ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 6 (12), стр. 985-990

ГИДРОДИНАМИКА ТУРБУЛЕНТНОГО СЛОЯ СМЕШЕНИЯ

В.П. Воротилин^*

Институт прикладной механики Российской академии наук

125040, Москва, Россия

Поступила в редакцию 26 мая 2022 г.,

после переработки 10 июня 2022 г.

Принята к публикации 13 июня 2022 г.

Разработана теория и проведен расчет турбулентного слоя смешения, завершающий описание класси-

ческих (учебных) вариантов турбулентных течений под общим названием турбулентные течения ¾со

сдвигом¿, ранее рассмотренных для турбулентных струй, турбулентных течений в каналах и турбулент-

ного пограничного слоя [7, 8, 10]. В основе физического механизма предлагаемого подхода, исходя из

факта формирования отрывных вихрей на границах потока, лежала идея переноса сдвига (т.е. трения

между слоями турбулентного потока) из объема потока к его границам. Полученные соотношения описы-

вают геометрическую структуру и динамические особенности поведения слоя в безграничном диапазоне

изменения исходных параметров течения.

DOI: 10.31857/S0044451022120185

границы, разделяющей области ламинарного (внеш-

EDN: LFFNME

него) и турбулентного течения, так и различие дей-

ствующих в них физических механизмов. Резуль-

таты современных численных решений уравнений

1. ВВЕДЕНИЕ

Навье-Стокса [1,6] дают описание картины турбу-

лентных течений во всем многообразии определяю-

Турбулентный слой смешения (далее ТСС) об-

щих ее условий. Но они не проясняют действия фи-

разуется в результате потери устойчивости двух па-

зических объективных законов, управляющих ме-

раллельных соприкасающихся потоков, движущих-

ханизмом турбулентности, и поэтому не позволяют

ся с различными скоростями. Исследование зако-

оценить значение и роль вычисляемых характери-

номерностей развития ТСС является частью общей

стик течения в процессе развития слоя. В лучшем

теории турбулентных струй, поскольку эта стадия

случае (в идеале) их можно рассматривать толь-

движения потока предшествует режиму развитого

ко как эквивалент турбулентности, реализуемой в

течения турбулентной струи. С практической точки

экспериментальных измерениях. Суть предлагаемо-

зрения течения подобного рода представляют инте-

го подхода к описанию ТСС заключается в том, что

рес также при исследовании атмосферных явлений

действие физических механизмов турбулентности в

над просторами морей и океанов [1]. Используемые

своем главном качестве, т.е. переносе кинетической

в литературе методы теоретического описания ТСС,

энергии потока к энергии турбулентных пульсаций,

как, впрочем, любых других типов турбулентных те-

ранее разработанных для струй [7] и течений в кана-

чений со сдвигом, основаны на уравнениях полуэм-

лах [8], переходит из объема потока к его границам

пирической теории турбулентной вязкости и ограни-

и связано с образованием отрывных вихрей на гра-

чены незначительным различием скорости и плот-

ницах потока. Для течений в каналах факт их су-

ности смешиваемых потоков [2-5]. При этом грани-

ществования позволил описать эффективную шеро-

цы слоя в объеме потоков формально задаются как

ховатость в законе сопротивления как средний объ-

те линии, где скорость течения в слое отличается

ем отрывных застойных зон на единице поверхности

от скорости внешнего течения на некоторую малую

стенки, а для турбулентных струй вывести выраже-

величину (чаще всего на один процент). И таким

ние для скорости захвата внешней среды и написать

образом, исчезает как факт реально существующей

замыкающее уравнение баланса массы турбулент-

ной жидкости (что в данной работе будет выполнено

^* E-mail: VPVorotilin@yandex.ru

985

ЖЭТФ, вып. 6 (12)

В.П. Воротилин

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

и для ТСС). Таким образом, решение самих уравне-

ний для выяснения важнейших характеристик тур-

булентных течений теряет свою актуальность, и для

распределения скоростей по сечению потока стано-

вится возможным использовать упрощенное условие

однородности профиля скорости по сечению пото-

ка, не умаляя при этом сути физических механиз-

мов, определяющих процесс развития ТСС. Грани-

цы ТСС разделяют области внешнего ламинарного

течения и турбулентного течения в ТСС, поэтому

и действие механизма турбулентности на границах

ТСС будет подобно упомянутому для турбулентных

Иллюстративная схема турбулентного смешения двух па-

струй. Однако различие параметров внешних лами-

раллельных потоков с плотностью ρi, движущихся вдоль

нарных потоков обусловливает особенности и мно-

оси Xu со скоростью ui, где i = 1, 2, Qi набегающие на

гообразие режимов течения ТСС, отличающие его

ТСС потоки массы внешней среды; u и ρ средние ско-

от течения турбулентных струй.

