ЖЭТФ, 2023, том 163, вып. 4, стр. 561-573

НЕУСТОЙЧИВОСТИ В СЛУЧАЙНЫХ СРЕДАХ И РЕЖИМЫ С

ОБОСТРЕНИЕМ

В. А. Куценко^a*, Д. Д. Соколов^b,c**, Е. Б. Яровая^a***

^a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет

119991, Москва, Россия

^b Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, физический факультет

119991, Москва, Россия

^c Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн Российской академии наук

108840, Троицк, Москва, Россия

Поступила в редакцию 23 октября 2022 г.,

после переработки 23 октября 2022 г.

Принята к публикации 19 декабря 2022 г.

Рассматривается система из частиц (бактерий) в среде, в которой скорости размножения и гибели слу-

чайно распределены в пространстве. В этой системе изучается рост средней численности частиц, который

зависит от разности между скоростью деления и скоростью гибели, называемой случайным потенциалом.

Показано, что если потенциал достаточно медленно убывает на бесконечности, то происходит взрывной

рост числа бактерий и их средняя численность формально обращается в бесконечность сразу после нача-

ла эволюции системы. Кроме того, показано, что конечность средней численности бактерий для каждой

конкретной реализации среды не гарантирует конечность средней численности бактерий при усреднении

по всем реализациям среды. Наконец, описано поведение усредненной по среде средней численности

бактерий для широкого класса потенциалов при больших временах.

DOI: 10.31857/S0044451023040132

например, как exp(t ln t). Пример такого поведения

EDN: MHLMNR

исследован, в частности, в работе [2], где рассмотре-

на модельная популяция бактерий. Интенсивность

деления бактерий полагалась стационарной во вре-

1. ВВЕДЕНИЕ

мени и случайной по пространственным перемен-

ным, причем ее среднее значение было равно нулю.

При развитии различных неустойчивостей в слу-

Кроме того, в модель включена диффузия бакте-

чайных средах возникают явления, существенно от-

рий. Подобный суперэкспоненциальный рост более

личающиеся от того, с чем обычно приходится

известен для нелинейных уравнений, так что можно

встречаться в статистической физике. В частности,

сказать, что случайность воспроизводит некоторые

оказывается, что, скажем, средняя энергия рассмат-

эффекты, обычно связанные с нелинейностью.

риваемой величины растет медленнее, чем корень из

среднего квадрата этой величины, а обе эти скоро-

Цель настоящей работы — сделать еще один шаг

сти роста, в свою очередь, больше, чем скорость ро-

в этом направлении и показать, что случайность мо-

ста типичной реализации изучаемой величины. По-

жет воспроизводить и более тонкие явления, обыч-

добное явление получило название перемежаемости

но связываемые с нелинейностью, а именно, изучае-

(см., например, [1]).

мая величина может за конечное время обратиться

Более того, оказывается, что в стационарной в

в бесконечность. Подобное явление хорошо извест-

статистическом смысле случайной среде возбужда-

но для нелинейных уравнений теплопроводности с

емая величина может расти суперэкспоненциально,

энерговыделением, растущем при росте температу-

ры. Подобные режимы принято называть режима-

^* E-mail: vlakutsenko@yandex.ru

^** E-mail: sokoloff.dd@gmail.com

ми с обострением (см., например, [3]), а в контексте

^*** E-mail: yarovaya@mech.math.msu.su

близкой авторам физической тематики, см. [4].

561

В. А. Куценко, Д. Д. Соколов, Е. Б. Яровая

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

В настоящей работе мы покажем, что режи-

В нашей модели интенсивности деления и гибе-

мы с обострением могут возникать и при развитии

ли частиц являются случайными величинами и не

неустойчивостей в случайных средах. Для этого до-

зависят от времени. Формально мы будем обозна-

статочно, чтобы случайное поле, от которого зави-

чать через V⁺(x) := V+(x, ω) интенсивность де-

сит развитие неустойчивости, достаточно часто при-

ления частиц надвое, а через V^-(x) := V-(x, ω)

нимало достаточно большие значения.

— интенсивность их гибели. Переменная ω под-

Конечно, развитие неустойчивости в случайной

черкивает случайность величин. Мы считаем, что

среде зависит от того, какая неустойчивость кон-

пары интенсивностей в различных точках решет-

кретно рассматривается, хотя явление перемежае-

ки независимы и одинаково распределены. Величи-

мости носит общий характер. Для конкретности мы

ну V (x) := V (x, ω) = V+(x) - V-(x) будем на-

ограничимся рассмотрением простой модели из ра-

зывать случайным потенциалом. Математическое

боты [2]. При построении наших примеров мы будем

ожидание, вычисленное по распределению этой слу-

опираться на работы [5, 6], развивших идеи работы

чайной величины или, говоря более формально,

[2].

по соответствующему вероятностному пространству

Конкретизация и обобщения результатов, полу-

(Ω_V , F_V , P_V ), будем обозначать угловыми скобками

ченных в рамках изучения рассматриваемой про-

〈·〉, детали см. в работе [10].

стой модели, проводились в различных направлени-

Введенный потенциал можно понимать как слу-

ях, в частности, рассматривались неустойчивости в

чайную среду на Z^d, которая управляет процессом

нестационарных случайных средах и другие сход-

ветвления. Еще раз подчеркнем, что случайная сре-

ные задачи (см., например, [7]). Непосредственно

да стационарна, т.е. не зависит от времени, и поведе-

используемая нами модель востребована скорее не

ние процесса определяется конкретной реализацией

непосредственно в физике, а в различных естествен-

среды. Подобную реализацию V (x, ω) при некото-

ных и гуманитарных науках, например, демогра-

ром фиксированном ω будем называть «заморожен-

фии, где ее, несмотря на очевидную упрощенность,

ной средой» [10]. В дальнейшем, чтобы упростить

часто рассматривают как реалистическую модель

выкладки, переменную ω будем писать, только ес-

для распространения людей, и в биологии в анало-

ли хотим подчеркнуть зависимость от конкретной

гичных задачах (см., например, краткий обзор по-

реализации среды.

добных работ в [8]). Отметим также очень раннюю

Перемещение частиц по решетке в нашей моде-

работу Я.Б. Зельдовича по развитию неустойчиво-

ли управляется простым симметричным случайным

сти в случайных средах, в которой во многом заро-

блужданием, как в [5,6,10]. Частица, находящаяся в

дились подходы к этой проблеме [9].

любой точке решетки, ждет время, распределенное

по экспоненциальному закону с параметром κ > 0, а

затем равновероятно перемещается в одну из сосед-

них точек решетки. Подобное случайное блуждание

2. МОДЕЛЬ СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЫ

будем описывать дискретным лапласианом

Следуя работе [2], мы будем описывать нашу за-

∑

(κΔf)(x) = κ

(f(x^′) - f(x)),

дачу в дискретном приближении, не фиксируя вни-

|x^′-x|=1

мания на тонких деталях строения распределения

плотности популяции бактерий.

