ЖЭТФ, 2023, том 163, вып. 4, стр. 602-608

МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ, ИНДУЦИРУЕМЫЕ

ФЕРРОЖИДКОСТЬЮ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ

МАГНИТНОГО ПОЛЯ

А. Ю. Зубарев, А. Ю. Мусихин^*

Уральский Федеральный университет им. Б. Н. Ельцина

620002, Екатеринбург, Россия

Поступила в редакцию 19 августа 2022 г.,

после переработки 21 ноября 2022 г.

Принята к публикации 21 ноября 2022 г.

Рассмотрена задача о возбуждении стационарных циркуляционных течений в канале, заполненном немаг-

нитной жидкостью с внедренным облаком феррожидкости под действием однородного вращающегося

магнитного поля. Исследование проводится с целью развития метода интенсификации транспорта ле-

карств в кровеносных сосудах. Показано, что при реалистических значениях параметров системы, в кана-

ле шириной несколько миллиметров могут развиться течения со скоростью порядка нескольких милли-

метров в секунду, что может обеспечить существенную интенсификацию транспорта в тромбированных

сосудах с остановившимся кровотоком.

DOI: 10.31857/S004445102304017X

генерируют в ней циркуляционные течения, интен-

EDN: MTGLYJ

сифицирующие распространение лекарства в сосуде

и, за счет этого, его доставку к тромбу. Несмотря на

то, что исследованию этих течений и интенсифика-

1. ВВЕДЕНИЕ

ции ими транспорта лекарств посвящено несколько

исследований [3-6], ясного физического понимания

Проблема интенсификации и адресного транс-

природы этих течений и их оптимальной, с практи-

порта лекарств в организме при помощи внешних

ческой точки зрения, организации не достигнуто.

электрических и магнитных полей является пер-

спективным направлением развития современной

Теоретический анализ таких течений в систе-

медицины (см., например, обзор в [1]). Одной из ос-

мах со сферическими частицами под действием вра-

новных сложностей терапии тромбозов кровеносных

щающегося сильно неоднородного поля был нами

сосудов, и, в частности, провоцируемых ими инсуль-

выполнен в недавней работе [6]. В частности, бы-

тов, является слишком медленный диффузионный

ло показано, что эти течения возникают в систе-

транспорт тромболитиков при остановке кровотока

мах с пространственно неоднородным распределе-

в сосуде. Перспективный метод решения задачи ин-

нием частиц, если градиент напряженности поля до-

тенсификации транспорта лекарств в таких услови-

статочно велик. Однако на практике создать поле с

ях был предложен и запатентован в [2,3]. Ключевая

необходимым градиентом напряженности не просто.

идея этого метода состоит во введении (инжектиро-

Поэтому представляет интерес исследование ситуа-

вании) в тромбированный сосуд капли нанодисперс-

ций, когда желаемые течения в несущей жидкости

ной феррожидкости на основе воды или других био-

генерируются в слабо-градиентном или вообще в од-

совместимых растворимых жидкостей. Далее к это-

нородном поле. Отметим, что проблема генерирова-

му сосуду прикладывается осциллирующее магнит-

ния макроскопических течений в однородной ферро-

ное поле, вовлекающее магнитные наночастицы во

жидкости, под действием однородного вращающего-

вращательное и поступательное движение. Эти дви-

ся поля, обсуждается довольно давно (см., напри-

жения частиц передаются содержащей жидкости и

мер, [7, 8] и ссылки в этих работах). Теория вра-

щательного движения феррожидкости с простран-

^* E-mail: antoniusmagna@yandex.ru

ственно однородным распределением частиц, поме-

602

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ, ИНДУЦИРУЕМЫЕ ФЕРРОЖИДКОСТЬЮ . . .

щенной в цилиндрический сосуд под действием од-

ма инжектированная капля может тромбировать со-

нородного поля, вращающегося в плоскости, перпен-

суд. При введении в сосуд растворимой феррожид-

дикулярной оси цилиндра, была предложена в [7].

кости эта капля, за счет диффузии, должна доволь-

В [8] показано, что эта теория приводит к расхож-

но быстро «расползтись» в подобие «облака» с бо-

дению с экспериментами, примерно, на четыре де-

лее или менее плавным пространственным распре-

сятичных порядков величины.

