ЖЭТФ, 2023, том 163, вып. 4, стр. 574-584

ИНЖЕКЦИЯ ЧИСТО СПИНОВОГО ТОКА В ГЕЛИМАГНЕТИК

И. А. Ясюлевич^a*, Н. Г. Бебенин^a, В. В. Устинов^a,b**

^a Институт физики металлов им. М. Н. Михеева Уральского отделения Российской академии наук

620137, Екатеринбург, Россия

^b Институт естественных наук и математики,

Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б. Н. Ельцина

620002, Екатеринбург, Россия

Поступила в редакцию 10 ноября 2022 г.,

после переработки

10 ноября 2022 г.

Принята к публикации 30 ноября 2022 г.

Изучена инжекция чисто спинового тока в проводящий гелимагнетик. Найдены характерные длины зату-

хания инжектированного в гелимагнетик спинового тока и описан их физический смысл. Показано, что в

гелимагнетиках вместо длины спиновой диффузии возникает характерная длина затухания, которая все-

гда меньше длины спиновой диффузии, причём уменьшение определяется отношением периода спирали

гелимагнетика к длине спиновой диффузии. Предсказано существование «эффекта киральной поляри-

зации чисто спинового тока», заключающегося в том, что при инжекции в гелимагнетик вдоль оси его

магнитной спирали чисто спинового тока с поперечной (продольной) относительно оси поляризацией

возникает зависящий от киральности спирали спиновый ток продольной (поперечной) поляризации.

DOI: 10.31857/S0044451023040144

Спиновый ток в проводящих магнетиках мо-

EDN: MHXONQ

жет быть следствием протекания электрического

тока, если перенос заряда осуществляется спин-

поляризованными электронами. Возможна, однако,

1. ВВЕДЕНИЕ

и ситуация, когда в проводящем материале пере-

После открытия эффекта гигантского маг-

нос спинового момента электронами проводимости

нитосопротивления в магнитных сверхрешетках

в некотором заданном направлении происходит в

Fe/Cr

[1] началось интенсивное развитие осо-

отсутствие электрического тока, текущего в этом

бой ветви электроники — спиновой электроники.

же направлении. Примером этому служит спиновый

Предмет многочисленных исследований в области

эффект Холла [4-6]. Спиновый ток, не сопровожда-

спинтроники составляют сегодня явления переноса

емый электрическим током (переносом электриче-

спинового момента. Здесь мы сошлемся лишь на

ского заряда), получил название «чисто спинового

монографию [2] с ёмким названием

«Спиновый

тока».

ток». Двадцать пять глав этой книги дают полное

Основными материалами спинтроники сегодня

представление о сегодняшнем состоянии дел в изу-

являются металлы и полупроводники, причем не

чении эффектов, связанных с переносом спинового

только ферромагнитные. За последние годы откры-

момента спиновыми токами.

то большое число интересных спиновых эффектов

Перенос спинового момента в магнитных метал-

в антиферромагнетиках и наноструктурах на их ос-

лах и полупроводниках может осуществляться спин-

нове, см., например, обзоры [7, 8]. Было показано,

поляризованными электронами. В магнитных ди-

что новые спиновые эффекты могут реализоваться

электриках за перенос магнитного момента ответ-

в антиферромагнетиках с неколлинеарными подре-

ственны спиновые волны — магноны. Соответству-

шетками, см., например, [9, 10].

ющее направление спинтроники и спин-волновой

электроники получило название «магноника» [3].

Особый класс антиферромагнетиков составляют

кристаллы с модулированными магнитными струк-

^* E-mail: yasyulevich@imp.uran.ru

турами, многие из них указаны в обзоре [11]. Од-

^** E-mail: ustinov@imp.uran.ru

на из структур такого рода — простая спираль —

574

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Инжекция чисто спинового тока в гелимагнетик

была открыта еще в середине прошлого века; этот

намагниченности меняется в пространстве с перио-

тип магнитного упорядочения реализуется в неко-

дом L_H = 2π/q.

торых редкоземельных металлах (Eu, Dy, Ho, Tb), а

Для простоты используем приближение среднего

также в большом числе соединений с различным ти-

поля. В этом приближении наличие обменного вза-

пом проводимости. Такую структуру часто называ-

имодействия между локализованными электронами

ют геликоидальной.

и электронами проводимости описывается как дей-

Исследование электрических свойств материа-

ствие на спин электрона проводимости неоднород-

лов с геликоидальной магнитной структурой нача-

ного обменного поля ΛM, создаваемого магнитны-

лось почти сразу после их открытия и продолжает-

ми моментами локализованных электронов, где Λ —

ся по сей день [12-20]. Спиновый ток в металлах

безразмерный параметр, характеризующий величи-

с геликоидальным магнитным порядком изучался

ну s - d(f)-обменного взаимодействия.

в [21-26]. К настоящему времени опубликован ряд

Координатная и временная зависимость намаг-

экспериментальных данных по инжекции чисто спи-

ниченности электронов проводимости m может

нового тока в гелимагнетик, см., например, [27-29],

быть описана с помощью уравнения Блоха - Тор-

однако, насколько известно авторам настоящей ра-

ри [31]:

боты, теоретический анализ такой инжекции не про-

↔

водился.

∂m/∂t + γ [ m × ΛM ] + ∇ ·

J_m + δm/τ_S = 0.

