ЖЭТФ, 2023, том 163, вып. 3, стр. 401-416

КВАНТОВЫЕ ОСЦИЛЛЯЦИИ МЕЖСЛОЙНОЙ

ПРОВОДИМОСТИ В МНОГОСЛОЙНОМ ТОПОЛОГИЧЕСКОМ

ИЗОЛЯТОРЕ

З.З. Алисултанов^a,b*, Г.О. Абдуллаев^b, П.Д. Григорьев^c,d, Н.А. Демиров^e

^a Международный ценрт теоретической физики им. А.А. Абрикосова Московского физико-технического института

141701, Долгопрудный, Московская обл., Россия

^b Институт физики им. Х.И. Амирханова

Дагестанского федерального исследовательского центра Российской академии наук

367015, Махачкала, Россия

^c Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау Российской академии наук

142432, Черноголовка, Московская обл., Россия

^d Национальный исследовательский технологический университет ¾МИСИС¿

119049, Москва, Россия

^e Объединенный институт высоких температур Российской академии наук

125412, Москва, Россия

Поступила в редакцию 4 июля 2022 г.,

после переработки 30 августа 2022 г.

Принята к публикации 6 сентября 2022 г.

Исследованы квантовые и разностные осцилляции межслоевой проводимости в многослойной системе из

тонких пленок топологических изоляторов. Из-за линейности спектра носителей в такой системе возника-

ют новые особенности квантовых осцилляций. В частности, частоты осцилляций де Гааза - ван Альфена

и Шубникова-де Гааза зависят от химического потенциала квадратично, а не линейно, как в случае

систем с параболическим спектром носителей. По этой же причине фактор температурного затухания

осцилляций содержит химический потенциал. Это связано с неэквидистантностью уровней Ландау: чем

выше химический потенциал, тем меньше расстояние между уровнями Ландау. Однако частоты биений,

а также разностных медленных осцилляций не зависят от химического потенциала, и в этом смысле

поведение этих cистем аналогично поведению обычных недираковских систем. Наконец, в борновском

приближении (втором порядке крестовой диаграммной техники) мы рассмотрели общий случай, когда

в межслойной проводимости учитываются как внутризонные, так и межзонные переходы. Мы показали,

что вклад межзонных переходов не существен для осцилляций проводимости при отсутствии магнитных

примесей. Однако при наличии в спектре точки Дирака от нулевого уровня Ландау возникает линейный

по магнитному полю межзонный вклад в проводимость. Этот вклад при низких температурах экспонен-

циально мал по сравнению с внутризонным вкладом и исчезает при нулевой температуре.

DOI: 10.31857/S0044451023030124

скольку позволили определять параметры элек-

EDN: QFAGYG

тронной структуры различных перспективных ма-

териалов, таких как органические металлы [1-14]

(см. также большое число более свежих результа-

1. ВВЕДЕНИЕ

тов авторов процитированных работ), высокотем-

пературные сверхпроводники, включая различные

В последние три десятилетия магнитные кван-

купраты [15-24] и железосодержащие сверхпровод-

товые осцилляции в квазидвумерных металлах вы-

ники [25-27], гетероструктуры и сверхрешетки [28],

звали большой экспериментальный интерес, по-

интеркалированный графит [29], различные вандер-

ваальсовы кристаллы [30] и многие другие слои-

^* E-mail: zaur0102@gmail.com

401

З.З. Алисултанов, Г.О. Абдуллаев, П.Д. Григорьев, Н.А. Демиров

ЖЭТФ, том 163, вып. 3, 2023

стые проводники [31]. Параллельно магнитные ос-

с тем, что во втором случае характер осцилляций

цилляции в квазидвумерных металлах привлекли

определяется произведением времени релаксации,

и большое внимание теоретиков [10-14, 32-49], по-

среднего квадрата скорости электронов на поверх-

скольку обнаружился ряд новых качественных эф-

ности Ферми и плотности состояний, которые сами

фектов, особенно в проводимости [6,11,12], не опи-

по себе носят осциллирующий характер, в то время

сываемых в рамках традиционой теории, построен-

как в определение намагниченности входит только

ной как для обычных трехмерных металлов [50-52],

плотность состояний. Данное смещение по фазе по-

так и для чисто двумерных электронных систем [53].

является, когда циклотронная энергия сравнивается

В обычных трехмерных металлах осцилляции в маг-

c межслоевым интегралом перескока t, т. е. при до-

нитном поле вызваны относительно малым числом

статочно больших значениях магнитного поля или

носителей вблизи экстремальных сечений поверх-

сильной анизотропии.

ности Ферми, из за чего они являются достаточно

В работе [11] рассмотрены медленные осцилля-

слабыми и описываются теорией Лифшица - Косе-

ции межслоевой проводимости в (BEDT-TTF)2IBr2

вича. В отличие от них квазидвумерные системы ха-

и показано, что они связаны с гофрированностью

рактеризуются достаточно большим относительным

поверхности Ферми. Здесь рассматривались осцил-

числом электронов, дающих вклад в осцилляции, и

ляции намагниченности и продольного магнитосо-

условие малой амплитуды и постоянства химическо-

противления при различных ориентациях магнит-

го потенциала уже не выполняются [54], что приво-

ного поля. При этом частота биений и частота мед-

дит к неприменимости формализма Лифшица - Ко-

ленных осцилляций менялись коррелированным об-

севича, в частности, для температурной зависимо-

разом: F_slow (θ) = 2F_beat (θ), где θ

угол наклона

сти гармоник [37, 38]. Ферми-поверхность в квази-

магнитного поля. Из этого можно сделать вывод,

двумерных металлах представляет собой гофриро-

что физическое происхождение медленных осцил-

ванный цилиндр, и наличие двух экстремальных се-

ляций связано именно с особой формой поверхно-

чений (магнитное поле направлено поперек слоев)

сти Ферми. В рамках квазиклассического прибли-

приводит к суперпозиции двух разных частот и тем

жения (уравнение Больцмана) показано, что приро-

самым возникновению биений:

да медленных осцилляций аналогична межподзон-

)

ным осцилляциям: они возникают из-за нелинейно-

(πkαΔS

cos

сти и наличия двух близких частот. При этом часто-

та медленных осцилляций равна удвоенной частоте

где ΔS разность площадей экстремальных сече-

биений, что согласуется с экспериментом. Независи-

ний ферми-поверхности. Фазовый множитель π/4

мость медленных осцилляций от энергии приводит к

определяется из геометрических соображений и яв-

отсутствию температурного множителя, т.е. ампли-

ляется универсальным для всех величин.

туда медленных осцилляций не зависит от темпера-

Экспериментально было показано наличие сдви-

туры в рамках модели, учитывающей только упру-

га фазы биений осцилляций намагниченности отно-

гое рассеяние на примесях. Это свойство медлен-

сительно поперечной проводимости [1-6]. Сначала

ных осцилляций также аналогично межподзонным

считалось, что этот сдвиг фазы вызван наличием

осцилляциям в полупроводниках [55-57] и являет-

малых карманов поверхности Ферми, однако вычис-

ся общим для разностных осцилляций. Необходимо

ление зонной структуры показало неверность дан-

отметить, что фактор Дингла для медленных осцил-

ного предположения [8]. Кроме того, в таких систе-

ляций отличается от такового для обычных осцил-

мах для проводимости наблюдаются так называе-

ляций, так как макроскопическая пространственная

мые медленные осцилляции. Выяснению физическо-

неоднородность по своему действию подобна темпе-

го механизма и объяснению этих эффектов посвяще-

ратуре, оба приводят к размытию поверхности Фер-

ны работы [6, 11, 40, 49].

ми [11, 12, 40]. Таким образом, фактор Дингла для

В работе [6] экспериментально показано и тео-

медленных осцилляций содержит только рассеяние

ретически объяснено наличие зависящей от маг-

на микроскопических центрах, например, примесях.

нитного поля разности фаз биений между осцил-

Учет электрон-электронного и электрон-фононного

ляциями намагниченности и магнитосопротивления

взаимодействий приведет к некоторой зависимости

в кристалле β-(BEDT-TTF)2IBr2 при температуре

от температуры, однако температурное затухание

T ≈ 0.6K в магнитном поле до 16Тл. В рамках ква-

медленных осцилляций все равно будет намного сла-

зиклассического транспортного уравнения Больц-

бее по сравнению с затуханием обычных осцилляций

мана показано, что наличие разности фаз связано

Шубникова. Например, в (BEDT-TTF)2IBr2 экспе-

402

ЖЭТФ, том 163, вып. 3, 2023

Квантовые осцилляции межслойной проводимости ...

римент показывает, что повышение температуры

ции проводимости и указываем на новизну резуль-

от 0.56 до 1.4 К практически полностью подавля-

татов по сравнению со другими случаями много-

ет быстрые осцилляции Шубникова, в то время как

слойных металлов. В разд. 5 мы приводим расчет

амплитуда медленных осцилляций практически не

межслойной проводимости с учетом межзонных пе-

меняется [11]. Наблюдение медленных осцилляций

реходов. При этом все подробности расчетов всех

позволяет оценить величину интеграла перескока,

упомянутых величин даются в Приложениях. В За-

т. е. величину гофрироки поверхности Ферми [11].

