ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 6 (12), стр. 975-984

О РЕЗОНАНСНЫХ ВКЛАДАХ В ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ

В УСЛОВИЯХ МАГНИТНОГО ПРОБОЯ ПРИ ПЕРЕСТРОЙКАХ

ЭЛЕКТРОННОЙ ДИНАМИКИ НА ПОВЕРХНОСТИ ФЕРМИ

А. Я. Мальцев^a*

^a Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук,

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 23 июля 2022 г.,

после переработки 1 августа 2022 г.

Принята к публикации 1 августа 2022 г.

Рассматриваются специальные замкнутые электронные траектории, возникающие при перестройках элек-

тронной динамики на поверхности Ферми в присутствии сильных магнитных полей, а также явление внут-

ризонного магнитного пробоя, возникающее на таких траекториях. При этом мы рассматриваем случаи,

когда электронный спектр, возникающий в такой ситуации, отвечает резонансному вкладу в квантовые

осцилляции. Выделены все случаи, когда такое имеет место, а также рассмотрено возможное влияние

появления фазы Берри и других эффектов на описываемые явления.

DOI: 10.31857/S0044451022120173

B, с поверхностями ǫ(p) = const. В общем случае,

EDN: LEZZWQ

они представляют пересечения 3-периодических по-

верхностей семейством параллельных плоскостей

(рис. 1). Как хорошо известно, при описании элек-

1. ВВЕДЕНИЕ

тронных явлений в металлах существенным, как

правило, является лишь один энергетический уро-

В данной работе мы обсуждаем особенности, свя-

вень, т.е. уровень Ферми ǫ(p) = ǫ_F .

занные с явлением магнитного пробоя на электрон-

ных траекториях, возникающих вблизи перестроек

Как было показано в работах школы И.М. Лиф-

топологической структуры системы

шица (см., например, [2, 4-6]), геометрия траекто-

рий системы (1) на поверхности Ферми играет очень

[v_gr(p) × B]

[∇ǫ(p) × B] ,

(1)

важную роль в описании гальваномагнитных явле-

ний в металлах в пределе сильных магнитных по-

описывающей динамику электронных состояний в

лей. Общая задача классификации всех возможных

металлах в присутствии внешнего магнитного поля.

типов траекторий системы (1) была поставлена Но-

Система (1) описывает квазиклассическую дина-

виковым в работе [7] и затем интенсивно исследова-

мику электронов в пространстве квазиимпульсов с

лась в его топологической школе (см. [8-15]). В на-

произвольным законом дисперсии ǫ(p) (см., напри-

стоящий момент можно констатировать, что такая

мер, [1-3]). Поскольку значения p , различающиеся

классификация получена для соотношений ǫ(p) са-

на векторы обратной решетки, задают одно и то же

мого общего вида, что позволяет говорить об успеш-

электронное состояние, пространство квазиимпуль-

ном решении задачи Новикова в общем случае.

сов можно при этом рассматривать либо как трех-

Можно отметить здесь, что результаты, получен-

мерный тор T³ , либо как расширенное простран-

ные при исследовании задачи Новикова, также ока-

ство R³ . В последнем случае функция ǫ(p) пред-

зываются весьма важными при описании гальвано-

ставляет собой 3-периодическую функцию в трех-

магнитных явлений в металлах, в частности, их ис-

мерном пространстве.

пользование позволило ввести важные топологиче-

Траектории системы (1) в пространстве R³ за-

ские характеристики, наблюдаемые в проводимости

даются пересечениями плоскостей, ортогональных

нормальных металлов, а также описать ряд новых

^* E-mail: maltsev@itp.ac.ru

режимов поведения проводимости в сильных маг-

975

А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

лее ярко при исследовании квантовых осцилляций.

Появление траекторий такого типа, в действитель-

ности, связано с перестройками структуры системы

(1) на поверхности Ферми при изменении направле-

ния магнитного поля, которые мы и будем рассмат-

ривать здесь.

