ЖЭТФ, 2023, том 163, вып. 4, стр. 545-560

ВИХРИ НА СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ СЛОЯ

НОРМАЛЬНОГО ГЕЛИЯ He-I В ШИРОКОЙ ЯЧЕЙКЕ

А. А. Левченко^a,b, Л. П. Межов-Деглин^a,b, А. А. Пельменёв^a,b,c*

^a Институт физики твердого тела имени Ю.А. Осипьяна Российской академии наук

142432, Черноголовка, Московская обл., Россия

^b Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау Российской академии наук

142432, Москва, Россия

^c Филиал Федерального исследовательского центра химической физики им. Н.Н. Семенова

Российской академии наук в г. Черноголовке

142432, Черноголовка, Московская обл., Россия

Поступила в редакцию 18 октября 2022 г.,

после переработки 21 ноября 2022 г.

Принята к публикации 21 ноября 2022 г.

Возникновение термогравитационного конвективного течения в объеме слоя нормального жидкого ге-

лия He-I глубиной h ≈ (1 - 3) см в широкой цилиндрической ячейке, который подогревают сверху в поле

силы тяжести в интервале температур T_λ ≤ T ≤ Tm, сопровождается возбуждением вихревого тече-

ния на свободной поверхности жидкости. Здесь T_λ = 2.1768 К — температура перехода жидкого⁴He из

сверхтекучего He-II в нормальное He-I состояние при давлении насыщенных паров, Tm ≈ 2.183 К — тем-

пература, при которой плотность He-I проходит через максимум. Конвекция в объеме служит источником

энергии, накачиваемой в вихревую систему на поверхности He-I. Нелинейное взаимодействие вихрей на

поверхности между собой и с конвективными вихревыми течениями в объеме слоя приводит к фор-

мированию на поверхности He-I двух крупномасштабных вихрей (вихревого диполя), размеры которых

ограничиваются диаметром рабочей ячейки и в несколько раз превосходят глубину слоя. Это соответ-

ствует переходу со временем от режима вихревого течения на «глубокой воде» (вихри на поверхности

трехмерного слоя жидкости) к вихрям на поверхности «мелкой воды» (вихри на поверхности двумерного

слоя). При дальнейшем подогреве слоя выше Tm конвективные потоки в объеме быстро затухают, однако

вихревое движение на поверхности двумерного слоя He-I сохраняется. В отсутствие накачки энергии из

объема полная энергия вихревой системы на поверхности слоя «мелкой воды» со временем затухает

по закону, близкому к степенному, вследствие нелинейного взаимодействия крупномасштабных вихрей

между собой и трения о стенки ячейки. В результате, при длительных наблюдениях, на поверхности He-I

вновь начинают преобладать мелкомасштабные вихри, размеры которых сравнимы или меньше глубины

слоя, что соответствует переходу от двумерного к трехмерному слою жидкости. Энергия вихревого те-

чения на поверхности слоя «глубокой воды» затухает по закону, близкому к экспоненциальному. Таким

образом, длительные наблюдения за динамическими явлениями на свободной поверхности слоя He-I глу-

биной порядка нескольких сантиметров в широком интервале температур выше T_λ позволили впервые в

одном эксперименте изучать возбуждение, эволюцию и затухание вихревых течений на поверхности слоя

«глубокой» и «мелкой воды».

DOI: 10.31857/S0044451023040120

1. ВВЕДЕНИЕ

EDN: MCGOFI

В экспериментах [1-4] было обнаружено,

что

возникновение термогравитационного конвективно-

го течения Рэлея-Бенара (RBC) в объеме подогре-

ваемого сверху слоя нормального гелия He-I глу-

биной h = (3.4 - 1.2) см в широкой цилиндрической

^* E-mail: pelmenevaa@gmail.com

ячейке диаметром D

= 12.4 см (аспектное отно-

545

А. А. Левченко, Л. П. Межов-Деглин, А. А. Пельменёв

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

ром D ≫ h в поле силы тяжести в интервале темпе-

ратур T_λ ≤ Т≤ T_m в объеме неоднородно нагретого

слоя He-I должны возникать конвективные термо-

гравитационные течения Рэлея-Бенара (RBC) [6,7].

Систематическому описанию динамики течений

и структур, возникающих в объеме при термогра-

витационной конвекции в плоском слое жидкости

в поле силы тяжести, посвящена, например, моно-

графия [7]. Монография снабжена достаточно пол-

ным обзором литературы, опубликованной вплоть

до 1998 г. Результатам современных теоретических и

экспериментальных исследований конвективных те-

чений в жидкостях и газах посвящены обзоры [8-12].

В обзоре [12], например, можно найти введение в со-

временное состояние теории RBC и список публика-

ций разных авторов, посвященных изучению турбу-

лентной RBC в жидкостях и газах вплоть до 2020 г.

Для дальнейшего важно заметить, что в боль-

шинстве исследований RBC авторы полагают, что

неоднородно нагретый слой жидкости или плотного

газа располагается между двумя твердыми пласти-

нами, изготовленными из материала с высокой теп-

лопроводностью, и в расчетах используют прибли-

жение Обербека-Буссинеска (OB). В рамках этого

Рис. 1. Зависимости плотности ρ и температурного коэф-

приближения считается, что тепловое расширение

фициента расширения β жидкого⁴He при давлении насы-

жидкости или плотного газа мало, а физические ха-

щенных паров от температуры вблизи λ-точки. Графики

рактеристики среды (теплопроводность, кинемати-

построены по данным работы [5]

ческая вязкость, поверхностное натяжение) посто-

янны. При этом зависимостью плотности от темпе-

шение D/h ≈ 4 - 10) в узком интервале темпера-

ратуры (она считается линейной) пренебрегают всю-

тур T_λ ≤ T

≤ T_m вблизи точки фазового пере-

ду, кроме слагаемого с силой плавучести в уравне-

хода из сверхтекучего He-II в нормальное состо-

ниях движения. Во многих случаях использование

яние He-I сопровождается возбуждением вихрево-

OB-приближения оправдано в силу малости пара-

го течения на свободной поверхности жидкости.

метра температурной неоднородности плотности и

Здесь T_λ = 2.1768 К — температура перехода жид-

большой величины силы тяжести. В нашем случае

кого⁴He из сверхтекучего в нормальное состояние,

(рис. 1), в интервале температур T_λ ≤ T ≤ T_m темпе-

T_m = T_λ + 6 мК ≈ 2.183 К [5] — температура, при

ратурный коэффициент расширения He-I отрицате-

которой плотность ρ жидкого⁴He при давлении на-

лен, |β| = 0.02 K, и нелинейно зависит от темпера-

сыщенных паров проходит через максимум (рис. 1).

туры, теплопроводность и вязкость жидкости так-

Соответственно, температурный коэффициент рас-

же сильно зависят от температуры [5, 13]. Поэто-

ширения жидкости

му точнее говорить, что рис. 1 иллюстрирует про-

цесс установления термогравитационной конвекции

1 δρ

β=-

Рэлея-Бенара в объеме неоднородно нагретого слоя

ρ δT

He-I со свободной поверхностью в условиях невы-

меняет знак вблизи T_m: β < 0 при T < T_m, β > 0

полнения приближения Обербека-Буссинеска (RBC

при T > T_m.

NOB). Небуссинесковская модель описания конвек-

Графики на рис. 1 построены по данным, при-

ции в слое со свободной границей раздела сред по-

веденным в обзоре [5]. Очевидно, что при плав-

дробно обсуждается, например, в монографии [14].

ном повышении температуры подогреваемого свер-

Особенности конвективных течений в условиях RBC

ху слоя жидкого гелия глубиной h порядка несколь-

NOB обсуждаются в серии современных публикаций

ких см в широком цилиндрическом сосуде диамет-

различных авторов [15-18].

546

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Вихри на свободной поверхности. . .

