 ≤ 1 и 0 ≤ ũe ≤ 1 (невоз-
t > t0 получается с учетом известных результатов
мущенное движение) неавтономной нелинейной
о непрерывности по параметру (Петровский, 1984,
дифференциальной системы (21), (22). Положим
с. 80) для решения на конечном промежутке t0 ≤
x = ũ1 - u1 и y = ũe - ue, т.е. x и y — суть откло-
≤ t ≤ t.
нения решений u1, ue от ũ1 и ũe соответственно.
Оказывается, можно показать, что система (25)
Тогда для x, y мы получаем приведенную систе-
и (26) диссипативна с помощью теоремы Йосид-
му дифференциальных уравнений (по Ляпунову
завы (Демидович, 1978, с. 290; Кунцевич, Лычак,
она называется системой уравнений возму-
1967, с. 47-48, теорема 1.14 и ее следствие). т.е.
щенного движения) (Демидович, 1978, с. 234;
система устойчива и “в большом”. Следовательно,
Халил, 2002, с. 147)
все решения системы (21), (22) с физически разум-
)2
(1 - ũe)x + ũ1y
(t
ными начальными условиями ограничены всегда.
x = -(x + y)Q -
A
,
(25)
ũ1(ũ1 + x)
t0
Благодаря ограниченности по величине utde, из
(22) следует, что
)s2
(t0
lim
u
˙
td = 0.
y = -(x + y)P
-
(26)
e
t→∞
t
)3
В свою очередь, решая (23), (24), можно показать,
(t0
что
- y(2ũe + y)R
ss
t
∂ ln u
s1 + s2 - 3
e
lim
=-
t→∞
∂ ln t
2
При этом важно отметить, что тривиальное ре-
шение x = 0, y = 0 является равновесием. Таким
Отсюда следует, что на больших временах истин-
образом, исследование устойчивости по Ляпунову
ная относительная концентрация электронов вы-
решения ũ1, ũe сводится к исследованию устойчи-
ходит на константу utde ∼ c1. А равновесная отно-
вости по Ляпунову тривиального решения (поло-
сительная концентрация электронов стремится к
жения равновесия) x = 0, y = 0.
нулю, как usse ∼ t-(s1+s2-3)/2.
Рассмотрим далее скалярную функцию Ляпуно-
Видно, что в нестационарном случае оболочка
ва следующего вида:
разлетается с большей степенью ионизации по
(
)
сравнению со стационарным приближением. Это
B2 1 t20
V (t, x, y) = x2 + 2xy + y2
2+
(27)
необходимо учитывать при моделировании кинети-
A ũ1
t
ки сверхновой.
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45
№5
2019
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ИОНИЗАЦИИ
325
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
11.
Зельдович и др. (Y.B. Zeldovich, V.G. Kurt, and
R.A. Syunyaev), JETP 28, 146 (1969).
Подобное явление наблюдается и в атмосфер-
12.
Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П., Физика ударных
ных взрывах (Райзер, 1959; Зельдович, Райзер,
волн и высокотемпературных гидродинамиче-
2008, с. 420) и при “затягивании” процесса ре-
ских явлений (3-е издание, Физматлит, 2008).
комбинации первичной плазмы в ранней Вселенной
13.
Кастор (J. I. Castor), MNRAS 149, 111 (1970).
при космологических условиях (Зельдович и др.,
14.
Киршнер, Кван (R.P. Kirshner and J. Kwan),
1969; Пиблс, 1968). Обычно говорят, что кон-
Astrophys. J. 193, 27 (1974).
центрация свободных электронов испытывает “за-
15.
Киршнер, Кван (R.P. Kirshner and J. Kwan),
калку”. Но в отличие от классической закалки в
Astrophys. J. 197, 415 (1975).
16.
Кунцевич В.М., Лычак М.М., Синтез систем ав-
атмосферных взрывах, эффект нестационарности в
томатического управления с помощью функ-
сверхновых остается даже тогда, когда температу-
ции Ляпунова (1977).
ры и вещества, и излучения постоянны.
17.
Михалас (D. Mihalas), Stellar Atmospheres (San
В этой статье был рассмотрен сам факт нару-
Francisco, W. H. Freeman and Co., 1978).
шения равновесной стационарной аппроксимации
18.
