ЖЭТФ, 2023, том 163, вып. 4, стр. 514-523

НЕЛИНЕЙНЫЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС В

ПРОСТЕЙШЕЙ МОДЕЛИ СОЛНЕЧНОГО ДИНАМО

А. Ю. Серенкова^a*, Д. Д. Соколов^a,c, Е. В. Юшков^a,b,c**

^a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет

119991, Москва, Россия

^b Институт космических исследований Российской академии наук

117997, Москва, Россия

^c Московский центр фундаментальной и прикладной математики

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 21 октября 2022 г.,

после переработки 23 ноября 2022 г.

24 ноября 2022 г.

Исследуются свойства нелинейного параметрического резонанса на примере работы маломодовой

динамо-модели Паркера. Данная модель представляет собой систему из четырех обыкновенных диф-

ференциальных уравнений и в простейшем приближении описывает процессы генерации и осцилляции

крупномасштабных магнитных полей в звездных системах. В отсутствие нелинейных эффектов рассмат-

риваемая задача, по аналогии с системой гармонических колебаний, допускает асимптотическое выде-

ление кратных резонансных частот. Однако несмотря на то, что на первый взгляд на этих частотах

разумно ожидать усиления амплитуды и в нелинейном случае, продемонстрировано, что при наличии

нелинейных слагаемых поведение системы существенно более сложное. В частности, на резонансных

или малых частотах может наблюдаться подавление генерации, в то время как усиление происходит в

непосредственной близости от резонанса или на достаточно больших частотах. Обсуждаются причины

такого поведения, а также возможность влияния параметрического резонанса на установление планетар-

ных динамо-циклов.

DOI: 10.31857/S0044451023040089

Такое предположение многократно делалось в ря-

EDN: LUGKNR

де работ прошлых лет, впрочем, делается и в на-

стоящее время, так в качестве одной из последних

можно упомянуть работу [2]. И хотя на самом деле

1. ВВЕДЕНИЕ

полный период солнечного цикла составляет около

22 лет, в данных работах отмечается, что половин-

Проведенное в настоящей работе исследование

ный период в 11 лет упоминается потому, что про-

отталкивается от следующего замечательного фак-

стейшие методы наблюдения магнитных колебаний

та. Период магнитной солнечной активности, из-

нечувствительны к знаку магнитного поля.

вестной как 11-летний солнечный цикл, практи-

Между тем, если не поддаваться на заманчи-

чески совпадает с периодом обращения Юпитера.

вое предположение, то следует признать, что идея

Этот факт неоднократно отмечался в литерату-

о непосредственном воздействии удаленного Юпи-

ре, так, например, история вопроса обсуждается в

тера на Солнце с образованием солнечного цикла

недавно опубликованной работе [1] и в приведен-

магнитной активности совершенно не вписывается

ных там исторических ссылках. Заманчивым кажет-

в имеющиеся в этой области представления. Так, в

ся предположить причинную связь между этими яв-

работе [1], при анализе имеющихся наблюдательных

лениями, т.е. считать, что слабое влияние Юпитера

данных о магнитной активности звезд с экзопланет-

является физической причиной солнечного цикла.

ными системами, продемонстрировано, что для на-

^* E-mail: serenkova.ai19@physics.msu.ru

шей звездной системы речь идет о случайном совпа-

^** E-mail: yushkov.msu@mail.ru

дении двух чисел. С другой стороны, известно много

514

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Нелинейный параметрический резонанс. . .

экзопланетных систем, планеты которых находят-

нения Матье [7]. При этом предложенная нами си-

ся гораздо ближе к соответствующим звездам, чем

стема в определенных пределах допускает и анали-

Юпитер к Солнцу, не говоря уже о многочислен-

тическое исследование, что, конечно, способствует

ных тесных двойных звездных системах. Поэтому

пониманию физики явления. Отметим, что проводи-

нет оснований заранее отвергать идею возникнове-

мое нами упрощение задачи лежит в русле вывода

ния параметрического резонанса, связанного с пери-

уравнения Матье для параметрического резонанса

одическим воздействием экзопланеты на течения в

— строго говоря, полное описание человека, кото-

звезде.

рый раскачивается на качелях, изменяя свое поло-

Задача о влиянии периодического возмущения

жение на них, содержит много степеней свободы, а

на генерацию магнитного поля в сферической обо-

в уравнении Матье учитываются лишь главные из

лочке тоже многократно исследовалась в литерату-

них.

ре (из сравнительно недавних статей упомянем ра-

Наконец, заметим, что хотя рассматриваемая за-

боты [3,4], а также приведенные там ссылки), одна-

дача возникает при изучении физики Солнца, она,

ко полученные таким образом результаты не кажут-

как и явление резонанса вообще, имеет общефизиче-

ся нам достаточно проясняющими ситуацию. Дей-

ские применения. Речь идет о резонансе в системах,

ствительно, добавление периодического возмущения

в которых наряду с параметрическим воздействи-

в уравнения динамо в ряде случаев сопровождает-

ем присутствует самовозбуждение и его последую-

ся заметным увеличением амплитуды волны квази-

щее нелинейное подавление. Подобные задачи мо-

стационарного магнитного поля, с распространени-

гут, конечно, возникать в различных областях фи-

ем которой связан солнечный цикл, однако это про-

зики. Мы, естественно, не претендуем на полное ис-

исходит далеко не только при стандартном соотно-

следование таких резонансных явлений, но думаем,

шении частоты возмущения и собственной частоты,

что опыт исследования данной задачи может быть

известном из теории параметрического резонанса.

