ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 6 (12), стр. 941-956

ГЕНЕРАЦИЯ ВИХРЕЙ В БИСЛОЕ СВЕРХПРОВОДНИК /

ФЕРРОМАГНЕТИК С НЕОДНОРОДНЫМ ОБМЕННЫМ ПОЛЕМ

А. В. Самохвалов^*

Институт физики микроструктур Российской академии наук

603950, Нижний Новгород, Россия

Нижегородский госуниверситет им.Н.И. Лобачевского

603950, Нижний Новгород, Россия

Поступила в редакцию 31 марта 2022 г.,

после переработки 1 июля 2022 г.

Принята к публикации 19 июля 2022 г.

В лондоновском приближении изучены свойства гибридной структуры с эффектом близости, состоящей

из диска ферромагнитного изолятора (ФИ), лежащего на поверхности тонкой пленки сверхпроводника

s-типа, на границе которой с ферромагнетиком заметную роль играет спин-орбитальное (СО) взаимодей-

ствие Рашба. Совместное действие спинового расщепления и СО-взаимодействия приводит к генерации

спонтанного сверхтока и индуцирует в пленке вихри Пирла, располагающиеся по периметру диска. Вы-

полнены расчеты распределения сверхтока в пленке и структуры создаваемого им магнитного поля для

ФИ-дисков с радиусом порядка эффективной глубины проникновения поля в сверхпроводник Λ, когда

становятся существенными эффекты экранировки. Изучена структура вихревого состояния из нескольких

пар вихрь-антивихрь и найдены условия переключения между различными вихревыми конфигурациями.

Показана возможность полной компенсации спонтанного сверхтока, создаваемого СО-взаимодействием

и обменным полем, циркулирующими токами плотной цепочки вихрей на границе диска.

DOI: 10.31857/S0044451022120148

та СО-связи, зависящая от скорости Рашба v_R [14]).

EDN: LECAUX

Здесь n это единичный вектор вдоль направле-

ния, в котором нарушена симметрия относительно

пространственной инверсии [15]. Спин-орбитальные

1. ВВЕДЕНИЕ

эффекты могут привести к формированию сверх-

проводящих корреляций c киральным p-типом спа-

Прогресс последних лет в области нанотехно-

ривания, увеличить и сделать анизотропным поле

логии сопровождается расширением класса гибрид-

парамагнитного предела Клогстона-Чандрасекара

ных систем сверхпроводник-ферромагнетик (СФ) с

[16, 17] в тонкопленочном образце в продольном

эффектом близости [1], магнитные и транспортные

магнитном поле [18-20], изменить свойства неодно-

свойства которых определяются конкуренцией фер-

родного состояния Ларкина-Овчинникова-Фульде-

ромагнитного (Ф) и сверхпроводящего (С) типов

Феррелла (ЛОФФ) [21,22] в двумерном сверхпрово-

спинового упорядочения [2] (подробнее см. обзоры

дящем слое [23] и обеспечить условия для возник-

[3-9]). Существенное влияние на поведение сверх-

новения джозефсоновских переходов со спонтанной

проводящих корреляций в СФ-структурах оказы-

разностью фаз в основном состоянии (φ₀-контактов)

вают спин-орбитальные (СО) эффекты, когда им-

[24]. Совместное действие сильного обменного по-

пульс электрона p оказывается связанным со спи-

ля и СО-взаимодействия может вызвать топологи-

ном σ [10]. Для широкого класса сверхпроводя-

ческий переход в спектре подщелевых состояний и

щих структур с планарной геометрией подобные эф-

обеспечить условия формирования майорановских

фекты возникают из-за СО-взаимодействия Раш-

состояний [25, 26]. Для наблюдения большинства

ба (α_R/ℏ)[ n × p ] · σ, возникающего на интерфей-

этих эффектов требуется наличие достаточно ши-

сах таких структур [11-13] (α_R = ℏ v_R констан-

рокой сверхпроводящей щели в спектре и замет-

^* E-mail: samokh@ipmras.ru

ное однородное спиновое расщепление энергетиче-

941

А. В. Самохвалов

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

ских уровней. В гибридных структурах с тонким С-

экранировки и не учитывать влияния магнитного

слоем и Ф-металлом выполнение этих условий за-

поля возбуждаемого сверхтока и вихрей [46]. Во вто-

труднено из-за сильной "утечки" куперовских пар

ром случае анализ заметно упрощается путем ис-

в ферромагнетик, которая приводит к существен-

пользования асимптотических выражений для энер-

ному понижению критической температуры сверх-

гии взаимодействия между вихрями в пленке [44].

проводящего перехода в пленке из-за обратного эф-

В данной работе изучены структура и свойства и

фекта близости [3]. Этот эффект может быть замет-

найдены условия формирования вихревого состоя-

но подавлен в структурах с ферромагнитным изо-

ния в тонкой пленке сверхпроводника, частично по-

лятором (ФИ), где обменное взаимодействие меж-

крытой ферромагнетиком с латеральным размером

ду ферромагнитно-упорядоченными ионами ФИ и

D ∼ Λ, если на СФ-интерфейсе заметную роль игра-

электронами проводимости металла приводит к за-

ет СО-взаимодействие Рашба. В лондоновском при-

метному спиновому расщеплению

[27-31], а за-

ближении с учетом эффекта экранировки выпол-

прещенная зона в ФИ препятствует проникнове-

нены расчеты распределения спонтанного сверхто-

нию сверхпроводящего конденсата в ферромагнетик

ка в пленке и создаваемого этим током магнитно-

и заметному ослаблению сверхпроводимости в С-

го поля в зависимости от радиуса диска, силы СО-

слоях толщиной d меньше длины когерентности ξ

взаимодействия и величины обменного поля и изу-

[32,33] (см., также обзоры [4,34,35] и ссылки в них).

чена структура и свойства возникающего вихревого

Хотя СО-взаимодействие в сочетании с обмен-

состояния. В разд. 2 обсуждается используемая мо-

ным полем h (или эффектом Зеемана) делает состо-

дель и приведены основные уравнения, необходимые

яние с импульсом, направленном по [ σ × n ], более

для ее описания. В разд. 3 на основе лондоновско-

энергетически выгодным, в однородных системах

го приближения получены аналитические решения,

это не приводит к генерации спонтанного сверхто-

описывающие состояния со спонтанным сверхтоком,

ка [11,12,36]. В системах с неоднородностью обмен-

возникающим из-за СО-взаимодействия в присут-

ного поля и/или СО-взаимодействия формирование

ствии спинового расщепления. Выполнены расчеты

состояний с ненулевым спонтанным током оказыва-

распределения магнитного поля, которое создается

ется возможным c ряде гибридных систем, таких

спонтанным сверхтоком в окрестности ФИ-диска. В

как СФ-бислой (в пределах глубины проникнове-

разд. 4 найдены условия формирования и равно-

ния магнитного поля λ от границы) [37, 38], маг-

весные конфигурации нескольких (N_p = 1-3) пар

нитная частица или скирмион на поверхности тон-

вихрь-антивихрь, возникающих в такой гибридной

кой сверхпроводящей пленки [39-41] или в замкну-

системе под действием спонтанного тока. В разд. 5

том сверхпроводящем контуре, частично покрытом

найдены условия полной компенсации спонтанного

ферромагнитным изолятором [42]. Наряду с генера-

тока вихревым источником с нетривиальным рас-

цией спонтанного тока, совместное действие обмен-

пределением фазы сверхпроводящего параметра по-

ного поля ФИ и СО-взаимодействия Рашба способ-

рядка. Получены приближенные решения, описыва-

но индуцировать в тонкой сверхпроводящей плен-

ющие в непрерывном пределе структуру вихревого

ке, покрытой ферромагнетиком, вихри Пирла [43],

состояния, формируемого в окрестности ФИ-диска

расположенные по периметру области [44-46]. Ко-

при сильном СО-взаимодействии и/или обменном

личество вихрей и их расположение зависят от фор-

поле, когда число пар вихрей N_p велико. В Заклю-

мы и размера Ф-области, величины и ориентации

чении обсуждаются основные результаты работы.