делением частиц. Поэтому в дальнейшем мы будем

В этой работе мы предлагаем теоретическую

вместо термина «капля» использовать термин «об-

модель циркуляционного течения, генерируемого в

лако».

несущей немагнитной жидкости пространственно

Обозначим локальную объемную концентрацию

неоднородным облаком феррожидкости под дей-

частиц Φ(x, z, t) и, для максимального упрощения

ствием однородного вращающегося поля в тон-

анализа, рассмотрим двумерное приближение, пред-

ком канале, моделирующем кровеносный сосуд. Для

полагая, что все физические события происходят

максимального упрощения вычислений и чтобы по-

в плоскости (x, z), показанной на рис. 1. Другими

лучить физически ясные результаты в обозримой

словами, мы пренебрегаем зависимостью всех вели-

математической форме, мы рассматриваем модель-

чин от третьей координаты y. Мы будем предпола-

ную задачу, в которой канал представляет собой

гать, что концентрация Φ(x, z, t) мала, не превос-

плоскую щель с бесконечными размерами в ее

ходит нескольких процентов. Поэтому можно пре-

плоскости. Полученные результаты показывают, что

небречь ее влиянием на локальную эффективную

пространственно неоднородное распределение час-

вязкость η феррожидкости и изменением локально-

тиц в канале может приводить к достаточно интен-

го магнитного поля H за счет размагничивающих

сивным макроскопическим течениям среды, способ-

эффектов. Соответственно, будем пренебрегать вы-

ным, в частности, существенно интенсифицировать

званным этим эффектом слабым деформированием

транспорт лекарств в сосудах.

капли в направлении поля. Отметим, что приближе-

ние малых концентраций Φ соответствует ограни-

чениям, диктуемым биологической безопасностью

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И

применения магнитных наночастиц в медицинских

ОСНОВНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ

технологиях.

Уравнения течения намагничивающейся жидко-

Рассмотрим бесконечную плоскую щель тол-

сти в пространственно однородном магнитном поле

щины l, заполненную немагнитной жидкостью. В

при малых числах Рейнольдса могут быть представ-

эту жидкость внедрена капля феррожидкости, со-

лены в виде [8, 9]

стоящей из одинаковых эллипсоидальных магнит-

ных наночастиц. К каналу приложено вращающе-

∂v_x

∂p

∂

+ η Δv_x +

(ΦΓ),

еся однородное магнитное поле с компонентами

∂t

∂x

2 ∂z

H_x = H₀ sinωt; H_z = H₀ cosωt. Эта модельная си-

∂v_z

∂p

∂

+ η Δv_z -

(ΦΓ),

(1)

туация с выбранной системой координат показана

∂t

∂z

2 ∂x

на рис. 1.

∂

v_x +

v_z = 0.

Необходимо отметить, что в кровеносный сосуд

∂x

∂z

должна инжектироваться феррожидкость на осно-

— оператор Лапласа, Γ — стати-

ве среды, растворимой в плазме крови — иначе са-

x²

z²

стически среднее значение магнитного момента сил,

действующих на единицу объема частицы, т. е. ве-

личина момента сил, действующих на частицу, от-

несенная к ее объему. Величина¹² ΦΓ является анти-

симметричным напряжением, действующим в жид-

кости, благодаря моменту сил Γ [8, 9]. Условие при-

менимости приближения малых чисел Рейнольдса к

рассматриваемой ситуации мы обсудим в конце ра-

боты.

Явный вид момента сил Γ определяется маг-

Рис. 1. Иллюстрация рассматриваемой модели и выбран-

нитными свойствами частиц феррожидкости. Здесь

ной системы координат. Эллипсоиды — магнитные нано-

рассмотрим случай одинаковых однодоменных

частицы. Масштаб не соблюден

наночастиц с постоянным магнитным моментом

603

10*

А. Ю. Зубарев, А. Ю. Мусихин

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

m = MV каждая, где M — намагниченность

насыщения частицы, V — ее объем. Считаем, что

магнитный момент частицы направлен вдоль оси

симметрии частицы, что типично для вытянутых

феррочастиц. Пренебрегая межчастичными вза-

имодействиями, что оправдано, если объемная

концентрация Φ находится в пределах нескольких

процентов, имеем [9, 10]

Γ = μ₀HM (〈e_x〉h_z - 〈e_z〉h_x).