где κ > 0 — коэффициент диффузии.

Предположим, что частицы (бактерии) передви-

Соединим описанные механизмы ветвления в

гаются по целочисленной решетке Z^d, d ∈ N. Вре-

случайной среде и блуждания, описав эволюцию

мя полагается непрерывным. Пусть в начальный мо-

частицы в ВСБ в случайной среде. Для удобства

мент времени в некоторой точке x ∈ Z^d находилась

введем среднее время ожидания в произвольной

одна частица. За малое время эта частица может

точке x ∈ Z^d как

остаться на месте, переместиться в соседний узел ре-

(

)_-1

τ (x) :=

κ + V ⁺(x) + V ^-(x)

шетки, разделиться надвое или погибнуть. Эволю-

ция ее потомков происходит по тому же закону, неза-

Эволюция частицы, находящейся в точке x, выгля-

висимо друга от друга и от всей предыстории. Этот

дит следующим образом. Частица ждет экспоненци-

процесс объединяет ветвление и блуждание частиц,

ально распределенное время с параметром τ(x)^-1, а

потому его называют ветвящимся случайным блуж-

затем мгновенно умирает, делится надвое или пе-

данием (ВСБ) [10, 11]. Опишем конкретно механиз-

ремещается равновероятно в одну из соседних то-

мы ветвления и блуждания.

чек решетки. Выбор одного из этих трех событий

562

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Неустойчивости в случайных средах...

производится с соответствующими вероятностями

ВСБ удовлетворяют следующим уравнениям:

V^-(x)τ(x), V⁺(x)τ(x) и κτ(x).

∂m₁(t, x, y)

ВСБ в случайной среде в момент времени t есть

= κΔm₁(t, x, y) + V (x, ω)m₁(t, x, y),

∂t

система частиц на Z^d, а, значит, полностью описы-

m₁(0, x, y) = δ(x, y).

вается набором численностей частиц μ_t(y) в точках

(1)

y ∈ Z^d в момент времени t. В наших предположе-

Рассмотренное уравнение есть дискретный аналог

ниях μ₀(y) = δ(x, y), где x — начальное положение

уравнения теплопроводности со случайным энерго-

первой частицы.

выделением.

В замороженной среде V (x, ω), т.е. при фикси-

Как показано в работе [2], эволюция поля замо-

рованном ω, эволюция частиц представляет собой

роженных средних m₁(t, x, y) в рамках задачи (1)

стохастический процесс, а потому численность час-

может быть изучена с помощью интеграла по слу-

тиц в каждой точке μ_t(y) = μ_t(y, ω) есть случайная

чайным траекториям, т.е. с помощью формулы типа

величина. Численность частиц является сложным

Фейнмана-Каца:

объектом, потому в этой работе мы остановимся на

⎡

⎧

⎫

⎤

изучении первого момента, т.е. средней численности

∫

⎨

⎬

частиц, как в [5]. Для замороженной среды сред-

m₁(t, x, y, ω) = E_x ⎣exp

V (x_s, ω) ds

δ(x_s, y)⎦ ,

⎩

⎭

ние численности частиц в точке y ∈ Z^d при условии

старта процесса в точке x называются «заморожен-

(2)

ными» (quenched moments, см., например, [5]) и вы-

где x_s — случайное блуждание с генератором κΔ, а

числяются усреднением по реализациям ВСБ в этой

математическое ожидание E_x вычисляется для тра-

среде:

екторий случайного блуждания при условии старта

в точке x.

m₁(t, x, y) := m₁(t, x, y, ω) = E_xμ_t (y, ω).

Представление (2) можно интерпретировать сле-

дующим образом. Фиксируем замороженную сре-

Заметим, что из локальных средних численностей

ду, соответствующую некоторому ω. Блуждание x_s

частиц в точке y в момент времени t можно полу-

начинается в точке x и имеет единичную «мас-

чить средние численности частиц в произвольной

су». Далее, в каждой точке z, в которую попада-

области A ⊆ Z^d при помощи суммирования:

ет случайное блуждание, «масса» увеличивается в

∑

m₁(t, x, A) :=

m₁(t, x, y).

exp(V (z)τ(z)) раз, где τ(z) — время пребывания в

y∈A

этой точке. Блуждание останавливается в момент

времени t. Если оно оказалось не в точке y, то его

В том числе, можно исследовать численность час-

масса зануляется. Решение m₁(t, x, y) представляет

тиц на всей решетке:

собой усреднение полученных «масс» по всем траек-

∑

m₁(t, x, Z^d) :=

m₁(t, x, y).

ториям блуждания x_s. Эта интерпретация позволя-

y∈Z^d

ет говорить о представлении (2) и, соответственно,

о задаче (1), как о «случайном блуждании в случай-

Каждой замороженной среде соответствует свой

ном потенциале», см., например, [12].

набор замороженных средних m₁(t, x, y). В нашей

Важный результат, доказанный в [5], гласит, что

модели среда случайна, поэтому замороженные мо-

представление (2) задает решение задачи (1) тогда

менты — тоже случайные величины. Вновь, случай-

и только тогда, когда оно конечно. Если представле-

ные величины сложно изучать напрямую, и мы бу-

ние (2) для m₁(t, x, y) обращается в бесконечность,

дем усреднять их, но в этот раз — по реализаци-

то мы не можем говорить о конечности средней чис-

ям среды. Усредненные по среде моменты по усто-

ленности частиц в ВСБ. То есть численность частиц

явшейся терминологии называются «отожжеными»

в ВСБ настолько неоднородна, что не может быть

(annealed moments, см., например, [5]) и обознача-

описана средним.

ются следующим образом: 〈m₁(t, x, y)〉.

Напомним, что в некотором эксперименте «вы-

полнение утверждения почти наверное» значит,

что вероятность исходов эксперимента, для кото-

3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТИПА

рых утверждение выполнено, равна единице. Конеч-

ФЕЙНМАНА-КАЦА

ность замороженных моментов m₁(t, x, y) для по-

Можно показать (см., например, [10]), что замо-

чти наверное каждой замороженной среды не га-

роженные средние численности частиц m₁(t, x, y) в

рантирует конечность усреднения по всем средам

563

В. А. Куценко, Д. Д. Соколов, Е. Б. Яровая

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

〈m₁(t, x, y)〉. Например, распределение заморожен-

последовательность {x, x₁, x₂, ...}, такую что на ней

ных моментов может иметь в каком-то смысле «тя-

потенциал неограниченно возрастает:

желые хвосты» и, соответственно, не иметь мате-

матического ожидания. «Хвостом» мы по умолча-

lim

V (x_i) = ∞.

i→∞

нию будем называть участок плотности потенциа-

ла, уходящий в плюс бесконечность. В разд. 6 будет

Заметим, что этот предел берется по решетке и ни-

как не зависит от времени t.