Воспользовавшись данными, приводимыми в об-

возникают валиковые структуры. Наблюдать уста-

зоре [5], можно оценить значения безразмерных

новление валиковых структур в объеме слоя жидко-

параметров — числа Рэлея Ra

= gΔTh³β/(νχ)

го прозрачного гелия в металлической ячейке нам не

и числа Прандтля P

= ν/χ, которые опреде-

удалось, однако во всех экспериментах мы наблюда-

ляют характер конвективных течений в объеме

ли, что через (10 - 15) с после перехода через T_λ на

слоя He-I на рис. 1. При температуре жидкости

поверхности слоя He-I глубиной h = (1 - 3) см воз-

в середине слоя T

≈ 2.179 К плотность жидко-

никают вихревые течения. Известно [6, 19, 20], что

го гелия ρ = 0.14 г/см³, кинематическая вязкость

возбуждаемые на свободной поверхности жидкости

He-I ν ≈ 1.4 · 10^-4 см²/с, температуропроводность

вихри проникают в объем слоя. В стационарном со-

χ = κ/ρC_p ≈ 2.5·10^-4см²/с (здесь κ — коэффициент

стоянии завихренность Ω уменьшается с ростом глу-

теплопроводности, C_p — теплоемкость), температур-

бины z по экспоненциальному закону:

ный коэффициент расширения β ≈ 0.02 К^-1. Пола-

√

гая, что глубина слоя h = 2.5 см, а разность темпера-

Ω ∼ exp(-2z/z_o) + exp(-

2z/z_o),

(2)

тур на поверхности слоя жидкости, T_s, и вблизи дна

ячейки, T_b, ΔT = T_s - T_b ≈ 5 мК, получим P ≈ 0.56,

где z₀/2 — характерная глубина проникновения.

Ra ≥ 10⁷.

Первый член обусловлен стоксовым увлечением, а

По оценкам, приводимым, например, в моногра-

второй — эйлеровым течением жидкости [6,19-22].

фиях [6, 7] критическое значение числа Рэлея Ra_c,

Естественно полагать, что наблюдаемые на поверх-

выше которого в объеме неоднородно нагретого слоя

ности He-I вихри проникают в объем слоя и взаимо-

жидкости со свободной поверхностью со временем

действуют с вихрями, порождаемыми конвективны-

должна установиться турбулентная конвекция, со-

ми течениями в объеме, т. е. RBC NOB конвекция в

ставляет Ra_c ≈ 1.1 · 10³. В наших экспериментах

объеме подогреваемого сверху слоя He-I служит ис-

глубину слоя жидкости h мы варьировали в диапа-

точником накачки энергии в вихревую систему на

зоне h=(1.2 - 3.4) см, т. е. во всех измерениях значе-

поверхности жидкости. И, как показали наши на-

ния Ra ≥ 10⁷ >> Ra_с, и со временем в объеме слоя

блюдения, в этих условиях нелинейное взаимодей-

He-I при T_s ≤ T_m должна установиться турбулент-

ствие вихрей на поверхности между собой приводит

ная конвекция. В соответствии с [6, 7] число Рэлея

в свою очередь к формированию на поверхности He-

можно записать следующим образом:

I двух крупномасштабных вихрей — вихревого ди-

поля, размеры которого ограничиваются диаметром

Ra = (τ_ντ_χ)/(τ_B)²,

(1)

рабочей ячейки и многократно превосходят глубину

слоя жидкости.

где

При обсуждении динамики волн и вихрей на по-

τ_B = (h/gβΔT)^-1/2

верхности слоя жидкости обычно рассматривают по

— характерное время всплывания (buoyancy) более

отдельности вихревые течения на поверхности трех-

легкого участка слоя жидкости со дна контейнера за

мерного слоя жидкости (вихри на глубокой воде), и

счет сил Архимеда, τ_χ = h²/χ — характерное вре-

вихревые течения на поверхности двумерного слоя

мя диффузионного переноса потока тепла (diffusion)

(крупномасштабные вихри на поверхности мелкой

через слой, а τ_v = h²/ν — характерное время вяз-

воды). Поэтому в нашем случае есть все основания

ких потерь (dissipation) в объеме. Воспользовавшись

говорить, что формирование на поверхности вихре-

данными, приводимыми в обзоре [5], можно оценить,

вого диполя, характерные размеры которого мно-

что при T_s ≤ T_m и h ≈ 2.5 см время всплывания

го больше глубины слоя, соответствует переходу от

более легкого участка слоя жидкости со дна ячей-

вихревого течения на поверхности глубокой воды

ки τ_B ≈ 5 с много меньше времени диффузионного

к вихревому течению на поверхности двумерного

переноса потока тепла через слой τ_χ ≈ 3.5 · 10⁴ с и

слоя. Нелинейное взаимодействие между порожден-

времени вязких потерь в объеме τ_v ≈ 6.3 · 10⁴ с, так

ными конвекцией вихрями на поверхности в присут-

что за времена порядка (2 - 3)τ_B (т. е. (10 - 15) с) по-

ствии накачки энергии из объема приводит к фор-

сле перехода температуры нагреваемого сверху слоя

мированию обратного энергетического каскада на

жидкого гелия через λ-точку в объеме слоя начина-

поверхности двумерного слоя.

ют формироваться вертикальные вихревые струк-

Теоретически особенности нелинейного взаимо-

туры. Как указано в [7], при наличии асимметрич-

действия вихрей на свободной поверхности жид-

ных граничных условий (нижняя граница твердая, а

кости между собой и с вихрями, порождаемыми

верхняя свободная) в объеме слоя преимущественно

встречным движением холодных и теплых струй в

547

А. А. Левченко, Л. П. Межов-Деглин, А. А. Пельменёв

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

объеме слоя при больших числах Рэлея, ранее не

но и со стенками и дном сосуда, что увеличивает

изучались. Этот вопрос заслуживает отдельного об-

отток энергии из вихревой системы на поверхности

суждения, которое не входит в задачи данной рабо-

квазидвумерного слоя жидкости.

ты.

На «глубокой воде» основной канал диссипации

При последующем возрастании температуры

энергии вихревой системы — вязкие потери в объе-

слоя He-I в целом выше T_m, где коэффициент β

ме, а также трение мелкомасштабных вихрей о стен-

меняет знак, см. рис. 1, возникшие ранее верти-

ки ванны. В этом случае полная энергия вихревой

кальные струи в объеме подогреваемого сверху

системы на поверхности затухает со временем по

неподвижного слоя вязкой жидкости должны

закону близкому к экспоненциальному. Используе-

быстро затухнуть. Очевидно, что в отсутствие на-

мая нами методика — генерация вихрей на свобод-

качки энергии из объема полная энергия вихревой

ной поверхности He-I в условиях накачки энергии

системы на поверхности слоя со временем будет

из объема, которая в отсутствие накачки сменяется

также уменьшаться, и при достаточно длительных

затуханием вихревых течений на поверхности, поз-

наблюдениях вихревые течения на поверхности

воляет в одном и том же эксперименте, при неизмен-

слоя He-I в неподвижном сосуде должны затухнуть.

ной глубине слоя жидкости, наблюдать как появле-

Поэтому при обсуждении дальнейшей эволюции

ние и эволюцию вихрей на поверхности слоя «глу-

и затухания вихревого течения на поверхности

бокой воды», так и затухание вихрей на поверхно-

подогреваемого сверху слоя He-I при температурах

сти слоя «мелкой воды». Поэтому представлялось

T_s

> T_b

> T_m можно выделить два этапа. На

интересным изучить затухания вихревого течения

первом этапе на поверхности He-I преобладают

на поверхности нормального гелия Не-1 [1] для по-

крупномасштабные вихри, взаимодействие которых

следующего сравнения результатов, полученных на

между собой и со стенками и дном сосуда, приводит

обычной вязкой жидкости (вода выше 10^◦ C), коэф-

к затуханию и распаду крупномасштабных вихрей.

фициенты кинематической вязкости которых разли-

По аналогии с результатами измерений затухания

чаются почти на два порядка.

вихрей на поверхности двумерного слоя обычной

Статья построена следующим образом. Во вто-

воды в адиабатических условиях [19-22] следовало

ром разделе приведена конструкция вставки в крио-

бы ожидать, что закон затухания полной энергии

стат, которая предназначена для изучения явлений

системы крупномасштабных вихрей на поверхности

на поверхности жидкого гелия. Там же кратко опи-

должен быть близок к степенному E(t) ∝ (1/t)ⁿ.