2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПЕРЕСТРОЙКИ

СТРУКТУРЫ (1) И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ

ТРАЕКТОРИИ

Рис. 1. Траектории системы (1) в пространстве квазиим-

пульсов

Как мы уже говорили, структура системы (1)

на достаточно сложных поверхностях Ферми может

быть довольно сложной. В общем случае на поверх-

ности Ферми могут присутствовать как замкнутые,

так и открытые траектории системы (1). Вместе с

тем, как следует из анализа задачи Новикова, зна-

ние полного множества замкнутых траекторий на

поверхности Ферми позволяет определить тип так-

же и возникающих на ней открытых траекторий и

дать достаточно полное их описание. Информацию

о возникновении различных типов траекторий при

различных направлениях B удобнее всего представ-

лять на угловой диаграмме (единичной сфере S²),

указывая для каждого направления B тип траекто-

Рис. 2. Явление магнитного пробоя на траекториях, близ-

рий, возникающих на поверхности Ферми. Прежде

ких к седловым особым точкам системы (1) на поверхно-

всего при этом удобно выделить области на S², от-

сти Ферми

вечающие наличию лишь замкнутых траекторий на

поверхности Ферми. Дополнение к таким областям

нитных полях, неизвестных до этого (см. [16-21]).

отвечает появлению на поверхности Ферми откры-

Структура системы (1) на достаточно сложных

тых траекторий (различных типов). Можно отме-

поверхностях Ферми может быть довольно сложной.

тить здесь, что для реальных дисперсионных соот-

В частности, система (1) имеет в общем случае осо-

ношений области появления лишь замкнутых траек-

бые точки на поверхности Ферми, представляющие

торий на поверхности Ферми занимают, как прави-

собой локальные минимумы или максимумы, а так-

ло, большую часть площади на угловой диаграмме.

же седловые особые точки. Здесь нам будут интерес-

Для направлений B общего положения никакие

ны именно седловые особые точки, поскольку имен-

две особые точки на поверхности Ферми не соеди-

но они связаны с явлением внутризонного магнит-

няются (сингулярными) траекториями системы (1).

ного пробоя в достаточно сильных магнитных полях

При вращениях направления B, не нарушающих это

(рис. 2).

условие, структура траекторий системы (1) на по-

Явление внутризонного магнитного пробоя изу-

верхности Ферми не меняется существенным обра-

чено довольно детально (см., например, [22-26]).

зом. Ситуации, когда такое соединение происходит,

Нас здесь будут интересовать явления, связанные

можно называть моментами перестройки структуры

с квантованием электронных состояний на замкну-

системы (1) на поверхности Ферми, и они возникают

тых траекториях (1) в условиях пробоя (см. [23-26]).

лишь при специальных направлениях B.

В отличие от наиболее общей задачи, нас будет ин-

При перестройках структуры системы (1) общего

тересовать явление магнитного пробоя на экстре-

положение происходит соединение ровно двух сед-

мальных замкнутых траекториях (имеющих макси-

ловых особых точек сингулярными траекториями.

мальную или минимальную площадь по сравнению

Нас здесь будут интересовать ¾элементарные¿ пере-

с близкими к ним траекториям), где соответствую-

стройки системы (1), при которых все траектории,

щие ему эффекты должны быть выражены наибо-

выходящие из соединяемых особых точек, являют-

976

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

О резонансных вкладах в осцилляционные явления...

Рис. 4. Сеть линий на угловой диаграмме, отвечающая пе-

рестройкам структуры системы (1) на поверхности Ферми

(схематично)

Рис. 3. Моменты ¾элементарных¿ перестроек топологи-

зать при этом, что топологические структуры систе-

ческой структуры системы (1) на поверхности Ферми

мы (1) по разные стороны от такой линии различа-

ются именно элементарной перестройкой заданного

типа. Линии, отвечающие элементарным перестрой-

ся замкнутыми. Такие перестройки происходят, в

кам всех типов для достаточно сложных поверхно-

частности, при направлениях B, лежащих в обла-

стей Ферми, образуют, как правило, довольно слож-

стях существования лишь замкнутых траекторий на

ную сеть в области существования лишь замкнутых

поверхности Ферми. В момент элементарной пере-

траекторий на поверхности Ферми (рис. 4), которая

стройки в плоскости, ортогональной B, должна при

бесконечно сгущается при приближении к направ-

этом возникать одна из ситуаций, изображенных на

лениям существования открытых траекторий на по-

рис. 3. Здесь мы везде будем предполать, что на-

верхности Ферми (см., например, [27]). Кроме того,

правление оси z совпадает с направлением магнит-

элементарные перестройки структуры системы (1)

ного поля.

могут происходить также и при наличии открытых

Перестройки топологической структуры систе-

траекторий на поверхности Ферми.

