ЖЭТФ, 2023, том 163, вып. 2, стр. 238-259

ЖИДКОСТЬ ЛАТТИНЖЕРА С ПРИТЯЖЕНИЕМ И ОДНОЙ

ПРИМЕСЬЮ: ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ

В. В. Афонин^*

Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе Российской академии наук

194021, Санкт-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 9 июня 2022 г.,

после переработки 29 августа 2022 г.

Принята к публикации 29 августа 2022 г.

Изучается точное решение для задачи рассеяния одномерных притягивающихся фермионов на точечной

примеси, существующее в модели Кейна-Фишера при параметре Латтинжера равном 2. Получено вы-

ражение для частотной зависимости коэффициента отражения фермионов от примеси, показывающее

невозможность экстраполяции ответов для относительно слабого фермион-фермионного взаимодействия

в область констант связи порядка единицы.

DOI: 10.31857/S0044451023020104

требуется использовать подходы, развитые при по-

EDN: OQVIHH

строении теории элементарных частиц. Можно ска-

зать, что теория одномерных сильно взаимодейству-

ющих фермионов является одной из немногих задач

1. ВВЕДЕНИЕ

теоретической физики, интересных с точки зрения

как теории поля, так и физики твердого тела.

История изучения одномерных систем со взаи-

К настоящему времени достигнуто хорошее по-

модействующими носителями началась с работ То-

нимание явлений, происходящих в чистых одномер-

монаго [1] еще в 1950-х годах. Первоначально та-

ных каналах. Этого нельзя сказать о каналах с при-

кие системы рассматривались как простейшие моде-

месями. Даже в простейшей задаче с одной точеч-

ли для сильновзаимодействующих фермионов в ре-

ной и упругой примесью подавляющее большин-

лятивистских теориях [2, 3]. Интерес теоретиков к

ство работ относится к случаю слабого фермион-

одномерным системам в этом случае стимулировал-

фермионного (e-e) взаимодействия:

ся тем, что они являлись простейшими моделями

с «невылетанием» частиц. Позднее, по мере совер-

ν ln (M/|ω|) ≤ 1, ln (M/|ω|) ≫ 1,

(1)

шенствования технологий, изучение транспортных

свойств одномерных каналов получило и экспери-

где M — параметр ультрафиолетового обрезания,

ментальный интерес в физике твердого тела. Про-

ω — частота внешнего поля, ν

= 1/v_c - 1, а

√

гресс в теории, описывающей транспортные свой-

v_c

1 + V₀/π < 1 — перенормированная ско-

ства баллистичеких каналов, в значительной сте-

рость Ферми. В физике твердого тела вместо пере-

пени был обусловлен тем, что задача в этом слу-

нормированной скорости v_c часто используется па-

чае является точно решаемой. Одновременно с этим

раметр Латтинжера (K), равный 1/v_c. (Рассматри-

стало понятно, что примесное рассеяние кардиналь-

вается простейшая из возможных задач: одноком-

но меняет картину транспортных явлений в одно-

понентные притягивающиеся фермионы и точечное

мерных проводниках. Простейшей моделью с при-

e-e-взаимодействие (V_e-e = V₀δ(x - y)). Все скоро-

месным рассеянием является баллистический канал

сти измеряются в единицах скорости Ферми, ℏ = 1.)

с имплантированной точечной примесью. В рамках

В низшем порядке по параметру (1) (область тео-

имеющихся на сегодня представлений такая задача

рии возмущений) поправки к кондактансу в лат-

уже не может быть решена точно. Для ее решения

тинжеровской жидкости (LL) впервые были вычис-

лены в работах [4, 5]. Позднее, в рамках ренорм-

^* E-mail: vasili.afonin@mail.ioffe.ru

группового (РГ) подхода, тоже предполагающего

238

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

Жидкость Латтинжера с притяжением и одной примесью: точное решение

выполнение условий (1), были получены выраже-

ближения (m = 1), возникало не от разницы в под-

ния для кондактанса, учитывающие вклады поряд-

ходах, а от неприменимости анзаца Андерсона, ис-

ка νⁿ ln^n-m (M/|ω|), m = 0, 1, 2 [6-8]. Случай силь-

пользованного в [7]. В такой ситуации важно срав-

ного (ν ∼ 1)) e-e взаимодействия обсуждался

нить результаты, следующие из нелокального и КФ-

гамильтонианов, и при ν ∼ 1. Это представляется

• для отталкивающихся фермионов: работы [4,

интересным еще и потому, что одним из предска-

9], в которых было рассмотрено точное реше-

заний работы [11] является то, что для притягива-

ние для LL с отталкиванием и одной точечной

ющихся фермионов в точке ν = 1/2 инфракрасная

примесью, существующее при v_c = 2, и цикл

расходимость в выражении для |R_ω |² должна сме-

работ, использующих термодинамический aн-

ниться на ультрафиолетовую, и при более сильном

зац Бете (см. [10] и ссылки в ней);

взаимодействии кондактанс должен быть пропорци-

ональным |ω|. (А не |ω|2ν , как это следовало бы из

• для LL с притяжением: в работе [11] было

экстраполяции ответов для слабого e-e взаимодей-

получено выражение для первой поправки к

ствия в область ν ∼ 1.) Сравнение результатов ока-

|R_ω|², справедливое при |R₀|² → 0 и ν ≤ 1/2

зывается возможным потому, что гамильтониан КФ

(R₀ — затравочный коэффициент отражения

является точно решаемым и при v_c = 1/2 [13]. (Ду-

фермионов от примеси, а R_ω — с учетом e-e-

альность теорий с отталкиванием (v_c = 2) и притя-

взаимодействия).

жением (v_c = 1/2) для гамильтонианов КФ не до-

В процитированных выше статьях был применен

казана, и они не переходят друг в друга при замене

разный подход к решению этой задачи. В работах

v_c ↔ 1/v_c [13].) Кроме того, новое точное решение

[7,11] проводилась сшивка решений нелинеаризован-

задачи в области сильного e-e-взаимодействия все-

ного уравнения Шредингера в точке расположения

гда представляет самостоятельный интерес.

примеси. Необходимость такого подхода диктуется

Результаты вычислений, сделанных в этой рабо-

тем, что на масштабе точечной примеси (∼ 1/p_F )

те, подтверждают выводы статьи [11]: при v_c = 1/2

разделение полной волновой функции фермиона на

выражение для кондактанса оказывается пропорци-

волновую функцию правого (Ψ_R) и левого (Ψ_L) фер-

ональным |ω| и в модели Кейна-Фишера, т.е. не сов-

мионов невозможно. При таком способе вычисле-

падает с экстраполяцией ответа для случая слабо-

ний автоматически учитывается существование по-

го e-e взаимодействия в область ν ∼ 1. (Последняя

сле рассеяния носителя на примеси как отраженной,

привела бы к зависимости |ω|².) Как и в подходе

так и прошедшей волн. В работах [4, 5, 9] примес-

с нелокальным гамильтонианом, это получается из-

ное рассеяние описывалось c помощью туннельно-

за существования ультрафиолетовой расходимости

го гамильтониана [12]: в уже линеаризованное урав-

в выражении для кондактанса. Сам факт существо-

нение Шредингера ввoдилось слагаемое, описываю-

вания такой расходимости сразу гарантирует умень-

щее переход правых фермионов в левые и не содер-

шение степени частоты в выражении для кондактан-

жащее прошедшую волну. (Далее мы будем назы-

са, так как ответ зависит только от двух величин

вать такой подход гамильтонианом Кейна-Фишера;

с размерностью энергии: M и ω. Поэтому появле-

КФ-гамильтониан.) Получающийся в первом подхо-

ние расходимости, связанной с ультрафиолетовым

де эффективный гамильтониан, в котором в каче-

обрезанием, по размерным соображениям означает

стве полевой переменной была взята фаза рассея-

уменьшение степени частоты. Появляющийся при

ния фермионов на примеси, качественно отличает-

этом расходящийся множитель должен быть спря-

ся от КФ-гамильтониана. Он нелокален и содержит

тан в перенормированную (за счет сильного взаи-

бесконечное количество слагаемых. Соответственно,

модействия в ультрафиолетовой области) амплиту-

система уравнений Гелл-Мана-Лоу в этом случае

ду рассеяния носителей на примеси. С физической

оказывается бесконечной [8, 11]. Это не помешало

точки зрения понижение степени частоты связано

доказать перенормируемость теории, сформулиро-

с тем, что на временах t ≤ 1/M энергия фермио-

вать РГ-подход так, чтобы наблюдаемые величины

на плохо определена, так что говорить о законе со-

зависели в каждом порядке по m только от m кон-

хранения энергии при рассеянии на упругой приме-

стант связи и решить все эти системы уравнений.

си в такой ситуации не представляется возможным.

Однако оба этих подхода приводили к одним и тем

В случае сильного взаимодействия из-за существо-

же частотным зависимостям в наблюдаемых вели-

вания ультрафиолетовой расходимости эти времена

чинах при ν ≪ 1. Отличие ответов для кондактан-

дают главный вклад в кондактанс. (Это качественно

са в работах [8] и [7], начиная с двухпетлевого при-

отличает случай сильного e-e взаимодействия при

239

В. В. Афонин

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

v_c = 1/2 от области теории возмущений. В послед-

Здесь ρ — оператор электрического заряда ферми-

ней ответ определяется большими временами, что

онной системы, а H_imp описывает примесную часть

при условии выполнения (1) давало возможность

рассеяния носителей тока:

применить скейлинговый подход.) Вклад от боль-

∫

ших времен, на которых закон сохранения энергии

H_imp = dxdyV_imp(x, y)[Ψ^†R(x)Ψ_L(y) + hc].

(3)

выполняется, в случае сильного взаимодействия то-

же существует, но он конечен и поэтому теряется на

Он был впервые использован Дж.Бардиным [12] для

фоне расходящегося ответа в процессе перенорми-

вычисления матричных элементов перехода между

ровки.

двумя проводящими областями, разделенными сло-

Статья построена следующим образом. В разд. 2

ем окисла. Этот гамильтониан, строго говоря, спра-

ведлив только в низшем приближении по прозрачно-

с использованием формализма тождеств Уорда по-

лучено выражение для величины тока в подходе

сти. Однако в нашем случае можно попробовать рас-

сматривать его в качестве упрощенного модельно-

Кейна-Фишера. В разд. 3 обсуждается вопрос о пе-

реходе в представление нормальных квазичастиц в

го подхода, описывающего примесное рассеяние вза-

гамильтониане Кейна-Фишера, приводящий к точ-

имодействующих фермионов при любой величине

но решаемой задаче при v_c

= 1/2, и получено

V_imp. При таком подходе V_imp — это просто фено-

ее решение. Раздел 4 посвящен вычислению коэф-

менологический параметр, описывающий фермион-

примесное рассеяние. В окончательных ответах он

фициента отражения фермионов от примеси. Все

сколько-нибудь громоздкие с математической точ-

должен быть выражен через наблюдаемые в экспе-

рименте величины.

ки зрения вычисления, не требующие физического

обсуждения, вынесены в Приложения.

Любой модельный гамильтониан, описываю-

щий рассеяние фермионов на примеси, должен

сохранять электрический заряд и, в случае то-

чечной примеси (V_imp(x, y)

= V_impδ(x)δ(x - y)),

2. ТОЖДЕСТВА УОРДА ДЛЯ

приводить к существованию δ-фукционного ис-

ГАМИЛЬТОНИАНА КЕЙНА-ФИШЕРА

точника кирального заряда. (Нам будет удобно

измерять заряд фермиона в единицах заряда сво-

Тождества Уорда играют важную роль при по-

бодного фермиона e₀, тогда полный заряд есть

строении любой теории, так как они связывают

ρ(x, t)

= ρ(x, t)_R + ρ(x, t)_L, а киральный заряд,

между собой матричные элементы, описывающие

если определить его как

+1 для R-фермионов

наблюдаемые величины. Эти связи являются прояв-

и -1 для L, будет совпадать с выражением для

лением фундаментальных законов, существующих в

электрического тока:

j(x, t) = ρR(x,t) - ρL(x,t).)

задаче (таких как законы сохранения, калибровоч-

Гамильтонан КФ удовлеворяет этим минимальным

ная инвариантность и т.д.). В этом разделе мы будем

требованиям. Действительно, прямое вычисление

считать, что все операторы поля записаны в гайзен-

коммутатора [H_imp,j(x, t)]_-, входящего в уравне-

берговском представлении.

ние Шредингера для гайзенберговских операторов,

Туннельный гамельтониан, предложенный в [4]

позволяет написать уравнение неразрывности для

для описания рассеяния взаимодействующих одно-

кирального заряда. Для этого достаточно заметить,

мерных фермионов с примесью и являющийся сей-

что

час почти общепринятым для нашей задачи, состоит

из двух частей

[ ρ(x, t),

Ψ_R,L(y, t)]_- = -δ(x - y)ΨR,L(y, t),

†

[ ρ(x, t),

(y, t)]_- = δ(x - y)Ψ†R,L(y, t),

R,L

H=H_ee +H_imp,

[j(x, t),

Ψ_R,L(y, t)]_- = ∓δ(x - y)ΨR,L(y, t),

где H_ee — гамильтониан взаимодействующих фер-

Ψ^†

[j(x, t),

(y, t)]_- = ±δ(x - y)Ψ†R,L(y, t).