обменного поля и силы СО-взаимодействия. До на-

стоящего времени вопрос об условиях возбуждения

сверхпроводящих вихрей и структуре вихревого со-

2. МОДЕЛЬ И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

стояния в подобных системах изучался в двух пре-

дельных случаях: когда характерный латеральный

Рассмотрим модельную гибридную СФ-структу-

размер D области, занятой ферромагнетиком, пред-

ру, в которой диск радиуса R ∼ Λ из ферромагнит-

полагался либо существенно меньше (D ≪ Λ), ли-

ного изолятора лежит на тонкой (λ_F ≪ d ≪ ξ) плен-

бо заметно превышал (D ≫ Λ) эффективную глу-

ке сверхпроводника s-типа (рис. 1). Здесь λ_F фер-

бину проникновения магнитного поля Λ = λ²/d в

миевская длина волны С-металла в нормальном со-

сверхпроводящую пленку с толщиной d ≪ ξ. Здесь

стоянии. Эффективное обменное поле h = hx₀, ин-

λ = (mc²/4πe²n_s)^1/2 лондоновская глубина про-

дуцируемое в ограниченной области С-пленки под

никновения магнитного поля в сверхпроводник. В

диском, будем считать однородным по толщине, так

первом случае это позволяет пренебречь эффектом

что h ∼ 1/d [47-49]. Это поле вызывает расщепле-

942

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Генерация вихрей в бислое сверхпроводник / ферромагнетик . . .

ние спиновых подзон, частично подавляет исходную

синглетную сверхпроводимость в пленке и понижает

критическую температуру сверхпроводящего пере-

хода T_h < T_c0 такой структуры в целом [28,29]. Здесь

T_c0

критическая температура сверхпроводящего

перехода в пленке без ФИ-диска. Спин-орбитальное

взаимодействие Рашба частично компенсирует эф-

фект разрушения куперовских пар сильным обмен-

ным (или зеемановским) полем, что проявляется в

повышении критической температуры T_c СФ-бислоя

или тонкой С-пленки в продольном магнитном по-

ле ( T_c - T_h > 0 ) [19, 20, 23, 50, 51]. Этот эффект

связан с появлением внутри каждой из расщеплен-

ных по спину подзон парных спин-синглетных кор-

Рис. 1. Схематичное изображение модельной СФ-структу-

реляций, для которых распаривающее действие об-

ры: ферромагнитный диск радиуса R с однородным об-

менного или зеемановского поля ослаблено [19, 50,

менным полем h = hx0 на поверхности тонкой сверхпро-

водящей пленки: (r, θ) полярная система координат

51]. Совместное действие сверхпроводящего спари-

вания, СО-взаимодействия и спин-расщепляющего

поля приводит к формированию так называемой

не ее направление [60]. Поэтому, например, в от-

"спиральной" фазы, которая характеризуется спон-

личие от ЛОФФ-фазы, неоднородное сверхпроводя-

танно модулированным параметром порядка ψ в на-

щее состояние со спиральной модуляцией парамет-

правлении, поперечном полю h, и нормали к поверх-

ра порядка сохраняется и в присутствии примесей

ности пленки n [36]. На феноменологическом уровне

[50, 57]. В данной работе предполагается, что пара-

это неоднородное состояние может быть описано до-

метры гибридной структуры таковы, что ЛОФФ-

бавлением в функционал свободной энергии линей-

неустойчивость в системе отсутствует [61, 62].

ного по оператору импульса

D = -iℏ∇ + (2e/c)A

Рассматривая изменения полей и токов на мас-

(e > 0) слагаемого (инварианта Лифшица) порядка

штабах порядка Λ ≫ λ ≫ ξ, ограничимся в даль-

[n × h]·ψ^∗

Dψ, который устанавливает связь между

нейшем лондоновским приближением и будем счи-

обменным (или магнитным) полем и сверхтоком при

тать распределение сверхтока в пленке однородным

наличии СО-связи. Здесь A векторный потенциал

по её толщине. Для достаточно низких температур

магнитного поля B = rotA. Амплитуда инварианта

T_c-T ≫ T_c0-T_c неоднородностью амплитуды сверх-

Лифшица в обобщенном функционале Гинзбурга-

проводящего параметра порядка ψ = |ψ| e^iφ(r) из-

Ландау (ГЛ) была вычислена из микроскопических

за обратного эффекта близости можно пренебречь,

теорий для сверхпроводников без центра инверсии с

полагая |ψ| = const всюду, кроме области сердце-

собственным СО-взаимодействием или поверхност-

вины (кора) вихрей, доля которых в лондоновском

ной сверхпроводимости с эффектом Рашба как в чи-

приближении мала. Из-за нарушенной симметрии

стом, так и в диффузионных пределах [36,50,52-57].

относительно пространственной инверсии в поверх-

Микроскопическое обоснование инварианта Лиф-

√

ностном слое толщиной l_SO ∼ ℏ/

2mE_g ≪ d вбли-

шица в планарных гибридных СФ-структурах с эф-

зи СФ-границы (-l_SO ≤ z ≤ 0) присутствует СО-

фектом близости и СО-взаимодействием Рашба по-

взаимодействие Рашба, где E_g типичная величина

лучено недавно авторами работы [51]. Подчеркнем,

запрещенной зоны в ФИ. При этих предположениях

что появление подобного слагаемого в функциона-

линейный по импульсу вклад в свободную энергию,

ле свободной энергии можно обосновать исключи-

усредненный по толщине пленки, можно записать в

тельно симметрийными соображениями и характер-

виде [41]

но для сверхпроводников с нарушенной симметри-

∫

(

)

ей пространственной инверсии [58,59]. Заметим, что

α_R l_SO

спиральное состояние в сверхпроводниках без цен-

F_L =

|ψ|²

dr [ n × h ]

∇φ +

2π A ,

(1)

E_F

Φ₀

тра инверсии и планарных структурах с эффектом

Рашба принципиально отличается от неоднородно-

где Φ₀

= πℏc/e квант магнитного потока, а

го ЛОФФ-состояния, которое возникает из-за сме-

E_F

энергия Ферми в сверхпроводнике. Здесь

ны знака квадратично-градиентного члена в функ-

(r , θ , z)

цилиндрическая система координат

ционале ГЛ и фиксирует амплитуду модуляции, но

радиус-вектор в плоскости структуры).

943

А. В. Самохвалов

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Линейно-градиентный член

(1) в функционале

Решение (5), (6) с помощью преобразования Фу-

свободной энергии ответствен за формирование

рье

неоднородного состояния с отличным от нуля им-

∫

пульсом куперевских пар Q = Q y₀ в направлении,

A(r, z) =

dq dk A(q, k) e^-iq·r-ikz ,

(7)

(2π)³

поперечном обменному полю h

[36]. Амплитуда

∫

Q ∼ (αR l_SOh/E_F)|N₊ - N_-| результирующего

g(r) =

dq g(q) e^-iq·r ,

(8)

(2π)²

импульса конденсата определяется конкуренцией

∫

между двумя спиральными подзонами, и решающее

G(r) =

dq G(q) e^-iq·r ,

(9)

значение для получения ненулевого результата

(2π)²

имеет различие в плотности состояний N_± для этих

где q = (qx, qy)

волновой вектор в плоскости

подзон на уровне Ферми в нормальном состоянии

пленки (q ≡ |q|), дает следующие выражения для

[50,54,57,63]. Поэтому величина импульса Q близка

амплитуды фурье-гармоник векторного потенциала

к нулю, если энергия обменного поля h и энергия

A(q, k):

СО-взаимодействия α_Rp_F /ℏ заметно отличаются

друг от друга (h ≫ α_Rk_F и h ≪ α_Rk_F ), и достигает

G(q) - A(q) + Φ₀α_q/2π

A(q, k) =

(10)

максимального значения при h ∼ α_Rk_F [19, 51].

