ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2019, том 45, № 4, с. 279-289

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛОВЫХ

УБЕГАЮЩИХ ЭЛЕКТРОНОВ В СОЛНЕЧНЫХ ВСПЫШКАХ

¹Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга

Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия

Поступила в редакцию 28.10.2018 г.; после доработки 25.11.2018 г.; принята к публикации 25.12.2018 г.

Природа жесткого рентгеновского излучения солнечных вспышек хорошо известна. Наблюдаемое

излучение как в короне, так и в хромосфере состоит из двух компонент: нетепловой и тепловой.

Нетепловая компонента обусловлена тормозным излучением ускоренных электронов, тепловая —

тормозным излучением нагретых электронов плазмы. Вследствие того, что спектры нетеплового и

теплового жесткого рентгеновского излучения частично перекрываются, их корректная интерпретация

напрямую зависит от точности кинетических моделей, описывающих распространение в атмосфере

Солнца убегающих электронов тепловой и нетепловой природы. Эволюция функции распределения

последних, т.е. электронов, ускоренных в области магнитного пересоединения, точно описывается в

приближении современных моделей толстой мишени с обратным током. В настоящей работе рас-

смотрена модель теплового убегания электронов и найдено аналитическое решение соответствующего

кинетического уравнения, в котором учтены кулоновские столкновения. Сделаны оценки степени

поляризации излучения, которая не превышает ∼5%. Полученная функция распределения может

быть также использована для расчета спектра теплового рентгеновского излучения и, как следствие,

интерпретации наблюдений тепловой компоненты в рентгеновском спектре вспышки.

Ключевые слова: Солнце, магнитные поля, солнечные вспышки, тепловые электроны, тормозное

излучение, поляризация.

DOI: 10.1134/S032001081904003X

1. ВВЕДЕНИЕ

вичного энерговыделения в солнечных вспышках,

общая картина вспышки и ее сценарий в наши

Согласно исторически первым, но в значитель-

дни считаются понятными и хорошо известными

ной мере правильным и основополагающим теоре-

(Прист, Форбс, 2000; Сомов, 2012, 2013; Крукер и

тическим представлениям о механизме солнечных

др., 2008; Жаркова и др., 2011; Эмсли и др., 2012).

вспышек (Джиованелли, 1948; Паркер, 1957; Свит,

Перед началом наиболее мощной, так называемой

1958, 1969; Сыроватский, 1962, 1966), источником

импульсной фазы, которая длится от нескольких

энергии вспышки являются сильные магнитные

секунд до нескольких десятков секунд, в короне

поля в атмосфере Солнца. В упомянутых клас-

формируются условия, необходимые для быстрого

сических работах была показана ключевая роль

магнитного пересоединения. В процессе такого

своеобразного перераспределения потоков магнит-

пересоединения происходит ускорение электронов,

ного поля, меняющего их топологическую связ-

протонов и других ионов электрическим полем

ность — магнитного пересоединения. В результа-

внутри пересоединяющего высокотемпературного

те эффекта магнитного пересоединения энергия

токового слоя до энергий, намного превышающих

взаимодействующих магнитных потоков преобра-

тепловые энергии частиц в короне и хромосфере

зуется в кинетическую энергию заряженных частиц

(Хадсон, Райан, 1995; Сомов, 2000; Ашванден,

и быстрых направленных МГД течений плазмы —

2002; Мирошниченко, 2015).

джетов.

Типичный сценарий вспышки схематически, но

При всем многообразии физических усло-

вий, при которых реализуется магнитное пере-

с учетом последовательности физических процес-

сов и их взаимного расположения, показан на

соединение как фундаментальный механизм пер-

рис. 1. Из солнечной короны плазма с “вморожен-

^*Электронный адрес: pgritsyk@gmail.com

ным” сильным магнитным полем втекает в пере-

^**Электронный адрес: somov-boris@mail.ru

соединяющий токовый слой (Reconnecting Current

279

280

ГРИЦЫК, СОМОВ

v₀

RCL

v₁

Cor

HXR

Рис. 1. Наиболее существенный фрагмент классической картины солнечной вспышки. Энергичные электроны убегают

из пересоединяющего токового слоя RCL с температурой T1 через турбулентный фронт TF в менее горячую (более

холодную) плазму вспышечной петли с температурой T2.

Layer, RCL) с относительно небольшой скоро-

руют тормозное жесткое рентгеновское излучение,

стью v₀ ∼ 10 км/с. Внутри токового слоя условия

причем довольно часто наиболее интенсивное. Ис-

“вмороженности” нарушаются, и пересоединенные

точники этого излучения находятся в основаниях

трубок пересоединенных линий магнитного поля,

линии магнитного поля вместе со “сверхгорячей”

так называемых вспышечных петель, и в совокуп-

(электронная температура T_e ≳ 30 MK), почти бес-

ности основания трубок образуют “вспышечные

столкновительной плазмой движутся из сверх-

горячего токового слоя в противоположные сто-

ленты”. Последние доступны самому всесторон-

нему изучению с помощью наземных и космических

роны (преимущественно вверх и вниз) со скорос-

наблюдений. На рис. 1 контурами показаны ко-

тями v₁ ∼ 10³ км/с (Сомов, 2013). Тормозное излу-

рональный и хромосферные источники жесткого

чение электронов сверхгорячей плазмы и ускорен-

рентгеновского излучения.

