Письма в ЖЭТФ, том 117, вып. 12, с. 894 - 900

Глюонная аномалия и нарушение правила Цвейга

А. А. Осипов¹⁾

Объединенный институт ядерных исследований, 141980 Дубна, Россия

Поступила в редакцию 21 марта 2023 г.

После переработки 5 мая 2023 г.

Принята к публикации 5 мая 2023 г.

Хорошо известно, что глюонная аномалия сообщает массу U(1) голдстоуновскому бозону. Здесь мы

обращаем внимание на другую ее особенность, которая проявляется в свойствах псевдоголдстоуновских

состояний: глюонная аномалия в следующем порядке 1/Nc разложения индуцирует взаимодействия, на-

рушающие правило Цвейга. Необходимым условием для этого является явное нарушение киральной

симметрии массами легких кварков. Одно из физических следствий - вывод, что η-η^′ смешивание не

влияет на амплитуду η → 3π. Другое - подавление первой 1/Nc-поправки к углу η-η^′ смешивания. По-

дробно обсуждается механизм такого подавления. Наши выводы основываются на 1/Nc разложении и

эффективном мезонном лагранжиане модели Намбу-Иона-Лазинио. Проводится сравнение с результа-

тами 1/Nc киральной теории возмущений.

DOI: 10.31857/S1234567823120042, EDN: evdgis

В физических свойствах псевдоскалярного ноне-

ли в киральной динамике адронов. Примером такого

та мезонов η^′, η, K, π удивительным образом пере-

подхода служит 1/N_c киральная теория возмущений

плетены эффекты спонтанного, явного и аномаль-

(1/N_cχТВ) [4-7], где при построении эффективного

ного нарушения киральной U(3)_L × U(3)_R симмет-

мезонного лагранжиана предполагается, что массы

рии. Спонтанное нарушение симметрии сопровожда-

легких (токовых) кварков m_i (i = u, d, s), а также

ется появлением кваркового конденсата и, как след-

квадраты импульсов имеют порядок 1/N_c. Первые

ствие, возбуждением безмассовых голдстоуновских

два шага такого разложения L = L⁽⁰⁾ + L⁽¹⁾ имеют

мод. Благодаря явному нарушению симметрии нену-

порядок (1/N_c)⁰ и (1/N_c)¹ соответственно и не со-

левыми массами легких u, d и s кварков, голдсто-

держат киральных логарифмов, которые возникают

уновские моды приобретают массу. Глюонная анома-

только на следующем шаге разложения лагранжиа-

лия нарушает аксиальную U(1)_A симметрию, в ре-

на псевдоголдстоуновских полей.

зультате в теории отсутствует сохраняющийся U(1)

Недавно было замечено [8-11], что аналогич-

заряд, а также легкая изоскалярная частица L с

ное разложение может быть осуществлено в рам-

квадратом массы m^2L ≤ 3m^2π [1]. Для последователь-

ках кварковой версии модели Намбу-Иона-Лазинио

ной теоретической картины не менее важно понять

(НИЛ) [12, 13]. Одной из важных особенностей мо-

каким образом указанные выше процессы взаимосвя-

дели является механизм генерации тяжелых (состав-

заны между собой и как эта взаимосвязь отражается

ляющих) масс кварков M_i (i = u, d, s), что позволяет

в наблюдаемых свойствах псевдоскаляров.

