ЖЭТФ, 2023, том 163, вып. 3, стр. 375-386

НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ГЕЙЗЕНБЕРГОВСКОГО

ФЕРРОМАГНЕТИКА НА ПОЛУОСИ

В. В. Киселев^*

Институт физики металлов им. М. Н. Михеева Уральского отделения Российской академии наук

620041, Екатеринбург, Россия

Физико-технологический институт, Уральский федеральный университет

620002, Екатеринбург, Россия

Поступила в редакцию 6 октября 2022 г.,

после переработки 8 ноября 2022 г.

Принята к публикации 8 ноября 2022 г.

В рамках модели Ландау- Лифшица методом обратной задачи рассеяния изучена нелинейная динами-

ка полубесконечного изотропного ферромагнетика при частичном закреплении спинов на краю образца,

а также в предельных случаях полного закрепления поверхностных спинов и в отсутствие такового.

Предсказаны два типа солитонов. Первые из них представляют локализованные около поверхности об-

разца колебания намагниченности с дискретными частотами. Второй класс содержит движущиеся ча-

стицеподобные объекты с деформируемыми ядрами, которые упруго отражаются от границы образца и

на больших расстояниях от нее принимают форму типичных солитонов протяженного ферромагнетика.

Найдены условия образования поверхностных солитонов. Проанализированы особенности столкновения

солитонов с границей образца при разных степенях закрепления спинов на поверхности. Получена серия

новых законов сохранения, которые гарантируют выполнение солитонами требуемых краевых условий,

обеспечивают локализацию солитонов около поверхности образца или же отражение от нее.

DOI: 10.31857/S0044451023030094

ние солитонов от концов стержня [2]. Такие же яв-

EDN: QEPHBW

ления должны сопутствовать движению солитонов

в магнитных пленках [3].

Для моделей, допускающих L-A-пару, полное

1. ВВЕДЕНИЕ

решение начально-краевых задач на полуоси (при

0 ≤ x < ∞, где x пространственная координа-

Многие нелинейные модели теории магнетизма

та), возможно лишь для выделенного класса гра-

допускают представление в виде условия коммута-

ничных условий, которые называют интегрируемы-

тивности двух дифференциальных операторов [1].

ми [4-7]. При таких условиях задача на полуоси по

Такое представление (L-A-пара) позволяет с помо-

определенной симметрии продолжается на всю ось

щью метода обратной задачи рассеяния аналитиче-

-∞ < x < ∞ и далее решается техникой обрат-

ски описать многообразие магнитных солитонов и

ной задачи рассеяния, которая является обобщени-

нелинейных волн в протяженных образцах. К сожа-

ем метода изображений, используемого в электро-

лению, эта техника мало пригодна для образцов ко-

статике для решения краевых задач с определенной

нечных размеров. Поэтому к настоящему времени

пространственной симметрией.

свойства солитонов вблизи границ образцов практи-

Далее мы будем следовать процедуре, предло-

чески не изучены. Между тем, ядра солитонов не яв-

женной для построения решений нелинейного урав-

ляются жесткими. В ходе взаимодействия с поверх-

нения Шредингера на интервале 0 ≤ x < ∞ с ин-

ностью образца солитоны меняют свою структу-

тегрируемыми краевыми условиями [8, 9]. Преиму-

ру и динамические свойства. В нелинейно-упругих

щество метода не только в прямой связи с тра-

стержнях экспериментально наблюдается отраже-

диционной схемой метода обратной задачи рассея-

ния, но и в том, что в отличие от других подхо-

^* E-mail: kiseliev@imp.uran.ru

дов [5, 10], он открывает принципиальную возмож-

375

ЖЭТФ, вып. 3

В. В. Киселев

ЖЭТФ, том 163, вып. 3, 2023

ность полного описания квазиодномерных магнит-

спинов на границе x = 0 образца. При β = 0 оно

ных солитонов и спиновых волн в полубезграничных

отвечает задаче при свободных краевых спинах:

образцах. Для гейзенберговского ферромагнетика и

ферромагнетиков с квадратичной по намагниченно-

[n × ∂_xn]|_x=0 = 0.

(6)

сти анизотропией допустимый класс интегрируемых

граничных условий установлен в работе [11].

При |β| → ∞ условие (4) соответствует полному за-

В настоящей работе мы изучим квазиодномер-

креплению спинов на границе образца:

ные солитоны и спиновые волны в полубесконечном

образце гейзенберговского ферромагнетика с энер-

n₃|_x=0 = ±1.

(7)

гией

∞

∫

Выбор знака в правой части (7) конкретизируем в

H =

dx(∂_xM)² + βM₃(x = 0,t).

ходе дальнейшего анализа.

Отметим, что в работе [12] было предсказано и

проанализировано простейшее нелинейное возбуж-

Здесь M(x, t)

намагниченность среды (причем

дение, локализованное вблизи конца полуограничен-

M²(x, t) = M²⁰ = const), α > 0 обменная посто-

ной спиновой цепочки. Рассмотренная модель в кон-

янная, βe

внешнее магнитное поле вдоль края

тинуальном приближении эквивалентна уравнению

x = 0 образца или эффективное поле поверхност-

Ландау - Лифшица для ферромагнетика со слабой

ных спинов, e = (0, 0, 1), 0 ≤ x < ∞ и 0 ≤ t < ∞

анизотропией типа ¾легкая ось¿. Ее приближенное

пространственная координата и время.

решение найдено при динамическом краевом усло-

Введем нормированный вектор ферромагнетиз-

вии, учитывающем отсутствие у краевого спина со-

ма n = -M/M₀ и с помощью масштабных преобра-

седей в области x < 0. В данной работе обсуждается

зований

нелинейная динамика изотропного ферромагненти-

ка на полуоси 0 < x < ∞ с краевыми условиями,

x^′ = x/√α, t′ = γM0t, β′ = β/(M0√α)

которые описывают частичное закрепление спинов

перейдем к безразмерным переменным. Тогда энер-

на границе образца.

гия системы примет вид

Статья организована следующим образом. В

разд. 2 приведены формулы, необходимые для ана-

литического описания солитонов и волн в полу-

H^′ =

M²⁰

√α

бесконечном гейзенберговском ферромагнетике. В

∫

∞

разд. 3 построены и исследованы два новых класса

dx′ (∂_x′n)² - β^′n₃(x^′ = 0,t^′).

(1)

солитонов. Первый из них содержит мультисолито-

ны, локализованные вблизи границы x = 0 образца.