(1)

Целью настоящей работы является построение

теории инжекции чисто спинового тока в гелимагне-

Здесь δm

= m - m₀ — отклонение элек-

тик. В рамках простого феноменологического под-

тронной намагниченности m от своего локально-

хода будет показано, каким образом спиральная

равновесного значения m₀, γ — гиромагнитное от-

магнитная структура влияет на глубину проникно-

ношение, τ_S — время спин-решеточной релаксации,

↔

вения неравновесной электронной намагниченности

J_m — тензор (второго ранга) потока намагничен-

в глубь гелимагнетика и каким образом поляриза-

ности. Поток намагниченности, описываемый тензо-

↔

ция спинового тока в материале с простой спираль-

ром

J_m, возникает, во-первых, из-за спиновой диф-

ной магнитной структурой зависит от поляризации

фузии и, во-вторых, благодаря упорядоченному дви-

спинового тока на границе.

жению электронов с дрейфовой скоростью w, так

что

↔

2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

J_m = -D∇ ⊗ δm + w ⊗ m.

Свойства проводящих магнетиков будем рас-

Здесь D — коэффициент электронной диффузии,

сматривать в рамках s - d(f)-обменной модели [30].

знак ⊗ используется для обозначения операции тен-

Ограничимся рассмотрением гелимагнетика, зани-

зорного произведения векторов. В настоящей работе

мающего полупространство z

≥ 0, в котором в

нас будут интересовать только чисто спиновые токи,

отсутствие внешнего магнитного поля реализуется

поэтому будем полагать w = 0.

магнитная структура типа «простая спираль». Бу-

Далее мы будем рассматривать уравнение (1) в

дем полагать, что ось магнитной спирали совпадает

предположении, что его решения δm зависят только

с осью Z, направление которой задается единичным

от координаты z. Тогда

вектором e_z. В такой магнитной структуре отлична

от нуля только поперечная относительно оси спи-

↔

рали Z компонента намагниченности локализован-

J_m = -De_z ⊗ ∂δm/∂z,

ных электронов. Длину M вектора намагниченно-

↔

сти локализованных электронов M будем считать

откуда следует, что из девяти компонент тензора

J_m

не зависящей от координаты z величиной. Направ-

отличны от нуля только три компоненты с индекса-

ление вектора M будем задавать единичным векто-

ми zj, где j = x, y, z.

ром h = M/M, который меняется с ростом z как

Следуя работе [25], введем в рассмотрение век-

тор P поляризации спинового тока, текущего в на-

h = ex cosKqz + e_y sinKqz,

правлении z:

↔

P=e_z ·

где q — волновое число геликоида, K = ±1 — ки-

ральность спирали намагниченности, e_x и e_y — еди-

В рамках настоящей работы нас будут интересовать

ничные векторы соответственно вдоль осей X и Y .

только стационарные решения уравнения (1), так

В гелимагнетике с волновым числом q направление

что производная по времени в (1) может быть опу-

575

И. А. Ясюлевич, Н. Г. Бебенин, В. В. Устинов

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

щена. С учётом сказанного уравнение (1) можно пе-

независимых констант, используем граничное усло-

реписать в виде

вие (3).

∂P/∂z + γ [ δm × ΛM ] + δm/τ_S = 0.

(2)

3. ХАРАКТЕРНЫЕ ДЛИНЫ ЗАТУХАНИЯ

Уравнение (2) необходимо дополнить граничным

ЭЛЕКТРОННОЙ НАМАГНИЧЕННОСТИ В

условием. Будем считать, что на границе z = 0 за-

ГЕЛИМАГНЕТИКЕ

дан вектор поляризации инжектируемого спинового

тока P₀. Тогда граничное условие к уравнению (2)

Уравнение (6) имеет шесть корней, из которых

можно записать в виде

три корня, удовлетворяющие условию Re κ > 0, опи-

сывают решения, затухающие при ζ → +∞. Можно

P(z = 0) = P₀.

(3)

показать, что из этих трёх корней один корень κ₁ —

Векторное уравнение (2) эквивалентно системе

действительный, а два других, κ₂ и κ₃, являются

уравнений

комплексно-сопряжёнными. Эти корни определяют

значения двух характерных длин затухания спино-

∂

-L²

δm_x + δm_x - τ_S Ω_H δm_z sinKqz = 0,

вых возмущений в гелимагнетике, которые мы опре-

^S∂z²

делим как L_D = L_S /κ₁ и L_P = L_S /Re κ₂.

∂

-L²

δm_y + δm_y + τ_S Ω_H δm_z cosKqz = 0,

Решение характеристического уравнения

(6)

^S∂z²

(4)

можно найти в явном виде, использовав формулы

∂

-L²

δm_z + δm_z -

Кардано. Однако получающиеся при этом вы-

^S∂z²

ражения (см. Приложение А) трудно обозримы,

− τ_SΩ_H[δmx sinKqz - δmy cosKqz ] = 0.

поэтому ниже приводятся простые приближенные

Здесь L_S =

√Dτ_S — длина спиновой диффузии,

формулы, которые могут дать удовлетворительное

Ω_H = γΛM — частота прецессии в обменном поле

качественное, а в некоторых случаях и количе-

ΛM. Переходя к циркулярным компонентам, пола-

ственное, описание пространственной зависимости

гая

неравновесной электронной намагниченности при

δm_± = δm_x ± iδm_y = μ_±e^±Kiηζ,

спиновой инжекции в гелимагнетик.