использовавать ее в качестве эффективной теории

Известно, что качественно верная картина адро-

для КХД при низких энергиях. Вершины эффек-

нов возникает в квантовой хромодинамике (КХД) в

тивного мезонного лагранжиана получаются в ре-

приближении больших значений N_c, где N_c - число

зультате вычисления однопетлевых кварковых диа-

цветовых степеней свободы кварк-глюонной системы

грамм [14, 15]. Поскольку массы составляющих квар-

[2, 3]. Один из способов продвинуться в количествен-

ков велики, при вычислении кварковой петли мож-

ном описании - сформулировать правила N_c-счета

но ограничиться первыми членами разложения по

внутри конкретной эффективной теории. Это позво-

степеням 1/M²ⁱ, что удобнее всего осуществить, вос-

ляет перейти от рассмотрения предела больших N_c к

пользовавшись методом собственного времени Фока-

разложению по степеням 1/N_c и, как следствие, клас-

Швингера. В случае неравных масс кварков M_u =

сифицировать вершины мезонного лагранжиана по

= M_d = M_s, происходит перестройка ряда по сте-

степени их важности, а значит, и отведенной им ро-

пеням собственного времени, что связано с исполь-

зованием ряда Вольтерры. Последний позволяет по-

¹⁾e-mail: aaosipov@jinr.ru

следовательно выделить эффекты явного наруше-

894

Письма в ЖЭТФ том 117 вып. 11 - 12

2023

Глюонная аномалия и нарушение правила Цвейга

895

ния киральной симметрии при разложении кварко-

Константы G_S и G_V характеризуют силу

вой петли [16-18]. Таким образом, модель НИЛ поз-

U (3)_L × U(3)_R кирально симметричных четырех-

воляет описать взаимосвязь эффектов спонтанного

кварковых взаимодействий спина

и 1 соответ-

и явного нарушения киральной симметрии важных

ственно. Они, в отличие от поля (2), размерны

при построении эффективного мезонного лагранжи-

[G_S,V ] = M^-2, и при больших значениях N_c убыва-

ана. Такой подход, в частности, автоматически, т.е.

ют, как O(1/N_c).

без каких-либо дополнительных киральных разло-

Размерный коэффициент λ_U = O(N^0c) в лагран-

жений, позволяет получить результат Гелл-Манна-

жиане (1) является топологической проницаемостью

Оакса-Ренера, утверждающий, что квадрат массы

чисто глюонной теории [λ_U ] = M⁴. Эта часть L_φ2

псевдоскалярной частицы пропорционален величине

следует из выражения, возникающего в результате

кваркового конденсата и сумме токовых масс квар-

учета квантовых флуктуаций плотности топологиче-

ков (см. [8]).

F^aµνFaµν, которые описыва-

π²

В данной заметке я хочу обратить внимание на

ются лагранжианом

новое интересное проявление аномального наруше-

(

)

ния U(1)_A симметрии в спектре нейтральных псевдо-

L^(0)Q =

Q²(x) +

Q(x)tr

ln U - ln U^†

(4)

λ_U

скаляров, суть которого заключается в следующем.

В теории с явно нарушенной киральной симметри-

Его причастность к решению U(1) проблемы подроб-

ей глюонная аномалия индуцирует вклады, наруша-

но исследовалась в работах [19-22]. В частности,

ющие правило Окубо-Цвейга-Иизуки (ОЦИ). Как

воспользовавшись уравнением движения поля Q(x)

будет показано ниже, это приводит к частичному

можно исключить плотность топологического заря-

подавлению эффекта явного нарушения киральной

да в (4) и придти к лагранжиану

симметрии в амплитуде η → 3π, а также заметному

λ_U

[

(

)]₂

уменьшению 1/N_c-поправки к углу η-η^′ смешивания.

L^(0)Q → L_U(1) =

ln U - ln U^†

(5)

В качестве отправной точки рассмотрим сво-

бодный лагранжиан нейтральных членов псевдоска-

который явно нарушает U(1)_A симметрию и после

лярного нонета, который возникает из вычислений

подстановки U = e^iφ приводит к последнему слагае-

кварковых однопетлевых диаграмм, и дополнитель-

мому в (1). В модели НИЛ лагранжиан (5) исполь-

но учтем вклад аксиальной U(1)_A аномалии

зовался, например, в работе [14].

[

]

Поскольку непротиворечивое решение U(1) про-

∑

κ_Aii

M_im_i

λ_U

L_φ2 =

(∂_µφ_i)² -

φ²

φ²⁰.

(1)

блемы достигается в рамках 1/N_c разложения КХД,

16G_V

4G_S

i=u,d,s

представляется разумным взглянуть на эффектив-

ный мезонный лагранжиан (1), с той же точки зре-

Здесь φ_i - голые полевые функции, являющиеся диа-

ния. Это возможно, если мы воспользуемся прави-

гональными компонентами нелинейного псевдоска-

∑

лами счета, предложенными в работах [4, 5]. Дей-

лярного поля U = e^iφ, φ =_r φ_rλ_r, принадлежаще-

ствительно, малые параметры низкоэнергетического

го u(3) алгебре Ли, с базисом λ_r, r = 0, 1, 2 . . ., 8, где

√

лагранжиана (1) удобно объединить в один параметр

λ₀ =

2/3, а остальные семь составляют стандарт-

δ, положив 1/N_c ∼ δ, ∂² ∼ δ и m_i ∼ δ. Мы видим,

ный набор SU(3) матриц Гелл-Манна. В дальней-

что все три члена в (1) имеют одинаковый порядок

шем, говоря о нейтральных компонентах, мы исполь-

по δ (если κ_Aii, M_i, φ_r ∼ δ⁰) и отвечают лидирующе-

зуем либо октет-синглетный базис (λ₀, λ₈, λ₃), либо

му вкладу ∼ δ⁰.

флейворный (λ_u, λ_d, λ_s)

В этом случае модель НИЛ позволяет продви-

∑

нуться дальше и извлечь из (1) 1/N_c-поправку к ли-

φ= φ_aλ_a = φ_iλ_i.

