ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 6 (12), стр. 968-974

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА

УГЛЕРОДНОЙ СФЕРЫ В ПРЕДЕЛЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

К. Б. Циберкин^*

Пермский государственный национальный исследовательский университет

614990, Пермь, Россия

Поступила в редакцию 3 июля 2022 г.,

после переработки 3 июля 2022 г.

Принята к публикации 19 июля 2022 г.

Представлен подход к расчёту энергетического спектра однослойной углеродной нанооболочки одно-

слойной и многослойной сферы на основе применения модели Хаббарда и приближения сплошной

среды с учетом возможности осаждения на поверхности углерода примесных атомов. Реализуется дис-

кретный спектр уровней энергии в пределе бесконечного радиуса кривизны оболочки, отвечающий струк-

туре энергетических уровней графена. Присутствие на поверхности углерода примесных ионов в высокой

концентрации приводит к возникновению запрещенной зоны шириной до нескольких электронвольт. Ку-

лоновское отталкивание электронов на узлах решетки усиливает этот эффект и определяет асимметрию

ветвей спектра. В оптическом спектре излучения формируются полосы поглощения в видимой и ультра-

фиолетовой областях спектра, разделенные широкими интервалами с относительно малым количеством

разрешенных переходов. Качественно полученные результаты согласуются с известными данными по

спектроскопии фуллеренов C60 и C70, а также их теоретическими моделями.

DOI: 10.31857/S0044451022120161

Сравнительная простота синтеза и функциона-

EDN: LEUQUQ

лизации (осаждения на поверхности атомов других

химических элементов) углерода делает эти мате-

риалы удобным объектом для экспериментов в об-

ласти создания быстрых электронных устройств [7,

1. ВВЕДЕНИЕ

8], а также накопителей энергии [9-11]. Например,

при функционализации углеродных сфер элемента-

Технологии, основанные на использовании уг-

ми типа водорода, азота или фтора происходит уве-

леродных наноматериалов, продолжают интенсивно

личение удельного электросопротивления и ширины

развиваться благодаря перспективности их электри-

запрещенной зоны [3,12-15], что в перспективе поз-

ческих и электронных свойств, а также многообра-

волит контролируемым образом создавать полупро-

зию возможных углеродных наноструктур, откры-

водниковые или диэлектрические композиты.

вающих возможности их использования в широком

спектре приложений [1-3]. Среди модификаций уг-

Для построения цельной картины электронных

лерода особое место занимают однослойные и мно-

характеристик углеродной оболочки и возможности

гослойные замкнутые структуры фуллерены раз-

надежного предсказания свойств синтезируемых на

личной размерности и сферические углеродные обо-

их основе композитов необходимо знание ключевых

лочки диаметром порядка нескольких нанометров

особенностей их энергетического спектра и разре-

[1, 4-7]. Рисунок 1 показывает типичную структу-

шенных переходов между различными состояния-

ру массива таких сферических оболочек. Техника

ми. В работах [16-18] представлен подробный ана-

синтеза, элементный анализ и результаты измере-

лиз для фуллеренов фиксированной размерности,

ний ряда макроскопических свойств исследуемого в

что не в полной мере отвечает задачам синтеза нано-

настоящей работе композита представлены в рабо-

оболочек. Хотя характерный средний размер оболо-

тах [5, 6].

чек успешно контролируется в процессе синтеза, он,

как и число образующихся атомов углерода, в це-

^* E-mail: kbtsiberkin@psu.ru

лом случайный [5]. Это определяет необходимость

968

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Моделирование энергетического спектра углеродной сферы . . .

построения легко масштабируемой и усредняемой

да электронов с узлов решетки углерода на ионы

модели для описания энергетического спектра уг-

примеси и обратно:

леродной сферы и определяющих их макроскопиче-

∑

(

)

ских характеристик материала.

