ЖЭТФ, 2023, том 163, вып. 4, стр. 609-616

«ИДЕАЛЬНОСТЬ» «НЕИДЕАЛЬНОЙ» ПЛАЗМЫ

А. Л. Хомкин , А. С. Шумихин^*

Объединённый институт высоких температур Российской академии наук

125412, Москва, Россия

Поступила в редакцию 17 сентября 2022 г.,

после переработки 12 декабря 2022 г.

Принята к публикации 26 декабря 2022 г.

На основе уравнения состояния «физической» модели плазмы, в которой рассматривается взаимодей-

ствующая смесь электронов и ядер (протонов), выведены путем тождественных преобразований две

химические модели плазмы, описывающие смесь свободных электронов, ионов и атомов. Полученные

химические модели удовлетворяют правилу «книжной закладки» Онзагера — уравнение состояния не

зависит от положения закладки — границы, разделяющей свободные и связанные состояния. Выпол-

нено исследование влияния возбужденных состояний атома на уравнение состояния и ионизационного

равновесия. Сделан вывод о завышенном вкладе дебаевского притяжения в традиционных «химиче-

ских» моделях. Полученные соотношения для снижения потенциала ионизации и уравнения состояния

существенно отличаются от общепринятых выражений и качественно объясняют наблюдаемый в экспе-

риментах эффект «идеальности» неидеальной плазмы.

DOI: 10.31857/S0044451023040181

расчеты уравнения состояния по «химической» мо-

EDN: MZDYNW

дели идеальной плазмы весьма удовлетворительно

описывают данные эксперимента в условиях разви-

той кулоновской неидеальности по сравнению с рас-

1. ВВЕДЕНИЕ

четами в рамках традиционных «химических» мо-

делей, в которых использовалась дебаевская модель

Исследованию уравнения состояния плотной

для энергии заряда, помещенного в плазму. По ре-

плазмы в условиях, когда заметную роль играют

зультатам работы [6] была даже высказана рекомен-

межчастичные, особенно кулоновское, взаимодей-

дация использовать «химическую» модель идеаль-

ствия, в последнее время было уделено большое

ной смеси для практических расчетов уравнения со-

внимание [1]. Были исследованы плазма инертных

стояния плотных паров цезия, включая область дву-

газов и плазма щелочных металлов, в основном

кратной ионизации.

цезия. Уравнение состояния плазмы инертных

В то время мало кто решался посягнуть на ав-

газов исследовалось ударно-волновыми метода-

торитет Дебая и его модель, использованную к то-

ми [2], уравнение состояния плазмы цезия — на

му же для предсказания плазменного фазового пе-

подогреваемой ударной трубе [3, 4], на установке

рехода. В такой ситуации, применительно к плаз-

адиабатического сжатия

[5], а также с исполь-

ме инертных газов, были предложены подходы, ко-

зованием электровзрыва цезиевой проволочки в

торые не затрагивали результатов дебаевской мо-

плотном инертном газе [6, 7].

дели, но вносили дополнительное отталкивание в

Вместо ожидаемого плазменного фазового пере-

расчеты и тем самым компенсировали влияние по-

хода [8] или каких-либо следов его существования

правки Дебая, носящей характер притяжения. Сре-

был обнаружен неожиданный эффект — «идеаль-

ди таких моделей отметим модель «ограниченного

ность» поведения «неидеальной» плазмы. Этот эф-

атома», предложенную в работе [9]. В этой моде-

фект был замечен и в плазме инертных газов [2], но

ли для нахождения спектра связанных состояний

особенно в плазме паров цезия [3-7]. При обработ-

атома вместо традиционного граничного условия —

ке результатов экспериментов [3-7] отмечалось, что

обращения волновой функции в нуль на бесконеч-

^* E-mail: shum_-ac@mail.ru

ности, предлагалось использовать иное — обраще-

609

А. Л. Хомкин , А. С. Шумихин

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

ние волновой функции в нуль на некотором конеч-

чет уравнения состояния плазмы не должен зави-

ном расстоянии. Такое граничное условие, по мне-

сеть от места расположения границы, разделяющей

нию авторов работы [9], качественно моделировало

связанные и свободные состояния. Правилу Онза-

влияние среды на атом. Действительно, взаимодей-

гера полностью соответствуют результаты расчета

ствие электронов с атомами инертных газов носит

уравнения состояния атомарной плазмы в большом

характер отталкивания, поэтому «эффект твердой

каноническом ансамбле для ее «физической» моде-

стенки» в принципе возможен, но все зависит от то-

ли — модели, в которой рассматривается взаимодей-

го, как эта стенка возникает и где она находится.