мы (1) при вращениях направления магнитного по-

Каждая из элементарных перестроек меняет

ля происходят на поверхностях Ферми почти всех

структуру траекторий (1) лишь на определенном

металлов. Исключение составляют, пожалуй, толь-

участке поверхности Ферми, не затрагивая других

ко щелочные металлы, обладающие очень простыми

(неэквивалентных данному) участков. Для описа-

поверхностями Ферми (близкими к сферической). В

ния соответствующей перестройки, кроме картины,

частности, если при некоторых направлениях B на

описывающей соединение особых точек сингулярны-

поверхности Ферми имеются незамкнутые траекто-

ми траекторими (рис. 3), необходимо указать еще,

рии, то при приближении к таким направлениям из

являются ли векторы ∇ǫ(p) сонаправленными, или

зоны замкнутых траекторий должно произойти бес-

направленными противоположно друг другу, в рас-

конечное число элементарных перестроек структу-

сматриваемой паре седел. На рис. 5, 6 изображе-

ры системы (1).

ны перестройки, отвечающие ситуации, представ-

Каждая из структур, изображенных на рис. 3,

ленной на рис. 3a, c направленными противополож-

является устойчивой по отношению к малым вра-

но друг другу (рис. 5) и сонаправленными (рис. 6)

щениям B в плоскости, ортогональной отрезку, со-

векторами ∇ǫ(p) в седловых особых точках.

единяющему седловые особые точки, и разрушается

Можно видеть, что каждая элементарная пере-

при других вращениях B. Каждой из возникающих

стройка структуры системы (1) представляет собой

перестроек на заданной поверхности Ферми соответ-

исчезновение цилиндра малой высоты, образованно-

ствует, таким образом, некоторая одномерная линия

го замкнутыми траекториями (1), и замену его ци-

на угловой диаграмме, вдоль которой наблюдает-

линдром другого типа. Замкнутые траектории, на-

ся именно заданный тип перестройки. Можно ска-

ходящиеся на таких цилиндрах малой высоты (до

977

А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

B₁

Рис. 5. Элементарная перестройка структуры системы

Рис. 6. Элементарная перестройка структуры системы (1)

(1) на поверхности Ферми, отвечающая случаю рис. 3a

на поверхности Ферми, отвечающая случаю рис. 3a с сона-

с направленными противоположно друг другу векторами

правленными векторами ∇ǫ(p) в седловых особых точках.

∇ǫ(p) в седловых особых точках. Показаны также экс-

Показаны также траектории с минимальными периодами

тремальные траектории на цилиндрах малой высоты, до

обращения на цилиндрах малой высоты, до и после пере-

и после перестройки (цветом обозначены участки, близко

стройки

подходящие к особым точкам системы (1))

ризонный магнитный пробой, обусловленный близо-

и после перестройки), отличаются тем, что на них

стью к седловым особым точкам системы (1). Мож-

всегда имеются участки, подходящие близко к сед-

но видеть, что магнитный пробой должен ¾смазы-

ловым особым точкам системы (1). Особые точки

вать¿ картину классических осцилляций в описыва-

системы (1) всегда присутствуют на обоих основа-

емой ситуации. Можно отметить также, что для на-

ниях цилиндра малой высоты, что вызывает неогра-

блюдения этого эффекта вблизи момента перестрой-

ниченное увеличение периода обращения по замкну-

ки необходима весьма высокая точность при поста-

тым траекториям при приближении как к нижнему,

новке эксперимента.

так и к верхнему основанию. Как следствие этого, на

Резонансные вклады в квантовые осцилляции,

каждом цилиндре малой высоты (как до, так и по-

как хорошо известно, проистекают от замкнутых

сле перестройки) всегда присутствуют траектории,

траекторий, обладающих экстремальной площадью

обладающие наименьшим периодом обращения на

по сравнению с близкими к ним траекториями.

цилиндре. Резкое изменение геометрии таких тра-

Нетрудно видеть, что площадь замкнутых траекто-

екторий при перестройке структуры (1) приводит

рий остается конечной на цилиндрах малой высоты,

к резкому изменению общей картины классических

при этом, однако, ее производная по высоте обра-

осцилляций в металле (циклотронный резонанс) в

щается в бесконечность на основаниях цилиндров.

присутствии сильных магнитных полей, что позво-

Траектории экстремальной площади при этом при-

ляет, в частности, отслеживать такие перестройки

сутствуют не на всех цилиндрах малой высоты. Так,

при изменении направления B (см., например, [27]).

можно видеть, что для перестройки, изображенной

При чрезвычайно близком приближении к моменту

на рис. 5, такие траектории присутствуют как до пе-

перестройки (и достаточно больших значениях B)

рестройки (траектории минимальной площади), так

на траекториях такого типа должен возникать внут-

и после нее (траектории максимальной площади).

978

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

О резонансных вкладах в осцилляционные явления...