R,L

мионов, равный

Это позволяет вычислить ∂_tj(x, t):

H_e-e =

∫

[H_imp,j(y, t)]_- =

∫

= dx[Ψ†R(x)(-i∂_x)ΨR(x) +

Ψ^†

(x)(i∂_x)ΨL(x)] +

Ψ^†

= dxV (x, y)[-Ψ†R(x, t)ΨL(y, t) -

(y, t)ΨL(x, t) +

∫

+ dxdy ρ(x)V_e-e(x - y)ρ(y).

(2)

Ψ^†

+ Ψ^†L(x, t)ΨR(y, t) +

(y, t)ΨR(x, t)].

240

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

Жидкость Латтинжера с притяжением и одной примесью: точное решение

Переходя к точечному взаимодействию и вводя

зрения одномерной теории, справедливой на боль-

псевдоскалярный оператор ŝ(t) (бозонного типа),

ших масштабах, — это скачок заряда. В подходе со

описывающий примесное рассеяние,

сшивкой в этом можно убедиться непосредственно.

В работе [11] показывается, что требование калиб-

ŝ(t) = 2i(Ψ†L(0, t)ΨR(0, t) -

Ψ^†

(0, t)ΨL(0, t)),

ровочной инвариантности одномерной теории, учи-

(4)

тывающей существование прошедшей волны, поз-

ŝ(t)^† = ŝ(t),

воляет однозначно вычислить его величину. После

видим, что -i[H_imp,j(x, t)] = V_imp ŝ(t)δ(x). Отсюда

перенормировки, рецепт которой определяется ка-

следует уравнение неразрывности для кирального

либровочной инвариантностью, и при выполнении

заряда:

условий (1) теория со сшивкой волновых функций

уже не содержит ультрафиолетовых расходимостей,

а кондактанс определяется только эффектами, свя-

∂_tj(t, x) + v2c∂_x ρ(t, x) = V_impŝ(t)δ(x) -

∂_xU_ext(x, t),

занными с инфракрасной областью. Если этот ска-

(5)

чок заряда не экранируется трехмерным окруже-

При его выводе использовано выражение для так

нием, то его дальнодействующее взаимодействие с

называемой адлеровской (аксиальной) аномалии

фермионами одномерного канала и приводит к ано-

[14, 15]. Для LL в кулоновской калибровке его

мальной частотной зависимости кондактанса. (Во-

можно записать в виде

просы, связанные с экранировкой зарядов, рассмот-

рены в работе [16].)

∂_tj(x, t) + ∂_x ρ(x, t) = -¹∂xU(x, t),

(6)

Возвращаясь к туннельному гамильтониану,

приходится констатировать, что переход к точеч-

где U(x, t) — полное электрическое поле, состоящее

ной примеси делает теорию патологичной. Дело

из внешнего поля U_ext(x, t), приложенного к каналу,

в том, что с точки зрения «чистой математики»

и среднего поля фермионов в точке x:

дифференциальные уравнения первого порядка

∫

с δ-функционным потенциалом не имеют реше-

-∂_xU(x, t) = dyρ(y, t)∂_yV_e-e(x - y) + E_ext(x, t).

ния. Действительно, варьируя КФ-гамильтониан

без учета e-e взаимодействия по Ψ^∗R(x), мы бы

Адлеровская аномалия играет одну из централь-

получили уравнение

∫

ных ролей в теории взаимодействующих одномер-

ных фермионов. Дело в том, что гамильтониан e-e-

i∂_xΨ_R(x) = dyV_impδ(x - y)δ(x)Ψ_L(x) - EΨ_R(x).

взаимодействия LL без примеси сохраняет как ки-

ральный, так и электрический заряд. Если бы ни

Интегрируя это выражение по бесконечно малому

одна из симметрий Ψ_R,L → exp(±iΛ)Ψ_R,L не бы-

интервалу, видим, что скачок волновой функции

ла бы нарушена, то e-e-взаимодействие не проявля-

должен быть равен

лось бы в электрических свойствах канала. (В этом

∫

случае мы бы имели два алгебраических уравнения,

i[Ψ_R(ϵ) - Ψ_R(-ϵ)] = dyV_impΨ_L(y)δ(y).

выражающие законы сохранения электрического и

-ϵ

кирального зарядов, для двух величин 〈ρ(q, ω)〉 и

〈j(q, ω)〉, совпадающих с невзаимодействующей тео-

Но это равенство не может быть выполнено: его ле-

рией.) Таким образом, для проявления взаимодей-

вая часть антисимметрична при ϵ → -ϵ, а правая —

ствия в задачах, связанных с переносом заряда, од-

симметрична. Таким образом, туннельный гамиль-

на из этих симметрий должна быть нарушена. Есте-

тониан корректно (в математическом смысле) опи-

ственно, нарушается киральная симметрия, которая

сывает рассеяние фермионов только на дальнодей-

приводила бы к закону сохранения кирального за-

ствующей примеси (тогда правая часть этого выра-

ряда (см. правую часть выражения для адлеровской

жения будет равна нулю), но ответы этой задачи

аномалии (6)), а электрический заряд сохраняется.

будут качественно отличаться от рассматриваемо-

Однако при вычислении кондактанса мы всегда

го нами случая точечной примеси. В результате та-

сталкиваемся с расходящимися в ультрафиолетовой

кой, чисто математической, некорректности переход

области ответами. Физическая причина этой рас-

в линеаризованном гамильтониане к точечному при-

ходимости состоит в том, что справа и слева от

месному рассеянию приводит к появлению допол-

точечной примеси (на микроскопическом масштабе

нительных (нефизических) ультрафиолетовых рас-

∼ 1/p_F ) образуется двойной слой (см. [11]). C точки

ходимостей. Подход со сшивкой нелинеаризованно-

241

ЖЭТФ, вып. 2

В. В. Афонин

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

го уравнения Шредингера, естественно, не содер-

компоненты матрицы Π_α,β связаны между собой.

жит этой патологии. Таким образом, эти два под-

Закон сохранения полного электрического заряда

хода заведомо нетождественны — они различаются

говорит, что ∂t1 Π_j,β(1, 2) = -∂x1Πρ,β(1, 2). Кроме

поведением в ультрафиолетовой области. Это надо

этого, компоненты матрицы Π_α,β связаны между

иметь в виду при детальном сопоставлении резуль-

собой еще и тождествами Уорда, следующими из

татов, полученных из этих двух подходов. Однако

(5). Для их получения домножим уравнение (5) на

вычисления с нелокальным и содержащим беско-

θ(t₁ - t₂)ρ(2) справа, потом на θ(t₂ - t₁)ρ(2) слева,

нечное количество слагаемых гамильтонианом до-

сложим эти выражения и вычислим матричный

статочно трудоемки. Вместе с этим, из физических

элемент по основному состоянию. Получившееся

соображений можно ожидать, что на очень больших

выражение отличается на

расстояниях от примеси примесное рассеяние все-

таки должно восприниматься как точечное. Это поз-

δ(t₁ - t₂)〈[j(x₁), ρ(2)]_-〉 =

δ(t₁ - t₂)∂x1 δ(x₁ - x₂)

воляет надеяться, что КФ-гамильтониан правиль-

но описывает эффекты, определяемые инфракрас-

от ∂t1 Π_j,ρ(1, 2). Отметим, что для получения правой

ной областью. Так и происходит при выполнении

части этого уравнения использовано выражение для

условий (1)). В этом случае оба подхода приводят

швингеровской аномалии:

к одинаковым частотным зависимостям кондактан-

са. Однако даже в этом случае использование КФ-

[ρ_R,L(x, t), ρ_R,L(x^′, t)]_- = ±

∂_xδ(x - x^′).

2π

гамильтониана приводит к появлению слагаемых,

расходящихся в ультрафиолетовой области и фор-

В итоге мы получили связь

мально существующих даже в отсутствие взаимо-

действия. Причина их появления — указанная вы-

∂t1 Π_j,ρ(1, 2) + v2c∂x1 Π_ρ,ρ(1, 2) = V_impΠ_s,ρ(1, 2) +

ше математическая некорректность, и поэтому они

δ(t₁ - t₂)∂x1 δ(x₁ - x₂).

должны быть опущены.

Выражение (5) служит исходной точкой для

Учитывая, что

тождеств Уорда. Мы будем вычислять фейнманов-

ский линейный отклик системы на бесконечно малое

[ρ(x), ρ(x^′)]_- = [ρ(x), s(x^′)]_- = 0,

внешнее поле U_ext(1) (1 = x₁, t₁) и сведем его к вы-

числению поляризационного оператора (PO) поля

дифференциируем эту связь по времени. В резуль-

ŝ(1) = δ(x₁)ŝ(t₁):

тате имеем

Π_s,s(1, 2) = 〈T{ŝ(1), ŝ(2)}〉 = δ(x₁)δ(x₂)S(t₁ - t₂).

∂2t

Π_j,ρ(1, 2) - v2c∂2x

Π_j,ρ(1, 2) = V_imp∂x2 Π_s,j(1, 2) +

Нам будут нужны все PO Π_α,β(ω, x₁, x₂), где

∂t1 δ(t₁ - t₂)∂x1 δ(x₁ - x₂).

(7)

α, β = j, ρ, s. Они немного отличаются от обычных

выражений для матрицы линейных откликов.

Вычислим теперь Π_s,j (1, 2). Для получения это-

Держа в голове подход Хаббарда, в котором

го поляризационного оператора нам нужен комму-

e-e-взаимодействие сводится к эволюции невзаимо-

татор

действующих фермионов в медленно меняющемся

внешнем поле (c последующим интегрированием

〈[j(x₁), s(x₂)]_-〉|t1=t2 =

по всем его реализациям) [17], видим, что при

= -2iδ(x₁ - x₂)〈(Ψ†L(x₁, t)ΨR(x₁, t) +

обычном определении матрицы линейных откликов

поляризационные операторы с индексом ρ, входя-

+ Ψ^†R(x₁, t)ΨL(s₁, t))〉.

щие и в e-e взаимодействие, и в линейный отклик,

будут различаться множителем i. Чтобы сделать

Матричный элемент (аномальное среднее), стоящий

вершины одинаковыми, выделим это i и в отклике:

в правой части, может быть отличным от нуля толь-

∫

ко в том случае, когда основное состояние вырожде-

j(ω, x₁) = dx₂Π_j,ρ(ω, x₁, x₂)(-iU_ext(ω, x₂)).

но по киральности, т.е. тогда, когда основное состо-

яние есть суперпозиция волновых функций с раз-

Это позволяет определить все PO одинаково:

ной киральностью. Для притягивающихся ферми-

Π_α,β(1, 2) = 〈T{α(1),β(2)}〉. (Мы вычисляем фейн-

онов такого вырождения не может быть, так как

мановский отклик, поэтому здесь стоит {, } — анти-

в этом случае критическая температура перехода

коммутатор.) Из-за законов сохранения различные

в сверхпроводящую фазу типа Костерлица-Таулеса

242

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

Жидкость Латтинжера с притяжением и одной примесью: точное решение

T_c ∼ v_c/L ≪ T_d ∼ 1/L — температура вырождения

настоящего вычисления. В этом случае час-

[18], а для отталкивания аномальное среднее равно

то продолжают не окончательное выражение

нулю при T ≪ T_d ≪ T_c [19]. Здесь L — это длина ка-

для наблюдаемой величины, а каждый член

нала; в этих неравенствах она считается конечной.

произведения по отдельности (в нашей зада-

Необходимость учета температуры вырождения и

че часто продолжают статсумму, выражение

возможность существования фаз типа Костерлица-

которой не убывает на больших частотах; см.,

Таулеса в конечной одномерной системе подробно

например, Приложение в [4]).

обсуждена во Введении статьи [18].

Действуя как в предыдущем случае, имеем

Kогда все функции Грина, входящие в аналитиче-

ское выражение для отклика, убывают при ω → ∞,

∂2t

Π_s,j(1, 2)-v2c∂2x

Π_s,j(1, 2) = V_imp∂t2 Π_s,s(1, 2). (8)

оба подхода приводят к одному ответу. Проблема

В итоге получим

возникает в том случае, когда это условие не вы-

полняется, а продолжают «по обычным правилам»

ωk

блок, не убывающий (а в нашей задаче даже рас-

Π_j,ρ(ω, k, q) = -2πδ(q - k)

πω² -v2ck²

тущий) на больших частотах. В этом случае эти

два способа вычислений приведут к разным отве-

ωqV2impΠ_s,s

(ω)

(9)

там. (Поэтому до доказательства того, что запаз-

(ω² - v2ck²)(ω² - v2cq²)

дывающая функция Грина есть просто аналитиче-

Первое слагаемое — это баллистический ток (в пре-

ское продолжение фейнмановской в верхнюю полу-

деле ω → 0 оно дает выражение для кондактанса

плоскость, всегда доказывается убывание фейнма-

баллистического канала, равное e²⁰/2πv_c), а второе

новской функции Грина при ω → ∞).