ных электронов образует движущийся в короне

источник жесткого рентгеновского излучения. По-

В некоторых вспышках (например, с ярким ко-

степенно охлаждаясь, сверхгорячая плазма ста-

рональным источником) учета первичного ускоре-

новится видимой в менее жестком рентгеновском

ния в пересоединяющем токовом слое оказывается

излучении. На рис. 1 показан лишь наиболее яр-

недостаточно. Сценарий двойного последователь-

кий фрагмент протяженной области всей вспышки,

ного ускорения электронов одной популяции (уско-

а именно пересоединенные линии магнитного по-

рение в токовом слое плюс последующее ускорение

ля B, движущиеся из токового слоя со скоростью

тех же электронов в коллапсирующей магнитной

v₁ вниз, в направлении к хромосфере Ch и фото-

ловушке) предложен в работе Сомова, Косуги

сфере P h; N и S — пара источников фотосферного

(1997) и назван двухшажным ускорением (double

магнитного поля, например, солнечных пятен.

step acceleration). Указанный эффект не следу-

Проникая в хромосферу, где плотность плазмы

ет путать с так называемым двухфазным ускоре-

существенно выше, энергичные электроны быстро

нием (Уайлд, 1963), когда первично ускоренные

теряют кинетическую энергию за счет кулоновских

электроны во время импульсной фазы вспышки

столкновений. Здесь, как и в короне, они генери-

(несколько секунд) или, быть может, совсем другие

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

2019

№4

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ

281

электроны ускоряются до релятивистских энергий

В настоящее время не вызывает сомнений, что

(как ранее предполагалось, на ударных волнах) су-

наблюдаемое жесткое рентгеновское излучение с

щественно позже, во время второй фазы вспышки

энергией фотонов E_hν ≳ 20 кэВ обусловлено тор-

(с запаздыванием от нескольких минут до часов;

мозным излучением электронов, ускоренных элек-

Сакай, де Ягер, 1996).

трическим полем в области магнитного пересо-

единения. Граничная функция распределения та-

Спектр жесткого рентгеновского излучения

ких частиц имеет степенной вид, а ее изменение

солнечной вспышки формируется как тепловыми,

с глубиной точно описывается в рамках модели

так и нетепловыми убегающими электронами.

толстой мишени с обратным током (Литвиненко,

Полное модельное описание распространения

Сомов, 1991). В работах Грицыка и Сомова (2014,

энергичных электронов в атмосфере Солнца (на-

2016, 2017) указанное приближение успешно при-

гретых и ускоренных) включает в себя как ко-

менялось для интерпретации высокоточных спут-

рональные коллапсирующие магнитные ловушки,

никовых наблюдений солнечных вспышек 6 декаб-

ускоряющие и тепловые, и нетепловые частицы

ря 2006 г. и 19 июля 2012 г. Большое практическое

(Сомов, Богачев, 2003; Богачев, Сомов, 2005,

значение для интерпретации полного рентгенов-

2007), так и эффект обратного тока (Грицык,

ского спектра вспышки имеет модельное описание

Сомов, 2014). Предлагаемая нами тепловая модель

распространения тепловых электронов, убегающих

является неотделимой частью полного описания,

из области пересоединения и генерирующих тор-

поскольку учитывает взаимодействие с короной и

мозное рентгеновское излучение с энергией фото-

хромосферой тепловых, точнее говоря, сверхгоря-

нов E_hν ≲ 20 кэВ (тепловая компонента в спектрах

чих электронов. Учет генерируемого ими излучения

коронального и хромосферного источников).

необходим для интерпретации жесткого рентге-

Целью настоящей работы являются исследова-

новского излучения вспышки как в короне, так и

ние и модельное описание процессов распростра-

особенно в хромосфере, где мишень становится

нения тепловых убегающих электронов во время

толстой.

солнечных вспышек. Такая модель необходима для

Нетепловая и тепловая компоненты жестко-

интерпретации тепловой составляющей в спектрах

го рентгеновского излучения частично перекры-

рентгеновского излучения и имеет особую акту-

ваются не только по энергии фотонов, но и про-

альность в связи со значительным увеличением

сто в пространстве. Дополнительная трудность в

точности современных космических обсерваторий

интерпретации наблюдаемых спектров и простран-

и, как следствие, необходимостью использования

ственных распределений жесткого рентгеновского

более точных кинетических моделей распростра-

излучения солнечных вспышек возникает из-за то-

нения электронов во время вспышек. В разде-

го, что энергичные сверхгорячие электроны убега-

ле 2 сформулирована соответствующая кинетиче-

ют из сверхгорячей плазмы вдоль пересоединенных

ская задача. В разделе 3 приведено ее аналитиче-

линий магнитного поля через тепловой турбулент-

ское решение. В разделе 4 на основе полученного

ный фронт T F . Последний движется со скоростью

решения сделаны оценки поляризации жесткого

большей, чем скорость v₁ сверхгорячей плазмы

рентгеновского излучения. Необходимые выводы

(см. рис. 1). Таким образом, суммарное излучение в

содержатся в Заключении.

области под турбулентным слоем складывается из

двух компонент — нетепловой и тепловой.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Тепловая компонента в спектре жесткого рент-

геновского излучения в области низких энергий

(А) Физическая постановка задачи. Как бы-

преобладает в случае хромосферного источника.

ло отмечено во Введении, в солнечных вспышках

Однако в короне, вблизи турбулентного фрон-

источником энергии являются тонкие пересоеди-

та TF, картина несколько “смазывается” вкла-

няющие токовые слои, расположенные в областях

дом теплового тормозного излучения сверхгорячей

взаимодействия магнитных потоков в атмосфе-

плазмы, расположенной вблизи области пересо-

ре Солнца, преимущественно в короне. Во вре-

единения. Кроме того, наличие коллапсирующей

мя вспышек в токовых слоях энергия магнитного

магнитной ловушки может создавать дополнитель-

поля преобразуется в тепловую и кинетическую

ный нагрев плазмы в короне. При всем многооб-

энергии плазмы и ускоренных частиц. При этом

разии и сложности физических процессов в сол-

ускоренные частицы возбуждают плазменную тур-

нечных вспышках (см., например, Сомов, 1992), в

булентность, приводящую к нагреву электронной

любом случае и в рамках любой реализации кон-

компоненты плазмы в слое до огромных темпера-

кретной вспышки будет неизбежно присутствовать

тур: T₁ ≳ 10⁸ K (Сомов, 1981). Такой слой приня-

турбулентный фронт между сверхгорячей плаз-

то называть сверхгорячим турбулентным токовым

мой и менее горячей фоновой плазмой атмосферы

слоем (Сомов, 2013). сверхгорячий турбулентный

Солнца.