рость и плотность потока в слое смешения. Границы слоя

смешения c внешней областью течения отмечены линиями

O1 и O2, δi углы разлета границ слоя, α угол пово-

рота средней скорости в слое

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ВЫВОД

УРАВНЕНИЙ, ОПИСЫВАЮЩИХ ПРОЦЕСС

РАЗВИТИЯ ТСС

3. УРАВНЕНИЯ БАЛАНСА МАСС,

ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ

Для изучения основных закономерностей разви-

тия ТСС рассмотрен простейший вариант смеше-

ния двух параллельных потоков, движущихся вдоль

Уравнения для искомых переменных получим,

оси X системы координат (X, Y, Z), однородных в

составляя балансы их потоков между близкими се-

поперечном направлении (по оси Z) и при X < 0

чениями оси, принимая во внимание углы и ли-

разделенных непроницаемой стенкой. Соприкосно-

нии геометрической структуры ТСС, формирую-

вение и перемешивание потоков происходит, начи-

щих картину смешения потоков, как показано на ри-

ная с точки X = 0. Исходные значения скорости

сунке. Для варианта несжимаемой жидкости сред-

u_i, плотности ρ_i и прочих параметров обозначают-

няя плотность записывается в виде

ся индексом i = 1 в верхней полуплоскости потока

(Y > 0) и индексом i = 2 в нижней полуплоскости.

ρ₁s₁ + ρ₂s₂

Исключая этап формирования различного рода пе-

ρ=

(1)

реходных структур потока [1], принимается, что с

самого начала в результате турбулентного переме-

шивания формируется режим течения ТСС с одно-

где h = s₁ + s₂, s_i = β_ix доля i-го компонента

родным распределением по ширине слоя h, скоро-

смеси в сечении слоя X. Уравнения баланса массы

сти u и плотности ρ. Направление скорости (вдоль

для каждого компонента примет вид

оси X_u) в общем случае образует некоторый подле-

жащий определению угол α с направлением исход-

d(ρ₁us₁)

ной оси X. Границы слоя, ввиду отсутствия каких-

≡ ρ₁uβ₁ = ρ₁u₁δ₁ - Q₁,

либо характерных параметров размерности длины,

(2)

d(ρ₂us₂)

будут иметь вид прямых, расположенных под уг-

≡ ρ₂uβ₂ = ρ₂u₂δ₂ + Q₂,

лом δ_i относительно оси X_u. Отрезки h_i ширины

слоя, поделенные осью X_u, с учетом малости углов

δ_i (для турбулентной струи в [7] было принято зна-

где Q_i

набегающие на ТСС потоки массы внеш-

чение tg δ_i = 0.1) запишутся в виде h_i = δ_ix, h = δx,

ней среды (имеющие разные знаки) в результа-

где δ = δ₁ +δ₂. Условная схема потоков вместе с обо-

те ее вытеснения из зоны ТСС. Уравнения им-

значениями искомых и вычисляемых величин, необ-

пульса вдоль и поперек потока, а также кинетиче-

ходимых при выводе уравнений, описывающих раз-

ской энергии с учетом того, что производную лю-

витие ТСС, показана на рисунке.