(2)

a=0,8,3

i=u,d,s

дирующему вкладу. Для этого достаточно восполь-

зоваться уравнением щели, которое связывает массы

Связь между ними имеет вид

легких токовых кварков m_i с массами тяжелых со-

√

ставляющих кварков M_i. Поскольку решением урав-

λ₃

2λ₀ + λ₈

λ_u =

√

= diag(1, 0, 0),

нения щели в данном случае будет ряд Тейлора по

√

степеням δ, вычисление первой поправки сведется к

λ₃

2λ₀ + λ₈

определения линейного по m_i члена в разложении

λ_d = -

√

= diag(0, 1, 0),

M_i = M₀ + am_i + O(m²ⁱ), где M₀ = O(δ⁰) - масса

√

λ₀ -

2λ₈

конституентного кварка в пределе N_c

→ ∞, и после-

λ_s =

√

= diag(0, 0, 1).

(3)

дующей подстановки данного результата в (1).

Письма в ЖЭТФ том 117 вып. 11 - 12

2023

896

А. А. Осипов

Подчеркнем существенное отличие данного под-

Рассмотрим кинетическую часть лагранжиана

хода от стандартного. При стандандартном рассмот-

(1), которая после переопределения переменных

рении предполагается, что m_i ∼ δ⁰. Решением урав-

нения щели будет вся функция M_i(m_i), а вычисление

φ_i = f^-1i φ^Ri

(8)

1/N_c-поправки потребует рассмотрения киральных

примет канонический вид. Новые переменные отме-

логарифмов, что подразумевает существенную моди-

чены индексом R и, как легко видеть, имеют размер-

фикацию модели НИЛ, которая, как было отмечено

ность массы, которую константам f_i сообщает раз-

в [23], может оказаться теоретически необоснованной

мерный параметр G_V

процедурой. Однако, если m_i = O(1/N_c), то вклад

киральных логарифмов начинается только с порядка

(m_i/N_c) ln m_i ∼ δ², т.е. с третьего шага разложения

f_i =

√ κ_Aii = O(√N_c).

(9)

4G_V

по степеням δ. Именно с этим обстоятельством свя-

зана возможность гарантированного использования

В результате получаем

эффективного лагранжиана 1/N_c-модели НИЛ для

∑

оценки масс и других характеристик псевдоскаляр-

L_kin =

(∂_µφ^Ri)² =

(∂_µφ^Ra)².

(10)

ного нонета мезонов в приближении O(δ). И именно

i=u,d,s

a=0,3,8

в этом случае ряд Вольтерры играет основную роль

в описании эффектов явного нарушения киральной

где связь компонент φ_u,d,s с компонентами φ_0,3,8, так

симметрии.

же как и связь между компонентами φ^Ru,d,s и φ^R0,3,8,

Диагональные элементы матрицы κ_A в (1) имеют

легко определяется из формулы (2).

вид

Особенностью перехода от голых полей φ_a к по-

лям φ^Ra, как несложно выяснить, является возникно-

(κ_A)^-1ii = 1 +

(6)

N_cG_V M²ⁱJ₁(M_i)

вение примеси, а именно, голые поля представляют

суперпозицию из новых полей, и наоборот

где J₁(M) - логарифмически расходящаяся часть од-

нопетлевой кварковой диаграммы

(

)

φ^R0

)φ^R3

( 1

φ^R8

(

)

φ₀ =

√

√ ,

Λ²

f₀

f_u

f_d

f_u

f_d

f_s

J₁(M) = ln

(7)

(

)

(

)

M²

Λ² + M²

φ^R8

φ^R3

φ^R0

φ₈ =

√

√ ,

f₈

f_u

f_d

f_u

f_d

f_s

Здесь используется регуляризация через обрезание

(

интегралов по собственному времени. Ковариантный

φ^R3

) φR8 +√2φR0

φ₃ =

√

(11)

параметр обрезания Λ входит также и в уравнение

f₃

f_u

f_d

щели, и поэтому является характерным масштабом

где

спонтанного нарушения киральной симметрии. Счи-

тается, что Λ = 4πf_π ≃ 1.1 ГэВ [24]. Более подробную

(

)

f^-10 =

f^-1u+f^-1d+f^-1s

информацию о деталях получения приведенных вы-

ше выражений можно найти в работах [9, 11, 18].