токовый слой пополняет “резервуар” сверхгорячих

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

2019

№4

282

ГРИЦЫК, СОМОВ

электронов. Максвелловское распределение этих

разделенных плоским тонким турбулентным сло-

электронов в рамках нашей постановки задачи

ем T F при x = 0 (рис. 1). Суть эффекта теп-

характеризуется температурой T₁.

лового убегания сверхгорячих электронов через

турбулентный фронт T F (рис. 1) в более холодную

Современные

“тепловые модели” учитывают

фоновую плазму состоит в том, что длина сво-

некоторым образом взаимодействие высокотем-

бодного пробега электрона в плазме растет с его

пературных электронов с ионно-звуковой турбу-

кинетической энергией E:

лентностью, возбуждаемой обратным током. Это

взаимодействие порождает фронт аномальной теп-

l_E = l_T (E/k_BT₁)²,

(1)

лопроводности (турбулентный фронт T F на рис. 1),

где l_T — длина свободного пробега тепловых элек-

распространяющийся вдоль вспышечной петли

тронов с температурой T₁ в сверхгорячей плазме,

(см. рис. 1.2.6 в Сомов, 1992) в более холодную

k_B — постоянная Больцмана. В результате, при

(T₂ ≳ 10⁶ К в короне, T₂ ≲ 10⁴ К в хромосфере)

наличии градиента температуры (вообще говоря,

плазму со скоростью ионного звука. В результате

любого), наряду с диффузией тепловых электронов,

излучающая область, в отличие от модели толстой

возникает некоторый поток быстрых электронов с

мишени (см., например, Сыроватский, Шмелева,

длиной свободного пробега большей, чем харак-

1972; Сомов, Сыроватский,

1976), постепенно

терный масштаб, на котором изменяется темпера-

заполняет весь объем магнитной трубки по мере

тура, т.е.

продвижения фронта к хромосфере.

l_E > λ ≡ T₁/|∇T₁|.

(2)

По отношению к сверхгорячим электронам тур-

булентный слой аномальной теплопроводности яв-

Это приводит к увеличению количества быстрых

ляется тонким и не может изменить максвеллов-

электронов в холодной плазме. По аналогии с эф-

ское распределение сверхгорячих электронов. Ес-

фектом убегания электронов в электрическом поле,

ли бы он был толстым, то в принципе мог бы

это явление было названо тепловым убеганием

повлиять на анизотропию убегающих электронов.

электронов и исследовалось, например, в рабо-

Однако, как покажут расчеты, угловое распре-

те Гуревича и Истомина (1979). Для нахождения

деление сверхгорячих электронов остается почти

функции распределения убегающих электронов f_v

изотропным вплоть до значительных глубин в хро-

в холодной плазме авторы использовали кинетиче-

мосфере. В рамках нашей постановки задачи тем-

ское уравнение с интегралом столкновений Ландау,

пература T₂ ≲ 10⁴ — максвелловская температура

вычисленным для случая полностью ионизованной

фоновой плазмы. Поэтому ничто не мешает нам

максвелловской плазмы (подробнее см., например,

воспользоваться интегралом столкновений Ландау

Сомов, 2012):

для описания кулоновского взаимодействия убега-

∂f_v

eE ∂f_v

ющих электронов с плазмой.

+ υcosθ

= St_L(f_v),

(3)

∂t

∂x

m_e ∂υ

Итак, предполагается, что электронная тем-

пература быстро спадает вдоль рассматриваемой

где

магнитной трубки до температуры окружающей

St_L(f_v) =

(4)

плазмы (T₂ ∼ 10⁴-10⁶ К). Точнее говоря, пред-

[

)]

∂

⁽k_BT₂ ∂f_v

полагается, что характерный масштаб длины на

υ²ν_coll(υ)

+ υf_v

градиенте температуры мал по сравнению с длиной

υ² ∂υ

m_e

∂υ

(

)

свободного пробега сверхгорячих электронов. В

∂

∂f_v

+ ν_coll(υ)

sin²θ

этом случае перенос энергии из “резервуара” в ис-

∂ cos θ

точник жесткого рентгеновского излучения (низко-

температурную часть вспышечной петли; см. рис. 1)

Выражение (4) подразумевает, что скорости энер-

происходит недиффузионным образом. Одним из

гичных электронов υ ≫ (2k_BT₂/m)1/2, т.е. рас-

способов такого переноса энергии является теп-

сматривается линеаризованный интеграл столкно-

ловое убегание электронов. Этот эффект обес-

вений Ландау. Мы полагаем, что холодная плазма

печивает распространение направленного потока

состоит из электронов и протонов с постоянной

энергичных электронов в источник излучения. От-

температурой T₂.

метим, что в настоящей работе не рассматривается

Предполагается также, что параметры плазмы

возбуждение пучком ионно-звуковых колебаний в

изменяются только вдоль одной координаты x,

окружающей плазме и связанные с ними явления.

θ —угол между вектором скорости электрона v и

(Б) Математическая постановка задачи.

осью x, причем в нашей постановке задачи E —

Пусть для простоты в системе координат, связан-

напряженность электрического поля обратного то-

ной с фронтом, сверхгорячая и холодная плазма

ка (см. Сомов, 2012). Индекс “v” указывает на

занимают два полупространства: x < 0 и x > 0,

то, что искомая функция f_v = f_v(x,υ,θ) является

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№4

2019

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ

283

функцией распределения электронов по вектору

В отличие от нашей постановки задачи в работе

скорости v.

Гуревича и Истомина (1979) малым является пара-

метр

В интеграле столкновений (4) частота соударе-



ний энергичных электронов с тепловыми электро-

l_T

dT1



нами и протонами в холодной плазме

γ=

≪ 1,

(8)



T₁

 dx

max

4πn₂e

где

ν_coll(υ) =

ln Λ,

(5)

me2υ³

(k_BT₁)²

l_T =

где n₂ — концентрация электронов в холодной

πe⁴n₁ ln Λ

плазме, ln Λ — кулоновский логарифм.

— длина свободного пробега тепловых электро-

В работе Гуревича и Истомина (1979) сделаны

нов в сверхгорячей плазме, (dT₁/dx)_max — мак-

два упрощения. Во-первых, на временах, поряд-

симальное значение градиента температуры, n₁ —

ка времени кулоновских столкновений, в холод-

концентрация электронов в сверхгорячей плазме.