— вклад от рассеяния. Однако мы еще не учли вклад

Обсудим последнее утверждение подробнее. В

от решения однородного уравнения

Приложении А показано, что для вычисления эф-

фективного коэффициента отражения, входящего в

Π0j,ρ(ω, k, q) =

кандактанс, нужно вычислить коррелятор S и раз-

делить его на частоту. Если бы фейнмановский кор-

= f(k)2πδ(q - k)[δ(ω - v_ck) + δ(ω + v_ck)].

релятор S_F (ω) - S_F (ω = 0) убывал в области боль-

При переходе в статику онo дает точно такой же

ших частот, то запаздывающий коррелятор можно

вклад, как и баллистика, при f(k) ∝ k. (Постоян-

было бы получить как аналитическое продолжение

ную же в случае притяжения и отталкивания мож-

фейнмановского с вещественной оси в верхнюю по-

но брать разной.) Это означает, что данный подход

луплоскость комплексной переменной ω. (Предпола-

реально позволяет вычислить только зависящую от

гается, что все особенности в фейнмановском кор-

частоты часть коэффициента отражения (δ|R_ω|²).

реляторе сдвинуты с вещественной оси по правилу

В случае существования ультрафиолетовых расхо-

ω → ω + iδsgn(ω), следующему из фейнмановских

димостей (неинтегрируемые особенности при t → 0

граничных условий.) И, что самое важное в этой за-

в корреляторе Π_s,s(t)) они тоже дадут вклад в |R_ω |²

даче, при вычислении низкочастотного запаздыва-

при ω = 0.

ющего отклика можно было бы использовать длин-

Обсудим теперь важный для нашей задачи во-

новолновую асимптотику коррелятора S_F (t). (В ин-

прос о переходе от фейнмановского отклика к за-

тересующей нас задаче вычисления обычно прово-

паздывающему. Дело в том, что исходно равновес-

дятся в t-представлении и только потом в фурье-

ные диаграмные техники (и фейнмановская, и мацу-

представлении.)

баровская) вычисляют фейнмановские отклики. А

Действительно, убывающий по частоте фейнма-

дальше возможны два пути:

новский коррелятор всегда можно разделить на две

функции, каждая из которых не имеет особенностей

• можно довести до конца вычисление фейнма-

во всей верхней (нижней) полуплоскости S^±F(ω):

новского отклика, и только в окончательном

ответе для j(ω, k) совершить переход от фейн-

мановского отлика к запаздывающему,

S_F (ω) = S+F(ω) + S^-F(ω) =

∫

∞

∫

∞

• а можно делать аналитическое продолжение

dω^′ S+F(ω^′)

dω^′ S^-F(ω^′)

(10)

«символического» выражения для отклика, за-

2πi ω^′ - ω - iδ

2πi ω^′ - ω + iδ

писанного в терминах функций Грина, до его

-∞

243

В. В. Афонин

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

После фурье-преобразования этого выражения по ω

самом деле мы вынуждены ограничить размер

получаем

контура условием |ω|/M

≤ 1). Таким образом,

функции S_F

(ω), аналитической во всей верхней

∫∞

dω^′

полуплоскости, в нашем случае просто нет. Есть

S_F (t) = θ(t)

exp(-iω^′t)S+F(ω^′) +

2π

лишь функции, аналитические внутри C^±R:

-∞

∫

∫∞

dω^′ S+F(ω^′)

dω^′ S^-F(ω^′)

dω^′

S_F (ω) =

+ θ(-t)

exp(-iω^′t)S_F

(ω^′).

2πi ω^′ - ω - iδ

2πi ω^′ - ω + iδ

2π

−∞

C⁺

C^-

(11)

Отсюда видно, что ветвь, не имеющая особенностей

после фурье-преобразования этого выражения полу-

в верхней полуплоскости, действительно определя-

чаем

ет запаздывающую функцию Грина S_ret(t), вычис-

∫

ленную «по обычному» рецепту, а поскольку боль-

dω^′

шие частоты не дают вклада в это выражение, то

S_F (t) = θ(t)

exp(-iω^′t)S+F(ω^′) +

2π

при вычислении низкочастотного запаздывающего

отклика можно было бы использовать длинновол-

∫

dω^′

новую асимптотику коррелятора в t-представлении.

+ θ(-t)

exp(-iω^′t)S^-F(ω^′).

2π

Но так можно действовать только в том случае, ко-

C^-

гда фейнмановский коррелятор убывает при боль-

ших частотах.

Из-за того, что S+F(ω^′) растет в области больших

Переходим к нашей задаче. Подумаем, что мы

частот, интеграл по отрезку контура R⁺ не мал,

знаем о корреляторе S_F (ω). Прежде всего, его точ-

и его вкладом в запаздывающую функцию Гри-

ное выражение, справедливое для всех частот, обя-

на нельзя пренебречь (а само существование тако-

зано оставаться растущим как |ω| при |ω| → ∞.

го вклада всегда означает существование особенно-

Следовательно, S_F (ω) имеет полюс первого порядка

сти в S+F(ω) при больших частотах в верхней полу-

в бесконечно удаленной точке ω_∞ (что бы ни про-

плоскости). Таким образом, для продолжения этой

исходило в ультрафиолетовой области, физическое

функции Грина в область, ограниченную контуром

требование к способу перенормировки должно со-

C+R, надо знать поведение коррелятора S+F(ω) в уль-

держать условие S_F (ω) ∝ |ω| при |ω| → ∞). Это

трафиолетовой области, что в принципе невозмож-

следует из того, что при больших частотах эффек-

но. Поэтому в нашей задаче надо продолжать окон-

ты, связанные с e-e-взаимодействием, должны быть

чательное выражение для фейнмановского откли-

подавлены, т.е. коэффициент отражения фермионов

ка, следующее из выражения (9), и сформулировать

от примеси должен стремиться к постоянному зна-

теорию так, чтобы в отклик давала бы вклад только

чению. (Высокочастотные эффекты в упорядочен-

область малых частот.

ной и нормальной фазах всегда совпадают.)

Отсюда следует и то, что при переходе от мацу-

Кроме того, его длинноволновая асимтотика

баровского отклика (в τ-представлении) к запазды-

(а только ее мы и можем вычислить) растет еще

вающему нельзя ограничиться заменой τ → i(t±iδ)

сильнее: растущей оказывается даже величина

в выражении для статсуммы, вычисленной при

(S_F (ω) - S_F (0))/ω. И этот рост продолжается

больших τ, если она имеет неинтегрируемую особен-

вплоть до частот ω ∼ M. При больших частотах

ность при t → 0. Такой способ вычислений тоже иг-

аналитические вычисления в нашем случае невоз-

норирует вклад от особенности в ультрафиолетовой

можны, так как требуют знания гамильтониана в

области [4].

ультрафиолетовой области. В этой области частот

Вклад рассеяния в фейнмановский отклик прин-

в выражениях для откликов должен произойти

ципиально отличается от выражения для S_F (ω), так

переход от сильного к слабому межэлектронному

как он сильнее убывает по |ω|:

взаимодействию. Из всего этого следует, что в

∫

выражении

(10) мы должны интегрировать по

ωV2impS_F (ω)

E_ext(q, ω)

δj_F (ω, k) =

(dq)

замкнутым контурам C^±R, идущим сначала по ве-

v2ck² - ω² - iδ

v2cq² - ω² - iδ

щественной оси, а потом замыкающимся в верхнюю

(12)

(нижнюю) полуплоскость (теорема Коши), таких,

поэтому вопрос об интеграле по контуру R⁺ в

чтобы в области, ограниченной этими контурами,

δj_F (ω, k) просто не стоит. Это выражение точное

у функции S+F(ω^′) не было бы особенностей (на

и, на самом деле, справедливое не только в слу-

244

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

Жидкость Латтинжера с притяжением и одной примесью: точное решение

чае КФ-гамильтониана, но оно содержит неизвест-

с одной и той же энергией может быть представле-

ную функцию S_F (ω), которую надо вычислить (как

но в виде большого числа различных пакетов, со-

и все это выражение) по фейнмановским правилам и

стоящих из разного числа частиц. Единственно, что

связать с наблюдаемой величиной. Функция S_F (ω),

может различать такие пакеты, — это коммутаци-

в отличие от полюсных слагаемых, медленно зави-

онные свойства. Волновые функции пакетов, состо-

сит от частоты, так как это петлевая диграмма и

ящие из четного числа фермионов, коммутируют, а

все особенности входящих в нее свободных пропага-

из нечетного — антикоммутируют. Это означает, что

торов «замываются» интегрированием. После ана-

любое состояние может быть описано как в ферми-

литического продолжения выражения (12) с веще-

онном, так и в бозонном представлении, причем мно-

ственной оси в верхнюю полуплоскость (см. Прило-

гими способами. (В таких случаях принято говорить

жение А) в выражении для запаздывающего откли-

о вырождении состояний.) В частности, любой фер-

ка (δj_ret) можно переходить к пределу ω → 0. Если

мион, двигающийся вправо/влево (±), может быть

нас интересует отклик на медленно меняющееся по-

представлен как пакет бозонов

^Ô(x)_±:

ле, то необходимо учесть, что S_F (ω) - S_F (0) → 0

(

)

) σ^†±

при ω → 0. Компенсировать это убывание можно за

Ψ^†

(x) = exp

A^†± (x)

√

exp

-Aˆ± (x) ,

(15)

счет полюсного вклада подынтегрального выраже-

ния. Поэтому наиболее медленно убывающая асимп-

1^∑

^√2π_ˆ

A^†± (x) =

e∓ipnx

O^†±(x)(p).

тотика кондактанса определяется δ-функционным

p_n

n>0

вкладом в (12). В итоге для вычисления кондак-

танса нам оказывается достаточно знать асимпто-

Здесь p_n

= 2πn/L, а σ_± — аналог лестничных

тику S_F (ω) при малых частотах, но вычислена она

операторов Халдейна [20], определяемых условия-

должна быть по фейнмановским правилам при ве-

ми σ^†± σ_± = 1, {σ_±, σ_∓} = 0 и коммутирующих со

щественных частотах.

всеми бозонами. Это соотношение представляет из

Связать S(ω) с перенормированным за счет вза-

себя просто алгебраическое тождество. Для его до-

имодействия коэффициентом отражения фермио-

казательства достаточно заметить, что так опреде-

Ψ^†

нов от примеси можно, рассмотрев невзаимодей-

ленные поля

(x) и

Ψ_± (y) обычным образом анти-

ствующую теорию. В этом пределе прямое вы-

коммутируют при |x - y|/L ≪ 1. (Антикоммутация

числение отклика и сравнение его с

(12) дает

обеспечивается операторами σ со специально по-

S_F (ω)/|ω| ∝ -|R0|2. Естественно ожидать, что и

добранными коммутационными свойствами; важен

√

в случае взаимодействующих носителей это отно-

также и численный коэффициент

2π/p_n в показа-

шение можно связать с |R_ω|². Это подтверждается

теле экспоненты.) Отметим, что вырождение состо-

выражением для кондактанаса, следующим из (12)

яний не снимается точечным e-e-взаимодействием,

(Приложение А). В нем показано, что в кондактанс

так как спектр взаимодействующих фермионов в

входит величина

этом случае остается линейным.

Для того чтобы представить в бозонном пред-

|R_ω |² = -

V2imp Re S(|ω|).

(13)

ставлении фермионы R и L, в выражение (15) вме-

2v_c|ω|

Ô^†

сто

(x) нужно подставить операторы

Она аналитична в верхней полуплоскости в области

∫

^√2π

C+R, определяемой условием |ω|/M ≪ 1, если под

√

C_R,L (p) =

dxe^∓ipx ϱ_R,L (x) , p > 0.

(16)

|ω| понимать +

(ω + iδ)², а кондактанс выражает-

ся через нее по обычной формуле:

В нашей задаче удобно использовать другое

(

)

представление — представление нормальных воз-

G(ω) =

1 - |R_ω|²

(14)

буждений латтинжеровской жидкости (χ_±(x)) [21].

2πv_c

Это представление сводит гамильтониан с e-e-

взаимодействием без примеси к свободному. Можно

3. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ПРИ vc = 1/2

показать, что основное состояние латтинжеров-

ской жидкости без примеси является «вакуумным

3.1. Переход к квазичастичному

состоянием» полей χ_±(x). Из-за поляриризации ос-

представлению

новного состояния их заряд (e^∗) отличен от заряда

Хорошо известно, что в одномерном случае па-

e₀ и равен 1/√vc. Таким образом, кондактанс кана-

кеты, состоящие из фермионов с линейным спек-

ла без примеси может быть вычислен по обычной

тром, не расплываются. Это означает, что состояние

формуле, справедливой для невзаимодействующих

245

В. В. Афонин

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

фермионов: e∗2/2π. Поля χ представляют собой не

— целое число) гамильтониан Кейна-Фишера сво-

что иное, как правый/левый фермион, двигающийся

дится к задаче о рождении/уничтожении m₁ фер-

вместе с поляризационным облаком, возникающим

мионных квазичастиц в точке x = 0. (Показатель

в основном состоянии. Поэтому он не квантуется в

экспоненты в этом случае совпадает с показателем

единицах заряда свободного фермиона.