востребован и в других сходных ситуациях.

Убедительно идентифицировать изменение ампли-

туды волны магнитного поля в сложной многомер-

2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ной задаче звездного динамо, которая содержит са-

мые разнообразные эффекты, тоже непросто. Есть,

Для анализа нелинейного параметрического ре-

например, случаи, когда не вызывающее сомнения

зонанса мы сознательно используем простейшую

периодическое воздействие на звездное динамо ока-

динамо-модель. Эта модель была предложена в ра-

зывается неожиданно скромным, так что его замет-

боте [6] для описания миграционной волны в кон-

ное проявление требует воздействия очень близкой

вективной оболочке Солнца. Она является прямым

звезды размера, сопоставимого с размером исходной

следствием уравнения магнитной индукции, усред-

звезды, см., например, [5].

ненного по случайному двухмасштабному полю ско-

Все это снова побуждает нас обратиться к задаче

рости, хотя следует признать, что в 1955 г. Ю. Пар-

о параметрическом воздействии на работу звездно-

кер лишь гениально угадал вид основного уравне-

го динамо и рассмотреть ее в постановке, ориенти-

ния. Позднее же (см., например, [8]) уравнение для

рованной на выделение параметрических эффектов.

среднего магнитного поля B было выведено в явном

Для этого мы рассматриваем простейшую постанов-

виде:

ку задачи о генерации магнитного поля в сфери-

ческой конвективной оболочке звезды, предложен-

B= rot[V, B] + α · rotB + β · ΔB.

(1)

ной в работе [6], разлагаем соответствующие урав-

нения в ряды Фурье по базису, состоящему из соот-

Таким образом, для описания линейных эффектов

ветствующих мод свободного затухания и сохраня-

генерации в рамках данной модели достаточно знать

ем минимальный набор мод, позволяющих возбуж-

среднюю скорость течения V = 〈v〉, поле гидроди-

дать колеблющееся магнитное поле. В итоге мы при-

намической спиральности α ∼ 〈v, rotv〉 и коэффици-

ходим к сравнительно простой системе обыкновен-

ент турбулентной диффузии β, включающий в себя

ных дифференциальных уравнений, в которую впи-

магнитную диффузию и энергию турбулентного по-

сываем внешнее параметрическое воздействие. Эта

тока [8].

система заметно сложнее уравнения Матье, кото-

При наличии достаточной асимметрии конвек-

рое обычно используется при исследовании задачи

тивного потока α и дифференциального вращения

о параметрическом резонансе, поскольку результа-

V(r) усредненное уравнение (1) может описывать

ты нетрудно сравнивать с аналогичными для урав-

перекачку гидродинамической энергии в энергию

515

А. Ю. Серенкова, Д. Д. Соколов, Е. В. Юшков

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

среднего магнитного поля, см., например, [9]. Маг-

D, однако для удобства анализа (см. последний раз-

нитная энергия в такой модели нарастает экспонен-

дел) мы оставим два параметра, а не один. Гипоте-

циально, при этом образуются периодические осцил-

тически периодическое влияние двойных звезд друг

ляции, представляющие собой, с физической точ-

на друга может приводить к периодическому изме-

ки зрения, волны активности, бегущие от полюсов

нению R_α или R_ω , что, в свою очередь, может вызы-

к экватору. Нелинейные эффекты, характеризую-

вать параметрический резонанс. При этом, как бы-

щие уменьшение гидродинамической спиральности

ло сказано выше, сам периодический звездный цикл,

с ростом поля, приводят к стабилизации экспонен-

а точнее, стабилизация экспоненциально растущего

циального роста. В итоге образуется периодический

поля, является типично нелинейным процессом. По-

процесс, описывающий открытый еще в 1844 г. пе-

этому возникает интересный и важный вопрос, на-

риодический 11-летний динамо-цикл Солнца [10] и

сколько при нелинейном подавлении в параметриче-

влияющий на всевозможные плазменные явления

ском резонансе может быть выше амплитуда коле-

в Солнечной системе, в частности, на формирова-

баний и может ли резонанс в системе (2) приводить

ние корональных петель, вспышечную активность и

к эффектам, принципиально отличающимся от на-

прочее [11].

блюдаемых на Солнце.

Ключевым упрощением, предложенным Пар-

Для упрощения модели сведем систему в част-

кером, при переходе в сферическую систему

ных производных к системе обыкновенных диф-

координат являлось представление аксиально-

ференциальных уравнений, принимая в расчет тот

симметричного магнитного поля в виде суммы

факт, что B и A из-за наличия ротора имеют раз-

тороидальной компоненты B и полоидальной

ную симметрию относительно экватора. Предполо-

компоненты A:

жим, что B антисимметрично, а A — симметрично

относительно θ = π/2, и воспользуемся маломодо-

B = Be_ϕ + R · rot(Ae_ϕ).

вым подходом, раскладывая тороидальную и поло-

Такое представление в случае тонкого сферическо-

идальную компоненты по гармоникам:

го слоя радиуса R, в котором величина поля зави-

сит только от времени и зенитного угла θ, переводит

B = b1 sin(2θ) + b2 sin(4θ),

(3)

уравнение (1) в систему из двух уравнений. В обез-

A = a1 sin(θ) + a2 sin(3θ).