ной плазме мишени процесс инжекции электро-

Условие (8) означает, что градиент температуры

нов можно рассматривать как стационарный, а их

достаточно мал. Таким образом, уравнение (6) име-

распределение в мишени, т.е. в полупространстве

ло вид

x > 0 (рис. 1), можно рассматривать как устано-

(

)

∂ϕ

вившееся. По этой причине в кинетическом урав-

zγ2μ

- 2z_γ

1 - 2τγ1/2

(9)

нении (3) можно пренебречь членом ∂f_v/∂t. Во-

∂s_γ

∂z_γ

вторых, авторы положили величину электрическо-

∂²ϕ

∂ϕ

(

)

⁽∂ϕ)2

го поля обратного тока E равной нулю.

− 4γ1/2τzγ

+ 2μ

1-μ²

∂zγ2

∂μ

(В) Безразмерная запись уравнений. Введем

(

)

⁽∂²ϕ⁾

безразмерные переменные

−

1-μ²

= 0,

∂μ²

μ = cosθ,

∫

где переменные s_γ = 4γs и z_γ = 2γ1/2z. Это позво-

πe⁴ ln Λ

n₂(x^′)dx^′

лило искать решение уравнения (9) в виде ряда по

(k_BT₁)²

степеням малого параметра γ, а именно

- отношение глубины проникания энергичных

ϕ=

ϕ₀ +

ϕ₁ + ϕ₂ +

(10)

γ1/2

γ1/4

электронов в холодную плазму (так называемая

мишень) к длине свободного пробега,

При этом основная функция распределения ϕ₀

оказалась сферически симметричной, а поправ-

z = m_eυ²/2k_BT₁

ка к ней ϕ₁, наоборот, — остро направленной в

- отношение кинетической энергии энергичных

области высоких энергий. Проведенный авторами

электронов к тепловой энергии частиц сверх-

анализ показал, что недиффузионный поток элек-

горячей плазмы,

тронов, зависящий экспоненциально от величины

градиента температуры, превосходит диффузион-

τ = T₂/T₁

ный при γ > 10-2. Однако, как было замечено

- отношение температуры холодной плазмы к

во Введении при формулировке рассматриваемой

температуре сверхгорячей плазмы.

модели применительно к солнечным вспышкам,

градиент электронной температуры велик, т.е. γ =

В новых переменных кинетическое уравне-

= l_T/λ ≥ 1, где λ— характерный пространствен-

ние (3) принимает вид

(

)

ный масштаб градиента. Таким образом, в нашей

∂ϕ

модели нельзя использовать функцию распределе-

z²μ

- 2z

1-τ

(6)

∂s

∂z

ния (10), полученную в работе Гуревича и Истомина

)₂

(1979), поскольку ее вывод существенным образом

∂²ϕ

∂ϕ

(

)

⁽∂ϕ

предполагает условие (8).

- 2τz

+ 2μ

1-μ²

∂z²

∂μ

)

(

)

⁽∂²ϕ

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛОВОМ

1-μ²

= 0.

∂μ²

УБЕГАНИИ СВЕРХГОРЯЧИХ

ЭЛЕКТРОНОВ

Вместо функции распределения f_v здесь введена

В приложениях к солнечным вспышкам в урав-

новая функция

нении (9) малым является не γ, а другой пара-

ϕ = -lnf_v.

(7)

метр τ. Это позволяет нам найти решение для

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№4

2019

284

ГРИЦЫК, СОМОВ

сверхгорячих электронов в холодной плазме ат-

Поскольку кулоновские столкновения электро-

мосферы Солнца во время вспышки. Параметр γ

нов больших энергий с частицами более холодной

не будем предполагать малым. Напротив, имея в

фоновой плазмы малы, будем искать решение, удо-

виду физические условия в солнечной вспышке

влетворяющего граничному условию

особенно во время ее “горячей” или “главной”

z_γ

Φ₀ (η,z_γ) →

при z_γ → ∞

(18)

фазы (Сомов, 1992), положим

γ = 1.

(11)

при любом фиксированном η. Другими словами,

ввиду большой длины свободного пробега (1),

Кроме того, сначала будем искать решение в

очень быстрые электроны практически не взаимо-

малой окрестности оси потока убегающих электро-

действуют с плазмой, а их функцию распределения

нов, т.е. вблизи точки μ = 1. Пренебрегая в урав-

можно считать такой же, какой она была первона-

нении (9) двумя последними слагаемыми, которые

чально.

(

)

содержат множитель

1-μ²

, получим уравнение

Учитывая условие (18), для решения (17) нахо-

(

)

дим

∂ϕ

zγ2μ

- 2z_γ

1 - 2τ

(12)

z_γ

∂s_γ

∂z_γ

Φ₀ (η,z_γ) =

(19)

z_γ

∂²ϕ

∂ϕ

− 4τz

+ 2μ

= 0.

Теперь учтем нелинейные члены в уравнении (14).

∂zγ2

∂μ

Пусть

Заметим, что зависимость от s_γ и μ в (12) входит в

Φ₁ (η,z_γ) = ψ₁ (η,z_γ)τ + ψ₂ (η,z_γ) τ² +

(20)

виде комбинации

Подставляя в уравнение (14) искомое решение

η = s_γ/μ,

(13)

в виде (19), (20) и пренебрегая высокими степеня-

что соответствует простому кинематическому эф-

ми 1/z_γ , получаем уравнение для ψ₁ (η, z_γ ):

фекту. Если пренебречь угловой диффузией, то

∂ψ₁

4η

энергичные электроны, движущиеся под углом θ

z_γ

- 2η

- 2z_γ

+z_γ -

= 0.