ключении мы приводим основные результаты рабо-

Аналогично, в бислойных структурах медленные

ты и обсуждаем некоторые возможности экспери-

осцилляции позволяют определить величину меж-

ментальной проверки предсказанных эффектов.

слоевого перескока электронов и помочь объясне-

нию наблюдаемого гармонического состава магнит-

2. ГАМИЛЬТОНИАН И УРОВНИ ЛАНДАУ

ных квантовых осцилляций, например, как в купра-

тах [48] или трителлуридах редкоземельных метал-

Для исследования указанных выше эффектов

лов [31]. С другой стороны, зависимость от темпера-

в многослойном топологическом изоляторе (МТИ)

туры и магнитного поля позволяет получить инфор-

мы воспользуемся моделью, предложенной в рабо-

мацию об основных процессах рассеяния электро-

те [58] (см. рис.1). Было показано, что такая система

нов [11, 12]. Более строгие вычисления медленных

при наличии магнитных примесей может рассмат-

осцилляций методами диаграммной техники были

риваться как простейшая реализация трехмерного

проведены как для межслоевой [40], так и для внут-

вейлевского полуметалла. Однако в настоящей ра-

рислоевой [49] проводимости.

боте нас не интересует режим вейлевского полуме-

В настоящей работе мы исследуем медленные ос-

талла. Мы не включаем в модель магнитные приме-

цилляции межслоевой проводимости в многослой-

си.

ной системе из тонких пленок топологических изо-

ляторов. Из-за линейности спектра носителей в та-

кой системе возникают новые особенности кванто-

вых и медленных осцилляций. В частности, по ана-

логии с графеном, частоты осцилляций де Гааза -

ван Альфена и Шубникова - де Гааза зависят от хи-

мического потенциала квадратично, а не линейно,

как в случае систем с параболическим спектром но-

сителей. По этой же причине фактор температур-

ного затухания осцилляций R^kT содержит химиче-

ский потенциал. Это связано с неэквидистантностью

уровней Ландау: чем выше химический потенциал,

Рис. 1. Схематическое изображение многослойной струк-

тем меньше расстояние между уровнями Ландау

туры. Незакрашенные участки обозначают слои топологи-

при этом химическом потенциале. Похожая зависи-

ческих изоляторов (TI), а закрашенные обычные зонные

мость наблюдалась также в органических металлах

изоляторы

с квазидвумерным дираковским спектром [13, 14].

Но как мы покажем ниже, частоты биений, а также

Гамильтониан гетероструктуры из топологиче-

медленных осцилляций не зависят от химического

ских изоляторов и пленок из обычных диэлектриков

потенциала, и в этом смысле характер этих явле-

может быть записан в виде

ний схож с аналогичным в обычных недираковских

∑

[

системах.

c^†

υ_F τ^z (z × σ)k_⊥δ_i,j + Δ_Sτ^xδ_i,j +

Статья организована следующим образом. В

k_⊥i

k_⊥,i,j

разд. 2 мы приводим всю необходимую информацию

]

о гамильтониане и уровнях Ландау для многослой-

Δ_Dτ⁺δ_j,i+1 +

Δ_Dτ^-

δ_j,i-1

c_k

(1)

⊥j,

ного топологического изолятора. В разд. 3 приведе-

ны расчеты термодинамических величин для плот-

где k_⊥

= (k_x, k_y)

импульс квазичастиц в

ности состояний, термодинамического потенциала

двумерной зоне Бриллюэна поверхности ТИ,

и намагниченности. В разд. 4 мы приводим расче-

τ = (τ_x,τ_y,τ_z)

матрицы Паули, действующие на

ты межслоевой проводимости в тау-приближении. В

псевдоспиновую степень свободы (принадлежность

этом же разделе мы исследуем медленные осцилля-

верхней или нижней поверхностями ТИ), Δ_S и

403

З.З. Алисултанов, Г.О. Абдуллаев, П.Д. Григорьев, Н.А. Демиров

ЖЭТФ, том 163, вып. 3, 2023

Δ_D описывают туннелирование между верней и

для МТИ. Это так называемые осцилляции де Гаа-

нижней поверхностями слоев ТИ (Δ_S ) и между

за - ван Альфена. Медленные осцилляции возника-

верней и нижней поверхностями диэлектрического

ют для проводимости и представляют собой модуля-

слоя (Δ_D). Индексы i, j нумеруют слои топологи-

цию осцилляций Шубникова - де Гааза, вызванную

ческого изолятора. Более детальную информацию

межслоевым взаимодействием. Следуя предыдуще-

о происхождении и свойствах этого гамильтониана

му разделу, все подробности вычислений мы так-

можно найти в Приложении А. Этот гамильтониан

же представили в Приложении B. Учитывая спектр

приводит к спектру (см. Приложение А)

МТИ, полученный в разд. 2, запишем плотность со-

√

стояний в виде

(

)

ε_k = ± υ^2F

k^2x + k^2y

+ Δ2 (k_z),

(2)

∫d

где

∑

ρ(ε) =

dk_z

{δ(ε - ε₀) +

Δ² (k_z) = Δ^2S + Δ^2D - 2Δ_SΔ_D cosk_zd

2π πl²

α=±

−

при -π/d

< k_z

< π/d. Если |Δ_S|

= |Δ_D| и

∑

sign (Δ_S Δ_D) > 0, то в спектре имеется точка, в кото-

δ(ε - ε_n)},

(5)

рой запрещенная зона исчезает. Это точка k_zd = 0.

n=1

Если sign (Δ_S Δ_D) < 0, то этой точкой является

где мы учли, что кратность вырождения ненулевых

k_zd = π (точки k_zd = ±π совпадают из-за пери-

уровней Ландау в два раза больше, чем нулевого.

одичности зоны Бриллюэна). Если |Δ_S | = |ΔD|,

Проводя суммирование с использованием стандарт-

то спектр содержит запрещенную зону шириной

ных приемов (см. Приложение B), получим

||Δ_S | - |Δ_D||.

Для решения задачи квантования Ландау мы

ρ(ε) = ρ₀(ε) + ρ_osc(ε),

(6)

упростим гамильтониан (1). Легко показать (см. [59]

и Приложение A), что низкоэнергетический гамиль-

где

(

)

тониан в импульсном пространстве может быть за-

|ε| Θ

ε² - Δ²

писан в блочно-диагональной форме

ρ₀(ε) = 2NN_LL

(7)

υ^2F l^-2H

ℏ²

H = υ_F (-σ_yk_x + σ_xk_y) + σ_zΔ(k_z),

(3)

4 |ε|

ρ_osc(ε) =

где

dπ²l

(

)

[

]

∑

Δ (k_z ) = Δ_S τ^x +

Δ_D

τ⁺eikzd + H.c.

ε² - Δ^2S - Δ^2D

× Re

exp 2πik

J (k, ε) ,

(8)

-2

2υ^2F l_H

ℏ²

k=1

В магнитном поле необходимо перейти к ковариант-

ному оператору импульса

∫

[

]

Δ_SΔ_D cosk_zd

J (k, ε) =

dk_z exp 2πik

p→p+

-2

υ^2F l_H

ℏ²

(

)

Здесь мы воспользуемся калибровкой Ландау

×Θ

ε² - Δ² (k_z)

(9)

(-Hy, 0, 0). Тогда собственные значения

гамильтониана (3) легко вычисляются:

Рассмотрим теперь большой термодинамический

√

потенциал, который в общем виде дается выражени-

ε_n = α

2υ^2F l^-2Hℏ²n + Δ² (k_z), n = 0,

(4)

ем

∫

∞

ε₀ = ±Δ(k_z),

n = 0,

Ω = -T ρ(ε)ln(1 + e^µŦε)dε.

(10)

где α = ±1 зонный индекс, l^-2H = eH/ℏc. Отме-

тим, что кратность вырождения ненулевых уровней

Сразу отметим, что мы рассматриваем только по-

Ландау в два раз больше, чем у нулевого.

ложительные энергии. При низких температурах

вклад от валентной зоны пренебрежимо мал. Учет

отрицательных энергий не приводит к каким-либо

3. КВАНТОВЫЕ ОСЦИЛЛЯЦИИ

заметным изменениям полученных ниже результа-

НАМАГНИЧЕННОСТИ

тов. Нас будет интересовать только осциллирующая

В этом разделе мы рассмотрим квантовые ос-

часть термодинамического потенциала, которая вы-

цилляции плотности состояний и намагниченности

числена в Приложении В:

404

ЖЭТФ, том 163, вып. 3, 2023

Квантовые осцилляции межслойной проводимости ...