M_± = M_x ± iM_y = Me^±Kiηζ,

Рассмотрим сначала предельный случай q = 0

(η = 0). Фактически это случай однородного фер-

для величин μ_± (z) и δm_z получаем систему уравне-

ромагнетика, в котором локализованные магнитные

ний:

моменты направлены вдоль оси X. Этот случай реа-

∂²

∂

(

)

лизуется, например, в диспрозии при T < 87 K. Три

μ₊ + 2iKη

μ₊ -

1+η²

μ₊ - iλδm_z = 0,

∂ζ²

∂ζ

нужных нам корня уравнения (6) таковы: κ₁ = 1,

√

∂²

∂

(

)

κ₂ =

1 + iλ, κ₃ = κ^∗2. При вычислении κ₂ знак

μ_- - 2iKη

μ_- -

1+η²

μ_- + iλδm_z = 0,

квадратного корня выбирается из условия Re κ₂ > 0.

∂ζ²

∂ζ

Знак λ для определенности выбираем положитель-

∂²

√

δm_z - δm_z - i

(μ₊ - μ_-) = 0.

(5)

ным; если λ ≫ 1, то κ₂ = (1 + i)

λ/2. Первый ко-

∂ζ²

рень κ₁ описывает затухание x-компоненты намаг-

Здесь ζ = z/L_S, η = qL_S , λ = τ_S Ω_H . Подстав-

ниченности на длине L_D = L_S /κ₁, которая в силу

ляя μ_± = C_±e^-κζ , δm_z = C_ze^-κζ , получаем систему

выполнения равенства κ₁ = 1 в точности совпада-

уравнений для констант C_±, C_z. Приравнивая де-

ет с длиной спиновой диффузии: L_D = L_S. Корни

терминант этой системы к нулю, получаем характе-

κ₂ и κ₃ описывают прецессию спиновой намагничен-

ристическое уравнение для определения κ:

ности электронов вокруг направления намагничен-

(

)[(

)₂

]

ности локализованных спинов, амплитуда которой

κ² - 1

κ² - 1 - η²

+ 4η²κ2 +

затухает на длине

(

)

√

+λ²

κ² - 1 - η²

= 0.

(6)

L_P = L_S/ Re

1 + iλ.

Из шести корней характеристического уравнения (6)

Поиск решения уравнения (6) в гелимагнетике

необходимо использовать только те, которые описы-

существенно упрощается, когда λ ≫ 1 + η². В этом

вают решения, затухающие при стремлении ζ к +∞.

случае, используя метод последовательных прибли-

Подставляя найденные κ в систему уравнений для

жений (см. Приложение В), получаем

констант C_±, C_z, найдем соотношения между эти-

√

ми константами. Для того чтобы найти величину

κ₁ =

1 + η², κ₂ = (1 + i)

λ/2, κ₃ = κ^∗2.

576

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Инжекция чисто спинового тока в гелимагнетик

Соответствующие корням κ₁ и κ_2,3 характерные

длины затухания электронной намагниченности в

гелимагнетике могут быть записаны в виде

√

L_D = L_S/

1+η²,

(7)

√

L_P = L_S/

λ/2.

(8)

Очевидно, что характерная длина L_D в гелимаг-

нетике является аналогом длины спиновой диффу-

зии L_S в ферромагнетике. В случае гелимагнетика

эта характерная длина тем меньше, чем меньше пе-

риод спиральной структуры. Если выполнено нера-

венство η = qL_S ≫ 1, то из (7) следует L_D = L_H /2π.

Это значит, что если длина спиновой диффузии L_S

существенно превышает период магнитной спирали

L_H, то затухание неравновесной намагниченности

в гелимагнетике целиком обусловлено неоднородно-

стью эффективного поля, действующего на намаг-

ниченность электронов, и происходит на масштабе

одного периода магнитной спирали. Поэтому корот-

копериодные гелимагнетики, у которых L_H ≪ L_S ,

могут выступать как эффективные экраны спино-

вых токов, если выполняется условие λ ≫ η².

Длина L_P в гелимагнетике описывает масштаб

затухания прецессии спиновой намагниченно-

сти электронов проводимости вокруг локального

направления намагниченности локализованных

спинов. Длина затухания L_P в рассматриваемом

случае много меньше длины L_D.

На рис. 1 показаны характерные длины затуха-

ния L_D и L_P , полученные из приближённых (синяя

поверхность) и с помощью формул Приложения А

(красная поверхность) корней характеристического

Рис. 1. Характерные длины затухания неравновесной на-

уравнения (6), в зависимости от соотношения пара-

магниченности в гелимагнетиках, полученные из точно-

метров η и λ.

го (красная поверхность) и приближенного (синяя поверх-

Видно, что при выполнении условия λ ≫ 1 + η²

ность) решений характеристического уравнения (6), в за-

характерные длины, полученные из точного и при-

висимости от соотношения параметров η и λ: a — LD /LS ;

ближенного решений, практически совпадают.

b — LP/LS

Если условие λ ≫ 1 + η² не выполняется, ха-

рактерные длины затухания могут быть найдены

4. НЕРАВНОВЕСНАЯ НАМАГНИЧЕННОСТЬ

с использованием формул Приложения А. Если

ЭЛЕКТРОНОВ ПРОВОДИМОСТИ В

λ ≪ 1 + η², то, как показано в Приложении В, обе

ГЕЛИМАГНЕТИКЕ ПРИ ИНЖЕКЦИИ

характерные длины затухания L_D и L_P оказывают-

ЧИСТО СПИНОВОГО ТОКА

ся близки по величине к длине спиновой диффузии

L_S: L_D = L_P = L_S. Параметр λ может иметь малые

Перейдем к анализу неравновесной намагничен-

значения в силу малости параметра Λ , характеризу-

ности электронов проводимости δm(z), возникаю-

ющего величину s - d(f)-обменного взаимодействия,

щей в гелимагнетике при инжекции чисто спинового

и/или параметра τ_S , характеризующего интенсив-

тока на границе z = 0. Пусть M₀ — вектор намагни-

ность спин-решеточной релаксации электронов про-

ченности M(z) на границе z = 0. Направление век-

водимости.