ствующая смесь электронов и ядер (протонов). В

А вот применительно к парам щелочных металлов,

работах [13-16] строго получены первые члены раз-

где взаимодействие электронов с атомами носит ха-

ложения большого термодинамического потенциала

рактер притяжения и приводит к образованию от-

(давления) по степеням активности. Учтены коллек-

рицательных ионов, модель «ограниченного атома»

тивные эффекты поляризации и парные эффекты

совершенно не применима, хотя эффект «идеаль-

во взаимодействии зарядов обоих знаков, в том чис-

ности» там был зафиксирован [3-7] даже с боль-

ле приводящие к образованию атомов. Понятие «за-

шей определенностью, чем в плазме инертных газов.

кладки» в физической модели просто отсутствует, и

В итоге модель «ограниченного атома» в большин-

в этом смысле ее результаты полностью удовлетво-

стве «химических» моделей не закрепилась, а об-

ряют правилу Онзагера. Именно такую реализацию

наруженный эффект «идеальности» в плазме паров

правила Онзагера мы и используем в данной работе.

цезия, да и в плазме инертных газов так и остал-

К сожалению, область применимости «физической»

ся без объяснения. Неплохое согласие давала деба-

модели ограничена только атомарной плазмой и не

евская модель в большом каноническом ансамбле.

допускает строгого учета молекулярных ионов, мо-

Ниже мы ее рассмотрим более подробно.

лекул и так далее.

Главный эффект «неидеальности» в плазме воз-

В практических расчетах доминируют «химиче-

никает при внесении в нее пробного заряда, кото-

ские» модели плазмы, в которых для атомарной

рый поляризует ее, отталкивая одноименные заряды

плазмы рассматривается смесь свободных электро-

и притягивая разноименные. В результате возника-

нов, ионов и атомов (возможно рассмотрение и бо-

ет эффект притяжения пробного заряда к плазме.

лее сложной номенклатуры частиц). Для конкрет-

Энергию, которую приобретает заряд, помещенный

ных расчетов, учитывающих кулоновское взаимо-

в классическую плазму за счет ее поляризации, бу-

действие, необходимо задать две величины: стати-

дем называть дебаевской. Впервые эта энергия была

стическую сумму Σ_a атома и поправку к свободной

рассчитана Дебаем и Хюккелем [10] применительно

энергии Гельмгольца Δf идеальной смеси, описыва-

к растворам электролитов. Вклад дебаевской энер-

ющую эффект взаимодействия между свободными

гии в уравнение состояния плазмы и снижение по-

электронами и ионами. Выбором этих величин и от-

тенциала ионизации атома традиционно считались

личаются «химические» модели. В работе [17] рас-

главными проявлениями взаимодействия между за-

смотрены более десятка вариантов «химических»

рядами; иногда говорят об эффектах неидеальности

моделей, используемых для расчета термодинамиче-

в плазме [11].

ских функций и состава плазмы паров цезия. Вопрос

Параллельно с поляризацией кулоновское взаи-

о соблюдении правила Онзагера в то время вообще

модействие ведет к образованию связанных состо-

не ставился. И статистическая сумма, и поправка на

яний — атомов. Это чисто квантовый эффект, по

взаимодействие свободных зарядов выбирались до-

крайней мере для низколежащих уровней. Для изо-

статочно произвольно, исходя из вариантов, предло-

лированного атома число связанных состояний бес-

женных в литературе и пристрастий авторов. Есте-

конечно велико, и формально вычисленная стати-

ственно, результаты расчетов различались довольно

стическая сумма атома расходится. Необходимо об-

существенно, а ведь ответ, в соответствии с прави-

резание статистической суммы на том или ином

лом Онзагера, должен быть единственным.

уровне, что приводит к зависимости результатов

В серии работ Эбелинга с сотрудниками [18,

расчета от положения границы обрезания. Наличие

19] впервые проанализированы некоторые «химиче-

такой зависимости противоречит правилу «книж-

ские» модели плазмы и электролитов с использова-

ной закладки» Онзагера, сформулированному им

нием правила Онзагера, который рассматривается в

устно на конференции [12] (в дальнейшем правило

виде принципа «стационарности». Решения для ва-

Онзагера): как итоговый результат бухгалтерской

рьируемых параметров выбираются в области мини-

книги не зависит от положения закладки, так и рас-

мума свободной энергии Гельмгольца.