Они обладают специфическими частотами и особен-

Распределениям намагниченности в образце соот-

ностями модуляции. Второй класс это движущи-

ветствуют решения уравнения Ландау - Лифшица:

еся частицеподобные объекты, которые испытыва-

ют упругие столкновения друг с другом и с грани-

∂_t′ n = [n × ∂^2x′ n], n² = 1,

(2)

цей образца. В разд. 4 выполнено разделение пере-

менных, после которого все интегралы движения в

где 0 ≤ x^′ < ∞, 0 ≤ t^′ < ∞, с интегрируемыми

полубесконечном образце записываются в виде сум-

краевыми условиями

мы дискретных вкладов от солитонов и квазичастиц

n → e,

∂_xn → 0

при x^′ → +∞,

(3)

непрерывного спектра спиновых волн. Найдены до-

полнительные законы сохранения, которые гаранти-

[n × (∂_x′ n + β^′e)]|_x′₌₀ = 0

(4)

руют выполнение солитонами верных краевых усло-

и заданным начальным возмущением поля намагни-

вий.

ченности:

n(x^′, t^′ = 0) = n₀(x^′).

(5)

Далее ¾штрихи¿ над безразмерными переменными

2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

опускаем.

При конечных значениях β = 0 смешанное кра-

Для включения начально-краевой задачи (2)-(5)

евое условие (4) учитывает частичное закрепление

в классическую схему метода обратной задачи рас-

376

ЖЭТФ, том 163, вып. 3, 2023

Нелинейная динамика гейзенберговского ферромагнетика на полуоси

сеяния поле n(x, t) продолжим четным образом на

где это не вызывает недоразумений, не указываем

отрицательную полуось:

зависимость матричных функций от времени t.

{

В [11] показано, что связь (9) эквивалентна ра-

n(x, t),

x ≥ 0,

венству

S(x, t) =

(8)

n(-x, t), x < 0.

A₊(λ)K(λ) - K(λ)A_-(λ) = 0,

(13)

Полученное распределение S(x, t) будет непрерыв-

где A_±(λ) ≡ A(x, λ)|_x=±0, K(λ) = λI + i βσ₃. Сле-

ным, но его производные могут иметь скачки в точке

дуя [8,9], для учета ограничения (13) модифицируем

x = 0. Новое поле S(x,t), как и прежнее n(x,t), удо-

матрицу трансляции вдоль оси x:

влетворяет уравнению Ландау - Лифшица (2) при

x = 0. Краевое условие (4) для n(x,t) в терминах

T (x, y, λ) =

S(x, t) принимает смысл связи:



T0(x, y, λ),

xy > 0,

[S × (Δ∂_xS + 2βS₃ e)]|_x=0 = 0,

(9)

x>0>y,

=T0(x,+0,λ)K(λ)T0(-0,y,λ),

где

T₀(x, -0, λ)K^-1(λ)T₀(+0, y, λ), x < 0 < y,

(14)

S₃|_x=0 = n₃|_x=+0,

Новая матрица переноса не является унимодуляр-

Δ∂_xS = ∂_xn|_x=+0 - ∂_xn|_x=-0 = 2∂_xn|_x=+0.

ной:

Напомним, что в отсутствие связи (9), когда все

det T (x, y, λ) = [λ² + β²]^{(signx-signy)/2}.

(15)

производные функции S(x, t) непрерывны в точке

x = 0, уравнение Ландау-Лифшицадля расчета по-

Для нее справедливы соотношения

ля S(x, t) на оси -∞ < x < ∞ эквивалентно условию

коммутативности двух операторов [13]:

T (x, x, λ) = I при x = 0,

T (x, y, λ) = T^-1(y, x, λ),

(16)

[∂_x - L, ∂_t - A] = 0,

(10)

T (+0, -0, λ) = T^-1(-0, +0, λ) = K(λ).

где

Важно, что коммутационное представление (10)

уравнения Ландау - Лифшица при x = 0:

S_kσ_k, A =

(-λ²S_p + λ[S × ∂_xS]) σ_p,

∂_tS = [S × ∂^2xS], S2 = 1,

(17)

σ_k

матрицы Паули (k = 1, 2, 3), по дважды по-

вторяющимся индексам проводится суммирование,

вместе со связью (9) эквивалентны уравнениям

λ комплексный спектральный параметр. Соотно-

∂_xT(x, y, λ) = L(x, λ)T(x, y, λ),

шение (10) можно переписать в проинтегрирован-

ном виде:

∂_yT(x, y, λ) = -T(x, y, λ)L(y, λ),

(18)

∂_tT(x, y, λ) = A(x, λ)T(x, y, λ) - T(x, y, λ)A(y, λ),

∂_tT₀(x, y, λ) =

которые совпадают с таковыми для прежней мат-

= A(x, λ) T₀(x, y, λ) - T₀(x, y, λ)A(y, λ).

(11)

рицы переноса T₀(x, y, λ) в случае дифференцируе-

мого поля S(x, t). Это позволяет включить краевую

Здесь T₀(x, y, λ) матрица трансляции вдоль оси x.

задачу (2)-(5) на полуоси в схему обратной задачи

Она определяется уравнением

рассеяния на всей оси -∞ < x < ∞.

∂_xT₀(x, y, λ) = L(x, λ)T₀(x, y, λ)

(12)

Введем матричные функции Йоста прямой зада-

чи рассеяния:

с условием T₀(x, x, λ) = I, где I единичная мат-

[

(

)]

рица. Из уравнения (12) с учетом нормировки T₀ и

iλy

T_±(x, λ, t) = lim

T (x, y, λ) exp

σ₃

y→±∞

бесследовости матрицы L следует унимодулярность

(19)

матрицы трансляции:

det T_±(x, λ) = [λ² + β²]^{(signx∓1)/2}.

det T₀(x, y, λ) = 1.

Они служат базисными решениями вспомогатель-

ной линейной системы

Кроме того, T₀(x, y, λ = 0) = I при любых значе-

ниях x и y. Для упрощения формул здесь и далее,

∂_xT_± = L(λ)T_±

(20)

377

В. В. Киселев

ЖЭТФ, том 163, вып. 3, 2023

с асимптотиками

которое отличается от имевшегося для поля S(x, t)

(

)

без особенности в точке x = 0 [13].

iλxσ₃

T_±(x, t, λ) → exp

при x → ±∞,

На вещественной λ-оси функции T_±(x, λ) осцил-

лируют. Поэтому значения λ ∈ R соответствуют

(21)

непрерывному спектру задачи (20), (21).

которые согласованы с краевым условием (3) для

Первый T^(1)-(x, λ) и второй T⁽²⁾⁺(x, λ) столбцы ре-

уравнения Ландау - Лифшица (2) при x → +∞.

