ЖЭТФ, 2023, том 163, вып. 2, стр. 189-200

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫХ

СОСТОЯНИЙ В ТЕОРИИ ГИНЗБУРГА-ЛАНДАУ

Е. Р. Подоляк^*

Институт физических проблем им. П.Л. Капицы Российской академии наук

119334, Москва, Россия

Поступила в редакцию 13 июля 2022 г.,

после переработки 2 декабря 2022 г.

Принята к публикации 8 декабря 2022 г.

Изучается вопрос об устойчивости сверхпроводящих состояний с захваченным магнитным потоком в

сферическом образце. Рассматриваются сверхпроводники с конечным значением параметра Гинзбурга-

Ландау, в частности, сверхпроводники I рода, для которых важную роль играет искажение магнитного

поля вблизи образца. Предполагается, что размер образца не слишком велик по сравнению с корреляци-

онной длиной ξ(T ), а сверхпроводящее состояние имеет аксиальную симметрию. Обсуждается возмож-

ность существования состояний с захваченным потоком в нулевом внешнем поле. Проводится сравнение

с результатами для образца цилиндрической формы.

DOI: 10.31857/S0044451023020062

ниям. Определение области существования метаста-

EDN: OQICSG

бильных состояний особенно важно для сверхпро-

водников I рода, поскольку именно метастабильные

состояния отвечают за гистерезисные явления, на-

1. ВВЕДЕНИЕ

блюдаемые в магнитном поле.

С вычислительной точки зрения определение

Решение уравнений Гинзбурга-Ландау позволя-

устойчивости решения является трудоемкой зада-

ет найти экстремум свободной энергии, но не позво-

чей. Поэтому, для ее решения приходится использо-

ляет указать тип этого экстремума: минимум, седло-

вать какие-либо упрощающие предположения. Од-

вая точка или максимум. Поскольку существовать

ним из таких упрощений, которое тем не менее

могут только состояния, соответствующие миниму-

представляет практический интерес, является изу-

му свободной энергии, то определение типа экстре-

чение мезоскопических образцов, у которых симмет-

мума является важным аспектом теории Гинзбурга-

рия решения навязывается симметрией самого об-

Ландау. Тип экстремума можно выяснить с помо-

разца. В случае сферических образцов за счет это-

щью изучения устойчивости решений Гинзбурга-

го можно свести трехмерную задачу к аксиально-

Ландау.

симметричной двумерной.

Традиционный подход к этому вопросу основан

Вопрос об устойчивости решений Гинзбурга-

на том, что энергия Гинзбурга-Ландау является эр-

Ландау, по-видимому, был впервые рассмотрен в [1].

митовым функционалом параметра порядка, и, сле-

В этой работе изучаются сверхпроводники II рода,

довательно, состояние с наименьшей энергией явля-

у которых параметр Гинзбурга-Ландау очень ве-

ется равновесным и заведомо устойчиво. Поэтому,

лик: κ → ∞. В этом случае уравнения Гинзбурга-

если из возможных решений выбирать состояние с

Ландау можно решать в линейном приближении,

наименьшей энергией, то вопрос о его устойчивости

поскольку почти во всем диапазоне полей параметр

решается автоматически.

порядка мал по сравнению с равновесным. Кроме

Однако, такой подход не позволяет изучать ме-

того, в этом случае пренебрежимо малы и сверх-

тастабильные состояния, которые имеют большую

проводящие токи, а магнитное поле можно считать

энергию, чем равновесные, но тем не менее, явля-

неискаженным. Эти соображения значительно упро-

ются устойчивыми по отношению к малым возмуще-

щают исследование устойчивости решений в случае

^* E-mail: eee@kapitza.ras.ru

сверхпроводников II рода с большим значением κ.

189

Е.Р. Подоляк

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

В настоящей работе мы сформулируем задачу

В рассматриваемой задаче в части образца, содер-

устойчивости для произвольного значения парамет-

жащей захваченный поток, параметр порядка пре-

ра Гинзбурга-Ландау и будем учитывать как нели-

небрежимо мал, а магнитное поле практически од-

нейный вклад от параметра порядка, так и искаже-

нородно. Поэтому в качестве единицы длины мы вы-

ние магнитного поля, вызванное сверхпроводящи-

бираем корреляционную длину

ми токами. Эти требования являются необходимы-

√

ми для сверхпроводников с конечным значением κ

ξ(T ) =

(4)

α(T_c - T )

и, в частности, для сверхпроводников I рода.

а естественной единицей магнитного поля будет по-

Настоящая работа направлена на изучение воз-

ле абсолютной неустойчивости нормальной фазы

можностей теории Гинзбурга-Ландау для объясне-

ния наблюдаемых особенностей кривой намагничи-

Φ₀

Hc2(T) =

(5)

вания монокристаллов свинца [2]. Специальное вни-

2π ξ²(T)

мание в работе уделяется адаптации получаемых со-

Эти единицы не зависят от коэффициента β и хо-

отношений для численного счета.

рошо подходят для случая |Ψ| ≪ |Ψ₀|. В дальней-

шем мы используем безразмерные величины, ко-

торые обозначаем соответствующими маленькими

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

буквами:

Существенной особенностью сверхпроводящих

, b=

2π ξ A.

(6)

образцов сферической формы является искажение

Hc2

ξHc2

Φ₀

магнитного поля в окружающем пространстве. По-

Сделав переход к безразмерному параметру поряд-

этому для сверхпроводника, находящегося во внеш-

ка

нем поле H₀, кроме энергии Гинзбурга-Ландау необ-

ψ=

(7)

ходимо также учитывать диамагнитную энергию об-

|Ψ₀|

разца и энергию искаженного магнитного поля.

и используя определение параметра Гинзбурга-Лан-

Рассмотрим выражение для плотности свобод-

дау

√

ной энергии сверхпроводника [3] при постоянном

Φ₀

внешнем поле

κ=

(8)

2π

8πg²



²



можно переписать плотность свободной энергии (1)

F =g

Ψ-i

2πAΨ

+ α(T - T_c)|Ψ|²+

^∇



Φ₀

в виде

|B |

(B, H₀)

|Ψ|⁴ +

(1)

H2c ξ³

8π

4π

F =

4π

{

}

где

× |∇ψ - iaψ|² - |ψ|² +

|ψ|⁴ + κ²|b|² - 2κ²(b, h₀)

ℏ

, Φ₀ =

2|e|

(9)

В данной работе мы не будем рассматривать

где

какую-либо дополнительную свободную энергию,

H₀

h₀ =

связанную с поверхностью образца, и поэтому будем

Hc2

использовать естественные граничные условия тео-

обозначает приложенное магнитное поле.