Рис. 2. Иллюстрация вращающейся системы координат x^′,

y^′, z^′. Ось y^′ не показана

Здесь 〈e_x〉 и 〈e_z 〉 — статистически средние компо-

ненты единичного вектора e, направленного вдоль

можно найти, например, в [10]. В случае вытянутого

магнитного момента частиц, т. е. вдоль ее оси сим-

эллипсоида с аспектным отношением r

метрии, h_z = cos ωt, h_x = sin ωt — компоненты еди-

[

]

ничного вектора h = H/H, где H — магнитное поле

(

√

)

N =

√

ln r +

r² - 1

-1 .

внутри щели с жидкостью.

r² - 1

Обозначим w(e) функцию распределения (плот-

ность вероятности) по ориентациям единичного век-

Отметим, что в (2) и далее используются обозначе-

тора e, и выбираем условие ее нормировки в стан-

ния Эйнштейна суммирования по повторяющимся

дартном виде:

индексам i, j.

∫

В общем случае точное аналитическое решение

w de = 1.

уравнения (2) не известно. К хорошим приближени-

ям приводит математически простой метод эффек-

Функция w может быть найдена как решение соот-

тивного поля, предложенный в работе [11]; его об-

ветствующего уравнения Фоккера—Планка, которое

суждение можно найти в книгах [9, 12]. Следуя ос-

удобно записать в системе координат, вращающейся

новной идее этого метода, умножим обе части урав-

вместе с полем H. В этой системе координат поле

нения (2) на компоненты e_z′ и e_x′ и проинтегриру-

неподвижно, несущая жидкость вращается с угло-

ем результат по всем направления вектора e. После

вой скоростью - ω, а стационарное уравнение Фок-

вычислений приходим к соотношениям (детали см.

кера—Планка имеет вид [9]

в [9])

[

]

∂w

(

)

ωe_x′ e_z′

- D_rκ (e_ie_z′ - h_i)

+ 2we_z′

〈e_z′ 〉 + ω〈e_x′ 〉 + κ

1 - 〈e^2z′〉

h_z′ = 0,

(3)

∂ e_x′

∂e_i

(

)

∂²

∂

−

〈e_x′ 〉 - ω〈e_z′ 〉 - κ〈e_x′ e_z′ 〉h_z′ = 0,

=D_r

- 2e_i

-e_ie_j

(2)

∂e²ⁱ

∂e_i

∂e_i∂ e_j

∫

〈. . .〉 =

...wde.

κ=μ₀

D_r =

6ηV δ(r)

Для того чтобы определить вторые статистиче-

ские моменты 〈e^2z′ 〉 и 〈ex′ ez′ 〉, следуя [11], мы пред-

r² + 1

ставим неизвестную неравновесную функцию w в

δ(r) =

3 1 + 2Nr² - N

виде равновесной функции, но не в истинном поле

H, а в некотором эффективном поле H_ef , компонен-

Здесь i, j = x′, y′, z′ - вращающиеся с полем H

ты которого предстоит найти:

декартовы координаты; ось z^′ направлена вдоль по-

ля; ось x^′ находится в плоскости (x, z) (см. рис. 2),

κ_ef

mH_ef

h_z′

= 1, h_x′ = h_y′ = 0; D_r — коэффициент враща-

exp(κ_ef · e)κ_ef = μ₀

(4)

shκ_ef

тельной диффузии частицы; η — вязкость несущей

жидкости; kT — абсолютная температура в энер-

Простые оценки показывают, что для типичных

гетических единицах; r — аспектное отношение эл-

феррожидкостей на водной основе, состоящих из

липсоида (отношение его оси симметрии к диамет-

частиц диаметром 10-20 нм, коэффициент враща-

ру); N(r) — размагничивающий фактор эллипсои-

тельной диффузии D_r по порядку величины ра-

да вдоль его главой оси. Явный вид функции N(r)

вен 10⁵-10⁶ с^-1. Это намного больше, чем угловая

604

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ, ИНДУЦИРУЕМЫЕ ФЕРРОЖИДКОСТЬЮ . . .