шений Йоста аналитически продолжаются с веще-

Свойства симметрии матриц K(λ), A(λ), L(λ)

ственной оси в область Imλ > 0. Второй T^(2)-(x, λ)

K^∗(λ^∗) = σ₂K(λ)σ₂,

и первый T⁽¹⁾⁺(x, λ) столбцы будут аналитическими

A^∗(λ^∗) = σ₂A(λ)σ₂,

функциями в нижней полуплоскости Imλ < 0, кро-

L^∗(λ^∗) = σ₂L(λ)σ₂

ме, возможно, простых полюсов функции T₊(x, λ)

при x < 0 в точках λ = ±iβ, унаследованных от

приводят к первому ограничению на решения Йо-

матрицы K^-1(λ) (см. (14), (19)).

ста:

Связь решений Йоста (24) приводит к формуле

T^∗±(x, λ^∗) = σ₂T_±(x, λ)σ₂,

(22)

(1)

det[T_-

(x, λ), T⁽²⁾⁺(x, λ)]

которое совпадает с таковым для поля S(x, t) без

a(λ) =

det T₊(x, λ)

особенности в точке x = 0.

Четность продолжения (8) проявляется в допол-

= [λ² + β²]^(1-signx)/2 det[T^(1)-(x, λ), T⁽²⁾⁺(x, λ)].

(27)

нительной симметрии матриц:

Отсюда заключаем, что функция a(λ) допускает

аналитическое продолжение с вещественной λ-оси

A(-x, -λ) = A(x, λ),

в область Imλ > 0, где в общем случае имеет ну-

L(-x, -λ) = -L(x, λ),

ли, которые будем предполагать простыми. Кро-

(λ² + β²)K^-1(λ) = -K(-λ),

ме того, она может иметь нуль в точке λ = i|β|

(см. (14), (19)). Как и в задаче без особенностей поля

которая дает вторую редукцию для решений Йоста:

S(x, t) [1,13], элемент a(λ) матрицы перехода анали-

T_±(x, λ) = ±signxT_∓(-x, -λ)[λ² + β²]^{(signx∓1)/2}.

тически продолжается с вещественной λ-оси в об-

ласть Im λ < 0, где выражается через a(λ^∗) (25):

(23)

На вещественной λ-оси решения Йоста связаны

a(λ) = a^∗(λ^∗).

(28)

матрицей перехода T (λ):

Редукции (22), (23) на решения Йоста порожда-

T_-(x, λ) = T₊(x, λ)T(λ).

(24)

ют дополнительную симметрию элемента a(λ) мат-

рицы перехода:

Ее алгебраическую структуру определяют свой-

ства (19), (22), (23)

a^∗(-λ^∗) = -a(λ), Imλ > 0.

(29)

(

)

Следствием (29) будут ограничения на положения

a(λ)

-b(λ)

T (λ) =

нулей λ = λ_j функции a(λ), которых не было в за-

b(λ)

a(λ)

даче без особенностей поля S(x, t) в точке x = 0.

a(λ)a(λ) + b(λ)b(λ) = λ² + β²,

(25)

Нули либо являются чисто мнимыми:

a(λ) = a^∗(λ),

b(λ) = b^∗(λ), a^∗(-λ) = -a(λ),

λ_j = {i ν_s}. ν_s > 0, s = 1, 2, . . .M,

(30)

b(-λ) = b(λ), λ ∈ R.

либо входят парами:

Далее мы обоснуем (25) и конкретизируем приведен-

λ_j = {λ_k, -λ^∗k}, Im λ_k > 0,

ные в (28), (29) аналитические продолжения с веще-

k = 1,2,...N, j = 1,2,...2N.

(31)

ственной λ-оси редукций на функции a(λ), a(λ).

Учитывая, что

Полюсы функции a(λ) совпадают с нулями a(λ). Со-

гласно (28), они находятся в точках λ = λ^∗j.

T₀(x, y, λ = 0) = I, K(λ = 0) = i σ₃ β,

Из представления

(27) следует, что условие

из представлений (14), (19), (24) получаем нормиро-

a(λ_j ) = 0 означает пропорциональность столбцов

вочное условие для матрицы перехода:

T^(1)-(x, λ_j) и T⁽²⁾⁺(x, λ_j):

T (λ = 0) = i σ₃ β,

(26)

T^(1)-(x, λ_j) = γ(λ_j)T⁽²⁾⁺(x, λ_j).

(32)

378

ЖЭТФ, том 163, вып. 3, 2023

Нелинейная динамика гейзенберговского ферромагнетика на полуоси

Формула (32) определяет столбцы - решения вспо-

которое зависит только от четности числа M мни-

могательной системы (20), которые экспоненциаль-

мых нулей коэффициента a(λ).

но убывают при x → ±∞. Это означает, что набор

С помощью вспомогательной линейной зада-

чисел {λ_j } соответствует дискретному спектру пря-

чи (20), (21) мы построили отображение решений

мой задачи рассеяния.

n(x, t) уравнения Ландау - Лифшица на полуоси в

Продолжение комбинации равенств (22), (23) с

набор данных рассеяния. Он включает спектраль-

вещественной λ-оси в комплексную плоскость при-

ные плотности b(λ), -∞ < λ < +∞, дискретные

водит к дополнительной симметрии:

нули {λ_j } коэффициента a(λ) (Im λ_j > 0) и норми-

ровочные множители {γ(λ_j )}. В терминах данных

T_±(x, λ) = ±signxσ₂T^∗∓(-x, -λ^∗) ×

рассеяния задача интегрирования уравнения Лан-

дау - Лифшица сводится к решению линейных диф-

× σ2 [λ² + β²](sign x∓1)/2,

(33)

ференциальных уравнений. Из последнего уравне-

ния (18) вытекает привычная зависимость данных

где значения λ выбираются в областях аналитично-

рассеяния от времени [1, 13]:

сти соответствующих столбцов. В частности, из (33)

находим

a(t, λ) = a(0, λ),

b(t, λ) = b(0, λ) e-iλ2t,

(39)

T^(1)-(x, λ) = -isignxσ₂ ×

γ(λ_j , t) = γ(0, λ_j ) e^-iλ

^t.

× T^(2)∗+(-x, -λ^∗)[λ² + β²]^(signx+1)/2,

Значения постоянных интегрирования b(0, λ),

T⁽²⁾⁺(x, λ) = -isignxσ₂ ×

γ(0, λ_j ) находим из уравнений (20), (24) по задан-

× T^(1)∗-(-x, -λ^∗)[λ² + β²]^(signx-1)/2,

ному начальному распределению намагниченно-

(34)

сти (5).

где Im λ > 0.

