ЖЭТФ, 2023, том 163, вып. 2, стр. 227-237

К ЗАДАЧЕ О СВЯЗАННОМ СОСТОЯНИИ ЭЛЕКТРОНА И

ДЫРКИ В ДИХАЛЬКОГЕНИДАХ ПЕРЕХОДНЫХ МЕТАЛЛОВ

П. А. Крачковa*, И. С. Тереховa**

^a Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера Сибирского отделения Российской академии наук

630090, Новосибирск, Россия

Поступила в редакцию 23 мая 2022 г.,

после переработки 9 сентября 2022 г.

Принята к публикации 10 сентября 2022 г.

Рассмотрены взаимодействующие электрон и дырка в дихалькогенидах переходных металлов. Для иссле-

дования взаимодействия было получено уравнение Бете - Солпитера в ведущем порядке по потенциалу

взаимодействия. Показано, что поведение потенциала на малых расстояниях существенно влияет на зна-

чения энергий связи электрона и дырки. Получено, что разложение уравнения Бете - Солпитера при

малой константе связи не содержит сингулярных операторов. Поэтому энергия связи электрона и дырки

не содержит параметра регуляризации. Используя теорию возмущений по константе связи, мы аналити-

чески рассчитали энергии основного и первого возбужденного состояний. Для произвольных значений

константы связи численно получены энергии связанных состояний электрона и дырки. Также численно

найдены критические значения константы связи для кулоновского потенциала и для экспоненциально

убывающего потенциала.

DOI: 10.31857/S0044451023020098

Теоретическое исследование взаимодействую-

EDN: OQSTQJ

щих электрона и дырки в материалах представляет

собой довольно сложную задачу. Эта сложность

связана с нетривиальностью введения взаимодей-

1. ВВЕДЕНИЕ

ствия в модель. Было много попыток описать

В 2004 г. появилась знаменитая статья [1], по-

взаимодействие электрона и дырки в двумерных

священная экспериментальному исследованию гра-

ДПМ, см., например,

[3-10]. Так, в работе

[5]

фена. Статья вызвала всплеск интереса к двумер-

для нахождения гамильтониана, описывающего

ным и квазидвумерным материалам. Одними из та-

взаимодействующие электрон и дырку, авторы пре-

ких материалов являются двумерные дихалькоге-

образовали гамильтониан невзаимодействующих

ниды переходных металлов (ДПМ). Эти материалы

электрона и дырки к блочно-диагональному виду.

представляют собой полупроводники, имеющие ши-

Затем полученный гамильтониан разложили по

рину запрещенной зоны порядка 2 эВ, см., напри-

малому параметру в предположении, что кинетиче-

мер, [2]. Кроме того, ДПМ — это дираковские ма-

ская энергия много меньше ширины запрещенной

териалы, т. е. движение одночастичных возбужде-

зоны. После этого в гамильтониан ввели слагае-

ний электронного газа в них описывается двумер-

мое, отвечающее кулоновскому взаимодействию.

ным уравнением Дирака. Исследование энергий эк-

В работе [3] для нахождения спектра экситонов

ситонных состояний (связанных состояний электро-

и исследования критического поведения системы

на и дырки) для ДПМ является интересной зада-

рассматривается двумерное модифицированное

чей как с экспериментальной, так и с теоретической

уравнение Дирака для частицы в кулоновском

точек зрения. Сравнение теоретических предсказа-

поле. В работах [4, 6] гамильтониан системы был

ний экситонного спектра со спектром, полученным

выбран в виде суммы трех слагаемых. Первое

экспериментально, может дать понимание природы

второе и третье слагаемые являются кинетической

электрон-электронного взаимодействия в ДПМ.

энергией частицы с приведенной массой, потенци-

алом взаимодействия и слагаемым, связанным с

^* E-mail: p.a.krachkov@inp.nsk.su

кривизной Берри, соответственно. Также в рабо-

^** E-mail: i.s.terekhov@inp.nsk.su

227

П. А. Крачков, И. С. Терехов.

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

те [4] для описания системы обсуждались еще два

запрещенной зоны. Однако величины кинетической

уравнения. Первое — уравнение Шредингера для

энергии и энергии взаимодействия для электронов

двух взаимодействующих дираковских частиц с га-

в ДПМ имеют порядок ширины запрещенной зо-

мильтонианом, разложенным по малому параметру

ны, поэтому такое приближение для функции Грина

отношения энергии связи к ширине запрещенной

некорректно.

зоны. Второе уравнение является некоторой моди-

В настоящей работе мы получаем УБС для си-

фикацией уравнения Бете - Солпитера. В работе [9]

стемы взаимодействующих электрона и дырки в

рассматривается уравнение Шредингера для двух

двумерных ДПМ в ведущем порядке по потенциалу

взаимодействующих дираковких частиц. Авторы

взаимодействия. Мы исследуем решения полученно-

получили разложение этого уравнения по малой

го уравнения для разных значений константы связи

константе связи в ведущем и следующем за ве-

и для разных типов потенциалов. Для кулоновско-

дущим порядке. Результат разложения совпал с

го потенциала мы находим аналог нерелятивистско-

уравнением, полученным в [4]. Было обнаружено,

го приближения для УБС, который можно исполь-

что при разложении гамильтониана возникают

зовать в случае малой константы связи. Найденное

неинтегрируемые сингулярные операторы. Поэто-

уравнение отличается от полученного в работах [4,9]

му для вычисления поправок по константе связи

и не содержит неинтегрируемых операторов, поэто-

к энергиям экситона необходимо ввести некото-

му поправка к энергии экситона не зависит от пара-

рый параметр регуляризации [9]. Таким образом,

метра регуляризации. Мы также находим численно

поправки зависят от параметра регуляризации.

критическое значение константы связи, т. е. значе-

Зависимость энергий связи от внешних параметров

ние константы связи, при котором энергия основ-

выглядит необычно, поэтому необходимо даль-

ного состояния экситона достигает валентной зоны.