H = -t

a^†jσb_j+δ,σ + b^†

a_j-δ,σ

jσ

В настоящей работе представлен один из воз-

j,δ,σ

можных подходов к решению сформулированной

U∑(

)

n^ajσn^aj,-σ + n^bjσn^bj,-σ

выше проблемы. Реализовано построение кванто-

вомеханической модели на основе решеточного га-

∑(

)

мильтониана Хаббарда с усреднением в приближе-

-Δ

a^†jσd_jσ + d^†jσa_jσ + a^†jσd_jσ + a^†

d_jσ

jσ

нии сплошной среды. Ввиду большого радиуса обо-

j,σ

лочек относительно длины связей C-C в качестве

n^ajσ = a^†jσa_j,-σ, n^bjσ = b^†jσb_j,-σ,

(1)

базовой модели используется гамильтониан идеаль-

ного графена. Рассчитаны энергетические спектры,

где a, b операторы уничтожения и рождения элек-

качественно подобные энергетическим зонам чисто-

трона со спином σ на узле решетки с номером j,

го и функционализированного монослоя углерода.

соответственно относящемся к подрешеткам углеро-

Рост числа состояний по мере увеличения радиуса

да A и B; d, f операторы уничтожения и рожде-

оболочки и числа формирующих ее узлов приводит

ния, действующие на ионах примеси, присоединен-

к уменьшению расстояния между уровнями, тогда

ных к подрешеткам A и B; δ радиус-вектор по

как положение характерных точек спектра не изме-

направлению от узла j к ближайшим соседним уз-

няется. Продемонстрировано формирование ¾запре-

лам; n_j

операторы числа электронов на узле j.

щенной зоны¿ в спектре материала при осаждении

Алгебра решеточных операторов a, b, d и f задается

примеси.

стандартными антикоммутационными соотношени-

ями для фермиевских операторов:

2. МОДЕЛЬ ХАББАРДА ДЛЯ УГЛЕРОДНОЙ

{X_jσ, X†kσ′ } = δ_jkδ_σσ′ .

ОБОЛОЧКИ

Структура монослоя углерода с указанием основ-

В качестве базовой модели углеродного матери-

ных параметров модели (1) схематично показана

ала принят гамильтониан Хаббарда для монослоя

на рис. 2. Его свойства определяются следующи-

графена [2, 3] в приближении ближайших соседей с

ми энергетическими параметрами: t матричный

учетом кулоновского отталкивания при отсутствии

элемент перехода электрона между двумя узлами

внешних полей. Учтена также возможность перехо-

решетки, U энергия кулоновского отталкивания

электронов с различными спинами, находящихся на

одном узле решетки, Δ - произведение матрично-

го элемента перехода между примесью и узлами ре-

шетки и концентрации примеси. Возможность пря-

мого перехода электронов между отдельными при-

месными атомами исключается. Типичные значе-

Рис. 2. Элемент решетки монослоя углерода и возможные

переходы между узлами подрешеток и между решеткой и

Рис. 1. Фотография массива углеродных сфер на просве-

атомом примеси

чивающем электронном микроскопе

969

ЖЭТФ, вып. 6 (12)

К. Б. Циберкин

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

ния перечисленных параметров составляют едини-

этих результатов на системы произвольного разме-

цы электронвольт [2,16-18]. Без существенных огра-

ра не осуществлялось. В то же время построение

ничений описанная модель может быть адаптирова-

теоретической модели углеродной сферы, диаметр

на и к другим конфигурациям решеток.

которой в ходе синтеза, как правило, является слу-

Для простейшего учета кулоновских слагаемых

чайным (см. рис. 1), требует простой масштабируе-

используется приближение среднего поля:

мости на различные размерности.

Определенные результаты в этом направлении

n^ajσ ≈ 〈n_σ〉a^†j,-σa_j,-σ + 〈n_-σ〉a^†jσa_jσ,

может дать описание поведения электронов в при-

ближении сплошной среды. Для крупных сфериче-

где в угловых скобках даны средние значения чис-

ских оболочек (диаметром несколько нм и более)

ла электронов с заданными ориентациями спина на

возможно также пренебречь нарушением гексаго-

узлах. В отсутствие магнитного поля с высокой сте-

нальной структуры, полагая решетку всюду локаль-

пенью точности можно считать, что оба средних в

но плоской, но с большим радиусом кривизны. Со-

этом выражении равны 1/2.

ответственно, решетка по-прежнему содержит две

Для последующего построения использованы

вложенные треугольные подрешетки, свойства ко-

эволюционные уравнения Гейзенберга:

торых вероятность перехода между узлами, ку-

лоновский параметр и координационные числа

= [X, H] .

предполагаются такими же, как у идеального мо-

нослоя углерода.