показано, что уже экспоненциально распределенный

Зафиксируем произвольно момент времени

потенциал порождает распределение замороженных

t0 > 0. Случайное блуждание за время t0 может

моментов, не имеющее конечного среднего. Отсут-

«убежать» сколь угодно далеко от стартовой точки

ствие отожженного среднего при наличии заморо-

x. Потому существует некоторое семейство тра-

женных показывает, что, хотя в каждой конкрет-

екторий блуждания T (x_i), стартовавших в точке

ной среде описание средними численностями имеет

x и находящихся в точке x_i все время с t₀/2 до

смысл, поведение модели «в целом» не описывается

t₀. Каждая отдельная траектория из T (x_i), стоя в

средними характеристиками.

точке x_i время t₀/2, набирает массу, зависящую от

Задача следующих разделов — выяснить усло-

V (x_i). Таким образом, чем больше i, тем больше

вия, при которых отожженые и замороженные сред-

«масса» каждой траектории, причем предел этой

ние обращаются в бесконечность, а также описать

«массы» при i → ∞ бесконечен. Так что рост «мас-

поведение отожженного среднего, если оно конеч-

сы» семейства T (x_i) потенциально неограничен и

но. В этих разделах мы будем опираться на методы,

может «взорвать» представление Фейнмана-Каца.

развитые в работах [5, 10].

Однако заметим, что траектории из семейства

T (x_i) — это редкие траектории и вероятность вы-

брать их среди всех возможных траекторий стре-

4. УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СРЕДНИХ

мится к нулю при удалении от стартовой точки, т.е.

ЧИСЛЕННОСТЕЙ ДЛЯ НЕСЛУЧАЙНОГО

при i → ∞. Соревнование между падением «веро-

ПОТЕНЦИАЛА

ятности» семейства T (x_i) и ростом «массы» T (x_i) и

определяет, сможет ли блуждание в представлении

Для начала рассмотрим более простой случай

неслучайного потенциала, который ограничен сни-

(2) набрать бесконечную «массу» в момент времени

t₀, т.е. будет ли само представление конечно.

зу. То есть будем предполагать, что интенсивности

Это соревнование можно описать количественно

размножения и гибели частиц не являются случай-

с помощью оценок, см. лемму 2.4 в работе [5]. Оказы-

ными величинами. Потенциал вновь есть разность

вается, что вероятность того, что случайное блуж-

между интенсивностью деления и интенсивностью

дание κΔ за время t уйдет от стартовой точки на

смерти частиц каждой точке решетки.

расстояние, большее r, убывает быстрее экспонен-

Если потенциал V (x) ограничен сверху некото-

ты:

рой константой C ∈ R, то представление Фейнмана-

Каца (2) для любого t > 0 ограничено:

P_x( max |x_s| ≥ r) ≤ exp{-r lnr + O(r)}.

(3)

s∈[0,t]

⎡

⎧

⎫

⎤

∫

⎨

⎬

Заметим, что главный член асимптотики в правой

m₁(t, x, y) = E_x ⎣exp

V (x_s)ds

δ(x_s, y)⎦ ≤

⎩

⎭

части не зависит от t, κ и размерности d.

⎡

⎧

⎫⎤

Естественно ожидать, что, если V (x) растет

∫

⎨

⎬

быстрее, чем x ln x, то рост exp{V (x)} «обгонит»

≤E_x⎣exp

Cds

⎦= exp{Ct}.

⎩

⎭

спад блуждания и интересующее нас решение об-

ратится в бесконечность. Более точно, ожидается,

что конечность или бесконечность представления

Таким образом, решение конечно для любого t > 0,

Фейнмана-Каца определяется конечностью или бес-

каким бы ни был ограниченный потенциал V .

конечностью предела

Теперь рассмотрим случай неограниченного

сверху потенциала и объясним, как представление

V (x)

lim

sup

(4)

(2) может оказаться бесконечным. Главное свойство

|x|→∞

|x| ln |x|

неограниченного потенциала — возможность прини-

мать все большие и большие значения при удалении

где | · | — L₁-метрика на Z^d, равная сумме модулей

от стартовой точки x. Зафиксируем бесконечную

координат x.

564

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Неустойчивости в случайных средах...

Формальные оценки (см. лемму 1 в Приложе-

Таким образом, ответ прост: если правый хвост

нии) отчасти подтверждают это ожидание. А ммен-

потенциала достаточно легок в смысле (5), то за-

но, если предел (4) неотрицателен, то представле-

дача (1) почти наверное имеет единственное неот-

ние (2) конечно; если предел (4) не существует, то

рицательное решение. Мало того, если условие (5)

представление (2) бесконечно. Если же рассматри-

нарушено, то задача (1) почти наверное не имеет

ваемый предел конечный и положительный, то в об-

единственных неотрицательных решений.

щем случае ничего сказать нельзя. Отдельно заме-

Семейство распределений со степенными хвоста-

тим, что конечность и бесконечность утверждаются

ми часто используется на практике. Например, в ма-

сразу для всех t > 0.

тематической статистике используется распределе-

Например, в случае одномерной решетки для

ние Стьюдента, в экономике — распределение Па-

неслучайного потенциала V (x) = |x| предел (4) ра-

рето, а в лингвистике — закон Ципфа. Простейший

вен нулю, а, значит, неотрицательное решение за-

пример возникновения степенного закона в физике

дачи (1) существует, единственно и задается соот-

— распределение Коши, появляющееся в экспери-

ветствующим представлением Фейнмана-Каца. Для

менте с отражением луча света от зеркала, повер-

неслучайного потенциала V (x) = |x|2 предел (4)

нутого на случайный угол. Краткий обзор зависи-

обращается в бесконечность, соответственно, инте-

мостей в различных областях физики, которые опи-

грал Фейнмана-Каца обращается в бесконечность и

сываются семейством распределений со степенными

неотрицательных решений уже нет. С точки зрения

хвостами можно найти, например, в работе [13].

ВСБ, этот случай означает, что численность частиц

Распределения со степенным хвостом имеют «тя-

столь неоднородна, что не имеет среднего.