тора M(z) в произвольной точке z задается единич-

577

И. А. Ясюлевич, Н. Г. Бебенин, В. В. Устинов

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

ным вектором h = M/M, на границе z = 0 имеем

ных электронов. Ранее эффект спиновой фильтра-

h₀ = M₀/M. Рассмотрим случай, когда на границе

ции был обнаружен в магнитных многослойных си-

z = 0 вектор поляризации инжектируемого спиново-

стемах (смотрите работу [32] и ссылки в ней).

го тока P₀ направлен вдоль намагниченности лока-

Обсудим описываемый формулой (9) эффект

лизованных электронов M₀. Тогда P₀ = P₀h₀, где

возникновения продольной компоненты δm_ℓ нерав-

P₀ — длина вектора поляризации инжектируемого

новесной намагниченности электронов проводимо-

чисто спинового тока на границе.

сти при инжекции чисто спинового тока с попереч-

Представим δm в виде суммы продольной δm_ℓ

ной поляризацией P₀ = P₀h₀. Как следует из (9),

и поперечной δm_t (по отношению к оси спирали)

величина продольной намагниченности δm_ℓ про-

компонент: δm = δm_t + δm_ℓ. Считая выполненным

порциональна амплитуде P₀ инжектированного спи-

неравенство λ ≫ 1 + η², получаем

нового тока, тогда как ее направление непосред-

ственно определяется киральностью гелимагнети-

δm_t = δm_∥e-z/LDh +

(

)

ка. В работе [19] было показано, что в гелимагне-

+ Kδm⊥ sin

e-z/LP [ h × e_z ] ,

тиках благодаря взаимодействию спинов электро-

L_P

(9)

нов проводимости с пространственно-неоднородным

(

)

эффективным магнитным полем возникает кине-

δm_ℓ = Kδm_⊥ sin

e-z/LP e_z,

L_P

тический магнитоэлектрический эффект, предска-

занный ранее в работе [33]. Этот эффект прояв-

где

ляется в том, что при протекании вдоль оси ге-

(τ_S/L_S)

δm_∥ =

√

P₀,

лимагнетика постоянного электрического тока воз-

1+η²

(10)

никает неравновесная намагниченность электронов,

δm_⊥ =

√

δm_∥.

направленная вдоль оси спирали, зависящая от

киральности последней и величины протекающего

Из выражения (9) становится ясным физический

электрического тока. В настоящей работе мы по-

смысл длин L_D и L_P . Длина затухания L_D явля-

лучили аналог этого эффекта, который реализует-

ется характерным масштабом убывания векторной

ся при инжекции в гелимагнетик не электрическо-

компоненты неравновесной намагниченности элек-

го, а чисто спинового поперечно-поляризованного

тронов проводимости, сонаправленной с вектором

тока. Поскольку возникновение продольной намаг-

намагниченности локализованных электронов гели-

ниченности электронов сопровождается протекани-

магнетика. Длина затухания L_P является харак-

ем продольно-поляризованного спинового тока, то

терным масштабом убывания компоненты нерав-

описываемый эффект проявляется как возникно-

новесной намагниченности электронов, направлен-

вение продольно-поляризованного спинового тока

ной перпендикулярно намагниченности локализо-

при инжекции поперечно-поляризованного спиново-

ванных электронов гелимагнетика. Следует отме-

го тока. Этот предсказываемый нами эффект мо-

тить, что направление этой компоненты неравно-

жет быть назван эффектом киральной поляризации

весной намагниченности электронов непосредствен-

чисто спинового тока. Для обнаружения этого эф-

но определяется киральностью K спирали намагни-

фекта могут применяться экспериментальные мето-

ченности гелимагнетика.

дики, аналогичные тем, которые были разработаны

Из (7), (8) и (10) следует, что при выполне-

для обнаружения кинетического магнитоэлектриче-

нии условия λ

≫ 1 + η² выполняются неравен-

ского эффекта в работах [34-39].

ства L_D

≫ L_P и δm_∥ ≫ δm_⊥. Это означает,

во-первых, что инжектированная в гелимагнетик

5. СПИНОВЫЙ ТОК В ГЕЛИМАГНЕТИКЕ

неравновесная намагниченность, направленная пер-

ПРИ ИНЖЕКЦИИ

пендикулярно h, уменьшается по амплитуде по мере

удаления от границы в глубь гелимагнетика намно-

Перейдем к рассмотрению закономерностей эф-

го быстрее, чем неравновесная намагниченность, со-

фекта киральной поляризации чисто спинового то-

направленная с h, и, во-вторых, что амплитуда δm_⊥

ка. Представим вектор поляризации спинового тока

много меньше амплитуды δm_∥. Таким образом, при

P в виде суммы продольной P_ℓ и поперечной P_t (по

λ ≫ 1 + η² имеет место эффект спиновой фильтра-

отношению к оси спирали) компонент: P = P_t + P_ℓ.

ции — эффект, выражающийся в переориентации

Для нахождения координатных зависимостей P_t и

неравновесной намагниченности электронов прово-

P_ℓ рассмотрим сначала случай, когда на границе

димости в сторону намагниченности локализован-

спиновый ток поперечно-поляризован, причем век-

578

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Инжекция чисто спинового тока в гелимагнетик

тор поляризации инжектируемого спинового тока

P₀ сонаправлен с намагниченностью локализован-

ных электронов: P₀ = P₀h₀.