(

) (

(

))

πk

∑

J₀

2πkΔSΔ^D

cos

µ² - Δ^2S - Δ²

υ^2F l^-2H

ℏ²

υ^2F l^-2Hℏ²

Ω_osc ≈ 2NN_LLT

(

)

(11)

kTµ

k=1

2π²

υ^2F l^-2H

ℏ²

Отсюда для намагниченности M = -∂Ω_osc/∂B получаем выражение

[

(₁

)

]

∑

J₀(ky_H)

cos(kx_H(µ)) + x_H(µ)sin (kx_H(µ))

+ y_HJ₁(ky_H)cos(kx_H(µ))

M = -2N

(

)

(12)

πℏc

2π²kµT

υ^2F l^-2H

ℏ²

где мы пренебрегаем членом, пропорциональным

простейшей тау-модели. Проводимость в этой моде-

T/υ^2F l^-2Hℏ², и

ли дается формулой

∫

∞

Δ_SΔ_D

ε² - Δ^2S - Δ^2D

y_H = 2π

x_H(ε) = π

σ_zz = e²

(14)

υ^2F l^-2Hℏ²

υ^2F l^-2H

ℏ²

dε(-n^′F (ε))I (ε) τ (ε) ,

В случае слабых магнитных полей x_H(µ) ≫ y_H ≫ 1

с времемен релаксации

(мы полагаем, что µ² > Δ^2S + Δ^2D). При µ, отлич-

√

ном от

Δ^2S + Δ^2D, пренебрегаем первым и третьим

πn_impu²⁰

членом:

τ (ε)^-1 =

ρ(ε),

(15)

ℏ

(

)

µ² - Δ^2S - Δ^2D

где n_imp концентрация примесей, u₀ амплитуда

M =-

π²ℏc

примесного потенциала, а кинетический коэффици-

√

∑

ент I (ε) определяется как

cos(ky_H -

)sin(kx_H(µ)) R^kT ,

(13)

πy_H

∑

I (ǫ) =

|υ_z|

²δ (ǫ - ε_n,k

(16)

где

α=±1 n,k

2π²µ

R^kT =

(

ℏ²l^-2Hυ²

2π²kµT

Подробный расчет этой функции приведен в При-

F sh

ℏ²l^-2Hυ²

ложении С. Мы здесь воспользуемся готовым выра-

В отличие от двумерной системы, наличие межслой-

жением

ного перескока приводит к дополнительной модуля-

[

d²

Δ_SΔ_D

πΔ_sΔ_D

ции квантовых осцилляций намагниченности. Кро-

I (ǫ) = NN_LL

2πℏ²

2ℏ²l^-2Hυ²

ме того, линейность спектра носителей заряда при-

водит к тому, что период осцилляций определяет-

(

)

∑

ε² - Δ^2S - Δ^2D

ся квадратом химического потенциала: x_H (µ) ∼ µ².

cos

2πk

2υ^2F l^-2H

ℏ²

По этой же причине фактор температурного зату-

k=1

хания осцилляций R^kT содержит химический потен-

(

)]

Δ_SΔ_D

циал. Это связано с неэквидистантностью уровней

×J₁

2πk

(17)

υ^2F l^-2H

ℏ

Ландау: чем выше химический потенциал, тем мень-

ше расстояние между уровнями Ландау при этом

Из-за квантования Ландау величины I (ǫ) и τ (ǫ)

химическом потенциале. Соответственно, рост хи-

дают отдельные вклады в проводимость. В этом од-

мического потенциала приводит к уменьшению ам-

на из причин, что осцилляции кинетических коэф-

плитуды осцилляций при неизменной и отличной от

фициентов (эффект Шубникова - де Гааза) отлича-

нуля температуре.

ются от квантовых осцилляций термодинамических

величин (эффект де Гааза - ван Альфена). В част-

ности, в слоистых системах это приводит к новому

4. МЕЖСЛОЙНЫЙ ТРАНСПОРТ

эффекту необычной модуляции проводимости, ко-

Теперь исследуем межслойный транспорт. Мы

торая получила название медленных осциляций в

рассмотрим межслойную проводимость в рамках

пионерской работе [11]

405

З.З. Алисултанов, Г.О. Абдуллаев, П.Д. Григорьев, Н.А. Демиров

ЖЭТФ, том 163, вып. 3, 2023

√

[

√

При низких температурах вклад в проводимость

(

1+a²

υ^2F l^-2Hℏ²

π)

вносят энергии вблизи химического потенциала.

× 1-

cosx_H cos y_H +φ-

Δ_SΔ_D

Учитывая, что µ ≫ Δ_S + Δ_D, мы можем опустить

(

√

(

)))]

1 υ^2Fl^-2Hℏ²

тета-функцию в (9). Тогда (детали расчета плотно-

1 + a2 cos 2

y_H +

π² Δ_SΔ_D

сти состояний приведены в Приложении В)

(19)

∫π

[

]

Δ_SΔ_D cosk_zd

где

ℏ²l^-2Hυ^2F

Im (k, ε) =

dk_z exp 2πik

a = tanφ =

ℏ²

υ^2F l^-2H

πΔ_sΔ_D

(

)

Δ_SΔ_D

Здесь мы оставили только члены до второго поряд-

= πJ₀

2πk

(18)

ка включительно по функциям Бесселя. Поскольку

υ^2F l^-2H

ℏ²

наиболее значимой является область энергии вблизи

Используя выражения (23) и (48) для терма k = 1,

уровня Ферми, при интегрировании по энергии по-

мы получим

лагаем ε² ≈ µ² +2µ(ε-µ) в аргументе для косинуса,

а в знаменателе заменяем ε² ≈ µ². Для проводимо-

Δ^2SΔ^2Dd

I(ε)τ(ε) =

сти получаем

4n_impu²⁰

ℏε²

√

[

√

(

e²Δ^2SΔ^2Dd

υ^2F l^-2Hℏ²

π)

σ_zz =

1 + a2 cos(x_H(µ))cos y_H + φ -

R_T +

4n_impu²⁰

ℏµ²

π Δ_SΔ_D

(

( (

)))]

-2

√

1 υ^2Fl_H

ℏ²

1 + a2 cos

y_H +

(20)

π² Δ_SΔ_D

где

различие возникает от членов вида G^RG^R + G^AG^A

2π²µ

в петле восприимчивости, которые исчезают, если

R_T =

(

ℏ²l^-2Hυ²

2π²µT

пренебречь осциллирующей зависимостью собствен-

F sh

ℏ²l^-2Hυ²

ной энергии электронов от энергии или от магнит-

ного поля. Тем не менее остальные характеристики,

Как следует из полученного выражения, осцил-

такие как частота, остаются без изменений, и даже

ляции межслойной проводимости смещены по фазе

полевая зависимость амплитуды почти не меняется.

на значение φ от осцилляций намагниченности (см.

Различие результатов этих двух методов расчета ма-

рис. 2). Это смещение является функцией межслой-

ло, потому что в этих работах, как и в нашей статье,

ных параметров перескока. При отсутствии межс-

осцилляции все-таки предполагаются слабыми и по

лойного взаимодействия это смещение обращается

их амплитуде идет разложение, т. е. медленные ос-

в нуль. Кроме того, в проводимости имеется осцил-

цилляции вычисляются в низшем неисчезающем по-

ляционный член, не содержащий температуру.

рядке теории возмущений по малой амплитуде кван-

В этой работе мы преимущественно используем

товых осцилляций. Безусловно, для строгого коли-

тау-приближение теории электронного транспорта.

чественного их описания нужен расчет методами

Конечно, необходимо отметить, что строгий расчет

диаграммной техники, но для качественного описа-

квантовых осцилляций межслойной проводимости

ния основных свойств медленных осцилляций доста-

должен быть проведен в рамках диаграммной тех-

точно и используемого в статье тау-приближения,

ники (частично мы это проделаем в следующем раз-

конечно, с учётом того, что частота рассеяния 1/τ в

деле). Это особенно важно при больших амплитудах

борновском приближении пропорциональна осцил-

осцилляций. В частности, проведенный одним из со-

лирующей плотности состояний.

авторов статьи расчет межслоевого магнитосопро-

тивления и его медленных осцилляций с помощью

тау-приближения и диаграммной техники (соответ-

5. УЧЕТ МЕЖЗОННЫХ ПЕРЕХОДОВ

ственно, формула (4) из статьи [9] и формулы (19),

(21) из статьи [10]) показал, что имеется некото-

Рассмотрим теперь межслойную проводимость

рое небольшое различие в амплитуде медленных ос-

при учете межзонных переходов. В общем слу-

цилляций, вычисленной этими двумя методами. Это

чае недиагонального матричного элемента операто-

406

ЖЭТФ, том 163, вып. 3, 2023

Квантовые осцилляции межслойной проводимости ...