(q² + k²)Λ

Следуя [44], свободную энергию гибридной си-

и сверхтока g(q)

стемы F в лондоновском приближении с учетом гра-

(

)

диентного слагаемого (1) удобно записать в виде

Φ₀

∫

g(q) =

G(q) - A(q) +

α_q

(11)

4πΛ

2π

F = F₀(R) +

drdz B²+

8π

]

Распределение векторного потенциала в плоско-

∫

[(

)₂

αΦ₀

( αΦ₀

сти пленки A(r, z = 0) определяется амплитудами

dr G - A +

(2)

8πΛ

2π

фурье-гармоник A(q), выражения для которых оче-

видным образом находятся из (10):

где векторное поле G(r) = -Φ₀∇φ/2π определяет-

∫

ся распределением калибровочно-инвариантной фа-

A(q) =

dk A(q, k) =

зы сверхпроводящего параметра порядка φ(r), кото-∮

2π

рое может иметь особенности

∇φ dc = 0 при об-

(

)

Φ₀

ходе по контуру(ам) C из-за присутствия в пленке

G(q) +

α_q

(12)

1 + 2qΛ

2π

вихрей. Параметр

{

Амплитуда фурье-гармоники параметра α(r) (3)

α₀ y₀ , r ≤ R

8πl_SO h

α(r) =

α₀ =

(3)

∫

r>R

dλ_R E_F

α_q = α_q y₀ = drα(r)e^iq·r ,

(13)

отличен от нуля в области, покрытой ФИ-диском,

и характеризует совместное действие обменного по-

ответственного за появление спонтанного сверхто-

ка в структуре, выражается через функцию Бесселя

ля h и СО-взаимодействия Рашба (λ_R = 2πℏ/mv_R

длина волны, соответствующая импульсу Рашба).

первого рода J₁(u):

Для удобства в выражение (2) добавлена постоян-

[J₁(qR/Λ)]

ная

α_q = 2πRα₀

(14)

∫

( αΦ₀ )²

Φ²⁰R²α²⁰

F₀(R) =

(4)

8πΛ

2π

32π²Λ

3. СПОНТАННЫЙ ТОК И МАГНИТНОЕ

так, чтобы при отсутствии экранирующего сверхто-

ПОЛЕ

ка в пленке g(r, θ) = d j(r, θ) и магнитного поля сво-

бодная энергия F равнялась нулю. Свободной энер-

Прежде всего рассмотрим случай потенциально-

гии (2) с калибровкой divA = 0 соответствует сле-

го поля

дующее уравнение для векторного потенциала A:

G(r) ≡ G^α(r) = -Φ₀∇φ^α/2π

4π

-△A =

(5)

(

)

(rot G^α

= 0), когда особенности в распределе-

Φ₀

нии калибровочно-инвариантной фазы сверхпрово-

g(r, θ) =

G-A+α

δ(z) .

(6)

4πΛ

2π

дящего параметра порядка φ^α(r) отсутствуют, т.е.

944

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Генерация вихрей в бислое сверхпроводник / ферромагнетик . . .

∮

∇φ^α dc = 0 при обходе по любому контуру C

на плоскости z = 0. Получим аналитические ре-

шения, описывающие пространственное распределе-

ние спонтанного тока g^α(r, θ) и магнитного поля

B^α = rotA^α, возникающие в гибридной структу-

ре, изображенной на рис. 1, под действием обмен-

ного поля ФИ-диска и СО-взаимодействия Рашба

на СФ-поверхности. В этом случае с учетом ка-

либровки divA^α = 0 можно получить следующие

выражения для амплитуд G^α(q) = (G^αr(q), G^αθ(q))

в разложении (9) через амплитуду α_q (14) фурье-

гармоники параметра α(r) (3), ответственного за

СО-взаимодействие:

Φ₀ q_y α_q

G^α(q) = -

(15)

2π q²

Соответствующее (15) распределение потенциала

G^α(r) + Φ₀α(r)/2π в пленке в полярной системе ко-

Рис. 2. Распределение спонтанного тока g(r) (6) в тон-

кой сверхпроводящей пленке (синие стрелки) в окрестно-

ординат (r, θ) имеет вид

сти ФИ-диска с радиусом R = Λ с намагниченностью M

вдоль оси x. Длина стрелки показывает относительную ве-

{

(

)

Φ₀

Φ₀α₀

r≤R,

личину тока | g | в данной точке. Штриховой линией пока-

G^α +

sin θ

(16)

зана область, покрытая ФИ-диском

2π

4π

R²/r², r > R,



(

)



r<R,

Φ₀

Φ₀α₀

G^α +

cosθ

r=R,

(17)

2π

4π



{

−R²/r², r > R.

cΦ₀α₀

r≤R

g^αr(r, θ) =

sin θ

(4π)²Λ

R²/r², r > R



∞

∫

Амплитуды пространственных гармоник векторно-



J₁(uR/Λ)J₁(ur/Λ)

−

(19)

го потенциала

u(1 + 2u)







r<R

A^α(q, k) = (A^αr, A^αθ)

cΦ₀α

g^αθ(r, θ) =

cosθ

r=R

(4π)²Λ



−R²/r², r > R

определяются с помощью выражений (10), (12):

∫

∞

J₁(uR/Λ)J₀(ur/Λ)

Φ₀

q_x [ z₀ × q] α_q

1 + 2u

A^α(q, k) =

(18)

π q (q² + k²)(1 + 2qΛ)



∫

∞



J₁(uR/Λ)J₂(ur/Λ)

(20)

1 + 2u



и обладают очевидной симметрией

A^α(-q, k) = A^α(q, -k) = A^α(q, k).

где J_L(u) функция Бесселя первого рода поряд-

Отсюда, используя соотношение (11) и преобразо-

ка L. На рис. 2 показано распределение спонтан-

вания Фурье (7)-(9), получим выражения для рас-

ного тока g^α(r) в тонкой сверхпроводящей плен-

пределения радиальной g^αr(r) и азимутальной g^αθ(r)

ке в окрестности ферромагнитного диска радиусом

компонент спонтанного тока g^α(r) (5) в пленке, за-

R = Λ с намагниченностью M вдоль оси x. На краю

писанные в полярной системе координат (r, θ):

области, занимаемой диском, азимутальная компо-

945

А. В. Самохвалов

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

от совместного влияния обменного поля h и СО-

1.0

взаимодействия Рашба может быть записано в виде

0.5

(R)

F^α(R) =

E₀R²α²⁰ η

(23)

0.0

где E₀ = Φ²⁰/8π²Λ, а функция

-0.5

0.5

∫

∞

∫

∞

J²¹(uρ)

-1.0

η(ρ) = du

(24)

1 + 2u

(1 + 2u)²

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

x / R

принимает значение η(0) = 0.25 и монотонно убыва-

ет до нуля при ρ → ∞. При этом свободная энер-

Рис. 3. Распределение y-компоненты спонтанного тока

гия F^α(R) монотонно растет с увеличением радиу-

g(r) (6) в сечении y = 0 (g^αy(x,0) = -g^αθ(r,0)). Здесь

са диска R, и F^α(R) ≃ 0.5F₀(R)(1 - 5R/3πΛ) при

g0 = cΦ0α0/(4π)²Λ, а цифры рядом с кривой обозначают

R ≪ Λ.

радиус диска R в единицах Λ

Спонтанный сверхток g^α(r) создает в окружаю-

щем пространстве магнитное поле B^α(r, z) = rotA^α,

нента спонтанного тока g^αθ испытывает скачок [44]

амплитуды пространственных фурье-гармоник ко-

торого

△g^αθ(R, θ) = g^αθ(R + 0, θ) - g^αθ(R - 0, θ) =

cΦ₀α₀

cosθ ,

(21)

8π²Λ

B^α(q, k) = -i[(q + k z₀) × A^α(q, k)]

величина которого зависит от угла θ. При этом ра-

диальная компонента спонтанного тока g^αr меняет-

очевидным образом выражаются через амплитуды

ся непрерывно △ g^αr(R, θ) = 0. На рисунке ска-

гармоник векторного потенциала A^α(q, k) (18). Со-

чок △ g^αθ(R, θ) отображается изломом линий то-

ответствующие выражения для компонент магнит-

ка при r

= R, который пропадает в полярных

ного поля B^α = (B^αr, B^αθ, B^αz) в цилиндрической си-

точках при θ

= ±π/2. На рис. 3 показано рас-

стеме координат имеют вид

пределение y-компоненты спонтанного сверхтока в

сечении y

= 0, проходящем через центр диска

Φ₀Rα₀

B^αr(r, θ, z) = sign(z)

cosθ ×

(g^αy(x, 0) = -g^αθ(r, 0)), для нескольких значений ра-

4πΛ²

диуса ФИ-диска R. Для R ≪ Λ сверхток в области

∞

∫

uJ₁(uR/Λ)

диска (x ≤ R) практически однороден по сечению

[J₀(ur/Λ) - J₂(ur/Λ)] e-u|z|/Λ , (25)

1 + 2u

g^αy(x, 0) ≈ g₀ = cΦ₀α₀/(4π)²Λ. Сильная неоднород-

ность распределения сверхтока в области диска при

Φ₀Rα

B^αθ(r, θ, z) = -sign(z)

sin θ ×

R ≫ Λ отражает эффект экранировки создаваемо-

2πΛr

го этом током магнитного поля B^α(r). Отметим, что

∫

∞

J₁(uR/Λ)J₁(ur/Λ)

при r ≫ R, Λ азимутальная компонента спонтанного

e^-u|z|/Λ ,

(26)

1 + 2u

тока

∫

∞

J₁(ur/Λ)

ΛR

0Rα0

g^αθ ∼

(22)

B^αz(r, θ, z) = -

cosθ ×

(1 + 2u)²

r²

2πΛ²

∞

∫

убывает быстрее 1/r на масштабе, зависящем как

uJ₁(uR/Λ)J₁(ur/Λ)

e^-u|z|/Λ .