610

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

«Идеальность» «неидеальной» плазмы

В настоящей работе сделана попытка объяснить

ные заряды слабо взаимодействуют друг с другом,

эффект «идеальности» в «неидеальной» плазме с

имеет следующий вид [22]:

использованием результатов разложения уравнения

)

( 2eV

( eV

состояния по степеням активностей в большом ка-

βF = -Ne ln

- Ni ln

N_eλ^3e

N_iλ³

ноническом ансамбле — «физической» модели плаз-

)

мы [13-16]. «Химические» модели плазмы строго

(eV Σ_a

-N_a ln

- (N_e + N_i)Δf,

(1)

выводятся из этих разложений и, следовательно,

N_aλ³

удовлетворяют правилу Онзагера, т. е. приводят к

уравнению состояния, не зависящему от положения

где λ_l = (2πℏ²β/m_l)^1/2 и m_l — тепловая длина вол-

«закладки». Задавая то или иное выражение для

ны и масса частицы сорта l = e, i, a; Σ_a — внут-

статистической суммы атома (положение «заклад-

ренняя статистическая сумма атома; e — основание

ки»), мы получаем «химические» модели, которые,

натурального логарифма; Δf — поправка к свобод-

хотя и различаются поправками к давлению, сни-

ной энергии идеальногазовой смеси в температур-

жению потенциала ионизации, приводят к единому

ных единицах на одну частицу, обусловленная взаи-

уравнению состояния (например, зависимости дав-

модействием свободных электронов и ионов между

ления от плотности ядер), от положения «закладки»

собой. Соотношение (1) описывает систему зарядов

не зависящего. Статистическая сумма атома от по-

в достаточно широкой области давлений и темпера-

ложения «закладки» зависит. Передвигаясь по шка-

тур от идеального газа атомов до полностью иони-

ле энергий, она («закладка») меняет число связан-

зованной слабонеидеальной плазмы.

ных и свободных частиц в плазме, не меняя сум-

Для поправки Δf, учитывающей взаимодей-

марного количества ядер. Меняются статистическая

ствие свободных зарядов, воспользуемся результа-

сумма атома (незначительно) и идеальный вклад в

том дебаевской теории для энергии заряда в плазме:

давление (существенно): если электрон-ионная па-

q²

ра связанная, то ее вклад в давление соответствует

E_D =

(2)

2R_D

вкладу одной частицы, а если это пара не связанных

√

частиц, то этот вклад соответствует вкладу двух

где R_D = 1/

4πβq²(n_e + n_i) — дебаевский радиус,

частиц. Доля таких частиц невелика, но разность

через который определяется плазменный параметр

вклада в давление — это температура, умноженная

на их концентрацию. Показано, что эти новые по-

βq²

Γ=

(3)

правки в давление оказываются порядка дебаевской

R_D

поправки, но с обратным знаком. На возможность

Используя соотношение, связывающее Δf и E_D, по-

такого эффекта было обращено внимание в рабо-

лучим

тах [20, 21]. При этом зависимость давления от пол-

∞

∫

ной плотности не меняется, меняется соответству-

Γ/2

Δf =

dT =

(4)

ющая модель смеси — «химическая» модель. Если

коротко, то цель работы состоит в том, чтобы про-

демонстрировать, что максимально «идеальная хи-

В результате из определения P = -∂F/∂V имеем

мическая» модель, удовлетворяющая правилу Онза-

(

Γ)

гера, может быть выведена из точных разложений

βP = (n_e + n_i) 1 -

+n_a.

(5)

«физической» модели неидеальной плазмы.

Концентрации электронов n_e, ионов n_i и атомов n_a

связаны между собой формулой Саха, учитываю-

щей снижение потенциала ионизации βΔI = -Γ:

2. ТРАДИЦИОННАЯ «ХИМИЧЕСКАЯ»

МОДЕЛЬ АТОМАРНОЙ ПЛАЗМЫ.

λ^3e

КАНОНИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ

n_a = n_in_e

Σ_ae^-Γ.