сана методика проведения измерений и обработки

При достаточно длительных наблюдениях, когда

экспериментальных данных и приведены некоторые

на поверхности слоя He-I вновь начинают преобла-

из результатов наблюдений за динамикой развития

дать вихри малых размеров (второй этап), закон

конвективного теплообмена в слое нормального ге-

затухания энергии вихревого течения на поверхно-

лия He-I вблизи T_λ в различных экспериментальных

сти трехмерного слоя He-I, как и на поверхности

ячейках. В третьем разделе приведены и обсужда-

обычной вязкой жидкости, должен измениться —

ются результаты длительных (до 2500 с) наблюде-

от степенного к экспоненциальному, характерному

ний за эволюцией и затуханием вихрей на поверх-

для вязкого затухания вихрей в объеме слоя.

ности He-I в дюралевой ячейке при температурах

Выше мы отмечали, что обычно исследования

T ≫ T_m. Итоги наших исследований подведены в

процессов затухания вихрей на свободной поверх-

Заключении.

ности вязкой жидкости, например, воды, проводят

в двух различных экспериментах: отдельно изуча-

ют затухание вихрей на «мелкой воде», где глубина

2. КОНСТРУКЦИЯ УСТАНОВКИ,

слоя жидкости h много меньше характерных разме-

МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЙ,

ров вихрей h ≪ 2π/κ (здесь κ — характерный волно-

КОНВЕКТИВНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В ОБЪЕМЕ

ПОДОГРЕВАЕМОГО СВЕРХУ СЛОЯ

вой вектор вихря), и отдельно — на «глубокой», где

НОРМАЛЬНОГО ГЕЛИЯ

h ≫ 2π/κ — глубина трехмерного слоя вязкой жид-

кости много больше характерных размеров вихрей.

2.1. Схема установки

Как показали результаты измерений [17-22], в

случае

«мелкой воды» полная энергия системы

Конструкция вставки в широкогорлый металли-

крупномасштабных вихрей на поверхности затухает

ческий криостат, которая была предназначена для

по закону, близкому к степенному. Крупномасштаб-

изучения явлений на поверхности жидкого гелия,

ные вихри взаимодействуют не только между собой,

подробно описана в работе [23]. Схема вставки, кото-

548

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Вихри на свободной поверхности. . .

рую использовали в данных экспериментах, приве-

дена на рис. 2. Герметичная металлическая рабочая

ячейка 1 подвешена на верхней крышке криостата

на трех длинных стержнях из нержавеющей стали

(на рисунке не показаны) внутри гелиевой полости

криостата и охлаждается снизу жидким гелием в до-

полнительной ванне 5. Для герметичного уплотне-

ния прижимного соединения прозрачного верхнего

фланца из листового плексигласа толщиной 8 мм с

ячейкой 1 используют индиевое колечко. Охлажда-

емый парами жидкого гелия плексигласовый фла-

нец практически полностью поглощает радиацион-

ный поток тепла в инфракрасном диапазоне, кото-

рый излучается в объем криостата окнами и капкой

криостата, которые находятся при комнатной тем-

пературе. В некоторых экспериментах при подборе

оптимальных условий для наблюдения за эволюци-

ей вихрей на поверхности жидкого гелия в ячей-

ке на внешней поверхности плексигласового фланца

мы устанавливали кольцевой резистивный нагрева-

тель, как показано на рис. 2. Металлический капил-

ляр 4 служит для соединения рабочей ячейки с на-

ружной системой заполнения чистым газообразным

⁴He. Датчик давления М используется для измере-

ния давления насыщенных паров над слоем жид-

кого гелия в ячейке Pcell при перекрытом венти-

Рис. 2. Схема конструкции вставки в металлический гели-

ле в системе набора газа. Температуру жидкого ге-

евый криостат. 1 — герметичная цилиндрическая рабочая

ячейка с кольцевым резистивным нагревателем на верхнем

лия вблизи дна рабочей ячейки и в дополнительной

прозрачном фланце из плексигласа; 2, 3 — резистивные

ванне 5 измеряют резистивными термометрами 2 и

термометры на дне рабочей ячейки и в дополнительной

3. Внутренний диаметр различных эксперименталь-

ванне 5; 4 — капилляр системы заполнения ячейки 1 газо-

ных ячеек составлял D ≈(10 - 12) см, высота ≈ 5 см,

образным⁴He; М — датчик давления газа на линии запол-

глубина слоя жидкого гелия в разных эксперимен-

нения; 6 — термомеханический насос для подлива сверх-

тах составляла h ≈(1.2 - 3.4) см.

текучего He-II в дополнительную ванну 5 из гелиевой по-

Для удобства регистрации динамических явле-

лости криостата; 7 — кольцевой резистивный нагреватель

ний на поверхности слоя прозрачной жидкости на

дно рабочей ячейки заранее насыпали порошок из

легких полых стеклянных микросфер характерным

диаметром около 50мкм. При наборе жидкого ге-

лия в ячейку 1 стеклянные микросферы всплывали

и локализовались в тонком слое под поверхностью

в рабочей ячейке использовали видеокамеру Canon

жидкого⁴He. Стеклянные частицы на поверхно-

EOS 6D с телескопическим объективом Sigma APO

сти подсвечивались светодиодами, расположенны-

(50 - 500) нм F4.5-6.3. Частота кадров при видео-

ми над плексигласовым фланцем (на рис.2 не по-

съемке составляла 24 кадра/c, разрешение матрицы

казаны). В объеме жидкого гелия стеклянные мик-

1920×1080, что обеспечивало геометрическое разре-

росферы объединялись в агрегаты (трассеры) ха-

шение около 0.072 мм/пиксель. Камера соединена с

рактерными диаметрами порядка (0.1 - 0.3) мм [24].

наружной компьютеризированной системой записи

Плотность микросфер близка к плотности жидко-

и обработки экспериментальных данных. Для вы-

го гелия, поэтому трассеры полностью увлекались

явления треков движения трассеров на поверхности

как капиллярными волнами, так и вихревыми по-

жидкости отдельные кадры съемки затем суммиро-

токами, возбуждаемыми в вязком подслое вблизи

вались [26]. К методике обработки результатов из-

поверхности жидкого гелия [24, 25]. Для регистра-

мерений вихревого течения на поверхности мы вер-

ции движения трассеров на поверхности жидкости

немся ниже.

549

А. А. Левченко, Л. П. Межов-Деглин, А. А. Пельменёв

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

2.2. Методика эксперимента. Конвекция в

крышке медной ячейки был установлен круговой ре-

объеме неоднородно нагретого слоя He-I

зистивный нагреватель. Это позволяло проследить

вблизи T_λ

за особенностями процесса установления конвектив-

ного теплообмена в слое He-I при изменении теп-

Перед началом измерений газообразный⁴He из

лоподвода к крышке ячейки. Экспериментальным

наружной системы заполнения конденсировали в

исследованиям особенностей переноса тепла в подо-

рабочую ячейку, которая охлаждалась до 4.2 К жид-

греваемом сверху слое жидкого⁴He вблизи T_λ была

ким гелием в объеме гелиевой полости криостата.