произведения χm12 .) Это был бы нуль из-за принци-

Для перехода к представлению нормальных

па Паули, но при написании произведения χm12 надо

возбуждений в работе

[21] в выражении

(15)

учесть правильный порядок экспонент с A^† и A, взя-

вместо поля

^Ô(x)_± использовались поля

C(±p),

тых в одной точке (а этот множитель расходится, ес-

диагонализующие гамильтониан с точечным e-e-

ли координаты фермионов совпадают.) Таким обра-

взаимодействием

зом, во всех случаях, кроме v_c = 2, мы будем иметь

∑

неопределенность типа 0·∞. При m₁ = 2 (v_c = 1/2)

v_c

H_ee =

p_n

C^†p

C_p +

C^†-p

C_-p) =

в гамильтониане возникает слагаемое, описывающее

n>0

рождение/уничтожение двух квазичастиц в одной

v_c

∑

p_n

B^†(p)Bi(p),

точке. Эта неопределенность раскрывается с помо-

i=1,2;n>0

щью разложения χ₂(x) в ряд Тейлора с симметрич-

ной раздвижкой аргументов сомножителей. Кроме

C(p) ±

C(-p)

B1,2(p) =

√

того, из (19) мы видим, что возбуждения χ₁ (па-

кет, определяющийся полем B₁) не рассеиваются на

C(p)| 〉 = 0, и выражающиеся через бозоны (16) с

точечной примеси, и вcя примесная часть гамильто-

помощью преобразования

ниана при v_c = 1/2 равна [13]

C (p) = ch θCR (p) + shθC†L (p),

H_imp = iγ(χ†2(0)∂_x χ†2(0) - ∂_x χ₂(0)χ₂(0)),

(20)

(17)

C^† (-p) = chθC†L (p) + shθCR (p)

где γ = 2Vimp exp(-γE)/Mb — константа взаимо-

действия, имеющая размерность длины, а под со-

(«угол поворота» θ определяется равенством

кращенной записью ∂_xχ₂(0) надо понимать пре-

sh(2θ) = V₀/2πv_c). В задаче с точечной примесью

дел ∂_xχ₂(x)|x→0. После перехода к майорановскому

нам будет удобно ввести операторы квазичастичных

представлению

возбуждений χ1,2 немного по-другому: с помощью

бозонов

B1,2(p). В этом случае гамильтониан e-

(

)

χ₂(x) =

√

ß(x) + iΦ(x) ,

(21)

e-взаимодействия без примеси тоже сводится к

свободному:

∫

(

)

{ß(x),ß(x^′)} = {Φ(x), Φ(x^′)} = δ(x - x^′),

H_ee = v_c dx

χ†1(x)(-i∂_x)χ₁(x) + χ†2(x)(i∂_x)χ₂(x)

{Φ(x),ß(x^′)} = 0,

(18)

Для того чтобы выразить примесную часть гамиль-

этот гамильтониан диагонализуется с помощью уни-

тониана через поля χ1,2, нужно переписать показа-

тарного поворота, так как сводится к квадратичной

тель экспоненты произведения Ψ_R(0)Ψ^†L(0) c помо-

форме двух невзаимодействующих друг с другом ве-

щью формул (15), (17) через бозоны

C(±p):

щественных полей:

(

)

†

(

)

σ_L

v_c ∑

Ψ^†

σR

(0)ΨL(0) =Δ1-1/vc

exp

A^†

exp -A ,

H_tot =

[ß(-p_n)p_nß(p_n) + Φ(-p_n)p_nΦ(p_n)] +

√

(19)

1^∑

2π 2

ⁿ ∑

A^† =

√

C^†(p_n) -

C^†(-p_n)),

1^∑

p_n v_c

Φ(p_m)

p_nΦ(p_n) -

n>0

+γL

m=0

где Δ = M_bLeγE /2π (ультрафиолетовое обрезание

1^∑

−γ

ß(p_m)

p_nß(p_n).

(22)

1/M_b возникло из-за того, что на масштабе поряд-

m=0

n=0

ка размера примеси e-e-взаимодействие трехмерно,

что делает одномерную формулу (19), полученную

Важное для дальнейшего условие m = 0 следует из

с помощью выражения (15) и содержащую произве-

того, что это состояние изначально отсутствовало в

дение двух фермиевских операторов в одной точке,

формулах бозонизации.

неприменимой в ультрафиолетовой области). Выра-

Нам осталось выразить оператор ŝ при v_c = 1/2

жение (19) показывает, что в точках 2/v_c = m²¹ (m₁

через майорановские поля ß; Φ. Мы определяли

246

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

Жидкость Латтинжера с притяжением и одной примесью: точное решение

ŝ(x, t) как киральный поток, входящий в уравнение

Переходим к решению уравнения (26). Перепи-

неразрывности для кирального заряда (см. урав-

сываем это уравнение отдельно для четной и нечет-

нение (5)). Он отличается от выражения, стояще-

ной по k_m частям функции S(ϵ_n, k_m). Для этого вве-

го в гамильтониане, относительным знаком первого

дем

Z(ϵ_n) + k_mY (ϵ_n)

и второго слагаемых (физический смысл оператора

S(ϵ_n, k_m) =

(28)

ŝ(x, t) — оператор кирального заряда, уходящего в

(ϵ_n - v_ck_m)

конденсат). В итоге, повторяя все предыдущие вы-

Отбирая четную и нечетную по k_m части функции

числения, получаем

в левой стороне равенства, имеем вместо исходного

(

)

уравнения систему

ŝ(0) = 2γ_s

χ†2(0)∂_x χ†2(0) + ∂_x χ₂(0)χ₂(0)

∑

γ 1

m[Z(ϵ_n) + (2πm/L)Y (ϵ_n)]

Z(ϵ_n) =

= 2γ_s (Φ(0)∂_xß(0) + ß(0)∂_xΦ(0)),

(23)

v_c L

y_n - m

m=0;|m|<N1

(29)

где γ = 2V_impγ_s.

∑

γ 1

Z(ϵ_n) + (2πm/L)Y (ϵ_n)

Y (ϵ_n) =

v_c L

y_n - m

m=0;|m|<N1

3.2. Диагонализация гамильтониана

(30)

Поля, в терминах которых гамильтониан (22)

где y_n = ϵ_nL/2πv_c — безразмерная энергия. Из этого

диагонален (λ; β), в гайзенберговском представле-

выражения видно, что коэффициенты при неизвест-

нии имеют вид

ных функциях Z(ϵ_n) и Y (ϵ_n) расходятся в термо-

динамическом пределе N₁ → ∞. Наиболее сильная

^λ(ϵ_n, t) =

^λ(ϵ_n) exp{(iϵ_nt)},

расходимость — линейная. Поэтому суммы должны

вычисляться в конечных пределах |m| ≤ N₁. Реше-

где ϵ_n — спектр свободных майоранов. Они получа-

ние этой системы зависит от одного параметра ♭. (И

ются из «неповернутых» полей (Φ(m), ß(n)) преоб-

способа регуляризации, который должен быть еди-

разованием

ным в ходе вычислений. Мы при выводе гамильто-

ниана уже использовали симметричную раздвижку

1^∑

^λ(ϵ_n) =

S(ϵ_n, p_m)Φ(m).

(24)

аргументов, поэтому пределы суммирования тоже

m=0

выбраны симметричными.) Параметр

Далее обозначение ϵ_n будет показывать, что индекс

Lv_c

M_bv2c

♭=

∼

n относится к «повернутым» полям, а p_m — к «непо-

γN₁

WV_imp

вернутым». Все суммирования ограничены сверху

числом уровней N₁: |m| < N₁ = 2πLW/v_c, где W

не зависит от длины канала. B случае точечной при-

меси M_b ∼ 1/p_F , т.е. M_b ∼ W .

— ширина зоны проводимости. Кроме того, необхо-

димо учесть вещественность майорановских полей.

В Приложении В.1 показано, что точное условие

существования решения этой системы, определяю-

Это означает, что в импульсном представлении при

нормировке на длину канала их антикоммутатор ра-

щее спектр квазичастиц, есть

вен

♭²N₁

{λ(ϵ_n),λ(ϵ_m)} = Lδ_n,-m.

(25)

B(y_n) =

;

(31)

2(♭ + 1)

В Приложении В показано, что матрица поворота

при n, N₁ ≫ 1 оно переходит в более простое выра-

удовлетворяет «уравнению Шредингера»,

жение

∑

(

)

πn

(ϵ_n - v_ck_m)S(ϵ_n, k_m) = γk_m

S(ϵ_n, pm1 ) +

y_n = n

arcsin

√

∼ n+n/P (32)

πn

P² + π²n²

m1=0

∑

+γ

pm1S(ϵ_n, pm1 ),

(26)

(в этом выражении arcsin определен на интервале

m1=0

(-π, π), а P ∼ N₁; точное выражение для P — в

Приложении В.1, формула (60)). В итоге вся матри-

а обратная матрица получается из нее одновремен-

ца поворота может быть представлена в виде

ной сменой знаков индексов:

[

Lz₀

y_n

♭+2m^]

S(ϵ_n, k_m) =

(33)

S-1(ϵ_n, p_n) = S(ϵ_-n, p_-n).

(27)

N²¹ + y2n]1/2 yn - m

♭ y_n

247

В. В. Афонин

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

где

После этого получаем окончательное выражение

для функции Грина

z₀ = ♭/2π(♭ + 1),

Ń₁ = N₁(♭ + 2)²/2π(♭ + 1).

G(Φ|t, 0) =

∑

exp(iϵ_nt)

=Φ²

[θ(t)θ(-n)-θ(-t)θ(n)],

4. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА

⁰L

1 + (n/

Ń₁)²

ОТРАЖЕНИЯ

−N1;n=0

(36)

4.1. Одночастичные функции Грина

где Φ₀ = ♭/(♭ + 2).

Для вычисления коэффициента отражения

Кроме этой функции Грина нам будут нужны

фермионов от примеси нам будет нужна одноча-

функции Грина с производными полей, вычислен-

стичная фейнмановская функция Грина полей Φ

ными в точке x = 0. Теперь для суммирования по

(G(Φ|t)

= 〈Φ(t, x

= 0)Φ(0, 0)〉) и функции Гри-

немому индексу m (импульсу поля Φ(p_m, t)) нам бу-

на, в которых одно (или два) поля заменены на

дет нужна сумма

их производную, вычисленную в точке x

= 0.

Они могут быть вычислены, так как для полей,

∑

диагонализующих гамильтониан, переход от шре-

y_n + ((♭ + 2)/♭)m

дингеровского представления к гайзенберговскому

y_n - m

-N1;m=0

сводится к умножению на exp(iϵ_nt). (Эти поля

♭+2

возникли из L-фермионов, в которых импульс n

= y_nB(y_n) +

C(y_n) = N₁y_n♭

♭

отсчитывается в обратную сторону, таким образом,

чтобы увеличение

|n| увеличивало энергию ϵ_n.)

(мы опять воспользовались выражением для точно-

Поэтому

го спектра (31) и соотношением C(y_n) = y_nB(y_n)).

В итоге

∑

Φ(x = 0, t) =

S(ϵ_-n, p_-m)exp(iϵ_nt)λ_n

L²

-N1;m,n=0

G₁(Φ|t, 0) = 〈∂Φ(t, x = 0)Φ(t, x = 0)〉 =

(34)

∑

nexp(iϵ_nt)

и вся функция Грина полей Φ может быть представ-

= -iΦ³

лена в виде

⁰L²

1 + (n/

Ń₁)²

−N1;n=0

∑

× [θ(t)θ(-n) - θ(-t)θ(n)].

(37)

G(Φ|t, 0) =

G₀(λ|n, t; n^′, 0) ×

L²

-N1;n,n^′=0

Выражение 〈Φ(t, x = 0)∂Φ(t, x = 0)〉 отличается от

∑

〈∂Φ(t, x = 0)Φ(t, x = 0)〉 знаком, так как дифферен-

S(ϵ_-n, p_-m)S(ϵ_-n′ , p_-m′ ),

цирование по координате приведет в этом случае к

L²

-N1;m,m^′=0

появлению множителя n^′ = -n.

где G₀(λ|n, t; n^′, 0) — свободная функция Грина ле-

Точно так же функция Грина с двумя производ-

вого майорана λ, равная

ными равна

G₀(λ|n, t; n^′, 0) =

G₂(Φ|t, 0) = 〈∂Φ(t, x = 0)∂Φ(t, x = 0)〉 =

= Lδ_n,-n′ exp{(iϵ_nt)}[θ(t)θ(-n) - θ(-t)θ(n)].