Если выполняется неравенство λ ≫ 1 + η², то из

(9) получаем

P_t = P₀e-z/LDh +

[

]

+KP₀

√

e-z/LD - e-z/LP cos

[h × e_z],

1+η²

L_P

P_ℓ = P₀K

√

sin(z/L_P )e-z/LP e_z.

(11)

1+η²

Из (11) следует, что P_t является суммой двух

вкладов. Первый экспоненциально затухает на рас-

стоянии L_D, тогда как второй вклад — гармони-

чески осциллирующий и одновременно экспоненци-

ально затухающий с характерной длиной L_P , при-

чем L_P ≪ L_D. На расстояниях, превышающих L_P ,

вектор P_t становится практически параллельным

вектору h. Такую «подстройку» поляризации ин-

Рис. 2. Поляризация спинового тока в гелимагнетике для

жектированного спинового тока под направление

случая P0 = P0h0 при η = 1, λ = 10². Сплошные кри-

намагниченности локализованных спинов на рассто-

вые построены по формулам точного решения, приведен-

яниях z > L_P можно трактовать как вращение плос-

ным в Приложении С. Кружками и крестиками представ-

кости поляризации спинового тока. Таким образом,

лены результаты приближенного метода расчета по фор-

в гелимагнетиках в рассматриваемых условиях име-

мулам (11)

ет место спиновый аналог эффекта естественной оп-

из того, что τ_S не может превышать время релакса-

тической активности.

ции импульса, которое в ферромагнитных металлах

Величина P_ℓ, описывающая эффект киральной

порядка 10^-14 с, получаем, что λ лежит в диапазоне

поляризации чисто спинового тока, принимает нуле-

от 10^-1 до 10³.

вое значение при z = 0, затем растёт при движении

Сделанные оценки показывают, что использо-

от границы в глубь гелимагнетика, достигая свое-

ванное выше неравенство λ ≫ 1+η² может и не вы-

го максимума при z/L_P = π/4, после чего происхо-

полняться, в этом случае необходим расчет на осно-

дит её убывание до нуля. Максимальная величина

√

ве точных формул, приведенных в Приложениях А

продольной поляризации, равная P₀e^-π/4/

2, до-

и C.

стигается в короткопериодных гелимагнетиках при

η ≫ 1. Важным моментом является то, что направ-

На рис. 2 для случая P₀ = P₀h₀ представлена

поляризация спинового тока в гелимагнетике, в ко-

ление поляризации P_ℓ непосредственно определяет-

ся киральностью K гелимагнетика.

тором η = 1, λ = 10². Сплошные цветные кривые

соответствуют поляризации, полученной с помощью

Чтобы оценить реалистичность сделанных выше

расчета по точным формулам. Результаты расчета,

приближений, оценим порядок величины парамет-

обозначенные крестиками и кружками черного цве-

ров λ и η. Длина спиновой диффузии в ферромаг-

та, соответствуют поляризации, полученной с помо-

нетиках L_S ∼ 10-10² Å [40], период магнитной спи-

щью приближенного метода решения (11). На ри-

рали в редких землях L_H ∼ 10-10² Å, а в некоторых

сунке представлены кривые как для правозакручен-

случаях может быть порядка 10³ Å. Отсюда следу-

ной (K = +1), так и для левозакрученной (K = -1)

ет, что величина η может быть как меньше, так и

магнитных спиралей.

больше единицы, но не превышает 10². Величина

s-d(f)-обменного интеграла в редких землях поряд-

Для рассматриваемых численных значений па-

ка 10^-2-10^-1 эВ [30], так что Ω_H ∼ 10¹³-10¹⁴ с^-1. О

раметров λ и η неравенство λ ≫ 1 + η² заведомо вы-

времени электронной спиновой релаксации в гели-

полняется. На рис. 2 видно, что в этом случае кри-

магнетиках данных, по-видимому, нет, но есть дан-

вые, полученные с помощью приближенного реше-

ные для немагнитных металлов с сильным спин-

ния, практически совпадают с точным решением.

орбитальным взаимодействием: τ_S ∼ 5-7 пс в случае

Заметим, что при заданных значениях парамет-

платины и τ_S ∼ 10 пс в тантале [41]. Если исходить

ров существует иерархия длин L_H > L_S > L_D > L_P .

579

И. А. Ясюлевич, Н. Г. Бебенин, В. В. Устинов

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Рис. 3. Поляризация спинового тока в гелимагнетике при

Рис. 4. Поляризация спинового тока в гелимагнетике при

η = 10, λ = 1;10;10², K = +1 для случая инжекции спи-

η = 10, λ = 1; 10; 10², K = +1 для случая инжекции

нового тока, имеющего поляризацию P0 = P0h0

поперечно-поляризованного спинового тока с поляризаци-

ей на границе Px = Pz = 0, Py = P0

Наличие такой иерархии приводит к тому, что сна-

рого на границе P_x = P_z = 0, P_y = P₀. Приведены

чала затухает компонента поляризация, направлен-

результаты расчета для η = 10 (LH ≈ 0.63 LS),

ная перпендикулярно h, затем затухает компонен-

λ = 1, 10 и 10², K = +1. Как и в предыдущем

та, направленная коллинеарно h. Затухание компо-

случае, когда η ∼ λ ≫ 1, наблюдается выраженный

ненты, направленной коллинеарно h, происходит на

осциллирующий характер изменения компоненты

длине меньшей, чем длина спиновой диффузии, ко-

P_ℓ с периодом L_H. Амплитуда осцилляций эффекта

торая, в свою очередь, меньше периода магнитной

киральной поляризации чисто спинового тока имеет

спирали.

