ЖЭТФ, 2023, том 163, вып. 4, стр. 597-601

РЕЗОНАНСНЫЙ МЕТОД ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ

СПИНОВОГО ТРАНСПОРТА В СПИН-ВЕНТИЛЬНОЙ

СТРУКТУРЕ

Н. В. Стрелков^*, А. В. Ведяев

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Физический факультет

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 4 декабря 2022 г.,

после переработки 4 декабря 2022 г.

Принята к публикации 5 декабря 2022 г.

Известные методы измерения параметров спинового транспорта в спин-вентильных структурах основы-

ваются на эффекте Ханле — прецессии спинов электронов во внешнем магнитном поле и уменьшении

магниторезистивного сигнала. Они позволяют определить время спиновой релаксации в парамагнитном

слое и константу относительной поляризации тока. Мы описываем альтернативный метод измерения

без приложения внешнего магнитного поля, основанный на резонансном увеличении магнитной вос-

приимчивости парамагнитного слоя в результате парамагнитного резонанса, вызванного неравновесной

намагниченностью в результате эффекта спиновой аккумуляции. Предложенный метод позволяет опре-

делить абсолютное значение спиновой аккумуляции в парамагнетике, которое может использоваться как

параметр для численного решения трехмерных диффузионных уравнений спинового транспорта.

DOI: 10.31857/S0044451023040168

тивления R системы. Измеряя зависимость сопро-

EDN: MLUABT

тивления спин-вентильной структуры от H, можно

построить кривую Ханле R(H). Спин-транспортные

1. ВВЕДЕНИЕ

параметры подбираются так, чтобы точнее аппрок-

симировать построенную кривую с помощью ана-

Спин-вентильные структуры (рис. 1) явля-

литической модели [8]. Этот метод легко реализо-

ются элементарным элементом современных

вать технически, так как в нем применяются только

спин-транспортных устройств и состоят из двух

электрические измерения. Однако внешнее магнит-

ферромагнитных электродов, L₁ и L₃, разделенных

ное поле отклоняет намагниченности ферромагнит-

слоем парамагнитного металла L₂. Устройства,

построенные на базе таких структур, могут выпол-

нять функции элементов магнитной памяти [1, 2]

и датчиков магнитного поля [3] благодаря эффек-

ту гигантского магнитосопротивления (ГМС) [4].

Задачи оптимизации и управления спиновым

транспортом в спин-вентильных структурах произ-

вольной геометрии сводятся к численным расчетам

диффузных уравнений

[5] методом конечных

элементов [6].

Спин-транспортные параметры для численных

расчетов, такие как относительная спиновая поля-

ризация тока P и спин-диффузионная длина l_sf из-

Рис. 1. Модель рассматриваемой спин-вентильной струк-

меряются методами, в основе которых лежит эф-

туры. Слои L1 и L3 — ферромагнитные, а L2 — металличе-

фект Ханле [7]. Данный эффект заключается в пре-

ский парамагнитный. Намагничености M1 и M3 зафикси-

цессии спинов электронов во внешнем магнитном

рованы в противоположных направлениях, чтобы обеспе-

поле H и, как следствие, уменьшении магнитосопро-

чить постоянство знака спиновой аккумуляции вдоль слоя

L2. Ток Je протекает вдоль оси x. Напяжение V измеря-

^* E-mail: nik@magn.phys.msu.ru

ется на электродах L1 и L3

597

Н. В. Стрелков, А. В. Ведяев

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

ных электродов, что приводит к неточностям при

аппроксимации аналитической функцией.

В данной работе мы описываем альтернативный

метод измерения спин-транспортных параметров,

основанный на эффекте парамагнитного резонанса

в слое L₂, вызванного неравновесной намагничен-

ностью в результате эффекта спиновой аккумуля-

ции. Измерение восприимчивости необходимо про-

водить с помощью высокочастотных методов, на-

пример, с использованием векторного анализатора

цепей (ВАЦ) [9].