посвящена работа [30]. О возникновении RBC NOB

После набора необходимого количества жидкости в

конвекции в объеме слоя нормального гелия при пе-

ячейку температуру жидкости в объеме гелиевой

реходе через T_λ авторы судили по результатам изме-

полости криостата плавно понижали до (1.6 - 1.8) К

рений давления насыщенных паров P (t) и распреде-

откачкой паров жидкого⁴He. В процессе откачки

ления температуры T (t) вблизи свободной поверх-

паров уровень He-II в гелиевой полости опускал-

ности и в объеме вертикального столба жидкости

ся ниже дна рабочей ячейки 1 на рис. 2, так что

в стеклянном сосуде Дюара внутренним диаметром

для дальнейшего охлаждения рабочей ячейки мы

2 см и глубиной h = 15см. Теплопроводность He-

использовали дополнительную ванну 5. По достиже-

II на порядки выше теплопроводности нормально-

нии теплового равновесия в объеме криостата откач-

го He-I, поэтому при плавном повышении темпера-

ку паров гелия прекращали, и температура сверх-

туры He-II при переходе через λ-точку на кривых

текучего He-II начинала плавно повышаться. Тем-

P (t) и T (t) наблюдался излом. Возникновение кон-

пература сверхтекучего гелия в экспериментальной

вективного теплообмена в слое нагреваемого свер-

ячейке 1 выше температуры жидкости в дополни-

ху He-I приводило к появлению плато на кривых

тельной ванне. Перегрев He-II в ячейке относитель-

T (t) в интервале температур T_λ ≤ Т ≤ T_m, которое

но жидкости во вспомогательной ванне 5 связан с

сменялось затем быстрым возрастанием температу-

тем, что значительная часть потока тепла Q_rad, ко-

ры и давления паров над поверхностью с дальней-

торый излучает капка криостата, находящаяся при

шим повышением температуры жидкости выше T_m .

комнатной температуре,

Во избежание недоразумений следует отметить, что

численные значения T_λ и T_m в работе [30] и в обзо-

Q_rad ≈ σT⁴ ≈ 4 · 10^-2 Вт/см²,

ре [5] различаются на ∼ 5 мК, так как при опреде-

практически полностью (более 95%) поглощается

лении температуры жидкого гелия по давлению на-

толстой плексигласовой крышкой ячейки, охлажда-

сыщенных паров в работе [30] использовали шкалу

емой снаружи гелиевыми парами. Тем не менее, тем-

МПТШ-58, а в обзоре [5] используют общепринятую

пература плексигласовой крышки выше температу-

ныне шкалу МПТШ-68.

ры слоя жидкого гелия в ячейке, и внутри ячейки

В отличие от экспериментов авторов работы [30],

даже в стационарных условиях возникает поток теп-

в наших исследованиях мы наблюдали за возник-

ла, который направлен сверху вниз, от плексигласо-

новением конвекции в подогреваемом сверху слое

вой крышки по гелиевому пару и стенкам ячейки к

гелия глубиной h

≈ (1 - 3) см в широких метал-

поверхности слоя жидкого гелия. Далее через дно и

лических ячейках. Паразитный радиационный по-

стенки ячейки тепло передается He-II во вспомога-

ток тепла от капки криостата, который поглощался

тельной ванне.

плексигласовой крышка ячейки, приводил к тому,

Условия переноса потока тепла через стенки ра-

что даже при выключенном нагревателе на крышке

бочей ячейки в окружающую среду существенно

ячейки температура T_b сверхтекучего He-II вблизи

влияют на результаты измерений конвективных яв-

дна рабочей ячейки была на ∼ 0.015 К выше тем-

лений в жидкостях и газах [27-29], поэтому при

пературы T_add He-II в дополнительной ванне. Что-

выборе оптимальной конструкции рабочей ячейки

бы оценить, как влияет подвод тепла к крышке на

мы испытали несколько металлических ячеек близ-

динамику роста температуры в жидкости и давле-

ких размеров, которые были изготовлены из ме-

ние паров внутри герметичной ячейки 1 и в гелие-

ди, нержавеющей стали и из дюралюминия. Внут-

вой полости криостата, на плексигласовой крышке

ренний диаметр показанной на рис. 2 медной ячей-

медной ячейки был установлен резистивный нагре-

ки составлял 11.5 см, высота равнялась 5.4 см. Из-

ватель (см. рис. 2).

готовленная из прозрачного листового плексигласа

На рис. 3a для глубины слоя гелия h = 2.5 см

толщиной 0.8 см прижимная верхняя крышка гер-

показано, как изменялось со временем давление па-

метично крепилась на верхнем фланце ячейки. На

ров над жидким гелием в объеме медной ячейки

550

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Вихри на свободной поверхности. . .

P_cell (красная кривая 1, шкала в условных едини-

цах) и в объеме криостата P_cryo (синяя кривая 2,

шкала в Торрах) при включении нагревателя в мо-

мент t = 0 (очевидно, что P_cryo = P_add). Откачка па-

ров гелия из объема криостата заранее была отклю-

чена. Мощность, выделяемая на резистивном нагре-

вателе, W = 2 Вт, сравнима с мощностью радиаци-

онного потока тепла от верхней части криостата. На

рис. 3b показано, как изменялась со временем темпе-

ратура жидкого гелия вблизи дна медной ячейки T_b

(красная кривая 1) и в дополнительной ванне T_add

(синяя кривая 2). На рис. 3c для глубины слоя ге-

лия h = 3.4 см показано, как изменялись темпера-

тура жидкости вблизи дна ячейки T_b (красная кри-

вая 1), давление паров над жидким гелием в ячейке

P_cell (зеленая кривая 2, шкала в условных единицах)

и давление паров в объеме криостата P_cryo = P_add

(черная кривая 3, шкала в Торрах).

Точно оценить плотность потока тепла, попада-

ющего на поверхность слоя жидкости в ячейки до-

вольно трудно, так как значительная часть излуча-

емого нагревателем потока тепла расходуется на по-

догрев холодного гелиевого пара, окружающего ра-

бочую ячейку. Вид кривых P_cell(t) и T_b(t)указывает

на то, что в объеме медной ячейки жидкий гелий

переходил из сверхтекучего состояния в нормальное

приблизительно на 100-й секунде после включения

нагревателя. При этом температура He-II в допол-

нительной ванне T_add была близка к 2.13 К. Судя по

положению перегибов на кривой P_cell(t) (кривая 1),

во всем объеме слоя жидкости в ячейке конвектив-

ное течение существует только в течение примерно

первых 20 с (плато на кривой 1 между 100-й и 120-

й секундами). Далее, положение излома на кривой

P_cell(t) и последующее быстрое повышение давле-

ния насыщенных паров в ячейке указывают на то,

что температура на поверхности слоя жидкости в

ячейке T_s превосходит T_m, так что положение мак-

симума плотности жидкости (и соответственно тем-

пература T_m) смещается к середине слоя. Плотность

Рис. 3. a — Изменение давления насыщенных паров над

неоднородно нагретого слоя He-I вблизи поверхно-

жидким гелием в медной ячейке P_cell (красная кривая 1,

сти ниже, чем в середине. Это указывает на пере-

в условных единицах) и в объеме криостата Pcryo = Padd

(синяя кривая 2, в Торрах), глубина слоя h = 2.5 см, мощ-

ход в режим проникающей конвекции в объеме слоя

ность, рассеиваемая нагревателем, W = 2 Вт. b — Измене-

жидкости в ячейке [15]. Таким образом, в интервале

ние температуры жидкого гелия на дне ячейки T_b (красная

t=(120 - 170) с следует говорить о режиме проника-

кривая 1) и в дополнительной ванне T_add (синяя кривая 2).

ющей конвекции: T_s > T_m > T_b ≥ T_λ (см. рис. 3b).

c — Изменение температуры жидкости вблизи дна ячейки

Наконец при t > 180 с температура слоя в целом пре-

T_b (красная кривая 1), давления паров жидкого гелия в

восходит T_m (T_s > T_b > T_m), давление паров в рабо-

ячейке P_cell (зеленая кривая 2, в условных единицах) и

чей ячейке начинает быстро возрастать, коэффици-

давления паров в объеме криостата Pcryo = Padd (черная

ент теплового расширения жидкости β > 0, поэтому

кривая 3, в Торрах), глубина слоя h = 3.4 см

вертикальные струи в объеме подогреваемого свер-

ху слоя He-I должны быстро затухнуть.

551

А. А. Левченко, Л. П. Межов-Деглин, А. А. Пельменёв

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

жал существовать.