здесь имеем дело, эти ветви совпадают, давая лишь

двукратное вырождение энергии. При наличии маг-

нитных примесей происходит зеемановское расщеп-

ление уровней и эти ветви смещаются друг отно-

сительно друга, пересекаясь в двух точках Вейля,

характеризующихся противоположными кирально-

стями. В нашем случае спектр не зависит от индек-

са α, а в плотность состояний он войдет как коэф-

фициент 2, учитывающий дополнительное вырож-

дение. По этой причине вместо двух собственных со-

стояний |ns±〉 необходимо рассмотреть их линейную

комбинацию β₁ |ns+〉 + β₂ |ns-〉. Мы же несколько

упростим ситуацию, взяв собственные состояния с

Рис. 2. Осцилляции межслойной проводимости (вверху)

одним значением этого индекса, например, с α = 1.

и намагниченности (внизу) при изменении величины маг-

нитного поля в многослойном топологическом изоляторе

Такой выбор никак не скажется на наших результа-

со спектром, описываемым уравнениями (1) и (2)

тах, пока система не содержит магнитных примесей.

В этом случае

∫

∞

(

)

ра скорости для межслойной проводимости имеем

2πℏe²

∑

∂f

следующее выражение:

σ_z =

dε

∂ε

n,kz ,α,β-∞

∫∞ (

)

∂f

σ_z = dε

Σ_z (ε).

(21)

× 〈α|Vnz |β〉〈β|Vnz

|α〉 A_nα (k_z, ε) A_nβ (k_z , ε) ,

(27)

∂ε

−∞

ˆz |n±〉. Вычислим матричные

где 〈±|Vnz |±〉 = 〈n±|

Здесь

элементы

∑

2πℏe

Δ_S + Δ_D cos(k_zd)

Σ_z (ε) =

Vzk

Ak1 (ε)Ak2 (ε),

(22)

〈u|τ^x |u〉 =

(28)

1k2

2k1

Δ(k_z)

k1k2

Δ_D sin(k_zd)

〈u| τ^y |u〉 = -

(29)

где V^zk

= 〈k₁|Vz |k2〉 матричный элемент опера-

Δ (k_z )

1k2

√

тора скорости вдоль оси Z (поперек слоям)



Δ² (k_z)

υ⁺ⁿ

σ^z

υ^-n

= υ^-n

σz

υ+n =

=W,

Δ_Dd

ǫ²

V_z =

σ^z ⊗ [τ^x sin(k_zd) + τ^y cos(k_zd)] ,

(23)

ℏ

(30)

A_k (ε) спектральная функция, а через k обозначе-



Δ (k_z)



σz

υ⁺ⁿ

υ+n =

=V =- υ^-n

υ^-n

(31)

ны квантовые числа: волновые векторы, номер уров-

ǫ_n

ней Ландау, индексы зон и подзон.

Тогда

Вывод этой формулы приведен в Приложении D.

Собственные векторы гамильтониана, которые вхо-

∫

∞

(

)

дят в матричные элементы, получены в работе [59]

2πℏe² ∑

∂f

σ=

dε

∂ε

|nsα〉 = |u_α〉 ⊗ |υ^sαn〉 ,

(24)

n,k^z -∞

[

(

)

(

V²

A²ⁿ⁺ (k_z, ε) + A^2n- (k_z, ε)

Δ_S + Δ_De-ikzd

|u_α〉 =

√

1, α

(25)

]

Δ (k_z )

+ 2W²A_n+ (k_z, ε)A_n- (k_z, ε)

(32)

√

√

T

αΔ (k_z )

αΔ (k_z)

В тау-приближении, когда число примесей мало,

|υ^sαn〉 =

√

 1+

,is

, (26)

ǫ_nsα

имеем

где s = ±1 индекс, различающий электронные и

A^2n± (k_z, ε) →

δ (ε ∓ ǫnkz ) τ (ε) .

(33)

2πℏ

дырочные состояния, а α = ±1 индекс, различаю-

щий две ветви спектра с различными киральностя-

В этом приближении первое слагаемое получен-

ми. Для дираковского полуметалла, с которым мы

ного выражения есть не что иное, как вычисленная

407

ЖЭТФ, вып. 3

З.З. Алисултанов, Г.О. Абдуллаев, П.Д. Григорьев, Н.А. Демиров

ЖЭТФ, том 163, вып. 3, 2023

нами в предыдущем разделе межслойная проводи-

межзонный вклад будут давать и ненулевые уровни

мость, в которой учтены только внутризонные пе-

Ландау. Однако основной вклад по-прежнему будет

реходы (в зоне проводимости и в валентной зоне).

давать нулевой уровень.

Второе слагаемое представляет собой поправку из-

Еще раз отметим, что межзонный вклад δσ_z ис-

за межзонных переходов:

чезает, если в спектре нет точек Дирака. Таким об-

разом, наличие такого вклада в межслоевой прово-

∫

∞

(

)

∑

димости может быть предложено как метод иден-

4πℏe

∂f

δσ_z =

dε

тификации точек Дирака в спектре. Исследование

∂ε

n,k^z -∞

межзонного вклада в бесщелевом случае заслужи-

×W^2n,k

A_n+ (k_z, ε)A_n- (k_z, ε).

(34)

вает отдельного внимания. Особенно это важно, ес-

ли многослойный ТИ содержит магнитные приме-

Понятно, что при наличии зеемановского расщепле-

си, которые за счет нарушения Т-симметрии рас-

ния уровней возникнут дополнительные межзонные

шепляют дираковский спектр на два вейлевских. В

переходы и поправка к проводимости будет иметь

этом случае многослойный ТИ становится вейлев-

более сложный вид.

ским полуметаллом с устойчивыми точками Вейля

Исследуем полученную поправку к межслойной

и соответствующими бесщелевыми нулевыми уров-

проводимости. При низкой концентрации приме-

нями Ландау.

сей (ni → 0) межзонный вклад отличен от нуля

только для нулевого уровня Ландау и только ес-

ли |Δ_S | = |Δ_D| = Δ, т. е. когда в спектре име-

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ется точка Дирака. Действительно, в этом случае

A_n± (k_z, ε) → δ (ε ∓ ǫnkz), а нулевой уровень Ландау

Рассмотренные в данной работе эффекты мо-

ε₀ = ±Δ(k_z) ≈ ±Δdk_z содержит точку Дирака при

гут быть экспериментально исследованы, напри-

k_z = 0, которая и дает ненулевой вклад в интеграл.

мер, в гетероструктуре, состоящей из тонких пленок

В этой точке Дирака

Bi₂Se₃, разделенных тонкими слоями обычных ди-

электриков. В работах [60-62] была продемонстри-

d²Δ

W^20,k

рована возможность выращивать ультратонкие вы-

z =0

2ℏ²

сококачественные пленки Bi₂Se₃. В качестве дру-

Тогда

гих материалов, гетероструктуры из которых мо-

гут выступать кандидатами для надежной провер-

dΔH βµ

δσ =

(35)

ки исследованных эффектов, можно назвать Bi₂Te₃

ℏ3 µπc 4 ch2βµ

и Sb₂Te₃, топологические свойства которых хорошо

Как видно из этого выражения, при нулевой тем-

известны [63-67].

пературе межзонный вклад исчезает. При низких

Как одно из интересных направлений обобщения

температурах (βµ ≫ 1) этот вклад экспоненциаль-

полученных здесь результатов можно отметить ис-

но мал. Однако при выводе этого выражения мы не

следование межслойного транспорта в многослой-

использовали приближение низких температур. При

ных структурах, состоящих из тонких пленок то-

βµ > 1 имеем δσ ∼ βµe^-βµ, а при βµ < 1 экспонен-

пологических изоляторов и сверхпроводников. На-

циальный фактор исчезает δσ ∼ βµ. Эффект исчез-

пример, можно предложить структуру на основе

новения межслойного вклада при отсутствии точек

Bi₂Te₃/NbSe₂ [68], в которой возникают так называ-

Дирака связан с тем, что мы выбрали спектральные

емые майорановские моды, что, по-видимому, суще-

функции в виде дельта-функций, что справедливо

ственно скажется на квантовых осцилляциях межс-

в пределе n_i → 0 (на самом деле имеется в виду

лойного транспорта.

предел большого значения времени рассеяния, что

В заключении отметим, что представляет боль-

часто означает малое число примесей). Физически

шой интерес исследовать влияние магнитных при-

это означает, что усредненное рассеяние электронов

месей на медленные осцилляции в МТИ, т. е. рас-

на примесях слабое и соответствующим уширением

смотреть режим вейлевского полуметалла с нару-

уровней Ландау можно пренебречь. Наличие точ-

шенной Т-симметрией (см., например, [58, 69-71]).

ки Дирака дает бесщелевой нулевой уровень Лан-

Предварительные расчеты показывают, что возни-

дау, через который и возникает межзонный вклад в

кает новая характерная частота модуляции основ-

проводимость. В общем случае исходный дельта-пик

ной моды квантовых осцилляций. Эта частота свя-

спектральной функции уширяется и, строго говоря,

зана со сдвигом конусов Дирака из-за нарушения Т-

408

ЖЭТФ, том 163, вып. 3, 2023

Квантовые осцилляции межслойной проводимости ...