Благодаря использованию приближения среднего

Для перехода к пределу сплошной среды реше-

поля все уравнения получаются линейными, а элек-

точные операторы рассматриваются как непрерыв-

тронные подсистемы с противоположной ориентаци-

ные функции координат:

ей спинов становятся полностью независимыми друг

от друга:

a_jσ → a_σ(r_j), . . .

∑

da_jσ

= -t b_j+δ,σ - Δd_jσ + U 〈n_-σ〉a_jσ,

Это позволяет использовать разложение в ряд Тей-

лора в членах уравнений, описывающих переходы

db_jσ

∑

на соседние узлы решетки [20]:

= -t a_j-δ,σ - Δf_jσ + U 〈n_-σ〉b_jσ,

(2)

a_j+δ,σ → a_σ(r_j + δ) ≈

dd_jσ

df_jσ

= -Δa_jσ, i

= -Δb_jσ.

1 ∂²a_σ(r_j)

≈ a_σ(r_j) + δ∇a_σ(r_j) +

δ^µδ^ν,

(3)

2 ∂x^µ∂x^ν

здесь по индексам µ, µ, обозначающим компоненты

3. ПРИБЛИЖЕНИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

векторов, проводится суммирование.

Система уравнений (2) записана для общего слу-

Подстановка разложения (3) в систему (2) с уче-

чая, и геометрия конкретной решетки в рамках

том произвольности ориентации векторов δ в решет-

сделанных ранее приближений определяется толь-

ке с большим числом узлов дает следующие преоб-

ко векторами δ. Если на регулярной кристалличе-

разования сумм операторов:

ской решетки для анализа задачи применимо раз-

(

)

∑

ложение операторов по плоским волнам с периодом

a20

a_j-δ,σ ≈ Z a_σ(r_j) +

∇²a_σ(r_j)

решетки [19], то при замыкании структуры в труб-

(

)

(4)

ку или сферу движение электронов становится фи-

∑

a²

b_j+δ,σ ≈ Z b_σ(r_j) +

∇²b_σ(r_j)

нитным по одной или нескольким координатам. По-

этому спектр плоских волн должен быть заменен

на набор дискретных волновых функций, симмет-

где a₀

средняя длина связи между атомами угле-

рия которых отвечает геометрии структуры. С дру-

рода (0.14 нм для монослоя), Z первое координа-

гой стороны, построение базиса волновых функций

ционное число (в рассматриваемой задаче оно равно

на дискретной решетке большой размерности явля-

трем, см. рис. 2). Выполненное преобразование отве-

ется нетривиальной задачей, которая, по-видимому,

чает приближению изотропной среды и не содержит

не имеет аналитического решения в общем случае.

никакой информации о структуре решетки, кроме Z

В известных работах рассмотрены частные случаи с

и длины связи. Градиентное слагаемое при реализо-

заранее заданной размерностью [16-18] и обобщение

ванном усреднении исключается. Модификация мо-

970

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Моделирование энергетического спектра углеродной сферы . . .

дели для учета анизотропии системы требует допол-

4. РАСЧЕТ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА

нительного анализа с использованием функции рас-

Непосредственное нахождение корней характе-

пределения векторов δ, и потенциально может быть

ристического уравнения системы (7) дает следую-

описано как возмущение изотропной модели. Такое

щие энергетические уровни электронов в углерод-

же преобразование сумм реализуется во всех кри-

ной сфере:

сталлических решетках, допускающих преобразова-

ние инверсии [19].

E_l,σ =

(U 〈n_-σ〉 ± γ) ±

В результате уравнения эволюции решеточных

√

операторов (2) в первом приближении аппроксими-

(U 〈n_-σ〉 ± γ)² + 4Δ²,

(8)

руются следующей системой уравнений в частных

(

)

производных:

a²⁰l(l + 1)

γ = tZ

(

)

da_σ

a²⁰

= -tZ

∇²

b_σ - Δd_σ + U 〈n_-σ〉a_σ,

где знаки ± внутри скобок и между слагаемыми

(

)

db_σ

a²⁰

могут принимать различные значения независимо

= -tZ

∇²

a_σ - Δf_σ + U 〈n_-σ〉b_σ,

друг от друга (всего имеются четыре значения энер-

гии для каждого значения l и σ). Уровни энергии

dd_σ

df_σ

= -Δa_σ, i

= -Δb_σ.