нейшее изучение взаимодействующих электрона и

Для исследования поведения решений вблизи кри-

дырки. Различные подходы к задаче показывают

тических значений константы связи мы рассмотрели

сложность добавления в систему взаимодействия

локализованный потенциал, не содержащий особен-

между электронами.

ностей.

Эта сложность связана с тем, что задача о вза-

Статья имеет следующую структуру: в разд. 2

имодействии электрона и дырки в дихалькогени-

мы описываем модель, получаем УБС для электро-

дах не является двухчастичной, поскольку суще-

на и дырки; в разд. 3 рассматриваем разложение

ствуют электроны под поверхностью Ферми, кото-

УБС при малой константе связи и показываем, что

рые приводят к появлению электрон-дырочных воз-

стандартный метод разложения УБС в случае куло-

буждений в промежуточных состояниях. Аналогич-

новского потенциала приводит к появлению неинте-

ные задачи рассматривались в рамках квантовой

грируемых поправок к потенциалу взаимодействия.

теории поля, см., например, [11,12]. Уравнение, опи-

В разд. 3.1 находим правильное разложение УБС в

сывающее связанные состояния электрона и дыр-

случае кулоновского потенциала взаимодействия. В

ки, — это уравнение Бете - Солпитера (УБС). Поэто-

разд. 4 представлено точное численное решение для

му для нахождения экситонного спектра необходи-

УБС. В этой же главе мы сравниваем точное реше-

мо получить УБС для системы взаимодействующих

ние и решение, полученное с помощью теории воз-

электрона и дырки. УБС для полупроводников было

мущений. Также мы находим критические значения

получено в работе [13]. УБС для двумерных ДПМ

констант связи. В Заключении обсуждаются полу-

рассматривалось работах [8,10]. В работе [8] авторы

ченные результаты.

численно решили УБС и нашли спектр экситонов.

При получении спектра учитывались как приближе-

2. МОДЕЛЬ

ние случайных фаз для потенциала, так и поправки,

связанные с оператором собственной энергии. Од-

Стартовой точкой нашего рассмотрения являет-

нако одночастичная функция Грина, используемая

ся гамильтониан, описывающий спектр одночастич-

в работе [8], соответствует частице с параболиче-

ных возбуждений в двумерных ДПМ [14]:

ской зависимостью энергии от импульса, тогда как

σ^z - 1

в ДПМ одночастичные возбуждения описываются

Ĥ_λ = v₀ (τ p_xσ^x + p_yσ^y) +Δσz - λτ

s_z,

(1)

двумерным уравнением Дирака и имеют другой за-

кон дисперсии. Приближение для функции Грина,

где (σ^x, σ^y, σ^z ) — матрицы Паули, отвечающие псев-

используемое в работе [8], означает малость кине-

доспиновой степени свободы, p = (p_x, p_y) — опе-

тической энергии частицы по сравнению с шириной

ратор импульса, s_z — матрица Паули, отвечающая

228

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

К задаче о связанном состоянии электрона и дырки...

спиновой степени свободы, τ = ±1 — индекс, отве-

взаимодействующих электрона и дырки в двумер-

чающий долине, λ — параметр спин-орбитального

ных ДПМ спорно.

взаимодействия, Δ — ширина запрещенной зоны. В

В рамках квантовой электродинамики показано,

уравнении (1) мы ввели скорость v₀ = at/ℏ, a — по-

что УБС описывает связанные состояния электрона

стоянная решетки, t — интеграл перекрытия, ℏ —

и позитрона [11,12]. Теория электронного газа в по-

постоянная Планка, см. детали в [14]. Значения па-

лупроводниках аналогична квантовой электродина-

раметров Δ, λ, t, и a можно найти в таблице 1 ра-

мике, поэтому для исследования свойств экситонов

боты [14]. Поскольку λ/Δ ≪ 1, мы в качестве нуле-

(связанных состояний электрона и дырки) в полу-

вого приближения положим λ = 0. Тогда гамильто-

проводниках необходимо найти и решить УБС [13].

ниан (1) принимает вид

Используя технику, описанную в [12], мы получаем

УБС для взаимодействующих электрона и дырки в

Ĥ= (σ · p) + mσ^z,

(2)

ведущем порядке по потенциалу взаимодействия:

где m = Δ/2 — масса квазичастицы, σ = (σ^x, σ^y ).

Ψ^i,j(ε₁, p₁|ε₂, p₂) = -iG^i,ne(ε₁, p₁)G^j,lh(ε₂, p₂) ×

Здесь и далее мы переходим к безразмерным вели-

∫

dq dω

чинам и полагаем ℏ = v₀ = 1. Кроме того, мы без

V (q)Ψ^n,l(ε₁ + ω, p₁ + q|ε₂ - ω, p₂ - q), (5)

(2π)³

потери общности рассматриваем случай τ = 1. Соб-

ственные значения E гамильтониана (2) зависят от

где V (q) — это фурье-образ потенциала электрон-

импульса следующим образом:

электронного взаимодействия V (r), G^i,ma(ε, p) —

√

функция Грина частицы, индекс a = {e, h} соответ-

E(p) = ±

p² + m².

(3)

ствует электрону/дырке, а верхние индексы отвеча-

Отметим, что каждый уровень энергии четырех-

ют матричным элементам сигма-матриц. Функция

кратно вырожден, дважды по спиновой степени сво-

Грина имеет следующий вид:

боды и дважды по числу долин.