скорость ω поля в типичных экспериментах. Сле-

Введем функцию потока Ψ по стандартному со-

довательно, можно рассматривать функцию w как

отношению,

почти равновесную в поле H. Математически это

∂Ψ

означает, что эффективное поле H_ef должно быть

v_x =

v_z = -

(7)

∂z

∂x

очень близко к истинному полю H. Поэтому поло-

жим H_ef = H + δH или κ_ef = κ + δκ и примем, что

автоматически обеспечивающему выполнение усло-

выполняется сильное неравенство δH ≪ H.

вия несжимаемости жидкости. Подставляя (7) в

Используя форму (4) в уравнении (3), вычисляя

уравнения (6), пренебрегая производной∂vi∂t^,после

статистические моменты 〈. . .〉 в линейном прибли-

простых преобразований приходим к уравнению

жении по параметру δκ и отношению ω/D_r, мы при-

1 μ₀HM ω L(κ)

ходим к линейному алгебраическому уравнению от-

Δ²Ψ =

ΔΦ.

(8)

η D_r κ - L(κ)

носительно компонент δκ и, как следствие, к урав-

нениям относительно статистических моментов 〈e_x′ 〉

Граничные условия (8) соответствуют непроницае-

и 〈e_z′ 〉. Опуская подробности, которые могут быть

мости границ щели и отсутствию скольжения жид-

найдены в работах [9, 11, 12], приведем результат:

кости на них. Учитывая, что на бесконечном рассто-

янии вдоль оси х от облака феррожидкости несущая

ω L(κ)

〈e_z′ 〉 = L(κ),

〈e_x′ 〉 = -

жидкость должна быть неподвижной, эти условия

D_r κ - L(κ)

могут быть записаны в виде

∂Ψ

L(κ) = cth κ -

Ψ = 0,

при z = 0; z = l,

(9)

∂z

Отметим, что функция L(κ) называется функцией

Ψ → 0 при x → ∞.

Ланжевена. Используя вращающуюся систему ко-

Отметим, что координата z = 0 расположена на

ординат x^′, y^′, z^′, можно найти величину момента

нижней пластине щели на рис. 1, 2.

сил Γ:

В пространственно однородном магнитном по-

ω L(κ)

ле уравнение для объемной концентрации частиц Φ

Γ = μ₀HM〈e_x′〉 = -μ₀HM

(5)

D_r κ - L(κ)

имеет вид

∂

Используя соотношение (5) в уравнениях (1), полу-

Φ + (v · ∇)Φ = DΔΦ.

∂t

чаем

Здесь D — коэффициент трансляционной диффу-

∂v_x

∂p

+ η Δv_x-

зии частиц. Граничные условия к этому уравнению

∂t

∂x

имеют вид

ω L(κ)

∂

μ₀HM

Φ,

(6)

D_r κ - L(κ) ∂ z

∂Φ

= 0, при z = 0, l; Φ → 0 при x → ∞,

(10)

∂z

Φ = Φ₀(x,z), при t = 0,

∂v_z

∂p

+ η Δv_z+

∂t

∂z

где Φ₀ — начальный профиль концентрации.

ω L(κ)

∂

В общем случае задача (8)-(10) может быть ре-

μ₀HM

Φ,

D_r κ - L(κ) ∂ x

шена только численно. Здесь мы рассмотрим на-

чальную стадию генерации течения, предполагая,

∂

что концентрация Φ совпадает со своим начальным

v_x +

v_z = 0.

∂x

∂z

профилем Φ₀(x, z). Для определенности мы выбира-

ем гауссово распределение концентрации:

По порядку величины характерное время инер-

ционной релаксации жидкости в щели шириной l

(

))

( (z - Z)²

x²

может быть оценено как l²ρ/η. Для феррожидко-

Φ₀ = Φ⁰ exp

(11)

σ^2z

σ²

стей на основе воды, заполняющих щели шириной l

∼ 1 мм, это время порядка 1 с. Поэтому здесь мы

Здесь точки x = 0, z = Z соответствуют центру

пренебрежем коротким периодом инерционного пе-

«облака» феррочастиц, σ_x,z — дисперсии распреде-

рехода от состояния покоя жидкости к ее течению,

ления концентрации частиц в соответствующих на-

правлениях; они задают характерный размер обла-

пренебрегая в (1) производной∂vi∂t^.