(5)

двукратно вырождены по спиновой переменной σ

(при отсутствии магнитного поля) и 2l + 1-кратно

Полученная система по-прежнему является доста-

по азимутальному квантовому числу m.

точно общей, поскольку не несет информации о кон-

В пределе отсутствия примеси спектр (8) приоб-

кретной атомной структуре. Используя различные

ретает простой вид:

пространственные разложения амплитудных функ-

(

)

ций, можно получить описания разнообразных си-

a²⁰l(l + 1)

E_l,σ = ±γ = ±tZ

(9)

стем.

Для сферического монослоя углерода координа-

Число атомов N, составляющих сферу, конечно,

та электрона определяется полярным ϑ и азиму-

и поэтому орбитальное квантовое число l ограниче-

тальным углом φ. Поэтому операторы электронных

но сверху значением L_max. Решетка, составляющая

амплитуд в (5) могут быть представлены в виде сум-

сферу, содержит приблизительно N/2 элементарных

мы сферических гармоник Y_lm(ϑ, φ):

ячеек, откуда следует, что каждый электрон может

∑

пребывать в одном из N/2 состояний. С другой сто-

a_σ(r_j, t) =

a_σ,lm(t)Y_lm(ϑ, φ),

роны, набор сферических гармоник с l, изменяю-

l=0 m=-l

щимся от нуля до l_max, определяет (l_max + 1)² со-

a²⁰∇²a_σ(r_j, t) =

(6)

стояний. Сопоставляя эти значения, можно оценить

предельное значение l как

a²⁰

∑

l(l + 1)a_σ,lm(t)Y_lm(ϑ, φ),

√

R²

l=0 m=-l

l_max ≈

- 1.

а задача, таким образом, сведена к системе линей-

Оценить N возможно из соотношения средней дли-

ных ОДУ:

)

ны связи a₀ и радиуса сферы R. С учетом средней

da_σ,lm

(a²⁰l(l + 1)

площади элементарной ячейки S₀ оно составляет

= tZ

-1

b_σ,lm-

4πR

32R²

- Δd_σ,lm + U 〈n_-σ〉 a_σ,lm,

N ≈2

≈

)

S₀

3a²

db_σ,lm

(a²⁰l(l + 1)

= tZ

-1

a_σ,lm-

(7)

откуда

√

- Δf_σ,lm + U 〈n_-σ〉 b_σ,lm,

l_max ≈

- 1.

(10)

3 a

dd_σ,lm

df_σ,lm

= -Δa_σ,lm, i

= -Δb_σ,lm.

Для синтезируемых в экспериментах нанооболо-

чек с преобладающим радиусом 2-3 нм число узлов

Собственные частоты ее решений определяют энер-

составляет N ≈ 9 · 102-2 · 103 и соответствующее

гетический спектр электронов в углеродной оболоч-

l_max ≈ 29-45. С увеличением размера оболочки оба

ке.

параметра быстро возрастают.

971

11*

К. Б. Циберкин

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Для получения конкретных численных резуль-

Следуя этому результату, легко найти частоты

татов приняты приближенные значения параметров

разрешенных переходов и ожидаемые линии погло-

t ≈ 3 эВ и Δ ≈ 5ρ эВ, где плотность примеси ρ

щения в спектре сферической углеродной оболоч-

варьируется от нуля до единицы и задает среднее

ки. Они показаны на рис. 4 для двух значений кон-

число примесных атомов, приходящихся на узел ос-

центрации примесных ионов. Наличие запрещенной

новной решетки. На рис. 3 показаны спектры энер-

зоны приводит к формированию широких полос по-

гии (8), соответствующие различным l, ρ и U. Тесно

глощения, положения которых смещаются в ультра-

расположенные уровни фактически образуют четы-

фиолетовую область спектра по мере увеличения

ре энергетические зоны. При отсутствии примесных

концентрации примеси. В частности, на рис. 4б они

ионов и их низкой концентрации отдельные ветви

локализованы вблизи длин волн около 300 и 150 нм.