при этом значительную величину, сравнимую с P₀.

Если неравенство λ ≫ 1 + η² не выполняется,

Результаты расчета для случая, когда инжекти-

зависимость поляризации спинового тока от коор-

рованный ток на границе продольно-поляризован,

динаты становится более сложной. На рис. 3 пред-

P₀ = P₀e_z, представлены на рис. 5. При η ∼ λ ≫ 1

ставлена координатная зависимость компонент P_x,

имеет место, как и в предыдущих случаях, вы-

P_y и P_z для следующих значений параметров: η = 10

раженное осциллирующее поведение P_ℓ как

(L_H ≈ 0.63 L_S), λ = 1, 10 и 10², K = +1. Сравнивая

функции z с затуханием осцилляций на глубине

кривые на рисунках 2 и 3, мы видим, что наибо-

спиновой диффузии L_S . Инжекция продольно-

лее заметное различие в форме кривых имеет ме-

поляризованного спинового тока приводит к

сто, когда η ∼ λ ≫ 1. При таких значениях пара-

появлению поперечно-поляризованного тока, ве-

метров наблюдается выраженный осциллирующий

личина которого осциллирует с периодом L_H и

характер затухания всех компонент P_x (z), P_y (z) и

затухает на масштабах L_S .

P_z (z), причем период осцилляций совпадает с пери-

одом спирали. Амплитуда осцилляций эффекта ки-

ральной поляризации чисто спинового тока может

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

иметь значительную величину, сравнимую с P₀.

Рассмотрим теперь зависимости P_x (z), P_y (z), и

Развитая в настоящей работе теория показыва-

P_z (z) для других поляризаций инжектируемого в

ет, что инжекция чисто спинового тока в проводя-

гелимагнетик спинового тока.

щий гелимагнетик имеет ряд существенных особен-

На рис. 4 показана координатная зависимость

ностей, отсутствующих при инжекции в немагнит-

поляризации спинового тока в гелимагнетике

ный металл или полупроводник. В отличие от немаг-

для случая, когда в гелимагнетик инжектируется

нитных материалов, в которых затухание инжек-

поперечно-поляризованный спиновый ток, у кото-

тированного спинового тока характеризуется одним

580

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Инжекция чисто спинового тока в гелимагнетик

ходят на расстояниях L_P , много меньших периода

спирали L_H .

При инжекции вдоль оси магнитной спирали

поперечно-поляризованного (относительно оси) чи-

сто спинового тока в гелимагнетике возникает ком-

понента неравновесной намагниченности и чисто

спиновый ток, векторы поляризации которых сона-

правлены оси магнитной спирали; при этом направ-

ление этих векторов непосредственно определяется

киральностью гелимагнетика, а их длина пропор-

циональна величине инжектируемого спинового то-

ка. Справедливо и обратное утверждение: инжекция

продольно-поляризованного чисто спинового тока

приводит к появлению в гелимагнетике зависящего

от киральности спирали спинового тока поперечной

поляризации. Предсказанный эффект назван «эф-

фектом киральной поляризации чисто спинового то-

ка».

Рис. 5. Поляризация спинового тока в гелимагнетике при

Финансирование. Работа выполнена при фи-

η = 10, λ = 1; 10; 10², K = +1 для случая инжекции

нансовой поддержке Российского научного фонда в

продольно-поляризованного спинового тока, имеющего по-

рамках проекта № 22-22-00220.

ляризацию P0 = P0ez

ПРИЛОЖЕНИЕ А

параметром — длиной спиновой диффузии L_S, в ге-

Используя формулы Кардано, точное решение

лимагнетиках затухание спинового тока, инжекти-

характеристического уравнения (6) запишем в виде

рованного вдоль оси магнитной спирали, имеющей

√

период L_H , описывается двумя характерными дли-

κ₁ =

1 - (2/3)η² + U + W,

нами.

(

√ )

κ₂ =

Вместо длины спиновой диффузии возникает

(√

длина L_D, которая является характерным мас-

(1 - (2/3)η² + ReV )² + (ImV )² +

штабом убывания неравновесной намагниченности

)_1/2

электронов проводимости, сонаправленной с намаг-

+ 1 - (2/3)η² + ReV

ниченностью гелимагнетика. В гелимагнетиках, в

(

(12)

√ )

которых период магнитной спирали L_H велик по

+ isgn(ImV )

сравнению с L_S , длина L_D совпадает с L_S . В гели-

(√

магнетиках, в которых период магнитной спирали

(1 - (2/3)η² + ReV )² + (ImV )² -

L_H мал по сравнению с L_S, длина L_D не превышает

)_1/2

периода спирали L_H .

- 1 + (2/3)η² - ReV

Вторая характерная длина, L_P , определяет мас-

κ₃ = κ^∗2,

штаб убывания векторной компоненты неравновес-

где

√

ной намагниченности электронов проводимости, на-

V = -(U + W)/2 + i

3(U - W)/2,

правленной перпендикулярно намагниченности ге-

√

)

лимагнетика. Если на намагниченность электронов

η²

√

U =³

η⁴ + 8η² + 5λ²

проводимости действует сильное обменное поле со

стороны локализованных электронов, а время спи-

√

)

√

новой релаксации электронов проводимости доста-

η²

W =³

η⁴ + 8η² + 5λ²

(13)

точно велико, основное влияние на спиновую ин-

(

)₃

жекцию на масштабах длины порядка L_P оказыва-

ет прецессия намагниченности электронов в неодно-

η⁴ + 4η² + λ²

родном обменном поле. В этой ситуации в коротко-

)₂

η⁴

периодных гелимагнетиках с L_H ≪ L_S существен-

η⁴ + 8η² + 5λ²

ные изменения поляризации спинового тока проис-

581

И. А. Ясюлевич, Н. Г. Бебенин, В. В. Устинов

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

ПРИЛОЖЕНИЕ В

корней (12) характеристического уравнения, может

быть записана в виде

Для нахождения приближенных решений харак-

(

)

теристического уравнения (6) может быть использо-

δm_x = C₁e-κ1ζ Re

Ψ₁e^iKηζ

(

)

вана следующая схема.