Для перестройки, изображенной на рис. 6, напро-

тив, траектории экстремальной площади отсутству-

ют на соответствующих цилиндрах малой высоты

по обе стороны от перестройки. В действительно-

сти, это соответствует общему правилу для элемен-

тарных перестроек, а именно, траектории экстре-

мальной площади присутствуют (по обе стороны от

перестройки) для перестроек, отвечающих противо-

положно направленным векторам ∇ǫ(p) в седловых

особых точках, и отсутствуют при сонаправленных

векторах ∇ǫ(p). В частности, именно перестройкам

первого типа соответствуют резкие изменение резо-

Рис. 7. Резонансная и нерезонансные траектории с одной

нансных вкладов в квантовые осцилляции, в то вре-

стороны от перестройки, приведенной на рис. 5, прини-

мя как изменения резонансных членов в классиче-

мающие участие в формировании электронных уровней в

ских осцилляциях свойственны перестройкам обоих

условиях магнитного пробоя

типов (см. [28]).

Общее рассмотрение квантования электронных

гичную возникающей на уровнях ǫ < ǫ_F или ǫ > ǫ_F

уровней в условиях магнитного пробоя (см. [23-26])

по разные стороны от ¾линии перестройки¿ систе-

дает картину таких уровней при энергиях, близких

мы (1) на угловой диаграмме. Существование траек-

к уровню появления сингулярной траектории при

торий экстремальной площади вблизи ¾линии пере-

соответствующем значении p_z. В нашем случае рас-

стройки¿ могло бы быть при этом указанием на воз-

сматривается совокупность всех значений p_z вблизи

можность экспериментального наблюдения их резо-

появления сингулярных траекторий при заданном

нансных вкладов в квантовые осцилляции в услови-

уровне Ферми. Как легко видеть, сингулярные тра-

ях магнитного пробоя. Здесь, однако, надо сразу от-

ектории возникают здесь лишь при изолированных

метить два обстоятельства. Первое обстоятельство

значениях p_z, вблизи которых траектории распада-

состоит в том, что в условиях магнитного пробоя

ются на регулярные. При этом, как мы уже сказали,

в формировании электронного спектра принимают

нам хотелось бы выделить траектории, дающие ре-

участие, вообще говоря, не только траектории экс-

зонансные члены в картину квантовых осцилляций

тремальной площади (см., например, рис. 7, где по-

вблизи перестроек структуры системы (1).

казаны траектории, участвующие в формировании

Нетрудно видеть, что для сингулярных траек-

электронного спектра по одну сторону от перестрой-

торий с сонаправленными векторами ∇ǫ(p) в осо-

ки, приведенной на рис. 5). Второе обстоятельство

бых точках сдвиг значения p_z в одну или другую

(см. [23-26]) состоит в том, что кроме набега фазы

сторону дает траектории, аналогичные возникаю-

при движении по траектории в формировании элек-

щим на уровнях ǫ < ǫ_F или ǫ > ǫ_F при том же

тронного спектра играют роль матрицы перехода,

значении p_z. Все такие траектории дают одновре-

сшивающие квазиклассические решения на разных

менно вклад в картину квантовых осцилляций, что

траекториях вблизи особых точек (закрашенные об-

совершенно ¾размазывает¿ квантованные значения

ласти на рис. 5, 6, 7). В общем случае матрицы пе-

энергии и лишает возможности наблюдать кванто-

рехода при этом не обладают специальными стаци-

вый электронный спектр вблизи особых траекторий

онарными свойствами при изменении значения p_z.

в этом случае. Можно также отметить, что участок

Можно видеть, таким образом, что описание карти-

поверхности Ферми, близкий к сингулярной траек-

ны квантовых осцилляций требует здесь специаль-

тории с сонаправленными векторами ∇ǫ(p) в особых

ного рассмотрения.

точках, не может обладать свойствами центральной

Отметим сразу, что при рассмотрении электрон-

симметрии.

ного спектра в описанной ситуации основную роль

Для сингулярных траекторий с противоположно

играет наличие центральной симметрии участка

направленными векторами ∇ǫ(p) в седловых особых

поверхности Ферми вблизи сингулярной траекто-

точках сдвиг значения p_z в одну или другую сторо-

рии, отвечающей за перестройку заданного типа.