спектра сливаются (рис. 3а), а при высокой концен-

Рост ширины запрещенной зоны, связанный с увели-

трации примесн (рис. 3б) формируется запрещенная

чением энергии перехода на примесные атомы или

зона, ширина которой пропорциональна Δ и может

кулоновского отталкивания, может привести к фор-

достигать единиц электронвольт.

мированию полосы ослабленного поглощения меж-

Заметной особенностью вычисленных спектров

ду двумя пиками вплоть до полной прозрачности

является их самоподобие относительно l. При увели-

(рис. 4в,г).

чении l_max возрастает только плотность уровней, но

Все показанные частоты отвечают осесиммет-

структура энергетических зон не изменяется. Асим-

ричным волновым функциям электронов, что обу-

метрия ветвей спектра на рис. 3а, б обусловлена ку-

словлено структурой рассматриваемого возмущения

лоновским отталкиванием. В пренебрежении им ре-

и отсутствием магнитного поля. Здесь также не учи-

ализуется симметричный спектр, который при от-

тывается возможность запретов на переходы между

сутствии примеси (рис. 3в) качественно совпадает

состояниями с различной пространственной симмет-

со спектром графена. Наблюдается также реализа-

рией. В то же время полученные спектры энерге-

ция аналога точки Дирака [2]. Внедрение примесных

тических уровней и частот переходов качественно

ионов даже в малой концентрации приведет к появ-

отвечают известным теоретическим и эксперимен-

лению примесного уровня между основными энер-

тальным результатам для фуллеренов типа C₆₀, C₇₀,

гетическими зонами. Рост ρ обеспечивает расщепле-

у которых наблюдаются характерные полосы погло-

ние этого уровня на два сперва в окрестности ана-

щения в ультрафиолетовой области [1,21].

лога точки Дирака, а затем и при других значениях

l. Высокая концентрация примеси приводит к фор-

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

мированию запрещенной зоны (рис. 3г), как и при

учете кулоновской энергии (рис. 3б).

В работе представлено применение предела

сплошной среды в модели Хаббарда для описания

электронного спектра сферической оболочки боль-

5. МОДЕЛЬ ОПТИЧЕСКОГО СПЕКТРА

шого радиуса, состоящей из монослоя углерода и

Полученные спектры позволяют найти разре-

содержащей на поверхности ионы примеси. В при-

шенные переходы электронов под влиянием внеш-

ближении сплошной среды энергетический спектр

них возмущений и вычислить соответствующие им

углеродного монослоя, замкнутого в сферическую

частоты. В качестве примера ниже рассмотрены ди-

оболочку, сохраняет основные фундаментальные

польные переходы в поле плоской электромагнитной

особенности, характерные для графита и графена.

волны:

(

)

Благодаря совместному влиянию примесных ионов

E(r, t) = E₀Re ei(kz-ωt)

и кулоновского отталкивания электронов на узлах

решетки происходит формирование запрещенной

Матричные элементы переходов под влиянием тако-

зоны в энергетическом спектре. Рассчитаны также

го поля в дипольном приближении равны

длины волн разрешенных переходов. Структу-

eE₀

〈f|E|i〉 =

〈f| cos ϑ|i〉,

ра спектра поглощения электромагнитного поля

в дипольном приближении включает широкие-

где cos ϑ задает z-координату электрона на поверх-

полосы поглощения, характерные для спектров

ности оболочки. Условия ортогональности сфериче-

фуллеренов. Увеличение ширины запрещенной

ских гармоник, по которым раскладываются волно-

зоны приводит к разделению пиков поглощения

вые функции (6), определяют правила отбора для

полосами прозрачности материала.

разрешенных переходов: Δl = ±1.

972

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Моделирование энергетического спектра углеродной сферы . . .

Рис. 3. Рассчитанные энергетические спектры для однослойной углеродной оболочки радиусом 20a0 при значении куло-

новского отталкивания U = 10 эВ, концентрации примесных ионов: а ρ = 0.1, б ρ = 0.8, а также для системы в

отсутствие кулоновского отталкивания при концентрации примеси: в ρ = 0.1, г ρ = 0.8. Орбитальное квантовое число

нормировано на предельное значение lmax, определяемое радиусом оболочки; для указанных параметров оно равно 45.