желый» правый хвост и способны порождать высо-

кие «пики», что может привести к «взрыву» пред-

ставления Фейнмана-Каца [5]. Например, одномер-

5. УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ

ный потенциал с плотностью

ЗАМОРОЖЕННЫХ СРЕДНИХ

{

2/x², x > 2,

ЧИСЛЕННОСТЕЙ ДЛЯ СЛУЧАЙНОГО

f_V (x) =

ПОТЕНЦИАЛА

x ≤ 2,

не удовлетворяет условию (5):

В данном разделе мы покажем, как перейти от

результатов для неслучайного потенциала к резуль-

∫

∞

∫

∞

татам для случайного потенциала. Для удобства мы

= ∞.

ln x x²

x ln x

будем формулировать результаты для абсолютно

непрерывных случайных потенциалов с плотностью

Таким образом, задача Коши (1) в этом случае не

f_V . Для случая дискретных потенциалов все утвер-

имеет неотрицательных решений, а соответствую-

ждения аналогичны.

щее ВСБ не допускает описания при помощи замо-

Рассмотрим случайный потенциал, ограничен-

роженных средних m₁(t, x, y).

ный снизу. Заметим, что для замороженный потен-

До этого момента утверждения данного раздела

циал V (x, ω) можно рассматривать как неслучай-

сформулированы только для ограниченного снизу

ный потенциал. В таком случае, если для некоторо-

потенциала. Ограниченность снизу позволяла счи-

го случайного потенциала почти все его реализации

тать, что у потенциала нет точек с нехарактерно

имеют неположительный предел (4), то для них бу-

низким потенциалом, так называемых «ям». Если

дет существовать единственное решение задачи (1).

же потенциал неограничен снизу, то по мере удале-

При подобной постановке вопроса кажется воз-

ния от стартовой точки могут появляться все более

можным существование случайных потенциалов, та-

глубокие «ямы». Потенциально они могут уничто-

ких что для некоторых их реализаций предел выше

жить большую часть частиц и, тем самым, уберечь

существует, а для некоторых — нет. Однако в работе

представление типа Фейнмана-Каца от набора бес-

[5] показано, что если

конечной «массы» за конечное время.

∫∞

Оказывается, что такой эффект возможен толь-

x^d

f_V (x) < ∞,

(5)

ко на решетке Z¹, так как в этом случае при дви-

(ln x)^d

жении на бесконечность блуждание обязано пройти

по всем образовавшимся ямам, без возможности их

то предел (4) почти наверное неположителен, в про-

обойти. На решетке размерности 2 и выше блужда-

тивном случае — почти наверное предел бесконечен.

ние может обойти отрицательные ямы, тем самым

565

В. А. Куценко, Д. Д. Соколов, Е. Б. Яровая

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

взорвав представление (2), подробнее см. замечание

6. УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ

на стр. 629 в работе [5].

ОТОЖЖЕННЫХ СРЕДНИХ

Таким образом, для произвольного потенциала

ЧИСЛЕННОСТЕЙ ДЛЯ СЛУЧАЙНОГО

ПОТЕНЦИАЛА

в любых размерностях выполнение условия (5) по-

прежнему гарантирует существование единственно-

В предыдущих разделах мы описали условия на

го решения. В размерностях 2 и выше это условие

потенциал V (x, ω), при которых существует решение

является необходимым и достаточным.

задачи (1) для почти наверное каждой реализации

Как установлено в работе [5], в случае размер-

случайного потенциала. Однако даже если заморо-

ности 1 при невыполнении условия (5) необходи-

женные моменты m₁(t, x, y, ω) конечны для каждой

мо проверить существование достаточно глубоких

реализации среды ω, m₁(t, x, y, ω) как случайная ве-

«ям» потенциала при помощи следующего условия:

личина может не иметь математического ожидания.

Рассмотрим этот случай более подробно.

∫

Заметим, что каждое замороженное среднее

ln |x|f_V (x) < ∞.

(6)

m₁(t, x, y, ω)〉 включает в себя траектории из

-∞

представления Фейнмана-Каца, которые стоят в

Если условие (6) выполнено, то «ям» нет, соответ-

стартовой точке x все время [0, t]. Вероятность

ственно, представление (2) бесконечно и неотрица-

«выбрать» такую траекторию равна exp{-κt} в

тельных решений нет. Однако, если левый хвост по-

силу экспоненциальности времени между скачками.

тенциала достаточно тяжел и интеграл (6) расходит-

Тогда верна оценка

⎧

⎫

ся, то общего ответа нет.

∫

⎨

⎬

В первом примере этого раздела потенциал имел

〈m₁(t, x, y, ω)〉 ≥ e^-κtEx exp

V (x_s, ω)ds

тяжелый правый хвост, что приводило к «взры-

⎩

⎭

ву» представления Фейнмана-Каца. Добавим этому

причем последний интеграл берется по траекто-

потенциалу тяжелый левый хвост, чтобы породить

риям, остающимся в нуле время

[0, t]. Поэтому

«ямы», которые уменьшат рост средних численно-

V (x_s) = V (0) и случайности внутри E_x(·) нет. Для

стей частиц. Рассмотрим размерность 1 и следую-

удобства обозначим V = V (0) и продолжим:

щую плотность потенциала:

⎧

〈m₁(t, x, y, ω)〉 ≥

e^-κte^Vt

=e^-κt

e^Vt

⎨

x > 2,

x²

Из этой оценки вытекает, что 〈m₁(t, x, y, ω)〉 ко-

f_V (x) =

x ∈ [-2,2],

⎩_log2

нечен, только если конечно

e^Vt

. Оказывается,

x ≤ -2.

|x| ln² |x|

что для потенциала V , имеющего экспоненциальное

распределение, математическое ожидание по сре-

Проверим условие (6):

де

e^Vt

конечно только конечное время t₀. Ины-

∫

∞

ми словами, экспоненциально распределенный по-

log 2/2

тенциал порождает настолько неоднородные реали-

ln(|x|)

ln x

= ∞.

|x| ln² |x|

x ln² x

зации сред, что описывать поведение системы усред-

-∞

нением по средам можно только лишь конечное вре-

То есть условие нарушено, и, потенциально, для та-

мя [0, t₀).

кого V (x) может существовать единственное реше-

Экспоненциальное распределение является в

ние задачи (1). Чтобы в этом убедиться, необхо-

некотором смысле пограничным для величины

димо сделать прямую оценку представления типа

e^Vt

. А именно, для распределений V с хвостами,

Фейнмана-Каца. Подобная оценка проведена в ра-

которые легче, чем хвосты у экспоненциального

боте [5], где показано, что представление Фейнмана-

распределения, верно

Каца будет конечным для любых (x, t).

e^Vt

< ∞.