рии Гинзбурга-Ландау, которые следуют из (1). Со-

Плотность свободной энергии (9) удобно отсчи-

отношения, приводимые ниже, также соответствуют

тывать от энергии нормальной фазы (ψ = 0, b = h₀)

теории Гинзбурга-Ландау и служат лишь для опре-

H2c ξ³

деления используемых в работе обозначений.

F =

Из (1) можно получить равновесное значение па-

4π

{

}

раметра порядка Ψ в нулевом поле

× |∇ψ - iaψ|² - |ψ|² +

|ψ|⁴ + κ²|b - h₀|2

|Ψ₀(T )|² =

(T_c - T )

(2)

(10)

Подчеркнем еще раз, что поскольку магнитное поле

и термодинамическое критическое поле

вне образца отличается от приложенного поля, то

√

4π

минимизацию свободной энергии нужно выполнять

H_c(T) = α(T_c - T)

(3)

во всем пространстве, а не только внутри образца.

190

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

Об устойчивости аксиально-симметричных состояний. . .

3. АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ

Приравнивая нулю вариацию энергии (13) на по-

СОСТОЯНИЕ

верхности шара (r = r_s) получаем граничное усло-

вие Гинзбурга-Ландау

Рассмотрим сферический образец (радиуса r_s),

находящийся во внешнем магнитном поле (h₀), на-

∂_nf(r_s) = 0,

(19)

правленном вдоль оси z. В этом случае удобно

пользоваться цилиндрической системой координат

где

(ρ, ϕ, z). Будем считать, что сверхпроводящее состо-

яние имеет аксиальную симметрию, и фаза парамет-

e_ρ +

e_z

ра порядка φ = nϕ пропорциональна азимутально-

— нормаль к поверхности образца, и условие непре-

му углу. Аксиальной симметрии параметра порядка

рывности магнитного поля на границе образца.

ψ(r) = |ψ(ρ, z)| e^inϕ

(11)

Вне образца (18) сводится к уравнению Лапласа

соответствует симметрия векторного потенциала

Δq =

(20)

a(r) = a(ρ, z) e_ϕ.

(12)

для которого существует точное решение в виде раз-

Поэтому удобно воспользоваться лондонов-

ложения по мультиполям

ской

калибровкой

векторного

потенциала

q(r) = a - ∇φ = q(ρ,z)eϕ, в которой параметр

∑

P1j(ρ, z)

порядка ψ = ψ^∗ = f(ρ, z) является вещественной

q(ρ, z) =

h₀ ρ -

+ C_j

(21)

rj+1

функцией координат.

j=1

Свободную энергию в лондоновской калибровке

где коэффициенты C_j обозначают мультипольные

можно представить в виде интеграла

моменты, а P1j(ρ, z) — присоединенные функции Ле-

∫

H2c ξ

жандра. Решение задачи симметрично относительно

ρ dρ dz×

экваториальной плоскости, и для векторного потен-

{

}

циала справедливо q(ρ, -z) = q(ρ, z), поэтому в раз-

|∇f|² + q²f² - f² +

f⁴ + κ²|b - h₀|2

(13)

ложении (21) отличны от нуля только мультиполь-

ные моменты с нечетными индексами.

где

Магнитное поле вне образца, как правило, содер-

q = a - n/ρ,

(14)

жит большое число мультиполей, поэтому выгодно

решать (20) численно, а выражение (21) использо-

b = rota = rotq =

∂_ρ (ρ q)e_z - ∂_z q e_ρ.

(15)

вать только для задания граничного условия. При

Приравнивая нулю вариацию энергии (13), полу-

r → ∞ это приводит к естественному условию —

чим уравнение Гинзбурга-Ландау

магнитное поле равно приложенному. На конечном

(

)

радиусе r = r_out, которым ограничена область чис-

Δf = f

q² - 1 + f²

(16)

ленного счета, граничное условие должно учиты-

вать остаточный вклад от мультиполей.

где Δ обозначает двумерный оператор Лапласа

В случае уравнения Лапласа (20) граничное

условие на конечном радиусе выражает нормальную

Δ=∂2ρ +

∂_ρ + ∂2z

производную векторного потенциала в каждой точ-

ке границы

в цилиндрической системе координат, и уравнение

Максвелла

⎡

⎤

∑

P1j(ρ, z)

-rotb =

(17)

⎣¹

⎦

∂_rq =

h₀ ρ +

- (j + 1) C_j

(22)

κ²

rj+1

j=1

Векторный потенциал и сверхпроводящий ток в рас-

сматриваемой задаче имеют только e_ϕ компоненту,

через значение самого векторного потенциала. По-

поэтому уравнение (17) можно переписать в скаляр-

скольку и векторный потенциал (21), и его нормаль-

ном виде

ная производная (22) являются функциями муль-

(

)

f²

типольных моментов, то граничное условие пред-

∂_ρ

∂_ρ(ρq)

+∂2zq =

(18)

κ²

ставляет собой неявный способ определения муль-

191

Е.Р. Подоляк

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

типольных моментов. Пользуясь ортогональностью

Таким образом, система уравнений Гинзбурга-

функций Лежандра можно вычислить

Ландау приобретает вид

2j + 1

Δg = q² - |∇g|² -

(q+ ∂_ρg) - 1 + f²,

(27)

C_j =

routj-1×

2j(j + 1)

∫

[

]

f²

Δq=

(28)

ρ dl q(ρ, z) -

h₀ ρ +

P1j(ρ, z),

(23)

ρ²

κ²

r=rout

Кроме конечности функций g и q, входящих в эти

где

уравнения, при ρ → 0 справедливо также q ∝ ρ¹ → 0

l=-

e_ρ +

e_z

и ∂_ρg ∝ ρ¹ → 0.

обозначает касательную к границе рабочей области.