На панели в сплошной и штриховой линиями показаны также энергетические спектры, расчитанные по дисперсионному

соотношению для чистого графена, при двух различных направлениях импульса электрона

Рис. 4. Длины волн, соответствующие разрешенным по орбитальному квантовому числу переходам для однослойной

углеродной оболочки радиусом R = 20a0, при значении кулоновского отталкивания U = 10 эВ и концентрации при-

месных ионов: а ρ = 0.1; б ρ = 0.8. Показан также пример реализации полосы прозрачности в области жесткого

ультрафиолетового излучения при высокой энергии перехода на примесный узел ∆ = 20 эВ: в ρ = 0.1; г ρ = 0.8

973

К. Б. Циберкин

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Полученные результаты могут быть верифицирова-

D. Wang, L. Xu, Y. Wang et al., J. Electroanal.

ны посредством проведения измерений оптического

Chem. 815, 166 (2018).

поглощения взвеси синтезируемых углеродных сфер

10.

G. Li, L. Xu, Q. Hao et al., RSC Adv. 2, 284 (2012).

в жидкой среде. Кроме того, получение сравнитель-

но простой модели энергетического спектра элек-

11.

S. Kumar, G. Saeed, L. Zhu et al., Chem. Eng. J.

тронов в оболочке открывает возможность теорети-

403, 126352 (2021).

ческого анализа различных равновесных и нерав-

12.

J. O. Sofo, A. S. Chaudhari, and G. D. Barber, Phys.

новесных свойств синтезируемого в экспериментах

Rev. B 75, 153401 (2007).

углеродного композита, прежде всего его прово-

димости, диэлектрической проницаемости и магнит-

13.

R. Zhao, R. Jayasingha, A. Shereniy et al., J. Phys.

ной восприимчивости.

Chem. C 119, 20150 (2015).

14.

T. Kato, L. Jiao, H. Wang et al. Small 7, 574 (2011).

ЛИТЕРАТУРА

15.

А. В. Сосунов, К. Б. Циберкин, В. К. Хеннер, Вест-

ник Пермского университета. Физика 2, 63 (2019)

1. А. В. Елецкий, Б. М. Смирнов, УФН 165, 977

[A. .V. Sosunov, K. B. Tsiberkin and V. K. Henner,

(1995) [A. V. Eletskii and B. M. Smirnov, Phys Usp

Bulletin of Perm University. Physics 2, 63 (2019)].

38, 935 (1995)].

16.

Г. И. Миронов, А. И. Мурзашев, ФТТ 53, 2273

2. A. H. Castro Neto, F. Guiena, N. M. R. Peres et al.,

(2011) [G. I. Mironov, A. I. Murzashev, Physics of

the Solid State 53, 2393 (2011)].

Rev. Mod. Phys. 81, 109 (2009).

17.

А. В. Силантьев, Оптика и спектроскопия 124, 159

3. P. Esquinazi, Basic physics of functionalized graphite,

(2018) [A. V. Silant’ev, Optics and Spectroscopy 124,

Springer, New-York (2016).

155 (2018)].

4. X. Wang, Z. Tan, M. Zeng et al., Sci. Rep. 4, 4437

18.

А. В. Силантьев, Физика металлов и металлове-

(2014).

дение 121, 227 (2020) [A. V. Silant’ev, Physics of

Metals and Metallography 121, 195 (2020)].

5. G. A. Rudakov, K. B. Tsiberkin, R. S. Ponomarev et

al. J. Magn. Magn. Mater. 427, 34 (2019).

19.

Ч. Киттель, Квантовая теория твердых тел, На-

ука, Москва (1967) [Ch. Kittel, Quantum theory of

6. A. V. Sosunov, D. A. Ziolkowska, R. S. Ponomarev

solids, Wiley, New-York (1963)].

et al., New. J. Chem. 43, 12892 (2019).

20.

М. И. Рабинович, Д. И. Трубецков, Введение в

7. Q. Wu, L. Yang, X. Wang et al. Adv. Mater. 32,

теорию колебаний и волн, Регулярная и хаотиче-

1904177 (2020).

ская динамика, Ижевск (2000).

8. J. N. Tiwari, R. N. Tiwari and K. S. Kim, Progr.

21.

H. Ajie, M. M. Alvarez, S. J. Anz et al., J. Phys.

Mater. Sci. 57, 724 (2012).

Chem. 94, 8630 (1990).

974