С физической точки зрения, спектральная плот-

С помощью (34) устанавливаем ограничение на

ность b(λ, t) параметризует спин-волновые цуги,

выбор нормировочных множителей γ_j в соотноше-

которые расплываются с течением времени из-за

нии (32). Для мнимых нулей функции a(λ) имеем

преобладания эффектов дисперсии над эффектами

па-

сжатия нелинейных волновых пакетов. Нули λ_j

|γ(iν_s)|² = β² - ν^2s > 0,

s = 1,2,...M.

(35)

раметризуют структурно устойчивые магнитные со-

литоны. Чисто солитонным состояниям в отсутствие

Для комплексных нулей (31) получаем

диспергирующих волн соответствует коэффициент

a(λ) с нулями при условии b(λ) =b(λ) ≡ 0.

γ(λ_k)γ(-λ^∗k) = λ^2k + β², k = 1, 2, . . . N.

(36)

Возвращение от данных рассения к полю S(x, t)

осуществляется по стандартной схеме обратной за-

Соотношение

(35)

выполняется только при

дачи рассеяния с учетом дополнительных редукций,

|β| > max ν_s > 0.

порожденных симметрией продолжения поля n(x, t)

Элемент a(λ) матрицы перехода восстанавлива-

на бесконечный интервал. Обратные отображения

ется по его нулям, полюсам, коэффициенту отраже-

для расчета реальных полей n(x, t) в области x > 0

ния b(λ) и асимптотическому поведению при боль-

и фиктивных полей S(x, t) при x < 0 оказываются

ших λ [13]:

разными. В то же время, замечательная черта под-

хода [8, 9] состоит в том, что вычисления реальных

∏

(λ - λ_k)(λ + λ^∗k)

a(λ) = (λ+iα)

и фиктивных полей выполняются независимо.

λ+iν_s

(λ + λ_k)(λ - λ^∗k)

s=1

k=1

Далее ограничимся расчетом полей n(x, t) на ин-





∫

тервале 0 ≤ x < ∞. Для этого используем первый

ln[1 - |b(µ)|²(µ² + β²)^-1]

× expλ

dµ

,

столбец матричной связи (24) решений Йоста на ве-

2πi

µ(µ - λ)

щественной λ-оси. Соответствующее равенство за-

−∞

пишем в виде, удобном для дальнейшего анализа:

Im λ > 0.

(37)

(

)

(1)

T_-

(x, λ)

(iλy)

(iλ(y - x))

Для выполнений нормировочного условия (26) ве-

exp

λa(λ)

щественный параметр α в (37) должен быть связан

с β равенством

T⁽¹⁾⁺(x, λ)

(iλy)

exp

β = α(-1)^M,

(38)

379

В. В. Киселев

ЖЭТФ, том 163, вып. 3, 2023

(

)

∫

∞

(iλ(y - x))

(iλy)

r(λ, t)

(iλx)

exp

+T⁽²⁾⁺(x, λ)r(λ)

exp

k(x, t) =

exp

dλ-

2πi

-∞

λ∈R,

(40)

∑

m_j(t)

(iλ_jx)

exp

где r(λ) = b(λ)/a(λ), y > x. Как и в задаче без осо-

λ_j

j=1

бенностей поля S(x, t) при x = 0, функция T₊(x, λ)

при x > 0 допускает представление [1, 13]

m_j(t) = γ_j(t)/[∂_λa(λ)]|λ=λj , j = 1, 2, . . .2N + M.

(

)

Рассмотренная процедура является нелинейным

iλxσ₃

T₊(x, λ) = exp

обобщением метода ¾изображений¿ и метода Фу-

рье, известных в теории линейных краевых задач.

∫

∞

(

)

iλyσ₃

Действительно, в малоамплитудном пределе при

dyΓ(x,y)exp

(41)

|b(λ)| ≪ 1 и в отсутствие солитонов справедливы

соотношения

Ядро интегрального оператора имеет вид

a(λ) = λ + iβ, Γ(x, x, t) ≈ -σ₃K(2x, t).

(

)

α(x, y) β^∗(x, y)

Поэтому формула (42) для расчета спин-волнового

Γ(x, y) =

β(x, y)

-α^∗(x, y)

поля сводится к преобразованию Фурье

∫

∞

Зависимость от времени t подразумевается.

r(λ, t)

n₊(x, t) = -2k(x, t) =

e^iλx dλ =

Распределение намагниченности в образце при

0 ≤ x < ∞, t ≥ 0 выражается через Γ:

-∞

∫

[

]

σ_kn_k(x, t) = [I-Γ(x, x, t)σ₃]σ₃[I-Γ(x, x, t)σ₃]^†. (42)

e^ixλ

e^-ixλ

dλb(λ,t = 0)e-iλ2t

λ+iβ

λ-iβ

Уравнения обратной задачи рассеяния для рас-

−∞

чета Γ(x, y) получаются в результате интегрирова-

n₃ ≈ 1.

(45)

ния равенства (40) по вещественной λ-оси. Интегра-

Здесь и далее n_± = n₁ ± in₂. В формуле (45) мы

лы по параметру λ от левой части (40) вычисля-

учли четность функции b(λ) (25). Прямой провер-

ются с помощью теоремы Коши о вычетах и фор-

кой нетрудно1 убедиться, что на полуоси 0 ≤ x < ∞

мул (32), (41). Интегралы в правой части равенства

при t ≥ 0 выражение (45) является решением лине-

преобразуются с учетом представления (41). Вычис-

аризованного уравнения Ландау - Лифшица (2):

ления отличаются от аналогичных для поля S(x, t)

без особенностей [1,13] лишь наличием дополнитель-

∂_tn₊ = i ∂^2xn₊,

|n₊| ≪ 1,

ных редукций на данные рассеяния и появлением у

с линеаризованным краевым условием (4)

коэффициента a(λ) особого нуля λ = i|α| при α < 0.

Последнее означает, что левая часть равенства (40)

[∂_xn₊ - βn₊]|_x=0 = 0.

при λ = i|α| может иметь дополнительный полюс.

В действительности, таковой отсутствует, так как,

согласно редукции (35), γ(i|α|) = 0 (α² = β²), а зна-

3. СОЛИТОНЫ В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ

чит

ОБРАЗЦЕ

Обсудим вначале нелинейные коллективные воз-

T^(1)-(x, i|α|) ≡ 0 при α < 0, x > 0.

буждения, которые параметризованы мнимыми ну-

С учетом этих пояснений можно сразу написать ли-

лями функции a(λ). Оказывается, что все они от-

нейное интегральное уравнение для расчета Γ(x, y):

вечают неподвижным солитонам, ядра которых со-

держат колебательные степени свободы и локализо-

Γ(x, y, t) + σ₃K(x + y, t) +

ваны около края x = 0 образца.