Можно видеть, что в правой части уравнения

(27) присутствуют неопределенности вида 0/0, а в

При такой формулировке граничного условия,

численное решение (20) не зависит (с вычислитель-

(28) первое слагаемое расходится как ρ-1. Способ

ной точностью) от величины r_out. Значение r_out вли-

обработки этих особенностей определяется конкрет-

яет только на точность вычисления мультипольных

ной программой численного счета. Мы использу-

моментов и на общий объем вычислений.

ем программу FlexPDE [5], в которой эта проблема

не существенна благодаря интерполяции функций

По мере увеличения r_out уменьшается влияние

высших мультиполей, но при этом ухудшается точ-

внутри элементов пространственной сетки, примы-

кающих к оси образца. Этого оказывается достаточ-

ность вычисления мультипольных моментов, по-

скольку выражение в квадратных скобках в (23)

но для решения системы (27), (28) с точностью луч-

ше, чем 10-5.

стремится к нулю. В дальнейшем нам потребуется

значение дипольного момента (C₁), поэтому мы вы-

Точность вычислений вблизи оси образца мож-

бираем r_out так, чтобы дипольное слагаемое (j = 1)

но улучшить, если дополнительно ввести вспомога-

было не слишком мало как по отношению к потен-

тельные функции

циалу неискаженного поля, так и по отношению к

t₌

∂_ρg,

(29)

сумме остальных мультиполей. В работе мы исполь-

зуем rout = 10 rs, при котором относительная по-

уравнения для которых можно получить простой

грешность вычисления дипольного момента не пре-

подстановкой (29) в (27), (28). Использование функ-

вышает 10-3.

ций t и

s позволяет вычислять решение систе-

Оставшиеся граничные условия сводятся к тре-

мы уравнений Гинзбурга-Ландау (f, q) с точностью

бованию непрерывности функций ψ, a и b на оси об-

(≈ 10-7) достаточной для последующего анализа

разца. Отметим, что вариационные граничные усло-

его устойчивости.

вия при ρ = 0

Приведем некоторые общие свойства решений

ρ∂_ρf = 0, ρ ∂_zq = 0

(24)

системы уравнений Гинзбурга-Ландау. Для вычис-

ления энергии полученного сверхпроводящего со-

допускают особенности в функциях ∂_ρf и q.

стояния можно проинтегрировать первое слагаемое

Численное интегрирование системы уравнений

в (13) по частям и подставить соотношение (16)

(16), (17) вблизи оси образца представляет некото-

∫

H2c ξ³

{

}

рую трудность. Дело в том, что при ρ → 0 модуль

E =

ρ dρ dz

-f⁴ + 2κ²|b - h₀|²

(30)

параметра порядка изменяется как f(ρ, z) ∝ ρⁿ, и

при больших значениях n — это практически сту-

Это выражение не содержит векторного потенциа-

пенчатая функция, которая вблизи оси становится

ла и производных параметра порядка и оказывается

исчезающе малой.

более удобным для численного счета, чем (13).

Проблему с быстрым изменением функции f

Отметим, что конечная магнитная энергия вне

вблизи оси можно устранить с помощью замены пе-

образца приводит к изменению величины критиче-

ременных

ского поля H_c от его значения (3) для бесконечного

g = lnf,

(25)

сверхпроводника. Пренебрегая глубиной проникно-

но функция g приобретает при ρ → 0 логарифмиче-

вения поля в образец, можно показать [3], что для

скую расходимость. Для численного счета расходи-

майснеровского состояния (n = 0) вне образца отли-

мости в функциях g и q необходимо выделить

чен от нуля только дипольный момент

r3s

g = g - nlnρ,

q=q+

(26)

C₁ = -h₀

(31)

192

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

Об устойчивости аксиально-симметричных состояний. . .

В этом приближении энергию майснеровского состо-

яния можно вычислить аналитически

)

H2c (ξ r_s)

⁽3

κ²h₀₂ -

(32)

Из (32) следует, что энергия сверхпроводящего ша-

ра во внешнем поле сравнивается с энергией шара в

нормальном состоянии при приложении поля

h₀ = h_cM =

√ ,

(33)

в то время как термодинамическое критическое по-

ле в принятых обозначениях

h_c =

√ .

(34)

Рис. 1. Кривая намагничивания для образца rs

= 5,

κ = 0.6 при n = 10

Уменьшение критического поля в случае сфериче-

ского образца соответствует тому, что при прило-

Кривая намагничивания, показанная на этом ри-

жении внешнего поля h₀ = h_cM поле на экваторе

сунке, демонстрирует поведение, характерное для

образца (ρ = r_s, z = 0) с учетом размагничивающе-

сверхпроводников I рода, а именно, существование

го фактора составит

двух решений при некоторых значениях поля.

√

Сначала рассмотрим точки окончания кривой

b_e =

h₀ =

h_c.

(h₀ = hsc1, hsc2). В этих точках параметр порядка

обращается в нуль. И, следовательно, в окрестно-

В используемых здесь единицах безразмерный

сти этих точек уравнение Гинзбурга-Ландау можно

квант магнитного потока равен 2 π, поэтому можно

линеаризовать. Решения линейной задачи для об-

сформулировать условие квантования захваченного

разцов как сферической, так и для цилиндрической

в образце магнитного потока

формы получены в [4]. Кроме величин критических

ρ^∗

полей h_sc(r_s, n) в [4] вычислено максимальное зна-

∫

чение n = n_max(r_s), а также критическое значе-

ρ dρ b_z(ρ, 0) = n.

(35)

ние κ_crit(r_s) параметра Гинзбурга-Ландау, которое

определяет знак производной кривой намагничива-

Здесь ρ^∗ обозначает радиус в экваториальном сече-

ния при подходе к h_sc.

нии образца, на котором сверхпроводящий ток об-

Результирующую кривую намагничивания об-

ращается в 0, т.е. меняет свое направление. Поэтому

разца мы получаем, повторяя вычисления магнит-

можно считать, что число n описывает не только на-

ного момента для всех значений 0 ≤ n ≤ n_max.

бег фазы параметра порядка при обходе образца, но

В общей постановке задачи о свойствах сфери-

и количество квантов захваченного образцом маг-

ческого образца в магнитном поле остаются еще два

нитного потока.