605

А. Ю. Зубарев, А. Ю. Мусихин

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

ка. Отметим, что распределение (11) вполне соот-

ветствует ситуации инжектирования в канал фер-

рожидкости, растворимой в несущей среде, с неко-

торым ее диффузионным размыванием к моменту

включения вращающегося поля.

Даже при использование приближения с началь-

ной концентрацией Φ

≡ Φ₀(x, z) общее решение

уравнения (8) очень сложно, так как оно содер-

жит производные четвертой степени функции Ψ по

Рис. 3. Продольная vx компонента скорости генерируемо-

координатам. Приведенный ниже анализ показыва-

го течения для суспензии сферических частиц (r = 1).

ет, что наиболее интенсивное генерирование тече-

Параметры системы: намагниченность насыщения мате-

ния, следовательно, наиболее интересный, с точки

риала частиц M = 450 кА/м (магнетит); ширина щели

зрения практического применения, случай соответ-

l = 2 мм; напряженность поля H = 50 кА/м; диаметр

ствует сильному неравенству σ_x ≫ σ_z, означающе-

частиц d = 15 нм; объемная концентрация в центре об-

лака Φ⁰ = 0.05; характерный размер облака в продоль-

му, что размер облака в направлении продольной

оси x намного больше размера вдоль поперечной

ном направлении σx = 1 см; в поперечном направлении

σz = l/5 (a) и σz = l/2 (б). Центр капли находится на

оси z. Физически добиться этого можно, например,

уровне Z = l/2 (середина щели). Символы у кривых —

использованием, при инжектировании феррожидко-

продольные координаты, для которых определяется ско-

сти, стационарного магнитного поля соответствую-

рость течения x1 = σx/4; x2 = σx; x3 = 2σx. Расчеты вы-

щей конфигурации, которое может быть выключено

полнены при комнатной температуре (kT ≈ 4 · 10^-21 Дж);

при включении вращающего поля, чтобы не затруд-

угловая частота вращения поля ω = 10 с^-1, что соответ-

нять движение частиц. В этом случае сильные нера-

ствует экспериментам [2, 3]

∂

∂⁴

венства

должны

∂z

z²

x²

∂z⁴

x⁴

выполняться для всех физических величин задачи.

В рамках этого приближения уравнение (8) может

быть переписано как

∂⁴

ω L(κ)

∂²

Ψ=

μ₀HM

Φ₀.

∂z⁴

D_r κ - L(κ) ∂ z²

Решение этого уравнения имеет вид

Ψ=C₀ +C₁z+C₂z² +C₃z³+

Рис. 4. То же, что на рис. 3 при Z = σz /2 (σz = l/2)

∫

ω L(κ)

μ₀HM

Φ₀(x, ς)dς dξ

D_r κ - L(κ)

поле порождает стационарные потоки в рассматри-

ваемом канале. Подчеркнем, что для генерирования

Здесь C_i — постоянные интегрирования, которые

этих потоков необходимо, чтобы концентрация час-

определяются из граничных условий (9):

тиц Φ зависела от пространственных координат.

′

G^′

C₀ = 0; C₁ = 0; C₂ = 3

; C₃ =

-2

l²

l³

3. РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

∫

ω L(κ)

G=-

μ₀HM

Φ₀(x, ς)dς dξ,

Некоторые результаты расчетов продольной

D_r κ - L(κ)

компоненты скорости v_x, представляющей наиболь-

ший интерес с точки зрения транспорта лекарства

∫

ω L(κ)

или другой нейтральной примеси вдоль оси х кана-

G^′ = -

μ₀HM

Φ₀(x, ς)dς dξ.

D_r κ - L(κ)

ла, приведены на рис. 3-5. Отметим, что ширина

канала l выбиралась так, чтобы она соответство-

Отметим, что функция потока Ψ, и следовательно,

вала характерному диаметру кровеносного сосуда,

компоненты скорости течения v, не зависят от вре-

тромбирование которого может вызывать опасность

мени. Это означает, что однородное вращающееся

для здоровья и жизни человека.