размеренном виде она имеет вид

Подставляя такое разложение в систему Паркера,

A=RαB + A_θθ - μ²A,

получим четыре дифференциальных уравнения для

(2)

B=Rω(Asin(θ))_θ + B_θθ - μ²B,

каждой моды:

и носит название системы Паркера. Два параметра,

a₁ = (R_α/2)b₁ - (1 + μ²)a₁,

входящие в систему, R_α и R_ω, описывают обезраз-

a₂ = (R_α/2)(b₁ + b₂) - (9 + μ²)a₂,

меренные интенсивности источников генерируемых

(4)

магнитных полей, а вспомогательное число μ опре-

b₁ = R_ω(a₁ - a₂) - (4 + μ²)b₁,

деляет радиальную часть диффузии и пропорцио-

b₂ = 2R_ωa₂ - (16 + μ²)b₂.

нально отношению радиуса к толщине конвектив-

Это основная система для дальнейшего анализа

ной оболочки (для Солнца эта величина традицион-

и моделирования, для которой остается сделать

но принимается равной 3, см., например, коммента-

последние предположения о том, что, во-первых,

рии в работе [12]).

внешние источники приводят к осцилляции динамо-

Примечательно, что полученная система (2) опи-

сывает не специфическое поведение Солнца, а про-

параметров, а во-вторых, что рост магнитного по-

ля приводит к уменьшению гидродинамической спи-

цесс, характерный для многих звезд, обладающих

магнитным полем. Генерируемые в такой системе

ральности и к стабилизации роста магнитного поля:

миграционные волны (их часто называют динамо-

R_α

волнами), да и сам динамо-процесс наиболее чув-

R_ω → R_ω(1 + σ sin(ωt)); R_α →

(5)

1 + 〈b²¹ + b²²〉

ствительны к так называемому динамо-числу D —

произведению безразмерных параметров, отвечаю-

Мы специально разделили воздействия параметри-

щих за дифференциальное вращение R_ω и спираль-

ческой модуляции и нелинейного подавления для R_ω

ность R_α. В целом, перенормировка компонент в си-

и R_α, это принципиально не меняет результаты, зато

стеме (2) позволяет объединить R_α и R_ω и далее ис-

помогает при теоретическом анализе сводить систе-

пользовать исключительно управляющий параметр

му из четырех уравнений первого порядка к системе

516

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Нелинейный параметрический резонанс. . .

из двух уравнений второго порядка, см. ниже. Еще

задачи сначала восстанавливаются частота и ампли-

раз подчеркнем, что используемая система (4) явля-

туда собственных колебаний в отсутствие парамет-

ется максимально упрощенной моделью, демонстри-

рического возбуждения, т. е. при σ = 0. Для это-

рующей при этом базовое поведение миграционных

го находятся последние два максимума осцилляций

волн. Пример такой волновой динамики показан на

в отсутствие параметрического возбуждения, затем

рис. 1, где изображена зависимость амплитуды по-

из разности координат максимумов находится соб-

лоидальной компоненты A от времени t и угла θ.

ственная частота, а из квадрата максимума, делен-

Сплошные и штриховые кривые являются линия-

ного пополам — амплитуда.

ми уровня амплитуды (сплошные — положительные

В случае линейного режима для каждой

значения, штриховые — отрицательные), а сам рису-

моды восстанавливается скорость экспоненци-

нок носит название баттерфляй-диаграммы динамо-

ального роста. Для этого на интервале времени

волны (о солнечной батерфляй-диаграмме более по-

[(5/6)t_max, t_max] находятся максимумы осцилля-

дробно можно прочитать, например, в [13]). Наш же

ций, которые должны образовывать растущую

интерес в первую очередь связан с периодическим

экспоненту, от полученных значений берутся нату-

изменением параметра и наличием параметрическо-

ральные логарифмы и аппроксимируются прямой

го резонанса, который мы и попробуем зафиксиро-

с помощью хорошо известного метода наименьших

вать, как численно, так и аналитически.

квадратов (МНК) [15]. Это позволяет не только

найти скорость экспоненциального роста, но и

убедиться в том, что рост действительно име-

a1*sinϑ + a2*sin3ϑ

3.0

ет показательную скорость, так как полученная

ошибка МНК близка к машинному нулю. Данная

2.5

процедура повторяется для различных частот

2.0

возбуждающей силы с шагом dω = 0.1 на диапазоне

частот ω = [25, 140] для маломодовой системы и

1.5

ω = [15,80] для симметричной, в том числе в районе

1.0

собственной и удвоенной частот систем (на малых

частотах ω скорость экспоненциального роста не

0.5

ищется в силу увеличения периода периодического

0.0

воздействия, пропорционального sin(ωt), и огра-

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

время t

ниченности полного времени счета). Тут следует

заметить, что на левых графиках, приведенных

Рис. 1. Батерфляй-диаграмма: зависимость амплитуды

ниже на рис.