(6)

Рассмотрим в каноническом ансамбле реагирую-

Соотношения (5), (6) соответствуют широко рас-

щую смесь, состоящую из N_e электронов, N_i ионов

пространенной в литературе и учебниках [11] про-

и N_a атомов (в дальнейшем атомарная плазма), на-

стейшей модели неидеальной плазмы. Мы назовем

ходящуюся в объеме V при температуре k_B T ≡ 1/β.

ее традиционной химической моделью (TХM).

Свободная энергия Гельмгольца F в предположе-

Проблему расходимости статистической суммы

нии, что газ атомов является идеальным, а свобод-

атома мы обсудим ниже.

611

А. Л. Хомкин , А. С. Шумихин

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

3. ОБРАЗОВАНИЕ АТОМОВ В БОЛЬШОМ

мы от полностью ионизованной неидеальной плаз-

КАНОНИЧЕСКОМ АНСАМБЛЕ.

мы до атомарного газа, т. е. фактически те же со-

«ФИЗИЧЕСКАЯ» МОДЕЛЬ ПЛАЗМЫ

стояния, что и «химическая» модель (1). В «физи-

ческой» модели при расчете уравнения состояния не

В большом каноническом ансамбле рассматрива-

требуется решать вопросы об ограничении статисти-

ется система электронов и ядер (протонов), для ко-

ческой суммы и о снижении потенциала ионизации,

торых заданы химические потенциалы μ_e, μ_i или ак-

поскольку не требуется решать задачу о расчете со-

тивности z_e = exp(βμ_e)/λ^3e, z_i = exp(βμ_i)/λ³ⁱ. Ино-

става. Это обстоятельство и позволяет утверждать,

гда говорят о «физической» модели плазмы, в ко-

что «физическая» модель (7), (8) полностью удовле-

торой предположение о наличии атомов не делает-

творяет правилу Онзагера.

ся. Атомы и поправки на взаимодействие в непре-

рывном спектре возникают из квантовых групповых

разложений для большого термодинамического по-

4. «ХИМИЧЕСКАЯ» МОДЕЛЬ

тенциала (давления) в большом каноническом ан-

ЭБЕЛИНГА - ЛИКАЛЬТЕРА (EL)

самбле. Разложение идет по степеням активностей

Выполним простейший переход к «химической»

z_e,i — эффективных плотностей, которые затем на-

модели плазмы, исходя из соотношений (7), (8) и

ходятся из уравнений материального баланса.

действуя аналогично работам [23-25].

Усилиями многих авторов [13-16] были получены

Начнем с определения концентрации связанных

первые члены разложения по степеням активностей

электронов z_e и ионов z_i для давления P и полной

состояний атомов n_a:

концентрации частиц n. Для классической в непре-

λ^3e

рывном спектре плазмы с точностью до членов z²

n_a = z_ez_i

Σ_PL.

(10)

для P и n имеем

Из выражения (8) находим концентрацию свобод-

(

α)

λ^3e

βP = (z_e + z_i) 1 +

+z_ez_i

Σ_PL,

(7)

ных зарядов n_e и n_i:

(

α)

λ^3e

n_e,i = n - n_a = ze,i 1+

(11)

n=z_e 1+

+z_ez_i

Σ_PL,

(8)

√

Подставляя z_e,i = n_e,i/(1 + α/2) в (7), (8), получим

где α = βq²

4πβq²(z_e + z_i) — плазменный пара-

метр, выраженный через активности z_e,i (это важ-

1 + α/3

βP = (n_e + n_i)

+n_a =

но), а

1 + α/2

∑

(

(βRy)

βRy)

= (n_e + n_i)(1 - Δp_PL) + n_a,

(12)

Σ_PL

2k2 exp

-1-

(9)

k²

k=1

λ^3e

n_a = n_en_i

Σ_PL =

где k — главное квантовое число. Возникающая

2 (1 + α/2)²

в разложениях сходящаяся величина Σ_PL хорошо

λ^3e

известна и носит название (не совсем корректное)

=n_en_i

Σ_PL exp(-βΔI_PL),

(13)

статистической суммы Планка - Ларкина (PL). Она

где

отличается от действительной статистической сум-

α/6

мы атома наличием двух последних слагаемых в

Δp_PL =

(14)

1 + α/2

скобках. Эти слагаемые нарушают требование о

больцмановском характере заселенностей связан-

βΔI_PL = 2 ln (1 + α/2) .