параметра: радиус образца и параметр Гинзбурга-

В данной работе мы не приводим вычисленные

Ландау κ. Следует напомнить, что уравнения Гинз-

функции f(ρ, z) и q(ρ, z) двух координат, а пред-

бурга-Ландау (16), (17) не содержат температурных

ставляем результаты вычислений в виде кривой на-

зависимостей. От температуры зависят лишь раз-

магничивания, т.е. в виде зависимости дипольного

мерные единицы (4) и (5). Для сферических образ-

момента M(h₀) = C₁ от приложенного поля. Та-

цов конечных размеров, рассматриваемых здесь, си-

кое представление удобно тем, что оно соответству-

туация качественно меняется. Физическому размеру

ет зависимостям, измеряемым в эксперименте. Зави-

образца R_s соответствует безразмерный радиус

симость M(h₀) — многозначная, т.к. каждому зна-

R_s

√

чению параметра n на ней соответствует отдельная

rs =

∝

T_c - T,

(36)

ξ(T )

ветвь. Различия между ветвями носят количествен-

ный характер, поэтому в дальнейшем мы исполь-

который меняется с температурой и стремится к

зуем для иллюстраций только одну ветвь: n = 10,

нулю при температуре сверхпроводящего перехода.

которая показана на рис.1.

Поэтому, в эксперименте можно управлять величи-

193

ЖЭТФ, вып. 2

Е.Р. Подоляк

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

ной r_s с помощью изменения температуры. Хорошо

которые с учетом изменения калибровки, не меня-

известно [6], что маленький образец (при r_s < 1.33)

ют состояние сверхпроводника.

не может иметь состояний с захваченным потоком.

Устойчивость сверхпроводящего состояния по

И, наоборот, при rs ≫ 1 наблюдаемое промежу-

отношению к малым возмущениям определяется

точное состояние имеет сложную структуру без ак-

знаком второй вариации энергии

сиальной симметрии. Тем не менее, подчеркнем,

∫

что при приближении к сверхпроводящему перехо-

δ²E = ρ dρ dϕ dz×

ду всегда существует область температур, в которой

{

(

)

rs не слишком велик, и для которой применимы ре-

× |∇p|² + p²

q²⁰ - 1 + 3f²⁰

зультаты настоящей работы.

}

В данной работе мы не проводим исследование

+ 4f₀p (q₀, δq) + f²⁰|δq|2 + κ2|δb|2 ,

(37)

влияния параметров r_s и κ, а ограничиваемся зна-

чениями радиуса r_s = 5 и параметра Гинзбурга-

где

Ландау κ = 0.6. Такие значения выбраны для удоб-

δb = rot(δq).

ства сравнения с результатами [4], полученными для

образца цилиндрической формы, который имеет та-

Устойчивыми (в малом) являются состояния,

кие же радиус и κ.

для которых любое возмущение приводит к положи-

Уже из рис.1 видно, что при заданном внеш-

тельной δ²E. И, наоборот, если найдется какое-либо

нем поле задача может иметь одно, два или ни од-

возмущение, для которого δ²E < 0, то сверхпрово-

ного (нетривиального) решения. Поэтому возника-

дящее состояние является неустойчивым.

ет вопрос: какое из возможных решений реализует-

Следуя общепринятой процедуре, разложим воз-

ся, и как изменяется число n сверхпроводящего со-

мущение в ряд Фурье по азимутальному углу ϕ:

стояния при изменении внешнего поля. На этот во-

прос отвечает исследование устойчивости получен-

∑

ных решений.

p(ρ, ϕ, z) =

e^ikϕ p_k(ρ, z), q_ϕ(ρ, ϕ, z) =

k=-∞

∑

4. УСТОЙЧИВОСТЬ

e^ikϕ q_kϕ(ρ, z),

(38)

k=-∞

В предыдущем параграфе описана процедура

вычисления сверхпроводящего состояния, которое

∑

имеет аксиальную симметрию. Возмущения, кото-

q_ρ(ρ, ϕ, z) =

e^ikϕ q_kρ(ρ, z),

(39)

рые приводят к его разрушению, не обязательно

k=-∞

имеют такую же симметрию. Ниже мы исследуем

устойчивость решения по отношению к возмущени-

∑

q_z(ρ, ϕ, z) =

e^ikϕ q_kz(ρ, z).

(40)

ям произвольного вида.

k=-∞

В рассматриваемой задаче произвольные воз-

мущения описываются четырьмя вещественными

Теперь, подставим (39) - (41) в (37) и проинтегриру-

функциями: одна функция

— p(ρ, ϕ, z) описы-

ем по ϕ. С учетом ортогональности фурье-гармоник

вает возмущение модуля

параметра порядка

получим

f (ρ, ϕ, z) = f₀(ρ, z) + p(ρ, ϕ, z), и еще три функции

∫

описывают возмущение компонент векторного

∑

потенциала:

δ²E =

ρ dρ dz×

k=-∞

q(ρ, ϕ, z) = q₀(ρ, z) + δq(ρ, ϕ, z),

{

k²

(

)

× |∇p_k|² +

|p_k|² + |p_k|²

q²⁰ - 1 + 3f²⁰

ρ²

δq = q_ρ(ρ, ϕ, z)e_ρ + q_z(ρ, ϕ, z)e_z + q_ϕ(ρ, ϕ, z)e_ϕ.

}

+ 4f₀p_kq₀q^∗kϕ + f₀₂|δq_k|² + κ²|δb_k

|2 ,

(41)

Здесь и далее индекс ’0’ обозначает то решение

уравнений Гинзбурга-Ландау — f₀, q₀, устойчивость

где

которого мы изучаем. Отметим, что использова-

ние лондоновской калибровки значительно упроща-

δq_k = q_kρ(ρ, z)e_ρ + q_kz(ρ, z)e_z + q_kϕ(ρ, z)e_ϕ,

ет постановку задачи об устойчивости, поскольку

δb_k = b_kρ(ρ, z)e_ρ + b_kz(ρ, z)e_z + b_kϕ(ρ, z)e_ϕ

исключает возмущения фазы параметра порядка,

194

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

Об устойчивости аксиально-симметричных состояний. . .