Морцель (E. Mortsell), J. Cosmology Astropart.
в кинетике. Величина этого нарушения и его эво-
Phys. 9 (2018).
люция со временем будут описаны в последующих
19.
Петровский И., Лекции по теории обыкновен-
публикациях.
ных дифференциальных уравнений (1984).
Авторы благодарны Н.Н. Шахворостовой,
20.
Пиблс (P.J.E. Peebles), Astrophys. J. 153, 1 (1968).
В.П. Утробину и А.В. Юдину за стимулирующие
21.
Поташов и др. (M.Sh. Potashov, S.I. Blinnikov,
обсуждения. Работа М.Ш. Поташова частично
P.V. Baklanov, and A.D. Dolgov), MNRAS 431, L98
поддержана грантом РФФИ 19-02-00567, а работа
(2013).
С.И. Блинникова по численным моделям сверхно-
22.
Поташов М.Ш., Блинников С.И., Утробин В.П.,
Письма в Астрон. журн.
43,
40
(2017)
вых — грантом РНФ 18-12-00522.
[M.Sh. Potashov, S.I. Blinnikov, V.P. Utrobin,
Astron. Lett. 43, 36 (2017)].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
23.
Райзер (Y.P. Raizer), JETP 34, 243 (1959).
24.
Рисс (A.G. Riess), Astrophys. J. 861, 126 (2018).
1. Бакланов П.В., Блинников С.И., Павлюк Н.Н.,
25.
Соболев (V.V. Sobolev), Moving Envelopes of Stars
Письма в Астрон. журн.
31,
483
(2005)
(Cambridge: Harvard Univer. Press, 1960).
[P. V. Baklanov, S.I. Blinnikov, N.N. Pavlyuk,
26.
Утробин (V.P. Utrobin), Astron. Astrophys. 461, 233
Astron. Lett. 31, 429 (2005)].
(2007).
2. Бакланов П.В., Блинников С.И., Поташов М.Ш.,
27.
Утробин, Чугай (V.P. Utrobin and N.N. Chugai),
Долгов А.Д., Письма в ЖЭТФ 98, 489 (2013)
Astron. Lett. 28, 386 (2002).
[P.V. Baklanov, S.I. Blinnikov, Sh.M. Potashov,
28.
Утробин, Чугай (V.P. Utrobin and N.N. Chugai),
A.D. Dolgov, JETP Lett. 98, 432 (2013)].
Astron. Astrophys. 441, 271 (2005).
3. Барон и др. (E. Baron, P.E. Nugent, D. Branch, and
29.
Фогль (C. Vogl), arXiv:1811.02543 (2018).
P.H. Hauschildt), Astrophys. J. 616, L91 (2004).
30.
Халил (H.K. Khalil), Nonlinear System (2002).
4. Блинников и др. (S.I. Blinnikov, M.Sh. Potashov,
31.
Хаммер, Райбики (D.G. Hummer and G.B. Rybicki),
P.V. Baklanov, and A.D. Dolgov), JETP Lett. 96, 153
Astrophys. J. 293, 258 (1985).
(2012).
32.
Хилиер, Дессарт (D.J. Hillier and L. Dessart),
5. Де (S. De), MNRAS 401, 2081 (2010).
6. Демидович Б., Лекции по математической тео-
MNRAS 424, 252 (2012).
33.
Хьюбени, Ланц (I. Hubeny and T. Lanz), Astrophys.
рии устойчивости (1978).
7. Дессарт, Хилиер (L. Dessart and D.J. Hillier),
J. 439, 874 (1995).
MNRAS 383, 57 (2007).
34.
Чугай Н.Н., Астрофизика
26,
89
(1987)
8. Дессарт (L. Dessart), Astrophys. J. 675, 644 (2008).
[N.N. Chugai, Astrofizika 26, 53 (1987)].
9. Дессарт, Хилиер (L. Dessart and D.J. Hillier),
35.
Чугай (N.N. Chugai), The Tenth Santa Cruz
MNRAS 405, 23 (2010).
Workshop in Astronomy and Astrophysics (Ed.
10. Езквага, Сумалакарреги (J.M. Ezquiaga and
S.E. Woosley: Publ., Springer-Verlag, New York,
M. Zumalacarregui), arXiv:1807.09241 (2018).
1991), p. 286.
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45
№5
2019
