ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 6 (12), стр. 926-940

ТЕРМОМАГНИТНАЯ КОНВЕКЦИЯ ФЕРРОЖИДКОСТИ В

ВЕРТИКАЛЬНОМ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОМ КОНТУРЕ:

ИНТЕНСИФИКАЦИЯ ТЕПЛООБМЕНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

М. А. Косков^*, А. Ф. Пшеничников^**

Институт механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук

614013, Пермь, Россия

Поступила в редакцию 1 августа 2022 г.,

после переработки 9 августа 2022 г.

Принята к публикации 9 августа 2022 г.

Для прояснения вопроса о влиянии магнитного поля на конвективный теплообмен в феррожидкости

проведены эксперименты с замкнутым гидродинамическим контуром, расположенным в вертикальной

плоскости и нагреваемым сбоку (конвективной петлей). Контур изготовлен из трубы круглого сечения и

обдувается потоком термостатированного воздуха, обеспечивающим постоянство коэффициента тепло-

отдачи на поверхности труб. Для исключения конкуренции между гравитационными и термомагнитны-

ми течениями длина контура выбрана большой по сравнению с его внутренним диаметром. Показано,

что в режиме стационарной конвекции вдоль контура устанавливается экспоненциальное распределение

температуры. Определенный в опытах показатель экспоненты использовался для получения информа-

ции о расходе жидкости через поперечное сечение трубки и безразмерном интегральном тепловом по-

токе

числе Нуссельта. Опыты проведены с керосином и четырьмя образцами феррожидкости типа

магнетит-керосин-олеиновая кислота, различающимися концентрацией магнитной фазы. Часть опытов

проведена в нулевом магнитном поле (в условиях гравитационной конвекции), другая часть в режиме

смешанной (гравитационной и термомагнитной) конвекции. В последнем случае неоднородное магнитное

поле с амплитудой 23 кА/м накладывалось на участок контура вблизи нагревателя. Результаты опытов

приведены в безразмерных переменных в виде зависимости числа Нуссельта Nu от теплового числа

Рэлея Ra. Показано, что в нулевом магнитном поле функциональная зависимость Nu = Nu(Ra) оди-

накова для керосина и всех феррожидкостей. Включение магнитного поля вызывает термомагнитную

конвекцию (сонаправленную с гравитационной), которая увеличивает конвективный теплообмен в три и

более раз в зависимости от теплового числа Рэлея и концентрации магнитной фазы.

DOI: 10.31857/S0044451022120136

туре может достигать сотни единиц [5,6]. Отметим,

EDN: LDYMCG

для сравнения, что восприимчивость типичных диа-

или парамагнитных жидкостей на четыре-шесть по-

рядков меньше. Высокая чувствительность ферро-

1. ВВЕДЕНИЕ

жидкости к внешнему полю и наличие вращатель-

ных степеней свободы коллоидных частиц приво-

Как известно [1-4], феррожидкости (магнитные

дят к сильной зависимости тензора напряжений и

жидкости) представляют собой коллоидные раство-

объемной пондеромоторной силы от напряженно-

ры с наноразмерными частицами ферро- или фер-

сти магнитного поля, намагниченности жидкости и

римагнетиков в обычных жидкостях, обладающие

времени релаксации магнитных моментов частиц.

высокой чувствительностью к внешним магнитным

Как результат наблюдаются новые гидродинамиче-

полям. Обычно их магнитная восприимчивость име-

ские явления, отсутствующие в обычной жидкости.

ет порядок нескольких единиц СИ, но при высокой

Речь идет о зависимости гидростатического давле-

концентрации магнитной фазы и низкой темпера-

ния от напряженности магнитного поля и о маг-

нитном скачке давления на границе феррожидко-

^* E-mail: koskov.m@icmm.ru

сти [1-4], о левитации магнитных и немагнитных

^** E-mail: pshenichnikov@icmm.ru

926

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Термомагнитная конвекция в петле. . .

тел [7-9], об анизотропном увеличении вязкости кол-

В последнее время опубликовано большое чис-

лоидного раствора в постоянном магнитном поле и

ло работ по исследованию механического равнове-

ее уменьшении в переменном поле подходящей час-

сия или слабых течений феррожидкости в замкну-

тоты вплоть до смены знака [2,3,10,11], о ротаци-

тых полостях, помещенных в однородное внешнее

онном эффекте вихревом течении феррожидко-

поле. Рассматривалась, например, термомагнитная

сти во вращающемся поле, связанном с тангенци-

конвекция в плоских горизонтальном [18-21] и вер-

альными магнитными напряжениями на ее грани-

тикальном [22, 23] слоях, кубе [24, 25] и шаре [26].