Задача об устойчивости решения по отношению

к k-й гармонике произвольного возмущения заклю-

b_kρ = -∂_zq_kϕ + i

q_kz,

(42)

чается в определении знака наименьшего значе-

ния (46) при фиксированной норме (47). Используя,

b_kz =

∂_ρ(ρq_kϕ) - i

q_kρ,

(43)

например, метод множителей Лагранжа эта зада-

ча сводится к вычислению знака наименьшего соб-

b_kϕ = -∂_ρq_kz + ∂_zq_kρ.

(44)

ственного значения E_k в задаче

Поскольку все функции (38)-(40) вещественные, то

δ²E_k(p_k, q_kρ, q_kϕ, q_kz) = E_k ∥p_k, q_kρ, q_kϕ, q_kz∥.

(48)

для амплитуд гармоник выполняются соотношения

p_-k = p+k∗ и т. д. Попарно суммируя в (41) слагае-

Следует подчеркнуть, что выбор весовых функций

мые с +k и -k получим

{w_kα} влияет как на форму самих собственных

функций, так и на спектр собственных значений.

Здесь ключевым моментом является то, что знак

δ²E = δ²E₀(p₀, q0r, q0ϕ, q0z)+

наименьшего собственного значения и, следователь-

∑

δ²E_k(p_k, q_kρ, q_kϕ, qkz),

(45)

но, устойчивость k-й гармоники не зависит от выбо-

k=1

ра {w_kα}. В терминах линейной алгебры это утвер-

ждение означает, что положительная обусловлен-

где

ность квадратичной формы не зависит от выбора

∫

базисных векторов.

δ²E_k(p_k, q_kρ, q_kϕ, q_kz) = ρ dρ dz×

На практике мы выбираем весовые функции так,

(

)

чтобы минимизировать время вычислений, а соб-

{

k²

× |∇p_k|² + |p_k|2

q²⁰ +

- 1 + 3f₀

ственная функция была максимально гладкой. По-

ρ²

(

)

скольку выбор {w_kα} не имеет принципиального

+ 2f₀q₀ p^∗kq_kϕ + p_kq^∗

+ f20 |q_kϕ|²+

значения при анализе устойчивости, то далее для

kϕ

простоты изложения положим все w_kα = 0.

+ κ2 |rot(q_kϕe_ϕ)|²+

Выражение

(46) можно минимизировать по

k²κ² + ρ²f₀

(

)

функциям q_kρ, q_kz и q_kϕ, вариационные уравнения

|q_kρ|² + |q_kz |²

+ κ²|∂_zq_kρ|²-

ρ²

для которых

− κ²(∂_ρq^∗kz ∂_zq_kρ + ∂_ρq_kz ∂_zq^∗kρ) + κ²|∂_ρq_kz|²-

k²κ² + ρ²f₀₂

(

)

κ² ∂_z(ρb_kϕ) =

q_kρ+

-κ²

∂_ρ(ρq^∗kϕ)q_kρ - ∂_ρ(ρq_kϕ)q^∗kρ

ρ²

}

kκ²

(

)

∂_ρ(ρq_kϕ),

(49)

-κ²

∂_zq^∗kϕ q_kz - ∂_zq_kϕ q^∗kz

(46)

Теперь устойчивость k-й азимутальной гармони-

ки возмущения можно исследовать независимо от

k²κ² + ρ²f₀

− κ2 ∂_ρ(ρb_kϕ

q_kz+

остальных. Гармоники k = 0 и k = n являются выде-

ленными, что типично для сферической геометрии.

kκ²

∂_z(ρq_kϕ),

(50)

Мы рассмотрим эти гармоники отдельно в конце па-

раграфа. Сейчас остановимся на случае 0 < k < n.

Определим норму собственной функции с помо-

κ² ∂_ρb_kz - κ² ∂_zb_kρ

= f₀₂q_kϕ + 2f0 q₀p_k.

(51)

щью интеграла

∫

Удобно ввести обозначения

∥p_k, q_kρ, q_kϕ, q_kz∥ = ρ dρ dz×

{

}

Q_ρ = i

q_kρ,

(52)

|p_k|² + w_kρ |q_kρ|² + w_kϕ |q_kϕ|² + w_kz |q_kz

|²

(47)

Q_z = i

q_kz,

(53)

где неотрицательные весовые функции {w_kα(ρ, z)}

t=ρq_kϕ,

определяют условия ортонормированности компо-

u = -i

b_kϕ,

нент {p_k, q_kρ, q_kϕ, q_kz } собственных функций.

195

Е.Р. Подоляк

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

и переписать (49)-(51) в виде

Подставив (52)-(55) в (46), получим выражение

для δ²E_k,

∂_zu =

∂_ρt -

Q_ρ,

(54)

∫

δ²E_k = ρ dρ dz×

(

)

{

k²

-∂_ρu =

∂_zt -

Q_z,

(55)

|∇p_k|² + |p_k|2

q₀₂ +

- 1 + 3f₀

ρ²

f₀

q₀ (p^∗kt + p_kt^∗) + κ²γ₂|∇t |2 +

|t |²+

ρ²

f₀

[

div (γ₂∇t) =

t+2

q₀p_k+

]}

k²

κ²ρ²

κ²ρ

+κ²

γ |∇u |² +

|u |²

(61)

ρ²

(∂_z γ ∂_ρu - ∂_ργ ∂_z u) ,

(56)

из которого видно, что для вычисления устойчиво-

где

сти нет необходимости находить функции q_kρ и q_kz .

k²κ

Вместо этих двух функций достаточно вычислить

γ=

только одну функцию u, уравнение для которой по-

k²κ² + ρ²f₀

лучается подстановкой (52)-(55) в (44)

f₀

γ₂ = (1 - γ)ρ-2 =

k²

k²κ² + ρ²f₀

div(γ ∇u ) =

(∂_z γ ∂_ρt - ∂_ργ ∂_zt) .

(62)

ρ²

Обратим внимание на важное обстоятельство,

связанное с непрерывностью возмущений δq_k и δb_k

Заметим, что это уравнение нельзя получить пря-

на границе образца. Компоненты векторного потен-

мым варьированием (61), поскольку u определена с

циала (52), (53) и их производные должны быть

помощью (44) из минимизации (46) по q_kρ, q_kz , и не

непрерывны на границе образца, а коэффициент γ в

является независимой функцией.

(54), (55) испытывает скачек, поскольку вне образца

В итоге задача об устойчивости сверхпрово-

f₀ = 0.