(

)

f^-18 =

f^-1u+f^-1d+4f^-1s

Заметим, что если воспользоваться правилами

счета, принятыми в 1/N_cχТВ, лидирующий порядок

(

)

f^-13 =

f^-1u+f^-1d

(12)

членов лагранжиана (1) равен (1/N_c)⁰. В этом поряд-

ке наш лагранжиан полностью совпадает с лагран-

Очевидно, что примешивание происходит только за

жианом L⁽⁰⁾ в 1/N_cχТВ, низкоэнергетические кон-

счет явного нарушения киральной симметрии, как

станты которого могут быть выражены через па-

изоспиновой, так и SU(3)_f флейворной. Отсюда сле-

раметры модели НИЛ. Второе замечание касается

дует, что при переходе к новым полевым переменным

структуры выражения в квадратных скобках. Оно

аномальная часть лагранжиана (1), помимо лидиру-

имеет диагональную форму в кварк-флейворном ба-

ющего вклада ∼ (φ^R0)², даст вклады порядка 1/N_c,

зисе и при отсутствии U(1)_A аномалии нейтральные

которые типичны для взаимодействий, нарушаюших

поля были бы чистыми флейворными состояниями.

правило ОЦИ.

Присутствие аномалии кардинально меняет ситуа-

Действительно, в этом порядке 1/N_c разложения

цию, а именно, требует диагонализации массовой ча-

присутствует ОЦИ, нарушающее взаимодействие [22]

сти лагранжиана, и, как следствие, перехода к новым

полевым функциям, которые мы будем ассоцииро-

√

(1)

6Q(x)

λ_Z tr[χ(U - U^†)] ,

(13)

вать с октет-синглетным базисом.

λ_U

Письма в ЖЭТФ том 117 вып. 11 - 12

2023

Глюонная аномалия и нарушение правила Цвейга

897

которое после подстановки решения уравнения дви-

где мы ввели обозначение λ2η = λU/F2. Величина

жения для поля Q(x), найденное из (4), примет сле-

константы слабого распада пиона в киральном пре-

√

дующий вид [25]

деле равна F =

κ_A0/(4G_V ), здесь κ_A0 - киральный

предел для константы (6). В формуле также исполь-

iλ_Z

[

(

)]

L^(1)Q → L_OZI =

√ tr(φ) tr

U -U^†

(14)

зуется стандартное обозначение для среднего значе-

ния масс нестранных кварков m = (m_u +m_d)/2. Кон-

где λ_Z = O(N^0c) - размерная константа [λ_Z ] = M²,

станта

а матрица χ = 2Bm явно нарушает SU(3) × SU(3)

2G_V M₀

M₀

〈qq〉₀

симметрию и имеет вид

B₀ =

(20)

)

G_Sκ_A0

2G_SF²

F²

4G_V

(M_um_u

M_dm_d

M_sm_s

χ=

diag

(15)

G_S

κ_Auu

κ_Add

κ_Ass

выражается через массу составляющего кварка M₀

в киральном пределе. Последняя определяется из

В этом случае лидирующий член разложения по мас-

разложения в ряд по 1/N_c нетривиального решения

сам легких кварков совпадает с известным выраже-

уравнения щели M_i(m_i), где нам требуются только

нием киральной теории возмущений χ = 2B₀m +

два первых члена M_i(m_i) = M₀ +am_i +O(1/N^2c). Ко-

+O(m²). Важно, что взаимодействие (14) не ассоци-

эффициент a = π²/(N_cG_SM²⁰J₁(M₀)) [10]. Величи-

ируется с глюонной аномалией, т.е. имеет самосто-

на кваркового конденсата 〈qq〉₀ также отвечает слу-

ятельное значение. Его квадратичная часть ведет к

чаю безмассовых токовых кварков. Формулы (19)

смешиванию синглетной компоненты с диагональны-

хорошо известны. В частности, их диагонализация

ми членами октета

приводит к массе η-мезона m_η

= 494 МэВ, кото-

∑

G_V

M_im_i

L_OZI → -8λ_Z φ₀

φ_i,

(16)

рая значительно ниже феноменологического значе-

G_S

(κ_A)_ii

i=u,d,s

ния m_η = 548 МэВ. Поэтому необходимо сделать сле-

дующую шаг в разложении по 1/N_c.

и поэтому будет интерферировать с соответствую-

Первая поправка к результату (19) имеет вид

щим вкладом глюонной аномалии.

Чтобы установить, как такая интерференция от-

[

]

2B₀

δ_M

ражается на спектре псевдоголдстоуновских состоя-

Δµ²⁰⁰ =

(2 m² + m^2s)

- 2Δ_N (2 m + m_s) ,

M₀

ний, обратимся к массовой матрице

√

[

]

δ_M

∑

Δµ²⁰⁸ =

B₀(m_s - m) Δ_N - (m_s + m)

L_m = -

φ^RaM^2abφ^Rb.