ну не дает картины, аналогичной изменению уровня

Нетрудно видеть, что из траекторий, представлен-

энергии, а приводит к появлению регулярных траек-

ных на рис. 3, только траектории a, c и f (с противо-

торий другой геометрии. В этом случае, однако, ма-

положно направленными векторами ∇ǫ(p) в особых

лые вращения направления B дают картину, анало-

точках) могут задавать перестройки, обладающие

979

А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Рис. 8. Центрально-симметричная перестройка, отвечаю-

Рис. 9. Центрально-симметричная перестройка, отвечаю-

щая сингулярной траектории рис. 3c. Закрашены цилин-

щая сингулярной траектории рис. 3f. Закрашены цилин-

дры замкнутых траекторий малой высоты, а также при-

дры замкнутых траекторий малой высоты, а также приве-

ведены резонансные и нерезонансные траектории, участ-

дены траектории, участвующие в формировании электрон-

вующие в формировании электронного спектра по разные

ного спектра по разные стороны от перестройки (все траек-

стороны от перестройки

тории являются ¾резонансными¿, т.е. имеют экстремаль-

ную площадь по сравнению с близкими траекториями)

центральной симметрией. Можно также отметить,

(

)

2πeℏB

что перестройки, обладающие центральной симмет-

S₂(ǫ⁽²⁾ⁿ

)

n₂ +

n₂ ≫ 1 ,

рией, должны, в действительности, встречаться ча-

ще перестроек, не обладающих такой симметрией.

вторая из которых двукратно вырождена.

Действительно, любые перестройки, не обладаю-

Формально говоря, вторая часть спектра отве-

щие центральной симметрией, должны встречать-

чает симметричной и антисимметричной волновым

ся парами на центрально-симметричной поверхно-

функциям, локализованным на нерезонансных тра-

сти Ферми, что требует ее достаточной сложности.

екториях. Однако при исчезающе слабом магнитном

пробое разница между энергиями таких состояний

Рассмотрим теперь подробнее перестройку, отве-

настолько мала, что они перестают быть правиль-

чающую траектории рис. 3a (т.е. перестройку, пред-

ными состояниями уже при ничтожно малых стдви-

ставленную на рис. 5), предполагая, что она обла-

гах p_z, приводящих к волновым функциям, локали-

дает центральной симметрией. Если рассматривать

зованным на каждой из траекторий по отдельности.

рис. 7, в отсутствие магнитного пробоя (что отвеча-

Таким образом, для близких сечений спектр зада-

ет достаточному удалению по энергии от ǫ_F на ли-

ется тремя ветвями, при этом спектры для сдвигов

нии перестройки или отклонению направления B от

Δp_z и -Δp_z совпадают друг с другом. При преобра-

этой линии при заданном ǫ_F ), электронный спектр,

зовании p → -p, однако, лишь одна ветвь спектра

отвечающий представленной картине, имеет доволь-

(отвечающая функциям, локализованным на резо-

но простое описание. А именно, спектр, определяе-

нансной траектории) переходит в себя, в то время

мый центральным сечением поверхности Ферми, за-

как две другие меняются местами. Как следствие,

дается двумя ветвями ǫn1)1 и ǫn2)2:

лишь часть собственных значений спектра являет-

ся стационарной при малых сдвигах значения p_z, в

(

)

2πeℏB

то время как другие не дают резонансного вклада в

S₁(ǫ⁽¹⁾ⁿ

)

n₁ +

n₁ ≫ 1 ,

квантовые осцилляции в указанном пределе.

980

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

О резонансных вкладах в осцилляционные явления...

Рис. 10. Перестройка, отвечающая структуре рис. 3b с

Рис. 11. Перестройка, отвечающая структуре рис. 3d с

направленными противоположно друг другу векторами

∇ǫ(p) в особых точках

При появлении магнитного пробоя, одна-

Здесь можно также отметить, что, как показы-

ко, спектр, отвечающий центральному сечению

вает общий анализ, центрально-симметричная пере-

(p_z

= 0), становится невырожденным и остается

стройка, представленная на рис. 5, является наибо-

таковым при достаточно близких значениях p_z. Все

лее распространенной на поверхностях Ферми до-

электронные состояния теперь переходят в себя

статочно общей формы.

при преобразовании p → -p, и, как следствие, все

Нетрудно видеть, что аналогичная ситуация воз-

точки спектра являются стационарными при малых

никает также в случае центрально-симметричной

сдвигах значения p_z. Можно видеть, таким образом,

перестройки, отвечающей траектории, приведенной

что в этом случае центральное сечение обладает

на рис. 3c (рис. 8). Как и в предыдущем случае,

некоторой окрестностью, дающей резонансный

здесь часть траекторий, участвующих в формиро-

вклад в квантовые осцилляции для всех точек

вании спектра, не являются экстремальными. Та-

возникающего спектра.