Для возбуждения неравновесной намагни-

ченности в парамагнитном слое L₂ через спин-

вентильную структуру пропускается электрический

ток J_e. Намагниченность ферромагнитных электро-

дов зафиксирована в противоположных направле-

ниях, чтобы знак спиновой аккумуляции оставался

Рис. 2. Поляризационный пропагатор Πsc , усредненный по

постоянным. Если длина спиновой диффузии l_sf в

примесям и определяющий восприимчивость электронно-

слое L₂ больше, чем длина этого слоя, то спиновая

го газа с рассеянием на случайном потенциале примесей

аккумуляция в нем может рассматриваться как

V0. Вершинная часть Γsc — диффузионный полюс («диф-

однородная. Неравновесное обменное расщепление,

фузон»), рассчитанный из уравнения Бете - Солпитера в

возникающее из-за этого в слое L₂, будет создавать

лестничном приближении

условия для парамагнитного резонанса. Наличие

где H₀ = ε_σ(k)a^†kσa_kσ — гамильтониан свободных

резонанса, в свою очередь, приведет к увеличению

магнитной восприимчивости.

электронов, a^†kσ и akσ — операторы рождения

и уничтожения электрона со спином σ и волно-

В следующих разделах мы вычислим парамаг-

нитную восприимчивость с учетом примесей и на-

вым вектором k, V (r) — случайный потенциал

примесей. Энергию электронов можно выразить

личия неравновесного обменного расщепления. Да-

как ε_σ(k)

= ε_k - μ^σ, где μ^σ — неравновесный

лее, мы численно рассчитаем величину спиновой ак-

спин-зависящий химический потенциал [12].

кумуляции и связанную с ней величину обменно-

Для расчета восприимчивости необходимо вы-

го расщепления в парамагнитном слое предложен-

ной спин-вентильной структуры. Для полученного

числить вершинную часть Γ_sc (или «диффузон»).

Величина Γ_sc может быть получена из уравнения

значения мы построим резонансные кривые пара-

магнитной восприимчивости, которые определяют-

Бете - Солпитера, которое упрощается в лестничном

приближении суммированием диаграмм на рис. 2

ся спин-транспортными параметрами системы.

с использованием примесной диаграммной техни-

ки [13]. Его можно записать в виде [11]

2. ВОСПРИИМЧИВОСТЬ

nV²⁰

Γ_sc(q, ω) =

В электронном газе различают две компоненты

ℏ - nV 20 Π_sc(q,ω)

магнитной восприимчивости: продольную χ_⊥ и по-

nV²⁰ℏ^-1

перечную χ_∥. Инвариантность по отношению к вра-

(1)

−i(ω - Δμ/ℏ)τ + D₀q²τ + τ/τ_sf

щению устанавливает связь между ними: χ_∥ = 2χ_⊥,

поэтому мы рассмотрим только поперечную компо-

где q и ω — волновой вектор и частота внеш-

ненту.

ней электромагнитной волны соответствен-

∫

Восприимчивость χ_⊥ невзаимодействующего

но, nV²⁰

= n(

V (r) dr)², n

— концентрация

электронного газа с учетом рассеяния на при-

примесей, V (r)

— потенциал одной приме-

месях с малой концентрацией была рассмотрена

си, τ

— время релаксации упругого рассеяния,

ранее в равновесном случае [10, 11]. Мы расши-

Δμ = μ^↑ - μ^↓ — неравновесное расщепление по

рили эту теорию и учли вклад от неравновесной

спину, τ^-1sf = (4/3)(τ^-1s + τ^-1so) — время релаксации с

намагниченности, вызванный эффектом спино-

переворотом спина, τ_s и τ_so — спин-спиновая и спин-

вой аккумуляции. Гамильтониан системы в этом

орбитальная части соответственно, D₀ = v^2F τ/3 —

случае будет записываться как H

= H₀ + V (r),

константа диффузии Друде и v_F

— скорость

598

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Резонансный метод измерения параметров спинового транспорта. . .

электронов на уровне Ферми. Невозмущенный

Действительная часть выражения (5) при частоте

поляризационный пропагатор Π_sc может быть

резонанса (6) постоянна и равна половине воспри-

вычислен как интеграл в трехмерном пространстве,

имчивости невзаимодействующего газа свободных

учитывая золотое правило Ферми τ^-1 = πN_F nV²⁰:

электронов, max (Re χ^sc⊥ ) = N_F /2, тогда как мнимая

∑

часть имеет более сложный вид:

Π_sc(q, ω) =

G^R↑(k + q, ε + ℏω)G^A↓(q, ε) =

N_F Δμ/ℏ

max (Im χ^sc⊥ ) =

∫

-1

τ_s

+D₀q²

d³k

G^R↑(k + q, ε + ℏω)G^A↓(q, ε) ≈

⎛

(

⎞

(2π)³

)

(

)₂

)

(

)

⎜

τ^-1sf + D₀q²

⎟

ℏ

Δμ

⎝1 +

√1 +

⎠.