(21)

∂η

∂z_γ

z_γ

к оси x, проходят путь, равный x/cos θ = x/μ ∼

∼ s_γ/μ. По этой причине решение уравнения (12)

Аналогично решению уравнения

(16), методом

должно зависеть от переменной η. Подставив (13)

характеристик находим общее решение уравне-

в (12), получим уравнение

ния (21):

)

∂ϕ

⁽z_γ

z_γ

- 2η

(14)

ψ₁ (η,z_γ) = R

(22)

∂η

(

)

∂ϕ

⁽z_γ

- 2z_γ

1 - 2τ

−2

ln z_γ +

z_γ,

∂z_γ

z_γ

∂²ϕ

где R — произвольная функция. Потребуем, чтобы

- 4τz_γ

= 0.

∂zγ2

ψ₁ (η,z_γ) → 0 при z_γ → ∞

(23)

Учитывая малость параметра τ, будем искать

и фиксированном η. Тогда, выбирая в выраже-

решение этого уравнения в виде

нии (22) вид функции R с учетом (23), получим

ϕ(η,z_γ) = Φ₀ (η,z_γ) + Φ₁ (η,z_γ),

(15)

ψ₁ (η,z_γ) = -η/z_γ.

(24)

где Φ₁ (η, z_γ ) = 0 при τ = 0. Функция Φ₀ (η, z_γ )

Таким образом, в первом порядке по малому

удовлетворяет простому линейному уравнению

параметру τ и по 1/z_γ искомое решение (15) имеет

вид

∂Φ₀

z_γ

- 2η

- 2z_γ

= 0.

(16)

z_γ

s_γ

∂η

∂z_γ

ϕ(s_γ,z_γ,μ) =

+ (1 - τ)

(25)

μz_γ

Данное уравнение может быть решено методом

характеристик (см. раздел 3.3 в Владимиров, 1981).

Поскольку температура T₁ сверхгорячей плазмы

много больше температуры T₂ более холодной (см.

В результате получаем общее решение

)

раздел 2), в формуле (25) можно пренебречь малым

⁽z_γ

параметром τ:

Φ₀ (η,z_γ) = F

(17)

z_γ

s_γ

ϕ(s_γ,z_γ,μ) =

(26)

μz_γ

где F — произвольная функция.

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№4

2019

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ

285

Это означает, что в пределах выбранного прибли-

Пренебрегая высшими степенями 1/z_γ , находим

жения здесь и в дальнейшем можно пренебрегать

из (29)-(31)

в уравнении (12) диффузией по энергии. Главны-

ϕ₁ (s_γ,z_γ,μ) = s_γ/z_γ,

(32)

ми являются регулярные потери энергии потока

быстрых электронов при кулоновских соударениях

с частицами холодной плазмы, а не диффузия по

ϕ₂ (s_γ,z_γ,μ) =

s_γ/z_γ.

(33)

энергии. Следует, однако, помнить, что энергети-

ческая диффузия может оказаться существенной в

Итак, возвращаясь к переменным s и z, получаем

области низких энергий, т.е. при z_γ → 2 (или z →

искомую функцию распределения

→ 1).

ϕ(s,z,μ) = z + 2

(34)

Напомним, что решение (26) справедливо лишь

в малой окрестности точки μ = 1. Для того, чтобы

(1 - μ) +

(1 - μ)².

найти функцию распределения для электронов с

остальными значениями питч-угла, обратимся к

Вернемся к рассмотрению функции ϕ₀ (s, z). При

уравнению (9). Однако с учетом полученных ре-

любом фиксированном значении толщи s она имеет

зультатов положим в нем τ = 0; кроме того, как уже

минимум по энергии (или скорости υ) на кри-

√

отмечалось, γ = 1. Получаем уравнение

вой z =

2s. Следовательно, соответствующая ϕ₀

∂ϕ

функция распределения f_v0 = exp(-ϕ₀) достигает

zγ2μ

- 2z_γ

+ 2μ

(27)

максимума по скоростям на этой же кривой, что

∂s_γ

∂z_γ

∂μ

)₂

подразумевает наличие неустойчивости, приводя-

(

)

⁽∂ϕ

(

)

⁽∂²ϕ⁾

щей к раскачке плазменных колебаний. Это, в

1-μ²

= 0.

∂μ

∂μ²

свою очередь, означает, что полученное выражение

для ϕ₀ (s, z) справедливо не при всех s и z, как это

Заметим, что на заданном расстоянии x от переход-

и следует из вывода.

ного слоя T F (см. рис. 1) следует ожидать большее

Длина свободного пробега быстрых электронов

число электронов с фиксированной энергией, дви-

в сверхгорячей плазме (1) или соответствующая ей

жущихся под малым углом θ, т.е. электронов, ко-

безразмерная толща определяется формулой

торые прошли наименьшее расстояние, претерпев

минимальное число рассеяний. Иными словами,

s (z) = z².

(35)

следует ожидать, что функция распределения энер-

По этой причине в области энергий z >

√s на

гичных электронов резко анизотропна с максиму-

расстоянии s от переходного слоя имеется много

мом при μ = 1. Эти качественные соображения

электронов, практически не претерпевших рассея-

подтверждаются и решением, полученным в работе

ния, что и создает направленность потока быстрых

Гуревича и Истомина (1979). Таким образом, имеет

электронов. В то же время при z <

√s функция

смысл искать решение уравнения (27) в виде ряда

распределения мало отличается от изотропной.

по степенями малого параметра (1 - μ):

Будем считать для простоты (и это достаточно

ϕ(s_γ,z_γ,μ) = ϕ₀ (s_γ,z_γ) +

(28)

для нашего рассмотрения), что в области энергий

√s функция распределения изотропна и равна

+ ϕ1 (s_γ,z_γ)(1 - μ) + ϕ2 (s_γ,z_γ)(1 - μ)² + ...,

ϕ₀ (s,z) = z + 2s1/2.

(36)

где, в силу (26),

z_γ

Из выражения (34) следует, что функция рас-

ϕ₀ (s_γ,z_γ) = ϕ(s_γ,1,z_γ) =

s_γ .