ким образом, часть спектра исчезает из резонанс-

Спектр, формирующийся в результате магнит-

ного вклада в квантовые осцилляции в пределе ис-

чезающего магнитного пробоя (с одной из сторон от

ного пробоя, можно наблюдать, в частности, при

очень точном помещении направления B на линию

перестройки, либо от уровня Ферми). В наиболее ин-

тересном интервале, однако, также можно наблю-

перестройки структуры системы (1), где сингуляр-

ная траектория рис. 3a возникает на поверхности

дать полный спектр электронных состояний среди

Ферми. Сдвиг направления B в одну или другую

резонансных членов. Отличия от предыдущего слу-

сторону от линии перехода, как мы уже говорили,

чая заключаются здесь лишь в деталях электронно-

дает картину, аналогичную сдвигу энергии вниз или

го спектра в режиме развитого магнитного пробоя.

вверх от энергии Ферми. Все квантовые уровни оста-

Центрально-симметричная перестройка, отвеча-

ются стационарными (при сдвигах p_z) также и при

ющая траектории, приведенной на рис. 3f (траекто-

переходе к траекториям, изображенным на нижней

рия типа ¾бабочки¿), несколько отличается от двух

картинке рис. 5, где они дают резонансный вклад в

перестроек, приведенных выше (см. рис. 9). Мож-

осцилляции и при исчезновении магнитного пробоя.

но видеть, что все траектории, принимающие уча-

981

А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

в описанных ситуациях является довольно узким.

В частности, он отвечает довольно малым допусти-

мым отклонениям направления B от линии пере-

стройки на угловой диаграмме, и наблюдение ре-

зонансных вкладов в осцилляции позволяет, в дей-

ствительности, определить положение линий пере-

стройки с весьма хорошей точностью при исследова-

нии геометрии поверхности Ферми (см., например,

[27]).

Нам хотелось бы также упомянуть здесь о влия-

нии таких эффектов, как появление ненулевой кри-

визны Берри (см., например, [29, 30] и приводимые

там ссылки) на описанную выше картину. Наличие

ненулевой кривизны Берри, как хорошо известно, не

позволяет выбрать блоховские функции таким об-

разом, чтобы избежать учета фазы Берри при дви-

жении электрона по квазиклассической траектории.

Вместе с тем, учет фазы Берри весьма существен-

но влияет на квантование уровней на замкнутых

траекториях системы (1) как в отсутствие магнит-

ного пробоя, так и при его наличии (см. [25, 26]

и приводимые там ссылки). Отметим здесь, что

при наличии кривизны Берри система (1) несколько

Рис. 12. Перестройка, отвечающая структуре рис. 3e с

модифицируется, однако, траектории электронов в

направленными противоположно друг другу векторами

p-пространстве в присутствии внешнего магнитного

∇ǫ(p) в особых точках

поля также задаются при этом пересечениями плос-

костей, ортогональных B, с поверхностями постоян-

стие в формировании спектра, являются здесь резо-

ной энергии. В нашем случае важную роль играет

нансными по обе стороны от перестройки, поэтому

появление фазы Берри при движении по траектории

все точки электронного спектра дают резонансные

между участками сближения траектории с самой со-

вклады в квантовые осцилляции во всем интевале

бой.

энергий. Квантовый спектр, отвечающий траекто-

Нас здесь будет интересовать ситуация, когда

рии рис. 3f был рассмотрен в работе [26] и имеет

наличие фазы Берри не разрушает резонанстности

¾квазислучайный¿ вид. Такой же тип спектра сле-

вклада рассматриваемой нами траектории при на-

дует, в действительности, ожидать и в описанных

личии магнитного пробоя. Как мы уже видели вы-

нами выше других двух случаях, отвечающих на-

ше, резонансность такого вклада обусловлена нали-

личию резонансных вкладов в осцилляции в случае

чием центральной симметрии соответствующих пе-

развитого магнитного пробоя. Отличие этих случа-

рестроек, поэтому мы должны потребовать также

ев, как мы уже сказали выше, состоит в том, что в

наличие такой симметрии и от добавок к фазе вол-

них лишь часть возникающего спектра отвечает ре-

новых функций за счет фазы Берри (при правиль-

зонансным вкладам в осцилляции во всем рассмат-

ном выборе базиса блоховских функций вблизи рас-

риваемом нами интервале энергий.

сматриваемой траектории).