(15)

ных уровней в атомах. Такая структура Σ_PL воз-

никла как результат взаимной компенсации вкладов

Полученная нами связь давления с полной кон-

от электрон-электронных, электрон-ионных и ион-

центрацией (уравнение состояния) является пара-

ионных взаимодействий во второй групповой коэф-

метрическим. Чтобы завершить переход к

«хи-

фициент. Как будет показано ниже, наличие именно

мической» модели, необходимо дополнить уравне-

этих двух слагаемых в конечных результатах (7), (8)

ния (12)-(15) соотношением, связывающим концен-

и приводит к необычным, даже парадоксальным ре-

трации свободных частиц n_e, n_i с активностями z_e,

зультатам для атомарной плазмы.

z_i. Эту связь можно определить из уравнения (11).

Соотношения (7), (8) носят название «физиче-

Сложим эти уравнения для электронных и ионных

ская» модель плазмы и описывают состояния плаз-

концентраций и умножим полученную сумму на ве-

612

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

«Идеальность» «неидеальной» плазмы

(

)₃

личину 4π

βq²

. В результате получим уравнение,

Из

(8) однозначно следует выражение для

предложенное Ликальтером [26]:

n_e = n - n_a, так что соотношение (8) выполняется:

(

)

α)

λ^3e

Γ² = α² 1 +

(16)

n_e = n_i = z_e

+z_i

Σ_PL - z_i

Σ_NNA . (19)

Будучи дополнена уравнениями электроней-

Необходимо вычислить разность двух величин: ста-

тральности n_e

= n_i и баланса n

= n_e + n_a,

тистических сумм в приближениях PL и NNA.

«химическая» модель EL, определяемая соот-

Способ расчета этой разности предложен в рабо-

ношениями

(12)-(16), полностью соответствует

те [28]. Рассмотрим статистическую сумму атома в

результатам «физической» модели (7), (8) и тем

приближении ближайшего соседа:

самым удовлетворяет правилу Онзагера.

)

∑

(βRy

Σ_NNA =

2k² exp

ω_k,

(20)

5. «ХИМИЧЕСКАЯ» МОДЕЛЬ

k²

k=1

ВОРОБЬЕВА - ХОМКИНА - ШУМИХИНА

где

(VKS). РОЛЬ ВОЗБУЖДЕННЫХ

(

)

4π

СОСТОЯНИЙ АТОМА В ПЛАЗМЕ

ω_k = exp

r^3k(z_e + z_i)

(21)

В литературе [1] обсуждаются десятки вариан-

В (21) r_k = δa₀k² — радиус орбиты связанного элек-

тов расчета статистической суммы атома, связан-

трона с главным квантовым числом k. Величина

ных с различными моделями реализации последнего

δ = 1, 2 соответствует квантовому и классическому

уровня. Отметим характерные: последний уровень в

определению размера орбиты. Нам представляется

дебаевском потенциале; штарковское слияние уров-

разумным использовать для возбужденных состоя-

ней; оценки предельных размеров орбиты связанно-

ний классическое определение радиуса орбиты (по

го электрона (от длины Ландау до радиуса ячейки

Ликальтеру [29]). Экспонента в (21) описывает пуас-

Вигнера - Зейтца) и т. д. Мы не будем обсуждать до-

соновскую вероятность отсутствия свободных заря-

стоинства и недостатки этих моделей, а ограничим-

дов с концентрациями z_e, z_i внутри сферы радиуса

ся в своих выкладках рассмотрением двух из них:

rk. Мы не акцентируем внимание на некоторых раз-

статистической суммой Планка - Ларкина, в кото-

личиях концентраций свободных зарядов и актив-

рой эффективно учитывается минимальное количе-

ностей, поскольку, как будет видно из дальнейшего,

ство связанных состояний, и статистической суммой

для слабонеидеальной плазмы они практически сов-

в приближении ближайшего соседа (nearest neighbor

падают. Выполним тождественное преобразование:

approximation, NNA), в которой их число предельно

возможное:

[(

)

∑

(βRy)

βRy

Σ_NNA

2k²

exp

-1-

ω_k +

∑

(βRy)

k²

Σ_a = Σ_NNA =

2k² exp

ω_k(z_e,i).