(17)

M₀

a=0,8,3

2B₀

Δµ²⁸⁸ =

( m ² + 2m^2s)δ_M,

Используя вышеприведенные формулы, представим

3M₀

результат в виде суммы лидирующего вклада и пер-

2B₀

Δµ²³³ =

m²δ_M,

вой 1/N_c поправки к нему L_m = L^m0) + L^m1)

M₀

√

(

)

δ_M

M^2ab = µ^2ab + Δµ^2ab + O(1/N^3c).

(18)

Δµ²⁰³ =

B₀(m_d-m_u) Δ_N - 2 m

√

M₀

Обратим внимание, что поля φ^Ra = O(

N_c). Это сле-

дует из формул (8) и (9). Поэтому разложение (18),

Δµ²³⁸ = -√

B₀ (m^2d-m^2u)δ_M ,

(21)

3 M0

содержащее члены порядка 1/N^2c, не превышает точ-

ности проводимых здесь вычислений.

где

a-δ_M

√

λ_Z

Основной вклад порядка 1/N_c имеет вид

Δ_N ≡ λ_U G

-2

(22)

^S 2M²

F²

µ²⁰⁰ =

B₀ (2 m + m_s) + λ^2η,

[

]

µ²⁸⁸ =

B₀ ( m + 2m_s),

Λ⁴J₁(M₀)^-1

a - δ_M = 2a(1 - κ_A0) 1 -

(23)

(Λ² + M²⁰)2

µ²³³ = 2B₀ m,

√

Поясним происхождение вкладов в формуле (21).

µ²⁰⁸ = -2

B₀ (m_s - m),

Члены, выживающие в пределе Δ_N = 0, происходят

√

от разложения в ряд по степеням 1/N_c

массовой ча-

µ²⁰³ = -

B₀ (m_d - m_u),

сти лагранжиана (1), где предварительно необходи-

мо перейти к полевым функциям φ^Ra. Этот результат

µ²³⁸ = -√

B₀ (m_d - m_u),

(19)

с точностью до общего множителя совпадает с ре-

Письма в ЖЭТФ том 117 вып. 11 - 12

2023

898

А. А. Осипов

зультатом аналогичных вычислений в 1/N_cχТВ [26].

φ^R3 = π⁰ - ǫη - ǫ^′η^′,

Связь между множителями имеет вид

φ^R8 = (ǫ cosθ + ǫ^′ sinθ)π⁰ + cosθη + sinθη^′,

δ_M

B₀

φ^R0 = (ǫ^′ cosθ - ǫ sinθ)π⁰ - sinθη + cosθη^′.

(27)

↔ 16

(2L₈ - L₅) .

(24)

M₀

F²

Поскольку массовая матрица (18) представляет

Поправки, индуцированные аксиальной аномали-

собой сумму двух вкладов, отвечающих лидирую-

ей, в формуле (21) пропорциональны λ_U и собраны

щему приближению и первой поправки к нему, уг-

в Δ_N. Вклад в Δµ²⁰⁰ связан с учетом 1/N_c поправки

лы ортогонального преобразования (27) следует ис-

в константу f₀. Другие два вклада в Δµ²⁰⁸ и Δµ²⁰³ -

кать в виде такого же разложения: θ = θ₀ + Δθ,

эффект присутствия октетных компонент φ^R8 и φ^R3 в

ǫ = ǫ₀ + Δǫ, и ǫ^′ = ǫ^′0 + Δǫ^′. Здесь углы θ₀, ǫ₀ и ǫ^′0

голом синглетном поле φ₀, что описывается форму-

имеют порядок N^0c. Они отвечают за диагонализа-

лой (11). Таким образом аномалия, благодаря явно-

цию основного вклада. 1/N_c поправки к ним Δθ, Δǫ

му нарушению киральной симметрии, приводит к до-

и Δǫ^′ обеспечивают диагональность массовой матри-

полнительному вкладу в коэффициент Δ_N , который

цы, в которой учтены и первые поправки. Очевидно,

в противном случае определялся бы только взаимо-

что и собственные значения массовой матрицы m^2η′ ,

действиями, нарушающими правило ОЦИ. Послед-

m^2η и m2π0, которые мы получим в результате орто-

ние, как мы уже отмечали, не связанны с аксиальной

гонального поворота (27), имеют аналогичный вид:

аномалией. Сравнивая полученные здесь выражения

m^2η = µ^2η +Δµ^2η, m^2η′ = µ^2η′ +Δµ^2η′, и m^2π0 = µ³³ +Δµ³³,

Δµ²⁰⁸, Δµ²⁰³ с аналогичными формулами в [26], мож-

где

но установить соответствие

[

√

]