ε + (σ^i,ma · p) + m(σ^za)^i,m

Для нахождения энергетического спектра экси-

G^i,ma(ε, p) =

(6)

ε² - p² - m² + i0

тонов необходимо ввести взаимодействие в гамиль-

тониан:

Мнимая добавка в знаменателе функции Грина

означает, что энергия Ферми расположена в сере-

(σ_e · p_e) + mσ^ze + (σ_h · p_h) + mσ^zh,

(4)

дине запрещенной зоны. Волновая функция Бете -

где индексы e и h соответствуют электрону и дыр-

Солпитера Ψ зависит от двух энергий ϵ₁ и ϵ₂, однако

ке. В работах [3-7] отправной точкой рассмотре-

волновая функция экситона должна зависеть толь-

ния является разложение гамильтониана невзаи-

ко от одной энергии (одного времени во временном

модействующих частиц вблизи энергии электрон-

представлении). Поэтому функция Ψ не может рас-

дырочной пары равной 2m. Затем добавляется по-

сматриваться в качестве волновой функции эксито-

тенциал взаимодействия V (r) и некоторые слага-

на. Эта проблема хорошо изучена [12]. Для получе-

емые, связанные с кривизной Берри, см., напри-

ния волновой функции экситона в уравнении (5) мы

мер, [4, 6]. Такое рассмотрение аналогично нереля-

переходим к новым переменным E и Ω: ε₁ = E/2+Ω,

тивистскому разложению в квантовой электродина-

ε₂ = E/2 - Ω. Затем интегрируем по переменной Ω

мике. Хорошо известно, что это разложение спра-

обе части уравнения и получаем

ведливо, когда выполняется следующее соотноше-

∫

)

dΩ

⁽E

ние: (2m - E_exc)/m ≪ 1, где E_exc — энергия па-

ψ(E, p₁, p₂) = -i

G_e

+ Ω, p₁

2π

ры электрон-дырка [11]. Однако для таких мате-

)∫

риалов, как W S₂ и W Se₂, энергия связи электро-

⁽E

×G_h

- Ω, p₂

V (q)ψ(E, p1 + q, p2 - q),(7)

на и дырки порядка m, т. е. (2m - E_exc)/m ∼ 1,

(2π)²

см. [15,16]. Это означает, что величина эффективной

где введена волновая функция экситона:

безразмерной константы связи между квазичасти-

∫

)

цами порядка единицы. Для такой константы свя-

dΩ

⁽1

ψ(E, p₁, p₂) =

E + Ω,p₁|

E - Ω,p₂

зи аналог нерелятивистского разложения неприме-

2π

ним, поскольку электрон-дырочные возбуждения в

промежуточном состоянии могут существенно изме-

Здесь и далее мы опускаем индексы, отвечаю-

нить взаимодействие, см. [11,12]. Поэтому примени-

щие элементам сигма-матриц. Ниже мы будем рас-

мость аналога нерелятивистского разложения для

сматривать экситон с нулевым полным импульсом,

229

П. А. Крачков, И. С. Терехов.

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

т. е. p₁ = -p₂ = p. Выполняя интегрирование по пе-

3. ПРИБЛИЖЕНИЕ МАЛОЙ КОНСТАНТЫ

ременной Ω в правой части уравнения (7), мы полу-

СВЯЗИ

чаем следующее уравнение для волновой функции

Покажем, что в случае слабого взаимодей-

экситона ψ(E, p) =

ψ(E, p, -p):

ствия между электроном и дыркой УБС

(8)

(E - (σ_e - σ_h) · p - (σ^zh + σ^ze ) m) ψ(E, p) =

переходит в уравнение Шредингера. Представим

∫

(

)

функцию ψ(E, p) в следующем виде:

Λ^--(p) - Λ⁺⁺(p)

V (|p - q|) ψ(E, q) , (8)

(2π)²

ψ(E, p) = f(p)|1, 1〉 + h(p)|1, -1〉 +

где операторы Λ^±± имеют следующий вид:

+ g(p)|1, 0〉 + d(p)|0, 0〉,

(15)

Λ^±±(p) = Λ^±e(p)Λ^±h(-p),

(9)

где

|Σ, Σ^z〉

— собственные векторы операто-

ω(p) ± (σ_a · p + mσ^za)

Λ^±a(p) =

(10)

ров (σ_e + σ_h)² и (σ^ze + σ^zh):

2ω(p)

√

(σ_e + σ_h)²|Σ, Σ_z〉 = (Σ² + Σ - (Σ^z)²)|Σ, Σ^z〉 ,

ω(p) =

p² + m² .

(σ^ze + σ^zh)|Σ, Σ^z〉 = Σ^z |Σ, Σ^z〉.

Отметим, что уравнение (8) похоже на уравнение

Бете - Солпитера для электрон-позитронной пары,

Подставляя функцию ψ(E, p) в виде (15) в уравне-

полученного в квантовой электродинамике. Это не

ние (8), получаем систему уравнений

удивительно, поскольку гамильтониан (2) является

√

двумерным аналогом дираковского гамильтониана

Ef(p) = 2mf(p) -

2p^-d(p) -

V f)(p) +

электрона. В координатном представлении уравне-

ω(p)

ние (8) имеет вид

p^-

√

V d)(p) ,

(16)

(

)

2ω(p)

∂

- ((σ_e - σ_h) · p) - (σ^zh + σ^ze ) m ψ(t, r) =

∂t

∫

[

]

√

= dR

Q^--(r - R) - Q⁺⁺(r - R)

V (R) ψ(t, R),(11)

Eh(p) = -2mh(p) +

2p⁺d(p) +

V h)(p) -

ω(p)

где

p⁺

(

)

−

√

V d)(p) ,

(17)

∂

2ω(p)

p = -i

∂x

∂y

— оператор импульса, а Q^±±(r) — фурье образ опе-

√

Ed(p) =

2p^-h(p) -

2p⁺f(p) +

ратора Λ^±±(p):

∫

p⁺

p^-

d²p

√

V f)(p) -

√

V h)(p),

(18)

Q^±±(r) =

ei(p·r)Λ^±±(p).

(12)

2ω(p)

(2π)²

Eg(p) = 0,

(19)

Можно показать, что уравнение (11) имеет сохраня-

ющийся ток с плотностью ρ:

где p^± = p_x ± ip_y,

∫

(

)

∫

ρ = dr

|ψ⁺⁺(t, r)|² - |ψ^--(t, r)|²

(13)

V f)(p) =

V (|p - k|)f(k).