цах и объемными силами, возникающими из-за про-

Во всех этих случаях неоднородность магнитного

странственной неоднородности жидкости и конечно-

поля в жидкости возникала из-за неоднородности

го времени релаксации намагниченности [12-16].

температуры, поэтому интенсивность термомагнит-

Еще одна важная особенность феррожидкости

ной конвекции была сопоставима с интенсивностью

существование двух независимых механизмов теп-

гравитационной. Дальнейшая интенсификация теп-

ловой конвекции. Первый механизм традицион-

лообмена возможна, очевидно, только при использо-

ный это плавучесть вследствие теплового расши-

вании внешнего неоднородного поля. В этом случае

рения жидкости. Интенсивность конвективных по-

градиент магнитного поля, входящий в числитель

токов тепла при этом определяется тепловым чис-

правой части формулы (3), становится независимым

лом Рэлея [17]

параметром и может изменяться в эксперименте в

широких пределах.

gβ₁ρh

Проблема интенсификации теплообмена с помо-

Ra =

ΔT ,

(1)

ηa

щью феррожидкости исследуется экспериментально

и численно, начиная, по-видимому, с работы [27], в

где g

ускорение свободного падения, β₁

ко-

которой предложено охлаждающее устройство, ра-

эффициент теплового расширения жидкости, ρ

ботающее без дополнительного насоса. Феррожид-

плотность, h характерный размер сосуда, ΔT

кость использовалась в качестве теплоносителя, а

характерный перепад температуры, η динамиче-

постоянный магнит

в качестве источника маг-

ская вязкость, a температуропроводность. Второй

нитного поля. По данным работы [28] применение

механизм связан с температурной зависимостью на-

магнитной жидкости для охлаждения небольших

магниченности M. В неоднородном магнитном поле

электродвигателей позволяет (при прочих равных

это приводит к возникновению некомпенсированной

условиях) повысить их мощность на 20-25 %. Для

гидростатическим давлением пондеромоторной си-

оценки вклада термомагнитной конвекции в тепло-

лы, вызывающей конвективное движение,

отдачу нагретых тел в работе [29] эксперименталь-

но исследована смешанная (гравитационная и тер-

∂M

F_m = -µ₀

T^′∇H,

(2)

момагнитная) конвекция феррожидкости от немаг-

∂T

нитного горизонтального цилиндра, погруженного в

где µ₀ = 4π · 10^-7 Гн/м, T^′ возмущение темпера-

магнитную жидкость в однородном и неоднородном

туры. Роль гравитации в этом случае играет гради-

внешних полях. Авторы надеялись на аддитивность

ент напряженности H магнитного поля, а интенсив-

вкладов двух типов конвекции в теплоотдачу, но ре-

ность тепловых потоков определяется магнитным

зультаты опытов оказались отрицательными. Вклад

числом Рэлея [2-4, 18, 19]:

термомагнитной конвекции оказался намного ниже

ожидаемого. В качестве причины такого неожидан-

µ₀Mβ₂|∇H|h

ного результата рассматривается неблагоприятное

Ra_m =

ΔT ,

(3)

ηa

для термомагнитной конвекции распределение маг-

нитного поля вблизи цилиндра. В работе [30] чис-

где β₂ = -M^-1 (∂M/∂T ) температурный коэф-

ленно решена задача о конвекции феррожидкости в

фициент намагниченности. Несложные оценки по-

прямоугольной полости в неоднородном поле с ин-

казывают, что при одинаковых геометриях сосуда и

дукцией до 0.8 Тл при подогреве снизу. Сделан вы-

равных перепадах температур магнитное число Рэ-

вод об усилении теплопередачи в поле магнита как

лея может превышать тепловое на порядок и более.

минимум на 50 %. Аналогичный результат получен

Эти оценки дают надежду на интенсификацию теп-

авторами работ [31,32] на примере трубчатого сол-

лообмена в охлаждающих устройствах путем заме-

нечного коллектора. Замена немагнитного теплоно-

ны обычного теплоносителя феррожидкостью и на-

сителя на слабоконцентрированную феррожидкость

ложения градиентного магнитного поля.