бой из искомых переменных ϕ можно записать как

986

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Гидродинамика турбулентного слоя смешения

d(uϕh)/dx = δuϕ, имеют вид

u_x(x, y → ∞) = u_∞, где u_∞ скорость внешнего те-

чения, даст формальный результат, учитывающий

d(ρu²h)

влияние внешних условий. Исходя из того факта,

≡ δρu² = δ₁ρ₁u²¹ + δ₂ρ₂u²² - Q₁u₁ + Q₂u₂,

что внешняя среда и ТСС это две четко разли-

d(αρu²h)

чимые жидкости, их динамическое взаимодействие

≡ δαρu² =

можно представить как силу трения, действующую

Q²¹

Q²²

на разделяющих их границах. Поскольку при турбу-

=δ₁Q₁u₁ + δ₂Q₂u₂ -

(3)

ρ₁

ρ₂

лентном движении молекулярная вязкость роли не

d(ρu³h)

играет, из соображений размерности следует, что эта

≡ δρu³ =

сила на каждой из границ слоя может быть пропор-

= δ₁ρ₁u³¹ + δ₂ρ₂u³² + u²¹Q₁ - u²²Q₂ - εh.

циональна только квадрату некоторой комбинации

скоростей движения внешней среды и ТСС:

Параметр ε при стандартном выводе уравнения

F_fr,i = γρ_i(u_s - u_i)²,

энергии из уравнений Навье-Стокса есть скорость

диссипации кинетической энергии. В предлагаемой

где i = 1, 2, γ константа (для турбулентных струй

теории уравнением энергии формально задается ве-

ее значение на основе опытных данных было при-

личина этого параметра и его физический смысл бу-

нято равным 0.1), u_s

промежуточная скорость

дет позднее установлен как энергии порождаемых

между u_i и средней скоростью струи u. Из условия

при трении на границах ТСС турбулентных вихрей.

непрерывности потока импульса, перетекающего от

Полученная система уравнений содержит семь под-

внешней границы во внутреннюю область ТСС, эту

лежащих определению искомых параметров: u, δ_i,

же силу можно записать как

β_i, Q_i (i = 1, 2). Вывод двух недостающих уравне-

F_fr,i = γρ(u_s - u)².

ний связан с выяснением механизма захвата внеш-

ней среды и последующего расширения границ слоя,

Отсюда для u_s и F_fr следуют выражения

поскольку именно его ширина или угол δ (h = δx)

(

)

ρ_i

определяет особенности его развития.

u_s = η_i u +

ρ^1/2u

(4)

F_fr,i = γ_iρ_i(u_i - u)², γ_i = γη²ⁱ,

4. О МЕХАНИЗМЕ ЗАХВАТА И

где введено обозначение η_i = 1/(1 + (ρ_i/ρ)^1/2).

ТУРБУЛИЗАЦИИ ВНЕШНЕЙ СРЕДЫ

Вывод о том, что закон трения квадратичен по

В литературе попытка качественного (точнее,

скорости, означает, что обтекание возмущенных гра-

на словах) объяснения механизма этого явления

ниц ТСС внешним потоком должно происходить с

была основана на гипотезе существования вязко-

образованием отрывных вихрей. По смыслу деле-

го надслоя на границе турбулентного слоя и внеш-

ния всей области течения на внешнюю безвихре-

ней ламинарной среды толщиной масштаба мини-

вую среду и собственно ТСС указанные отрывные

мальных турбулентных пульсаций λ_min [9], в кото-

вихри должны остаться в составе ТСС, играя для

ром завихрение и захват внешней среды происходил

него роль источника турбулентности. Поэтому и им-

под действием сил молекулярной вязкости (viscous

пульс, при трении отдаваемый им ТСС, также дол-

nibbling). Но при этом, поскольку движение турбу-

жен возвратиться ТСС вместе с захваченными вих-

лентной среды не зависит от молекулярной вязко-

рями. От ТСС вихри получают импульс, пропорци-

сти, по аналогии с объяснением механизма диссипа-

ональный разности скоростей u - u_i. Отсюда, введя

ции турбулентной энергии утверждалось, что ско-

обозначение v_ci для скорости захвата вихрей внеш-

рость захвата должна зависеть только от интенсив-

ней среды на каждой из границ слоя, поток возвра-

ности крупномасштабных пульсаций внутри турбу-

щаемого импульса (на единицу поверхности ТСС)

лентной области. Мотивом для предлагаемого в дан-

запишем в виде j = ρ_iv_ci|u - u_i|. Из условия равен-

ной работе, как и в [7, 10], объяснения механизма

ства потоков j и F_fr,i находим выражение для v_ci:

захвата явился тот пробел гипотезы вязкого над-

v_ci = γ_i|u - u_i|.