∫∞

Пусть M = 1, a(λ) = (λ + iα)(λ - iν)/(λ + iν),

+ dz Γ(x,z,t)∂_yK(z + y) = 0,

(43)

ν > 0. Из соотношения (35) найдем |γ(i ν)|² = α²-ν²

и запишем выражение для m(t) (43) в виде

где

√

(

)

2γ(t)ν

m(t) =

γ(t) = e^iϕ(t)

α² - ν²,

-k^∗(x, t)

ν+α

(46)

K(x, t) =

(44)

k(x, t)

ϕ(t) = ν²t + δ₀,

380

ЖЭТФ, том 163, вып. 3, 2023

Нелинейная динамика гейзенберговского ферромагнетика на полуоси

где δ₀

произвольная вещественная постоянная. В

и описывает прецессирующий солитон в случае

отсутствие спиновых волн (при b ≡ 0) интеграль-

полного закрепления спинов на границе образца

ные уравнения (43) имеют вырожденные ядра, а по-

(рис. 1в):

тому допускают точные решения. Используя (46),

n₃|_x=0 = -1, n₃ → 1 при x → ∞.

из (42), (43) находим односолитонное решение урав-

нения Ландау - Лифшица (2)

Центр солитона (48) совпадает с краем образца.

Толщина слоя приграничных колебаний намагни-

2(α² - ν²)

n₃ = 1 -

ченности порядка ν^-1.

[α ch(νx) + ν sh(νx)]²

(47)

Все солитонные решения имеют единообразную

2i γ(t)(αsh(νx) + ν ch(νx))

n₊ = -

форму записи (42):

[α ch(νx) + ν sh(νx)]²

(x, t) = 1 - 2|β(x, x, t)|²,

n₃

с краевым условием (4), где β = -α в соответствии

(49)

n₊(x, t) = -2 [1 - α^∗(x, x, t)]β(x, x, t).

с формулой (38). Приграничный солитон (47) фор-

мируется, когда поверхностное поле превышает по-

Для двухсолитонного возбуждения с двумя мни-

роговое значение: |β| > ν. Компоненты намагничен-

мыми нулями λ_1,2 = i ν_1,2 коэффициента a(λ) функ-

ности в ядре солитона совершают однородную пре-

ции m_1,2(t) имеют вид

цессию с частотой ω = ν² вокруг оси z. Структу-

ра ядра зависит от величины и знака параметра β

(ν₁ +ν₂

m_1,2 = ∓2 ν_1,2

) √g_1,2 ei ϕ1,2(t),

(см. рис. 1).

ν₂ - ν₁

(50)

Различия приграничных солитонов наиболее яр-

α-ν_1,2

g_1,2 =

ϕ_1,2(t) = ν^21,2t + δ_1,2,

ко проявляются вблизи порога их образования по

α+ν_1,2

параметру |β| > ν. Один из них при значениях

где δ_1,2

вещественные параметры. Используя фор-

0 < β-ν ≪ β представляет область полностью пере-

√

мулы (50), из (43) находим

магниченного материала шириной d ≈ 2 ln(1+

2)/ν

(рис. 1а). В центре солитона n₃ = -1. Координата

центра x₀ ≈ (2ν)^-1 ln |2ν/(β-ν)| хотя и не совпадает

α^∗(x, x, t) =

(ν₊)² ×

D ν_-

с краем образца, но из-за логарифмической зависи-

[

√

]

g₁g₂

мости от параметра 2ν/(β - ν) не слишком удалена

× g₁exν-+g₂e-xν--

(ν₁eiϕ-(t)+ν₂e-iϕ-(t)) ,

от поверхности. Структуру солитона стабилизирует

ν₊

прецессия намагниченности в его ядре. С ростом β

2iν₊ [√

центр солитона прижимается к краю образца.

β(x, x, t) =

g₂eiϕ2(t)(exν1 - g₁e-xν1 ) -

Dν_-

Второй тип солитонов образуется в поверхност-

]

ном магнитном поле альтернативного направления

√g₁e^iϕ1^(t)(e^xν2 - g₂e^-xν2 ) ,

(51)

β < -ν. При значениях 0 < |β|-ν ≪ |β| солитон (47)

оказывается малоамплитудным (рис. 1б). Его центр

D=exν++g₁g₂e-xν+ +

совпадает с границей образца. С увеличением |β|

)₂

(ν₊

8ν₁ν₂

усиливается перемагничивание в ядре солитона. На

(g₂e-xν- +g₁exν- )-

√g₁g₂ cosϕ_-(t),

ν_-

ν²

границе образца при |β| ≫ 1 намагниченность среды

выходит на насыщение: n₃ ≈ -1.

где ν_± = ν₂ ± ν₁, ϕ_-(t) = ϕ₂(t) - ϕ₁(t). В данном

В работе [12] для полуограниченной цепочки

случае M = 2, поэтому решение (49), (51) удовле-

спинов со слабой обменной анизотропией построе-

творяет краевому условию (4) с β = α. Оно описыва-

но приближенное решение, описывающее нелиней-

ет нелинейную суперпозицию двух прецессирующих

ное возбуждение, локализованное вблизи конца це-

солитонов типа (47), которые локализованы около

почки. Хотя в данной работе обсуждается динами-

края образца в слоях толщиной порядка ν^-11 и ν^-12.

ка изотропного ферромагнетика на полуоси с дру-

В ядрах солитонов намагниченность прецессирует

гими краевыми условиями, односолитонное состоя-

вокруг оси z с частотами ν²¹ и ν²². Взаимосвязь соли-

ние (47) по своей структуре близко к результату ра-

тонов проявляется в том, что при x = 0 компонента

боты [12].

n₃ намагниченности не остается постоянной, как это

В пределе |β| → ∞ решение (47) упрощается:

было у односолитонного состояния (47). Она осцил-

2i eiϕ(t) sh(νx)

лирует с частотой Ω = |ν²² - ν²¹|, равной разности

n₃ = 1 -

n₊ = -

(48)

ch²(νx)

частот прецессии индивидуальных солитонов.