2-4, соответствующих линейному

полоидальной компоненты A от времени t и угла θ. Сплош-

режиму, иногда можно наблюдать наличие шума,

ные и штриховые кривые являются линиями уровня ам-

которое связано с методикой определения роста;

плитуды, сплошные соответствуют положительным значе-

так, на рис. 2 шум появляется там, где рост сменя-

ниям, штриховые — отрицательным

ется на затухание, а на рис. 3 и 4 — там, где сумма

колебаний вырождается в биения (см. рассуждения

в следующем разделе).

В случае нелинейного режима, когда рост ампли-

3. ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

туды прекращается, анализируется амлитуда осцил-

Для численного решения системы дифферен-

ляций энергетической характеристики 〈b²¹ +b²²〉. При

циальных уравнений мы используем метод Рунге-

этом сама стабилизация происходит за счет подавле-

Кутты 4 порядка, см., например, [14]. Шаг при этом

ния R_α, см. (5), где среднее от этой энергетической

подбирается таким образом, чтобы ошибка вычисле-

характеристики пересчитывается на каждом перио-

ния была менее 0.1% (для представляемых результа-

де колебаний. Амплитуда колебаний нормируется на

тов выбран шаг dt = 0.001, а время моделирования

соответствующую ей амплитуду в случае отсутствия

tmax = 50). Начальные условия можно выбирать

параметрического воздействия, т. е. при σ = 0. Здесь

свободно, так как в линейных случаях нас интере-

важным моментом является то, что указанное отно-

сует только скорость экспоненциального роста, а в

шение энергий находится после стабилизации про-

нелинейных — уровень, на который выходит система

цесса генерации и при этом на достаточно широком

после стабилизации, в частности, у нас a₁(0) = 0.01,

интервале частот ω, см. предыдущий раздел, что

a₂(0) = 0.02, b₁(0) = 0.03, b₂(0) = 0.04. Для каждой

требует достаточно больших численных мощностей.

517

А. Ю. Серенкова, Д. Д. Соколов, Е. В. Юшков

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

При этом нельзя не заметить, что выбранный способ

Резонансные решения для уравнения Матье ищутся

стабилизации — когда усреднение энергии подавле-

в околорезонансной области в виде гармонической

ния происходит за предыдущий период — это только

функции с малым экспоненциальным ростом:

один из возможных вариантов подавления. Он явля-

ется достаточно простым и традиционным способом

f (t) = f₁ exp(st+i(ω₀+ε/2)t)+f^∗1 exp(st-i(ω₀+ε/2)t).

описания α-квенчинга, однако в численном экспе-

(9)

рименте мы пробовали и другие способы, например,

Подставим (9) в уравнение (8) и рассмотрим удво-

енную возбуждающую частоту ω = 2ω₀ + ε. Затем

стабилизация за счет энергии в предыдущий момент

времени или за счет энергии, усредненной с начала

для малой амплитуды возбуждающей силы σ ∼ ε

пренебрежем старшими гармониками и соберем сла-

моделирования процесса, или за счет энергии, рас-

считанной по компонентам a_1,2. Но поскольку раз-

гаемые при exp(i(ω₀ + ε/2)t) и exp(-i(ω₀ + ε/2)t).

личные способы нелинейного подавления дают схо-

Получим систему из двух уравнений

жие результаты, мы остановились на изложенном

(ω²⁰ + (s + i(ω₀ + ε/2))²)f₁ + (σω²⁰/2i)f^∗1 = 0,

выше.

-(σω²⁰/2i)f₁ + (ω²⁰ + (s - i(ω₀ + ε/2))²)f^∗1 = 0.

Однородная система имеет нетривиальное решение,

4. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД

если ее определитель равен нулю. Приравняем к

нулю определитель и получим скорость роста s из

При теоретическом анализе параметрического

квадратного уравнения

воздействия можно оттолкнуться от того факта,

что классическое уравнение гармонических колеба-

σ²ω⁴⁰

(ω²⁰ + s² - (ω₀ + ε/2)²)² + 4s²(ω₀ + ε/2)² =

⇒

ний с параметрическим резонансом при малой ве-

личине периодического возмущения (σ ≪ 1) допус-

кает асимптотическое решение вблизи резонансных

√

частот, кратных удвоенной частоте системы, см., на-

σ²ω²⁰/4 - (ω²⁰ - (ω₀ + ε/2)²)²

⇒ s=±

пример, [9]. Отсюда хотелось бы сделать вывод, что

2(ω²⁰ + (ω₀ + ε/2)²)

в более сложных, но подобных системах, например,

√

σ²ω²⁰

при наличии нелинейности или при наличии допол-

=±

-ε².

(10)

нительного экспоненциального роста/затухания, и

ситуация с резонансом будет подобной.