К сожалению, нам не удалось провести долговре-

менные наблюдения за эволюцией вихревого дипо-

ля и затуханием вихревого течения на поверхности

He-1, так как при установке медной ячейки в объем

криостата скорость испарения жидкости из гелие-

вой ванны криостата заметно возрастала, в резуль-

тате температура жидкости в объеме рабочей ячей-

ки слишком быстро возрастала выше точки испаре-

ния жидкого⁴He при атмосферном давлении, что

сильно затрудняло цифровую обработку видеозапи-

сей. Поэтому в экспериментах, результаты которых

приведены ниже, мы использовали рабочую ячейку,

изготовленную из дюралюминия. Внутренний диа-

метр ячейки D = 12.4 см, высота 4 см, толщина сте-

нок δ = 0.02 см. Графики, описывающие изменение

со временем температуры и давления паров жидко-

го гелия в объеме дюралевой рабочей ячейки и в ге-

лиевой ванне криостата при глубине слоя жидкости

в ячейке h = 2.5 и 1.2 см приведены на рис. 4.

Как следует из рис. 4, в дюралевой ячейке в

отличие от медной возникновение конвективного

механизма переноса тепла через слой нормально-

го He-I при переходе через λ-точку (четко выра-

женное плато на кривых T_b(t)) можно было на-

блюдать и без дополнительного подогрева плек-

сигласовой крышки ячейки. Радиационный поток

Рис. 4. Изменение температуры и давления паров жид-

тепла Q_rad, излучаемый теплой капкой криостата,

кого гелия в дюралевой ячейке и в гелиевой ванне крио-

Q_rad ≈ σT⁴ ≈ 4 · 10^-2 Вт/см² практически полно-

стата после выключения откачки паров гелия из криоста-

стью поглощался плексигласовой крышкой ячейки,

та: a — h=2.5 см, 1 — красная кривая, температура жид-

которая охлаждалась гелиевыми парами в объеме

кости на дне сосуда T_b; 2 — синяя кривая, температура

гелиевой полости криостата. Плотность теплового

жидкости в дополнительной ванне T_add ; 3 — давление

потока Q_c, попадающего на поверхность слоя He-II

паров гелия в объеме криостата Pcryo = Padd (Торр). b

в ячейке при температурах вблизи T_λ, можно оце-

— h = 1.2 см; 1— красная кривая, температура слоя T_b;

нить по порядку величины из следующих сообра-

2 —синяя кривая, температура гелия в дополнительной

жений. Как видно из рис. 3b и рис. 4 b, вблизи T_λ

ванне T_add; 3 — черная кривая, давление паров в крио-

температура He-II на дне ячейки T_b на ∼ 15 мК вы-

стате Pcryo = Padd (Торр)

ше температуры жидкости в дополнительной ванне:

ΔT = T_b - T_add ≈ 15 мК. В стационарных условиях

Аналогичные зависимости от времени темпера-

величина ΔT определяется суммой

туры и давления паров жидкого гелия в медной

ячейке мы наблюдали при изменении выделяемой

ΔT = 2(Q_cR_k) + Q_cδ/χ_w =

на резистивном нагревателе мощности в интервале

W ≈ 0.5 - 2 Вт.

= Q_c(2R_r + δ/χ_w)≈15Q_c,

(3)

В режиме проникающей конвекции нам удалось

наблюдать возбуждение вихрей не только на поверх-

Подставляя сюда из литературы значения со-

ности, но и в объеме слоя гелия. Зависимости от вре-

противления Капицы на границе металл-жидкий

мени температуры и давления паров жидкого гелия

гелий R_k

≈ 20/T³ K·см²/Вт [31], теплопроводно-

в медной ячейке в этом эксперименте приведены на

сти дюралюминия при гелиевых температурах

рис. 3c. На 180 с слой в целом прогрелся выше T_m,

χ_w ≈ 2 · 10^-2 Вт/см·K при T ≈ 2 K [32], и полагая

конвективные вихри в объеме быстро затухли, в то

толщину стенок дюралевой ячейки δ

= 0.02 см

время как вихревой диполь на поверхности продол-

получим, что плотность потока тепла, прихо-

552

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Вихри на свободной поверхности. . .

дящего на поверхность слоя He-II, близка к

Q_c ≈ 1 · 10^-3 Вт/см².

В первом приближении можно считать, что

плотность теплового потока Q_c, который проходит

через слой гелия в ячейке и далее передается сверх-

текучему He-II в дополнительной ванне (рис. 2), су-

щественно не изменяется при нагреве жидкости в

ячейке выше T_λ. Это позволяет оценить число Нус-

сельта Nu, которое определяется отношением кон-

вективного потока тепла Q_c, проходящего через

слой жидкости, к кондуктивному потоку тепла при

заданной разности температур Q_diff = κ_He(ΔT_c/h):

Nu = Q_c/Q_d = Q_ch/κ_HeΔT_c,

(4)

Полагая, что разность температур на по-

верхности слоя и вблизи дна ячейки

ΔT_c = T_s - T_b ≈ 5 мК, а теплопроводность He-

I вблизи дна κHe ≈ 4мВт/см·К, можно оценить,

что значение числа Нуссельта близко к Nu ≈ 10².

Эта оценка разумно согласуется с оценкой числа

Рис. 5. Движение фронта стеклянных трассеров, локали-

Нуссельта по приводимым в литературе

[7, 10]

зованных под поверхностью подогреваемого сверху слоя

значениям соотношения между числами

Рэлея

жидкого гелия глубиной h = 2.5 см, при переходе через

и Нуссельта: при Ra

≈ 10⁶ - 10⁸ отношение

T_λ. Стрелки указывают положение фронта, который дви-

Nu/(Ra)1/3 ≈ 0.08, т. е. при Ra ≈ 5 · 107 число

жется от стенок к центру ячейки, через 3 с после момента

перехода через λ-точку. В центре кадра виден резистивный

Нуссельта Nu ≈ 30. Заметим, что, согласно [7, 10],

нагреватель, лежащий на дне ячейки, а справа вверху —

значениям Nu в диапазоне от 1 до 10 соответствуют

крепление капилляра системы заполнения (4 на рис.1).

ламинарные конвективные течения в объеме слоя,

а в случае возникновения турбулентного течения в

объеме неоднородно нагретого слоя значения Nu

возрастают до 100 - 1000.

нагреваемого сверху слоя He-I при переходе через

λ-точку сопровождается появлением вихревого те-

чения на свободной поверхности жидкости. Вихре-

3. ВИХРИ НА ПОВЕРХНОСТИ СЛОЯ He-I

вое течение на поверхности жидкости сохранялось

при повышении температуры жидкости заметно

3.1. Методы регистрации и обработки

выше T_m. Это позволило исследовать эволюцию

экспериментальных данных

вихревой системы на поверхности нормального

Ниже мы ограничимся демонстрацией и об-

гелия в отсутствие накачки энергии из объема слоя

суждением результатов длительных наблюдений

(в квазиадиабатических условиях) при длительных

вихревых течений на поверхности He-I в широкой

наблюдениях в течение ∼

2500 с после перехода

дюралюминиевой ячейке внутренним диаметром

через λ-точку. Обработка полученных изображений

D = 12.4см. Высота ячейки составляла 4.0 см,

программой PIVLab [26, 33] позволяла вычислять

толщина стенок δ

= 0.02 см, глубина слоя жид-

скорости движения трассеров на поверхности ге-

кости h в разных экспериментах составляла

лия V_x и V_y и траектории движения трассеров.

h=(1.2 - 3.4) см, т. е во всех случаях аспектное

Далее рассчитывали завихренность на поверхности

отношение G = D/h ≥ 4. Рабочая ячейка снизу

жидкого гелия и распределение энергии по поверх-

погружена в дополнительную ванну с жидким

ности, а также суммарную кинетическую энергию

гелием. Поток тепла, направленный сверху вниз,

на поверхности E. Вертикальная завихренность на

от плексигласовой крышки по гелиевому пару и

поверхности жидкости Ω определялась как

стенкам ячейки к поверхности слоя жидкого гелия

по нашим оценкам составляет Q_c ≈ 1 · 10^-3 Вт/см².

Возникновение конвективного течения в объеме

Ω = dV_x/dy - dV_y/dx.