(7)

Подведем итог разд. 5. Задача (1) имеет смысл

не для всех потенциалов. В частности, если потен-

В то же время для распределений V с хвостами тя-

циал имеет степенной хвост вида 1/x^k, k ≥ 3, то в

желее, чем у экспоненциального,

e^Vt

обращается

размерности (k - 1) задача (1) не имеет неотрица-

в бесконечность для всех t > 0. Наконец, для экспо-

тельных решений для t > 0, а соответствующее ВСБ

ненциального распределения величина

e^Vt

конеч-

не допускает описание при помощи замороженных

на некоторое конечное время, а затем обращается в

средних численностей частиц для t > 0.

бесконечность.

566

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Неустойчивости в случайных средах...

Разумеется, интересно узнать оценку сверху

сти, для потенциала, подчиняющегося стандартно-

для 〈m₁(t, x, y, ω)〉, поскольку одной оценки сни-

му нормальному распределению? константы равны

зу недостаточно, чтобы утверждать конечность

α = 2, c = -1/2. Потому порядок роста 〈m₁(t,x,y)〉

〈m₁(t, x, y, ω)〉. Для этого необходимо отдельно рас-

будет равен exp{t²/2}, что совпадает с ранее вычис-

смотреть два вида моментов: локальный 〈m₁(t, x, y)〉

ленной скоростью роста

m₁(t, x, Z^d)

. Получается,

и глобальный 〈m₁(t, x, Z^d〉.

что скорость роста средней численности частиц на

Для глобального момента и произвольного рас-

всей решетке совпадает с ранее вычисленной скоро-

пределения потенциала V точные оценки получены

стью роста средней численности частиц в отдельной

еще в работе [5] и выглядят следующим образом:

точке.

Второе семейство потенциалов получается взя-

e^-κt

e^Vt

≤

m₁(t, x, Z^d)

≤

e^Vt

(8)

тием логарифма от первого семейства и содержит

потенциалы с очень легкими, так называемыми

То есть

e^Vt

является ограничением и сверху, и сни-

«гумбелевскими» хвостами [14], которые встречают-

зу с точностью до неслучайного множителя.

ся в теории экстремумов. Для их функции распре-

С помощью оценки (8) мы получаем поведение

деления F (z) верно

первого отожженного момента при больших време-

нах:

- ln (1 - F (z))

m₁(t, x, Z^d)

lim

= 1, c > 0, α > 1.

lim

= 1.

(9)

z→∞ c exp{zα}

t→∞ ln〈exp{V t}〉

Доказательство результатов для этого семейства

Эта форма записи удобна: она окончательно связы-

приведено в леммах 2 - 4 раздела Приложение. Для

вает конечность отожженного момента с конечно-

потенциалов из этого семейства соотношение (9)

стью

e^Vt

принимает следующий вид:

Выражение (9) позволяет грубо оценить ско-

рость роста отожженных моментов. Например,

ln 〈m₁(t, x, y)〉

lim

= 1.

(11)

если V имеет стандартное нормальное распре-

t→∞ α^-1t ln t

деление, то ln〈exp{V t}〉

= t²/2. Следовательно

Из выражений (10) и (11) можно заметить, что

m₁(t, x, Z^d)

растет с суперэкспоненциальной

чем легче хвосты потенциала, тем скорость роста

скоростью exp{t²/2}.

ближе к экспоненциальной. Возникает вопрос: суще-

В случае локальных моментов условие конечно-

ствует ли потенциал, такой что скорость роста ото-

сти отожженных моментов не меняется — конеч-

жженого среднего была порядка e^Ct? Оказывается,

ность 〈m₁(t, x, y)〉 вновь равносильна условию (7).

любой потенциал, ограниченный сверху константой

Однако вывод выражения типа (9) более сложен. В

C, обладает следующим свойством:

частности, нет результатов для случая потенциала с

lim ln〈exp{V t}〉/t = C.

произвольным распределением. Однако можно вы-

t→∞

делить два достаточно общих семейства потенциа-

Поэтому для ограниченного потенциала из резуль-

лов, которые покрывают практически все случаи,

тата (9) следует, что скорость роста отожженного

используемые в прикладных задачах.

момента равна e^Ct.

Первое семейство потенциалов, «граница» кото-

рого представляет собой экспоненциальное распре-

деление, рассмотрено в работе [10]. Это потенциа-

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

лы с асимптотически экспоненциальным, так назы-

Сформулируем еще раз полученные результаты.

ваемым «вейбулловским» хвостом: для их функции

Для того чтобы не перегружать статью математи-

распределения F (z) верно

ческими выкладками, мы не стремились воспроиз-

- ln (1 - F (z))

вести начальные этапы развития популяции час-

lim

= 1, c > 0, α > 1.

z→∞

cz^α

тиц (бактерий). Асимптотический рост средней чис-

В случае потенциала из этого семейства соотноше-

ленности частиц в описанной нами системе зависит

ние (9) принимает следующий вид:

только от асимптотического поведения правого хво-

ста потенциала. В частности, если потенциал доста-

ln 〈m₁(t, x, y)〉

lim

= 1.

(10)

точно медленно убывает на бесконечности, то про-

t→∞ t^α/(α-1)

исходит взрывной рост числа бактерий и их сред-

Нормальное распределение входит в семейство по-

няя численность формально обращается в бесконеч-

тенциалов с вейбулловским хвостом. В частно-

ность. Кроме того, мы показали, что конечность

567

В. А. Куценко, Д. Д. Соколов, Е. Б. Яровая

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

средней численности бактерий для каждой конкрет-

где x_s — случайное блуждание с генератором κΔ, а

ной реализации среды не гарантирует конечность

математическое ожидание E_x вычисляется для тра-

средней численности бактерий при усреднении по

екторий случайного блуждания при условии старта

самой среде. В частности, для потенциала с экспо-

из точки x ∈ Z^d.

ненциальным правым хвостом усреднение средней

Напомним, что единственное неотрицательное

численности существует только конечное время, а

решение задачи (12) существует тогда и только то-

затем обращается в бесконечность. Новым резуль-

гда, когда представление (13) конечно, см. разд. 3.

татом в этой области стала предельная теорема 1

Сформулируем лемму, которая связывает конеч-

для потенциала с гумбелевским правым хвостом.

ность представления (13) со скоростью возрастания

Мы полагаем, что «взрыв» средних численно-

функции f(x) на Z^d. Эта лемма была доказана в

стей можно устранить за счет нестационарности сре-

работе [5] сразу для случая случайного потенциа-

ды. Однако строгие исследования подобной системы

ла. Мы пользуемся схемой доказательства из [5], но

с нестационарной случайной средой на конец 2022

рассматриваем неслучайный потенциал.