µ^2η,η′ =¹

µ²⁰⁰+µ²⁸⁸∓

(µ²⁰⁰ -µ²⁸⁸)² +4µ

Δ_N ↔ -ρ/2 = Λ₁/2 - Λ₂ + 4L₅M²⁰/F²⁰,

(25)

Δµ^2η,η′ =

Δµ²⁰⁰ + Δµ²⁸⁸ ∓

где в правой части сохранены обозначения работы

)

(µ²⁰⁰ -µ²⁸⁸)(Δµ²⁰⁰ -Δµ²⁸⁸) + 4µ²⁰⁸Δµ²⁰⁸

[26]. Не следует путать используемое там обозначе-

∓

√

(28)

ние M₀ для массы синглета (которая у нас обозначе-

(µ²⁰⁰ -µ²⁸⁸)² +4µ⁴

на, как λ_η) с массой составляющего кварка в кираль-

Мы не будем останавливаться на всех деталях

ном пределе, используемой здесь. В модели НИЛ

фиксации параметров модели. Это было сделано в

константа Λ₁ = 0. Другой параметр Λ₂ совпадает

√

работах [10, 11], исходя из спектра заряженных псев-

с используемой здесь величиной 2

6λ_Z /F². Третье-

доскаляров. Результаты собраны в двух приведен-

му слагаемому в (25) в точности соответствует наше

ных здесь табл. 1, 2. Отметим лишь, что рассмотре-

выражение

ние нейтральных псевдоскаляров потребовало при-

влечения двух новых констант λ_U и λ_Z , величины

4L₅M²⁰

4λ^2η (a - δ_M)F²

a-δ_M

↔

=λ_UG_S

(26)

которых мы определяем исходя из эксперименталь-

F²⁰

F²

16B₀M₀

2M²

ных значений масс η и η^′ мезонов. В результате на-

Отсюда следует, что эффект, обсуждаемый здесь,

ходим: λ_U = (285 МэВ)⁴ и λ_Z = (27.7 МэВ)². Теперь

имеет место и в 1/N_cχТВ, т.е. генерация посредством

убедимся, что параметр Δ_N , имеющий порядок 1/N_c,

аксиальной аномалии вкладов, нарушающих прави-

остается малым и при конечном значении N_c = 3. Его

ло ОЦИ, - общее свойство любой эффективной тео-

величина определяется разностью (22), что численно

рии с явно нарушенной киральной симметрией.

равно Δ_N = 0.82 - 0.46 = 0.36. Это разумная оценка.

Чтобы сделать количественные оценки, необходи-

Заметим, что в 1/N_cχТВ Δ_N = 1, т.е. наблюдается

мо диагонализовать массовую матрицу M^2ab. Смеши-

существенная рассогласованность 1/N_c-разложения.

вание φ^R3 с полями φ^R8 и φ^R0 происходит за счет нару-

Обсудим роль вкладов, связанных с глюонной

шения изоспиновой симметрии. В первом порядке по

аномалией, при расчете 1/N_c поправок к массам ней-

разности масс m_d -m_u оно устраняется поворотом на

тральных псевдоскаляров. Начнем с величины 1/N_c

малые углы ǫ и ǫ^′ соответственно. Смешивание ком-

поправки к углу η-η^′ смешивания Δθ. Она была вы-

понент φ^R0 и φ^R8 - результат нарушения SU(3)_f сим-

числена в работе [26] в 1/N_cχТВ. Оказалось, что

метрии. Для его устранения необходимо осуществить

результат основного приближения θ₀ = -18.6^◦, по-

поворот на угол θ. С точностью до первого порядка

сле учета 1/N_c поправки уменьшается до величины

по нарушению изотопической симметрии преобразо-

θ₀ +Δθ = -10^◦. Такое значительное снижение ставит

вание нейтральных компонент к физическим состо-

под сомнение предсказательную силу 1/N_c разложе-

яниям π⁰, η и η^′ имеет вид

ния.

Письма в ЖЭТФ том 117 вып. 11 - 12

2023

Глюонная аномалия и нарушение правила Цвейга

899

Таблица 1. Для фиксации шести параметров модели Λ, G_S , G_V , mu, md, и ms используются массы π⁰, π^±, K⁰ K^± мезонов,

величина константы распада пиона fπ и обрезание Λ. Электромагнитные поправки к массам заряженных частиц учитывают

отклонения от теоремы Дашена, возникающее в следующем порядке 1/Nc разложения. С этой целью мы дополнительно ис-

пользовали экпериментальное значение константы f_K , а также феноменологические данные по ширине распада η → 3π. Все

[

]

единицы, за исключением [Λ] = ГэВ,

G_S,V

= ГэВ^-2 и безразмерных констант a и δ_M , приведены в МэВ

G_S G_V mu md ms M0

-〈qq〉^1/30

Mu Md Ms

fπ

f_K

δ_M

1.1

6.6

7.4

2.6

4.6

274

275

283

290

567

90.5

92.2

111

0.67

3.50

Таблица 2. В первой строке, вариант (a), приводится результат диагонализации лидирующего вклада углами θ₀, ǫ₀ and ǫ^′0.