(17)

k=1

(

)

]

k²

k=1

βRy

ω_k . (22)

k²

В литературе, особенно астрофизической, это выра-

жение для Σ_NNA весьма популярно [27]. Предпола-

В первом слагаемом в квадратных скобках действу-

гается, что связанные состояния атома реализуются

ют два обрезающих фактора. В круглых скобках

с вероятностью ω_k(z_e,i), т. е. до тех пор, пока размер

первый соответствует радиусу орбиты r ∼ βq² —

их орбиты не превосходит размера ячейки Вигне-

длине Ландау, а второй определяется величиной ω_k

ра - Зейтца для зарядов R_i = (3/4π(z_e + z_i))^1/3.

и соответствует радиусу орбиты r ∼ (z_e + z_i)^-1/3.

Формально нет никаких запретов повторить вы-

Поскольку длина Ландау в слабонеидеальной плаз-

кладки (12)-(16), но при этом использовать иное вы-

ме всегда меньше среднего межчастичного расстоя-

ражение для определения концентрации атомов:

ния, то первый фактор (r ∼ βq²) «сработает» рань-

ше, и мы можем положить ω_k = 1. Таким образом,

λ^3e

n_a = z_ez_i

Σ_NNA.

(18)

первое слагаемое в (22) превращается в статистиче-

скую сумму PL (9). Во втором слагаемом в (22) мы

Заметим, что при таком подходе можно использо-

можем выполнить суммирование непосредственно, а

вать и иные приближения для статистической сум-

можем перейти от суммирования к интегрированию

мы атома, меняя выражение для ω_k(z_e,i).

по k, поскольку главный вклад в эту сумму дают вы-

613

А. Л. Хомкин , А. С. Шумихин

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

соковозбужденные уровни с большими квантовыми

числами k (dk ∼ 1 ≪ k):

∫∞

(

)

βRy

Σ_NNA = Σ_PL

+ dk 2k² 1 +

ω_k = Σ_PL + ΔΣ_a.

k²

(23)

Второе слагаемое в (23) рассчитывается аналитиче-

ски [22, 28]:

(

)_1/2

(1)

ΔΣ_a =

√

3δ³

4π(z_e + z_i)a³⁰

(

)_1/6

βRy

(1)

√

(24)

4π(z_e + z_i)a³⁰

где Γ(x) — гамма-функция.

Рис. 1. Решение уравнения Ликальтера α(Γ) для δ = 2:

1 — Γ; 2 — EL-модель, уравнение (16); 3 — VKS-модель,

6. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ И

уравнение (32)

ИОНИЗАЦИОННОГО РАВНОВЕСИЯ В

МОДЕЛИ VKS. ФОРМУЛА САХА

Возвращаясь к (19), из (7), (8) получим соотно-

шения для концентрации свободных электронов и

атомов, а также для уравнения состояния:

(

)

λ^3e

n_e = z_e

-z_i

ΔΣ_a

(25)

λ^3e

n_a = z_ez_i

Σ_NNA,

(26)

(

)

z_ez_i λ^3e

βP = (z_e + z_i)

ΔΣ_a

z_e + z_i

λ^3e

+z_ez_i

Σ_NNA.

(27)

Заметим, что формулы (25)-(27) можно использо-

Рис. 2. Снижение потенциала ионизации βΔI в зависи-

вать и для других вариантов расчета статистиче-

мости от Γ для δ = 2: 1 — модель ТХМ, уравнение (6);

ской суммы. При этом точные асимптотические со-

2 — модель EL, уравнение (15); 3 — модель VKS, уравне-

отношения (7), (8) выполняются, следовательно, вы-

ние (28).

полняется и правило Онзагера. Вводя обозначение

K(α) = z_i(λ^3e/2)ΔΣ_a и учитывая, что z_e = z_i, полу-

Уравнение Ликальтера (16) немного модифицирует-

чим

ся:

(

)

λ^3e

Γ² = α² 1 +

- K(α) .

(32)

n_a = n_en_i

Σ_NNAe^-ΔI,

(28)

«Химическая» модель VKS определяется соотноше-

где ΔI = 2 ln (1 + α/2 - K(α)),

ниями (28)-(32).

βP = (n_e + n_i)(1 - Δp) + n_a,

(29)

На рис. 1 сравниваются решения уравнения Ли-

кальтера для EL- и VKS-моделей атомарной плазмы

где

α/6 - K(α)/2

с величиной Γ. Близость решений α(Γ) к величине Γ

Δp =

(30)

1 + α/2 - K(α)

означает близость концентраций свободных зарядов

и активностей. Сразу заметим, что максимальную

Величина K(α) вычислена в работе [22] и равна

близость демонстрирует модель VKS.