(объемная доля частиц Mn-ZnFe₂O₄ до 1 %) и на-

927

М. А. Косков, А. Ф. Пшеничников

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

ложение внешнего магнитного поля с индукцией до

ствием пондеромоторной силы, непрерывно перено-

1.2 Тл увеличивает эффективность работы коллек-

сит тепло от нагревателя к холодильнику.

тора на 48.5 %. В работе [33] численно исследована

Экспериментальные работы по термомагнитной

тепловая конвекция в цилиндрическом контейнере с

конвекции в замкнутом контуре, вышедшие за по-

феррожидкостью на маслянной основе и нагретым

следние полтора десятилетия [34-38], демонстриру-

соленоидом, расположенным в центре контейнера. В

ют одновременно прикладную перспективность кон-

зависимости от объемной доли частиц в феррожид-

вективной петли с феррожидкостью и высокую чув-

кости и наличия в соленоиде ферромагнитного сер-

ствительность интенсивности теплообмена к боль-

дечника наблюдалось усиление теплоотдачи до 15 %.

шому числу параметров задачи. Речь идет о выборе

Обобщая результаты исследований [27-33] и по-

дисперсионной среды и материала наночастиц, ори-

добных им, можно сделать вывод о том, что термо-

ентации и месте приложения магнитного поля, агре-

магнитная конвекция приводит к относительно сла-

гировании частиц в феррожидкости, появлении вто-

бому эффекту интенсивность теплоотдачи возрас-

ричных течений, оседании коллоидных частиц на

тает на несколько десятков процентов по сравнению

стенках трубы и др. Эта чувствительность являет-

с гравитационной конвекцией. Эффект, безусловно,

ся, по-видимому, главной причиной большого раз-

полезный, но он на порядок меньше того, что мож-

броса экспериментальных данных, касающихся ин-

но было бы ожидать из прямого сравнения теплово-

тенсификации теплообмена за счет термомагнитной

го (1) и магнитного (3) чисел Рэлея.

конвекции в замкнутом контуре. Так, в работе [36]

Это бросающееся в глаза расхождение было от-

конвективная петля с феррожидкостью использова-

мечено ранее [3] на примере смешанной (гравита-

лась для отвода тепла от электронного чипа. Обна-

ционной и термомагнитной) конвекции около го-

ружено, что включение термомагнитного механизма

ризонтального ферромагнитного цилиндра. Авторы

конвекции снижает температуру охлаждаемой по-

объясняют его вихревой структурой термомагнит-

верхности примерно на 10^◦C. Это весьма скромный

ных потоков, распространяющихся в радиальном

результат. Эксперименты [37] с тороидальной петлей

направлении на расстояние порядка диаметра ци-

предсказывают уже 100-процентное увеличение ско-

линдра. Такое течение препятствует формированию

рости течения феррожидкости в магнитном поле, а

теплового пограничного слоя с азимутальным тече-

результаты численного моделирования [39] предска-

нием необходимого условия интенсификации кон-

зывают двух четырехкратное повышение ¾эффек-

вективного теплообмена. По нашему мнению, это

тивности теплообмена¿.

объяснение вполне подходит и для термомагнитной

Цель настоящей работы прояснение ситуации с

конвекции в произвольной односвязной полости с

теплообменом при термомагнитной конвекции в за-

сосредоточенным источником магнитного поля. На-

мкнутом гидродинамическом контуре. Предлагает-

пряженность магнитного поля убывает с расстояни-

ся создание условий, максимально способствующих

ем обратно пропорционально кубу расстояния или

термомагнитной конвекции и обеспечивающих од-

медленнее (как в двумерной задаче), захватывает

новременно однозначную интерпретацию результа-

большую часть пространства и препятствует фор-

тов. Наиболее значимыми для этой цели кажутся

мированию классического пограничного слоя.

три фактора: геометрия установки, включая распо-

Ситуация может измениться качественно при

ложение источника магнитного поля относительно

термомагнитной конвекции в замкнутом контуре

нагревателя; ориентация и напряженность магнит-

(конвективной петле), если поперечные размеры

ного поля; размер и концентрация магнитных на-

трубы, образующей контур, и неоднородность поля

ночастиц в коллоидном растворе. Предварительные

в радиальном направлении будут достаточно малы.