Кварковые массы приведены в МэВ, θ в градусах, а углы ǫ и ǫ^′ - в радианах. Величина константы λ^2η (в ГэВ²) определена

по экспериметальному значению массы η^′ мезона. Во второй строке, вариант (b), учтены 1/Nc поправки (в том числе и при

извлечении значений легких масс кварков). Параметры λ^2η и Δ_N , фиксируются по феноменологическим значениям масс η и η^′

мезонов

mu md ms λ^η ΔN

θ₀

Δθ

ǫ₀

Δǫ

ǫ^′

ǫ^′0

Δǫ^′

(a)

2.6

4.6

0.671

-19.7^◦

0.0187

0.0033

(b)

2.6

4.6

0.805

0.36

-15.76^◦

-14.97^◦

-0.79^◦

0.0114

0.0177

-0.0063

0.0021

0.0033

-0.0012

Как видно из табл.2, угол θ₀ = -15.0^◦, получае-

которую дают наши вычисления, согласуется с ре-

мый в модели НИЛ, близок к указанной выше оцен-

зультатом ǫ₀ ≃ 2ǫ₀, полученным Лойтвилером при

ке [26]. С другой стороны, 1/N_c-поправка, получен-

величине угла смешивания θ₀ ≃ -22^◦ [5], а также с

ная нами, мала Δθ = -0.8^◦. Ее небольшая величина

результатом ǫ₀ = 0.017 ± 0.002 [28]. Все эти оценки

- результат вклада аксиальной аномалии. Действи-

сделаны при одинаковых предположениях: использо-

тельно, из наших вычислений следует, что

вание теоремы Дашена и учет η-η^′ смешивания. Та-

[

(

)

кая большая величина ǫ₀ делает теоретическое значе-

δ_M

tg 2θ₀

Δθ =

sin 4θ₀

(m_s + m)

√

ние ширины распада η → 3π неприемлемо большим.

M₀

(

)]

Этот эффект анализировался в работе [5] в рамках

m_s + 2 m

- Δ_N

√

tg 2θ₀

лидируещего приближения 1/N_cχТВ, где, в частно-

2 ms

- m

сти, было высказано предположение, что проблема

= -0.056 + 0.042 = -0.014.

(29)

может быть решена за счет учета 1/N_c поправки. По-

кажем, что это действительно имеет место, причем

Таким образом, вклад второго слагаемого ∼ Δ_N (где

главную роль здесь опять играет аксиальная анома-

доминирует вклад, связанный с аксиальной аномали-

лия.

ей) существенно снижает величину поправки.

Вклад в угол Δǫ формируется за счет трех сла-

В качестве второго примера рассмотрим извест-

∑

гаемых Δǫ =_i=1,2,3 Δǫ_i. Первое пропорционально

ную проблему [5], которая возникает при вычисле-

Δθ и поэтому пренебрежимо мало

нии углов ǫ и ǫ^′ в лидирующем порядке теории. Сра-

зу заметим, что на этом шаге модель НИЛ приво-

√

дит к тем же формулам, которые были получены в

2 - ctgθ₀

Δǫ₁ = -Δθǫ^′0

√

= 2.0 · 10^-4.

(32)

1/N_cχТВ [5]:

2 + tgθ₀

√

cosθ₀ -

2sinθ₀

ǫ₀ = ǫ₀ cosθ₀

√ ,

Второе связано с поправками от разложений кон-

cosθ₀ + sinθ₀/

стант и масс конституентных кварков. Такая поправ-

√

sin θ₀ +

2cosθ₀

ка пропорциональна δ_M и в данном случае имеет вид

ǫ^′

= ǫ0 sinθ₀

√ ,

(30)

sin θ₀ - cos θ₀/

[

)]

δ_Mǫ₀

(sin2θ₀

где угол π⁰-η смешивания ǫ₀ был вычислен в работе

Δǫ₂ = -

m_s- m+(m_s+ m)

√

-sin²

θ₀

M₀

Гросса, Треймана и Вильчека [27] в пренебрежении

= -0.145ǫ₀.

(33)

η-η^′ смешиванием

√

3m_d -m_u

ǫ₀ =

= 0.011.