(2π)²

∑

-n²exp(iϵ_nt)

= -Φ⁴

По индексам m и m^′, стоящим в последней сум-

L³

1 + (n/

Ń₁)²

ме, можно провести суммирование (см. выражение

−N1;n=0

(33)); коэффициенты A(n) и B(n), возникшие в ре-

× [θ(t)θ(-n) - θ(-t)θ(n)].

(38)

зультате этого суммирования, введены в Приложе-

нии B.1. Используя точное условие существования

Таким образом, квантовые числа «неповернутых»

полей оказались полностью изгнанными из выраже-

решения (31) и соотношение между этими коэффи-

циентами (B(y, N₁) = yA(y, N₁) - 2N₁), видим, что

ний для одночастичных функций Грина.

вся функция Грина оказывается пропорциональной

Обратим внимание на появление лишних степе-

ней Φ₀, отличающих функции Грина полей Φ от от-

∑

y_n + ((♭ + 2)/♭)m

ветов для плоской волны: в случае точечной приме-

= N₁(♭ + 2).

(35)

y_n

-m

си функции Грина с производными определяются

-N1;m=0

248

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

Жидкость Латтинжера с притяжением и одной примесью: точное решение

только соответствущим членом тейлоровского раз-

фермионов. (Это видно уже из исходного гамильто-

ложения поля Φ(x, t) в точке x = 0. Это суще-

ниана в терминах полей χ; там стоят два оператора

ственно упрощает задачу, позволяя воспользовать-

χ₂, а не χ†2χ₂.)

ся соотношением (31), и является следствием δ-

Теперь в выражениях для каждой из функций

функционности примесного рассеяния.

Грина, входящих в петлевую диаграмму, при n ≫ 1

уже можно перейти от дискретных n к непрерыв-

ной переменной k обычным способом, считая, что

4.2. Схема перенормировки и регуляризация

tv_c/L ≪ 1:

Для того чтобы вычислить перенормированный

взаимодействием коэффициент отражения, нам на-

∑

до вычислить коррелятор S(t):

exp{(2πiv_cnt/L)}f(n) →

-N1

S(t) =< T {ŝ(t), ŝ(0)} > .

∫

→

(dn) exp{(2πiv_cnt/L)}f(n),

Согласно формуле (23) каждая вершина ŝ(t) запи-

-N1

сывается в виде

a далее в нашей задаче необходим переход к тер-

ŝ(t) = 2γ_s (Φ(t)∂_xß(t) + ß(t)∂_xΦ(t)) .

модинамическому пределу N₁ → ∞ при конечном

= 2πn/L. Подставив в полученное выражение

Таким образом, коррелятор S(t) содержит четыре

функции Грина из предыдущего раздела, легко убе-

графика. Каждая из этих четырех функций Грина

диться, что это приводит нас к выражению для S,

— это петлевая диаграмма, изображенная на рис. 1.

расходящемуся в области больших импульсов.

По теореме Вика коррелятор равен

Для того чтобы придать этому выражению мате-

(

матически осмысленный вид, его надо регуляризо-

S(t) = -(2γ_s)2 〈Φ(t, 0)Φ(0, 0)〉〈∂xß(t, 0)∂xß(0, 0)〉+

вать, введя функцию F_PV , обеспечивающую сходи-

мость всего выражения. Нам будет удобно исполь-

+ 〈ß(t, 0)ß(0, 0)〉〈∂_xΦ(t, 0)∂_xΦ(0, 0)〉 -

зовать регуляризацию Паули-Вилларса, в которой

- 〈ß(t, 0)∂_xß(0, 0)〉〈∂_xΦ(t, 0)Φ(0, 0)〉 -

)

вкдад от ультрафиолетовой области (большие k) ре-

- 〈Φ(t, 0)∂_xΦ(0, 0)〉〈∂_xß(t, 0)ß(0, 0)〉

(39)

гуляризуется массой M_PV . Обычно в таких задачах

требуется обеспечить сходимость подынтегральных

В n-представлении первый график содержит

выражений по всем независимым переменным. В на-

множитель (n₁n′1)Φ²⁰(-♭)

→ (-n₁n₁)Φ²⁰(-♭), вто-

шем случае это были бы шесть импульсов. (Четы-

рой

— множитель (nn^′)Φ²⁰(♭)

→ (-nn)Φ²⁰(♭), а

ре импульса «неповернутых» полей и два сохраня-

два

последних дают

-2nn₁Φ₀(♭)Φ₀(-♭). Таким

ющихся импульса «повернутых» полей.) Функция

образом, вся диаграмма приобретает множитель

F_PV должна выходить на 1 при kv_c ≪ M_PV ≪ M_b

-Φ²⁰(♭)Φ²⁰(-♭)(nΦ₀(♭) - n₁Φ₀(-♭))² Здесь n — им-

и быстро убывать в области больших k, обеспечи-

пульс функции Грина G(Φ|n, n^′; t), а n₁ — импульс

вая сходимость всех интегрирований. (В дальней-

второй функции Грина G(ß|n₁, n′1; t), получающейся

шем теория должна быть сформулирована так, что-

из G(Φ|n, n^′; t) заменой Vimp → -Vimp. (Нештри-

бы в окончательных выражениях оказалось возмож-

хованные индексы относятся к левой вершине

ным совершить предельный переход M_PV → ∞, и

диаграммы, а штрихованные — к правой.) Другим

это условие очень важно для перенормировки.) То-

множителем в сумме всех диаграмм будет петля из

гда петлевые диаграммы до суммирования по ин-

двух свободных функций Грина, в каждой вершине

дексам «неповернутых» полей m, m₁ (см. предыду-

которой происходит рождение (уничтожение) двух

щий раздел) записывались бы в виде

∑

G (Φ | n, m, m')

^G(Φ|t, 0; n, m, m^′)G2(ß|t, 0; n₁, m₁, m′1) ×

n..., n1...

× FPV (n,m,m^′;n₁,m₁,m′1).

m₁

m₁'

n₁

n₁'

Получившиеся в результате суммирования по ин-

G (β | n₁, m₁, m₁')

дексам «неповернутых» полей функции Грина в

этом случае отличались бы от функций Грина (36)-

Рис. 1.

(38) из-за зависимости F_PV от индексов «неповерну-

249

В. В. Афонин

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

тых» полей. Однако оказывается, что в нашем слу-

скольку в ответ входят функции Грина с двумя про-

чае достаточно регуляризовать петлевые диаграм-

изводными, для обеспечения сходимости интегралов

мы только по индексам «повернутых» полей. Чтобы

надо взять n = 2.

убедиться в этом, вернемся к правилу сумм (35) и

В Приложении C (уравнение (66)) показано, что

оставим из всего ряда A(y_n) только одно слагаемое с

регуляризованное выражение для коррелятора S(ω)

m = n (в котором импульсы «повернутого» и «непо-

может быть представлено в виде

вернутого» полей равны). Согласно уравнению (32)

∞

∫

в термодинамическом пределе это соответствует за-

S(ω) = -(2γ_s)²Φ²⁰(♭)Φ²⁰(-♭) dt cos(ωt) ×

мене y_nA(y_n) → P. Учитывая условие существова-

ния решения для матрицы поворота (31) и выраже-

∞

∫

ние для P (cм. Приложение В.1), снова получаем

правую часть выражения (35):

× (dkdk₁) exp(itv_c(k + k₁)) ×

∑

y_n + ((♭ + 2)/♭)m

^[1

(Φ²⁰(♭) + Φ²⁰(-♭))(k + k₁)² -

N₁

y_n - m

-N1;m=0

]

(

)

− kk₁(Φ₀(♭) + Φ₀(-♭))2 F(k, MPV )F(k1, MPV ).

(♭ + 2)

y_nA(y_n) +

B(y_n)

→

N₁

♭

(40)

♭(♭ + 2)

→

P+

= ♭ + 2.

Однако ответ, полученный в результате вычислений

N₁

2(♭ + 1)

входящих в это выражение интегралов, не может

(В предыдущем разделе вычисления были сделаны

рассматриваться как окончательный. Дело в том,

так, чтобы была возможность учесть все члены ря-

что в отсутствие регуляризации он расходится, а

да.) Таким образом, в термодинамическом пределе

это значит, что ответ для выражения (40) опреде-

в петлевой диаграмме из всего ряда на самом деле

ляется видом функции F(M_PV ) (насколько быст-

выживает только одно слагаемое с m = n. Отсюда

ро она обрезает расходящийся вклад от ультрафи-

следует, что, обеспечив сходимость выражения по

олетовой области). Между тем этот коррелятор на-

импульсу k_n, мы автоматически приходим к сходя-

прямую определяет наблюдаемую величину. Поэто-

щемуся ответу и по импульсу «неповернутого» поля

му его зависимость от способа вычислений недопу-

p_m. Точно так же обстоит дело и со всеми другими

стима. Регуляризация — это не способ вычисления

суммами, входящими в функции Грина, вычислен-

окончательного ответа, а просто вспомогательная

ными в разд. 4.1. Таким образом, функция F_PV в

процедура, необходимая для того, чтобы придать

нашем случае зависит только от двух переменных

выражению осмысленный с математической точки

k_n, kn1 , и мы можем использовать для дальнейших

зрения вид. Другое дело — процедура перенорми-

вычислений формулы (36)-(38) для функций Грина.

ровки, использующаяся для того, чтобы наблюдае-

С формальной точки зрения условие существования

мая величина не зависела бы от способа вычисле-

решения (31) в нашей задаче играет роль допол-

ний. (По сути, изложенная ниже процедура повто-

нительного условия, которое необходимо учитывать

ряет первый шаг построения теории ренормгруппы

при регуляризации расходящегося ответа. Оно го-

по Гелл-Ману-Лоу. Она имеет весьма общий харак-

ворит, что расходящаяся в термодинамическом пре-

тер и почти полностью переносится на другие зада-

деле сумма B(y_n), получившаяся в результате сум-

чи, в которых точные аналитические ответы расхо-

мирования по индексам «неповернутых» полей, на

дятся в ультрафиолетовой области.) Схема перенор-

самом деле не имеет права зависеть от y_n при лю-

мировки по Гелл-Ману-Лоу подразумевает не толь-

бых n. При нарушении этого условия уравнение для

ко вычисление этого выражения как функции M_PV .

матрицы поворота не имеет решения.

После этого нужно, считая M_PV сколь угодно боль-

Регуляризация типа Паули-Вилларса сводится к

шим, выделить в этом выражении главный (расхо-

тому, что мы дописываем в подынтегральное выра-

дящийся в пределе M_PV → ∞) множитель. Далее

жение для петлевой диаграммы (39) по сомножите-

надо ввести перенормированную (за счет взаимо-

лю

[

]_n

действия в ультрафиолетовой области) амплитуду

M2PV

рассеяния (γ(ren)), зависящую от M_PV таким обра-

F (k, M_PV ) =

(v_ck)² + M²

зом, чтобы сократить весь расходящйся в пределе

на каждую функцию Грина, а степень n подбираем

M_PV → ∞ множитель, возникающий при вычисле-

так, чтобы обеспечить сходимость интегралов. По-

нии диаграммы. (γ(ren) не подлежит вычислению в

250

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

Жидкость Латтинжера с притяжением и одной примесью: точное решение

рамках данного подхода.) Подчеркнем, что только

Таким образом, требование независимости на-

предел M_PV → ∞ приводит (и то только в случае

блюдаемых величин от способа регуляризации до-

перенормируемых теорий) к независимости наблю-

стигается за счет того, что мы считаем массу M_PV

даемых величин от способа регуляризации расходя-

больше всех остальных (заранее нам неизвестных)

щихся выражений.

параметров теории, а потом «прячем» эту величи-

ну в перенормированные константы гамильтониа-

Для того чтобы доказать возможность введения

на. Фактически в процессе вычислений мы дела-

амплитуды γ(ren), необходимо ввести в гамильто-

ем предельный переход M_PV

→ ∞, возвращаю-

ниан специально подобранный контрчлен. Он дол-

щий наш ответ в исходную (расходящуюся) зада-

жен зависеть от двух масштабов M_PV и M_ren —

чу. Это определяет и правила вычисления перенор-

произвольная точка перенормировки. (Единствен-

мируемой величины. В частности, в нашем случае

ное ограничение на величину M_ren пока состоит

нельзя менять порядок интегрирования в выраже-

в том, что мы считаем ее принадлежащей обла-

нии (40): до вычисления интегралов по k первым вы-

сти, описывающейся перенормированным одномер-

полнить интегрирование по времени «обычным спо-

ным КФ-гамильтонианом, т.е. M_b ≫ M_PV ≫ M_ren.)