Что касается перестроек, не обладающих цен-

Возникновение ненулевой кривизны Берри на по-

тральной симметрией (см. рис. 10-12), то, в силу

верхности Ферми обусловлено, как правило, либо

сказанного нами ранее, квантовые уровни, возника-

нарушением симметрии по отношению к обращению

ющие здесь в режиме развитого пробоя, не облада-

времени, либо отсутствим центральной симметрии

ют свойствами стационарности по отношению к ма-

у решетки кристалла. Как также хорошо известно,

лым вариациям значения p_z. Таким образом, резо-

сииметрийные свойства кривизны Берри на поверх-

нансные вклады в квантовые осцилляции возникают

ности Ферми отличаются друг от друга в этих двух

лишь от экстремальных траекторий в режиме исче-

ситуациях. В частности, при наличии центральной

зающего магнитного пробоя. Отметим, однако, что

симметрии у решетки кристалла кривизна Берри

интервал наблюдения развитого магнитного пробоя

Ω(p) удовлетворяет условию Ω(p) = Ω(-p). Кро-

982

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

О резонансных вкладах в осцилляционные явления...

ме того, при естественном выборе базиса блоховских

ной симметрии также у перенормированного спек-

функций (ψ_-p(x) = ψ_p(-x)), значения фазы Бер-

тра. Как и кривизна Берри, орбитальный магнит-

ри на двух ориентированных кривых, переходящих

ный момент блоховских электронов обладает свой-

друг в друга при преобразовании p → -p, в этом

ством M(p) = M(-p) при наличии центра инверсии

случае совпадают. Можно видеть, таким образом,

в кристалле и M(-p) = -M(p) при наличии сим-

что

случай,

когда

резонансные

метрии по отношению к обращению времени. Мож-

свойства

спектра, возникающего в описанных вы-

но видеть, таким образом, что соотвествующая до-

ше ситуациях, не разрушаются присутствием фазы

бавка является четной по p только при наличии цен-

Берри, соответствует именно наличию у кристалла

тра инверсии в кристалле, и, следовательно, нали-

центра инверсии.

чие орбитального магнитного момента не разрушает

резонансные свойства спектра также только в этом

Для сравнения, при наличии симметрии по от-

случае.

ношению к обращению времени кривизна Берри об-

ладает свойством Ω(-p) = -Ω(p). При естествен-

Кроме сказанного выше, надо сделать еще од-

ном выборе базиса блоховских волновых функций

но замечание. А именно, в отсутствие симметрии по

(ψ_-p(x) =

ψ_p(x)) значения фазы Берри на двух ори-

отношению к обращению времени или центра ин-

ентированных кривых, переходящих друг в другв

версии в кристалле в формировании спектра ǫ(p)

при преобразовании p → -p, в этом случае противо-

часто также принимает участие спин-орбитальное

положны друг другу. Можно видеть, таким образом,

взаимодействие. В результате, спин и квазиимпульс

что при наличии симметрии по отношению к обра-

блоховских электронов не являются независимыми

щению времени (и при отсутствии у кристалла цен-

и нужно рассматривать также зависимость s(p) спи-

тра инверсии) наличие фазы Берри разрушает ре-

на электрона от его квазимпульса для каждой вет-

зонансные свойства спектра, возникающего на резо-

ви электронного спектра. Поскольку спин электро-

нансных траекториях, описанных выше. Данное об-

на также дает вклад в его зеемановскую энергию в

стоятельство должно, таким образом, приводить к

присутствии магнитного поля, для симметричности

размытию спектра, наблюдаемого при наличии маг-

соответствующей добавки к энергии нам необходи-

нитного пробоя во всех описанных выше случаях.

мо выполнение условия s(p) = s(-p), что также от-

Аналогичная ситуации должна возникать также и

вечает наличию центра инверсии в кристалле. (Мы

в самом общем случае (одновременного отсутствия

предполагаем здесь также, что спин-орбитальное

симметрии по отношению к обращению времени и

взаимодействие не приводит к пересечению ветвей

центральной симметрии у решетки кристалла).

электронного спектра вблизи рассматриваемой пе-

рестройки).