симметрии и определяется расстоянием между точ-

базисе смешивание поверхностей (перескоки между

ками Вейля. Кроме того, при наличии магнитных

ними) дается матрицей Паули τ^x:

примесей более существенными будут поправки к

(

)

(

)

(

)

(

)

проводимости от межзонных и межподзонных пе-

τ^x

реходов. Эти эффекты предмет отдельного рас-

смотрения.

Дельта-функция δ_i,j в этом слагаемом обозначает,

Финансирование. Работа одного из соавто-

что эти перескоки происходят внутри одного слоя.

ров (А. З. З.) выполнена при поддержке Россий-

Оставшиеся члены описывают перекоки между со-

ского научного фонда (грант 22-72-00110), другого

седними слоями ТИ через обычный диэлектрик.

(П. Д. Г.) при поддержке Российского фонда фун-

Слагаемое с τ⁺ обозначает перескоки с нижней по-

даментальных исследований (гранты 21-52-12043 и

верхности данного слоя на верхнюю поверхность

21-52-12027) и в рамках программы стратегического

нижнего соседнего слоя: дельта символ δ_j,i+1 отли-

академического лидерства ¾Приоритет-2030¿ (грант

чен от нуля для переходов j → i = j - 1. Это видно

НИТУ ¾МИСиС¿ № К2-2022-025).

из явного вида матрицы

(

)

τ⁺ =

Приложение A.

Гамильтониан и спектр

(

которая переводит состояние

(соответству-

Гамильтониан гетероструктуры из топологиче-

(

ских изоляторов и пленок из обычных диэлектриков

ющее нижней поверхности) в

0)T (соответству-

может быть записан в виде (см. [58])

ющее верхней поверхности), но не наоборот. А слага-

∑

[

емое с τ^- обозначает перескоки с верхней поверхно-

c^†

υ_F τ^z (z × σ)k_⊥δ_i,j + Δ_Sτ^xδ_i,j +

сти данного слоя на нижнюю поверхность верхнего

k_⊥i

k_⊥,i,j

соседнего слоя: дельта символ δ_j,i-1 отличен от нуля

]

для переходов j → i = j + 1. Матрица

Δ_Dτ⁺δ_j,i+1 +

Δ_Dτ^-δ_j,i-1 c_k

(36)

⊥j.

(

)

τ^- =

Здесь z единичный вектор в направлении Z. То-

гда

(

)T (

[z× σ] · k_⊥ = -σ_yk_x + σ_xk_y,

переводит состояние

1)T , но не на-

оборот.

что есть гамильтониан киральных дираковских

Найдем спектр, соответствующий такому га-

электронов на одной из поверхностей топологиче-

мильтониану. Для этого представим все дельта-

ского изолятора. Запись [z × σ] · k_⊥ соответствует

символы через фурье-образы

киральности, которую можно легко понять с по-

∑

мощью правила левой руки: положите левую руку

eikz(ri-rj)c^†k

[υ_F τ^z (z× σ) k_⊥+

на поверхность стола ладонью вниз. Тогда четыре

⊥i

k_⊥,i,j,kz

вытянутых пальца покажут направление импульса,

]

а отогнутый на 90 град большой палец покажет на-

+Δ_Sτ^x +

Δ_Dτ⁺eikzd +

Δ_D

τ^-e-ikzd c_k

(37)

⊥j,

правление спина. Такая ориентация соответствует

одной киральности. Состояние с противоположной

где мы воспользовались представлением

киральностью можно представить аналогично,

1∑

δ_i,j =

eikz(ri-rj).

только вместо левой руки следует взять правую.

Две поверхности ТИ учитываются матрицей Паули

τ^z, которая содержит два значения кирально-

Здесь r_i±1 = r_i ± d, а N

число слоев. Соответ-

сти. Индексы i, j нумеруют слои топологического

ственно, в импульсном пространстве имеем

(

)

изолятора. Член с Δ_S соответствует перескокам

υ_F (z × σ)k_⊥ Δ_S + Δ_Deikzd

между верхней и нижней поверхностями одного

H_k =

Δ_S + Δ_De-ikzd

-υ_F (z × σ)k_⊥

и того же слоя. Гамильтониан записан в базисе ) ( )(

состояний

^T, которые обозначают

Спектр такого гамильтониана легко найти:

принадлежность к верхней и нижней поверхностям

√

(

)

данного слоя топологического изолятора. В этом

ε_k = ± υ^2F

k^2x + k^2y

+ Δ2 (k_z),

(38)

409

З.З. Алисултанов, Г.О. Абдуллаев, П.Д. Григорьев, Н.А. Демиров

ЖЭТФ, том 163, вып. 3, 2023

где

Δ² (k_z) = Δ^2S + Δ^2D - 2Δ_SΔ_D cosk_zd.

ε² - (Δ_S + Δ_D)²

x_min =

Гамильтониан обладает SO(3) симметрией:

2υ^2F l^-2H

ℏ²

ε² - (Δ_S - Δ_D) ,

e^iτ·φH_ke^-iτ·φ = H_k.

x_max =

2υ^2F l^-2H

ℏ²

Поэтому его можно представить в блочно-

диагональной форме H_k = τ^z

H_k, где

Δ = |Δ_S - Δ_D|, и N = L/d число слоев. Плот-

ность состояний содержит сингулярные точки, ко-

H_k = υ_F (z × σ)k_⊥ + σ_zΔ(k_z).

торые соответствуют минимуму и максимуму коси-

нусоидального профиля уровней Ландау. Например,

Это означает, что достаточно работать с одним из

для нулевого уровня это точки ε^2± = (Δ_S ± Δ_D)².

блоков такой формы.

Это есть не что иное, как сингулярности ван Хова.

Действительно, вблизи своих экстремумов спектр

Приложение B.

становится плоским, что приводит к сингулярности

Плотность состояний, термодинамический

плотности состояний из-за вырожденности уровней

потенциал и намагниченность

Ландау. Чтобы проинтегрировать по x, перейдем к

новой переменной:

Для плотности состояний имеем формулу (5).

Воспользуемся формулой Пуассона

2υ^2F l^-2Hℏ²x + Δ^2S + Δ^2D - ε²

∑

= cosy,

f (0) + 2

f (n) =

2Δ_SΔ_D

n=1

-Δ_SΔ_D siny dy

∞

dx =

∫∞

∫

∑

υ^2F l^-2H

ℏ²

f (x)dx + 4 Re

f (x)e^2πikxdx.

(39)

После элементарного интегрирования получаем

k=1 0

формулу (7).

Рассмотрим осциллирующую и неосциллирующую

Рассмотрим теперь осциллирующую часть

части по отдельности. Для неосциллирующей части

имеем

∫

∑

|ε|

∫

∞

ρ_osc(ε) = 2NN_LL

dk_z ×

∑

ρ₀(ε) =

N_LL

dk_z

δ(ε - ε_x)dx,

(40)

k=1-π

∫

∞

-^πd

α=± 0

δ(ε² - 2υ^2F l^-2Hℏ²x - Δ² (k_z ))e^2πikxdx.

(42)

где N_LL = 1/πl^2H степень вырождения уровней

Ландау. Проводя суммирование по зонному индек-

су, получаем

Проинтегрируем сначала по x:

∫

∑

2LN_LL

|ε|

ρ₀(ε) =

|ε|

dk_z ×

ρ_osc(ε) = 2NN_LL

dk_z ×

k=1-π

-^π

[

]

∫∞

ε² - Δ² (k_z)

(

)

× exp 2πik

ε² - Δ² (k_z)

(43)

× δ(ε² - 2υ^2F l^-2Hℏ²x - Δ² (k_z))dx.

(41)

2υ^2F l^-2H

ℏ²

окончательно дает выраже-

Интегрирование по k_z

Проводя сначала интегрирование по k_z , получим

ние (8).

(

)

Получим теперь выражение для осциллирующей

|ε| Θ

ε² - Δ²

ρ₀(ε) = 2NN_LL

части термодинамического потенциала. Подставляя

πΔ_SΔ_D

в формулу (10) выражение для плотности состоя-

∫

ний, получим

(

)₂

∫

∞

-2

∑

2υ^2F l_H

ℏ²x + Δ^2S + Δ^2D - ε²

xmin

√1 -

Ω_osc = -2NN_LL

εdε ×

(2Δ_SΔ_D)²

k=1 0

410

ЖЭТФ, том 163, вып. 3, 2023

Квантовые осцилляции межслойной проводимости ...

[

]

(

)

(

)

∞

ε² - Δ^2S - Δ^2D

∫

exp iα (yT + µ)² dy

× exp πik

J (k, ε) ln

1+eµTε

υ^2F l^-2H

ℏ²

e^y + 1

(44)

-∞

∑

Введем промежуточные обозначения

= -2πi e^{-2π(2n+1)αTµ} ×

n=0

(

))

πk

Δ^2S + Δ^2D

α=

β =πk

× exp iα µ² + (2n + 1)² π²T²

(48)

υ^2F l^-2Hℏ²

υ^2F l^-2H

ℏ²

где мы воспользовались методом вычетов. Отсюда

При интегрировании по энергиям возникает инте-

грал

∑

I =-

e^{-2π(2n+1)αTµ} ×

∫∞

n=0

[

(

)]

(

))

I = εexp

αε² - β

× exp iα µ² - Δ^2S - Δ^2D

+ (2n + 1)² π²T²

)

(

) (

Подставляя это выражение в термодинамический

×Θ

ε² - Δ² (k_z)

1+eµTε

dε.