381

В. В. Киселев

ЖЭТФ, том 163, вып. 3, 2023

Рис. 1. Изменение компоненты n3 вблизи края образца в зависимости от значений параметра β. При смешанном краевом

√

условии (4): β > ν, 2 ν x0 = ln[(β + ν)/(β - ν)], x1,2 = x0 + ν^-1 ln(

2±1) (a), β < -ν (б). В случае полного закрепления

спинов: n3|x=0 = -1 (в)

В одномерном случае прецессирующие солито-

Обсудим простейший солитон, который соответ-

ны как связанные состояния большого числа магно-

ствует нулям λ = λ₀, -λ^∗0 функции a(λ):

нов возникают, когда амплитуда внешнего воздей-

(λ - λ₀)(λ + λ^∗0)

ствия превышает определенное значение. Локали-

a(λ) = (λ + iα)

(λ + λ₀)(λ - λ^∗0)

зация таких солитонов около границы образца воз-

можна только при достаточной степени неоднород-

Тогда в уравнении обратной задачи рассеяния име-

ности поля намагниченности вблизи поверхности об-

ем

)

разца. Поэтому для образования приграничных со-

(λ₀ -λ^∗0

m₁(t) = 2λ₀κ(t)

литонов имеется порог по модулю поверхностной

λ₀ + λ^∗

)

константы β. В то же время, в зависимости от знака

2λ^∗0g^∗

(λ₀ -λ^∗0

β строения ядер приграничных солитонов, а значит

m₂(t) =

κ^∗(t) λ₀ + λ^∗

и их энергии, различны. В разд. 4 вычислена полная

γ(t)

iα-λ₀

энергия полуограниченного образца при наличии в

κ(t) =

= κ(t = 0)e-iλ0t, g =

λ₀ + iα

iα+λ₀

нем солитонов и магнонов (62). Энергетически вы-

годно, когда около границы образца локализуется

Распределение намагниченности в образцы дают

при β > 0 четное, а при β < 0 нечетное число пре-

формулы (49), где

цессирующих солитонов.

)

(λ₀ -λ^∗0

В пределе |α| → ∞ параметры g_1,2 равны едини-

α^∗(x, x, t) =

це. Двухсолитонное решение (49), (51) упрощается и

Δ λ₀ +λ^∗

описывает приграничные колебания намагниченно-

)(

)

[(λ₀ - λ∗0

geix(λ0+λ0) + g^∗e-ix(λ0+λ0)

сти при полном закреплении поверхностных спинов

λ₀ + λ^∗

в соответствии с краевым условием

(



)]



 g



n₃|_x=0 = 1,

λ^∗0|κ(t)|² - λ₀



(53)

λ₀ + λ^∗0

κ(t)

которое знаком правой части отличается от гранич-

)

ного условия для односолитонного состояния. Та-

(λ₀ -λ^∗0

β(x, x, t) = -

ким образом, в зависимости от выбора одного из

Δ λ₀ +λ^∗

[

вариантов полного закрепления поверхностных спи-

(

)

(

)]

∗

g^∗

нов (7) граница образца захватывает либо четное,

× κ(t) e^iλ

^x-g^∗e-iλ0x

e-iλ0x-geiλ0x

κ^∗(t)

либо нечетное число M прецессирующих солитонов:

(



)

(

)₂



n₃|_x=0 = (-1)^M .

(52)

2|λ₀|

 g



Δ=

|κ(t)|² +



λ₀ + λ^∗0

κ(t)

Второй класс солитонов параметризуют пары

комплексных нулей (31) функции a(λ). Это движу-

+ |g|²eix(λ0-λ0) + e-ix(λ0-λ0) +

щиеся объекты, для которых характерны упругие

)₂ (

)

(λ₀ -λ^∗0

парные столкновения друг с другом и отражения от

geix(λ0+λ0) + g^∗e-ix(λ0+λ0)

λ₀ + λ^∗

края образца.

382

ЖЭТФ, том 163, вып. 3, 2023

Нелинейная динамика гейзенберговского ферромагнетика на полуоси

В этом случае M = 0, поэтому решение (49), (53)

после его отражения несет информацию о характе-

удовлетворяет краевому условию (4) с β = α. Оно

ре закрепления спинов на поверхности образца. Это

описывает движение частицеподобного возбужде-

обстоятельство можно использовать для диагности-

ния из внутренней части образца к его краю, от-

ки состояния поверхностных спинов.

ражение от границы и последующее возвращение

При v = 0 выражению (54) соответствует поко-

локализованного объекта в глубь образца. В ходе

ящийся солитон на большом удалении от границы

столкновения с поверхностью образца ядро магнит-

образца. В этом случае формула (54) совпадает с

ного возбуждения сильно деформируется. Однако

решением, полученным для неподвижного солитона

после удаления от края образца оно принимает ста-

в безграничном изотропном ферромагнетике [1,13].

ционарную форму.

Напомним, что приграничные солитоны образу-

Проанализируем особенности отражения солито-

ются только при условии, что величины поверхност-

на от поверхности образца. Для этого выделим из

ного поля |β| больше определенного порогового зна-

параметра λ₀ его вещественную и мнимую части:

чения. Для движущихся солитонов такого ограниче-

2λ0 = v + i u. Поскольку Imλ0 > 0, значения u

ния нет. Решение (49), (53) справедливо для любых

всегда положительны. Примем для определенности,

значений поверхностного поля β.

что параметр v тоже положителен. Выражение для

При α = β = 0 параметр g = -1 и форму-

поля α^∗(x, x, t) (β(x, x, t)) (53) имеет вид дроби. Ее

лы (49), (53) дают решение модели Ландау - Лиф-

асимптотическое поведение при x ≫ 1 определяется

шица (2) со свободными спинами на границе образ-

конкуренцией слагаемых в числителе с экспоненци-

ца:

альными множителями: e^±ux, e^±uvt/2 (e^±(x+vt)u/2,

[n × ∂_xn]|_x=0 = 0.

e^±(x-vt)u/2) и ведущих членов в знаменателе с ко-

эффициентами: e^±ux, e^±uvt/2. Отсюда сразу следу-

В этом случае движение и отражение солитона со-

ет, что при t → ±∞ в системах отсчета, связанных

провождается изменением во времени компоненты

с солитоном, где x ∓ vt = const, его структура опи-

n₃ намагниченности на границе образца по закону

сывается выражениями

(

)₂

(

)

2uv

uvt

n₃(x = 0, t) = 1 - 2

ch^-2

+ ln κ(0) .

u² + v²

n₃ = 1 -

2Φ_± = u(x ∓ vt - x_±),

(u² + v²) ch²

Φ_±

В пределе α → ∞ параметр g = 1 и реше-

2iuκ(t = 0)

ние (49), (53) описывает отражение прецессирующе-

n₊ = ±

(54)

(u² + v²)|κ(t = 0)|

го солитона от границы образца с закрепленными

(

[ (u² - v²)t

]) v chΦ_± ± iu shΦ_±

на ней спинами: n₃|_x=0 = 1.