Таким образом, с учетом диффузии, генерация в си-

Упрощенная система. Для того чтобы это

стеме (6), когда s > μ², возможна в достаточно уз-

продемонстрировать, рассмотрим колебательную

кой полосе ω ∈ [2ω₀ - ε, 2ω₀ + ε]:

систему из двух уравнений, являющуюся некоторым

√

упрощением модели Паркера:

σ²ω²⁰

|ε| ≤

- 4μ⁴.

a = -ω²⁰b - μ²a,

(6)

Заметим, что из формулы (4) следует, что величина

b= (1 + σ sin(ωt))a - μ²b.

s порядка ε ∼ σ, т. е. мала, при этом аналогичные

резонансные коридоры есть и на частотах, кратных

В случае постоянной частоты ω₀, выражая из пер-

2ω₀, однако скорость генерации и ширина коридора

вого уравнения b(t) и подставляя его во второе,

там существенно меньше. На верхней панели рис. 2

несложно свести систему к стандартному уравнению

приведена зависимость показателя скорости роста

параметрических колебаний с вязкостью:

от частоты вынуждающей силы. Сплошной лини-

ей показаны численные результаты (причины шума

ä + 2μ²a + (ω²⁰ + μ⁴ + ω²⁰σ sin(ωt))a = 0,

(7)

описаны более подробно в предыдущем разделе), а

черными точками — аналитические, полученные с

а замена

помощью формулы (10). Вертикальные штриховые

a(t) = f(t) exp(-μ²t)

линии выделяют удвоенную и основную частоты си-

стемы, а штрих-пунктирные отсекают область гене-

приводит нас к классическому уравнению Матье [7]:

рации s - μ > 0.

В нелинейном режиме параметрического резо-

f + ω²⁰(1 + σ sin(ωt))f = 0.

(8)

нанса для системы (6) с ростом амплитуды a(t)

518

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Нелинейный параметрический резонанс. . .

Выражая отсюда ε и подставляя в выражение для

частоты ω = 2ω_eff + ε, получаем

0.06

√

0.04

2ω₀

σ²ω^2eff

ω-

√

- 4μ⁴,

1 + 〈a²〉

0.02

0.00

откуда следует зависимость для 〈a²〉 от ω:

√

-0.02

√

(4ω₀ +

σ²ω²⁰ - 16μ⁴)²

〈a2〉 =

- 1.

(12)

−0.04

ω₀

2ω₀

4ω²

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

1.75

2.00

2.25

ω, отн. ед.

Нижняя панель рис. 2 демонстрирует зависи-

мость энергии системы при наличии нелинейной

стабилизации от частоты вынуждающей силы.

Сплошной линией показаны численные результаты,

0.8

а черными точками — аналитические результаты,

0.6

полученные с помощью формулы (12). Явно вид-

но, что согласно и тем, и другим результатам в

0.4

нелинейном режиме кривая насыщения становится

несимметричной относительно резонансной часто-

0.2

ты, а максимум амплитуды насыщения смещается

ω₀

2ω₀

от нее влево.

0.0

Динамо-система Паркера. Теперь рассмот-

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

1.75

2.00

2.25

ω, отн. ед.

рим маломодовую систему (4), главное отличие ко-

торой от упрощенной системы в том, что генерация

Рис. 2. Упрощенный случай. Верхняя панель — зависи-

в ней системе происходит наравне с осцилляцией и

мость скорости экспоненциального роста a от частоты па-

при отсутствии параметрического резонанса. Опре-

раметрического возбуждения в случае линейного режима.

деляется это тем, что система из четырех уравне-

Нижняя панель — зависимость энергии системы от час-

ний может иметь комплексные собственные значе-

тоты параметрического возбуждения в случае нелиней-

ния, в отличие от системы из двух уравнений, где

ного режима. Точки — аналитическое решение в районе

комплексные значения либо вещественные, либо чи-

удвоенной частоты, штрих-пунктирные вертикальными ли-

сто мнимые. С этим же связана и сложность, так

ниями — коридор генерации. Параметры моделирования

как в общем случае, чтобы найти собственные час-

ω0 = 1, μ² = 0.01, σ = 0.3

тоты системы Паркера, надо найти корни уравне-

уменьшается параметр ω²⁰, за счет чего система по-

ния четвертого порядка. Поэтому начнем с симмет-

степенно «развязывается», а это, в свою очередь,

ричного случая, для которого корни находятся явно.

приводит к стабилизации экспоненциального роста

Рассмотрим систему

и выходу на квазистационар. Стационар понимает-

ся в том смысле, что решение осциллирует, но энер-

a₁ = (R_α/2)b₁ - μ²a₁,

гия осцилляций, которую мы берем равной среднему

a₂ = (R_α/2)(b₁ + b₂) - μ²a₂,

(13)

от 〈a²〉 за период, остается постоянной. С помощью

b₁ = R_ω(1 + σ sin(ωt))(a₁ - a₂) - μ²b₁,

функции (4) оценим уровень стационара в зависимо-

b₂ = 2R_ω(1 + σ sin(ωt))a₂ - μ²b₂.

сти от частоты осцилляции параметра ω. Зададим

уменьшение параметра ω²⁰ как

Выразив b₁(t) и b₂(t) из первых двух уравнений,

ω²⁰

подставим их во вторые два (заметим, что это удоб-

ω^2eff =

(11)

но сделать в силу нашего предположения о парамет-

1 + 〈a²〉

рической модуляции параметра R_ω, а не R_α). По-

тогда при стабилизации, приравнивая скорсть гене-

лучим систему из двух уравнений второго порядка,

рации к нулю, из (4) получаем

для которой по аналогии с уравнением (7) сделаем

замену

ω^2eff σ²

- ε² = 4μ⁴.

a_1,2(t) = f_1,2(t)exp(-μ²t).

519

А. Ю. Серенкова, Д. Д. Соколов, Е. В. Юшков

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Получим систему типа системы Матье:

При малых σ асимптотически это можно переписать

как

f₁ - (R_αR_ω/2)(1 + σ sin(ωt))(f₁ - f₂) = 0,

(14)

f₂ - (R_αR_ω/2)(1 + σ sin(ωt))(f₁ + f₂) = 0.