(7)

≈

1+i ω-

τ-D₀τq² -

(2)

Δμ/ℏ

nV²⁰

ℏ

τ_sf

В результате можно записать поперечную вос-

Для оценки энергии обменного расщепления Δμ,

приимчивость χ^sc⊥ в виде

вызванной эффектом спиновой аккумуляции в пара-

∫

магнитном слое L₂ необходимо решить диффузные

χ^sc⊥(q, ω) = N_F +

[n(ε + ℏω) - n(ε)] 〈Π_sc 〉 dε,

спин-зависящие транспортные уравнения в спин-

iπ

вентильной структуре, как это сделано в следующем

(3)

разделе.

где N_F — плотность состояний электронов на уровне

Ферми на один атом, n(ε+ℏω)-n(ε) = -ℏωδ(ε-E_F ),

3. СПИНОВАЯ АККУМУЛЯЦИЯ

а 〈Π_sc 〉 — поляризационный пропагатор (см. рис. 2),

усредненный по примесям в лестничном приближе-

Теория спинового транспорта в геометрии, ко-

нии. С учетом того, что ωτ ≪ 1, τ-1sf ≪ τ-1 и

гда ток перпендикулярен интерфейсу между сло-

|q|l ≪ 1, он принимает следующую форму:

ями, была предложена в работе Вале и Ферта [5].

Уравнения диффузии в спин-вентильной структуре

в случае коллинеарной ориентации намагниченно-

〈Π_sc (q, ω)〉 = 〈G^R↑(k + q, ε + ℏω)G^A↓(q, ε)〉 =

сти в ферромагнитных слоях записываются в виде

= Π_sc(q,ω) + Π^2sc(q,ω)Γ_sc(q,ω) =

∑

∂

N_F π

j^ie = 0,

(4)

∂ξ_i

-i(ω - Δμ/ℏ) + D₀q² + τ^-1

(8)

∑

∂

j^ijm = -

Подставляя (4) в (3), получим окончательное выра-

∂ξ_i

a³⁰τ_sf

жение для поперечной восприимчивости, учитывая,

где m_j — j-я компонента вектора спиновой аккуму-

что ℏω ≪ E_F и |q| ≪ k_F [14]:

ляции на один атом, ξ_i = x, y. Вектор зарядового

-1

тока J_e с компонентами j^ie и тензор спинового тока

Δμ/ℏ - i(D₀q² + τ_s

)

χ^sc(q, ω) = -N

(5)

j^ijm выражаются следующим образом:

⊥

^F (ω - Δμ/ℏ) + i(D₀q² + τ^-1sf)

∑

∂

βσ

∂

j^ie = -σ

ϕ-

M_j m_j,

Как можно увидеть из выражения (5) для вос-

∂ξ_i

|e_c|N_F

∂ξ_i

приимчивости, она имеет резонансный вид из-за

(9)

σβ

∂

наведенного обменного расщепления Δμ, вызван-

j^ijm = -

ϕ-

m_j,

|e_c|

M_j ∂ξ_i

e^2cN_F ∂ξ_i

ного эффектом спиновой аккумуляции. В отсут-

ствие примесей (τ^-1sf + D₀q²

= 0) восприимчи-

где ϕ — электрический потенциал, σ — проводи-

вость (5) принимает вид лоренциана с резонансной

мость, которая связана с константой диффузии че-

частотой ω_R = Δμ/ℏ. В статическом случае, при

рез соотношение Эйнштейна: σ = e^2cN_F D₀/a³⁰ [15],

ω = 0, восприимчивость равна восприимчивости

M_j — j-я компонента единичного вектора вдоль на-

невзаимодействующего газа свободных электронов,

магниченности ферромагнитного слоя, a₀ — пара-

χ^sc⊥(0, 0) = N_F .