(5)

553

ЖЭТФ, вып. 4

А. А. Левченко, Л. П. Межов-Деглин, А. А. Пельменёв

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Рис. 6. Линии тока (желтые кривые) на поверхности He-I (верхние кадры) и распределение энергии вихрей по волновым

векторам E(k) (нижние графики) через 110 (a) и 200 (b) с после прохождения температуры жидкости через T_λ. Глубина

слоя h=2.5 см. Прямая линия на графике E(k) соответствует степенной зависимости E(k) ∝ k^-5/3

Распределение энергии по поверхности вычисляли

3.2. Динамические явления на поверхности

по формуле

нагреваемого сверху слоя He-I в

цилиндрической дюралюминиевой ячейке

E(x, y) =

(V^2x + V^2y).

(6)

Стеклянные трассеры, локализованные под по-

верхностью жидкости позволили зарегистрировать

возникновение интенсивного движения на поверх-

Распределение энергии по волновому вектору E(k) в

ности жидкости сразу после прохождения темпера-

k-пространстве вычисляли усреднением по кольцу:

туры жидкости через T_λ. На рис. 5 приведен один

из кадров видеозаписи — движение фронта трас-

∫

d²q

серов на поверхности слоя жидкого гелия глуби-

E(k) =

|V_k|²,

(7)

2SΔk

(2π)²

ной h=2.5 см при переходе через T_λ. Фронт пото-

ка трассеров движется от стенок к центру сосуда.

где интегрирование проводится по кольцу

При наклонном освещении поверхности слоя жидко-

< q < k + Δk. Полученное значение норми-

сти светодиодами, расположенными над плексигла-

ровалось на площадь поверхности жидкости S.

совой крышкой ячейки (на рис. 2 не показаны), мож-

Здесь V_k — фурье-компонента скорости трассера.

но было зарегистрировать даже движение тени это-

554

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Вихри на свободной поверхности. . .

но при наблюдениях на больших временах. Поэтому

ниже мы ограничимся демонстрацией результатов

исследования эволюции и распада вихревой систе-

мы на поверхности слоя He-I глубиной h=2.5 см.

Абсолютное

значение

завихренности

= dV_x/dy - dV_y/dx в одном из показанных

на рис. 6 a одиночных мелкомасштабных вихрей

достигает Ω

∼ 3с^-1. По известным значениям

характерных размеров этого вихря L ∼ 1 см, за-

вихренности и кинематической вязкости жидкого

гелия можно оценить, что соответствующее число

Рейнольдса Re ∼ (ΩL²/ν) достигает Re ∼ 10⁴. Это

указывает на то, что вихревое движение на по-

верхности жидкости, возбуждаемое конвективным

Рис. 7. Затухание энергии крупномасштабных вихрей E(t)

движением в объеме, сильно нелинейно. И в ре-

на поверхности квазидвумерного слоя He-I со временем в

зультате нелинейного взаимодействия между этими

отсутствие накачки энергии из объема. Прямая линия со-

вихрями к 200-й секунде конфигурация вихрей на

ответствует степенной зависимости E ∝ t^-1

поверхности слоя гелия меняется: формируются два

больших вихря (вихревой диполь, на верхнем кадре

рис. 6b), которые вращаются в противоположных

го фронта трассеров, локализованных под поверх-

направлениях и занимают практически всю поверх-

ностью жидкости, по дну ячейки. Скорость центро-

ность жидкости в ячейке. Видно, что максимум

стремительного движения фронта составляла око-

в спектре кинетической энергии E(k) смещается

ло V_f ∼ 2 см/с, поэтому число Рейнольдса достига-

со временем от k ∼ 1.6 см-1 в сторону меньших

ло Re ∼ (V_f L)/ν ∼ 4 · 10⁴, что указывало на воз-

∼ 0.76 см^-1, что связано с образованием двух

можность возникновения вихревого течения на по-

крупномасштабных вихрей (вихревого диполя). Это

верхности жидкости (здесь ν — кинематическая вяз-

соответствует переходу от 3D-слоя к 2D-слою в вих-

кость нормального гелия, V_f — скорость движения

ревой системе (отношение h/L ≪ 1) и образованию

фронта). Аналогичные картины наблюдались при

обратного энергетического каскада E(k) ∝ k^-5/3 в

глубине слоя жидкости в ячейке 1.2 и 3.4 см.

вихревой системе на поверхности квазидвумерного

Фронт движущихся трассеров на рис. 5 схлопы-

слоя

«мелкой воды». Нелинейно взаимодейству-

вается вблизи центра ячейки, после чего на поверх-

ющие между собой мелкомасштабные вихри на

ности жидкости появляются несколько мелкомас-

поверхности взаимодействуют также с вихрями,

штабных вихрей характерными размерами порядка

порождаемыми конвективным движением струй

(1 - 2) см, которые вращаются в противоположных

в объеме неоднородно нагретого слоя He-I, что

направлениях, как показано на рис. 6 a. Суммарная

способствует перекачке кинетической энергии из

завихренность на поверхности равна нулю.

объема жидкости в систему вихрей на поверхности

Через несколько десятков секунд после прохож-

(рис. 6b).

дения через λ-точку характер вихревого течения на

поверхности жидкости существенно изменяется —

Абсолютная величина завихренности крупно-

на поверхности слоя формируется крупномасштаб-

масштабного вихря составляла Ω ∼ 0.033 с^-1. Учи-

ный вихревой диполь, размеры которого ограничи-

тывая характерный размер вихря L ∼ 6 см, можно

ваются шириной (диаметром) рабочей ячейки. Сле-

оценить, что число Рейнольдса достигает Re ∼ 7000.

дует отметить, что, несмотря на большую разницу

Это указывает на сильное нелинейное взаимодей-

в глубине слоя жидкости (h = 3.4, 2.5 и 1.2 см)

ствие между вихрями. В соответствии с предска-

в разных экспериментах, а значит, и в числах Рэ-

заниями теории [19] и результатами экспериментов

лея (Ra ∼ h³), во всех случаях мы наблюдали, что

по изучению затухания крупномасштабных вихрей

со временем на поверхности слоя He-I формируется

на поверхности воды [20-22] следовало ожидать, что

вихревой диполь. Однако, с уменьшением глубины

взаимодействие этих вихрей между собой и со стен-

жидкости от 2.5 до 1.2 см скорость вращения круп-

ками и дном ячейки в отсутствие накачки энергии из

номасштабных вихрей падала почти на порядок, что

объема должно приводить к степенной зависимости

сильно усложняло обработку видеозаписей, особен-

полной энергии вихрей от времени E(t) ∝ (1/t)ⁿ.

555

А. А. Левченко, Л. П. Межов-Деглин, А. А. Пельменёв

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Рис. 8. Эволюцией вихревой системы на поверхности при длительных наблюдениях. Верхние кадры — линии тока жидко-

сти на поверхности He-I (желтые кривые); нижние графики — распределение кинетической энергии E(k) в k-пространстве:

через t =1300 (a), 1390 (b), 1900 (c) с после перехода через T_λ. Глубина слоя h =2.5 см

Типичная зависимость полной энергии движе-

деленный момент времени по всему полю скорости,

ния вихрей на поверхности жидкости E(t) от време-

полученному усреднением движения трассеров за

ни, которую наблюдали в одном из экспериментов,

4.2 с (на временном интервале до ∼ 140 с) и 8.4 с

показана на рис. 7 (в логарифмическом масштабе).

(на интервале после ∼ 140 с). Стрелками на рис. 7

На шкале времени за точку отсчета принят момент

отмечены значения температуры жидкого гелия на

перехода жидкости из сверхтекучего в нормальное

дне ячейки T_b в определенные моменты времени. В

состояние. По оси ординат отложены значения E в

интервале времени t = (100 - 800) с затухание пол-

условных единицах, рассчитанные по результатам

ной энергии крупномасштабных вихрей E(t) в от-

измерений. Каждая точка рассчитывалась в опре-

сутствие накачки энергии из объема хорошо описы-

556

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Вихри на свободной поверхности. . .

вается степенным законом E(t) ∝ (1/t)ⁿ с показате-

лем n ≈ 1 (красная прямая линия). В разных сериях

измерений, где могли различаться глубина жидко-

го гелия в гелиевой полости криостата, температура

жидкости в момент отключения откачки паров, на-

чальная глубина слоя жидкости во вспомогательной

ячейке, скорость повышения температуры в объеме

криостата и в объеме рабочей ячейки, значения по-

казателя степени варьировались в пределах n =1 - 2.