606

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ, ИНДУЦИРУЕМЫЕ ФЕРРОЖИДКОСТЬЮ . . .

вать течения с гораздо большой скоростью. Количе-

ственный же расчет требует численного исследова-

ния уравнения Навье—Стокса с учетом нелинейного

инерционного члена.

Оценим характерное время периода, при кото-

ром можно пренебречь изменением концентрации Φ

за счет конвективного переноса частиц генериру-

емыми течениями. По порядку величину это вре-

мя может быть оценено как σ_x/v_x. Если выбрать

Рис. 5. То же, что на рис. 3 для вытянутых эллипсоидов с

аспектным отношением r = 20

σ_x ∼ 10^-2 м и v_x ∼ 10^-3 м/с, то, по порядку ве-

личины, это время около 10 с, что вполне доста-

точно для экспериментального наблюдения описан-

Эти результаты показывают, что при вполне ре-

ной здесь начальной стадии генерации течений, со-

алистических параметрах системы можно генериро-

ответствующей рис. 3 и 4. После этого существен-

вать течения с продольной скоростью выше несколь-

ным становится изменение концентрации Φ за счет

ких миллиметров в секунду. Отметим, что в рабо-

конвективных явлений. Учет этого обстоятельства

те [3] темп диффузионного транспорта тромболи-

делает задачу (1) существенно нелинейной, допус-

тиков в тромбированных сосудах был оценен как

кающей только численные решения. Мы планируем

0.8 мкм/с. Следовательно, конвективные течения с

в ближайшее время провести исследование полной

характерной скоростью порядка миллиметра в се-

нелинейной задачи, включающей в себя уравнение

кунду, действительно, могут существенно интенси-

Навье—Стокса с квадратичным по скорости членом

фицировать транспорт лекарства в таких сосудах.

и учет изменения концентрации Φ со временем. По-

Уменьшение поперечного размера капли σ_z по

лученные здесь результаты свидетельствуют о пер-

сравнению с продольным σ_x, при прочих равных

спективности таких исследований и будут служить

условиях, приводит к заметному увеличению ско-

основой для них.

рости генерируемого течения. Изменение централь-

ного уровня поперечного размера Z капли слабо

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

влияет на величину скорости течения. Эффект же

формы частиц весьма силен — вытянутые эллип-

соидальные частицы генерируют существенно более

В настоящей работе исследована модельная за-

дача о генерации циркуляционных течений в ка-

сильные течения, чем сферические. По мере удале-

нале с немагнитной жидкостью и инжектирован-

ния, вдоль оси х, от внедренного облака феррожид-

ной в нее каплей (облаком) нанодисперсной ферро-

кости, скорость генерируемых течений быстро зату-

жидкости под действием однородного вращающего-

хает. Это значит, что феррожидкость нужно инжек-

ся магнитного поля. Расчеты показывают, что, при

тировать по возможности близко к тромбу.

вполне реалистических параметрах системы, часто-

Оценим правомерность применения приближе-

ты и напряженности магнитного поля, в канале мо-

ния малого числа Рейнольдса Re для рассматрива-

гут быть генерированы течения со скоростью с ам-

емой ситуации. Пусть плотность и вязкость жид-

плитудой порядка 1 мм/c. Эти течения могут суще-

кости равны таковым для воды (ρ ∼ 10³ кг/м³ и

ственно интенсифицировать транспорт нейтральной

η ∼ 10^-3 Па·с), а ширина щели соответствует диа-

молекулярной примеси (лекарства) в несущей жид-

метру кровеносного сосуда, тромбирование которо-

кости, что подтверждает идею, высказанную в ра-

го опасно для здоровья человека (l ∼ 10^-3 м). Тогда

ботах [2, 3] о перспективности метода генерирова-

Re ∼ 1 при v_x ∼ 10^-3 м/с. Это значит, что резуль-

ния магнитоиндуцированных течений в тромбиро-

таты, представленные на рис. 3 и 4 соответствуют

ванных кровеносных сосудах для интенсификации

верхней границе, когда линейные уравнения (1) мо-

в них транспорта тромболитиков. Наши результа-

гут быть использованы, результаты же, представ-

ты показывают, что использование феррожидкости

ленные на рис. 5 — вне области применимости этих

с длинными стержнеобразными частицами, с точки

уравнений. Однако результаты, представленные на

зрения генерирования течений, может быть гораздо

рис. 5 качественно указывают на то, что при ис-

более эффективным, чем использование традицион-

пользовании длинных стержнеобразных частиц вме-

ных феррожидкостей со сферическими частицами.