(29)

пределения электронов экспоненциально убывает с

z_γ

глубиной проникания в холодную плазму. Тогда ее

Подставив (28) в (27) и приравняв члены с

направленность можно оценить следующим обра-

зом. Количество электронов с энергией z, прилета-

одинаковыми степенями (1 - μ), получим цепочку

ющих под углом θ в точку s

уравнений для функций ϕ_i (s_γ, z_γ ). Первые два

[

уравнения этой цепочки имеют вид

⁽1)21^]

N_e ∼ exp (-ξ/ξ_z) = exp

(37)

∂ϕ₀

ξ_T z μ

z_γ

- 2z_γ

- 2ϕ₁ = 0,

(30)

∂s_γ

∂z_γ

∫_x

где ξ =

n₂(x^′)dx^′ и ξ_T = l_T n₁. Рассмотрим

∂ϕ₀

∂ϕ₁

электроны с энергией E в области

−z_γ

+s_γ

- 2z_γ

(31)

(

)1/2

(

)1/2

∂s_γ

∂z_γ

k_BT₁

≤E ≤k_BT₁

+ k_BT₁. (38)

+ 2ϕ₁ + 2ϕ₁₂ - 8ϕ₂

= 0.

ξ_T

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№4

2019

286

ГРИЦЫК, СОМОВ

Они составляют большую часть всех электро-

функцией распределения, слабо взаимодействуют

нов, описываемых функцией (34), поскольку N_e ∼

с холодными электронами, поэтому, пренебрегая в

∼ e-E/kBT¹. Из (37) видно, что большинство элек-

уравнении (27) явной зависимостью от μ, получаем

тронов прилетает в точку ξ в растворе угла:

искомую функцию распределения в области 0 ≤ ξ ≤

≤ξ_T:

⁽k_BT₁)²

≲ μ.

(39)

ξ_T

ϕ(s,z) = z + 2

(41)

Оценив величину (k_BT₁/E)² из (38), получаем

Однако эта функция распределения не может быть

оценку направленности функции (34):

изотропной. Анизотропию ее можно учесть, если

приписать функцию (41) лишь тем электронам,

μ≳

(

)₂ .

(40)

которые еще не провзаимодействовали с холодной

1/2

ξ1/2 + ξ_T

плазмой, т.е. летящие под углом μ таким, что

Соотношение (40) свидетельствует о правомерно-

⁽k_BT₁)²

сти разложения (28) и, следовательно, о справед-

1>μ>

(42)

ξ_T

ливости решения (34) при ξ ≫ ξ_T .

В области 0 ≤ ξ ≤ ξ_T , примыкающей к переход-

Окончательно перепишем теперь функцию рас-

ному слою T F (рис. 1), функция распределения

пределения энергичных электронов в размерных

имеет иной вид. Электроны, описываемые этой

переменных. Получим

⎧

[

(

)]

(

)₂

⎪

k_BT₁

K exp -

+2^ξξ

cos θ >^ξξ

⎪

k_BT₁

⎪

(

)1/2

⎪

⎪ξ < aξT, E > kBT

ξ_T

⎨

[

(

)]

k_BT₁

K exp -

+2^ξξ

(2 - cos θ) +^ξξ

(1 - cos θ)²

f_v (ξ,E,θ) =

k_BT₁

(43)

⎪

(

)1/2

⎪

⎪cos θ ≳

ξ > aξ_T,E > k_BT

ξ_T

⎪

(ξ(2+ξT1/2)2

[

)]

⎪

(

)1/2

(

)1/2

^⎩K exp -^Ek

E <k_BT

B T1

ξ_T

Здесь K — нормировочная постоянная. Например,

слои плазмы (ξ₂, ξ₃, ξ₄ на рис. 2), вследствие ку-

в работе Грицыка и Сомова (2014) данная постоян-

лоновских рассеяний, их функция распределения

ная определяется из условия нормировки на плот-

убывает. Однако для частиц более высоких энергий

ность потока энергии, переносимой энергичными

и частиц с питч-углом cos θ ≃ 1 данный процесс

электронами. С помощью свободного параметра

происходит медленнее, что создает лишь неболь-

модели a можно задавать глубину проникания в

шую направленность (анизотропию) функции рас-

холодную плазму тепловых электронов больших

пределения сверхгорячих электронов.

энергий, начиная с которой сечение кулоновских

столкновений для таких частиц заметно возраста-

Используя (43) и выражения для сечения тор-

ет. Разумеется, это будет существенно влиять на

мозного излучения, можно рассчитать спектр и

величину поляризации рентгеновского излучения в

поляризацию тормозного жесткого рентгеновского

данной области энергий.

излучения, генерируемого потоком тепловых убе-

Функция распределения (43) учитывает эффект

гающих электронов во время вспышки. Расчет по-

диффузии по углам θ, т.е. рассеяние потока энер-

ляризации и сравнение полученных оценок с дан-

гичных электронов при кулоновских столкновениях

ными наблюдений имеют определяющее значение

с тепловыми электронами холодной плазмы. В этом

при проверке корректности модельного описания

можно убедиться, взглянув на рис. 2. Действи-

процессов распространения убегающих электро-

тельно, вблизи слоя T F , т.е. на границе (ξ₁ =

нов в атмосфере Солнца. Оценки величины поля-

= 0), функция (43) изотропна. По мере проникания

ризации, полученные в рамках предложенной здесь

тепловых убегающих электронов в более глубокие

тепловой модели, приведены в следующем разделе.

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№4

2019

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ

287

ξ₁

-10

ξ₂

-20

ξ₃

-30

ξ₄

-40

-50

-60

-70

%, keV

Рис. 2. Функции распределения тепловых убегающих электронов на различных толщах проникания в холодную

плазму: ξ1 = 0, ξ2 = 15 ξT , ξ3 = 50 ξT и ξ4 = 100 ξT . Расчеты выполнены в предположении, что температура источника

энергичных электронов T1 = 10⁸ К, параметр a = 10, нормировочная постоянная K = 1. Рассмотрены следующие

значения питч-угла: cos θ = 0.8 (левая панель) и cos θ = 1 (правая панель).

4. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ЖЕСТКОГО

Здесь ψ — угол между лучом зрения и направ-

РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

лением, перпендикулярным к магнитному по-

Воспользуемся функцией распределения (43)

лю; A, B и C — дифференциальные сечения

для расчета поляризации тормозного жесткого

тормозного излучения (Эльверт, Хауг,

1970),

рентгеновского излучения тепловых убегающих

L₀ = L₀(z,ξ) и L₂ = L₂(z,ξ) — коэффициенты

электронов. Пусть I_|| и I_⊥ — соответствующие по-

разложения функции распределения (43) в ряд

токи излучения исследуемого источника с поляри-

по полиномам Лежандра. Использование здесь

зацией параллельной и перпендикулярной плоско-

величины ξ очень удобно, поскольку позволяет

сти, образованной лучом зрения (направлением из

избежать необходимости делать предположения о

источника излучения на наблюдателя) и магнитным

распределении концентрации плазмы в мишени и

полем, у Земли. Тогда, согласно полученным в

протяженности рентгеновского источника. В (44)

работе Ночеры и др. (1985) формулам, для потока

и (45) верхний предел интегрирования по толще ξ

жесткого рентгеновского излучения имеем

источника равен бесконечности. Константа κ ∼

I_⊥ + I_|| =

(44)

∼ KS_HXR/R², где S_HXR — площадь источника

⎛

⎞

[

∞

излучения и R — расстояние от Земли до Солнца.

∫

Очевидно, величина поляризации

=κ 8

AC^⎝ L₀dξ⎠ zdz +

I_⊥ - I_||

hν

P =

(46)

⎛

⎞

∞

I_⊥ + I_||

∫

BC^⎝ L₀dξ⎠ zdz +

не зависит от конкретных значений указанной кон-

станты.

hν

⎛

⎞

∞

]

Результат расчета поляризации для различных

∫

12sin²ψ-8

значений угла ψ представлен на рис. 3. Степень по-

BC^⎝ L₂dξ⎠ zdz .

ляризации в рамках предложенной здесь тепловой

hν

модели небольшая, что обусловлено сравнительно

Величина

слабой анизотропией функции распределения (43).

∫∞

Действительно, в разделе 3 показано, что электро-

I_⊥ - I_|| = -

κsin²ψ BC ×

(45)

ны небольших энергий (E < k_BT₁(ξ/ξ_T )1/2) за счет

кулоновских столкновений очень быстро теряют

hν

⎛

⎞

свою энергию, а их функция распределения мало

∞

∫

отличается от изотропной. Такие частицы генери-

×^⎝ L₂dξ⎠ zdz.

руют почти неполяризованное жесткое рентгенов-

ское излучение. Напротив, энергичные электроны

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№4

2019

288

ГРИЦЫК, СОМОВ

= 90

= 45

100

h , keV

Рис. 3. Поляризация жесткого рентгеновского излучения, генерируемого тепловыми электронами, в зависимости от

энергии фотонов hν при различных значениях угла ψ. Расчеты выполнены в предположении, что температура T1 = 10⁸ К,

параметр a = 5 (левая панель) и a = 10 (правая панель).

с энергиями E > k_BT₁(ξ/ξ_T )1/2, почти не рассеи-

нах электромагнитного спектра с высоким времен-

ваясь, проникают на большие глубины в холодную

ным, пространственным и спектральным разреше-

плазму и обеспечивают некоторую анизотропию

нием — прекрасная основа как для исследования

функции распределения.

отдельных физических процессов, так и для по-

нимания механизма всей вспышки. Это сложное

На левой панели рис. 3 значения поляризации

электродинамическое явление в плазме высокой

излучения в области высоких энергий заметно пре-

проводимости с сильным магнитным полем сопро-

вышают аналогичные значения на правой. В пер-

вождается ускорением заряженных частиц, мощ-

вом случае оценки сделаны при a = 5, во втором —

ным нагревом плазмы до очень высоких температур

при a = 10 (см. выражение (43)). Данный результат

и, как следствие, процессом теплового убегания так

нетрудно объяснить, поскольку малые значения

называемых сверхгорячих электронов.

параметра a означают, что энергичные частицы

Кинетическое описание распространения уско-

сравнительно быстро (т.е. на малых толщах) на-

чинают рассеиваться, а их функция распределения

ренных электронов, основанное на приближении

модели толстой мишени с обратным током и учиты-

становится все более анизотропной (cos θ ≈ 1). Во

вающее дополнительное ускорение в коллапсиру-

втором случае аналогичный эффект достигается на

ющих магнитных ловушках (Грицык, Сомов, 2017),

б ольших толщах проникания горячих электронов

позволяет интерпретировать наблюдения вспышек

в холодную плазму, где, однако, количество энер-

в жестком рентгеновском диапазоне с точностью,

гичных частиц значительно снижается. Следует

соответствующей точности современных косми-

отметить, что интерпретация наблюдений тепло-

ческих экспериментов. Упомянутая самосогласо-

вой компоненты рентгеновского спектра вспышки

ванная нетепловая модель успешно применяется

мало зависит от выбора параметра a, поскольку

для описания распространения ускоренных элек-

в области энергий E_hν ≲ 20 кэВ предсказываемые

тронов с энергиями E ≳ 20 кэВ, формирующих

значения степени поляризации излучения также не

степенной спектр жесткого рентгеновского из-

зависят от a (ср. левую и правую панели на рис. 3).

лучения в области больших энергий. Напротив,

Принципиально важно, что функция распреде-

тепловые сверхгорячие электроны с энергиями

ления тепловых убегающих электронов остается

E ≲ 20 кэВ генерируют менее жесткое рентгенов-

почти равновесной и почти изотропной в хромо-

ское излучение со спектром, хорошо напомина-

сферной части мишени. Это проявляется в очень

ющим максвелловское распределение. По этой

малой степени поляризации тормозного жесткого

причине в настоящей работе рассмотрено распро-

рентгеновского излучения и подтверждает исход-

странение сверхгорячих электронов, убегающих

ные предположения нашей модели.

вдоль линий магнитного поля из области нагрева,

сверхгорячего пересоединяющего токового слоя

(super-hot RCL; Сомов, 2013) и коллапсирующих

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

магнитных ловушек, в атмосферу Солнца, область

Современные космические и наземные наблю-

менее горячей фоновой плазмы. Нами сформули-

дения солнечных вспышек в различных диапазо-

ровано и исследовано соответствующее кинети-

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№4

2019

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ

289

ческое уравнение, в котором учтены кулоновские

13.