При последующих длительных наблюдениях (от

1300 до 2500 с) было обнаружено, что затухание

крупномасштабных вихрей сопровождается генера-

цией на поверхности мелкомасштабных вихрей, ко-

торые со временем, при t ≥ 1300 с, начинают преоб-

ладать на поверхности, как показано на рис. 8.

Соответствующие результаты расчетов измене-

ния со временем полной энергии вихревой системы

E на поверхности He-I при длительных наблюдени-

ях в этом эксперименте (до 2500 с с момента пересе-

чения λ-точки) показаны на рис. 9 в логарифмиче-

ском (a) и в полулогарифмическом (b) масштабах.

Стрелками указаны значения температуры жидко-

сти T_b на дне ячейки.

В различных экспериментах, где начальные

условия могли различаться, значение характерного

времени в выражении E(t) ∝ exp(-t/τ) составляло

τ=(200 - 320)с.

Рис. 9. Изменение со временем полной энергии вихревой

системы на поверхности слоя He-I глубиной h =2.5 cm при

длительных наблюдениях t ≥ 2500 с. Точками показаны

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

результаты измерений: a — зависимость E(t) в логариф-

мическом масштабе, прямая линия соответствует степен-

Жидкий и плотный газообразный гелий — удоб-

ному закону затухания E(t) ∝ (1/t)ⁿ в диапазоне t=(200 -

ный модельный объект для изучения конвективных

800) с; b — зависимость E(t) в интервале t=(1500 - 2500) с

и вихревых течений на поверхности и в объеме кон-

в полулогарифмическом масштабе, прямая линия соответ-

денсированных сред в лабораторных условиях [34].

ствует lg E ∝ exp(-t/τ )

Длительные наблюдения за вихревыми течениями

на поверхности слоя He-I глубиной порядка (1-3) см

в широком интервале температур выше λ — точ-

ности слоя He-I. Число Рейнольдса для возникаю-

ки позволили впервые в одном эксперименте за-

щих на поверхности мелкомасштабных вихрей ве-

регистрировать возбуждение, эволюцию и затуха-

лико (Re ∼ 10⁴), что указывает на сильное нели-

ние вихрей на свободной поверхности слоя жидко-

нейное взаимодействие между этими вихрями. Вза-

сти в широкой цилиндрической ячейке в условиях

имодействие вихрей на поверхности между собой и

как «глубокой» так и «мелкой воды». По результа-

с турбулентными конвективными течениями, разви-

там выполненных измерений можно выделить пять

вающимися в объеме неоднородно нагретого слоя

этапов эволюции вихревой системы на поверхности

He-I при Ra ≥ 10⁷, приводит к формированию на

нормального гелия He-I.

поверхности жидкости вихревого диполя, размеры

На первом этапе (T_b < T_s ≤ T_m) конвективное

которого много больше глубины слоя и ограничива-

течение, которое развивается в объеме подогревае-

ются диаметром рабочей ячейки. Это соответствует

мого сверху слоя жидкого гелия при переходе через

переходу от вихревого течения на поверхности слоя

λ-точку (конвекция Рэлея-Бенара в небуссинеском

«глубокой воды» (трехмерный слой), к вихревому

приближении, RBC NOB), сопровождается возник-

течению на поверхности «мелкой воды» (крупно-

новением вихревого течения на свободной поверх-

масштабные вихри на поверхности двумерного слоя

557

А. А. Левченко, Л. П. Межов-Деглин, А. А. Пельменёв

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

номасштабные вихри на поверхности начинают за-

тухать. Полная энергия вихревой системы на по-

верхности двумерного слоя He-I затухает по зако-

ну, близкому к степенному E ∝ t^-n, в согласии с

результатами измерений на воде [19-22]. В разных

экспериментах значения показателя степени лежат

в пределах n =1 - 2. В конце третьего этапа в ре-

зультате диссипации энергии значение числа Рей-

нольдса крупномасштабных вихрей уменьшается до

Re ≥ 3 · 10³.

На четвертом — переходном — этапе затухание и

распад крупномасштабных вихрей приводят к то-

му, что на поверхности вновь начинают преобла-

дать мелкомасштабные вихри. Это соответствует пе-

Рис. 10. Изменение со временем полной энергии вихревой

реходу от вихревого течения на поверхности дву-

системы на свободной поверхности подогреваемого сверху

мерного слоя к вихревому течению на поверхности

слоя нормального гелия He-I в широкой цилиндрической

трехмерного слоя (от «мелкой» к «глубокой» во-

ячейке при плавном повышении температуры слоя выше

де). Полная энергия вихревой системы на этом эта-

T_λ. Этапы 1, 2 — температура слоя жидкости вблизи дна

пе изменяется слабо. Максимальные значения ки-

ячейки T_b ≤ Tm; 3-5 — температура слоя Ts > Tb > Tm

нетической энергии вихревой системы E(k) в про-

странстве волновых векторов смещаются со вре-

жидкости). На этом этапе полная энергия вихревой

менем в сторону больших волновых векторов (от

системы на поверхности неоднородно нагретого слоя

k ∼ 0.7см^-1 к k ∼ 1.6см^-1 на рис.8). И, нако-

жидкости со временем возрастает, а максимальные

нец, на пятом этапе, когда на поверхности жидко-

значения кинетической энергии вихревой системы

сти вновь преобладают мелкомасштабные вихри, за-

E(k) в пространстве волновых векторов смещают-

тухание полной энергии вихревой системы на по-

ся со временем в сторону меньших волновых векто-

верхности слоя глубокой воды можно описать экс-

ров k (рис. 6). Это позволяет утверждать, что нам

поненциальным законом, характерным для вязко-

удалось наблюдать формирование обратного каска-

го затухания мелкомасштабных вихрей в трехмер-

да энергии в вихревой системе на свободной поверх-

ном слое: E ∝ exp(-t/τ). Характерное время зату-

ности двумерного слоя жидкости в условиях накач-

хания варьировалось в разных измерениях в пре-

ки энергии из объема.

делах ≈(200 - 320) с. Итак, на первом этапе накачка

На втором, переходном этапе (T_b < T_m < T_s )

энергии из объема неоднородно нагреваемого слоя в

температура жидкости вблизи дна рабочей ячейки

систему нелинейно взаимодействующих между со-

T_b ниже T_m, но температура на поверхности слоя

бой вихрей на поверхности приводит к формирова-

жидкости T_s превосходит T_m, так что плотность

нию крупномасштабного вихревого диполя на по-

жидкости достигает максимума где-то посередине

верхности He-I и возникновению обратного энерге-

слоя. Это соответствует случаю проникающей кон-

тического каскада на поверхности квазидвумерно-

векции. Поток энергии к поверхности из объема

го слоя жидкости (рис. 6). На заключительном пя-

слоя со временем быстро уменьшается, однако пол-

том этапе вихри на поверхности трехмерного слоя

ная энергия вихрей на поверхности He-I практиче-

He-I в отсутствие накачки энергии из объема быст-

ски не меняется в течение десятков секунд.

ро затухают из-за вязких потерь в объеме нормаль-

На третьем этапе (T_m < T_b < T_s) температу-

ного гелия (рис. 9). Это позволяет утверждать, что

ра слоя в целом выше T_m. Течения, которые суще-

на заключительном этапе в вихревой системе на по-

ствовали ранее в объеме подогреваемого сверху слоя

верхности слоя «глубокой воды» в отсутствие накач-

He-I, быстро затухают. На поверхности слоя преоб-

ки энергии из объема формируeтся прямой энерге-

ладают крупномасштабные вихри. Значение харак-

тический каскад (поток энергии направлен от ма-

терного числа Рейнольдса этих крупномасштабных

лых волновых векторов к большим), причем ши-

вихрей достаточно велико Re ∼ 7 · 10³, так что они

рина инерционного интервала в каскаде Е(k) огра-

нелинейно взаимодействуют между собой, и, есте-

ничена затуханием вихрей в объеме вязкой жидко-

ственно, взаимодействуют со стенками и дном сосу-

сти на больших k. Заметим, что в опубликованной

да. В отсутствие накачки энергии из объема круп-

недавно работе [35] было показано, что интенсив-

558

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Вихри на свободной поверхности. . .