√

1/6

На рис. 2, 3 показаны снижение потенциала иони-

2π3

(1)

K(α) = α

√

+α^5/3

√

(31)

δ³

зации и поправки к давлению как функции плазмен-

614

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

«Идеальность» «неидеальной» плазмы

7. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Формулы (35), (36) описывают необычный ре-

зультат «химической» модели VKS: дебаевское сни-

жение потенциала ионизации ΔI_D = Γ и поправка к

давлению Δp_D = Γ/6 существенно уменьшаются.

Какую же «химическую» модель выбрать. Если

речь идет о расчете уравнения состояния, то моде-

ли EL и VKS идентичны и дают одинаковые ре-

зультаты. При обработке экспериментов использо-

валась традиционная «химическая» модель (ТХМ)

идеальной плазмы (δf = 0) Эксперименты, особенно

для плазмы паров цезия, показали явное преимуще-

ство «химической» модели идеальной плазмы. Про-

веденный нами анализ показывает, что максималь-

ную «степень идеальности» демонстрирует модель

Рис. 3. Безразмерная поправка к давлению Δp в зависи-

VKS, что позволяет говорить о согласии с данны-

мости от Γ для δ = 2: 1 — модель ТХМ, уравнение (6);

ми экспериментов [2-7] и о найденном объяснении

2 — модель EL, уравнение (14); 3 — модель VKS, уравне-

эффекта «идеальности» неидеальной плазмы.

ние (30)

Рассмотрим слабонеидеальную плазму, «почти»

полностью ионизованную (βRy < 1), в которой при-

ного параметра Γ.

сутствуют только возбужденные атомы n^∗a, их доля

В пределе α → 0 и для δ = 2 получаем

невелика и описывается вторым слагаемым стати-

α → Γ,

(33)

стической суммы (23):

√

λ^3e

n^∗a = n_en_i

ΔΣ_a.

(37)

K(α) → α

√

→Γ

√ ,

(34)

24 · 2

Считая n^∗a ≪ n, ищем решение (37) в виде

(

√

)

n_e = n(1 - θ),

(38)

ΔI → α - 2K(α) = Γ

√

12 · 2

n^∗a = n - n_e = nθ,

(39)

λ^3e

= 0.773 (0.359)Γ,

(35)

θ = (1 - θ)²n

ΔΣ_a.

(40)

√

Для θ ≪ 1 получаем

(

)

K(α)

√

Δp =

√

8·2

λ^3e

θ=n

ΔΣ_a = Γ

√

δ³

= 0.66 (0.038)

(36)

√

2π 3^1/6

(1)

+Γ^5/3

√

= K(Γ).

(41)

Величина K(α) описывает влияние возбужденных

атомов. Сравнивая выражения (35), (36) c (5), (6),

Запишем выражение для давления смеси свобод-

видим, что возбужденные атомы играют существен-

ных электронов, ионов и возбужденных атомов, ис-

ную роль при переходе от «физической» к «химиче-

пользуя соотношение (30) для поправки к давлению

ской» модели, меняя численный коэффициент при

βΔp = Γ/6 - K(Γ)/2.

параметре неидеальности. В скобках в (35) и (36)

Учитывая, что α → Γ при α → 0, получим

указаны величины поправок для δ = 1.

(

)

K(Γ)

«Химическая» модель VKS, определяемая соот-

βP = (n_e + n_i)

+n_a.

(42)

ношениями (28)-(32), полностью соответствует ре-

зультатам «физической» модели (7), (8) и тем са-

Подставляя (38), (39) в (42), в линейном по Γ при-

мым удовлетворяет правилу Онзагера, как и «хими-

ближении (θ ∼ Γ) получим

(

)

(

)

ческая» модель EL (12)-(16). Уравнения состояния

для моделей EL и VKS будут совпадать, но составы

βP = 2n(1-θ) 1 -

+nθ= 2n 1 -

(43)

будут разные.

615

А. Л. Хомкин , А. С. Шумихин

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Оказывается, что уравнение состояния полно-

10.

P. Debye and E. Hückel, Phys. Z. 24, 185 (1923).

стью ионизованной однокомпонентной неидеальной

11.