метр решетки, β — параметр спиновой ассиметрии

Можно легко показать, что резонансная частота

проводимости и e_c — заряд электрона.

мнимой части восприимчивости (5), которая ответ-

Система диффузных уравнений (8) с выражени-

ственна за поглощение, имеет вид

ями для токов (9) описывает спин-зависящий транс-

√

порт в спин-вентильной структуре. Эта система

ω_R = (Δμ/ℏ)² + (τ^-1sf + D₀q²)².

(6)

уравнений может быть решена численно с использо-

599

Н. В. Стрелков, А. В. Ведяев

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Рис.

3. (В цвете онлайн) Численный расчет спино-

Рис.

4. Мнимая часть поперечной восприимчивости

вого транспорта в спин-вентильной структуре. Цветом

χsc⊥ (5), деленая на NF , в парамагнитном слое L2 как

обозначена величина x-компоненты спиновой аккумуля-

функция частоты f = ω/2π падающей волны для различ-

ции. Напряжение 0.83 В, приложенное между электрода-

ных значений волнового вектора q. На вставке показана

ми L1 и L3, создает зарядовую плотность тока 10⁸ А/см².

зависимость резонансной чатоты (6) от волнового векто-

Проводимость парамагнитных и ферромагнитных слоев

ра q. Параметры расчета: NF = 0.1 эВ^-1, vF = 10⁸ см/с,

σ2,4

= 10^-2 (Ом · нм)^-1 и σ1,3,5 = 10-3 (Ом · нм)-1

τ = 5.5 · 10-14 с (соответствует σ = 10-2 (Ом · нм)-1),

соответственно. Время релаксации с переворотом спина

τ_sf

= 2.4·10^-12 с (соответствует l_sf = 200 нм), a0 = 0.3 нм,

τsf2,4 = 2.4 · 10-12 с (соответствует диффузионной длине

mx = 9.5 · 10^-4 (соответствует Δμ = 9.5 · 10^-3 эВ)

lsf = 200 нм) и τsf1,3,5 = 6 · 10-14 с (lsf = 10 нм), спиновая

деляется выражением (7). Уменьшение величины

асимметрия проводимости β1,3,5 = 0.7 и NF = 0.1 эВ^-1

плотности тока в спин-вентильной структуре при-

ванием метода конечных элементов для любой гео-

ведет к уменьшению величины спиновой аккумуля-

метрии, например так, как это показано в работе [6].

ции, а следовательно, и падению резонансной час-

Численные вычисления x-компоненты вектора

тоты.

спиновой аккумуляции представлены на рис. 3. Ее

Аппроксимируя экспериментальную кривую

значение в парамагнитном слое L₂ практически по-

мнимой части магнитной восприимчивости функ-

стоянно и равно в среднем 9.5 · 10^-4. При этом плот-

цией Лоренца, можно найти величину Δμ, которая

ность тока через спин-вентильную структуру со-

будет определяться положением резонанса, и ве-

ставляет 10⁸ А/см². Диффузионная длина l_sf свя-

личину τ_sf , которая будет определяться шириной

зана со временем релаксации электрона с перево-

резонансной кривой. Здесь мы учли, что волновой

ротом спина, τ_sf , в уравнении (8) и определяется

√

вектор q электромагнитной волны мал, порядка

выражением l_sf

D₀τ_sf . Используя соотноше-

ω/c, где c — скорость света, а частота спиновой

ние Эйнштейна и полагая параметр решетки рав-

релаксации пренебрежимо мала по сравнению с

ным a₀ = 0.3 нм, легко показать, что l_sf для пара-

частотой резонанса, τ^-1sf ≪ Δμ/ℏ.

и ферромагнитного слоев равны 200 нм и 10 нм со-

ответственно. Можно теперь оценить величину об-

4. ВЫВОДЫ

менного расщепления Δμ = m_x/N_F в парамагнит-

ном слое L₂ и рассчитать частотную зависимость

В заключение сформулируем основные резуль-

поперечной восприимчивости. Заметим, что относи-

таты работы. Нами была рассчитана поперечная

тельная поляризация тока выражается через Δμ как

магнитная восприимчивость парамагнитного слоя

P = Δμ/E_F.