(5)

слоя, что в основе ее допущений исключается об-

ратное влияние скорости внешней среды на движе-

Универсальную применимость полученных формул

ние ТСС. Но достаточно отметить, что, даже ес-

подчеркивает то обстоятельство, что никакие кон-

ли в строгой постановке задачи использовать поня-

кретные свойства турбулентных вихрей, особенно-

тие турбулентной вязкости, то решение с условием

сти механизма их формирования на возмущенной

987

12*

В.П. Воротилин

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

границе ТСС в окончательном виде полученных со-

а первое из них, если с учетом (8), (9) исключить ρ

отношений ни в чем не проявляются. Поток захва-

и δ, в виде

тываемой массы внешней среды на каждой из гра-

ниц ТСС будет равен ρ_iv_ci. Без умаления общности

ϕ₁(u₁ - u) - ϕ₂(u - u₂) = 0.

(12)

в постановке задачи далее принимается, что u₁ > u₂

Слагаемые данного равенства, как следует из со-

и соответственно u₁ > u > u₂. Тогда уравнения ба-

отношений (4), (6), имеют физический смысл сил

ланса массы ¾турбулентной¿ жидкости по каждому

трения, действующих на границах слоя, и выража-

из компонент смеси примут вид

ют равенство этих сил. Также, чтобы выяснить в

d(ρ₁uh₁)

рамках представлений предлагаемой теории смысл

≡ ρ₁uβ₁ = γ₁ρ₁(u₁ - u₎ ≡ ϕ₁,

параметра ε в уравнении энергии, из этого урав-

(6)

d(ρ₂uh₂)

нения вычтем умноженное на u уравнение для x-

≡ ρ₂uβ₂ = γ₂ρ₂(u - u₂) ≡ ϕ₂.

компоненты импульса. В результате несложных пре-

образований с учетом подстановки выражений для

Подчеркнем ¾для ясности¿, что ранее полученные

Q_i (10), получим

уравнения баланса масс (2) в отличие от уравне-

ний (6) выводились для всего пространства движе-

εh = γ₁ρ₁(u₁ - u)²u₁ - γ₂ρ₂(u - u₂)²u₂.

ния потоков и ими фактически задавались потоки

Q_i натекания внешней среды на ТСС. Помимо урав-

Аналогично, используя понятие силы трения,

нений баланса масс ¾турбулентной¿ жидкости мож-

члены правой части данного равенства можно трак-

но написать и уравнения баланса объемов, разде-

товать как работу сил трения на границах слоя, ре-

ленных осью X_u и границами слоя, как результат

зультатом которой является преобразование части

приращение объемов слоя на его границах с внеш-

кинетической энергии потока в энергию образую-

ней средой:

щихся турбулентных вихрей. При этом на верхней

d(uh_i)

≡ uδ_i =

ϕ_i .

(7)

границе слоя энергия вихрей берется за счет кинети-

ρ_i

ческой энергии внешнего потока, а на нижней за

Как видим, данными уравнениями определяется ве-

счет кинетической энергии самого слоя, и поэтому

личина параметров δ_i.

в балансе кинетической энергии берется с отрица-

тельным знаком. Таким образом, параметр ε, в от-

личие от существующих представлений, определяю-

5. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И РЕШЕНИЕ

щих этот параметр как скорость диссипации кинети-

ПОЛУЧЕННЫХ УРАВНЕНИЙ

ческой энергии потока, характеризует скорость по-

С учетом (1), (7) для угла δ и средней плотно-

рождения энергии турбулентных вихрей (иначе тур-

сти ρ следуют выражения

булентных пульсаций). Из уравнения (11) при под-

становке ϕ_i из (6) для скорости u следует выражение

ϕ₁/ρ₁ + ϕ₁/ρ₂

δ=

(8)

u₁ + ωu

(13)

ϕ₁ + ϕ₂

1+ω

ρ=

(9)

uδ

где обозначено ω = (γ₂ρ₂/γ₁ρ₁)^1/2 ≡ (3 + δ)/(1 + 3δ)

а искомые Q_i, исключая переменные β_i из уравне-

и σ = (ρ₁/ρ₂)^1/2. Формулы для плотности слоя ρ,

ний (2), (6), представим в виде

параметров ϕ_i с учетом соотношений (4), (7) и (9)

Q₁ = ρ₁u₁δ₁ - ϕ₁, Q₂ = -ρ₂u₂δ₂ + ϕ₂.