(45)

потенциал, интегрируя по k_z и учитывая, что

Представим интеграл в виде

∫

[

]

(

)

Δ_SΔ_D cosk_zd

Δ_SΔ_D

∞

dk_z exp 2πik

=J₀

2πk

∫

(

)

υ^2F l^-2Hℏ²

υ^2F l^-2H

ℏ²

[

(

)]

I =

exp

αε² - β

1+eµTε

dε²

(46)

окончательно получим

Δ(kz )

(

)

и проинтегрируем сначала по частям:

ΔD

∑ J0 2πk ΔS

-2

υ^2F l

ℏ²

∞

Ω_osc = 4NN_LLT

∫

]

-iβ

[µ - Δ(k_z)

eiαε2 dε

k=1

I =-

eiαΔ2(kz) -

(

)

2iα

∑

e^εŦµ + 1

(2n + 1) kT µ

Δ(kz )

exp

-2π²

υ^2F l^-2H

ℏ²

[

∫

∞

]

n=0

-iβ

(

µ - Δ(k_z)

eiα(yT+µ)2 dy

(

))

πk

eiαΔ2(kz) -

×cos

µ² - Δ^2S - Δ^2D

+ (2n + 1)² π²T²

2iα

e^y + 1

-2

−∞

υ^2F l_H

ℏ²

(47)

(49)

В силу быстрой сходимости ряда по n мы прене-

где мы заменили нижний интеграл на -∞, посколь-

брегаем зависимостью осциллирующей части от n.

ку используется приближение^µ-ΔT ≫ 1.

Тогда ряд легко суммируется, и мы получаем выра-

Прежде всего, разберемся с первым слагаемым.

жение (19).

Проводя интегрирование по k_z в термодинамиче-

ском потенциале, находим

Приложение C.

∫π

[

]

Межслойный транспорт

Δ_SΔ_D cosk_zd

e^-iβ

dk_z exp 2πik

eiαΔ2(kz) ×

-2

υ^2F l_H

ℏ²

Исследуем поведение функции I (ε). Для скоро-

сти υ_z из спектра получим

∫

× (µ - Δ (k_z )) = e^-iβ dk_z (µ - Δ (k_z )) e^iβ =

∂εn,kz

dΔ_S Δ_D

sin k_z d

υ_z =

√

ℏ∂k_z

ℏ

2υ^2F l^-2Hℏ²n + Δ² (k_z)

∫π

(50)

= dk_z (µ - Δ (k_z)) .

Используя (2), получим

∂εn,kz

Этот интеграл действителен. Следовательно, вклад

υ_z =

ℏ∂k_z

от первого слагаемого (47) в термодинамический по-

√

(

тенциал равен нулю.

4Δ^2SΔ^2D -

ǫ² - 2υ^2F l^-2Hℏ²n - Δ^2S - Δ²

Далее, рассмотрим интеграл

= -2ℏ

(51)

411

З.З. Алисултанов, Г.О. Абдуллаев, П.Д. Григорьев, Н.А. Демиров

ЖЭТФ, том 163, вып. 3, 2023

√

(

)₂

Используя формулу Пуассона и суммируя по α, по-

2υ^2F l^-2Hℏ²x + Δ^2S + Δ^2D - ε²

лучим

×e^2πikx

(56)

4Δ^2SΔ

∫

∞

L d²

Переходя к новой переменной

I₀ (ǫ) = N_LL

dz dx ×

2πd 4ℏ²

-π

2υ^2F l^-2Hℏ²x + Δ^2S + Δ^2D - ε²

(

)₂

= cosy,

(57)

4Δ^2SΔ^2D -

ǫ² - 2υ²

l^-2Hℏ²x - Δ^2S - Δ²

2Δ_SΔ_D

получаем

(

)

× 2δ

ε² - 2υ^2F l^-2Hℏ²x - Δ² (k_z)

(52)

Iosc (ǫ) =

d²Δ^2SΔ^2D

Интегрируя по z, находим

=NN_LL

πǫυ^2F l^-2H

ℏ⁴

(

))

d²Δ_SΔ_D

∑

I₀ (ǫ) = NN_LL

(ε² -Δ^2S -Δ^2D

2πℏ²

× Re

exp

2πik

√

2υ^2F l^-2H

ℏ²

k=1

(2υ^2F l^-2Hℏ²x+Δ^2S +Δ^2D-ε²)

∫

(

))

4Δ^2S Δ^2D

(Δ_SΔ_D cosy

× dx

(53)

exp

2πik

sin² ydy.

(58)

-2

υ^2F l_H

ℏ²

xmin

Используя формулу

Переходя к новой переменной

∫

(

))

2υ^2F l^-2Hℏ²x + Δ^2S + Δ^2D - ε²

(Δ_SΔ_D cosy

= cosy,

(54)

exp

2πik

sin² ydy =

2Δ_SΔ_D

υ^2F l^-2H

ℏ²

[

]

d²J₀ (a)

получаем

= π J0 (a) +

J₁ (a),

(59)

da²

d²Δ^2sΔ^2D

I₀ (ǫ) = NN

(55)

^LL 4υ^2F l^-2Hℏ⁴ǫ

Δ_SΔ_D

a = 2πk

-2

υ^2F l_H

ℏ²

Рассмотрим теперь осциллирующую часть

получаем

∫

d²

Δ_SΔ_D

∑

Iosc (ǫ) = NNLL

dx ×

πℏ²ǫ

k=1

xmin

(

) (

)

d²

∑

ε² - Δ^2S - Δ^2D

Δ_SΔ_D

Iosc (ǫ) = NNLL

cos

2πk

J₁

2πk

(60)

2πℏ²

2υ^2F l^-2Hℏ²

υ^2F l^-2H

ℏ²

k=1

Итак,

[

(

) (

)]

∑

d²

Δ_SΔ_D πΔ_sΔ_D

ε² - Δ^2S - Δ^2D

Δ_SΔ_D

I (ǫ) = NN_LL

cos

2πk

J₁

2πk

(61)

2πℏ²

2ℏ²l^-2Hυ

2υ^2F l^-2Hℏ²

υ^2F l^-2H

ℏ²

F k=1

Приложение D.

фурье-компонента запаздывающей двухвремен-

Межслойная проводимость с

ной функции Грина, которая в представлении мни-

недиагональным матричным элементом

мых времен записывается в виде

оператора скорости

∫

Получим выражение для статической проводи-

P (q = 0, ω_n) = -

dτeiℏωnτ 〈T_τ [J (τ) , J (0)]〉 ,

мости с помощью формулы Кубо

)

(64)

σ = - lim

ImP^R (ω)

(62)

ω→0

где скобки 〈...〉 обозначают гиббсковское усреднение

и усреднение по примесям.

Здесь

Выражая оператор тока свободных частиц через

операторы вторичного квантования, получим

P^R (ω) = P (q = 0, ω_n)|_iω

(63)

→ω+i0

412

ЖЭТФ, том 163, вып. 3, 2023

Квантовые осцилляции межслойной проводимости ...

∑

Для этого вычислим

P^R (ω_n) =

Vk1k2 Vk^′1k^′ ×₂

k1k2k¹k²σ1σ2

∑

S₁₂ (ω_n) =

G₁ (ζ_s)G₂ (ζ_s - ℏω_n),

(69)

× KRω (k₁σ₁,k₂σ₁;k^′1σ₂,k^′2σ₂,).

(65)

s=-∞

Здесь Kωn (k₁σ₁, k₁σ₁; k₂σ₂, k₂σ₂)

фурье-образ

где индексы соответствуют импульсам. Рассмотрим

двухчастичной функции Грина

интреграл в комплексной плоскости

K_τ (1, 2; 1^′, 2^′) = - 〈T_τ [a₁ (τ) a₂ (τ) a₁′ (0)a₂′ (0)]〉,

I₁₂ (ω_n) =

f (z)G₁ (z)G₂ (z - iℏω_n),

(70)

(66)

2πiC

где контур C охватывает все полюса функции рас-

где 1 = k1, σ1. В первом приближении величину

пределения f (z), т. е. точки zs = iζs, а функции

P^R (ω_n) можно представить с помощью диаграммы,

G_1,2 (z) это аналитические продолжения функций

приведенной на рис. 3. Тогда получаем

Грина с дискретных точек z_s = iζ_s на всю комплекс-

∑

ную плоскость. Тогда по теореме о вычетах имеем

P^R (ω_n) =

Vk1k2 Vk2k1 ×

I₁₂ (ω_n) = -S₁₂ (ω_n).