результаты, полученные на черновом варианте уста-

В этом случае радиальное течение становится невоз-

новки, были опубликованы ранее [40]. В настоящей

можным, а осевая компонента пондеромоторной си-

работе внимание сфокусировано на стабилизации

лы (2) будет сонаправленной с силами гравитации и

теплообмена на внешней поверхности конвективной

приведет к интенсификации теплообмена. Разумеет-

петли, реологии и физических свойствах феррожид-

ся, нагреватель и источник магнитного поля долж-

кости, концентрации частиц и их распределении по

ны быть расположены при этом на одном и том же

размерам. Результаты опытов с четырьмя образца-

вертикальном участке контура. Конвективная пет-

ми феррожидкости, различающимися концентраци-

ля с феррожидкостью рассматривается обычно как

ей магнитной фазы, приведены в виде безразмер-

простейший вариант охлаждающего устройства, в

ной зависимости конвективного теплопотока (числа

котором феррожидкость, циркулирующая под дей-

Нуссельта) от теплового числа Рэлея.

928

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Термомагнитная конвекция в петле. . .

Рис. 1. Схема гидродинамического контура для исследо-

Рис. 2. Вертикальное сечение нагревателя: 1 стеклян-

вания термомагнитной конвекции и локальная система ко-

ная трубка; 2

эбонитовый цилиндр; 3 бифилярная

ординат с началом в центре нагревателя: 1 стеклянная

спираль из нихромовой проволоки высотой ℓ = 18 мм

трубка с феррожидкостью; 2

электрический нагрева-

тель; 3

постоянный магнит

2. СХЕМА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ

УСТАНОВКИ

Замкнутый гидродинамический контур (конвек-

тивная петля овальной формы) был изготовлен из

боросиликатной стеклянной трубки круглого сече-

ния с внутренним радиусом r₁ = 2.6 мм и внеш-

ним радиусом r₂ = 3.6 мм (рис. 1). Компенсатор

теплового расширения жидкости, выполненный из

стеклянного капилляра, располагался в верхней ча-

сти контура (на рисунке не показан). Длина кон-

тура по осевой линии составила L = 35 см, так

что отношение внутреннего радиуса трубки к ее

длине, равное 0.0074, можно было считать малым

Рис. 3. Схема воздушного термостата: 1 пенопластовая

параметром с хорошей степенью точности. Тепло

камера; 2

диффузор; 3 вентилятор; 4 радиатор;

к контуру подводилось на небольшом вертикаль-

трубы для подачи тосола из жидкостного термостата

ном участке, охваченном градиентным магнитным

Termex КРИО ВТ 12; 6 конвективный контур; 7 одна

полем. Электрический нагреватель сопротивлением

из термопар; 8 Termodat 25 M6

344 Ом при комнатной температуре был выполнен

из бифилярно намотанной нихромовой проволоки

целью конвективный контур помещался в камеру

диаметром 0.09 мм (рис. 2). Обмотка располагалась

воздушного термостата размерами 500×350×300 мм

на внутренней поверхности эбонитового цилиндра,

(рис. 3) и обдувался воздухом с помощью лопастно-

вставленного в разрез контура, и заливалась тон-

го вентилятора с фиксированной скоростью враще-

ким слоем эпоксидной смолы. Внутренний диаметр

ния лопастей. Как будет показано ниже, в режиме

нагревателя равнялся внутреннему диаметру стек-

стационарной конвекции вдоль контура устанавли-

лянной трубки. Для питания нагревателя использо-

вается экспонециальное распределение температу-

вался стабилизированный источник постоянного то-

ры. Определенный в опытах показатель экспоненты

ка HY3003D-2.

используется для получения информации о расходе

В отличие от предыдущих работ, охлаждение

жидкости через поперечное сечение трубки и без-

контура осуществлялось по всей его длине, т. е. без

размерном интегральном тепловом потоке числе

использования дополнительного радиатора. С этой

Нуссельта.