(10)

запишем в виде

4ρ₁

Полученные выражения для величин ρ, δ_i, δ и Q_i

ρ=

(1 + σ)²

при подстановке их в уравнения теории позволя-

(14)

ют выявить неочевидные свойства развития ТСС.

γρ₁(u₁ - u₂)

ϕ₁ =

ϕ₂ = ωϕ₁.

В частности, уравнения для x- и y-компонент им-

(3 + σ)(1 + σ)

пульса запишутся в компактной форме

С учетом δ_i из (7) и u из (13) выражение для угла α,

ρ₁ϕ₁ + ρ₂ϕ₂

фактически определяемое уравнением (11), примет

ρu² =

вид

(11)

ϕ²¹

ϕ²²

ϕ₁ω(u₁ - u₂)

αδρu² = u₁ϕ₁δ₁ - u₂ϕ₂δ₂ -

αρu² =

ρ₁

ρ₂

1+ω

988

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Гидродинамика турбулентного слоя смешения

Окончательно все геометрические характеристики

2. Вариант µ = 1 - ε, где ε ≪ 1, т.е. для близ-

слоя, т.е. углы α, δ₁, δ₂, представим в виде, удобном

ких по скорости потоков, u = 1 - ε/(1 + ω) и

для качественной оценки их зависимости от пара-

углы разлета при любых σ малы: δ₁, δ₂ ≈ γε,

метров u_i, ρ_i:

α≈γε².

α=

(1 + σ)(1 + 3σ)ξ²,

Особые случаи смешения доставляют вариации

параметра σ. В случае σ = 1

(15)

4γξ

4γξσ

δ₁ =

δ₂ =

3+σ

1 + 3σ

u = (1 + µ)/2, δ₁ = δ₂ = γξ, α = 2γξ²,

D₁ = D₂ = ρ₁/2,

где введены обозначения ξ = (1-µ)/((1+ωµ)(1+3σ)),

µ = u₂/u₁. С точки зрения возможной эксперимен-

а в пределе σ → 0

тальной проверки представляют интерес оценки

доли захватываемой массы внешней среды в объем

u = (1 + 3µ)/4, δ₁ = γξ/3, δ₂ = γξσ²,

ТСС на сечение слоя, записываемые с учетом

α = 4γξ², D₁ = ρ₁, D₂ = 3ρ₁,

равенств β_i = δ_i как D_i = ρ_iδ_i/(δ₁ + δ₂) или, после

1-µ

подстановки выражений для δ_i, в виде

ξ=

4(1 + µ)

ρ₁(1 + 3σ)

ρ₂σ²(3 + σ)

D₁ =

D₂ =

(16)

Приведенные формулы и оценки параметров

(1 + σ)³

слоя дают наглядную иллюстрацию разнообразия

картин развития и геометрической структуры слоя

6. КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ

в зависимости от особых и характерных значений

ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ ТСС

параметров, задающих конкретные варианты его

развития. Можно отметить интересный факт: при

Из полученных соотношений видно, что если в

σ → 0, т.е., например, при смешении потока воздуха

роли масштабов скорости и плотности задавать u₁

над водой, доля массы захватываемой жидкости в

и ρ₁, то все искомые величины, описывающие дви-

единице объема ТСС равна 3ρ₁.