(31)

Третье слагаемое описывает вклад взаимодействия

m_s - m

нарушающего правило ОЦИ, а также вклад акси-

Учет η-η^′ смешивания значительно увеличивает ве-

альной аномалии через явное нарушение киральной

личину угла ǫ₀ по сравнению с ǫ₀. Оценка ǫ₀ = 0.018,

симметрии

Письма в ЖЭТФ том 117 вып. 11 - 12

2023

7^∗

900

А. А. Осипов

[

√

H. Leutwyler, Phys. Lett. B 374, 163 (1996).

Δǫ₃ =

2Δ_N ǫ₀ sinθ₀

√

+ cosθ₀ ×

cosθ₀ -

2 sinθ₀

H. Leutwyler, Phys. Lett. B 374, 181 (1996).

(

)]

3msinθ₀

R. Kaiser and H. Leutwyler, Eur. Phys. J. C 17, 623

× 1+

√

(2000).

(m_s - m)(sin θ₀ +

2cosθ₀)

P. Herrera-Siklódy, J. I. Latorre, P. Pascual, and

= -0.222ǫ₀.

(34)

J. Taron, Nucl. Phys. B 497, 345 (1997).

В сумме ǫ = ǫ₀ + Δǫ это ведет к фактору, который

A. A Osipov, JETP Lett. 115(6), 30 (2022).

восстанавливает результат работы [27]

A. A. Osipov, JETP Lett. 115, 371 (2022).

10.

A. A. Osipov, arXiv:hep-ph/2302.14118 (2023).

ǫ = ǫ₀(1 - 0.367) = 0.011 ≃ ǫ₀.

(35)

11.

A. A. Osipov, arXiv:hep-ph/2303.01865 (2023).

Из приведеннных оценок видно, что основную роль в

12.

Y. Nambu and G. Jona-Lasinio, Phys. Rev. 122, 345

(1961).

восстановлении результата [27] играет вклад глюон-

ной аномалии, которая через описанный выше меха-

13.

Y. Nambu and G. Jona-Lasinio, Phys. Rev. 124, 246

(1961).

низм подавляет влияние η-η^′ смешивания на ампли-

14.

M. K. Volkov, ЭЧАЯ 17, 432 (1986).

туду распада η → 3π, которая, как известно, пропор-

15.

D. Ebert and H. Reinhardt, Nucl. Phys. B 271, 188

циональна ǫ. Это объясняет, почему в данном процес-

(1986).

се эффект нарушения изоспиновой симметрии мал,

16.

A. A. Osipov, JETP Lett. 113(6), 413 (2021).

хотя рассмотрение лидирующего приближения ука-

17.

A. A. Osipov, Phys. Lett. B 817, 136300 (2021).

зывает на обратное.

18.

A. A. Osipov, Phys. Rev. D 104(10), 105019 (2021).

В заключение хочу подчеркнуть, что описан-

19.

G. Veneziano, Nucl. Phys. B 159, 213 (1979).

ный здесь механизм подавления глюонной аномали-

ей эффектов, связанных с нарушением флейворной

20.

C. Rosenzweig, J. Schechter, and G. Trahern, Phys. Rev.

D 21, 3388 (1980).

и изотопической симметрий, имеет общий характер,

несмотря на то, что все рассуждения здесь прово-

21.

P. Di Vecchia and G. Veneziano, Nucl. Phys. B 171, 253

(1980).

дились в рамках 1/N_c модели НИЛ. Это следует из

22.

P. Di Vecchia, F. Nicodemi, R. Pettorino, and

прямой связи между константами рассматриваемой

G. Veneziano, Nucl. Phys. B 181, 318 (1981).

здесь модели и константами 1/N_cχТВ. При этом чис-

23.

G. Cvetic, Ann. Physics 255, 165 (1997).

ленные значения параметров 1/N_cχТВ, получаемые

24.

A. Manohar and H. Georgi, Nucl. Phys. B 234, 189

на основе модели НИЛ, находятся в прекрасном со-

(1984).

гласии с их феноменологическими значениями (за

25.

H. Leutwyler, Nucl. Phys. B (Proc. Suppl.) 64, 223

исключением параметра Λ₁, который отсутствует в

(1998).

модели НИЛ).

26.

J. L. Goity, A. M. Bernstein, and B. R. Holstein, Phys.

Rev. D 66, 076014 (2002).

1. S. Weinberg, Phys. Rev. D 11, 3583 (1975).

27.

D. J. Gross, S. B. Treiman, and F. Wilczek, Phys. Rev.

2. G. ’t Hooft, Nucl. Phys. B 72, 461 (1974).

D 19, 2188 (1979).

3. E. Witten, Nucl. Phys. B 160, 57 (1979).

28.

P. Kroll, Mod. Phys. Lett. A 20, 2667 (2005).

Письма в ЖЭТФ том 117 вып. 11 - 12

2023