Крукер и др. (S. Krucker, M. Battaglia, P. J. Cargill,

столкновения тепловых убегающих электронов с

et al.), Astron. Astrophys. Rev. 16, 155 (2008).

частицами плазмы, и найдено его аналитическое

14.

Литвиненко, Сомов (Yu.E. Litvinenko and

решение. На основе найденной функции распре-

B.V. Somov), Solar Phys. 131, 319 (1991).

деления тепловых убегающих электронов сделаны

15.

Мирошниченко (L.I. Miroshnichenko), Solar

оценки поляризации жесткого рентгеновского из-

Cosmic Rays, Fundamentals and Applications,

лучения, которая оказалась очень небольшой (P ∼

Sec. Ed. (Heidelberg: Springer, 2015).

∼ -5%). Экспериментальное подтверждение столь

16.

Ночера и др. (L. Nocera, Yu.I. Skrynnikov, and

низких значений поляризации остается вопросом

B.V. Somov), Solar Phys. 97, 81 (1985).

будущих космических наблюдений. Однако полу-

17.

Паркер (E.N. Parker), J. Geophys. Res. 62, 509

ченные в работе результаты уже сегодня могут

(1957).

быть использованы для интерпретации спектров

18.

Прист, Форбс (E.R. Priest and T. Forbes), Magnetic

теплового тормозного жесткого рентгеновского

Reconnection: MHD Theory and Applications

излучения вспышек. Наиболее аккуратное и пол-

(Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK, 2000).

ное кинетического описание солнечных вспышек

19.

Сакай, де Ягер (J.-I. Sakai and C. de Jager), Cosmic

необходимо в первую очередь с точки зрения

plasma physics (Dordrecht: Kluwer Acad. Publ.,

планируемых космических наблюдений солнечных

1996).

вспышек (см., например, Грефенстетте и др., 2016).

20.

Свит (P.A. Sweet), Nuovo Cimento Suppl. 8 Ser. 10,

Работа выполнена при финансовой поддержке

188 (1958).

гранта Российского фонда фундаментальных ис-

21.

Свит (P.A. Sweet), Ann. Rev. Astron. Astrophys. 7,

следований (грант 16-02-00585А).

149 (1969).

22.

Сомов Б.В., Изв. АН СССР. Сер. физ. 45, 576

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(1981).

23.

Сомов (B.V. Somov), Physical Processes in Solar

1. Ашванден

(M.J.

Aschwanden),

Particle

Flares (Dordrecht, London, 1992).

Acceleration and Kinematics in Solar Flares

(Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2002).

24.

Сомов (B.V. Somov), Cosmic Plasma Physics

2. Богачев С.А., Сомов Б.В., Письма в Астрон. журн.

(Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2000).

31, 601 (2005)

[S.A. Bogachev and B.V. Somov,

25.

Сомов (B.V. Somov), Plasma Astrophysics. Part

Astron. Lett. 31, 537 (2005)].

I: Fundamentals and Practice (New York: Springer

3. Богачев С.А., Сомов Б.В., Письма в Астрон. журн.

SBM, 2012).

33, 62 (2007)

[S.A. Bogachev and B.V. Somov,

26.

Сомов (B.V. Somov), Plasma Astrophysics, Part II:

Astron. Lett. 33, 54 (2007)].

Reconnection and Flares (New York: Springer SBM,

4. Владимиров В.С., Уравнения математической

2013).

физики (М.: Наука, 1981).

5. Грефенстетте и др. (B.W. Grefenstette, et al.),

27.

Сомов Б.В., Богачев С.А., Письма в Астрон. журн.

Astrophys. J. 826, 20 (2016).

29, 701 (2003)

[B.V. Somov and S.A. Bogachev,

6. Грицык П.А., Сомов Б.В., Письма в Астрон. журн.

Astron. Lett. 29, 621 (2003)].

40, 554 (2014) [P.A. Gritsyk and B.V. Somov, Astron.

28.

Сомов, Косуги (B.V. Somov and T. Kosugi),

Lett. 40, 499 (2014)].

Astrophys. J. 485, 859 (1997).

7. Грицык П.А., Сомов Б.В., Письма в Астрон. журн.

29.

Сыроватский С.И., Астрон. журн. 39, 987 (1962).

42, 586 (2016) [P.A. Gritsyk and B.V. Somov, Astron.

30.

Сыроватский С.И., Астрон. журн. 43, 340 (1966).

Lett. 42, 531 (2016)].

8. Грицык П.А., Сомов Б.В., Письма в Астрон. журн.

31.

Сыроватский С.И., Шмелева О.П., Астрон. журн.

43, 676 (2017) [P.A. Gritsyk and B.V. Somov, Astron.

49, 334 (1972).

Lett. 43, 614 (2017)].

32.

Уайлд (J.P. Wild), Proc. IAU Symp. 6, 115 (1963).

9. Гуревич А.В., Истомин Я.Н., ЖЭТФ 77, 983 (1979).

33.

Хадсон, Райан (H. Hudson and J. Ryan), Astrophys.

10. Джиованелли (R.G. Giovanelli), MNRAS 108, 163

J. 33, 239 (1995).

(1948).

34.

Эльверт, Хауг (G. Elwert and E. Haug), Solar Phys.

11. Дьяконов, Сомов (S.V. Diakonov and B.V. Somov),

15, 234 (1970).

Solar Phys. 116, 119 (1988).

35.

Эмсли и др. (A.G. Emslie, B.R. Dennis, R.P. Lin, and

12. Жаркова и др. (V.V. Zharkova, K. Arzner, A.O. Benz,

P. Browning, C. Dauphin, A.G. Emslie, L. Fletcher,

H. Hudson), High-Energy Aspects of Solar Flares

E.P. Kontar, et al.), Space Sci. Rev. 159, 357 (2011).

(New York: Springer-Verlag, 2012), p. 478.

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№4

2019