жение ТСС, будут зависеть от двух безразмерных

групп, обозначенных как µ и σ и по охвату допу-

стимых вариантов развития слоя изменяющихся в

7. ВЫВОДЫ

пределах 0 ≤ µ < 1 и 0 ≤ σ ≤ 1, где предел

Подводя итоги проведенного исследования про-

σ → 0 соответствует варианту контакта газообраз-

блемы ТПС, отметим некоторые особенности из

ного и жидкого потоков. Под термином ¾качествен-

его результатов. В исходной системе уравнений (3),

ный анализ¿ понимается оценка теоретически выво-

определяющих процесс развития ТСС, а также в

димых физических характеристик ТСС для режи-

соотношениях (7), (8), задающих количественную

мов предельных значений независимых параметров

оценку массы захватываемой внешней среды, в яв-

течения, позволяющая, с одной стороны, в нагляд-

ном виде описание механизма вихреобразования как

ном виде описать особенности развития ТСС, а с

действия сил трения на границах ТСС отсутству-

другой, на примере особых режимов развития слоя

ет. Но неожиданно этот механизм проявляет се-

убедиться в физической непротиворечивости исход-

бя в уравнениях импульса и энергии в результате

ных положений теории. Основной кинематической

проведенных с ними тождественных преобразова-

характеристикой слоя является параметр µ, и для

ний, демонстрируя гармонию внутренних, т.е. неоче-

пределов µ → 0 и µ → 1 имеют место с учетом соот-

видных, взаимосвязей всех параметров и процес-

ношений (13) - (15) следующие оценки параметров

сов, описывающих предложенный механизм разви-

слоя.

тия турбулентного слоя смешения.

В основу понимания и последующего описания

1. В случае µ = 0 неподвижный поток снизу,

механизма турбулентности были положены пред-

u = 1/(1 + ω); при ρ₁ = ρ₂, т.е. для σ = 1,

ставления о процессе вихреобразования на грани-

скорость в слое равна u = 1/2; углы разлета

цах турбулентного течения слоя смешения. Как

δ₁ = δ₂ = γ/4, α = γ/8, D₁ = D₂ = ρ₁/2. В

результат динамического взаимодействия ТСС с

пределе σ → 0, т.е. при смешении потока газа и

внешними ламинарными потоками были получены

неподвижной жидкости, u = 1/4, σ₁ = (4/3)γ,

выражения для скорости захвата (турбулизации)

δ₂ = 4γσ², α = γ/4, D₁ = ρ₁, D₂ = 3ρ₁.

989

В.П. Воротилин

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

внешней среды. Это позволило написать уравне-

ЛИТЕРАТУРА

ние баланса массы турбулентной жидкости (БМТ) и

1. A. VanDine, H. T. Pham and V. Sarkar, J. Fluid

рассматривать геометрическую структуру слоя сме-

Mech. 916, A42 (2021).

шения как реальный физический объект исследо-

вания его свойств. Уравнение БМТ вместе с ин-

2. Г. Шлихтинг, Теория пограничного слоя, Наука,

тегральными уравнениями баланса импульсов со-

Москва (1969).

ставили замкнутую систему уравнений для иско-

мых переменных, описывающих процесс развития

3. A. A. Townsend, The Structure of Turbulent Shear

слоя при наличии множества независимых пара-

Flow, Cambridge Univ. Press, Cambridge (1980).

метров, характеризующих общие условия развития

турбулентного пограничного слоя. Поскольку меха-

4. Турбулентность: принципы и применение, под

низм переноса кинетической энергии потока к энер-

ред. У. Фроста, Т. Моулдена, Мир, Москва

гии турбулентных пульсаций в рамках предлагае-

(1980).

мой теории целиком обусловлен процессом образо-

5. Г. Н. Абрамович, Теория турбулентных струй,

вания вихрей на границах потока, при выводе урав-

Наука, Москва (1984).

нений использовалось условие однородности профи-

ля скорости по сечению потока, не обедняя при этом

6. Z. Cheng and G. Constantinescu, J. Fluid Mech.

сути физических механизмов, определяющих про-

916, A41 (2021).

цесс развития ТСС. Что же касается сравнения с

экспериментальными данными, то результаты пред-

7. В. П. Воротилин, ЖЭТФ 153, 313 (2018).

ставленной теории дают, скорее, повод или для по-

8. В. П. Воротилин, ЖЭТФ 156, 176 (2019).

становки новых экспериментов, или для проведения

численных расчетов, связанных с исследованием по-

9. S. Corrsin and A. L. Kistler, Tech. Rep. TN-

лученных в статье качественных оценок параметров

1244.NACA (1955).

ТСС в зависимости от многообразия внешних усло-

вий его развития.

10. В. П. Воротилин, ЖЭТФ 160, 587 (2021).

990