929

М. А. Косков, А. Ф. Пшеничников

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Рис. 4. Источник неоднородного магнитного поля и ло-

кальная система координат (вид сверху): 1 ферритовый

магнитопровод; 2 постоянный магнит; 3 нагреваемый

участок контура

Рис. 5. Горизонтальная компонента напряженности поля

в рабочем зазоре намагничивающей системы. Вертикаль-

Температурные измерения проводились с по-

ные линии соотвествуют границе феррожидкости в канале

грешностью не выше 0.2^◦C при помощи миниатюр-

ных медь-константановых термопар с толщиной

го зазора. Максимальное значение напряженности

проводников

0.1 мм. ТермоЭДС измерялась в

в отсутствие жидкости оказалось равным 23 кА/м.

режиме реального времени милливольтметром

По результатам измерений, методом конечных раз-

Termodat 25 M6. Горячие спаи термопар распола-

ностей, оценивалась величина градиента поля. Вы-

гались вдоль контура на поверхности стеклянной

бранная геометрия магнитного поля обеспечивала

трубки, а холодные монтировались на термоста-

условие H^2y ≫ H^2x ∼ H^2z внутри стеклянной труб-

тированном радиаторе 4 (рис. 3). Для улучшения

ки, поэтому при расчете градиента напряженности

теплового контакта между горячими спаями тер-

учитывалась только y-компонента поля.

мопар и поверхностью стекла и для уменьшения

систематической погрешности, связанной с оттоком

Пространственное распределение напряженно-

тепла вдоль проводов, спаи термопар припаивались

сти поля и ее градиента приведены на рис. 5 и 6. Как

к полоскам медной фольги в форме полуцилиндра,

видно на рис. 6, в месте размещения нагревателя

которые наклеивались на поверхность трубки.

градиент напряженности поля по порядку величины

Максимальный перепад температур ΔT на контуре,

равен 10⁶ А/м². Его преимущественная ориентация

определяющий интенсивность тепловой конвекции,

вдоль оси трубки с феррожидкостью обеспечивает

измерялся дополнительной термопарой, горячий

такую же ориентацию пондеромоторной силы (2) и

и холодный спаи которой находились на верхнем

наилучшие условия для термомагнитной конвекции.

и нижнем концах нагретого участка контура,

соответственно.

Неоднородное магнитное поле создавалось си-

стемой, состоящей из постоянного магнита 2 типа

3. ПРИГОТОВЛЕНИЕ И СВОЙСТВА

ФЕРРОЖИДКОСТИ

неодим-железо-бор и ферритового магнитопровода

1 с плоскими полюсными наконечниками сечением

14 × 14 мм (рис. 4). Постоянный магнит имеет то

В экспериментальной части работы наше вни-

очевидное преимущество по сравнению с короткой

мание было сфокусировано на получении образцов

катушкой с током, часто используемой в опытах по

магнитной жидкости, отвечающих, вообще говоря,

термомагнитной конвекции, что он не нагревается в

противоречивым требованиям: малая энергия меж-

процессе работы. Включение или выключение маг-

частичных магнитодипольных взаимодействий и от-

нитного поля не влияет на температурное поле в

носительно небольшая концентрация частиц в кол-

окружающем пространстве и не вызывает проблем

лоидном растворе должны сочетаться с достаточ-

с интерпретацией результатов температурных изме-

но высоким температурным коэффициентом намаг-

рений. Напряженность магнитного поля измерялась

ниченности. Рассмотрим эти условия более подроб-

тесламером Ш1-15-У3 в среднем сечении xz рабоче-

но.

930

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Термомагнитная конвекция в петле. . .

полностью перекроют канал и приведут к ослабле-

нию или полной блокировке конвективного движе-

ния.

Для контроля качества феррожидкости пара-

метр агрегирования, усредненный по ансамблю час-

тиц, рассчитывался нами по алгоритму, предложен-

ному в работе [49], т. е. путем решения системы урав-

нений

(

)

χ_L

χ^2L

χ=χ_L

χ_L = 8κϕ,

(5)

144

где χ и ϕ

измеряемые в эксперименте на-

чальная магнитная восприимчивость жидкости

и объемная концентрация коллоидных частиц

с учетом защитных оболочек, соответственно,

Рис. 6. Модуль градиента напряженности магнитного поля

в рабочем зазоре намагничивающей системы. Вертикаль-

χ_L = µ₀〈m²〉n/3k_BT восприимчивость, вычислен-

ные линии соответствуют границе феррожидкости в кана-

ная в ланжевеновском приближении, n числовая

ле

плотность частиц в растворе. Угловые скобки

〈. . .〉 означают усреднение по ансамблю частиц.