собом» (сделав интеграл по t сходящимся за счет

После этого надо повторить все изложенные вы-

бесконечно малого сдвига частоты в комплексную

ше вычисления наблюдаемой величины. Если кон-

плоcкость). Фурье-преобразование, выполненное та-

трчлен подобран правильно, то в итоге мы и долж-

ким образом, автоматически доопределяет расходя-

ны получить ответ, в котором ультрафиолетовые

щуюся часть выражения (40) нулем. Действитель-

расходимости сократятся за счет зависимости γ(ren)

но, с одной стороны расходимость действительной

от M_PV . Такая процедура означает, что все расхо-

части исходного выражения (40) (точнее, величины

димости будут «спрятаны» в γ(ren). Основная идея

S(ω) - S(0)) при M_PV → ∞ видна невооруженным

подобных процедур состоит в том, что мы изменя-

взглядом: интегралы по k расходятся степенным об-

ем неправильный в ультрафиолетовой области КФ-

разом. А при изменении порядка интегрирования

гамильтониан таким образом, чтобы наблюдаемые

вещественная часть выражения (40) будет пропор-

величины, вычисленные с помощью ренормирован-

циональна δ (v_c(k + k₁) - |ω|), что сразу делает от-

ного КФ-гамильтониана, совпадали бы в длинновол-

вет конечным при любом M_PV (в том числе и при

новой области с ответами, вычисленными с помо-

M_PV → ∞; |ω|/M_PV ≪ 1). Технически это проис-

щью неизвестного нам точного гамильтониана, в ко-

ходит потому, что области интегрирования по k и

тором ультрафиолетовые расходимости отсутству-

k₁ в (40) при таком способе вычислений оказывают-

ют. В том случае, когда речь идет о точном реше-

ся ограничены частотой (все k одного знака). Таким

нии, под M_ren нужно понимать точку, в которой от-

образом, перемена порядка интегрирования автома-

вет известен. В нашей задаче нужно потребовать,

тически доопределяет расходящуюся при M_PV → ∞

чтобы |R_ω|²(ω/M_ren = 1) = |R₀|² (высокочастотные

часть ответа нулем. Причина этого «парадокса» со-

отклики в фазе с нарушенной симметрией и в нор-

стоит в том, что эти два способа вычислений по-

мальной фазе всегда совпадают). Это — граничное

разному доопределяют особенность, возникающую в

условие, фиксирующее поведение теории в ультра-

длинноволновой асимптотике коррелятора S(t) при

фиолетовой области. При переходе к другой регуля-

t → 0 (вне области ее применимости). Поэтому с

ризации изменится множитель, зависящий от спосо-

точки зрения математической физики любая расхо-

ба регуляризации. Как следствие этого, другим бу-

дящаяся в ультрафиолетовой области теория полно-

дет контрчлен и неинформативная связь между пе-

стью определена только тогда, когда задан не толь-

ренормированной и затравочной амплитудами рас-

ко гамильтониан, но и схема перенормировки. Отсю-

сеяния. Однако зависимость наблюдаемых величин

да следует, что выбор схемы перенормировки — это

от физической амплитуды рассеяния в перенорми-

всегда вопрос, требующий обсуждения физической

руемых теориях останется той же, т.е. наблюдаемая

картины явления.

величина |R_ω|² не будет зависеть от способа вычис-

Разберемся с этим утверждением подробнее.

лений. (Подчеркнем, что доказательство перенорми-

Заметим, что вещественная часть коррелятора

руемости теории тоже основывается на схеме пере-

S(ω) - S(0) определяется вероятностью рождения

нормировки по Гелл-Ману-Лоу или эквивалентной

электрон-дырочной пары нормальных возбуждений

ей схеме Вильсона. Кроме того, в процессе вычисле-

(полей χ₂, см. гамильтониан (20)). Точнее, в его

ний необходимо придерживаться единой схемы пе-

выражение входит вероятность рождения электрон-

ренормировки для всех выражений.)

дырочной пары квазичастиц χ₂, существующей

251

В. В. Афонин

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

любое (в том числе и очень малое) время, что

а перенормируемость означает и независимость на-

принципиально отличает нашу задачу от задачи

блюдаемой величины от способа регуляризации. До-

рассеяния. В последней мы вычисляем вероятность

определение же расходящегося вклада от ультрафи-

перехода из начального состояния (заданного при

олетовой области нулем заранее предполагает, что

t → -∞) в конечное (t → ∞). Поэтому в задаче рас-

и в случае сильного e-e-взаимодействия кондактанс

сеяния вероятность должна быть пропорциональна

определяется только большими временами. В отли-

δ (v_c(k + k₁) - |ω|), т.е. δ-функции, выражающей

чие от задачи рассеяния, для кондактанса это пред-

закон сохранения энергии. Это и есть физическое

положение не имеет физического обоснования и, на

требование, которое должно быть учтено в схеме

самом деле, сразу предопределяет ответы. В то же

перенормировки задачи рассеяния. Мы же вычис-

время переход к асимптотике |R_ω|² ∼ |ω| как раз и

ляем кондактанс (линейный отклик при ω → 0). А

должен происходить из-за того, что инфракрасная

в него дают вклад и переходы между состояниями с

расходимость коррелятора S сменяется на ультра-

плохо определенной энергией. Более того, как уже

фиолетовую [11].

обсуждалось ранее, специфика нашей задачи состо-

ит в том, что справа и слева от точечной примеси

4.3. Перенормированный коэффициент

образуется скачок заряда, который не экранируется

отражения

одномерными фермионами. (На самом деле элек-

В Приложении C показано, что регуляризован-

трически заряженный двойной слой, образующийся

ная по Паули-Вилларсу частотнозависящая часть

вокруг примеси, — это чисто гидродинамический

эффект: поток, встретив препятствие, образует горб

коррелятора δS(ω) = S(ω) - S(0), определяемая вы-

ражением (40), может быть представлена в виде

перед препятствием и впадину за ним. Характерный

размер двойного слоя — порядка размера примеси:

Re δS(ω) = -F (V_imp) (γ_s(M_b))² ω²M_PV .

(41)

в нашем случае ∼ 1/p_F → 0.) Такой скачок заряда,

приводящий в случае сильного e-e-взаимодействия

(Конкретный вид функции F (V_imp) нам не важен.)

к большой перенормировке амплитуды рассеяния,

Это выражение линейно расходится при M_PV → ∞,

должен существовать и в подходе Кейна-Фишера.

поэтому исходный гамильтониан (20) требует пере-

Величина перенормировки, возникающая из-за

нормировки. Будем рассматривать константу γ(M_b)

ультрафиолетовой расходимости S(t), определяется

как затравочный заряд локальной теории и вспом-

как раз малыми временами t ≤ 1/M_PV , т.е. време-

ним, что настоящее рассеяние в области малых длин

нами, за которые фермион не успел далеко отойти

нелокально. Естественно предположить, что наблю-

от примеси и сильнейшим образом взаимодействует

дая за рассеянием из одномерной области (боль-

с двойным слоем, существующим рядом с ней.

шие длины), мы будем видеть перенормированное

На таких временах энергия плохо определена,

за счет взаимодействия в ультрафиолетовой обла-

т.е. говорить о существовании закона сохранения

сти и точечное рассеяние фермионов примесью. Для

энергии в этом случае уже не приходится. Из-за

решения такой задачи надо написать одномерный

ультрафиолетовой расходимости выражения для

длинноволновый гамильтониан, зависящий от пере-

S(t) область t ≤ 1/M_PV дает главный вклад в γ(ren)

нормированного заряда, который приведет к сходя-

и определяет наиболее медленную зависимость

щемуся ответу для наблюдаемой величины, несмот-

коэффициента отражения от частоты (об этом

ря на существование ультрафиолетовой расходимо-

см. ниже). Вклад от больших времен, на которых

сти в одном из сомножителей выражения.

выполняется закон сохранения энергии, конечно,

Попытаемся выяснить вид перенормированно-

тоже существует. Однако, как мы видели, он коне-

го гамильтониана. В результате вычислений с пе-

чен и теряется в результате предельного перехода

ренормированным гамильтонианом вместо выраже-

M_PV → ∞ на фоне расходящегося ответа.

ния (41) должен получиться ответ, допускающий

Правильность использования в нашей задаче

предельный переход M_PV → ∞ и содержащий квад-

схемы перенормировки по Гелл-Ману-Лоу доказы-

рат перенормированного заряда. Простейший вари-

вается окончательным ответом (уравнение (43)). Со-

ант предполагаемого ответа имеет вид

гласно ему, физическая амплитуда рассеяния (квад-

M_ren

рат эффективной константы связи γ_s(M_rem)M_rem),

Re δS(ω) = -γ2s(M_ren)

⊙ F(V_imp)MPV ω².

M_PV

полученная в результате вычислений, оказалась без-

размерной и независящей от точки ренормировки.

(Все, что стоит после ⊙, набирается от вычисле-

Так и должно быть в перенормируемых теориях,

ния перенормированной петли, и этот сомножитель

252

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

Жидкость Латтинжера с притяжением и одной примесью: точное решение

будет одинаковым при любой константе связи, а

ге, используя формулу (47), мы получаем ответ для

M_ren/M_PV — простейшая безразмерная комбина-

фейнмановского коэффициента отражения:

ция, позволяющая сократить M_PV в наблюдаемой

|ω|

величине.) Чтобы получить этот ответ, в гамиль-

|R_ω|² = |R₀|²

(43)

M_ren

тониан нужно добавить контрчлен, пропорциональ-

ный χ†2(0)∂_x χ†2(0) - ∂_x χ₂(0)χ₂(0) c константой

|R₀|² = πV2imp (γ_s(M_ren)M_ren)² F (V_imp)

√

(|ω| ≤ M_ren ≪ M_b). В этом выражении важно, что

δγ = γ(M_ren)

M_ren/M_PV - γ(M_b).

полученная в результате такой процедуры физиче-

ская амплитуда рассеяния фермионов на примеси,

В итоге вся перенормированная константа, стоящая

учитывающая сильное e-e взаимодействие в уль-

в гамильтониане, будет равна

трафиолетовой области, оказалась пропорциональ-

√

на (γ_s(M_ren)M_ren

)², т.е. она безразмерна и не зави-

γ_ren = γ(M_ren)

M_ren/M_PV ∝ 1/

M_renM_PV ,

сит от точки нормировки. Как это и должно быть

в перенормируемой теории. (Одним из способов вы-

γ_ren → 0 при M_PV → ∞.

вода уравнения Гелл-Мана-Лоу в теории ренорма-

С этим гамильтонианом вместо выражения (41)

лизационной группы как раз и служит требование

мы действительно получим

независимости физической амплитуды рассеяния от

импульса обрезания. В нашем подходе его роль иг-

рает M_ren.)

Re δS(ω) = -(γ_s(M_ren)M_ren)²F (V_imp)

(42)

M_ren

Запаздывающий отклик получается из фейнма-

√

новского заменой |ω| →

(ω + iδ)² (см. Приложе-

Отметим, что разложение функции Re δS(ω) идет

ние A).

по степеням |ω|/M_PV , а не по |ω|/M_ren (см. При-

ложение C). Поэтому следующие члены ряда будут

равны нулю после предельного перехода M_PV → ∞.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Отсюда следует, что это выражение должно быть

В статье вычисляется коэффициент отражения

справедливым во всей одномерной области (т.е.

носителей от точечной примеси при v_c = 1/2, т.е.

и на достаточно больших частотах). Поэтому мы

в области сильного фермион-фермионного взаимо-

должны позаботиться о правильной высокочастот-

действия (притяжение). Их рассеяние на примеси

ной асимптотике выражения (42). Для этого на-

описывается с помощью туннельного гамильтониа-

до вычислить отклик невзаимодействующих носи-

на, учитывающего только падающую и отраженную

телей, рассеивающихся на примеси, и сравнить его

волны и пренебрегающего существованием прошед-

с формулой (12), в которой стоит точный корре-

шей волны. До этого в работе [11] (подход со сшив-

лятор Re δS_exact(ω). В результате мы увидим, что

кой решений нелинеаризованного уравнения Шре-

Re δS_exact в области больших частот отличается от

дингера) в пределе бесконечно слабого примесного

|ω||R₀|² только численным коэффициентом. Поэто-

рассеяния предсказывалось, что при v_c < 2/3 ин-

му, для того чтобы зафиксировать правильное по-

фракрасная расходимость выражения для кондак-

ведение ренормированной теории в высочастотной

танса сменяется ультрафиолетовой, что приводит к

области, нам достаточно потребовать выполнения

смене частотной зависимости кондактанса с |ω|2ν на

условия

|ω|. (Показатель степени частоты в случае сильного

|R_ω |²(ω = M_ren) = |R₀|²

взаимодействия перестает зависеть от его величи-

ны.) Точное решение, существующее при v_c = 1/2

при любой величине |R₀|². Такой выбор точки пе-

в подходе с туннельным гамильтонианом, подтвер-

ренормировки означает, что в нашем случае мас-

ждает этот вывод. Все происходит по тому же сце-

штаб 1/M_ren — это тот масштаб, начиная с кото-

нарию: при произвольном примесном и сильном e-

рого рассеяние квазичастиц на примеси может быть

e рассеянии (v_c

= 1/2) выражение для кондак-

описано с помощью локальной, но перенормирован-

танса расходится в ультрафиолетовой области. В

ной за счет взаимодействия в ультрафиолетовой об-

итоге вместо пропорцинальности квадрату часто-

ласти амплитуды рассеяния. Этот масштаб являет-

ты кондактанс зависит от частоты линейно. Физи-

ся единственным подгоночным параметром теории

ческой причиной изменения частотной зависимости

и не может быть вычислен в рамках модели. В ито-

кондактанса является отсутствие закона сохранения

253

В. В. Афонин

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

энергии при упругом рассеянии носителей на точеч-

понимать множитель S_F (|ω|)/|ω|. Заметим, что вы-

ной примеси на очень малых временах, т.е. на та-

ражения для вещественной части фейнмановского,

ких временах, на которых величина энергии плохо

запаздывающего и опережающего откликов на ве-

определена. Именно эти времена из-за ультрафио-

щественной оси должны быть одинаковыми и раз-

летовой расходимости и дают главный вклад в са-

личаться только бесконечно малым сдвигом осо-

мую медленно убывающую по частоте асимптотику

бенности, существующей в петлевой диаграмме при

кондактанса.