года нам неизвестны. Первые результаты в этой об-

Лемма 1. Для представления типа Фейнмана-

ласти получены в диссертационной работе [15], кото-

Каца (13) решения задачи Коши (12) верно следую-

рая, однако, пока не опубликована в рецензируемом

щее:

журнале.

a) если

Построенные нами примеры формально связа-

f (x)

lim

≤ 0,

ны с задачей о поведении популяции бактерий, но

x→∞ x ln x

представляется, что подобные же явления могут

то (13) конечно для всех (x, t);

развиваться при подходящих условиях и при раз-

b) если

витии других неустойчивостей в случайной среде.

f (x)

Как и в других случаях, формальное обращение ре-

lim

= ∞,

x→∞ x ln x

шения в бесконечность свидетельствует об ограни-

то (13) бесконечно для всех (x, t).

ченной применимости модели. Проще всего считать,

что в реальных приложениях взрывной рост попу-

Доказательство пункта а). В силу оценки

ляции ограничивается конечностью ресурсов среды.

сверху

⎡

⎧

⎫

⎤

А именно, рост числа бактерий ограничивается то-

⎨∫

⎬

гда, когда они съедают практически всю пищу. Как

m₁(t, x, y) = E_x ⎣exp

f (x_s) ds

δ(x_s, y)⎦ ≤

и в других задачах о развитии неустойчивости в

⎩

⎭

случайных средах, полученные результаты вызыва-

⎡

⎧

⎫⎤

∫

⎨

⎬

ют определенные жизненные аллюзии, к которым

≤E_x⎣exp

f (x_s) ds

⎦

хочется относиться с осторожностью при непосред-

⎩

⎭

ственном проектировании результатов на окружаю-

достаточно доказать конечность последнего инте-

щую реальность.

грала.

Финансирование. Работа В.К. и Е.Я. поддер-

Зафиксируем произвольно момент времени t.

жана Российским фондом фундаментальных иссле-

Рассмотрим семейство траекторий x_s, которые не

дований (грант № 20-01-00487).

успели убежать за время t дальше, чем на расстоя-

ПРИЛОЖЕНИЕ

ние n от старта, т.е. max_s∈[0,t] |x_s| = n, где | · | — L₁

норма. Вклад каждой такой траектории в представ-

Рассмотрим задачу Коши для неслучайного

ление Фейнмана-Каца не больше вклада траекто-

ограниченного снизу потенциала f(x):

рии, которая сразу прыгнула в точку из куба |x| ≤ n

∂m₁(t, x, y)

с самым большим потенциалом и оставалась там все

= κΔm₁(t, x, y) + f(x)m₁(t, x, y),

∂t

(12)

время (0, t]. Этот вклад равен exp{t max_|x|≤n f(x)}.

Таким образом, получаем

m₁(0, x, y) = δ(x, y).

⎡

⎧

⎫⎤

∫

⎨

⎬

Представление типа Фейнмана-Каца для решения

E_x ⎣exp

f (x_s) ds

⎦≤

задачи (12) выглядит так:

⎩

⎭

⎡

⎧

⎫

⎤

∫

⎨

⎬

∑

m₁(t, x, y) = E_x ⎣exp

f (x_s)ds

δ(x_s, y)⎦ ,

(13)

≤

P_x( max

|x_s| = n) exp{t max f(x)}.

⎩

⎭

s∈[0,t]

|x|≤n

n=0

568

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Неустойчивости в случайных средах...

В лемме

2.4

работы

[5]

выражение

Доказательство пункта b). Если супремум

P_x(max_s∈[0,t] |x_s|

≥ n) было оценено сверху как

средних по траекториям, стартующих из нуля бес-

exp{-n lnn + O(n)} при n → ∞. Пользуясь этой

конечен,

оценкой, рассмотрим некоторое n₀, начиная с

⎡

⎧

⎫

⎤

∫

⎨

⎬

которого

sup

E₀ ⎣exp

f (x_s) ds

δ(x_t, y)⎦ = ∞,

(14)

⎩

⎭

y∈Z^d

P_x( max |x_s| = n) ≤ exp{-n lnn + Cn}

s∈[0,t]

то общее представление типа Фейнмана-Каца также

расходится:

для некоторой константы C.

⎡

⎧

⎫

⎤

∫

Пользуясь условием

⎨

⎬

E_x ⎣exp

f (x_s) ds

δ(x_t, y)⎦ = ∞.

(15)

⎩

⎭

lim_x→∞ f(x)

≤ 0,

x ln x

Доказательство этого факта технически громозд-

выберем n₁, так что для n

> n₁ выражение

кое, в точности повторяет рассуждение на стр. 628

max_|x|≤n f(x)/n ln n лежит в отрезке (-∞; ε] для

работы [5] и, в связи с этим, здесь не приводится.

некоторого ε > 0. Заметим, что можно взять сколь

Напомним, что f ограничена снизу, и пусть

угодно близкое к нулю ε.

f (x) > α, α < 0. В силу условия пункта b), мы мо-

жем выбрать путь, состоящий из n + 1 шагов, из

Пользуясь двумя предыдущими рассуждениям,

нуля в y_n, такой что

рассмотрим n₂ := max(n₀, n₁). Для n₂ верно

f (y_n)

lim

= ∞.

(16)

∑

n→∞ |y_n| ln |y_n|

P_x( max

|x_s| = n) exp{t max f(x)} ≤

s∈[0,t]

|x|≤n

n=0

Рассмотрим семейство траекторий блуждания,

∑

которые проходят в точности путь {0, y₁, . . . , y_n}, до-

≤С₁ +

exp{-n lnn + Cn} exp{t max f(x)} =

стигают точки y_n за время t/2 и оставшееся время

|x|≤n

n=n2

стоят в y_n. Оценим минимальный вклад этого семей-

⎧

⎛

⎞⎫

⎨

max f(x)

⎬

ства в математическое ожидание из формулы (14):

∑

|x|≤n

=С₁+ exp

-nlnn⎝1-

-t

⎠

≤

⎡

⎧

⎫

⎤

⎩

ln n

n ln n

⎭

∫

n=n2

⎨

⎬

{

(

)}

E₀ ⎣exp

f (x_s) ds

δyn (x_t)⎦

(17)

∑

⎩

⎭

≤С₁ +

exp

-n lnn

- tε

ln n

n=n2

Вначале оценим приросты «массы» траекторий из

рассматриваемого семейства. В силу ограниченно-

где C₁ — константа, отвечающая конечной сумме от

сти потенциала снизу, прирост «массы» за [0, t/2],

0 до n₂.

в каждой точке больше exp {αt/2}. Прирост «мас-

Для каждого фиксированного t мы можем вы-

сы» в последней точке равен exp {f(y_n)t/2}. Итого-

брать такое n₁, чтобы C₃ := 1 - C/ ln n₁ - tε бы-

вая оценка снизу прироста «массы» составит

ло бы строго больше нуля. Тогда исследуемый ряд

ограничивается сверху сходящимся рядом:

exp{αt/2 + f(y_n)t/2}.