1) Параметр агрегирования (coupling parameter)

Для всех образцов параметр агрегирования был

одинаков κ

= 0.68 ± 0.03, так что образование

µ₀m

крупных агрегатов в феррожидкости можно было

κ=

(4)

4πd³k_BT

исключить.

2) Поиск некоторой ¾оптимальной¿ концентра-

т. е. отношение энергии магнитодипольных взаимо-

действий к энергии теплового движения частиц дол-

ции магнитных наночастиц в коллоидном раство-

ре. Предельные случаи слабо- и сильноконцентри-

жен быть достаточно мал (κ

< 1), чтобы избе-

жать появления в растворе крупных агрегатов [2].

рованных растворов следует исключить из рассмот-

рения. В случае малых концентраций частиц маг-

Здесь m магнитный момент частицы, T абсо-

нитное число Рэлея (3) мало из-за малой намагни-

лютная температура, k_B = 1.38 · 10^-23 Дж/К, d

ченности, а в пределе больших концентраций (более

диаметр частицы вместе с защитной оболочкой из

50 % по объему, включая защитные оболочки) оно

молекул ПАВ. При κ > 1 в феррожидкости появ-

мало из-за высокой вязкости раствора.

ляются наноразмерные агрегаты в виде колец, це-

почек и клубков [41, 42], а при κ > 3 наблюдает-

В опытах использовались четыре образца ферро-

ся магнитно-чувствительный фазовый переход пер-

жидкости, различающиеся концентрацией частиц,

вого рода: феррожидкость спонтанно расслаивается

но с одинаковым распределением частиц по разме-

на слабо- и сильноконцентрированные фазы [43-47].

ру. Они были получены путем разбавления керо-

Концентрированная фаза представлена капельными

сином базовой концентрированной феррожидкости

агрегатами с характерными размерами несколько

керосин-магнетит-олеиновая кислота. Коллоидный

десятков микрометров в отсутствие поля, начальной

магнетит для базового образца синтезирован стан-

магнитной проницаемостью свыше сотни единиц и

дартным методом химического осаждения [1], а же-

содержит наиболее крупные частицы [45]. На грани-

лаемое распределение частиц по размерам вариа-

це капельного агрегата с окружающей средой суще-

цией условий синтеза (концентрация используемых

ствует поверхностное натяжение, величина которо-

растворов солей железа и аммиака, pH среды, тем-

го в нулевом поле имеет порядок 10^-7 Н/м [48]. Под

пературы, скорости подачи растворов и интенсивно-

действием магнитного поля капельный агрегат вы-

сти перемешивания) [50]. Физические свойства об-

тягивается в длинную нить, а при выключении по-

разцов приведены в таблице.

ля принимает сферическую форму. Очевидно, что в

Плотность ρ образцов жидкостей измерялась

опытах с термомагнитной конвекцией появление ка-

пикнометром при комнатной температуре. Объем-

пельных агрегатов недопустимо. Они будут концен-

ная доля кристаллического магнетита ϕ_s рассчиты-

трироваться в области с максимальной напряженно-

валась в предположении, что плотность защитной

стью поля вследствие магнитофореза, частично или

оболочки из молекул олеиновой кислоты на поверх-

931

М. А. Косков, А. Ф. Пшеничников

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Таблица. Физические свойства образцов феррожидкости

№обр. ρ,г/см³

ϕ_s

M_∞, кА/м^∗) χ

〈x〉, нм

〈m〉, 10^-19 А · м² η, 10^-3 Па · с

0.96

0.040

1.63

0.134

1.05

0.060

21.0

1.56

7.44

1.66

2.25

0.209

1.13

0.078

2.72

0.248

1.22

0.099

3.75

0.306

Базовый

1.43

0.145

52.0

5.13

7.38

1.61

0.471

^∗) M∞ намагниченность насыщения феррожидкости.

ности частиц мало отличается от плотности диспер-

ность раствора определялась методом дифференци-

сионной среды:

альной прогонки, при котором непосредственно из-

меряется дифференциальная магнитная восприим-

ρ-ρ_k

ϕ_s =

(6)

чивость χ = χ(H) жидкости, а кривая намагничи-

ρ_s - ρ_k

вания находится численным интегрированием:

где ρ_k

0.78 г/см³

плотность керосина,

∫

ρ_s

= 5.24 г/см³

плотность кристаллического

M (H) = χ(H) dH.