+ Re

Ψ₂C₂e-κ2ζe^iKηζ

(

)

1. Случай λ ≫ 1 + η². Выполняя тождественные

+ Re Ψ₃C^∗2

e-κ2ζe^iKηζ

преобразования, запишем характеристическое урав-

(

)

нение (6) в виде

δm_y = C₁e-κ1ζ Im

Ψ₁e^iKηζ

(17)

(

)

+ Im

Ψ₂C₂e-κ2ζe^iKηζ

κ² = 1 + η² -

(

)

[

]∕

(

)

(

)

(14)

+ Im Ψ₃C^∗2

e-κ2ζe^iKηζ

−

κ² - 1

κ² - 1 - η²

² + 4η²κ²

λ².

(

)

δm_z = C₁e-κ1ζ + 2 Re

C₂e-κ2ζ

В силу малости параметра (1 + η²)/λ это урав-

где

iλ

нение может быть решено методом последова-

Ψ_n =

тельных приближений. В основном приближе-

κ²ⁿ - 1 - η² - 2iKηκ_n

нии по малому параметру (1 + η²)/λ получаем

C₁ = ΔC1/Δ,

√

κ = κ₁ =

1 + η². Отсюда для длины затухания

C₂ = (ΔReC2 + iΔImC2)/Δ,

∕√

L_D получаем L_D = L_S

1+η².

ΔC1 = -2 (Φ₅ Imκ₂ + Φ₆ Re κ₂)Px +

Чтобы получить корень κ₂, запишем характери-

+ 2(Φ2 Imκ₂ + Φ3 Reκ₂)Py +

стическое уравнение (6) в тождественном виде

+ (Φ₂Φ₆ - Φ₃Φ₅)

˜z,

ΔReC2

= (2Φ₄ Im κ₂ + κ₁Φ₆)Px -

-λ²

κ⁴ =

(

)[(

)

]

(15)

(1+η²)

4η²/κ²

- (2Φ₁ Im κ₂ + κ₁Φ₃)Py +

1-¹

+_1-(

κ²

1+η²)/κ²

+ (Φ₃Φ₄ - Φ₁Φ₆)Pz,

и опять используем метод итераций. В нулевом

ΔImC2 = - (κ₁Φ₅ - 2Φ₄ Re κ₂)Px -

приближении по (1 + η²)/λ из (15) следует, что

√

- (2Φ₁ Re κ₂ - κ₁Φ₂)Py +

κ = κ₂ = (1 + i)

λ/2. Отсюда для длины затуха-

∕√

+ (Φ₁Φ₅ - Φ₂Φ₄)Pz,

ния L_P получаем L_P = L_S

λ/2 .

Δ = -2Φ1 (Φ5 Imκ₂ + Φ6 Reκ₂) +

2. Случай λ ≪ 1 + η². Для нахождения реше-

+ Φ2 (2Φ4 Imκ₂ + κ₁Φ₆) -

ний уравнения (6) в нулевом по малому параметру

∕(

)

- Φ3 (κ₁Φ₅ - 2Φ4 Reκ₂),

1+η²

приближении достаточно решить урав-

нение

P_x = (τ_S/L_S)(P₀ · e_x),

]

(

)[(

)₂

P_y = (τ_S/L_S)(P₀ · e_y) ,

κ² - 1

κ² - 1 - η²

+ 4η²κ²

= 0,

(16)

P_z = (τ_S/L_S)(P₀ · e_z),

которое формально получено из

(6)

при

Φ₁ = κ₁ Re Ψ₁ + Kη ImΨ₁,

λ = 0. Действительное решение этого уравнения

Φ₂ = Kη ImΨ₂ + Kη ImΨ₃ +

κ = κ₁ = 1. Два других корня уравнения (16) суть

+ Re (Ψ₂) Re (κ₂) - Im (Ψ₂) Im (κ₂) +

κ = κ_2,3 = 1 ± iη. Отсюда следует, что в рассматри-

ваемом предельном случае длины затухания L_D и

+ Re (Ψ₃) Re (κ₂) + Im (Ψ₃) Im (κ₂) ,

L_P равны между собой и совпадают по величине с

Φ₃ = Kη ReΨ₂ - Kη Re Ψ₃ -

длиной спиновой диффузии L_S: L_D = L_P = L_S.

- Re (Ψ₂) Im (κ₂) - Im (Ψ₂) Re (κ₂) -

- Re (Ψ₃) Im (κ₂) + Im (Ψ₃) Re (κ₂) ,

ПРИЛОЖЕНИЕ С

Φ₄ = κ₁ ImΨ₁ - Kη Re Ψ₁,

Φ₅ = -Kη Re Ψ₂ - Kη Re Ψ₃ +

Координатная зависимость неравновесной на-

магниченности электронов проводимости в гели-

+ Re (Ψ₂) Im (κ₂) + Im (Ψ₂) Re (κ₂) -

магнетике, полученная с использованием точных

- Re (Ψ₃) Im (κ₂) + Im (Ψ₃) Re (κ₂) ,

582

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Инжекция чисто спинового тока в гелимагнетик

Φ₆ = Kη ImΨ₂ - Kη ImΨ₃ +

15.