дящего состояния сводится к определению знака

Выразим нормальную и касательную (в плоско-

наименьшего собственного значения E_k в краевой

сти ρ, z) компоненты возмущения векторного потен-

задаче

циала на границе образца

(

)

k²

[

]

Δp_k = p_k q

- 1 + 3f₀₂

-E_k

ρ²

Q_n = γ

∂_nt - ∂_lu ,

(57)

f₀

[

]

q₀ t,

(63)

Q_l = γ

∂_lt + ∂_nu

(58)

f₀₂

div(γ₂∇t ) =

t+2

q₀ p_k+

Из производных, входящих в правую часть этих

κ²ρ²

κ²ρ

уравнений, претерпевать скачек может только нор-

(∂_z γ ∂_ρu - ∂_ργ ∂_zu) ,

мальная производная u. Отсюда следует, что на гра-

нице образца должно выполняться Q_n = 0, т.е.

k²

div(γ ∇u ) =

(∂_z γ ∂_ρt - ∂_ργ ∂_zt)

∂_nt = ρ ∂_lu,

(59)

ρ²

с условиями (59), (60) и ∂_np_k = 0 на границе образ-

что соответствует обращению в нуль нормальной

ца.

компоненты возмущения тока.

Важным свойством (61) является то, что вне об-

Поскольку вне образца γ = 1, то из условия

разца она зависит только от u. Действительно, вне

непрерывности Q_l можно вычислить величину скач-

образца p_k = 0, а все слагаемые с t содержат мно-

ка ∂_nu на поверхности образца

житель f₀ = 0, и, следовательно, уравнение (56) вне

образца выполняется для произвольной функции t.

γ ∂_nu_int - ∂_nu_ext = γ2 ρ ∂_lt.

(60)

Поэтому вне образца система (63) сводится к един-

ственному уравнению для u:

Условия (59) и (60) можно независимо получить

приравнивая нулю вариацию (46) на поверхности

k²

Δu =

(64)

шара.

ρ²

196

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

Об устойчивости аксиально-симметричных состояний. . .

с условиями u(ρ, -z) = -u(ρ, z) и u = 0 при r → ∞.

и q_kϕ. Это приводит к тому, что минимуму (46) со-

Это уравнение Лапласа с азимутальным индексом

ответствует q0ρ = q0z = u = 0. Формально систему

k, решение которого выражается через присоединен-

уравнений (63) можно оставить в том же виде, что

ные функции Лежандра. Уравнение (64) мы решаем

и при 0 < k < n, если положить u = 0 и γ₂ = 1/ρ² во

численно, исходя из тех же соображений, что и при

всем пространстве. При этом уравнение для t нуж-

решении (20).

но решать не только внутри образца, а во всем про-

В численном счете, который также выполнен с

странстве с граничным условием t = 0 при r → ∞,

помощью программы FlexPDE, при 0 < k < n мы

что аналогично задаче (28) вычисления сверхпрово-

пользуемся весовыми функциями

дящего состояния. На границе образца в этом случае

требуется лишь непрерывность t и ее производных.

Укажем также, что при k = 0 в качестве весовой

w_kρ = w_kz = 0, w_kϕ(ρ, z) =

f₀₂.

(65)

k²

функции мы используем w0ϕ(ρ, z) = f₀₂, при этом

Следует сказать, что вопрос об оптимальном выборе

соотношение (66) превращается в f₀t = p₀.

весовых функций {w_kα} остается открытым. Можно

Следует сказать, что случай k = 0 обычно не

лишь отметить, что при ρ → 0 используемое нами

представляет интереса из-за общих свойств решений

значение w_kϕ обеспечивает выполнение равенства

уравнений Гинзбурга-Ландау . При заданном внеш-

нем поле либо не существует нетривиальных реше-

f₀t = kp_k,

(66)

ний, либо существуют два решения, одно из которых

устойчиво (по отношению к гармонике k = 0), а дру-

что значительно упрощает раскрытие неопределен-

гое неустойчиво. Отличить устойчивое решение от

ностей вблизи оси образца.

неустойчивого легко, поскольку энергия устойчиво-

С другой стороны, из равенства нулю сверхпро-

го состояния должна быть меньше, чем у неустой-

водящих токов (и их возмущений) вне образца сле-

чивого. Кроме того, с увеличением внешнего поля

дует, что и все {w_kα} вне образца должны обра-

у устойчивого решения параметр порядка уменьша-

щаться в нуль. Таким образом, можно считать, что

ется, а у неустойчивого — растет. При некотором

собственная функция существует только внутри об-

внешнем поле эти два решения сливаются, и при

разца, а вне образца во второй вариации энергии

дальнейшем увеличении поля нетривиальные реше-

дополнительно присутствует интеграл от квадрата

ния не существуют.

возмущения поля. Уравнение (48) превращается в

Существование двух близких решений вблизи

максимального (и минимального) поля является

δ²E_k(p_k, q_kρ, q_kϕ, q_kz) =

трудной ситуацией для любой программы численно-

∫∫

{

}

го счета. Поскольку в максимальном (и минималь-

= E_k ρdρdz

|p_k|² + w_kϕ |q_kϕ

|²

ном) поле δ²E0 обращается в нуль, то точное значе-

r≤rs

∫∫

ние поля, в котором еще существует сверхпроводя-

+κ²

ρ dρdz |δb_k|².

(67)

щее состояние с данным n, мы определяем из интер-

поляции δ²E₀ между устойчивым и неустойчивым

r≥rs

решениями.

Второй интеграл в этом выражении можно проин-

Другой особый случай k = n возникает из-за из-

тегрировать по частям. С учетом соотношений (64)

менения особенности поведения собственной функ-

и (60) окончательно получим

ции вблизи оси образца. Можно показать, что для

любого k при ρ → 0

δ²E_k(p_k, q_kρ, q_kϕ, q_kz) =

∫∫

p_k ∝ ρ^|n-k|, t ∝ ρ^|n-k|-n, u ∝ ρ^k.

(69)

{

}

= E_k ρdρdz

|p_k|² + w_kϕ |q_kϕ

|²

Степени ρ (как положительные, так и отрицатель-

r≤rs

ные) можно выделить с помощью замены

∮

+κ²

dl γ₂ρ²u ∂_lt.