(18)

{

(

)}

Теперь оценим вероятность

«выбрать» тра-

∑

С₁ +

exp

-n lnn

- tε

екторию семейства. Вероятность выбора пути

ln n

n=n2

{0, y₁, . . . , y_n} в пространстве равна (1/2d)ⁿ. Коли-

∑

чество прыжков за время t имеет пуассоновское

<С₁ +

exp{-C₃n lnn} < ∞.

распределение с параметром κt, потому веро-

n=n2

ятность получить ровно n скачков за время t/2

равна

Из представленной цепочки неравенств слудет,

(κt)ⁿ

P (n_t/2) =

exp{-κt}.

что исходное представление типа Фейнмана-Каца

m₁(t, x, y) ограничено сходящимся рядом для любо-

Пользуясь формулой Стирлинга для n!, получим

го фиксированного t > 0 и x ∈ Z^d и пункт а) дока-

зан.

P (n_t/2) ≥ exp{-n ln n + O(n)}.

569

ЖЭТФ, вып. 4

В. А. Куценко, Д. Д. Соколов, Е. Б. Яровая

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Наконец, вероятность, того, что траектория оста-

Используя монотонное убывание S(x), получим

лась стоять в точке y_n все время t/2 в силу экс-

∫

поненциальности времени между скачками равна

M (t)

= t S(x)e^txdx

= t etx-ceαxdx.

(20)

exp{-κt/2}. Итоговая оценка снизу вероятности се-

мейства траекторий равна

(

)_n

Рассуждение, которое мы применим далее, при-

exp{-n lnn - κt/2}.

(19)

водит к методу Лапласа, если изначально функция

S(x) более простая, например ln S(x) = x^a, a > 1

Объединим оценки (18) и (19):

[10, 16]. В нашем случае использовать метод Лапла-

⎡

⎧

⎫

⎤

са напрямую не получится и придется полностью

∫

⎨

⎬

повторить рассуждение.

E₀ ⎣exp

f (x_s) ds

δyn (x_t)⎦ ≥

⎩

⎭

Для простоты выкладок положим c = 0 и α = 1.

Разложим функцию tx - e^x в ряд Тейлора в окрест-

≥ exp{αt/2 + f(y_n)t/2 - n ln(2d) - n lnn - κt/2} =

ности ее точки максимума x^∗ = ln t:

= exp{f(y_n)t/2 - n lnn + O(n)} =

{

(

) )}

∑

t f(y_n)

tx - e^x = tx^∗ - ex∗ -1ex∗ (x-x∗)2 -

ex∗ (x-x∗)^k

= exp

- nlnn

2 nlnn

ln n

k=3

Согласно предположению (16), полученное выра-

Подставим в предыдущее выражение x^∗ = ln t:

жение не ограничено при n → ∞ для любых (x, t).

∑

(x - ln t)^k

Поэтому cупремум (14) равен бесконечности. Следо-

tx - e^x = t ln t - t -

t(x - ln t)² - t

вательно, исходное представление типа Фейнмана-

k=3

Каца (17) бесконечно и лемма доказана.

Таким образом, получим

Обобщение результатов работы [10] на случай

∫

произвольного семейства случайных потенциалов

M (t) = t etx-exdx =

делается при помощи доказательства аналогов лемм

6.2, 6.3 и 6.4 из работы [10] . Мы докажем только ре-

∫

∑

(x-ln t)k

зультаты, требуемые для первого отожженного мо-

-¹² t(x-ln t)²-t

= te^tlnt-t e

k=3

dx.

(21)

мента: аналог леммы 6.2 в виде лемм 2 и 3 и аналог

леммы 6.3 в виде леммы 4.

Здесь и далее выражение f(x) ∼ g(x) означает,

Исследуем правый интеграл, сделав замену

√

что lim_x→∞ f(x)/g(x) = 1. Для случайной величины

t(x - ln t):

V (x) с функцией распределения F (x) будем назы-

{

}

вать хвостовой функцией S(x) дополнение к функ-

∫

∑

(x - ln t)^k

ции распределения: S(x) := 1 - F (x). Введем обо-

exp

t(x - ln t)² - t

dx =

значения: M(t) :=

e^Vt

и G(t) := ln M(t).

k=3

{

}

Лемма 2. Пусть ξ — абсолютно непрерывная

∫

{

}

∑

z^kt^k-

случайная величина с хвостовой функцией

√

exp

z²

exp

dx.

k=3

S(x) = e-ceαx , c > 0, α ≥ 1.

Последний интеграл исследован в разд. 2.5 работы

Тогда G(t) имеет следующее асимптотическое пред-

(₁)

[16], где показано, что он есть 1 + O

. Учитывая

ставление:

это, из выражения (21) получим

G(t) ∼ α^-1t ln t, t → ∞.

∫

(

( ))

√

M (t) = t etx-exdx ∼ e^tlnt-t

1+O

Доказательство. Найдем представление функ-

ции M(t) через хвостовую функцию S(x):

∫

t → ∞.

M (t) =

e^ξt

= e^txdF = - e^txd(1 - F) =

Таким образом, для G(t) = ln M(t) имеем

∫



∫

^∞

(

)

G(t) ∼ t ln t, t → ∞,

(22)



e^txdS = -Se^tx

+ S(x)d

e^tx



−∞

что есть условие леммы для c = 0 и α = 1.

570

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Неустойчивости в случайных средах...

В общем случае, при c > 0 и α ≥ 1, вычисления

Рассмотрим оценку снизу в предыдущем выраже-

более громоздки, однако общий ход рассуждения не

нии. Представим ее в следующем виде:

меняется. Главный член асимптотики t ln t заменит-

∞

∫

ся на α^-1t ln (t/αc), что эквивалентно α^-1t ln t при

etx+c+g(x)dx+

t → ∞. С учетом этого замечания можно считать

-∞

лемму доказанной.

Лемма 3. Пусть ξ — абсолютно непрерывная

∫

случайная величина, для хвостовой функции кото-

+t e^tx+lnS(x)dx - t

etx+c+g(x)dx.

рой верно

-∞

ln S(x) ∼ -ce^αx,

Первый интеграл обозначим за J₊, сумму второго

c > 0, α ≥ 1, x → ∞.

и третьего — за B₊. Таким же образом представим

правую часть выражения (25) в виде интегралов J_-

Тогда G(t) имеет следующее асимптотическое пред-

и B_-:

ставление:

J₊ + B₊ ≤ M(t) ≤ J_- + B_-.

(26)

G(t) ∼ α^-1t ln t, t → ∞.