(27)

от радиуса диска R, так и от эффективной глубины

1 + 2u

проникновения Λ. Для случая R ≫ Λ спонтанный

ток течет преимущественно в окрестности границы

диска и заметно подавлен вблизи его центра.

В плоскости пленки (z = 0) нормальная компонен-

Выражение для свободной энергии (2) для состо-

та магнитного поля B^αz может быть представлена в

яния со спонтанным сверхтоком g^α(r, θ) (19), (20)

виде

946

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Генерация вихрей в бислое сверхпроводник / ферромагнетик . . .

-1

-2

0.5

-3

R /

Рис. 4. Зависимость bR(ρ), определяющая распределение

Рис. 5. Зависимость магнитного потока Φ^αz (33) через по-

нормальной к плоскости диска компоненты магнитного по-

луплоскость x ≥ 0 от радиуса ФИ-диска (Φα = Φ0Λα0/π).

ля B^αz(r, θ, 0) (28), создаваемого спонтанным током g^α(r)

На вставке показан контур C∞, используемый для вычис-

(19), (20). Цифры рядом с кривой обозначают радиус дис-

ления магнитного потока

ка R в единицах Λ

поля B^αz(r, θ, 0) (28) у границы области, заня-

B^αz(r, θ, 0) = -B₀(R)b_R(r/R) cosθ,

(28)

той ФИ-диском. Расходимость компоненты поля

∫

∞

J₁(uR/Λ)J₁(ρ uR/Λ)

B^αz(r → R, θ, 0) является следствием лондоновского

b_R(ρ) =

u(1 + 2u)

приближения и используемой здесь модели резкого

(ступенчатого) изменения параметра α(r) (3). Как



)

Λρ



и в случае вихря Абрикосова, оценку величины



;

; 2; ρ²

ρ < 1,



2R²F¹

магнитного поля на границе диска можно получить

, (29)

c логарифмической точностью, если "обрезать"

+

)



Λ/R

расходимость в формуле (31) на характерном мас-



2F1

;

; 2; ρ^-2

ρ > 1,

2ρ²

4ρ

штабе δ

≪ ξ, определяющем размер переходной

области в сверхпроводнике, где индуцированное в

где B₀(R) = Φ₀Rα₀/4πΛ², a₂F₁(a; b; 2; ζ) гипер-

сверхпроводнике обменное поле h уменьшается до

геометрическая функция Гаусса. Таким образом, ра-

нуля:

диальная зависимость B^αz(r, θ, 0) (28) определяется

универсальной функцией b_R(ρ) (29), которая зави-

Φ₀α₀

(R)

сит только от отношения R/Λ и при R ≲ Λ ≪ r

B^αz(R, θ, 0) ∼ -

cosθ.

4π²Λ

2δ

убывает по степенному закону как

(

)

6Λ

R²

Проинтегрировав распределение магнитного по-

b_R(ρ) ≈

ρ^-4 .

(30)

R³

32Λ²

ля B^αz (28), (29) по полуплоскости x ≥ 0, вычислим

величину магнитного потока

На рис. 4 показана зависимость b_R(ρ) (29) для

нескольких значений радиуса диска R . Отличие



∫

∞

∫

кривых b_R(ρ) для разных значений R/Λ отража-



Φ^αz

= rdr

dθ B^αz(r, θ, 0) =

ет влиянии эффекта экранировки на распределение



x≥0

сверхтока в пленке и индуцируемого им магнитно-

-π/2

∮

го поля для R ≳ Λ. При ρ → 1 функция b_R(ρ) (29)

4πΛ

dc g^α(r, θ) ,

(32)

имеет логарифмическую особенность

(

)

C∞

b_R(ρ) ≈

(31)

πR

2|1 - ρ|

создаваемого сверхтоком g^α(r, θ) (19), (20). Контур

которая приводит к расходимости нормальной

интегрирования C_∞ показан на вставке к рис. 5.

к плоскости пленки компоненты магнитного

Поскольку при r ≫ R, Λ азимутальная компонента

947

А. В. Самохвалов

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

спонтанного тока g^αθ(r, θ) (22) убывает быстрее 1/r,

плотной "шубой" из вихрей, распределение вих-

то

ревого тока в которых компенсирует в среднем

возникающий спонтанный сверхток g^α и магнитное



∫

∞



(

поле B^αz [46].

8πΛ

π)

Φ₀Rα₀

Φ^αz

dr g^α

В рассматриваемом здесь случае диска радиуса

x≥0

R ∼ Λ оба эти приближения не справедливы, и для

{

[ (

) (

)]}

2Λ

определения условий возникновения сверхпроводя-

H₁

-Y₁

(33)

2Λ

щих вихрей в окрестности области, покрытой фер-

ромагнетиком, следует учитывать их дискретность,

где H₁

и Y₁

функции соответственно Стру-

полагая

ве и Бесселя второго рода. На рис.

показа-

∑

на зависимость магнитного потока Φ^αz

(33) че-

A=A^α+ A^m, B=B^α + B^m,

рез полуплоскость x

≥ 0 от радиуса ФИ-диска

∑

(Φ_α

= Φ₀Λα₀/π). Величина магнитного потока

G=G^α+ S^m

(34)

(33) линейно растет с увеличением радиуса диска

(Φ^αz ≃ Φ_αR/Λ) при R ≪ Λ, асимптотически при-

в функционале свободной энергии (2), и особенности

ближаясь к значению 2Φ_α при R ≫ Λ. Магнитный

распределения фазы сверхпроводящего параметра

поток Φ^αz|_x≤0 = 0, создаваемый сверхтоком, через

порядка, создаваемые вихрем (σ_m = 1) или анти-

полуплоскость x ≤ 0 равен -Φ^αz|_x≥0, и суммарный

вихрем (σ_m = -1) в точке r = r_m,

поток через всю плоскость, естественно, отсутствует

(Φ^αz = Φ^αz|_x≥0 + Φ^αz|_x≤0 = 0).

rotS^m = σ_mΦ₀z₀δ(r - r_m).

(35)

Распределение магнитного поля B^m

= rotA^m и

4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВИХРЕЙ ПИРЛА СО

сверхтока

СПОНТАННЫМ ТОКОМ

g^m(r) =

(S^m - A^m) δ(z)

(36)

Спонтанный ток g^α

(19),

(20), возбуждае-

4πΛ

мый в рассматриваемой гибридной структуре

в вихре Пирла с центром в точке r = r_m в тон-

совместным действием обменного поля ФИ и

кой пленке сверхпроводника описываются уравне-

СО-взаимодействия Рашба, может индуцировать

нием [43]

в тонкой сверхпроводящей пленке вихри Пирла,

распределенным центром пиннинга для которых

-△A^m =

(S^m - A^m) δ(z) ,

(37)

является периметр занятой ферромагнетиком обла-

сти [44,46]. По топологическим соображениям такие

решение которого A^m(r, z) хорошо известно и может

вихри должны возникать парами (вихрь и анти-

быть получено с помощью фурье-преобразования

вихрь), если внешнее магнитное поле отсутствует

аналогичного (7), (9), где амплитуды фурье-гармо-

и ФИ-диск расположен далеко (на расстоянии

ник A^m(q, k) имеют вид [64]

≫ R, Λ) от границ сверхпроводника. Условие,

при выполнении которого присутствие вихрей в

-2iσ_mΦ₀ [q × z₀]

гибридной структуре с характерным размером

A^m(q, k) =

eiq·rm .