спин-вентильной структуры с учетом упругого и

На рис. 4 показана зависимость поперечной вос-

спин-зависящего рассеяния под действием эффек-

приимчивости χ^sc⊥ (5) в парамагнитном слое L₂ с

та неравновесной спиновой аккумуляции. Было по-

параметрами спин-вентильной структуры, перечис-

казано, что парамагнитная восприимчивость име-

ленными в подписи к рис. 3, как функция частоты

ет резонансный характер, который зависит от ве-

f = ω/2π и волнового вектора q падающей вол-

личины спиновой аккумуляции, создаваемой то-

ны. На вставке изображена зависимость резонанс-

ком, протекающим через спин-вентильную струк-

ной частоты (6) от волнового вектора q. Значение

туру. Аппроксимируя экспериментальную частот-

мнимой части поперечной восприимчивости опре-

ную зависимость мнимой части восприимчивости

600

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Резонансный метод измерения параметров спинового транспорта. . .

полученными аналитическими зависимостями,

T. Valet and A. Fert, Phys. Rev. B 48, 7099 (1993).

можно вычислить такие параметры спинового

N. Strelkov, A. Vedyayev, N. Ryzhanova et al., Phys.

транспорта, как спин-диффузная длина l_sf , вели-

Rev. B 84, 024416 (2011).

чина спиновой аккумуляции Δμ и соответствующие

им величины: время спиновой релаксации τ_sf и от-

M. Johnson and R. H. Silsbee, Phys. Rev. Lett. 55,

носительная спиновая поляризация тока P . Дан-

1790 (1985).

ный метод позволит избежать отклонения намагни-

F. J. Jedema, H. B. Heersche, A. T. Filip et al.,

ченности ферромагнитных электродов, так как не

Nature 416, 713 (2002).

подразумевает использования внешнего магнитного

поля в отличие от метода, основанного на эффекте

S. Noh, D. Monma, K. Miyake et al., IEEE Trans.

Ханле.

Magn. 47, 2387 (2011).

Ограничением данного экспериментального ме-

10.

B. L. Altshuler, A. G. Aronov, D. E. Khmelnitskii,

тода является требование к толщине парамагнит-

and A. I. Larkin, in Quantum Theory of Solids, ed. by

ного слоя, которая должна быть заведомо мень-

I. M. Lifshits, Mir Publ., Moscow (1982), p. 130.

ше, чем спин-диффузионная длина l_sf для обеспе-

чения однородности спиновой аккумуляции вдоль

11.

B. L. Altshuler and A. G. Aronov, in Electron-Ele-

парамагнетика. Плотность тока, протекающего че-

ctron Interactions in Disordered Systems, ed. by

рез спин-вентильную структуру, должна быть как

A. L. Efros and M. B. Pollak, Elsevier, Amsterdam

(1985), pp. 1-153.

можно больше, чтобы резонанс магнитной воспри-

имчивости хорошо выделялся на уровне термоэлек-

12.

P. C. van Son, H. van Kempen, and P. Wyder,

трических флуктуаций.

Phys. Rev. Lett. 58, 2271 (1987).

13.

А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков, И. Е. Дзялошин-

ЛИТЕРАТУРА

ский, Методы квантовой теории поля в стати-

стической физике, Физматлит, Москва (1962)

1. S. S. P. Parkin, K. P. Roche, M. G. Samant et al.,

[A. A. Abrikosov, L. P. Gorkov, and I. E. Dzyaloshin-

J. Appl. Phys. 85, 5828 (1999).

ski, Methods of Quantum Field Theory in Statistical

Physics, ed. by R. Silverman, Dover publ., New York

2. S. Tehrani, J. M. Slaughter, M. Deherrera et al.,

(1963)].

Proc. IEEE 91, 703 (2003).

3. B. Dieny, V. S. Speriosu, S. S. P. Parkin et al.,

14.

D. Pines and P. Nozières, The Theory of Quantum

Phys. Rev. B 43, 1297 (1991).

Liquids, Vol. 1, CRC Press, Boca Raton (2018).

4. M. Baibich, J. M. Broto, A. Fert et al., Phys. Rev.

15.

S. Zhang, P. M. Levy, and A. Fert, Phys. Rev.Lett.

Lett. 61, 2472 (1988).

88, 236601 (2002).

601

ЖЭТФ, вып. 4