(20)

(2π)²

где

∫

Уравнение для функции g(p) отделилось от систе-

ψ^±±(t, r) = dR Q^±±(r - R)ψ(t, R).

мы (16)-(18), кроме того, в случае отличной от нуля

В импульсном представлении ρ имеет следующий

энергии E = 0 функция g(p) равна нулю, поэтому

вид:

далее мы полагаем g(p) = 0. Разложение системы

∫

уравнений (16)-(18) по малой константе связи ана-

ρ=

ψ^†(t, p)[Λ⁺⁺(p) - Λ^--(p)] ψ(t, p), (14)

логично нерелятивистскому разложению уравнения

(2π)²

Дирака для электрона во внешнем поле [11].

где ψ^†(t, p) — это функция, эрмитово сопряженная

Энергия связи E - 2m, характерное значение

к функции ψ(t, p). Плотность ρ может быть отрица-

импульса и потенциал взаимодействия при малой

тельной, поэтому величина ρ не может рассматри-

константе связи удовлетворяют следующим услови-

ваться как плотность вероятности, см. [12].

ям [11]:

230

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

К задаче о связанном состоянии электрона и дырки...

|E - 2m| ≪ m,

(21)

p²

p⁴

κf(p) =

f (p) - (V f)(p) -

f (p) +

4m³

p²

≪ m,

(22)

p_-(V p₊f)(p)

(V f)(p) -

(28)

∫



2m²



dkf⁺(k)

V f)(k)



∫



≪ m.

(23)

В этом уравнении удержаны слагаемые, имеющие



dk|f(k)|²



необходимый порядок точности. Видно, что опера-

При разложении уравнений (16)-(18), как и в соот-

тор в правой части не является эрмитовым. Причи-

ношении (23), предполагается, что основной вклад

на в том, что функция f(p) не является волновой

в интегралы по переменной k дает область импуль-

функцией уравнения Шредингера, поскольку усло-

сов k ≪ m. В случае кулоновского потенциала ос-

вие её нормировки отличается от нормировки шре-

дингеровской волновой функции, см. [11]. Для того

новной вклад в интегралы дает область k ∼ a-1B,

где a_B — боровский радиус. Таким образом мы пред-

чтобы получить гамильтониан, мы должны перейти

к новой функции.

полагаем, что функции f, h и d убывают достаточно

быстро при больших импульсах.

Волновая функция ψ(E, p) нормирована услови-

Для соединения WS₂ ширина запрещенной

ем (14), которое с необходимой точностью принима-

зоны и энергия связи равны Δ

2.41 эВ,

ет следующий вид:

∫ (

)

|E - 2m|

= 0.32 эВ; для WSe₂ — Δ

= 2.02 эВ,

p²

|E - 2m| = 0.37 эВ, см. [15]. Если сравнить энергию

ρ ≈ dp

|f(p)|².

(29)

2m²

связи в этих соединениях с результатами работы [5],

то получим, что величина эффективной константы

Поэтому, подставляя функцию f в виде

связи порядка 0.5. При таких значениях константы

(

)

p²

связи точные результаты для энергий связи могут

f (p) =

ψ_Sh(p),

(30)

4m²

сильно отличаться от результата, полученного в

главном приближении. Поэтому необходимо решить

в уравнение (29), получаем с необходимой точно-

задачу точно, либо вычислить поправку к энергии

стью следующее выражение для плотности ρ:

связи. Точное численное решение УБС рассмот-

∫

рено в разд. 4. В настоящем разделе мы найдем

ρ = dp|ψ_Sh(p)|².

(31)

аналитически поправку к энергии связи.

Разложим уравнения (16)-(18) до второго поряд-

Видно, что сохраняющаяся плотность ρ (31) совпа-

ка по потенциалу. Для этого подставим энергию E

дает с плотностью для уравнения Шредингера. Под-

в виде

ставляя функцию f в виде (30) в (28), затем вы-

полняя преобразование Фурье, мы получаем уравне-

E = 2m + κ

(24)

ние Шредингера для функции ψ_Sh в координатном

в (16)-(18), учитывая неравенства (21)-(23), раскла-

представлении:

дываем величину ω(p), считая что p²/m² ≪ 1, удер-

κψ_Sh(r) = (

Ĥ₀ +

Ĥ₁)ψ_Sh(r),

(32)

живаем слагаемые необходимого порядка и получа-

p²

ем

Ĥ₀ =

- V (r).

(33)

(

)

√

κf(p) ≈ -

2p^-d(p) -

V f)(p) +

ℏ²

2m²

Ĥ₁ = -

(∇²V)+

4m³v²⁰

4m²v²

−

√

V d)(p) ,

(25)

iℏ²

[(∇V ) × ∇]_z .

(34)

2m²v

p⁺d(p)

h(p) ≈

√

(26)

Здесь ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y), [ a × b ] — векторное про-

(

изведение. В уравнении (32) мы восстановили раз-

p⁺

κ )

d(p) ≈

√

h(p) -

√

f (p) +

Ĥ₀

мерность. Оператор

является гамильтонианом

частицы с массой m/2, находящейся в потенциа-

V f)(p).

(27)

ле -V (r). Знак минус перед потенциалом связан с

23/2m²

тем, что V (r) — потенциал электрон-электронного

Подстановка функции h в виде (26) в (27), а затем

взаимодействия. Гамильтониан

Ĥ₁ является эрмито-

полученного результата для d в (25) приводит к сле-

вым оператором. Отметим, что уравнение (32) бы-

дующему уравнению:

ло получено ранее в работах [4, 9] при разложении

231

П. А. Крачков, И. С. Терехов.

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

другого уравнения, а именно уравнения Шрединге-

измерениях, а кулоновское поле распространяется

ра для двух взаимодействующих дираковских час-

в трех измерениях. Это приводит к тому, что по-

тиц.