(38)

q(q² + k²)(1 + 2qΛ)

ферромагнитной области D ≫ Λ оказывается воз-

можным, было получено в работе [44]: свободная

Предполагая, что вихри в пленке возникают по-

энергия состояния с вихрями меньше энергии (23)

парно (вихрь-антивихрь), и в равновесии при от-

безвихревого (мейснеровского) состояния, если

сутствии других центров пиннинга располагаются

параметр α₀ превышает критическое значение,

по периметру ферромагнитного диска, где спонтан-

которое убывает как 1/ln(D/Λ) с увеличением D.

ный сверхток g^α (19), (20) формирует для них по-

При этом вихри и антивихри образуют вихревые

тенциальную яму, можно легко из соображений сим-

цепочки, расположенные у противоположных гра-

метрии представить, как выглядят простейшие вих-

ниц ферромагнитной области, расстояние между

ревые конфигурации, соответствующие формирова-

вихрями l в которых также велико (l ≫ Λ) [44].

нию нескольких пар вихрей N_p = 1-3 в гибридной

В противоположном случае (l

≪ D ≪ Λ) при

системе (см. рис. 6). Заметим, что направление тока

достаточно большом значении параметра α₀ фер-

в вихре g^m(r) противоположно направлению спон-

ромагнитная область оказывается окруженной

танного тока g^α(r), что приводит к уменьшению ам-

948

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Генерация вихрей в бислое сверхпроводник / ферромагнетик . . .

плитуды магнитного поля B и скачка тангенциаль-

диска (R, θ_m) и полярности вихря σ_m, и может быть

ной компоненты сверхтока

записана в виде

∑

σ_mΦ²⁰Rα₀

V^αm = -

ν(R/Λ) cos θ_m ,

g(r, θ) = g^α +

g^m

16π²Λ

∞

∫

(41)

J21(u ρ)

ν(ρ) = 1 - 2

на границе диска при r = R. Для N_p = 1 (рис. 6a)

u(1 + 2u)

вихри, очевидно, располагаются на оси x в точках

Выражения для энергии парного взаимодействия

(x_m = ±R, у_m = 0), и свободная энергия F (2) тако-

вихрей Пирла (40) и работы спонтанного сверхтока

го состояния при заданном радиусе диска R зависит

над вихрями (41) существенно упрощаются в случае

только от параметра взаимодействия α₀. Для N_p ≥ 2

ξ ≪ R ≪ Λ, когда влияние экранировки мало:

появляются вихри, равновесное положение которых

[

(

)

]

определяется углом θ_m = 0 (рис. 6b), при котором

σ_nσ_mΦ²⁰

4Λ

a_nm

U_nm ≃

-C+

(42)

свободная энергия F при прочих равных условиях

8π²Λ

a_nm

2Λ

(

)

принимает минимальное значение.

σ_mΦ²⁰Rα₀

V^αm ≃ -

cosθ_m

(43)

Свободную энергию F (2) гибридной системы с

16π²Λ

3πΛ

N_p парами вихрь-антивихрь на границе ферромаг-

где C ≃ 0.577 постоянная Эйлера. Ограничимся

нитного диска удобно представить следующим об-

в дальнейшем анализом только симметричных кон-

разом:

фигураций, показанных на рис. 6. Устойчивая кон-

фигурация вихрей соответствует минимуму свобод-

∑

ной энергии FNp (39). Варьируемыми параметрами

FNp = F^α + 2N_p (E_P + E_c) +

U_nm + V^αm ,

являются число пар N_p и положение вихрей, харак-

n,m=1

m=1

n=m

теризуемое углом θ_m.

(39)

где F^α

не зависящая от конфигурации вихрей

4.1. Разрушение безвихревого состояния

часть свободной энергии (23), которая включает в

себя энергию спонтанного сверхтока g^α (19), (20) и

Состояние с одной парой вихрь-антивихрь

создаваемого им магнитного поля B^α (25)-(27), а

(N_p

= 1) в рассматриваемой гибридной системе

(рис. 6a) становится энергетически более выгодным,

Φ²⁰

если выполнено условие F₁ < F₀. Это требование

E_P =

ln(Λ/ξ)

накладывает очевидное ограничение на параметр

16π²Λ

α₀

> α⁽¹⁾⁰(R) (т.е. на силу СО-взаимодействия и

энергия вихря Пирла. Появление каждого вихря

величину эффективного обменного поля), где

приводит к подавлению сверхпроводимости в обла-

2 ln(Λ/ξ) - π [H₀(R/Λ) - Y₀(R/Λ)]

сти его кора с объемом V_c ≈ πξ²d, что увеличивает

α⁽¹⁾⁰(R) =

(44)

2R ν(R/Λ)

свободную энергию на величину

зависит от радиуса ФИ-диска. При всех разумных

(1)

R ≫ ξ функция α

(R) (44) монотонно убывает с

E_c = H^2cmV_c/8π ≈ Φ²⁰/64π²Λ ≪ E_P ,

увеличением радиуса диска R (рис. 7). Используя

известные асимптотики для функций Струве H₀ и

вкладом которой можно пренебречь. Энергия пар-

Бесселя Y₀, можно получить простые выражения

ного взаимодействия U_nm вихрей Пирла n и m за-

{

висит от полярности вихрей σ_m,n и расстояния a_nm

(ln(R/2ξ) + C) /R , R ≪ Λ,

α⁽¹⁾⁰(R) ≃

(45)

между ними и может быть следующим образом вы-

ln(Λ/ξ)/4Λ ln(R/Λ) , R ≫ Λ,

ражена через функции Струве H₀ и Бесселя второго

рода Y₀ [65]:

описывающие зависимость α⁽¹⁾⁰(R) (44) в двух пре-

дельных случаях. Заметим, что для R ≫ Λ вы-

[

ражение для α⁽¹⁾⁰(R) (45) совпадает с аналогич-

σ_nσ_mΦ²⁰

(a_nm)

(a_nm)]

U_nm =

H₀

-Y₀

(40)

16πΛ

2Λ

ным условием появления вихрей на границах об-

ласти в виде широкой полоски ФИ на сверхпро-

Последнее слагаемое в (39) описывает суммарную

воднике, полученным в работе [44]. Расчеты пока-

работу спонтанного сверхтока g^α над вихрями, ко-

зали, что появление пары вихрь-антивихрь оказы-

торая зависит от положения вихря m на периметре

вается возможным уже при относительно слабом

949

А. В. Самохвалов

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Рис. 6. Простейшие конфигурации Np пар вихрь-антивихрь на границе ферромагнитного диска. Положение вихря и ан-

тивихря симметрично относительно оси y. Линии сверхтока g^α (19), (20) показаны штриховой линией, а линии тока в

вихрях точками

С увеличением радиуса ФИ-диска требования к силе

СО-взаимодействия и величине спинового расщеп-

ления, при которых становится возможным форми-

рование пар вихрь-антивихрь на границе, оказыва-

ются более слабыми.

При низких температурах, T ≪ T_c, состояние с

парой вихрь-антивихрь отделено от безвихревого

потенциальным барьером, который пропадает,

если величина спонтанного тока g^α в какой-

то точке пленки превышает ток распаривания

√

gd = cΦ0/12

3π²Λξ. Из анализа выражений (19),

(20) видно, что | g^α | принимает максимальное зна-

чение на расстоянии порядка длины когерентности

R /

ξ от точек (R, 0) и (R, π) (см. рис. 3):





Рис. 7. Зависимость параметра α⁽¹⁾⁰ (44) от радиуса ФИ-

∫

∞

cΦ₀α₀

J²¹(uR/Λ)

диска R (сплошная линия) для ln(Λ/ξ) = 5. Штриховой

g^αmax =

1+2

≈ g₀

(46)

(4π)²Λ

(1 + 2u)²

линией и пунктирной показаны асимптотические зависи-

мости (45) для случаев соответственно R ≫ Λ и R ≪ Λ

и слабо зависит от радиуса диска R. Условие

g^αmax ≥ g_d определяет значения параметра

√

СО-взаимодействии и спиновом расщеплении, а ха-

α₀ ≳ α^∗0 ≈ ξ^-1(4/3

3) ≫ α⁽¹⁾⁰(R),

рактерный пространственный масштаб этого взаи-

модействия l^α1) = 1/α⁽¹⁾⁰ ∼ Λ/ ln(Λ/ξ) определяет-

при которых возникающий в гибридной системе ток

ся большой эффективной глубиной проникновения

g^α достаточен для рождения пар вихрь-антивихрь.