× exp i

+ϕ_±

ch²

Φ_±

где

4. ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ

x₊ = 2u^-1 ln(2|λ₀κ(0)/v|),

Как и в неограниченной среде, не зависящий от

x_- = 2u^-1 ln[2|gλ₀|/(v|κ(0)|)],

времени элемент a(λ) матрицы перехода T (λ) явля-

ется производящим функционалом интегралов дви-

ϕ₊ = - argλ₀, ϕ_- = argλ₀ - arg g.

жения полубесконечного ферромагнетика. С помо-

Формулы (54) описывают солитоны безгранич-

щью формул (14), (19), (24) получим выражение для

ного гейзенберговского ферромагнетика с характер-

T (λ):

ным размером порядка u^-1, движущиеся внутри об-

T (λ) = T^-1+(+0, λ)K(λ) T_-(-0, λ),

(55)

разца со скоростями ±v. На больших расстояниях

от поверхности единственным результатом отраже-

которое будет основой дальнейшего анализа. При

ния от нее солитона оказывается изменение фазы

x > 0 матрица T₊(x,λ) унимодулярна, поэтому

внутренней прецессии и сдвиг центра солитона. В

системах отсчета, сопутствующих солитону, намаг-

T^-1+(x, λ) = σ₂T^T (x, λ)σ₂.

ниченность прецессирует с частотой Ω = (u² + v²)/4

Верхний индекс ¾T¿ означает транспонирование.

вокруг оси z. Изменение начальной фазы прецессии

Свойство симметрии

(33) позволяет выразить

солитона

T_-(-0, λ) через T^∗+(+0, λ^∗):

)]

[λ^∗0 (iα-λ₀

ϕ₊ - ϕ_- = -i ln

λ₀

iα+λ₀

T_-(-0, λ) = σ₂T^∗+(+0, -λ^∗)σ₂.

383

В. В. Киселев

ЖЭТФ, том 163, вып. 3, 2023

В результате (55) примет вид

совпадает с энергией (1) полубесконечного ферро-

магнетика. С другой стороны, разложение по сте-

T (λ) = σ₂T^T+ (+0, λ) σ₂K(λ)σ₂ T^∗+(+0, -λ^∗)σ₂.

(56)

пеням λ^-1 левой части равенства (61) можно полу-

Отсюда получаем выражение для a(λ):

чить сразу, так как функция a(λ) нам известна (37).

Сравнение двух разложений дает явные форму-

a(λ) = (λ + iβ)[T₊(+0, λ)]₂₂[T₊(+0, -λ^∗)]^∗22 +

лы для локальных интегралов движения полубеско-

нечного ферромагнетика. В частности, в терминах

+ (λ - iβ)[T₊(+0, λ)]₁₂[T₊(+0, -λ^∗)]^∗12.

(57)

спектральных данных энергия образца ¾диагонали-

Серию локальных интегралов движения порож-

зуется¿ и совпадает с энергией идеального газа со-

дает разложение функции a(λ) по степеням λ^-1.

литонов и магнонов:

Для его получения необходимо найти соответству-

∫

∞

∑

ющие ряды для элементов матрицы T₊(+0, λ). Мат-

H = (-1)^M+1β + 2 ν_s + 4 Imλ_k + dµµ²ρ(µ),

ричная функция T₊(+0, λ) имеет следующую алгеб-

s=1

k=1

-∞

раическую структуру:

(

)

|b(µ)|²

ρ(µ) = -

> 0.

(62)

T₊(+0, λ) = (I + W(0, λ))e^{Z(+0,y→+∞)}.

(58)

2πµ²

µ² + β²

Разложение по обратным степеням λ^-1 антидиаго-

Величина ρ(µ) имеет смысл плотности спин-

нальной матрицы W (x, λ) при x ≥ 0 получено в [13]:

волновых мод с волновым числом µ. Дискретные

слагаемые соответствуют аддитивным вкладам в

∑

W_n(x)

энергию системы от разных типов солитонов.

W (x, λ) =

λⁿ

Непосредственно из уравнения Ландау - Лифши-

n=1

(

)

(59)

ца (2) следует, что при краевых условиях (3), (4)

-ω^∗n(x)

W_n(x) =

существует еще один важный интеграл движения:

ω_n(x)

∞

∫

где w₀(x) = n₊(x)/[1 + n₃(x)]. Следующие коэффи-

N =

(1 - n₃(x)) dx.

(63)

циенты определяются рекуррентными соотношени-

ями:

Он определяет число спиновых отклонений в систе-

∑

n_-(x)

ме [14, 15].

ω_n+1(x) = -i ∂_xω_n(x)-

ω_n(x)ω_n-k+1(x),

Покажем, что как и в безграничной среде [1,13],

k=1

N выражается через значение ∂_λa(λ)|_λ=0. С помо-

n = 0,1,2,...

щью (14), (19) находим

При n = 0 последняя сумма отсутствует.

T₊(x, λ = 0) = I, x > 0.

(64)

Диагональная матрица Z(+0, y → +∞) выража-

ется через W_n(x):

Воспользуемся интегральным уравнением для

(

)

функции Йоста T₊(x, λ) в области x > 0:

∑

Z_n

ξ_n

Z(+0, y → +∞) =

Z_n =

, (60)

λⁿ

ξ^∗

(λxσ₃)

n=1

T₊(x, λ) = exp

∫

∞

∫

)

Z_n =

[n₁(x)σ₁ + n₂(x)σ₂]W_n+1(x) dx.

iλ

(λ(x - x^′)σ

dx^′ exp

Используя эти результаты, вычислим первый

× [n_k(x^′)σ_k - σ₃] T₊(x^′, λ).

член асимптотического разложения функции

(

)

a(λ)

Из него с учетом (64) следует соотношение

√

(61)

λ²

λ² + β²

∫

∂_λT₊(x, λ)_λ=0 =

dx′ [n_k(x^′)σ_k - σ₃].

(65)

Выражение для H:

∞

∫

H =

dx(∂_xn)² - β n₃(x = 0),

С помощью (64), (65), из представления (57) полу-

чим

384

ЖЭТФ, том 163, вып. 3, 2023

Нелинейная динамика гейзенберговского ферромагнетика на полуоси

(

)

∂_λa(λ)|_λ=0 = 1 - βN.

∑ξ_2k

b(λ) = -2 exp

λ^2k

k=0

Учтем связь α = (-1)^M β и с помощью дисперси-

∑

онного соотношения (37) выразим число спиновых

× (i β ω_2p + ω_2p+1)|_x=0 λ^-2p.