тенциал на малых расстояниях ведет себя как 1/r

Рассмотрим решения уравнения (32) в случае ку-

вместо ln r. Для потенциалов, сингулярность кото-

лоновского потенциала

рых меньше чем 1/r при r → 0, можно использовать

разложение (32) и поправка δκ не будет содержать

V_C(r) =

(35)

внешнего параметра регуляризации. Для кулонов-

ϵr

ского потенциала разложение УБС необходимо вы-

где e — заряд электрона, ϵ — коэффициент диэлек-

полнить аккуратнее.

трической проницаемости. Собственные функции и

Расходимость интеграла (38) на малых рассто-

собственные значения гамильтониана

Ĥ₀ +

Ĥ₁ мож-

яниях для состояний l = 0 означает, что расстоя-

но найти с необходимой точностью, используя тео-

ния r ≪ a_B (большие импульсы p ≫ 1/a_B) дают

рию возмущений. Представим κ и ψ_Sh(r) в виде

вклад в поправку. Как следствие, предположение,

что основной вклад в интегралы в уравнениях (16)-

κ = κ⁽⁰⁾ + δκ и ψ_Sh(r) = ψ(0)Sh(r) + δψ_Sh(r),

(18) набирается в области малых импульсов, не яв-

где индекс (0) обозначает лидирующий вклад, а δκ

ляется верным. Поэтому для вычисления поправки

и δψ_Sh(r) — отвечают поправкам, связанным с га-

порядка α⁴ к основному состоянию экситона необ-

мильтонианом

Ĥ₁. В лидирующем порядке теории

ходимо учесть вклад области k ≲ m в интегралах,

возмущений имеем [6]

содержащихся в уравнениях (16)-(18).

mα

κ(0)n,l = -

(36)

4(n + |l| + 1/2)²

3.1. Случай кулоновского потенциала

√

Для поиска поправок порядка α⁴ к уровням, от-

ψ(0)Sh(r) =

√ e-r/aB,

(37)

πa_B

вечающим l = 0, мы подставляем функции f(p),

h(p) и d(p) в виде

где n — радиальное квантовое число, l — азимуталь-

ное квантовое число, α = e²/ϵ — безразмерная кон-

f (p) = f(p), h(p) = h(p)e2iφp , d(p) = d(p)eiφp

(40)

станта связи, a_B = 1/(mα) — боровский радиус.

Поправка δκ0,0 к энергии основного состоя-

в уравнения (16)-(18) и находим

ния κ(0)0,0 имеет вид

p²

Ef(p) = 2mf(p) +

(f(p) + h(p)) -

∫

(

)_†

ω(p)

∫

(

)

δκ0,0 = d²r ψ(0)Sh(r)

Ĥ₁ψ(0)Sh(r).

(38)

(p · k)

V (P ) f(k) +

(f(k) + h(k))

(41)

(2π)²

2m²

Поскольку ψ(0)Sh(r) не равна нулю в точке r = 0, ин-

теграл (38) в случае кулоновского потенциала рас-

p²

ходится логарифмически на малых расстояниях:

Eh(p) = -2mh(p) -

(f(p) + h(p)) +

∫

(

(p · k)² - [ p × k ]²

δκ0,0 ∝

(39)

V (P ) h(k)

ω(p)

(2π)²

p²k²

)

(p · k)

см. [9]. В работе [9] для вычисления поправки δκ,

(f(k) + h(k))

(42)

2m²

связанной с

Ĥ₁, авторы ввели параметр регуляриза-

ции на малых расстояниях. Поэтому поправка зави-

d(p) = -√ (f(p) + h(p)),

(43)

сит от этого параметра. Параметр невозможно най-

ти в рамках описания взаимодействия электрона и

где P = |p - k|, φ_p — угол вектора p. При получе-

дырки с помощью уравнения Шредингера для двух

нии уравнений (41)-(43) мы преобразовали два по-

взаимодействующих дираковских частиц. Отметим,

следних слагаемых в правой части (18), используя

что гамильтониан, подобный

Ĥ₁, возникает при раз-

уравнения (16) и (17), затем полученный результат

ложении трехмерного уравнения Дирака для части-

для функции d(p) подставили в (16) и (17). Видно,

цы в кулоновском поле. Однако никаких особенно-

что уравнения (41) и (42) не содержат функции d(p).

стей при вычислении поправок к энергиям в трех-

Кроме того, функция d(p) элементарно выражается

мерной задаче не возникает [11]. Сложности возни-

через f(p) и h(p). Поэтому далее мы будем рассмат-

кают из-за того, что электроны двигаются в двух

ривать только уравнения (41) и (42).

232

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

К задаче о связанном состоянии электрона и дырки...

В правой части уравнений

(41),

(42)

в (48) и получаем следующие уравнения для функ-

содержатся

неэрмитовые

операторы

ти-

ции ã(p) и поправки δκ:

∫

па (1/ω(p))

dk V (|p - k|). Подставляя функции f

∫

p²ã(p)

и h в виде

κ ã(p) =

V (p, k)ã(k),

(51)

(2π)²

√

∫

f (p) =

a(p), h(p) =

b(p),

(44)

dp p⁴ã²(p)

ω(p)

δκ = -

(2π)²

4m³

∫

а энергию E в виде (24) в уравнения (41), (42), по-

dp dk

(p · k) ã(p) ã(k)

V (p, k)

(52)

лучаем

(2π)⁴

2m²

∫

Здесь предполагается, что функция ã(p) нормиро-

κ a(p) =

(a(p) + b(p)) -

V (p, k)a(k) -

вана на единицу. Выполняя стандартные, но гро-

(2π)²

∫

моздкие вычисления, получаем следующий резуль-

V (p, k) (p · k)(a(k) + b(k)), (45)

тат для κ:

2m²

(2π)²

(

)

κ = -mα² + mα⁴

-4 +

+ 3ln2 + 2ln

(53)

b(p) = -

b(p) -

(a(p) + b(p)) +

4m²

∫

(p · k)² - [ p × k ]

Перейдем к вычислению поправки (52). Пользуясь

V (p, k)

b(k) +

(2π)²

p²k²

уравнением (51), мы выражаем действие операто-

∫

ра p² на функцию ã(p) и получаем

V (p, k)(p · k)(a(k) + b(k)) , (46)

(

8m³

(2π)²

∫

p⁴ã²(p)

κ²

ã²(p) +

где введено обозначение

(2π)²

4m³

(2π)²

∫

dp dk

V (p, k) =

√

V (|p - k|).