Λ ≫ λ, ξ практически при всех значениях радиуса

диска R, за исключением R ≪ Λ, когда α⁽¹⁾⁰ замет-

4.2. Вихревые состояния в гибридной

но возрастает. Так, для сверхпроводящей пленки с

◦

системе

λ = 10³

A толщиной d ∼ 10 l_SO ≈ 20A и радиусом

◦

(1)

При α₀ > α

в рассматриваемой гибридной си-

ФИ-диска R = Λ = 5 мкм получим l^α1) ≈ 10⁴

A, что

стеме возможны состояния с несколькими парами

вполне достижимо для типичных значений парамет-

вихрь-антивихрь (N_p ≥ 2). Примеры таких вихре-

ра СО-связи v_F /v_R ∼ 10 [67] и величины обменного

вых конфигураций показаны на рис. 6 b, c. Равновес-

поля E_F /h ∼ 10-100 [34, 66, 68] :

ное расположение вихрей в этом случае определяет-

ся углом θ_m = θ_v, которому соответствует локаль-

◦

1/α₀ ∼ (d/l_SO)(v_F /v_R)(E_F /h)λ_F ≈ 10³-10⁴

ный минимум свободной энергии, т.е. при котором

950

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Генерация вихрей в бислое сверхпроводник / ферромагнетик . . .

N =3

-1

-5

-2

-3

-4

N =1

Np=2

-5

-10

-6

-10

3.0

3.5

4.0

0.2

Np=1

N =2

N =3

0.1

Рис. 8. Зависимость свободной энергии FNp (a) и угла

Рис. 9. Зависимость свободной энергии FNp (a) и угла θv

θv (b) от параметра α0 для симметричных конфигураций

(b) от параметра α0 для симметричных конфигураций вих-

вихрей, показанных на рис. 6: Np = 1 синие треуголь-

рей, показанных на рис. 6: Np = 1 синие треугольники;

ники; Np = 2

зеленые квадраты; Np = 3

корич-

Np = 2

зеленые квадраты; Np = 3 коричневые кружки

невые кружки для радиуса диска R = Λ (ln(Λ/ξ) = 5,

для радиуса диска R = 5Λ (ln(Λ/ξ) = 5, E0 = Φ⁰/8π²Λ).

E0 = Φ⁰/8π²Λ). Состоянию без вихрей соответствует сво-

Состоянию без вихрей соответствует свободная энергия

бодная энергия F0 = 0. Вертикальные линии разделяют

F0 = 0. Отмеченная область показана на вставке в уве-

области с разным числом пар вихрей Np = 0-3

личенном масштабе. Вертикальные линии разделяют об-

ласти с разным числом пар вихрей Np = 1-3

∂FNp/∂θ_m = 0. На рис. 8 и 9 показаны зависимо-

энергии FNp принимает минимальное значение. Од-

сти свободной энергии FNp=1-3 (39) от параметра

новременно с этим увеличивается суммарная завих-

α₀ для двух значений радиуса ФИ-диска. Заметим,

ренность N_p состояния в правой (левой) полуплос-

что для заданного числа пар N_p локальный мини-

кости x ≥ 0 (x ≤ 0) и величина магнитного пото-

мум свободной энергии (39) существует, если пара-

ка Φ_z (-Φ_z). Используя известное выражение для

метр α₀ превышает критическое значение α(Np)0(R),

азимутальной компоненты сверхтока в вихре Пирла

которое растет с увеличением N_p и зависит от ради-

через функции Струве H₁ и Бесселя второго рода

уса диска R. Используя простые асимптотики (42),

Y₁ [65], можно вычислить магнитный поток Φ^mz че-

(43), можно показать, что при R ≪ Λ решение урав-

рез полуплоскость x ≥ 0, создаваемый парой вихрь-

нения ∂F₂₍₃₎/∂θ_m = 0 существует и конфигурации

антивихрь, расположенными соответственно в точ-

вихрей, изображенные на рис. 6b, c, возможны, если

√

ках (R cos θ_m, R sin θ_m) и (-R cos θ_m, R sin θ_m):

α₀ ≥ α⁽²⁾⁰ = 3

3/2R ≃ 2.6/R и α₀ ≥ α⁽³⁾⁰ ≃ 5.3/R со-

ответственно. При произвольном соотношении меж-

{

ду R и Λ тенденция уменьшения α(Np)0(R) с увели-

Φmz

=Φ₀

cosθ_m ×

4Λ

чением радиуса диска сохраняется. С увеличением



∫

∞

]

[ (ρ

)



силы СО-взаимодействия и/или эффективного об-

(ρ_m)

H₁

-Y₁

(47)

менного поля растет число пар вихрь-антивихрь N_p,

ρ_m

2Λ

π 

для которого соответствующее значение свободной

-∞

951

А. В. Самохвалов

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

ность (число N) вихрей или среднее расстояние l ≳ ξ

между ними [44, 46]. По-прежнему будем предпола-

гать, что вихри располагаются только по периметру

1.2

N =0

ФИ-диска, формируя в пленке среднее вихревое по-

1.0

ле

0.8

*∑

0.6

Ω(r) =

S^m(r)

ξ, l ≪ L ≪ R, Λ ,

(49)

0.4

Np=2

0.2

связанное с фазой сверхпроводящего параметра по-

рядка Ω(r) ∼ ∇〈φ(r)〉_L . Усреднение в выражении

(49) проводится на масштабе L, который заметно

превышает расстояние между вихрями l, оставаясь

меньше характерных расстояний R и Λ, на которых

Рис. 10. Зависимость магнитного потока Φz (48) через по-

заметно меняются распределения магнитного поля

луплоскость x ≥ 0 от параметра α0 для симметричных

B^α(r, z) и спонтанного тока g^α(r).

конфигураций вихрей, показанных на рис. 6: Np = 0

Учитывая вид распределения магнитного поля

сплошная линия; Np = 1 синие треугольники; Np = 2

B^αz(r, θ, 0) (27) и сверхтока g^α(r, θ) (19), (20), выбе-

зеленые квадраты; Np = 3 коричневые кружки для

рем вихревое поле таким образом, чтобы соответ-

радиуса диска R = Λ

ствующая ему фаза сверхпроводящего параметра

порядка 〈φ(r)〉_L имела при r = R распределенную

по периметру диска особенность вида

где ρ_m(y) = (R² + y² - 2Ry sin θ_m)^1/2 - расстояние

от центра вихря до точки (0, y) на оси. Зависимость

Φ₀α₀

rotΩ = µ

z₀ cosθ δ(r - R).

(50)

суммарного магнитного потока через полуплоскость

2π

x ≥ 0, создаваемого вихрями и спонтанным током

В этом случае следует положить

∑

G(r) = G^α(r) + Ω(r)

Φ_z = Φ^αz +

Φ^mz,

(48)

m=0

в функционале свободной энергии F (2). Здесь µ

от параметра α₀ показана на рис. 10. Кривая Φ_z(α₀)

численный коэффициент порядка единицы, соответ-

зависимости суммарного магнитного потока от па-

ствующий при заданных значениях параметра α₀ и

раметра α₀ состоит из отдельных ветвей, каждая

радиуса диска R минимуму функционала F.

из которых соответствует определенному числу N_p.

Используя стандартную методику, основанную

При переходе с одной ветви на другую изменяется

на преобразовании Фурье (9), получим следующее

число пар вихрей N_p и происходит изменение вих-

выражение для амплитуд фурье-гармоник Ω(q) вих-

ревого состояния, сопровождающееся скачком сум-

ревого векторного поля Ω(r):

марного магнитного потока Φ_z.