сто сферических вращающее поле может генериро-

607

А. Ю. Зубарев, А. Ю. Мусихин

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Представленные аналитические результаты получе-

F. M. Creighton, Magnetic-based systems for treating

ны в предположении о выполнении довольно силь-

occluded vessels, U.S. Patent No. 8.308.628 (2012).

ных упрощений (малые числа Рейнольдса; сохране-

M. J. Clements, A mathematical model for

ние профиля концентрации внедренных магнитных

magnetically-assisted delivery of thrombolytics in

наночастиц в неизменном начальном виде). Выход

occluded blood vessels for ischemic stroke treatment:

за рамки этих приближений требует численного ис-

Doctoral dissertation, Texas University (2016).

следования нелинейных уравнений феррогидроди-

намики и переноса примеси, что должно быть пред-

J. L. F. Gabayno, D. W. Liu, M. Chang, and

метом отдельной работы.

Y. H. Lin, Nanoscale 7, 9 (2015).

Представленные результаты могут быть основой

Q. Li, X. Liu, M. Chang, and Z. Lu, Materials 11, 11

для таких исследований. Необходимо отметить, что

(2018).

в этой работе мы не учитывали влияние тромба на

генерируемые течения. Такая задача, в силу суще-

A. Musikhin, A. Zubarev, M. Raboisson-Michel,

ственного изменения граничных условий, требует

G. Verger-Dubois, and P. Kuzhir, Phil. Trans. R. Soc.

отдельного исследования.

A. 378, (2020).

Следует также отметить, что, в принципе, дви-

В. М. Зайцев, М. И. Шлиомис, Журнал приклад-

жение магнитных частиц во вращающемся поле мо-

ной механики и технической физики, 5 (1969).

жет вызывать нагрев содержащей их жидкости.

Этот эффект (магнитная гипертермия) активно ис-

R. Rosensweig, Ferrohydrodynamics, Cambridge,

следуется в литературе в связи с перспективами его

New York (1985).

применения для лечения онкологических заболева-

ний (см., например, [13, 14]). Из многочисленных

В. Покровский, Статистическая механика раз-

бавленных суспензий, Наука, Москва (1978).

теоретических и экспериментальных работ извест-

но, что заметный нагрев жидкости с вязкостью воды

10.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Электродинамика

происходит при частотах поля порядка десятков и

сплошных сред, Наука, Москва (1982).

сотен килогерц. Поэтому при рассмотренных часто-

тах порядка 10 Гц сколько-нибудь ощутимых терми-

11.

М. А. Марценюк, Ю. Л. Райхер, М. И. Шлиомис,

ческих эффектов не будет.

ЖЭТФ 65, 1 (1973).

Благодарности. Работа выполнена при под-

12.

E. Blums, A. Cebers, M. Maiorov, Magnetic Fluids,

держке РФФИ (грант 21-52-12013) и Министерства

Walter de Gruyter, Berlin (1997).

науки и образования РФ (проект FEUZ-2023-0020).

13.

L. Trahms, Biomedical applications of magnetic

nanoparticle. Colloidal magnetic fluids. Basics,

ЛИТЕРАТУРА

development and applications of ferofluids, Springer,

Berlin (2009).

1. L. Thrums, Biomedical applications of magnetic

nanoparticles in colloidal magnetic fluids. Basics,

14.

L. Chang, X. L. Liu, D. D. Fan, Y. Q. Miao, H. Zhang,

Development and application of ferrofluids, Springer,

H. P. Ma, Q. Y. Liu, P. Ma, W. M. Xue, Y. E. Luo,

Berlin (2009).

and H. M. Fan, Int. J. Nanomedicine 11, (2016).

608