ное турбулентное течение на поверхности 2D-слоя

Advanced Series in Nonlinear Dynamics, World

жидкости порождает вихревые течения в объе-

Scientific, (1998), Vol. 11.

ме благодаря возникновению спорадических верти-

G. Ahlers, S. Grossmann, and D. Lohse,

кальных струй, которые служат источником пере-

Rev. Mod. Phys.,

81,

503

(2009); doi:

носа импульса в объем. Изучению формирования и

10.1103/RevModPhys.81.503.

затухания вихревого движения на поверхности воды

нелинейными волнами, которые возбуждали на по-

F. Chilla and J Schumacher, Eur. Phys. J. E 35, 58

верхности колеблющимся волнопродукторами, бы-

(2012).

ли посвящены работы [22, 36]. Из наших исследова-

10.

P. E. Roche, J. New, Phys. 22, 073056 (2020).

ний следует, что процесс установления конвектив-

ного турбулентного течения в объеме слоя вязкой

11.

S. Moller, C. Resagk, and C. Cierpka, Exp. Fluids 62,

жидкости также сопровождается возбуждением ин-

1 (2021); doi: 10.1017/jfm.2021.619.

тенсивного вихревого течения на свободной поверх-

12.

Ping Wei, J. Fluid Mech. 924, A28 (2021); doi:

ности. В этом случае источником переноса импульса

10.1017/jfm.2021.619

на свободную поверхность жидкости служат верти-

кальные конвективные струи в объеме.

13.

J. J. Niemela and R. J. Donnelly, J. Low Temp Phys

Благодарности. Авторы благодарны А.В. Ло-

98, 1 (1995); doi: 10.1007/BF00754064.

хову за техническую помощь в эксперименте.

14.

Д. В. Любимов, Т. П. Любимова, A. A. Черепа-

Финансирование. Работа выполнена при под-

нов, Динамика поверхностей раздела, Физмалит,

держке Минобрнауки России, проект № 075-15-2019-

Москва (2003), c.216.

1893.

15.

R. W. Walden and G. Ahlers, J. Fluid Mech. 109, 89

(1981); doi: 10.1017/S0022112081000955.

ЛИТЕРАТУРА

16.

A. Sameen, R. Verzicco, and K. R. Sreenivasan,

Phys. Scr. 132, 014053 (2008); doi: 10.1088/0031-

А. А. Пельменев, А. А. Левченко, Л. П. Межов-

8949/2008/T132/014053.

Деглин,·Письма в ЖЭТФ 110, 545 (2019)

[A.

A. Pel’menev, A. A. Levchenko, and L. P.

17.

S. Weiss, Xiaozhou He, G. Ahlers et al., J. Fluid

Mezhov-Deglin, JETP Lett. 110, 551 (2019)]; doi:

Mech. 851, 374. (2018); doi: 10.1017/jfm.2018.507.

10.1134/S0370274X19200062.

18.

Hiu Fai Yik, V. Valori, and S. Weiss,

A.A. Pelmenev, A. A. Levchenko, and L. P. Mezhov-

Phys. Rev. Fluids

103502

(2020); doi:

Deglin, Low Temp. Phys.

46,

133

(2020); doi:

10.1103/PhysRevFluids.5.103502.

10.1063/10.0000531

19.

V. M. Parfenyev, S. V. Filatov, M. Yu. Brazhnikov

A. A. Pelmenev, A. A. Levchenko, and L. P. Mezhov-

et al., Phys. Rev. Fluids 4,

114701

(2019). doi:

Deglin, J. of Low Temp. Phys. 205, 200 (2021); doi:

10.1103/PhysRevFluids.4.114701.

10.1007/S10909-021-02632-5.

20.

S. V. Filatov and A. A. Levchenko, J. of

A. A. Pelmenev, A. A. Levchenko, and L. P.

Surface

Investigation:

X-ray,

Synchrotron

Mezhov-Deglin, Materials

14,

7514

(2021); doi:

and Neutron Techniques

14,

751

(2020); doi:

10.3390/ma14247514.

10.1134/s1027451020040072.

R. J. Donnelly and C. F. Barenghi, J. Phys. Chem.

21.

S. Filatov, A. Levchenko, A. Likhter et

Ref. Data 27, 1217 (1998); doi: 10.1063/1.556028

al.,

Mater. Lett.

254,

444

(2019); doi:

10.1016/j.matlet.2019.07.059.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая Фи-

зика, том VI, Гидродинамика, Москва, Физмат-

22.

С. В. Филатов, А. А. Левченко, Л. П. Межов-

лит (2017) [L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Course

Деглин, Письма в ЖЭТФ 111, 653 (2020); doi:

of Theoretical Physics, Fluid Mechanics, Pergamon:

10.31857/S1234567820100031

[S.V. Filatov, A.A.

New York, NY, USA, Vol. 6 (1987)].

Levchenko, and L.P. Mezhov-Deglin, JETP Lett. 11,

549 (2020)].

А. В. Гетлинг, Конвекция Рэлея-Бенара. Струк-

туры и динамика, Едиториал УРСС URSS, (1999),

23.

А. А. Левченко, Л. П. Межов-Деглин, А.

248 ISBN 5-8360-0011-5; A. V. Getling, Rayleigh-

А. Пельменев, ПТЭ

133

(2016); doi:

Benard Convection. Structures and Dynamics,

10.7868/S0032816216060264.

559

А. А. Левченко, Л. П. Межов-Деглин, А. А. Пельменёв

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

24. A. A. Levchenko, E. V. Lebedeva, L. P. Mezhov-

30. В. П. Пешков, А. П. Боровиков, ЖЭТФ 50, 844

Deglin et al., Low Temp. Phys. 45, 469 (2019); doi:

(1966) [V .P. Peshkov, A. P. Borovikov, Sov. Phys.

10.1063/1.5097354.

JETP 23, 559 (1966)].

25. Е. В. Лебедева, А. М. Дюгаев, П. Д.

31. Л. П. Межов-Деглин, ЖЭТФ 71, 1453 (1976) [L.P.

Григорьев, ЖЭТФ,

161,

(2022); doi:

Mezhov-Deglin, Sov. Phys. JETP, 44, 761 (1976)].

10.31857/S0044451022050157.

32. B. Baudouy and A. Four, Cryogenics 60, 1 (2014).

26. С. В. Филатов, А. А. Левченко, М. Ю.

Бражников и др., ПТЭ

135

(2018); doi:

33. M,

Thielicke

and

E.J

Stamhuis,

10.1134/S0020441218040188

[S. V. Filatov, A. A.

Open

Research

Software,

Levchenko, M. Yu. Brazhnikov et al., Instruments

http://openresearchsoftware.metajnl.com/articles/10.5334/jors.

and Experimental Techniques, 61, 757 (2018); doi:

doi: 10.5334/jors.bl.

10.1134/S0032816218040201].

34. J. J. Niemela and K. R. Sreenivasan, J. Low Temp.

27. Zhen-Hua Wan, Ping Wei, R. Verzicco et al., J. Fluid

Phys. 143, 163 (2006); doi: 10.1007/s10909-006-9221-

Mech. 881, 218 (2019); doi: 10.1017/jfm.2019.770.

28. V.Srinivasan, U.Madanan, and R.J.Goldstein, Int. J.

of Heat and Mass Transfer 182, 121965 (2022); doi:

35. R. Colombi, N. Rohde, M. Schuter et al., Fluids 7,

148 (2022). doi: 10.3390/fluids7050148.

10.1016/j.ijheatmasstransfer.2021.121965.

29. P. Urban, P. Hanzelka, T. Kralik et al.,

36. С. В. Филатов, Д. А. Храмов, А. А. Лев-

Phys. Rev. E

011101(R)

(2019); doi:

ченко, Письма в ЖЭТФ 106, 305 (2017); doi:

10.1103/PhysRevE.99.011101.

10.7868/S0370274X1717009X.

560