J₁(qR)

Ω(q) = µΦ₀Rα₀

[q × z0 ] cosβ ,

(51)

q²

5. КОМПЕНСАЦИЯ СПОНТАННОГО ТОКА

где β это полярный угол на плоскости волновых

ВИХРЯМИ ПИРЛА

векторов q. Легко убедиться, что

При заметном превышения параметра α₀ над

(

)

Φ₀

значением α⁽¹⁾⁰(R) (α₀ ≫ α⁽¹⁾⁰(R)) число пар вихрь-

Ω(q) = -µ G^α(q) +

α_q

(52)

2π

антивихрь N_p, соответствующее минимуму свобод-

ной энергии FNp, становится большим (N_p ≫ 1) и

а распределения векторного потенциала A^Ω(r, z),

поиск оптимальной конфигурации вихрей с помо-

магнитного поля B^Ω(r, z) = rotA^Ω и сверхтока

щью выражения (39), учитывающего их дискрет-

(

)

ность, становится затруднительным и неэффектив-

g^Ω(r) =

Ω-A^Ω

δ(z) ,

(53)

4πΛ

ным. В этом случае уместно использовать модели,

которые не учитывают дискретность вихрей, а для

соответствующие вихревому источнику (50), с точ-

описания возникающей вихревой структуры исполь-

ностью до коэффициента µ повторяют аналогич-

зуют усредненные характеристики, такие как плот-

ные распределения, создаваемые в сверхпроводящей

952

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Генерация вихрей в бислое сверхпроводник / ферромагнетик . . .

пленке совместным действием СО-взаимодействия и

обменного поля:

A^Ω = -µ A^α , B^Ω = -µ B^α , g^Ω = -µ g^α . (54)

Очевидно, что при µ = 1 вихревой сверхток g^Ω (53)

в точности компенсирует спонтанный сверхток g^α

(19), (20) в любой точке сверхпроводящей пленки

g(r) = g^α(r) + g^Ω(r) ≡ 0 ,

соответствующее этому случаю магнитное поле от-

сутствует ( B

= B^α + B^Ω ≡ 0 ), а свободная

энергия (2) принимает свое минимальное значение

Рис. 11. Cтрелками схематично показано направление сме-

F = 0. Возможность подобной компенсации на мас-

щения цепочек вихрей, приводящее к уничтожению пары

штабе ξ ≪ L ≪ Λ спонтанного сверхтока g^α и z-

вихрь-антивихрь: Np = 4 → 3

компоненты магнитного поля B^αz с помощью подбо-

ра распределения вихрей и антивихрей в окрестно-

сти ФИ-области отмечалась в работе [46]. При µ = 1

сердцевине вихрей. Здесь N₀ = πR/ξ максималь-

вихревой источник Ω (50) можно рассматривать как

но допустимое число вихрей, которых можно разме-

плотную цепочку вихрей Пирла, расположенных по

стить на периметре диска при среднем расстоянии

периметру ФИ-диска на расстоянии l ≲ ξ друг от

2ξ друг от друга. Минимум свободной энергии (55)

dF(N)/dN = 0 определяет зависимость числа вих-

друга. Для возможности установления такого состо-

яния увеличение свободной энергии

рей N от параметра α₀ и радиуса диска R:

[

√

]

F_Ω = H^2cmV_Ω/8π ≈ (R/ξ)Φ²⁰/32π²Λ,

N₀

N =

1 - 1/2α²⁰R2 η(R/Λ)

(56)

вызванное подавлением сверхпроводимости в обла-

сти с объемом V_Ω ≈ 2πRξd, не должно превышать

где функция η(ρ) определяется выражением (24).

энергию F₀ (4). Условие F_Ω - F₀ ≤ 0 определяет

При фиксированных радиусе диска R и парамет-

значения параметра α₀ ≳ α^Ω0 = (Rξ)^-1/2 ≪ α^∗0, для

ре α₀ множитель η определяет зависимость числа

которых состояние с распределенным вихревым ис-

вихрей N от зависящей от температуры эффектив-

точником (50) при µ = 1 и подавленным параметром

ной глубины проникновения Λ. C увеличением силы

порядка в кольце шириной ξ у границы диска оказы-

СО-взаимодействия ε₀, обменного поля h и радиуса

вается энергетически выгодным. С другой стороны,

ФИ-диска число вихрей N монотонно растет, при-

для формирования плотной цепочки вихрей следует

ближаясь к своему максимуму N₀, при котором ко-

потребовать выполнение условия α^Ω0 ≫ α⁽¹⁾⁰, накла-

ры соседних вихрей практически сливаются, фор-

дывающее определенное ограничение на параметры,

мируя в сверхпроводящей пленке распределенную

которое при R ≫ Λ можно записать в виде

особенность в форме кольца, где |ψ| = 0. Полное

√

подавление сверхпроводящего параметра порядка в

Λ/ξ / ln(Λ/ξ) ≫ π

R/Λ/4 ln(R/Λ).

пленке по периметру ФИ-диска означает формиро-

вание слабой связи в этой области. Возникающая

При α₀ < α^Ω0 подавление сверхпроводящего па-

в сверхпроводящей пленке структура напоминает

раметра порядка ψ в пленке по периметру ФИ-диска

кольцевой джозефсоновский SNS-переход, барьер в

оказывается неполным (µ < 1) и состоит из N = 2N_p

котором представляет собой окружность, разделяю-

сердцевин вихрей, в которых |ψ| ≈ 0. Параметр µ в

щую внутренний (область под ФИ-диском) и внеш-

этом случае можно оценить как µ ∼ N/N₀, а зави-

ний сверхпроводящие электроды [69-71]. Поскольку

симость свободной энергии от числа вихрей N запи-

область слабой связи в кольцевом переходе со всех

сать в виде

сторон окружена сверхпроводником, полный маг-

F (N) ≃ (1 - N/N₀)² F^α + NE_c - F₀ ,

(55)

нитный поток, захваченный в таком переходе, дол-

жен быть кратным кванту потока Φ₀ или отсутство-

добавив в выражение (2) увеличение энергии на

вать, что с очевидностью выполняется в рассматри-

NE_c, вызванное разрушением сверхпроводимости в

ваемом случае.

953

ЖЭТФ, вып. 6 (12)

А. В. Самохвалов

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Соотношение (56) позволяет качественно просле-

в этой области вихрей Пирла. Этот механизм гене-

дить, каким образом меняется структура вихрево-

рации вихрей в гибридных ФС-структурах с неод-

го состояния при изменении температуры. До на-

нородным обменным (или зеемановским) полем в

стоящего времени рассматривался случай низких

присутствии СО-взаимодействия, предложенный в

температур T, при которых появление спонтанного

[44, 46], был обобщен здесь для случая R ∼ Λ, ко-

сверхтока и вихрей происходит на фоне уже разви-

гда наряду с экранировкой существенным фактором

той сверхпроводимости. Для T ≲ T_c сверхпроводи-

является дискретность вихрей. Появление вихрей в

мость и экранирующие свойства оказываются сла-

пленке на границе области, занятой ФИ-диском, ста-

быми R/Λ(T ) ≪ 1, а параметр η ≈ 0.25. В этих

новится возможным уже при относительно слабых

условиях при Λ(T ) ≫ R ≫ ξ(T ) и α₀ ≳ α^Ω0 в соответ-

СО-взаимодействии и спиновом расщеплении, когда

ствии с (56) у границы ФИ-диска в пленке формиру-

характерная длина l_α = α^-10 ∼ Λ заметно превыша-

ются плотные цепочки из N_p ≈ N₀/2 вихрей и анти-

ет сверхпроводящую длину когерентности ξ, а воз-

вихрей. С понижением температуры эффективная

никающий в такой гибридной структуре спонтанный

глубина проникновения Λ(T ) и параметр η уменьша-

сверхток g^α существенно меньше тока распаривания

ются, что в соответствии с (56) означает уменьшение

g^d. Были найдены оптимальные конфигурации вих-

числа вихрей (антивихрей) у границы. Учитывая,

рей, состоящие из нескольких (N_p = 1-3) пар вихрь-

что смещению вихрей из области r ≃ R ± ξ пре-

антивихрь, свободная энергия F которых принима-

пятствуют сильные потенциальные барьеры, созда-

ет минимальное значение при заданных параметрах

ваемые спонтанным током g^α(r), уменьшение Λ(T)

ФС-структуры и силы СО-связи. В предельном слу-

сопровождается увеличением угла θ_v, соответствую-

чае сильной СО-связи ξ ≪ l_α ≲

√Rξ найдена струк-

щего равновесной конфигурации вихрей (см. рис. 8b

тура вихревого источника, в присутствии которого

и 9b), и последующей аннигиляцией пары вихрь-

спонтанный ток в значительной степени подавлен

антивихрь в области θ = ±π/2. На рис. 11 схема-

или отсутствует. Данная вихревая структура харак-

тично показано смещение вихрей и уничтожение па-

теризуется распределенной особенностью, располо-

ры вихрь-антивихрь у одного из полюсов ФИ-диска

женной на периметре диска, где сверхпроводящий

(θ = π/2) при понижении температуры T .