Оценим B₊ и B_-, воспользовавшись тем, что

Доказательство. Фиксируем произвольно

S(x) ≤ 1, а g(x) ≤ 0:

ε > 0. По условию леммы, начиная с некоторого x₀,

∫

для x > x₀ верно

B₊ = t

e^tx+lnS(x)dx - t

etx+c+g(x)dx ≤

-(1 + ε)ce^αx ≤ ln S(x) ≤ -(1 - ε)ce^αx.

-∞

∫

Для удобства введем следующие обозначения:

≤ t e^txdx + t e^txdx ≤ 2e^tx.

g(x) := -ce^αx, c₊ := 1 + ε, c_- := 1 - ε.

-∞

В этих обозначениях, начиная с некоторого x₀, для

Таким же образом, оценив B₊ снизу и повторив рас-

x > x₀ верно

суждения для B_-, получим

c₊ce^αx ≤ lnS(x) ≤ с_-ce^αx.

(23)

|B₊| ≤ 2e^tx;

|B_-| ≤ 2e^tx

Воспользоваться оценками (23) можно только

Интегралы J₊ и J_- представляют собой функции

начиная с x₀. Поэтому разобьем функцию M(t) в

M (t) для случайной величины с хвостовыми функ-

представлении (20) на два интеграла:

, соответственно. В таком

циями ec+ceαx и ec-ceαx

∫

∞

случае воспользуемся леммой 2:

M (t) = t S(x)e^txdx = t

(. . . ) + t

(. . . ).

(24)

ln J₊ ∼ α^-1t ln t; ln J_-α-1t lnt.

-∞

Оценим второй интеграл с двух сторон:

Таким образом,

(

)

∫∞

ln(J₊ + B₊)

lim

= 1 + lim

= 1, (27)

etx+c+g(x)dx ≤

t→∞

ln J₊

t→∞

J₊

т.е.

∫∞

∫

∞

ln(J₊ + B₊) ∼ ln(J_- + B_-) ∼ α^-1t ln t.

≤ t e^tx+lnS(x)dx ≤ t etx+c-g(x)dx.

Возьмем логарифм от выражения (26):

Добавим первый интеграл из (24) от -∞ до x₀:

ln(J₊ + B₊) ≤ G(t) ≤ ln(J_- + B_-).

∫∞

∫

Левая и правая части асимптотически эквивалент-

etx+c+g(x)dx + t

e^tx+lnS(x)dx ≤

ны α^-1t ln t, а, значит, G(t) асимптотически эквива-

-∞

лентна тому же, и лемма доказана.

≤ M(t) ≤

Лемма 4. Пусть f₁(t) и f₂(t) — непрерывные

∫∞

∫

функции, такие что

≤ t etx+c-g(x)dx + t

e^tx+lnS(x)dx.

(25)

(t) ∼ at ln t, t → ∞, i = 1, 2.

ln f_i

-∞

571

В. А. Куценко, Д. Д. Соколов, Е. Б. Яровая

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Тогда для их свертки

(30) при больших t близок к значению своей по-

динтегральной функции в точке максимума функ-

∫t

ции z ln z + (1 - z) ln(1 - z), см. [16]. Функция

W (t) = f₁ ∗ f₂(t) = f₁(x)f₂(t - x)dx

z ln z + (1 - z) ln(1 - z) в точках 1 и -1 достигает

максимума, который равен нулю. Поэтому при боль-

ших t интеграл из выражения (30) асимптотически

верно

ln W (t) ∼ at ln t, t → ∞.

равен единице:

Доказательство. Запишем функции lnf_i(t) в

W₀(t) ∼ te^atlnt, lnW₀(t) ∼ at lnt, t → ∞.

виде

ln f_i(t) = at ln t + ϕ_i(t), i = 1, 2.

Подставив данное выражение в неравенство (29), по-

лучаем утверждение леммы.

Согласно предположениям леммы, для любого ε > 0

Комбинируя леммы 2 - 4 и подходы из работы

существует K = K(ε) > 0, такое что

[10], получим основной результат:

|ϕ_i(t)| ≤ K + εt ln t, i = 1, 2.

(28)

Теорема 1.

Рассмотрим ветвящееся случайное блуждание в

Эти оценки означают, что свертка W (t) главным об-

случайной среде с потенциалом V (x). Пусть для хво-

разом зависит от главной части асимптотики at ln t.

стовой функции S(x) потенциала верно

Обозначим за W₀(t) интеграл, соответствующий

свертке главных частей асимптотик:

ln S(x) ∼ -ce^αx, c > 0, α ≥ 1, x → ∞.

∫t

Тогда

W₀(t) = e^{axlnx+a(t-x)ln(t-x)}dx.

ln 〈m₁(t, x, y)〉

lim

= 1.

t→∞ α^-1t ln t

Тогда W (t) можно оценить следующим образом:

ЛИТЕРАТУРА

W₀(t)e^-2K-2εtlnt ≤ W(t) ≤ W₀(t)e^2K+2εtlnt.

Я.Б. Зельдович, С.А. Молчанов, А.А. Рузмай-

Взяв логарифм, с обеих сторон получим

кин и др., УФН 152, 3 (1987).

ln W₀(t) - 2K - 2εt ln t ≤ ln W (t) ≤

Я.Б. Зельдович, С.А. Молчанов, Д.Д. Соколов,

≤ ln W₀(t) + 2K + 2εt ln t.

(29)

ЖЭТФ 89, 434 (1985).

Исследуем асимптотическое поведение W₀(t) при

Н.В. Змитриенко, С.П. Курдюмов, А.П. Михай-

t → ∞. Чтобы применить метод Лапласа, необхо-

лов и др., Письма в ЖЭТФ 26, 620 (1977).

димо избавиться от переменного передела интегри-

рования, сделав замену x = tz:

A.M. Shukurov, D.D. Sokolov, and A. Ruzmaikin,

∫1

MHD 19, 274 (1984).

W₀(t) = t e^{atzln(tz)+a(t-tz)ln(t-tz)}dz.

J. Gärtner and S. Molchanov, Comm. Math. Phys.,

132, 613 (1990).

Упростим полученное выражение:

J. Gärtner and S. Molchanov, Probability Theory

∫¹

and Related Fields 111, 1 (1998).

W₀(t) = t e^{atlnt+a(t-tz)ln(t-tz)}dz =

E.A. Illarionov and D.D. Sokoloff, Phys. Rev. E.

∫¹

104, 015214 (2021).

= te^atlnt e^{at(zlnz+(1-z)ln(1-z))}dz.

(30)

D.D. Sokoloff, Wulfenia 9, 1 (2002).

Мы находимся в условиях применения метода

Лапласа. Он утверждает, что последний интеграл

Я.Б. Зельдович, Астроном. Ж. 41, 1924 (1964).

572