(47)

+2κ

ã(p)V (p, k) ã(k) +

(2π)⁴

ω(p)ω(k)

)

∫

dp dk dq

V (p, k)V (p, q) ã(k) ã(q)

(54)

Оператор

V (p, k)

удовлетворяет

условию

(2π)⁶

V (p, k)

V (k, p), поэтому операторы в правой

части уравнений (45), (46) являются эрмитовыми.

Первое слагаемое в скобках вычисляется тривиаль-

Видно, что функция

V убывает быстрее, чем

но в силу нормировки функции ã(p). Второе слага-

функция V (p) при больших импульсах p

≫ m.

емое уже содержит параметр κ перед интегралом,

Это свойство и позволяет нам вычислить поправку

поэтому нам необходимо вычислить интеграл с точ-

порядка α⁴ к энергиям κ(0)n,0.

ностью α². Видно, что интегралы по переменным p

С необходимой точностью уравнение для функ-

и k сходятся на масштабах порядка 1/a_B, поэто-

ции b(p) имеет вид

му с необходимой точностью мы заменяем

V (p, k)

на V (|p - k|) = 2πα/|p - k|, а функцию ã(p) на

b(p) = -

a(p).

√

4m²

2π a_B

ã₀(p) =

Подставляя функцию b(p) в уравнение (45) и удер-

(1 + p²a2B)3/2

живая слагаемые порядка p⁴/m², получаем уравне-

которая является фурье-образом функции (37) для

ние для функции a(p):

основного состояния (n = l = 0), а также нулевым

приближением для решения уравнения (51). По-

p²a(p)

p⁴a(p)

κa(p) =

сле таких преобразований вычисление второго сла-

4m³

∫

(

)

гаемого становится тривиальным. Для вычисления

(p · k)

V (p, k)

a(k).

(48)

третьего слагаемого преобразуем его к следующему

(2π)²

2m²

виду:

Мы решаем уравнение (48), используя теорию воз-

∫

[∫

]₂

2πα√m ã(k)

мущений. Для этого подставляем величины κ и a в

√

.(55)

(2π)²

(2π)² |p - k|(k² + m²)1/4

виде

p² + m²

κ= κ+δκ,

(49)

Сходимость интеграла по переменной k при боль-

a(p) = ã(p) + δa(p)

(50)

ших k (k ≫ 1/a_B) и произвольном импульсе p опре-

233

П. А. Крачков, И. С. Терехов.

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

деляется только функцией ã(k). Поэтому в инте-

Первое слагаемое в круглых скобках совпадает с ре-

грале по k с необходимой точностью мы подставля-

зультатом (36), второе слагаемое — поправка. Заме-

ем ã₀(k) вместо ã(k), пренебрегаем k по сравнению

тим, что выражение в квадратных скобках содер-

с m, вычисляем интеграл, затем переходим к пере-

жит логарифмический вклад ln α, который набира-

меной p = x/a_B, интегрируем по углу вектора x и

ется в области интегрирования a-1B ≪ k ≪ m. Отме-

получаем

тим, что логарифмический вклад α⁴ ln α совпадает

∞

с результатом, полученным в [9].

∫

4m²α³

dx x

Выполняя похожие вычисления, мы получаем

√

(56)

a_B

(x² + 1)

x² + α-2

следующее выражение для состояния, имеющего

квантовые числа n = 1, l = 0:

Здесь мы учли, что a_B = 1/(mα). Поскольку α ≪ 1,

мы вычисляем интеграл (56) методом сшивки и по-

E1,0 = 2m + κ1,0 =

(62)

лучаем следующий результат для третьего слагае-

(

[

])

mα²

α²

мого:

= 2m -

4m²α⁴(ln2 - ln α).

(57)

Складывая результаты для всех слагаемых, получа-

Видно, что этот результат также содержит логариф-

ем, что с необходимой точностью

мическое слагаемое ln α.

∫

(

)

Отметим, что результаты (61) и (62) не содер-

dp p⁴ã²(p)

= -mα⁴

ln 2 - ln α -

(58)

жат параметров регуляризации. Это связано с тем,

(2π)²

4m³

что на расстояниях r ∼ 1/m эффективный потен-

Для вычисления второго слагаемого в правой

циал взаимодействия отличается от кулоновского и

части выражения (52) найдем масштабы, которые

является менее сингулярным.

дают основной вклад в интеграл. Поскольку инте-

1.0

грал содержит скалярное произведение в числите-

ле, вклад областей, в которых один из импульсов по

0.8

модулю много больше другого, подавляется при ин-

0.6

тегрировании по углам. Это означает, что основной

вклад в интеграл дает область p ∼ k. Если мы под-

0.4

ставим ã₀ вместо ã и V (|p - k|) вместо

V (p, k), то

интеграл при больших импульсах сходится, посколь-

0.2

ку в числителе стоит шестая степень импульса, а в

0.0

знаменателе седьмая. Поэтому большие импульсы

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

вклада не дают и с необходимой точностью мы дей-

ствительно можем сделать подобные замены. Инте-

Рис. 1. Зависимость отношения E/2m от параметра α для

грал набирается в области p, k ∼ 1/a_B. Вычисляя

основного состояния. Сплошная, пунктирная и штрихпунк-

интеграл с необходимой точностью, получаем

тирная линии отвечают соответственно точному решению

∫

уравнения Бете - Солпитера, нулевому приближению (36)

dp dk

(p · k) ã(p) ã(k)

V (p, k)

= -mα⁴ .