ω = 0, в комплексную плоскость. Это означает,

Благодарности.

Автор

благодарен

что в запаздывающей функции Грина в множите-

В. Ю. Петрову , обратившему мое внимание

ле S_F (|ω|)/|ω|, вычисленном при вещественных ча-

√

на возможность применения исходных предпосылок

стотах, под |ω| надо понимать +

(ω + iδ)² (корень

«возмущенческого» РГ-подхода к случаю сильного

определяется как функция комплексной перемен-

e-e-взаимодействия, и Я.М. Бельтюкову за чтение

ной ω с фазой, равной нулю на верхнем берегу раз-

рукописи.

реза, идущего вправо). В результате все получив-

шееся выражение не будет иметь особенностей при

|ω|/M ≪ 1 в верхней полуплоскости по частоте (в

ПРИЛОЖЕНИЕ А.

этой области известно его аналитическое выраже-

ПЕРЕХОД ОТ ФЕЙНМАНОВСКОГО

ние). В области |ω|/M ≥ 1 отношение S_F (|ω|)/|ω|)

ОТКЛИКА К ЗАПАЗДЫВАЮЩЕМУ

перестает расти, и вся проводимость остается убы-

вающей по частоте функцией (нас интересует от-

Используя ответ для поляризационного операто-

клик на медленно меняющееся по координате внеш-

ра (9), можно представить фейнмановскую часть от-

нее поле: |q|v_c ≪ |ω|). Конечно, получить аналити-

клика, зависящую от примесного рассеяния и вы-

ческий ответ для S_F (|ω|)/|ω|) в области ω ∼ M не

численную при вещественных ω, в виде

предствляется возможным, так как для этого необ-

∫

ходимо знание гамильтониана в ультрафиолетовой

ωV2impS_F(|ω|)

E_ext(q, ω)

области. Однако для аналитического продолжения

δj_F (ω, k) =

(dq)

v2ck² - ω² - iδ

v2cq² - ω² - iδ

низкочастотного отклика достаточно факта убыва-

(44)

ния проводимости σ_F (ω, k, q) (уравнение (44)) в об-

Это выражение xорошо убывает по частоте при

ласти больших частот и при малых импульсах k и q

|ω| → ∞ и является точным во всей одномерной

(см. вторую половину разд. 2).

области. (Все ограничения по ω определяются при-

При получении ответа для кондактанса на-

ближениями, сделанными при вычислении функции

до учесть, что зависящая от частоты часть

S_F (|ω|.) Для получения запаздывающего отклика

Re S_F (|ω|)/|ω|)

→ 0 при |ω| → 0. Компенсиро-

(δj_ret(ω, k)) надо продолжить фейнмановский от-

вать это убывание в вещественной части отклика

клик (44), вычисленный при вещественных часто-

можно за счет полюсного вклада подынтегрального

тах, в аналитическую в верхней полуплоскости ω

выражения, поэтому самая медленно убывающая

функцию. Для этого нам будет удобно перейти в ко-

асимптотика линейного отклика определяется

ординатное представление:

выражением

iV2impS_F(|ω|)

Re δj_ret(ω, x) =

δjF (ω, x) =

(

)

8v3c|ω|

V2imp Re

S(|ω|)/|ω|

× (θ(x) exp{(i|ω|x/v_c)} + θ(-x) exp{(-i|ω|x/v_c)} ×

8v²

∫

(

× (θ(x) exp{(i|ω|x/v_c)} + θ(-x) exp{(-i|ω|x/v_c)}) ×

× (dq)E_ext(q, ω)

∫

q - (ω/v_c + iδsgnω)

)

× dqE_ext(q, ω)(δ(q - ω/v_c) + δ(q + ω/v_c)).

(45)

q + (ω/v_c + iδsgnω)

В этом выражении множитель Re(S(|ω|)/|ω|)

Кроме того, нас интересует кондактанс, т.е. веще-

должен быть вычислен по фейнмановским пра-

ственная часть запаздывающего отклика в преде-

вилам при вещественных ω (т.е. S(ω)

— это

ле ω → 0 при вещественных ω. Для перехода к

фурье-преобразование Т-упорядоченного антиком-

запаздывающему отклику в (45) необходимо заме-

мутатора бозевских полей ŝ), а потом продолжен

нить ω² + iδsgn(ω) → (ω + iδ)² в полюсах подынте-

с вещественной оси в верхнюю полуплоскость

√

гральной функции. Остается разобраться, как надо

заменой |ω| → +

(ω + iδ)².

254

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

Жидкость Латтинжера с притяжением и одной примесью: точное решение

Переходя к пределу ω → 0 (т.е. ω ≪ v_c/L ∼ T_c),

Таким образом, для получения примесной части

переписываем ответ в виде

уравнения нам нужно вычислить коммутаторы

[

∫

1^∑

v_c ∑_ˆ

V2imp

Re (S(|ω|)/|ω|)

S(ϵ_n, p_m)Φ(m),

Φ(-p_n)p_n Φ(p_n) +

Re δj(ω, x) =

dx∂U_ext(x, ω).

4v²c

m=0

-L/2

]

∑

Φ(pm1 )1

pm2 Φ(p

)

p^m2

Считая, что разность потенциалов медленно

+γL

m1=0

зависит от времени (или, что то же самое,

она есть

«размазанная» δ-функция частоты:

• Коммутируем первый член с кинетической

∫

U_ext(±L/2, ω) = 2π△(ω)U_ext(±L/2);

dω△(ω) = 1),

энергией, учитывая что

получаем обычное выражение для кондактанса:

(

)

LS(ϵ_n, p_m) δm,m1 Φm1 - δm,-m1 ˆ-m1

pm1 =

e²⁰

(

)

G(ω) =

1 - |R_ω|²

(46)

2πv_c

= L(p_mS(ϵ_n,p_m) + p_mS(ϵ_n,p_m))

Φ_m,

в котором введен медленно зависящий от частоты

получаем вклад в коммутатор, равный

коэффициент отражения носителей от примеси, рав-

∑

v_c

pm1S(ϵ_n, pm1 )Φ(pm1 ).

ный¹⁾

m1=0

|R_ω |² = -

V2imp Re S(|ω|).

(47)

2v_c|ω|

• Коммутатор первого члена c примесным рас-

сеянием равен

ПРИЛОЖЕНИЕ B.

∑

ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МАТРИЦЫ

S(ϵ_n, p_m) ×

L²

ПОВОРОТА

m,m1=0

(

)

× δm,-m1pm2Φm2 -δm,-m2pm2Φ

Введенные нами майорановские поля λ и β ве-

-m1

∑

щественны, нормированы на длину канала и анти-

1^∑

=γ

S(ϵ_n, p_m)

pm1 Φm1 +

коммутируют друг с другом:

m=0

m1=0

∑

{λ(ϵ_n),λ(ϵ_m)} = Lδ_n,-m,

+γ

S(ϵ_n, p_m)p_m

Φ_m

m=0

1=0

а матрица поворота определялась нами как

• Правая часть уравнения есть

1^∑

^λ(ϵ_n) =

S(ϵ_n, p_m)Φ(m).

(48)

∑

m=0

S(ϵ_n, pm1 )Φ(pm1 ).

ϵ_n L

m1=0

Уравнение для матрицы поворота следует

из

«стационарного уравнения Шредингера»

Варьируя получившееся «стационарное уравнение

[^λ(n), H]_-

= ϵ_nλ(n), подстановки в него полей

Шредингера» по

Φ(k_m) (m — любое, включая n),

λ(n) согласно определению (48) и варьированию

получаем уравнение для матрицы поворота:

получившегося выражения по полю Φ_m.

(ϵ_n - v_ck_m)S(ϵ_n, k_m) =

¹⁾ Во избежание недоразумений отметим, что используе-

1^∑

=γk_m

S(ϵ_n, pm1 ) + γ

pm1S(ϵ_n, pm1 ).

мый в этой статье термин «перенормированный взаимодей-

ствием коэффициент отражения фермионов от примеси» не

совсем точен. Речь идет не об амплитуде рассеяния ферми-

(49)

онов на примеси, а о том, что выражение для кондактанса

выглядит с учетом взаимодействия привычным образом. Вы-

Нам осталось получить выражение для обратной

числяется же линейный отклик при ω → 0. В задачах, рас-

матрицы поворота (S-1):

ходящихся в ультрафиолетовой области, это может не совпа-

дать с величиной, получающейся из выражения для сечения

1^∑

рассеяния, когда задается начальное и конечное состояния

Φ(pm1 ) =

S-1(ϵn1 , pm1 )^λ(ϵn1 ).

(50)

при t → ±∞ (cм. обсуждение в конце разд. 4.2).

n1=0

255

В. В. Афонин

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

Подставляя его в выражение (48), получаем

а последнее уравнение — связь между Y (y_n) и Z(y_n):

∑

♭+2v

^λ(ϵ_n) =

S(ϵ_n, p_m)S-1(ϵn1 , p_m)^λ(ϵn1 ).

(51)

Y (y_n) =

Z(y_n).

L²

♭ ϵ_n

m,n1=0

Теперь нам необходимо учесть, что майораны веще-

Таким образом, вся матрица поворота имеет вид

ственны и должны антикоммутировать. Для этого

Z(y_n)L

♭+2m

запишем антикоммутатор полей λ в терминах «непо-

S(ϵ_n, k_m) =

[1 +

(56)

2πv_c(n - m)

♭ n

вернутых» полей:

∑

Из условия унитарности поворота

S(ϵ_n, pm1 )S(ϵ_m, pm2 ){Φ(m₁),

Φ(m₂)} =

L²

∑

m1;m2=0

S(ϵ_-n; p_-m)S(ϵ_n; p_m) = L

(57)

= Lδ_n,-m,

−N1;m=0

т.е.

мы можем получить выражение для Z(y_n):

∑

δ_n,m =

S(ϵ_n, pm1 )S(ϵ_-m, p-m1 ).

L²

m1=0

)²Z(y_n)Z(y_-n) ×

2πv

Отсюда сразу следует, что если элементы обратной

∑

♭+2m

матрицы поворота удовлетворяют условию

[1 +

]²/(n - m)² = 1.

(58)

♭ n

−N1;m=0

S-1(ϵ_n, p_m) = S(ϵ_-n, p_-m),

(52)

Для того чтобы вычислить последнее слагаемое,

то равенство (51) превращается в тождество. (Впро-

введем

чем, это соотношение лишь показывает, что матрица

поворота унитарна.)

∑

S₀(y, N₁) =

= -∂_yA(y) =

(y - m)²

-N1,m=0

B.1. Спектр

= -∂_y[(B(y) + 2N₁)/y],

Система уравнений (29),

(30), определяющая

∑

матрицу поворота, зависит от расходящихся в тер-

S₁(y, N₁) =

= -∂_y[yA(y, N₁)],

(59)

модинамическом пределе (N₁ → ∞) сумм. При сим-

(y - m)²

-N

метричной регуляризации

∑

m²

S₂(y, N₁) =

= -∂_y[yB(y)] =

∑

(y - m)²

A(y) =

= π ctg(πy) -

+ O(1/N₁),

-N1

y-m

−N1,m=0

= -∂_y[-2yN₁ + y²A(y)].

(53)

∑

В терминах этих сумм уравнение (58) записывается

B(y, N₁) =

= yA(y, N₁) - 2N₁,

в виде

y-m

-N1

[

∑

m²

)²Z(y_n)Z(y_-n) S₀(y, N₁) +

C(y, N₁) =

= yB(y).

2πv_c

y-m

)₂

]

-N1

♭+2

⁽♭+2

S₁(y, N₁) +

S₂(y, N₁)

= 1.

В этих обозначениях уравнения для матрицы пово-

y♭

рота переписываются в виде

Последний множитель в этой формуле равен

2π

♭N₁Z(y_n) = B(y, N₁)Z(y_n) +

C(y_n)Y (y_n) = 0,

(

)₂

♭+2

(54)

[...] = -∂_yA(y) 1+

♭

2π

)₂

♭N₁Y (y_n) =

A(y_n)Z(y_n) + B(y_n)Y (y_n).