Л. П. Кудрин, Статистическая физика плазмы,

плазмы полностью соответствует результатам моде-

Атомиздат, Москва (1974).

ли VKS для смеси свободных зарядов и возбужден-

ных атомов. Так что, формально, в полностью иони-

12.

L. Onsager, in Proc. of the Conference on Electro-

зованной неидеальной плазме присутствует вклад

chemistry, Montpellier, France (1998).

возбужденных атомов и, следовательно, полностью

ионизованной ее считать не вполне корректно.

13.

А. А. Веденов, А. И. Ларкин, ЖЭТФ

36,

1139

(1959).

8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

14.

W. Ebeling, W. D. Kraeft, and D. Kremp, Theory of

Bound States and Ionization Equilibrium in Plasmas

На основе уравнения состояния «физической»

and Solids, Akademie-Verlag, Berlin (1976).

модели плазмы выполнено исследование влияния

15.

Ю. Г. Красников, ЖЭТФ 33, 516 (1977).

возбужденных состояний атома на уравнение состо-

яния и ионизационного равновесия. Сделан вывод о

16.

А. Н. Старостин, В. К. Рерих, ЖЭТФ

127,

186

завышенном вкладе дебаевского притяжения в тра-

(2005).

диционной «химической» модели. Для модели VKS

полученные соотношения для снижения потенциала

17.

В. Е. Фортов, Б. Н. Ломакин, Ю. Г. Красников,

ионизации и уравнения состояния существенно от-

ТВТ 9, 869 (1971).

личаются от общепринятых выражений. Получен-

18.

W. Ebeling and S. Hilbert, Eur. Phys. J. D 20, 93

ные результаты качественно объясняют наблюдае-

(2002).

мый в экспериментах [2-7] эффект «идеальности»

без привлечения дополнительных эффектов оттал-

19.

W. Ebeling, S. Hilbert, and H. Krienke, J. Mol. Liq.

кивания.

96-97, 409 (2002).

20.

O. Theimer and T. Wright, Phys. Rev. 180,

308

(1969).

ЛИТЕРАТУРА

1. В. Е. Фортов, А. Г. Храпак, И. Т. Якубов, Физика

21.

В. С. Воробьев, А. Л. Хомкин, Физика плазмы 3,

неидеальной плазмы, Физматлит, Москва (2010).

885 (1977).

2. В. Е. Фортов, А. А. Леонтьев, А. Н. Дремин,

22.

А. Л. Хомкин, И. А. Муленко, TBT 41, 327 (2003).

В. К. Грязнов, ЖЭТФ 71, 225 (1976).

23.

W. Ebeling and G. P. Bartsch, Beitr. Plasmaphys. 5,

3. В. А. Сеченов, Э. Е. Сон, О. Е. Щекотов, ТВТ 15,

393 (1971).

411 (1977).

24.

W. Ebeling and R. Sändig, Ann. der Phys. 28, 269

4. А. В. Бушман, Б. А. Ломакин, А. В. Сеченов,

(1973).

В. Е. Фортов, О. Е. Щекотов, И. И. Шарипджанов,

ЖЭТФ 69, 1624 (1975).

25.

W. Ebeling, H. Reinholz, and G. Röpke, Contrib.

5. А. Т. Кунавин, А. В. Кириллин, Ю. С. Коршунов,

Plasma Phys. 61, e202100085 (2021).

ТВТ 12, 1302 (1974).

26.

A. A. Ликальтер, ЖЭТФ 56, 240 (1969).

6. И. Я. Дихтер, В. А. Зейгарник, ТВТ 15, 471 (1977).

27.

W. Dappen, D. Mihalas, D. G. Hummer, and

7. И. Я. Дихтер, В. А. Зейгарник, ТВТ 15, 196 (1977).

B. W. Mihalas, Astrophys. J. 332, 261 (1988).

8. Г. Э. Норман, А. Н. Старостин, ТВТ 8, 413 (1970).

28.

И. А. Муленко, А.Л. Хомкин, А. С. Шумихин,

9. В. К. Грязнов, М. В. Жерноклетов, В. Н. Зубарев,

ТВТ 42, 835 (2004).

И. Л. Иосилевский, В. Е. Фортов, ЖЭТФ 78, 573

(1980).

29.

A. A. Ликальтер, УФН 170, 831 (2000).

616