(68)

отклонений через параметры солитонов и плотность

p=0

магнонов в образце:

Для чисто солитонных состояний b(λ) ≡ 0, поэтому

∑

все предэкспоненциальные множители в (68) обра-

Im λ_k

N =

щаются в нуль:

ν_s

|λ_k|²

s=1

k=1

(i β ω_2p + ω_2p+1)|_x=0 = 0, p = 0, 1, 2, . . .

∫∞

+ dµρ(µ) + β^-1[1 - (-1)^M].

(66)

Мы получили дополнительный набор законов сохра-

нения, которые управляют выполнением солитона-

-∞

ми верных краевых условий (3), (4). Первый из них

Хорошо известно

[16], что далекие фурье-

имеет вид

компоненты полей без особенностей на веществен-

[

]

∂

n₊(x, t)



ной оси экспоненциально малы. Поскольку метод



= β, β = (-1)^Mα.

(69)

∂x

1 + n₃(x,t)



обратной задачи рассеяния является нелинейным

x=0

аналогом преобразования Фурье, спектральные

Для одиночного приграничного солитона (47) в

функции b(λ) полей S(x, t) без особенностей также

справедливости тождества (69) легко убедиться про-

убывают быстрее любой степени λ при λ → ∞.

стой проверкой.

В рассматриваемой задаче мы продолжили поля

n(x, t), заданные на полуоси 0 ≤ x < ∞, на всю ось

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

-∞ < x < ∞. Производные продолжения имеют

скачки на вещественной оси. В таких случаях

В работе методом обратной задачи рассеяния ис-

далекие фурье-компоненты линейных мод имеют

следована нелинейная динамика солитонов и спино-

степенную малость при λ → ∞. Покажем, что в

вых волн в полубесконечном изотропном ферромаг-

нелинейной начально-краевой задаче (2)-(5) спек-

нетике. Учтены смешанные краевые условия, пре-

тральная плотность b(λ) также характеризуется

дельным случаем которых являются свободные по-

степенным разложением при λ → ∞. Для соли-

верхностные спины и спины с полным закреплением

тонных состояний все коэффициенты степенного

на границе образца. Предсказаны и подробно иссле-

ряда должны обращаться в нуль. Поэтому для

дованы новые типы солитонов, характерные для об-

полубезграничного ферромагнетика b(λ) оказы-

разцов конечных размеров. Показано, что в ферро-

вается производящей функцией нетривиальных

магнетике пороговым образом по параметру закреп-

сохраняющихся со временем связей между полями

ления спинов могут зарождаться околограничные

n(x, t) и их пространственными производными на

солитоны с характерными частотными и модуляци-

границе образца.

онными свойствами. Кроме того, при любой степе-

Подходящее представление для b(λ) получим

ни закрепления поверхностных спинов существуют

из (56). Вычисления упрощаются, если с помощью

движущиеся солитоны, которые упруго отражают-

формул (22)

ся от границы образца. В ходе отражения ядра со-

литонов сильно деформируются, поэтому такие со-

[T₊(+0, λ)]₁₁ = [T^∗+(+0, λ^∗)]₂₂,

литоны невозможно описать известными ранее пер-

[T₊(+0, λ)]₂₁ = -[T^∗+(+0, λ^∗)]₁₂

турбативными методами. В то же время, на боль-

ших расстояниях от границы ядра солитонов прини-

выразить коэффициент b(λ) через те же функции,

мают форму типичных прецессирующих солитонов

что были использованы в формуле (57) для a(λ):

безграничного ферромагнетика. Сдвиг фазы, приоб-

ретаемый солитонами после отражения от границы

b(λ) = (λ + iβ)[T^∗+(+0, λ^∗)]₁₂[T^∗+(+0, -λ^∗)]₂₂ -

образца, можно использовать для диагностики сте-

- (λ - iβ)[T^∗+(+0, λ^∗)]₂₂[T^∗+(+0, -λ^∗)]₁₂.

(67)

пени закрепления поверхностных спинов. Получен-

ные результаты допускают экспериментальную про-

Используя соотношения (58)-(60), из (67) находим

верку. Они полезны для моделирования солитонных

асимптотическое разложение при λ ≫ 1 для функ-

возбуждений в реальных образцах конечных разме-

ции b(λ):

ров.

385

В. В. Киселев

ЖЭТФ, том 163, вып. 3, 2023

В работе найдено разделение переменных, после

И.Т. Хабибуллин, ТМФ 86, 43 (1991).

которого все интегралы движения полубесконечного

A. S. Fokas, Commun. Math. Phys. 230, 1 (2002).

ферромагнетика записываются в виде суммы вкла-

дов от разных типов солитонов и квазичастиц спек-

A. S. Fokas, Comm. Pure Appl. Math., V. LVIII.,

тра спиновых волн. Получены новые законы сохра-

639 (2005).

нения, которые обеспечивают локализацию магнит-

ных солитонов около поверхности образца или их

П.Н. Бибиков, В.О. Тарасов, ТМФ

79,

334

отражение от таковой.

(1989).

Финансирование. Работа выполнена в рамках

V. O. Tarasov, Inverse Problems 7, 435 (1991).

госзадания Минобрнауки России (тема ¾Квант¿,

10.

A. S. Fokas, Physica D 35, 167 (1989).

№ AAAA-A18-118020190095-4).

11.

Е. К. Склянин, Функциональный анализ и его

приложения 21, 86 (1987).

ЛИТЕРАТУРА

12.

Н.Г. Гочев, ФНТ 10, 615 (1984).

1. А.Б. Борисов, В.В. Киселев, Квазиодномерные

13.

Л.Д. Фаддеев, Л.А. Тахтаджян, Гамильтонов

магнитные солитоны, Физматлит, Москва

подход в теории солитонов, Наука, Москва

(2014).

(1986).

2. Г.В. Дрейден, А.В. Порубов, А.М. Самсонов,

14.

A. M. Косевич, Е. А. Иванов, А. С. Ковалев,

И.В. Семенова, ЖТФ 71, 1 (2001).

Нелинейные волны намагниченности. Динами-

ческие и топологические солитоны, Наукова

3. В.В. Киселев, А.А. Расковалов, ЖЭТФ 62, 693

думка, Киев (1983).

(2022).

15.

A. M. Kosevich, B. A. Ivanov, and A. S. Kovalev,

4. I.T. Habibullin, in Nonlinear World: IV Int.

Phys. Rep. 194, 117 (1990).

Workshop on Nonlinear and Turbulent Processes

in Physics, ed. by V. G. Baryachtar et. el., World

16.

А. Б. Мигдал, Качественные методы в кванто-

Scientific Singapore (1989), Vol. 1, p. 130.

вой теории, Наука, Москва (1979).

386