R^2αR^2ωσ²

s + iβ + iε/2 = ±

+ o(σ²).

(18)

32λ₀ω(λ₀ ± iω/2)

Для такой системы при отсутствии периодической

силы σ = 0 несложно вычислить собственные часто-

Левая часть равенства (18) и есть добавка к скоро-

ты ω₀ и скорости генерации γ₀ гармонического ре-

сти генерации при наличии периодического воздей-

шения:

ствия с частотой ω. При σ = 0 эта добавка равна

√

нулю, а следовательно, скорость генерации полно-

R_αR_ω

λ₀ = γ₀ + iω₀ = ±

√ exp(±3iπ/8).

(15)

стью совпадает с λ₀, определяемой формулой (15).

При σ = 0 вещественная часть решения (18) при

При σ = 0 также можно искать решение в гармо-

больших ω больше λ₀, а при малых — меньше, в

ническом виде, однако в отличие от описанной ра-

районе удвоенной частоты скорость генерации име-

нее упрощенной системы (6) такое решение будет

ет локальный максимум. На верхней панели рис. 3

иметь комплексные добавки к частотам. Эту про-

приведена зависимость скорости экспоненциально-

блему можно обойти, если искать решение системы

го роста a_1,2 от частоты параметрического возбуж-

(14) в виде суммы не двух, а четырех комплексно

дения. Численные результаты вычисления скорости

сопряженных слагаемых:

генерации показаны сплошной линией, а аналитиче-

ские — точками. При этом уменьшение σ приводит

f_1,2 =

f_1,2 exp((γ₀ + s + iβ)t + i(ω₀ + ε/2)t)+

к тому, что две кривые стремятся к прямой s = γ₀.

+f¯∗1,2 exp((γ₀ + s - iβ)t - i(ω₀ + ε/2)t)+

Отличительной чертой является отсутствие четко

выделенного узкого максимума резонанса на крат-

+f¯1,2 exp((γ₀ + s - iβ)t + i(ω₀ + ε/2)t)+

ных частотах, что, однако, объясняется вырожден-

+f¯∗1,2 exp((γ₀ + s + iβ)t - i(ω₀ + ε/2)t).

(16)

ностью симметричной системы и отсутствием гар-

монического решения для системы (14).

По аналогии с предыдущим случаем рассмотрим

Кроме того, заметим, что найденные решения

внешнее периодическое воздействие, имеющее удво-

представляют собой две гармоники с близкими ча-

енную частоту ω = 2ω₀ + ε. Пренебрегая старшими

стотами — разница между частотами 2β — и экспо-

гармониками и собирая слагаемые у каждой из че-

∗

ненциально растущими амплитудами, что наравне с

тырех гармоник экспонент, получим для

f₁,

f₂,

¯∗

колебаниями может приводить к появлению биений.

систему из четырех уравнений с определителем

Биения проявляют себя при минимуме правой части



выражения (18) и при численных расчетах приводят



-d c

-c



к появлению шума, что связано с методикой вычис-



d a c c



 ,

лений (см. предыдущий раздел). Появление диффу-



-c c b

-d

зии, пропорциональной μ², см. систему (4), приведет



-c

-c d b



лишь к уменьшению скорости генерации на μ², сам

где

же характер решения останется таким же.

a = (γ₀ + s + iβ + iω/2)² - R_αR_ω/2,

Если включить нелинейное подавление в сим-

метричном случае, то энергия колебаний, а соответ-

b = (γ₀ + s + iβ - iω/2)² - R_αR_ω/2,

, изменится настолько, что генерация

ственно и R_α

c = -R_αR_ωσ/4i,

стабилизируется. Но так как на малых частотах ω

d = -R_αR_ω/2.

скорость генерации меньше, чем в невозбужденном

случае, а на больших — больше, то относительно

Приравнивая этот определитель к нулю, получаем

энергии системы при отсутствии внешнего возбуж-

уравнение

дения на больших частотах энергия установившихся

(d(a + b) - 2c²)² + (ab - d²)² = 0,

(17)

колебаний вырастет, а на малых — наоборот, упа-

дет. Такая зависимость энергии системы от частоты

решая которое относительно γ₀ + s + iβ, получаем

параметрического возбуждения приведена на ниж-

(

)

√

ней панели рис. 3. Шумы, появляющиеся на зави-

)

iR^2αR^2ωσ

ω²

симости, как было сказано выше, являются прямым

γ₀ + s + iβ =

√λ²⁰ ± iγ₀ω

1±

8λ²⁰ω²

следствием используемого численного алгоритма.

520

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Нелинейный параметрический резонанс. . .

0.65

10.8

0.60

10.6

0.55

10.4

0.50

10.2

0.45

10.0

0.40

ω₀

2ω₀

3ω₀

9.8

0.35

ω₀

2ω₀

3ω₀

100

120

140

ω, отн. ед.

2.4

1.25

2.2

1.20

2.0

1.15

1.8

1.10

1.6

1.4

1.05

1.2

1.00

ω₀

2ω₀

3ω₀

1.0

0.95

0.8

ω₀

2ω₀

3ω₀

0.90

100

ω, отн. ед.