(71)

k1k2

∫β

С другой стороны, мы можем изменить контур, учи-

× dτeiℏωnτ G (k₁, -τ) G (k₂, τ) ,

(67)

тывая особенности функций Грина G₁, G₂. Изучим

эти особенности.

где мы учли равенство

Функцию Грина G (z) можно представить через

спектральную плотность в виде

G₁₂ (τ) = δ₁₂G(k₁, τ),

∞

∫

ρ_k (ε)

G(z) = dε

(72)

справедливое при усреднении по примесям. Функ-

z-ε

-∞

ция G (k₁, τ) получена при разложении по всем

несвязанным диаграммам по примесному потенци-

Этот интеграл представляет собой интеграл Коши,

алу.

причем контур проходит по действительной оси.

Следовательно, действительная ось является осо-

бенностью, на которой функция Грина не являет-

ся аналитической. Причем по обе стороны от этой

оси аналитическими являются функции G^R (z) в

верхней полуплоскости и G^A (z) в нижней полу-

плоскости. Аналогично, для функции G₂ (z - iℏω_n)

такой особенностью является прямая Imz - ℏω_n = 0.

Эти особенности должны быть исключены из ком-

плексной плоскости разрезами, путем изменения со-

Рис. 3. Диаграммное представление величины P^R (ωn)

ответствующим образом контура интегрирования.

Поскольку G(z) ∼ z^-1 при z → ∞, соответству-

Стандартное разложение функций Грина в ряд

ющие вклады от участков окружности исчезают и

Фурье дает

интеграл определяется только берегами разрезов.

Тогда

∑

∫

P^R (ω_n) =

Vk1k2 Vk2k1 ×

dε^′f (ε^′) G^R1 (ε^′) G^A2 (ε^′ - iℏω_n) +

k1k2

2πi

∑

∞+iℏωn

G (k₁, ζ_s) G (k₂, ζ_s - ℏω_n) ,

(68)

∫

s=-∞

dε^′f (ε^′) G^R1 (ε^′) G^R2 (ε^′ - iℏω_n) =

2πi

что позволяет рассчитать сумму

-∞+iℏωn

∫

∑

G(k, ζ_s)G(k, ζ_s - ℏω_n).

dεf (ε + iℏω_n) G^R1 (ε + iℏω_n) G^A2 (ε) +

2πi

s=-∞

∞

413

З.З. Алисултанов, Г.О. Абдуллаев, П.Д. Григорьев, Н.А. Демиров

ЖЭТФ, том 163, вып. 3, 2023

∞

[

]_-1

∫

2e² ∑

dεf (ε + iℏω_n) G^R1 (ε + iℏω_n) G^R2 (ε) .

(73)

ImP^R (ω)

Vk1k2 Vk2k1

2πi

−∞

k1k2

∫

∞

[

]

Учитывая, что f (ε + iℏω_n) = f (ε), получаем

= dεf (ε) Ak1 (ε) Im

G^Rk

(ε + ℏω) + GA (

ε - ℏω)

−∞

S₁₂ (ω_n) =

∞

∫

∞

∫

[

]

= dεf (ε) Ak1 (ε) [Ak2 (ε + ℏω) - Ak2 (ε - ℏω)] =

dεf (ε)

G^R1 (ε) - G^A1 (ε)

G^A2 (ε - iℏω_n) -

2πi

-∞

∞

∫

∞

∫

[

]

= - dεf (ε)Ak1 (ε)Ak2 (ε + ℏω) +

dεf (ε) G^R1 (ε + iℏω_n)

G^R2 (ε) - G^A2 (ε)

2πi

-∞

∞

(74)

∫

dεf (ε + ℏω) Ak1 (ε + ℏω) Ak2 (ε) .

(79)

Аналитическое продолжение в верхнюю полуплос-

−∞

кость дает

Переобозначая во втором слагаемом k₁ ⇋ k₂, полу-

S₁₂ (ω) =

чим

∫

∞

[

]

2πe² ∑

dεf (ε)

G^Rk

(ε) - G^Ak

(ε)

G^A (ε - ℏω) -_k

ImP^R (ω) = -

Vk1k2 Vk2k1 ×

2πi

−∞

k1k2

∞

∫

∞

∫

[

]

× dε [f (ε) - f (ε + ℏω)] Ak1 (ε) Ak2 (ε + ℏω) .

dεf (ε) G^Rk

(ε + ℏω)

G^Rk

(ε) - G^A (ε)

2πi

-∞

−∞

(80)

(75)

Итак,

Учитывая выражение для спектральной плотности

∑

2πℏe²

-2πiA₁ (ε) = G^R1 (ε) - G^A1 (ε)

(76)

σ=

Vk1k2 Vk2k1 ×

k1k2

и опуская индексы, подставим эту функцию в ана-

∫

∞

(

)

∂f

литическое продолжение P^R(1) (ω):

× dε

Ak1 (ε)Ak2 (ε).

(81)

∂ε

∑

−∞

2e² ∑

P^R (ω) =

Vk1k2 Vk2k1 S12 (ω) =

Для межслойной проводимости, соответственно, по-

k1k2

лучаем

∫

∞

[

∞

∫

(

)

dεf (ε) Ak1 (ε) G^A (ε - ℏω) +_k

∂f

× Vk1k2Vk2k1

σ_zz = dε

Σ_zz (ε),

(82)

-∞

∂ε

−∞

∫∞

]

где

dεf (ε) Ak2 (ε) G^R (ε + ℏω) .

(77)

+ Vk1k2Vk2k1

-∞

2πℏe² ∑

Σ_zz (ε) =

Vzk

Ak1 (ε)Ak2 (ε).

(83)

1k2

2k1

k1k2

Меняя обозначения k₁ ⇋ k₂ во втором слагаемом в

этом выражении, находим

В случае диагональных матричных элементов ско-

ростей получаем выражение

∑

P^R (ω) =

Vk1k2 Vk2k1 ×

2πℏe² ∑

Σ_zz (ε) =

|V^zk|² A^2k (ε) .

(84)

k1k2

∫∞

[

]

× dεf (ε) Ak1 (ε)

G^Ak

(ε - ℏω) + G^R (ε + ℏω)

В случае малого числа примесей n_i можно показать,

−∞

что

(78)

δ (ε - ε_k)

lim

A^2k (ε) ≈

τ (ε) ,

ni→0

2π

Для мнимой части получаем

и мы приходим к формуле (14).

414

ЖЭТФ, том 163, вып. 3, 2023

Квантовые осцилляции межслойной проводимости ...

ЛИТЕРАТУРА

17.

S. E. Sebastian and C. Proust, Annu. Rev.

Condens. Matter Phys. 6, 411 (2015).

М. В. Карцовник, П. А. Кононович, В. Н. Лау-

хин, И. Ф. Щеголев, Письма в ЖЭТФ 48, 498

18.

S. E. Sebastian, N. Harrison, and G. G. Lonzarich,

(1988) [Sov. Phys. JETP Lett. 48, 541 (1988)].

Rep. Prog. Phys. 75, 102501 (2012).

19.

B. Vignolle, D. Vignolles, M.-H. Julien, and

М. В. Карцовник, П. А. Кононович, В. Н. Лау-

C. Proust, C. R. Phys. 14, 39 (2013).

хин, С. И. Песоцкий, И. Ф. Щеголев, ЖЭТФ 97,

1 305 (1990) [JETP 70, 735 (1990)].

20.

S. E. Sebastian,

N. Harrison,

P. A. Goddard,

M. M. Altarawneh,

C. H. Mielke,

R. Liang,

M. V. Kartsovnik et al., J. Phys. I France 2, 89

D. A. Bonn, W. N. Hardy, O. K. Andersen, and

(1992)

G. G. Lonzarich, Phys. Rev. B 81, 214524 (2010).

J. Wosnitza et al., Synth.Metals 85, 1479 (1997).

21.

E. A. Yelland, J. Singleton, C. H. Mielke, N. Harri-

E. Ohmichi et al., Phys. Rev. B 57, 7481 (1998).

son, F.F. Balakirev, B. Dabrowski, and J.R. Coo-

per, Phys.Rev.Lett. 100, 047003 (2008).

P.D. Grigoriev, M.V. Kartsovnik, W. Biberacher,

N.D. Kushch, and P. Wyder, Phys. Rev. B

65,

22.

B.S. Tan, N. Harrison, Z. Zhu, F. Balakirev,

060403(R) (2002).

B.J. Ramshaw, A. Srivastava, S.A. Sabok-Sayr,

B. Dabrowski, G.G. Lonzarich, and S.E. Se-

J. Wosnitza, Fermi Surfaces of Low-Dimensional

bastian, Proc. Natl. Acad. Sci. USA

112,

9568

Organic Metals and Superconductors, Springer-

(2015).

Verlag, Berlin, Hei- delberg (1996).

23.