(59)

и результату (61)

(2π)⁴

2m²

Отметим, что область p, k ∼ m приводит к поправ-

Результаты (61) и (62) изображены на рис. 1 и

кам порядка α⁶.

2 штрихпунктирной линией. Видно, что аналити-

Складывая результаты (58) и (59) мы получаем

ческие результаты хорошо согласуются с точными

(

)

численными расчетами вплоть до α ≲ 0.5. Однако

δκ = -mα⁴ ln

+ ln 2 +

(60)

для параметров α > 0.5 необходимо учитывать по-

правки более высоких порядков по параметру α.

Таким образом, энергия основного состояния E0,0 в

лидирующем и следующим за лидирующем поряд-

ках по параметру α имеет вид

4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УБС ДЛЯ

СЛУЧАЯ l = 0

E0,0 = 2m + κ =

(61)

(

[

])

Для численного решения УБС волновую функ-

= 2m - mα² 1 - α² ln

+ ln 4 -

цию ψ(p) удобно представить в следующем виде:

234

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

К задаче о связанном состоянии электрона и дырки...

1.00

4.1. Кулоновский потенциал

0.99

Для повышения точности численного решения

0.98

интегральных уравнений мы выделяем асимптоти-

0.97

ческое поведение F (p) и H(p) при больших импуль-

0.96

сах p ≫ m. Для этого подставляем F(p) и H(p) в

0.95

виде

0.94

F (p) = A₁/p2β, H(p) = A₂/p2β1

(69)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

в уравнения (64), (65). Здесь A₁ и A₂ — некоторые

Рис. 2. Зависимость отношения E/2m от параметра α для

константы. Удерживая лидирующие асимптотики,

состояния с квантовыми числами n = 1, l = 0. Сплошная,

получаем уравнения для показателей β и β₁:

пунктирная и штрихпунктирная линии отвечают соответ-

ственно точному решению уравнения Бете - Солпитера, ну-

Γ (β - 1/2) Γ(2 - β)

(70)

левому приближению (36) и результату (62)

Γ(β)Γ(5/2 - β)

Γ (β₁ - 1/2) Γ(1 - β₁)

F (p) + H(p)

(71)

ψ(E, p) =

√

|1, 1〉 + eiφp d(p)|0, 0〉 +

Γ(β₁)Γ(3/2 - β₁)

F (p) - H(p)

где Γ(x) — гамма-функция Эйлера. В лидирующем

+e2iφp

√

|1, -1〉 ,

(63)

и следующим за лидирующем приближении по па-

раметру α решения этих уравнений имеют вид

где φ_p — угол вектора p. Подстановка этой функ-

ции в уравнение (8) приводит к следующей системе

β≈2-

β₁ ≈ 1 -

(72)

уравнений:

∫

Мы не будем описывать детали численного реше-

dk V (P )

[

]

F (p) = H -

s²F(k) + c²H(k)

, (64)

ния системы уравнений (64)-(66). Укажем лишь на

(2π)² 2ω(p)

∫

то, что для численного решения удобно явно выде-

p²

dk (p · k)V (P )

H(p) = F +

F-

F (k) -

лить асимптотическое поведение функций, переходя

m²

(2π)²

2m²ω(p)

к новым функциям:

∫

dk V (P )

[

]

c²F(k) + s²H(k)

(65)

(2π)² 2ω(p)

F (p)

^H(p)

F (p) =

H (p) =

(73)

(m² + p²)^β

(m² + p²)^β1

d(p) = -

F (p).

(66)

Функции

F (p) и

^H(p) стремятся к некоторым кон-

Здесь для краткости введены следующие обозначе-

стантам при больших импульсах p ≫ m. Далее мы

ния:

pk - (p · k)

приведем лишь полученные результаты для энергий

s² =

2pk

связанных состояний частицы и дырки.

Найденная зависимость энергии основного состо-

pk + (p · k)

c² =

яния экситона при различных α представлена на

2pk

рис. 1 и 3. Можно заметить, что точное решение для

Как и ранее, уравнение для функции d(p) отде-

величины E/2m существенно отличается от резуль-

лилось, поэтому далее мы рассматриваем только

тата (36) при α > 0.7. Мы обнаружили, что энер-

функции F(p) и H(p).

гия основного состояния достигает валентной зоны

Мы решим уравнения (64) и (65) для кулоновско-

(E = -2m) при α = 1 ± 0.05. Неопределенность свя-

го потенциала (35) и локализованного потенциала,

зана с сильной зависимостью результата для уров-

не имеющего особенности в точке r = 0:

ня энергии от шага дискретизации при численном

вычислении интегралов. С нашей точностью можно

V (r) = U₀e-r2/R2 ,

(67)

сказать, что критическое значение константы свя-

зи α_c = 1. Вдали от критического значения кон-

где U₀ и R — соответственно глубина и характерная

станты связи результаты для энергии уровня слабо

ширина потенциала. В импульсном представлении

зависят от шага дискретизации. При α > α_c энер-

этот потенциал имеет вид

гетический уровень, отвечающий квантовым чис-

V (p) = πU₀R² exp{-R²p²/4}.

(68)

лам n = l = 0 исчезает из дискретного спектра,

235

П. А. Крачков, И. С. Терехов.

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

1.0

достигает -2m при

= Ũ_c. Видно, что для экс-

поненциального потенциала наклон функции E(^Ũ)

0.5

остается конечным в отличие от поведения уровня

в случае кулоновского потенциала. Такое поведение

0.0

связано с тем, что локализованный потенциал регу-

лярен при r → 0.

- 0.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе мы исследовали взаимодей-

Рис. 3. Зависимость отношения E/2m от параметра α.