Рис. 3. Симметричный случай. Верхняя панель — зави-

Рис. 4. Несимметричный случай. Верхняя панель — за-

симость скорости экспоненциального роста a1,2 от час-

висимость скорости экспоненциального роста a1,2 от час-

тоты параметрического возбуждения в случае линейно-

го режима. Нижняя панель — зависимость энергии си-

стемы от частоты параметрического возбуждения в слу-

чае нелинейного режима (энергия нормируется на энер-

гию системы без возбуждения). Параметры моделирова-

ния Rα = 0.35, Rω = -2500, σ = 0.3, ξ = 1; собственные

ния Rα = 1.0, Rω = -2500, σ = 0.3, ξ = 1; собственные

частоты для линейного случая ω0 ≈ 23.02, для нелиней-

частоты ω0 ≈ 36.11

ного — ω0 ≈ 21.74

При рассмотрении несимметричной системы (4),

Это мы и наблюдаем при численном анализе.

т. е. случая, когда помимо μ² есть константы, по-

Так, в линейном режиме, см. верхнюю панель рис.

являющиеся из-за взятия вторых производных по

4, зависимость скорости генерации от частоты пери-

θ от соответствующих гармоник, аналитически вы-

одического воздействия представляет собой супер-

числить собственные частоты системы не представ-

позицию аналогичных зависимостей для упрощен-

ляется возможным. Однако относительно симмет-

ной и симметричной систем. Хорошо виден широ-

ричного случая можно сказать следующее: система

кий профиль подложки во всем диапазоне частот

(4) будет также приводить к уравнению четвертого

и острые пики вблизи удвоенной частоты (и крат-

порядка, но если в симметричном случае положи-

ных удвоенной). В нелинейном режиме график энер-

тельная вещественная часть корней λ₀ была одина-

гии насыщения тоже представляет собой комбина-

ковой, что приводило к решению из четырех экс-

цию подложки (симметричная система, нижняя па-

понент (14), то в несимметричном случае будет су-

нель рис. 3) и треугольников (упрощенная системы,

ществовать корень с большей вещественной частью.

нижняя панель рис. 2). При этом картина парамет-

Следовательно, решение будет гармоническим и схо-

рического резонанса для системы Паркера стала су-

жим как с симметричным случаем (13), так и с упро-

щественно сложнее ожидаемой для гармонических

щенной системой (6).

колебаний. Появились области подавления генера-

521

ЖЭТФ, вып. 4

А. Ю. Серенкова, Д. Д. Соколов, Е. В. Юшков

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

ции на низких частотах и усиления на высоких, пи-

нитного поля по модам, так как в этом частном слу-

ки усиления сдвинуты от кратных частот и находят-

чае классического параметрического резонанса во-

ся левее, в непосредственной близости от них. Точ-

обще не наблюдается, а наблюдается следующее: во-

но в такой же близости, но правее, находятся пики

первых, подавление генерации на малых частотах

подавления генерации. Из этого можно сделать вы-

периодической модуляции и усиление генерации на

вод, что природа параметрического резонанса для

больших, во-вторых, пик такого параметрического

динамо-систем объяснима, но имеет гораздо больше

усиления генерации, лежащий между удвоенной и

особенностей, нежели стандартная картина.

утроенной собственными частотами системы, более

широкий, чем на удвоенной частоте в классическом

случае, но при этом более низкий по амплитуде.

5. ОБСУЖДЕНИЕ И ВЫВОДЫ

Может быть, более грамотно такой отклик системы

на периодическое изменение параметров следовало

В настоящей работе исследован параметриче-

бы назвать не «параметрическим резонансом», для

ский резонанс в маломодовой динамо-системе Пар-

которого характерен избирательный по частоте от-

кера. Эта система является одной из простейших мо-

клик, а «неизбирательным параметрическим резо-

делей процессов генерации крупномасштабных маг-

нансом». Тогда можно было бы сказать, что в общем

нитных полей в случайных проводящих средах и

случае наблюдается суперпозиция «классического»

в первом приближении описывает формирование

и «неизбирательного» резонансов. Однако, оставляя

звездных динамо-циклов, аналогичных 11-летнему

вопросы терминологии для дальнейшего обсужде-

циклу солнечной активности. Мы не рассматрива-

ния, нельзя не отметить, что обнаруженное явление

ем в работе причины, приводящие к периодическим

— отсутствие классического параметрического ре-

параметрическим осцилляциям, ограничиваясь об-

зонанса при совпадении коэффициентов диффузии

щими соображениям, такими как, например, перио-

для разных компонент магнитного поля — совпада-

дическое влияние вращающихся планет на гидроди-

ет по смыслу с результатами, полученными ранее в

намическую спиральность в конвективной оболочке.

других работах, в частности, в работе [16].

Более того, мы не утверждаем, что такое периоди-

Еще одним важным с нашей точки зрения ре-

ческое воздействие присутствует, например, в систе-

зультатом является то, что возникновение резонанс-

мах Солнце-Юпитер, или Земля-Луна, а сосредота-

ных пиков не кажется столь ярким явлением, как

чиваемся на вопросе о том, насколько картина па-

возникновение резонансных пиков в задачах, не свя-

раметрического резонанса в динамо-системах может

занных с развитием неустойчивостей. Конечно, это

отличаться от классического параметрического ре-

объясняется тем, что появление неустойчивости са-

зонанса, описываемого уравнением Матье. Благода-

мо по себе является очень заметным явлением, ко-

ря настолько упрощенной постановке, эти отличия

торое вполне может быть более заметным, чем ре-

удается проанализировать как численно, так и ана-

зонанс, поэтому усиление или подавление генерации

литически.