♭+2⁽

♭+2⁾

⁽♭+2

- 2A(y)

+ 2N₁

y♭

♭

y♭

Условие существования решения уравнений дает

точное уравнение для спектра:

где

♭²N1

B(y_n) =

(55)

A(y) = π ctg(πy) -

∂A(y) = -

2(♭ + 1)

sin² πy

y²

256

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

Жидкость Латтинжера с притяжением и одной примесью: точное решение

Нам будет удобно записать sin² πy в виде, следую-

ние для регуляризованного коррелятора псевдоска-

щем из точного уравнения для спектра:

лярной плотности:

)₂

⁽P

(♭ + 2)²

S(t) = -(2γ_s)²Φ²⁰(♭)Φ²⁰(-♭) ×

[1 +

]sin² πy = 1, P²

= [N₁

+ 1]².

∫

πy

2(♭ + 1)

× (dkdk₁) exp(itv_c(k + k₁)) (kΦ₀(♭) - k₁Φ₀(-♭))² ×

(60)

В итоге имеем

× [θ(t)θ(k) - θ(-t)θ(-k)][θ(t)θ(k₁) -

- θ(-t)θ(-k₁)]F(k, M_PV )F(k₁, M_PV ).

(64)

1 [4(♭ + 1)

(♭ + 2)

[...] =

(P²

- 1) - 2N₁

(♭ + 1) +

y²

♭²

Для дальнейшего вычисления нам будет удобно

(♭ + 2)² ]

(♭ + 1)²

+ 2N₁

+ 4π²

воспользоваться тем, что за исключением множи-

♭²

теля (kΦ₀(♭) - k₁Φ₀(-♭))² остальное подынтеграль-

ное выражение симметрично относительно замены

Нам нужен термодинамический предел выраже-

ния для матрицы поворота. Будем считать, что

k < - > k₁. Тогда этот множитель можно предста-

вить в виде

N₁|♭ + 2| ≫ 1. В таком случае P ∼ N₁, поэтому

второе и третье слагаемое в этом выражении дадут

посттермодинамические поправки порядка O(1/N₁).

(Φ₀(♭)k - Φ₀(-♭)k₁)² →

Последнее же слагаемое приведет к регуляризации

→

(Φ₀(♭)²+Φ₀(-♭)²)(k+k₁)²-kk₁(Φ₀(♭)+Φ₀(-♭))².

выражения для Z при малых y_n и его надо оставить.

Таким образом,

Поэтому все выражение записывается как

2π(♭ + 1)

Ń2

[...] = (

)²[

+ y²],

S(t) = -(2γ_s)²Φ²⁰(♭)Φ²⁰(-♭) ×

y♭

∫

Ń₁ = N₁(♭ + 2)²/2π(♭ + 1),

× (dkdk₁) exp(itv_c(k + k₁)) ×

^[1

♭v_c

y_n

(Φ²⁰(♭) + Φ²⁰(-♭))(k + k₁)² -

Z(ϵ_n) =

(61)

Ń2

]

♭+1[

+y2n]1/2

(-♭))2 ×

- kk₁(Φ₀(♭) + Φ₀

Подставляя это выражение в уравнение (56), имеем

× [θ(t)θ(k)θ(k₁) + θ(-t)θ(-k)θ(-k₁)] ×

окончательное выражение для матрицы поворота:

× F(k,MPV )F(k₁,MPV ).

(65)

Lz₀

y_n

♭+2m

S(ϵ_n, k_m) =

[1 +

(62)

Для вычисления перенормированного коэффициен-

N²¹ + y2n]1/2 yn - m

♭ y_n

та отражения фермионов от примеси нам будет нуж-

где z₀ = ♭/2π(♭ + 1). Прямым вычислением можно

на вещественная часть фурье-преобразования этого

показать, что это выражение удовлетворяет усло-

выражения. Меняя в последнем слагаемом получив-

вию унитарности (57).

шегося выражения t; k1,2 → -t; -k1,2, имеем

При n, N₁ ≫ 1 точное выражение для спектра

Re S(ω) = -2(2γ_s)²Φ²⁰(♭)Φ²⁰(-♭) ×

(60) переходит в

∫

∞

∫

∞

(

)

πn

× Re dt cos(ωt) (dkdk₁) exp(itv_c(k + k₁)) ×

y_n = n

arcsin

√

∼n+

(63)

πn

P² + π²n²

[

(Φ²⁰(♭) + Φ²⁰(-♭))(k + k₁)² -

(в такой записи arcsin понимается в смысле главного

]

значения).

- kk₁(Φ₀(♭) + Φ₀(-♭))2

× F(k,MPV )F(k₁,MPV ).

(66)

ПРИЛОЖЕНИЕ С.

ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРРЕЛЯТОРА S

Из этого выражения видно, что в подынтегральном

выражении по k у нас выделились две структуры: с

Подставляя выражения (36)-(38) для одноча-

(k + k₁)² и kk₁.

стичных функций Грина в (39), получаем выраже-

257

ЖЭТФ, вып. 2

В. В. Афонин

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

• Слагаемое с (k+k₁)². Понизить степень знаме-

Далее мы должны учесть, что хотя наc и ин-

нателя в выражении для функции F(k, M_PV )

тересует предел MPV → ∞, но безразмерное

можно, записав квадрат выражения, стояще-

время τ = M_PV t при этом может быть любым.

го в F(k, M_PV ), как производную по M_PV , a

После дифференциирования по M_PV мы уже

(k + k₁)² — как ∂2t от экспоненты. Таким обра-

можем перейти к безразмерному времени:

зом, весь интеграл по dkdk₁ представляется в

виде

∂MPV

(L_a(M_PV t) + iR_a(M_PV t)) =

[

]

∂

-1 + τ

(L_a(τ) + iR_a(τ)).

M2PV

∂τ

(4πv_c)² ∂t²

[∫

]₂

∂

Заметим, что все выражение для коррелятора

× dk exp{(itv_ck)}(M³

)

∂M_PV k²v2c +M²

не имеет неинтегрируемых особенностей при

τ → 0 и хорошо сходится на больших τ:

и все первое слагаемое равно

∂

-R_a(τ) + τ

R_a(τ) = -

τ ≫ 1,

Re S₁(ω) =

∂τ

∂

M6PV

−R_a(τ) + τ

R_a(τ) = -τ, τ ≪ 1.

= (2γ_s)²Φ²⁰(♭)Φ²⁰(-♭)(Φ²⁰(♭) + Φ²⁰(-♭))

∂τ

(4πv_c)²

Поэтому при вычислении вещественной части

∫∞

частотнозависящего вклада, возникающего от

× Re cos ωtdt ×

этого слагаемого в вещественной части (66),

мы можем дважды проинтегрировать по ча-

⎡

⎤

∫

∞

стям. В итоге все выражение окажется пропор-

∂

exp{(itv_ck)}

⎣

⎦ .

циональным

∂t²

∂M_PV

k²v2c + M²

∞

∫

∂

Это равенство удобно выразить через интеграл

M_PV ω²

dτcos(ωτ/M_PV ){[(1-τ

)L_a(τ)]²-

∂τ

Лапласа (L_a) и Раабе (R_a) [22]:

∂

∫

∞

- [(1 - τ

)R_a(τ)]²}.

exp{(itv_ck)}

∂τ

k²v2c + M2PV

Учитывая, что подынтегральное выражение

быстро убывает при τ ≫ 1 (т.е. cos(ωτ/M_PV )

v_c

(L_a(M_PV t) + iR_a(M_PV t)).

можно заменить на 1), видим, что весь инте-

M_PV

грал по τ дает коэффициент порядка 1 при

Интеграл Лапласа экспонциально убывает при

M_PV ω². В результате вся частотнозависящая

M_PV t ≫ 1 и стремится к постоянному зна-

часть этого слагаемого равна

чению в обратном предельном случае. А ин-

Re δS₁(ω) = -γ2sF₁(V_imp)M_PV ω²,

(67)

теграл Раабе при M_PV t

≫ 1 убывает как

1/M_PV t, а при малом значении аргумента

F₁(V_imp) =

R_a(M_PV t) ≃ -(γ_E + ln(M_PV t))M_PV t.

Φ²⁰(♭)Φ²⁰(-♭)(Φ²⁰(♭) + Φ²⁰(-♭)) ×

(2π)²

Это позволяет нам записать предыдущее вы-

∫

∞

ражение в виде

∂

× dτ{[(1-τ

)L_a(τ)]²-[(1-τ

)R_a(τ)]²}.

∂τ

Re S₁(ω) =

(68)

γ2s

Φ²⁰(♭)Φ²⁰(-♭)(Φ²⁰(♭) + Φ²⁰(-♭))M6PV ×

(2π)²

• Слагаемое с kk₁. В этом случае интегралы по

k пропорциональны

∫∞

∫

× Re cos ωtdt ×

[∂

dk exp{(itv_ck)} ×

(4πv_c)²

∂t

[

]

]₂

∂

×∂²

∂MPV

(L_a(M_PV t) + iR_a(M_PV t))

× (M³

)

M_PV

∂M_PV k²v2c +M²

258

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

Жидкость Латтинжера с притяжением и одной примесью: точное решение

Заметив, что

A. Furusaki and N. Nagaosa, Phys. Rev. B 47,

4631 (1993).

∂_t∂MPV

(L_a(M_PV t) + iR_a(M_PV t)) =

M_PV

L. I. Glazman, K. A. Matveev, and D. Yue, Phys.

Rev. B 49, 1966 (1994).

∂

(L_a(τ) + iR_a(τ)),

M_PV ∂τ²

D. N. Aristov and P. W. Wölfle, Phys. Rev. B 80,

это выражение удобно переписать в виде

045109 (2009).

Re δS₂(ω) = γ2sF₂(V_imp)M_PV ω²,

(69)

V. V. Afonin and V. Yu. Petrov, J. Phys.: Condens.

Matter 30, 355601 (2018).

F₂(V_imp) =

A. Furusaki, Phys. Rev. B 56, 9352 (1997).

Φ₀(♭)²Φ₀(-♭)²(Φ₀(♭) + Φ₀(-♭))² ×

10.

P. Fendley, A. W. W. Ludwig, and H. Saleur, Phys.

(2π)²

Rev. B 52, 8934 (1994).

∫∞

∂

∂²

× τ⁴dτ{[

L_a(τ)]² - [

R_a(τ)]²}.

(70)

11.

V. V. Afonin and V. Yu.Petrov, Pis’ma v ZhETF

∂τ²

97, 587 (2013).

При этом переходе мы снова учли, что подын-

12.

J. Bardeen, Phys. Rev. Lett. 6, 57 (1961).

тегральные выражения быстро убывают при

τ ≫ 1. Это позволило ограничиться первым

13.

V. V. Afonin and V. Yu. Petrov, JETP Lett. 109,

членом разложения sin²(ωτ/2M_PV ) для ча-

762 (2019).

стотнозависящей части коррелятора.

14.

Б. Л. Иоффе, УФН 178, 647 (2008).

В итоге мы убедились, что вещественная часть пет-

левой диаграммы пропорциональна -γ2sM_PV ω² с

15.

M. Peskin and D. Schroeder, An Introduction to

коэффициентом, равным

Quantum Field Theory, Addison-Wesley (1996),

pp. 654-656.

F (V_imp) = F₁(V_imp) - F₂(V_imp).

16.

V. V. Afonin and V. Yu. Petrov, JETP Lett. 101,

Во всех этих вычислениях важно, что все на-

622 (2015).

ши подынтегральные выражения не расходятся при

τ → 0, а сами интегралы определяются областью

17.

J. Hubbard, Phys. Rev. Lett. 3, 77 (1959).

τ ∼ 1.

18.

V. V. Afonin and S. V. Gantsevich, Cond. Mat. 4,

62 (2019); doi: 10.3390/condmat4030062.

ЛИТЕРАТУРА

19.

В. В. Афонин, В. Ю. Петров, ЖЭТФ 134, 637

(2008).

1. S. Tomonaga, Prog. Theor. Phys. 5 , 544 (1950).

2. J. Schwinger, Phys. Rev. 128, 2425 (1962).

20.

F. D. M. Haldane, J. Phys. C 14, 2585 (1981).

3. G. S. Danilov, I. T. Dyatlov, and V. Yu. Petrov,

21.

V. V. Afonin and V. Yu. Petrov, Found. Phys. 40,

Zh. Eksp. Theor. Fiz. 78, 1314 (1980) [Sov. Phys.

190 (2010); doi: 10.1007/s10701-009-9385-7.

JETP 51, 663 (1980)].

22.

H. Bateman and A. Erdelyi, Higher Transcendental

4. C. L. Kane and M. P. A. Fisher, Phys. Rev. B 46,

Functions, Mc Graw-Hill Book Company, New

15233 (1992).

York (1953), Vol. 2, p. 148.

259