T. Helm, M. V. Kartsovnik, M. Bartkowiak, N. Bit-

T. Ishiguro, K. Yamaji and G. Saito, Organic

tner, M. Lambacher, A. Erb, J. Wosnitza, and

Superconductors,

2nd Edition, Springer-Verlag,

R. Gross, Phys. Rev. Lett. 103, 157002 (2009).

Berlin (1998).

24.

T. Helm, M. V. Kartsovnik, C. Proust, B. Vignol-

The Physics of Organic Superconductors and

le, C. Putzke, E. Kampert, I. Sheikin, E.-S. Choi,

Conductors, ed. by A. G. Lebed, Springer-Verlag,

J.S. Brooks, N. Bittner, W. Biberacher, A. Erb,

Berlin, Heidel- berg (2008).

J.Wosnitza, and R. Gross, Phys. Rev. B 92, 094501

10.

M. V. Kartsovnik, Chem. Rev. 104, 5737 (2004).

(2015).

11.

M. V. Kartsovnik, P. D. Grigoriev, W. Biberacher,

25.

T. Terashima, N. Kurita, M. Tomita, K. Kihou,

C.-H. Lee, Y. Tomioka, T. Ito, A. Iyo, H. Eisaki,

N. D. Kushch, and P. Wyder, Phys. Rev. Lett. 89,

T. Liang, M. Nakajima, S. Ishida, S.-I. Uchida,

126802 (2002).

H. Harima, and S. Uji, Phys. Rev. Lett.

107,

12.

P. D. Grigoriev, M. V. Kartsovnik, and W. Bibera-

176402 (2011).

cher, Phys. Rev. B 86, 165125 (2012).

26.

A. I. Coldea, D. Braithwaite, and A. Carrington,

13.

N. Tajima, T. Yamauchi, T. Yamaguchi, M. Suda,

C. R. Phys. 14, 94 (2013).

Y. Kawasugi, H. M. Yamamoto, R. Kato, Y. Ni-

27.

T. Terashima, N. Kikugawa, A. Kiswandhi, E.-

shio and K. Kajita, Phys. Rev. B

88,

075315

S. Choi, J. S. Brooks, S. Kasahara, T. Watashige,

(2013).

H. Ikeda, T. Shibauchi, Y. Matsuda, T. Wolf,

14.

E. Tisserond et al., Europhys. Lett. 119, 67001

A. E. Böhmer, F. Hardy, C. Meingast, H. v. Löh-

(2017).

neysen, M.-T. Suzuki, R. Arita, and S. Uji, Phys.

Rev. B. 90, 144517 (2014).

15.

N. Doiron-Leyraud, C. Proust, D. LeBoeuf, J. Le-

vallois, J.-B. Bonnemaison, R. Liang, D. A. Bonn,

28.

Superlattices and Other Heterostructures, by

W. N. Hardy, and L. Taillefer, Nature 447, 565

E. L. Ivchenko and G. E. Pikus, Springer Berlin,

(2007).

Heidelberg (1997); https://doi.org/10.1007/978-3-

642-60650-2.

16.

S. E. Sebastian, N. Harrison, E. Palm, T. P. Mur-

phy, C. H. Mielke, R. Liang, D. A. Bonn, W. N. Har-

29.

K. Enomoto, S. Uji, T. Yamaguchi, T. Terashima,

dy, and G. G. Lonzarich, Nature (London) 454,

T. Konoike, M. Nishimura, T. Enoki, M. Suzuki,

200 (2008)

and I. S. Suzuki, Phys. Rev. B 73, 045115 (2006).

415

З.З. Алисултанов, Г.О. Абдуллаев, П.Д. Григорьев, Н.А. Демиров

ЖЭТФ, том 163, вып. 3, 2023

30.

Lei et al., Sci.Adv. 6, 6407 (2020).

52.

D. Shoenberg, Magnetic Oscillations in Metals,

Cambridge University, Cambridge, England,

31.

P. D. Grigoriev, A. A. Sinchenko, P. Lejay,

(1984).

A. Hadj-Azzem, J. Balay, O. Leynaud, V. N. Zve-

rev, and P. Monceau, Eur.Phys.J.B

89,

151

53.

Bodo Huckestein Rev.Mod.Phys. 67, 357 (1995).

(2016).

54.

S. A. J. Wiegers, M. Specht, L. P. Levy, M. Y. Sim-

32.

В. М. Гвоздиков, ФТТ

26,

2574

(1984)

mons, D. A. Ritchie, A. Cavanna, B. Etienne,

[Sov. Phys. Solid State 26(9), 1560 (1984).

G. Martinez, and P. Wyder, Phys. Rev. Lett. 79,

3238 (1997).

33.

T. Maniv and I. D. Vagner, Phys. Rev. B 38, 6301

(1988).

55.

А. А. Быков, Письма в ЖЭТФ 88, 70 (2008).

34.

P. Grigoriev, I. Vagner, Письма в ЖЭТФ, 69, 139

56.

А. А. Быков, Д. В. Номоконов, А. В. Горан и др.

(1999) [JETP Lett 69, 156 (1999)].

Письма в ЖЭТФ 114, 486 (2021).

35.

P. Moses and R. H. McKenzie, Phys. Rev. B 60,

57.

G. M. Minkov, O. E. Rut, A. A. Sherstobitov,

7998 (1999).

S. A. Dvoretski, N. N. Mikhailov, V. A. Solov’ev,

M. Yu. Chernov, S. V. Ivanov, and A. V. Germa-

36.

T. Champel and V. P. Mineev, Philos. Mag. B 81,

55 (2001).

nenko Phys. Rev. B 101, 245303 (2020).

37.

P. D. Grigoriev, ЖЭТФ 119, 1257 (2001) [JETP

58.

A. A. Burkov and Leon Balents, Phys. Rev. Lett.

92, 1090 (2001)].

107, 127205 (2011)

38.

T. Champel, Phys. Rev. B 64, 054407 (2001).

59.

A. A. Zyuzin, Si Wu, and A. A. Burkov, Phys.

Rev. B 85, 165110 (2012)

39.

T. Champel and V. P. Mineev, Phys. Rev. B 66,

195111 (2002).

60.

G. Zhang et al., Appl. Phys. Lett.

95,

053114

(2009)

40.

P. D. Grigoriev, Phys. Rev. B 67, 144401 (2003).

61.

H. Peng et al., Nature Mater. 9, 225 (2009)

41.

V. M. Gvozdikov, Yu. V. Pershin, E. Steep,

A. G. M. Jansen, and P. Wyder, Phys. Rev. B 65,

62.

Y. Zhang et al., Nature Phys. 6, 584 (2010)

165102 (2002).

63.

W. Zhang, R. Yu, H.-J. Zhang, X. Dai, and

42.

C. Bergemann, S. R. Julian, A. P. Mackenzie, S. Ni-

Zh. Fang, New J. Phys., 12(6), 065013 (2010).

shiZaki, and Y. Maeno, Phys. Rev. Lett. 84, 2662

64.

Ch.-X. Liu, X.-L. Qi, H. J. Zhang, X. Dai,

(2000).

Zh. Fang, and Sh.-Ch. Zhang, Phys. Rev. B 82(4),

43.

P. D. Grigoriev, Phys. Rev. B 81, 205122 (2010).

045122 (2010)

44.

P. D. Grigoriev, Phys. Rev. B 83, 245129 (2011).

65.

J. Linder, T. Yokoyama, and A. Sudbø, Phys.

45.

P. D. Grigoriev, Phys. Rev. B 88, 054415 (2013).

Rev. B 80, 205401 (2009).

46.

P. D. Grigoriev and T. I. Mogilyuk, Phys. Rev. B

66.

C. Liu, H. Zhang, B. Yan, X. Qi, T. Frauenheim,

90, 115138 (2014).

X. Dai, Z. Fang, and S. Zhang, Phys. Rev. B 81,

041307 (2010)

47.

P. D. Grigoriev and T. I. Mogilyuk, Phys. Rev. B

95, 195130 (2017).

67.

H. Lu, W. Shan, W. Yao, Q. Niu, and S. Shen,

Phys. Rev. B 81, 115407 (2010)

48.

P. D. Grigoriev and T. Ziman, Phys. Rev. B 96,

165110 (2017).

68.

J.-P. Xu, M.-X. Wang, Zh. L. Liu et. al., Phys. Rev.

Lett. 114, 017001 (2015)

49.

T. I. Mogilyuk and P. D. Grigoriev, Phys. Rev. B

98, 045118 (2018).

69.

N. P. Armitage, E. J. Mele, and A. Vishwanath,

Rev. Mod. Phys. 90, 015001 (2018)

50.

A. A. Abrikosov, Fundamentals of the Theory of

Metals, North Holland, Amsterdam (1988).

70.

З.З Алисултанов, ЖЭТФ

152

986

(2017)

[Z. Z. Alisultanov, JETP 125, 836 (2017)].

51.

J.M. Ziman, Principles of the Theory of Solids,

Cambridge University, Cambridge, England,

71.

Z.Z. Alisultanov, Sci.Rep. 8, 13707 (2018)

(1972).

416