(68)

p_k = v_kf₀ρ^|n-k|-n, t = t_kρ^|n-k|-n, u = u_kρ^k.

(70)

r=rs

Определенные таким образом функции v_k, t_k и u_k не

Теперь рассмотрим случай k = 0. Уже из опре-

имеют особенностей при ρ → 0 и позволяют решать

делений (52), (53) видно, что этот случай является

задачу об устойчивости при произвольном k.

особым. Возвращаясь к минимизации (46), можно

Изложенный выше метод определения устойчи-

видеть, что при k = 0 исчезает связь между q_kρ, q_kz

вости для сферических образцов можно естествен-

197

Е.Р. Подоляк

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

ным образом обобщить на цилиндрические образцы

о конечном состоянии, в которое перейдет состояние

(ориентированные вдоль поля). Если положить от-

’n’ при потере устойчивости. Очевидно, что в этом

сутствие зависимостей от z для всех функций и ра-

поле само конечное состояние должно быть устойчи-

венство нулю размагничивающего фактора (b_ρ = 0,

вым и иметь меньшую энергию. Если при заданном

b_ext = h₀), то соотношения, полученные здесь, пере-

поле сравнивать энергию устойчивых состояний с

ходят в соответствующие выражения [4] для цилин-

разными значениями n, то состояние с наименьшей

дрического образца.

энергией будет абсолютно устойчивым, т.е. равно-

Как было сказано выше, устойчивые по отно-

весным, а все остальные — метастабильными. Это

шению к малым возмущениям состояния должны

значит, что при достаточно большой амплитуде воз-

иметь неотрицательную вторую вариацию энергии

мущения метастабильное состояние может перейти

для всех гармоник возмущения. Для состояний с

в равновесное состояние или в другое метастабиль-

n = 10, изображенных на рис.1, область неотрица-

ное состояние с меньшей энергией.

тельной второй вариации энергии показана на рис.2.

Заметим, что в случае сверхпроводников II рода

неустойчивость может развиться в много-вихревое

состояние [1], которое в линейном приближении

можно представить как суперпозицию аксиально-

симметричных решений. В настоящей работе та-

кие состояния не изучаются, поскольку в нели-

нейной задаче, рассматриваемой здесь, суперпози-

ция аксиально-симметричных состояний решением

не является. Можно, тем не менее, предположить,

что поскольку в сверхпроводниках I рода энергия n-

s границы положительна, то (по аналогии с массив-

ными образцами) много-вихревые состояния будут

невыгодными.

Рис. 2. Спектры устойчивости состояний, представленных

на рис.1, для нескольких первых гармоник возмущения:

k = 0,1,2,3

Из рисунка видно, что для n

усло-

вие устойчивости выполняется в области полей

1.18 ≲ h₀ ≲ 1.48. При уменьшении поля (h₀ < 1.18)

первой теряет устойчивость гармоника с k = 1. Это

свойство, по-видимому, является общим для сверх-

проводников с любым κ. Можно сказать, что маг-

нитное поле выходит из образца по одному кван-

ту. При увеличении поля картина потери устойчи-

Рис. 3. Области устойчивости состояний с n = 10. Толстая

вости оказывается несколько сложнее. Для сверх-

кривая — равновесные состояния, тонкая кривая — мета-

проводников I рода с κ ≪ 1 потеря устойчивости

стабильные (устойчивые в малом) состояния, пунктирная

происходит в поле h₀ = h_max(n) при k = 0. Для

кривая — абсолютно неустойчивые состояния

сверхпроводников II рода с κ > 1 потеря устойчи-

вости происходит в поле h₀ ≲ h_max(n) при k = 1. В

Таким образом, с точки зрения устойчивости

промежуточном случае κ ∼ 1 при малых n потеря

на кривой намагничивания рис.1 можно выделить

устойчивости происходит при k = 0, а при больших

3 типа состояний: равновесные, метастабильные и

n ≲ n_max — при k = 1. Возможно, что достаточ-

неустойчивые. Соответствующие области устойчи-

ным условием для потери устойчивости при k = 1

вости показаны на рис.3. Неустойчивые состояния

является существование в поле h₀ ≲ h_max(n) состо-

(пунктирная кривая) не реализуются никогда. Ме-

яния ’n+1’. Это предположение подводит к вопросу

тастабильные (тонкая кривая) и равновесные (тол-

198

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

Об устойчивости аксиально-симметричных состояний. . .

стая кривая) состояния являются устойчивыми и

Второе отличие состоит в наблюдении сверхпро-

могут наблюдаться.

водящих состояний выше T_c, чего также не может

быть в рамках теории Гинзбурга-Ландау. Существо-

вание сверхпроводимости выше T_c означает, что в

5. РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

свободной энергии присутствуют дополнительные

отрицательные слагаемые, которые выше T_c пре-

Результирующая кривая намагничивания для

обладают над положительной энергией Гинзбурга-

сферического образца, составленная из устойчивых

Ландау.

состояний для всех допустимых значений 0 ≤ n ≤ 14

Поэтому, полученную здесь кривую намагничи-

показана на рис.4. Эта кривая заметно отличается

вания следует рассматривать как результат приме-

от результата [4] для цилиндрического образца. Во-

нения к сферическим образцам теории Гинзбурга-

первых, в сферическом образце нет "парамагнит-

Ландау в ее классической форме.

ных" состояний, т.е. в сферическом образце для всех

Среди возможных дополнительных слагаемых

устойчивых состояний M(h₀) ≤ 0. Во-вторых, мини-

в свободной энергии, которые могут быть суще-

мальное поле, в котором существуют состояния с за-

ственными для описания экспериментальных ре-

хваченным потоком, составляет h₀ ≈ h_cM . Отметим,

зультатов, естественно рассмотреть энергию, свя-

что в нулевом внешнем поле существуют решения с

занную с поверхностью образца. Описание поверх-

0 ≤ n ≤ 5, но среди них только майснеровское со-

ности сверхпроводника в терминах поверхностной

стояние является устойчивым.

свободной энергии хорошо известно [7]. Здесь мы

Можно сказать, что состояния с захваченным

обсудим лишь самые общие свойства, следующие из

потоком в сферическом образце менее устойчивы,

граничных условий Де Жена [8].