на фоне уже происходящей генерации заметить го-

В рассмотренных случаях на графиках зависи-

раздо сложнее.

мости скорости генерации от частоты параметриче-

Если говорить о реальных динамо-системах, то

ского воздействия, действительно видны пики, ко-

следует учитывать тот факт, что экспоненциаль-

торые можно отождествить с эффектами парамет-

ное нарастание крупномасштабного магнитного по-

рического резонанса. Примечательно, что эти пи-

ля — очень редко наблюдаемое явление. В подавля-

ки для динамо-систем не обязательно возникают

ющем большинстве систем экспоненциальная гене-

при периоде внешнего воздействия, вдвое меньшем

рация затухает за счет обратного влияния растуще-

собственного периода колебаний. Более того, в ря-

го магнитного поля на гидродинамические парамет-

де случаев удается объяснить аналитически, поче-

ры системы. В настоящей работе учитывалось вли-

му иногда условия возникновения параметрическо-

яние роста магнитного поля на гидродинамическую

го резонанса совпадают с классическими, а иногда

спиральность. Анализ энергии установившихся ко-

— отличаются от него. Оказывается, что в общем

лебаний в зависимости от параметрического воздей-

случае в динамо-системах влияние периодического

ствия показал, что резонансное воздействие может

внешнего воздействия на скорость генерации есть на

приводить не к возрастанию, а к уменьшению ам-

всех частотах. Особенно при этом выделяется част-

плитуды динамо-волны, т.е. может возникать не ре-

ный случай совпадающих коэффициентов диффу-

зонансное усиление, а резонансное поглощение как

зии при различных компонентах разложения маг-

522

ЖЭТФ, том 163, вып. 4, 2023

Нелинейный параметрический резонанс. . .

в близких к резонансу областях, так и просто на ма-

D. Moss and D. Sokoloff, Astr. and Astrophys. 553,

лых частотах периодической силы. Резонансное по-

A37 (2013).

глощение, конечно, известно в ряде физических кон-

D. Moss and D. Sokoloff, Astr. Reps. 61(10), 878

текстов, но в контексте задачи динамо является оче-

(2017).

видно недостаточно изученным. Говоря о непосред-

ственных приложениях проведенного исследования

D. Moss, N. Piskunov, and D. Sokoloff, Astr. and

к физике Солнца, отметим, что на фоне получен-

Astrophys. 396(3), 885 (2002).

ных результатов факт совпадения длины солнечно-

E.N. Parker, The Astrophys. J. 122, 293 (1955).

го цикла с периодом обращения Юпитера переста-

ет представляться столь привлекательным в контек-

N.W. McLachlan, Theory and Application of Mathieu

сте исследования природы солнечного цикла. Также

Functions, Clarendon Press, Oxford (1947).

еще раз отметим, что проведенное в конкретной си-

Ф. Краузе, К.-Х. Рэдлер, Магнитная гидродина-

туации исследование параметрического резонанса в

мика средних полей и теория динамо, Пер. с ан-

системах с самовозбуждением и нелинейным подав-

гл., Мир, Москва (1984).

лением может быть интересно и в других аналогич-

ных ситуациях.

Л. Ландау, Е. Лифшиц, Теоретическая физика,

Физматлит, Москва (2001).

Финансирование. Численный анализ парамет-

рического резонанса в динамо-системах выполнен

10.

H. Schwabe, Sonnenbeobachtungen im Jahre 1843,

Von Herrn Hofrath Schwabe in Dessau. 21,

233

при поддержке Минобрнауки РФ в рамках програм-

(1844).

мы Московского центра фундаментальной и при-

кладной математики (проект № 075-15-2019-1621).

11.

M.N. Gnevyshev, Solar Phys. 51(1), 175 (1977).

Асимптотический анализ периодического воздей-

12.

S.M. Tarbeeva, V.B. Semikoz, and D.D. Sokoloff,

ствия на генерацию крупномасштабных структур

Astr. Reps. 55(5), 456 (2011).

проводился при поддержке фонда Базис (грант

№ 21-1-3-63-1).

13.

G. Ruediger and A. Brandenburg, Astr. and

Astrophys. 296, 557 (1995).

ЛИТЕРАТУРА

14.

J.C. Butcher, Numerical Methods for Ordinary

Differential Equations, John Wiley and Sons (2016).

1. V.N. Obridko, M.M. Katsova, and D.D. Sokoloff,

Monthly Notices of the Royal Astronomical Society

15.

S.M. Stigler, The History of Statistics: The

Measurement of Uncertainty Before 1900 , Harvard

516.1, 1251 (2022).

University Press, Harvard (1986).

2. F. Stefani, J. Beer, A. Giesecke, T. Gloaguen, M.

Seilmayer, R. Stepanov, and T. Weier, Astronomische

16.

Л.Л. Кичатинов, А.А. Непомнящих, Письма в Аст-

Nachrichten 341, 600 (2020).

рон. Ж. 41(7), 409 (2015).

523