T. Taniguchi and H. Imamura, Phys. Rev. B 81,

+ Re (Ψ₂) Re (κ₂) - Im (Ψ₂) Im (κ₂) -

012405 (2010).

- Re (Ψ₃) Re (κ₂) - Im (Ψ₃) Im (κ₂) .

16.

J.-i. Kishine and A. S. Ovchinnikov, Sol. St. Phys.

66, 1 (2015).

ЛИТЕРАТУРА

17.

T. Yokouchi, N. Kanazawa, A. Kikkawa, D. Mori-

kawa, K. Shibata, T. Arima, Y. Taguchi, F. Kaga-

M. N. Baibich, J. M. Broto, A. Fert, F. Nguyen

wa, and Y. Tokura, Nat. Commun. 8, 866 (2017).

Van Dau, F. Petroff, P. Etienne, G. Creuzet,

A. Friederich, and J. Chazelas, Phys. Rev. Lett.

18.

R. Aoki, Y. Kousaka, and Y. Togawa, Phys. Rev.

61, 2472 (1988).

Lett. 122, 057206 (2019).

19.

V. V. Ustinov and I. A. Yasyulevich, Phys. Rev. B

Spin Current, ed. by S. Maekawa, S. O. Valenzuela,

E. Saitoh, and T. Kimura, Oxford University

102, 134431 (2020).

Press, New York (2017), p. 520.

20.

S. Okumura, T. Morimoto, Y. Kato, and Y. Moto-

me, J. Phys.: Conf. Ser. 2164, 012068 (2022).

С. А. Никитов, Д. В. Калябин, И. В. Лисенков,

А. Н. Славин, Ю. Н. Барабаненков, С. А. Осо-

21.

J. Xiao, A. Zangwill, and M. D. Stiles, Phys.

кин, А. В. Садовников, Е. Н. Бегинин, М. А. Мо-

Rev. B 73, 054428 (2006).

розова, Ю. П. Шараевский, Ю. А. Филимонов,

Ю. В. Хивинцев, С. Л. Высоцкий, В. К. Саха-

22.

H. Watanabe, K. Hoshi, and J.-i. Ohe, Phys.

ров, Е. С. Павлов, УФН 185, 1099 (2015).

Rev. B 94, 125143 (2016).

23.

S. Okumura, H. Ishizuka, Y. Kato, J.-i. Ohe, and

М. И. Дьяконов, В. И. Перель, Письма в ЖЭТФ

Y. Motome, Appl. Phys. Lett. 115, 012401 (2019).

13, 657 (1971).

24.

V. Ustinov, N. Bebenin, and I. Yasyulevich,

M. I. Dyakonov and V. I. Perel, Phys. Lett. A 35,

J. Phys.: Conf. Ser. 1389, 012151 (2019).

459 (1971).

25.

В. В. Устинов, И. А. Ясюлевич, Физика метал-

J. E. Hirsch, Phys. Rev. Lett. 83, 1834 (1999).

лов и металловедение 121, 257 (2020).

V. Baltz, A. Manchon, M. Tsoi, T. Moriyama,

26.

Е. А. Караштин, ФТТ 62, 1482 (2020).

T. Ono, and Y. Tserkovnyak, Rev. Mod. Phys. 90,

015005 (2018).

27.

A. Aqeel, N. Vlietstra, J. A. Heuver, G. E. W. Ba-

uer, B. Noheda, B. J. van Wees, and T. T. M. Pal-

D. Xiong, Y. Jiang, K. Shi, A. Du, Y. Yao, Z. Guo,

stra, Phys. Rev. B 92, 224410 (2015).

D. Zhu, K. Cao, S. Peng, W. Cai, D. Zhu, and

28.

A. Aqeel, N. Vlietstra, A. Roy, M. Mostovoy,

W. Zhao, Fundamental Research 2, 522 (2022).

B. J. van Wees, and T. T. M. Palstra, Phys. Rev. B

H. Chen, Q. Niu, and A. H. MacDonald, Phys.

94, 134418 (2016).

Rev. Lett. 112, 017205 (2014).

29.

A. Aqeel, M. Mostovoy, B. J. van Wees, and

10.

Y. Takeuchi, Y. Yamane, J.Y. Yoon, R. Itoh,

T. T. M. Palstra, J. Phys. D: Appl. Phys.

50,

B. Jinnai, S. Kanai, J. Ieda, S. Fukami, and

174006 (2017).

H. Ohno, Nature Materials 20, 1364 (2021).

30.

С. В. Вонсовский, Магнетизм, Наука, Москва

11.

Ю. А. Изюмов, УФН 144, 439 (1984).

(1971), c. 1032.

31.

H. C. Torrey, Phys. Rev. 104, 563 (1956).

12.

R. J. Elliott and F. A. Wedgwood, Proc. Phys. Soc.

81, 846 (1963).

32.

C. Heide, Phys. Rev. B 65, 054401 (2001).

13.

R. J. Elliott and F. A. Wedgwood, Proc. Phys. Soc.

33.

Л. С. Левитов, Ю. В. Назаров, Г. М. Элиашберг,

84, 63 (1964).

ЖЭТФ 88, 229 (1985).

14.

A. A. Fraerman and O. G. Udalov, Phys. Rev. B

34.

T. Furukawa, Y. Shimokawa, K. Kobayashi, and

77, 094401 (2008).

T. Itou, Nat. Commun. 8, 954 (2017).

583