чем в цилиндрическом. Такой результат легко объ-

яснить, если обратить внимание, что при смещении

области нормальной фазы от оси шара (что соот-

5.1. Граничное условие Де Жена

ветствует k = 1) уменьшается ее длина. А посколь-

Граничное условие на поверхности сверхпровод-

ку энергия единицы длины такого "вихря" положи-

ника (19), принятое в теории Гинзбурга-Ландау, яв-

тельна, то это смещение более эффективно понижа-

ляется следствием результата, полученного Де Же-

ет энергию в сферическом образце, чем в цилиндри-

ном

ческом, где подобного уменьшения длины нет.

∂_RΨ_s = -

Ψ_s,

(71)

где Ψ_s — значение параметра порядка на поверхно-

сти образца. Величина L для границы сверхпровод-

ник-вакуум [8]

ξ²⁰

L∼

(72)

где a₀ обозначает межатомное расстояние, а ξ₀ —

длина когерентности при T = 0, роль которой в тео-

рии Гинзбурга-Ландау выполняет величина

√

ξ₀ =

(73)

αT

Граничное условие Де Жена в приближении

Гинзбурга-Ландау можно получить [7], сопоставив

Рис. 4. Полная кривая намагничивания. Вертикальные ли-

границе сверхпроводника дополнительную свобод-

нии обозначают границы равновесных состояний

ную энергию

F_s = Λ_s|Ψ_s|².

(74)

От экспериментальных результатов [2] получен-

ная кривая отличается существенно. Остановимся

Величину Λ_S , соответствующую (71), в обозначени-

на двух ключевых отличиях. Первое заключается в

ях (1) можно выразить как

наблюдении положительного магнитного момента в

Λ_s ∼ a₀ · αT_c.

(75)

нулевом поле, которого, как показано в этой работе,

теория Гинзбурга-Ландау не допускает.

199

Е.Р. Подоляк

ЖЭТФ, том 163, вып. 2, 2023

Обычно, L много больше размеров образца, поэто-

да — это дислокационная сверхпроводимость [10].

му естественно положить L = ∞ и, соответственно,

Этот механизм также способствует удержанию маг-

Λ_s = 0, что и лежит в основе граничного условия

нитного потока в нулевом поле благодаря пиннин-

(19) теории Гинзбурга-Ландау.

гу вихрей на дислокациях. Отметим, что дислока-

Отметим, что для теории Гинзбурга-Ландау

ционная сверхпроводимость должна проявляться на

важна не сама величина L, которая не зависит

кривой намагничивания уже при небольшом коли-

от температуры, а ее отношение к корреляционной

честве дислокаций, которые неизбежно присутству-

длине ξ(T ), поэтому роль поверхностной энергии

ют в образце, но еще не сказываются на других его

растет по мере приближения к T_c. Если перейти к

свойствах. Поэтому дислокационная сверхпроводи-

безразмерным единицам этой работы и выразить по-

мость является хорошим кандидатом для описания

верхностную свободную энергию

экспериментальных результатов [2] и их отличия от

результатов теории Гинзбурга-Ландау, полученных

E_s = λ_s |ψ_s|²,

(76)

в данной работе.

где

Следует отметить, что существующая методи-

ξ(T )

a₀

T -T_c

λ_s =

∼

√

τ =

(77)

ка измерения магнитного момента не обладает про-

ξ₀

|τ|

T_c

странственным разрешением, поэтому указать, свя-

то можно видеть, что вблизи сверхпроводящего пе-

заны наблюдаемые эффекты с поверхностью образ-

рехода существует характерная приведенная темпе-

ца или с дислокациями в его объеме, нельзя.

ратура

Благодарности. Автор выражает глубокую

⁽a₀)

τ_s ∼

(78)

признательность В. И. Марченко за многочисленные

ξ₀

полезные обсуждения. Также свою искреннюю бла-

такая, что при |τ|

≲ τ_s поверхностной свобод-

годарность автор выражает О. Р. Подоляк за по-

ной энергией пренебрегать нельзя. Более того, если

мощь при работе над текстом статьи.

λs < 0, то отрицательная поверхностная свободная

энергия понижает энергию сверхпроводящего состо-

яния, и сверхпроводимость существует выше T_c.

ЛИТЕРАТУРА

Для классических сверхпроводников I рода сдвиг

температуры перехода τ_s очень мал, но с ростом κ

1. B .J. Baelus, D. Sun, and F.M. Peeters, Phys.Rev. B

он увеличивается и, например, для свинца [2] состав-

75, 174523 (2007).

ляет τ_s ≈ 0.25 mK/T_c.

Отметим, что из-за малости отношения a₀/ξ₀ в

2. И. Н. Хлюстиков, ЖЭТФ 149, 378 (2016); И.

поверхностной свободной энергии необходимо так-

Н.Хлюстиков, ЖЭТФ 159 (2021).

же учитывать инварианты четвертой степени по Ψ_s

[9], которые при |τ| ≲ τ_s могут иметь тот же поря-

3. Е. М.Лифшиц, Л. П.Питаевский, Статистиче-

док величины, что и (74). Граничные условия в этом

ская физика, ч.2, Москва, ФМЛ (2000).

случае определяются 4 параметрами, с помощью ко-

торых удается аппроксимировать наблюдаемое поле

4. Е. Р. Подоляк, ЖЭТФ 153, (2018).

неустойчивости нормальной фазы вблизи T_c.

5. http://pdesolutions.com

Нужно заметить, что возмущения, приводящие к

потере устойчивости, полученные в данной работе,

6. В. Л. Гинзбург, ЖЭТФ 34, 113 (1958).

сосредоточены вблизи n-s границы и, по-видимому,

слабо чувствительны к условиям на поверхности об-

7. Е. А. Андрюшин, В. Л. Гинзбург, А. П. Силин

разца. Поэтому нет оснований полагать, что учет

УФН 163, 113 (1993).

поверхностной свободной энергии приведет к суще-

ственному изменению кривой намагничивания.

8. П. де Жен, Сверхпроводимость металлов и

сплавов, Мир, Москва (1968).

5.2. Дислокационная сверхпроводимость

9. Е. Р. Подоляк, ЖЭТФ 140, 1185 (2011).

Другой механизм, который может приводить к

увеличению температуры сверхпроводящего перехо-

10. Е. Р. Подоляк, ЖЭТФ 156(1), 118 (2019).

200