параметр порядка должен быть равен нулю.

Благодарности. Автор благодарит А.И. Бузди-

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

на и А.С. Мельникова за полезные обсуждения.

В данной работе исследовано влияние СО-взаи-

Финансирование. Работа выполнялась при

модействия на границе ферромагнитного изолятора

финансовой поддержке Российского научного фон-

в форме диска и тонкой пленки синглетного сверх-

да (грант # 20-12-00053).

проводника на возникновение в пленке спонтанных

сверхпроводящих токов и вихрей Пирла, если ради-

ус диска R сравним с эффективной глубиной про-

никновения магнитного поля Λ, а внешнее магнит-

ное поле отсутствует. В этих условиях (при R ∼ Λ)

ЛИТЕРАТУРА

становится существенным фактор экранировки маг-

1. R. Holm and W. Meissner, Z. Physik 74, 715 (1932).

нитного поля, создаваемого сверхтоком и вихрями

в пленке. В лондоновском приближении получены

2. Д. Сан-Жам, Г. Сарма, Е. Томас, Сверхпроводи-

аналитические решения, описывающие распределе-

мость второго рода, Мир, Москва (1970), c.198.

ние спонтанного сверхтока в пленке и созданного

3. A. I. Buzdin, Rev. Mod. Phys. 77, 935 (2005).

им магнитного поля. На границе области, занятой

ФИ-диском, нормальная к плоскости пленки ком-

4. Ю. А. Изюмов, Ю. Н. Прошин, М. Г. Хусаинов,

понента поля возрастает, а тангенциальная к грани-

УФН 172, 113 (2002).

це компонента сверхтока изменяет своё направление

5. F. S. Bergeret, A. F. Volkov, K. B. Efetov, Rev. Mod.

на противоположное. Такое характерное поведение

Phys. 77, 1321 (2005).

сверхтока и поля по периметру диска свидетельству-

6. M. Eschrig, Rep. Prog. Phys. 78, 10450 (2015).

ет о возможности подавления здесь сверхпроводя-

щего параметра порядка даже при низких темпе-

7. J. Linder and J. W. A. Robinson, Nature Phys. 11

ратурах, далеких от критической T_c, и появления

307 (2015)

954

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Генерация вихрей в бислое сверхпроводник / ферромагнетик . . .

И. А. Гарифуллин, УФН 176, 676 (2006)

31.

A. Hijano, S. Ilic, M. Rouco, C. Gonzalez-Orellana,

et al., Phys. Rev. Research 3 023131 (2021).

А. С. Мельников, С. В. Миронов, А. В. Самохва-

лов, А. И. Буздин, УФН, (в печати)

32.

X. Hao, J. S. Moodera and R. Meservey, Phys. Rev.

B 42, 8235 (1990).

10.

V. M. Edelstein, Phys. Rev. Lett. 75, 2004 (1995).

33.

E. Strambini, V. N. Golovach, G. De Simoni,

11.

L. P. Gor’kov and E. I. Rashba, Phys. Rev. Lett. 87,

J. S. Moodera, F. S. Bergeret, and F. Giazotto, Phys.

037004 (2001).

Rev. Materials 1, 054402 (2017).

34.

F. S. Bergeret, M. Silaev, P. Virtanen and

12.

V. M. Edelstein, Phys. Rev. B 67, 020505 (2003).

T. T. Heikkilä, Rev. Mod. Phys.

90,

041001

13.

F. S. Bergeret and I. V. Tokatly, Phys. Rev. Lett. 110,

(2018).

117003 (2013).

35.

T. T. Heikkilä, M. Silaev, P. Virtanen and

F. S. Bergeret, Prog. Surface. Science, 94, 100540

14.

Е. И. Рашба, ФТТ 2 (6) 1224 (1960);

(2019).

15.

V. Mineev and M. Sigrist, Basic Theory of

36.

В. М. Эдельштейн, ЖЭТФ 95, 2151 (1989);

Superconductivity in Metals Without Inversion

Center Springer, New York (2012).

37.

S. Mironov, A. Buzdin, Phys. Rev. Lett. 118, 077001

(2017)

16.

A. M. Clogston, Phys. Rev. Lett. 9, 266 (1962).

38.

Zh. Devizorova, A. V. Putilov, I. Chaykin, S. Mironov

17.

B. S. Chandrasekhar, Appl. Phys. Lett. 1, 7 (1962).

and A. I. Buzdin, Phys. Rev. B 103, 064504 (2021)

18.

Yu. N. Ovchinnikov, Int.J.Mod.Phys.B 30,

165183

39.

S. S. Pershoguba et al., Phys. Rev. Lett. 115, 116602

(2016); ЖЭТФ 150, 963 (1916).

(2015)

40.

A. G. Mal’shukov Phys. Rev. B 93, 054511 (2016).

19.

G. Zwicknag, S. Jahns and P. Fulde, J. Phys. Soc.

Jpn 86, 083701 (2017).

41.

J. Baumard, J. Cayssol, F. S. Bergeret, and

A. Buzdin, Phys. Rev. B 99, 014511 (2019).

20.

L. A. B. Olde Olthof, J. R. Weggemans , G. Kimbell,

J. W. A. Robinson, and X. Montiel, Phys. Rev. B 103,

42.

J. W. A. Robinson, A. V. Samokhvalov, and

L020504 (2021).

A. I. Buzdin, Phys. Rev. B, 99 180501(R) (2019)

43.

J. Pearl, Appl. Phys. Lett. 5, 65 (1964).

21.

А. И. Ларкин, Ю. H. Овчинников ЖЭТФ, 47, 1136

(1964)

44.

L. A. B. Olde Olthof, X. Montiel, J. W. A. Robinson,

A. I. Buzdin, Phys. Rev. B 100, 220505(R) (2019).

22.

P. Fu1de, R. A. Ferre1l, Phys. Rev. A135 550 (1964)

45.

A. G. Mal’shukov, Phys. Rev. B 101, 134514 (2020)

23.

V. Barzykin, L. P. Gor’kov, Phys. Rev. Lett. 89,

227002 (2002).

46.

A. G. Mal’shukov, Phys. Rev. B 102 144503 (2020).

47.

P. G. de Gennes, Phys. Lett. 23, 10 (1966).

24.

F. Dolcini, M. Houzet, J. S. Meyer, Phys. Rev. B 92,

035428 (2015)

48.

X. Hao, J. S. Moodera, and R. Meservey, Phys. Rev.

Lett. 67, 1342 (1991).

25.

А. Ю. Китаев, УФН

171, приложение к

№ 10

(2001).

49.

F. S. Bergeret, A. F. Volkov, K. B. Efetov, Phys. Rev.

B 69, 174504 (2004).

26.

J. Alicea, Rep. Prog. Phys. 75, 076501 (2012)

50.

M. Houzet and J. S. Meyer, Phys. Rev. B 92, 014509

27.

P. M. Tedrow, J. E. Tkaczyk, and A. Kumar, Phys.

(2015)

Rev. Lett. 56, 1746 (2086).

51.

A. A. Kopasov and A. S. Mel’nikov, Phys. Rev. B 105,

28.

T. Tokuyasu, J. A. Sauls, and D. Rainer, Phys. Rev.

214508 (2022).

B 38, 8823 (1988).

52.

V. P. Mineev and K.V. Samokhin, Phys. Rev. B 78,

144503 (2008)

29.

М. Г. Хусаинов, ЖЭТФ 109, 524 (1996)

53.

V. M. Edelstein, Phys. Rev. B 103, 094507 (2021).

30.

V. O. Yagovtsev, N. A. Gusev, N. G. Pugach and

M. Eschrig, Supercond. Sci. Technol. 34, 025003

54.

V. M. Edelstein, J. Phys. Condens. Matter, 8, 339

(2021).

(1996)

955

10*