ствие электрона и дырки в двумерных дихалькоге-

Сплошная линия соответствует состоянию с квантовыми

нидах переходным металлов. Для этого мы решили

числами n = l = 0. Пунктирная линия — n = 1, l = 0

уравнение Бете - Солпитера, полученное в лидиру-

ющем приближении по потенциалу взаимодействия.

см. рис. 3. Кроме того, на рис. 3 изображена зави-

Мы нашли зависимость нескольких нижних уровней

симость E(α) для состояния с квантовыми числа-

энергии экситона от константы взаимодействия.

ми n = 1, l = 0. Видно, что когда параметр α стано-

Как и авторы работ [4], мы показали, что в ли-

вится больше единицы, основным состоянием стано-

дирующем приближении разложение уравнения Бе-

виться состояние с квантовыми числами n = 1, l = 0.

те - Солпитера и разложение уравнения Шрединге-

Такое поведение аналогично поведению электрон-

ра для двух дираковских частиц совпадают. Мы об-

позитронной пары в квантовой электродинамике.

наружили, что для потенциалов, сингулярность ко-

Строго говоря, при достижении α критического зна-

торых меньше чем 1/r, разложения в следующем за

чения вакуум становится нестабильным и начина-

лидирующим приближении также совпадают. Одна-

ют происходить процессы рождения пар частица-

ко для кулоновского потенциала результаты суще-

дырка, поэтому не имеет смысла рассматривать об-

ственно различаются. Так, в уравнении Шредингера

ласти α ≥ α_c.

возникают сингулярные операторы, тогда как УБС

не содержит таковых. В случае кулоновского потен-

4.2. Локализованный потенциал

циала, используя разложение уравнения Бете - Сол-

Для исследования поведения уровней энергии

питера (48) при малых константах связи, мы ана-

вблизи критического значения константы связи мы

литически вычислили энергии основного и первого

рассмотрели модельный локализованный потенци-

возбужденного состояний с точностью α⁴ включи-

ал (67). На рис. 4 изображена зависимость отно-

тельно. Было найдено, что в порядке α⁴ результа-

ты для энергий содержат слагаемые α⁴ ln α, которые

1.0

набираются в области интегрирования по импуль-

сам a-1B ≪ p ≪ m, этот результат совпал с резуль-

0.5

татами работы [9].

0.0

Мы численно исследовали поведение энергий

связи электрона и дырки для кулоновского потенци-

- 0.5

ала и локализованного потенциала. Получили, что

для кулоновского потенциала критическое значение

- 1.0

константы связи равно единице, α_c = 1. Мы также

показали, что в случае локализованного потенци-

U₀/m

ала при увеличении глубины потенциала значения

Рис. 4. Зависимость отношения E/2m от параметра U0

уровней энергии плавно изменяются от 2m до -2m.

при R = 5ℏ/m. Сплошная линия отвечает состоянию с

При достижении валентной зоны уровни исчезают

квантовыми числами n = 0, l = 0. Пунктирная — n = 1,

из дискретного спектра. Такое поведение аналогич-

l = 0. Штрихпунктирная — n = 2, l = 0

но поведению уровней энергии электрона в потенци-

шения E/2m от величины U₀/m для трех ниж-

але, см., например, [17].

них уровней энергии при фиксированном радиу-

В заключение отметим, что найденные нами по-

се R = 5ℏ/m. Видно, что при увеличении глубины

правки к энергии экситона порядка α⁴ не явля-

потенциала положение уровней энергии плавно из-

ются единственными. Существуют поправки такого

меняется от E = 2m до E = -2m. Нижний уровень

же порядка, связанные с изменением потенциала на

236

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

К задаче о связанном состоянии электрона и дырки...

малых расстояниях (потенциал Юлинга), а также с

9. N. V. Leppenen, L. E. Golub, and E. L. Ivchenko,

диаграммами типа «кросс-бокс». Подобные поправ-

Phys. Rev. B 102, 155305 (2020).

ки не рассматривались в данной работе.

10. M. F. C. Martins

Quintela,

J. C. G. Henriques,

N. M. R. Peres, Phys. Stat. Sol. B, 2200097 (2022).

ЛИТЕРАТУРА

11. В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Пита-

евский, Квантовая электродинамика, Наука,

1. K. S. Novoselov et al., Science 306, 666 (2004).

Москва (1984).

2. Z. Y. Zhu, Y. C. Cheng, and U. Schwingenschlögl,

12. C. Itzykson, and J.-B. Zuber, Quantum field theory,

Phys. Rev. B 84, 153402 (2011).

McGraw-Hill (1980).

3. A. S. Rodin and A. H. Castro Neto, Phys. Rev. B 88,

13. G. F. Glinskii and Zl. Koinov, Theor. Math. Phys. 70,

195437 (2013).

252 (1987).

4. J. Zhou, W.-Y. Shan, W. Yao, and D. Xiao,

14. D. Xiao, G.-B. Liu, W. Feng, X. Xu, and W. Yao,

Phys. Rev. Lett. 115, 166803 (2015).

Phys. Rev. Lett. 108, 196802 (2012).

5. M. Trushin, M. O. Goerbig, and W. Belzig, Phys.

15. A. Chernikov, T. C. Berkelbach, H. M. Hill et al.,

Rev. B 94, 041301(R) (2016).

Phys. Rev. Lett. 113, 076802 (2014).

6. M. Trushin, M. O. Goerbig, and W. Belzig, Phys.

16. K. He, N. Kumar, L. Zhao, Z. Wang, K. F. Mak,

Rev.Lett. 120, 187401 (2018).

H. Zhao, and J. Shan, Phys.Rev. Lett. 113, 026803

7. M. Trushin, Phys. Rev. B 99, 205307 (2019).

(2014).

8. B. Scharf, D. V. Tuan, I. Zutic, and H. Dery, J. Phys.:

17. А. И. Ахиейзер, В. Б. Берестецкий, Квантовая

Condens. Matter 31, 203001 (2019).

электродинамика, Наука, Москва (1981).

237