Здесь необходимо сказать еще следующее. В рас-

сматриваемых нами ситуациях (отсутствие симмет-

рии по отношению к обращению времени или цен-

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

тральной симметрии у решетки кристалла), поми-

В работе рассмотрена ситуация развитого маг-

мо учета фазы Берри, необходимо учитывать также

нитного пробоя, возникающая вблизи перестроек

некоторые другие явления (см. обзор таких явлений,

электронной динамики на поверхности Ферми в при-

например, в работе [30]). В частности, в этих ситуа-

сутствии сильных магнитных полей. Рассмотрены

циях необходимо учитывать также появление орби-

случаи, когда возникающий квантовый спектр на

тального магнитного момента блоховских электро-

перестраивающихся замкнутых траекториях отве-

нов M(p), влияющего на форму спектра в рассмот-

чает резонансному вкладу в квантовые осцилляци-

ренных нами выше случаях. Учет влияния орби-

онные явления. Как показано в работе, эта ситуа-

тального магнитного момента (магнитного момента

ция возникает лишь при некоторых из возможных

волнового пакета) состоит в добавке к энергии ǫ(p)

топологических перестроек электронной динамики

величины -M(p)·B, т.е. к (слабой) перенормировке

на поверхности Ферми. Вместе с тем, появление та-

дисперсионного соотношения, зависящей от магнит-

ких перестроек на реальных поверхностях Ферми

ного поля. Как мы уже видели выше, квантован-

является более вероятным по сравнению с осталь-

ный спектр отвечает резонансным вкладам в осцил-

ными в силу особенностей их геометрии. В работе

ляционные явления лишь при наличии централь-

рассмотрено также возможное влияние появления

ной симметрии в рассматриваемых нами перестрой-

фазы Берри и других эффектов, возникающих при

ках. Таким образом, для сохранения этого свой-

нарушении симметрии по отношению к обращению

ства мы должны потребовать наличие централь-

983

А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

времени или отсутствии центра инверсии в кристал-

14.

I.A. Dynnikov, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2,

ле, на описываемые явления.

Vol. 179, AMS, Providence, RI (1997), p. 45.

Финансирование. Работа выполнена при фи-

нансовой поддержке РНФ (проект № 21-11-00331).

15.

И.А. Дынников, УМН 54, 21 (1999).

16.

С.П. Новиков, А.Я. Мальцев, Письма в ЖЭТФ

63, 809 (1996).

ЛИТЕРАТУРА

17.

А.Я. Мальцев, ЖЭТФ 112, 1710 (1997).

Ч. Киттель, Квантовая теория твердых тел,

Наука, Москва (1967).

18.

С.П. Новиков, А.Я. Мальцев, УФН 168, 249

И.М. Лифшиц, М.Я. Азбель, М.И. Каганов,

(1998).

Электронная теория металлов, Наука, Москва

19.

A. Ya. Maltsev and S. P. Novikov, J. Stat. Phys.

1971.

115, 31 (2004).

А.А. Абрикосов, Основы теории металлов, На-

ука, Москва (1987).

20.

А.Я. Мальцев, С.П. Новиков, Труды МИАН

302, 296 (2018).

И.М. Лифшиц, М.Я. Азбель, М.И. Каганов,

ЖЭТФ 31, 63 (1956).

21.

С.П. Новиков, Р. Де Лео, И.А. Дынников, А.Я.

Мальцев, ЖЭТФ 156, 761 (2019).

И.М. Лифшиц, В.Г. Песчанский, ЖЭТФ 35,

1251 (1958).

22.

Г.Е. Зильберман, ЖЭТФ 33, 387 (1958).

И.М. Лифшиц, В.Г. Песчанский, ЖЭТФ 38, 188

23.

Г.Е. Зильберман, ЖЭТФ 34, 748 (1958).

(1960).

24.

М.Я. Азбель, ЖЭТФ 39, 1276 (1960).

С.П. Новиков, УМН 37, 3 (1982).

А.В. Зорич, УМН 39, 235 (1984).

25.

A. Alexandradinata and Leonid Glazman Phys.

Rev. Lett. 119, 256601 (2017).

И.А. Дынников, УМН 47, 161 (1992).

26.

A. Alexandradinata and Leonid Glazman, Phys.

10.

С.П. Царев, Частное сообщение, 1992-1993.

Rev. B 97, 144422 (2018).

11.

И.А. Дынников, Математические заметки 53, 57

(1993).

27.

А.Я. Мальцев, ЖЭТФ 158, 1139 (2020).

12.

A.V. Zorich. in: Proc. Geometric Study of

28.

А.Я. Мальцев, ЖЭТФ 160, 699 (2021).

Foliations, (Tokyo, November

1993), ed. T.

29.

Ganesh Sundaram and Qian Niu, Phys. Rev. B 59,

Mizutani et al., World Scientific, Singapore (1994),

p. 479.

14915 (1999)

13.

I.A. Dynnikov, Surfaces in 3-torus: Geometry of

30.

Di Xiao, Ming-Che Chang, Qian Niu, Rev. Mod.

Plane Sections, Proc. of ECM2, BuDA (1996).

Phys. 82, 1959 (2010)

984