магнетита.

Удельная теплоемкость C феррожидкости рас-

Дисперсный состав частиц аппроксимировался

считывалась по формуле, отражающей ее аддитив-

гамма-распределением:

ность:

C_kρ_k (1 - ϕ_s) + C_sρ_sϕ_s

x^σ exp(-x/x₀)

C =

f (x) =

(7)

x^σ+10Γ(σ + 1)

где C_k = 2.0 кДж/кг · К, C_s = 0.59 кДж/кг · К

которое хорошо зарекомендовало себя и многократ-

удельные теплоемкости керосина и магнетита, соот-

но использовалось ранее при анализе магнетитовых

ветственно. Коэффициент теплопроводности λ₁ вы-

коллоидов. Здесь x диаметр магнитного ядра кол-

числялся по формуле [4]

лоидной частицы, Γ(. . .)

гамма-функция, x₀ и

[

]

σ параметры распределения, подлежащие опре-

3 (λ_k - λ_s) ϕ_s

делению из экспериментальной кривой намагничи-

λ₁ = λ_k

2λ_k + λ_s + (λ_k - λ_s)ϕ_s

вания M(H). Для сферических частиц, подчиняю-

щихся распределению (7), средний диаметр магнит-

где λ_k = 0.11 Вт/м · К, λ_s = 5.3 Вт/м · К [51, 52]

ного ядра частицы и относительная ширина рас-

теплопроводности керосина и массивного магнетита

пределения равны соответственно 〈x〉 = x₀ (σ + 1)

при комнатной температуре. При вычислении коэф-

и δ_x = 1/√σ + 1. Результаты магнитных измере-

фициента объемного теплового расширения β₁ фер-

ний приведены в таблице, а распределение частиц

рожидкости тепловым расширением магнетита пре-

по размерам на рис. 7.

небрегалось:

Динамическая вязкость η образцов измерялась

ротационным вискозиметром Anton Paar в режи-

β_kρ_k (1 - ϕ_s)

β₁ =

ме осцилляций в диапазоне температур от 25 до

42^◦C в нулевом магнитном поле. Реологические

где β_k = 9.6 · 10^-4 К^-1 коэффициент объемного

кривые (рис. 8) демонстрируют ньютоновское по-

расширения керосина [51].

ведение феррожидкостей во всем диапазоне иссле-

Магнитные моменты частиц и распределение

дованых концентраций и скоростей сдвига. Так как

частиц по диаметрам магнитных ядер определялись

опыты по термомагнитной конвекции проводились в

в процессе обработки экспериментальной кривой на-

поле напряженностью до 23 кА/м, встает вопрос об

магничивания. Использовался вариант магнитогра-

анизотропном увеличении вязкости феррожидкости

нулометрического анализа, при котором расчет па-

в результате частичной блокировки вращательных

раметров распределения проводится по начальному

степеней свободы частиц [1-4]. В случае магнито-

участку кривой намагничивания и асимптотике на-

жестких частиц с броуновским механизмом релакса-

магниченности в сильных полях [53]. Намагничен-

ции магнитных моментов и разбавленных растворов

932

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Термомагнитная конвекция в петле. . .

кости, использованных в данной работе, процент-

ное содержание таких крупных частиц было несуще-

ственным, поэтому магнитовязкий эффект не учи-

тывался. Дополнительным аргументом в пользу та-

кого подхода служило то обстоятельство, что маг-

нитное поле было приложено только к короткому

участку конвективного контура. Основной вклад в

вязкое трение вносила та часть контура, на которой

магнитное поле отсутствовало.

Согласно известной аппроксимации Chow [55],

динамическая вязкость устойчивой суспензии на ос-

нове ньютоновской жидкости, какой является фер-

рожидкость, очищенная от избытка стабилизатора,

является однозначной функцией доли ϕ частиц с

учетом защитных оболочек и вязкости η₀ диспер-

Рис. 7. Распределение колоидных частиц по размерам маг-

сионной среды:

нитных ядер согласно формуле (7). Использованы усред-

ненные параметры распределения: σ = 4.84, x0 = 1.28 нм

( 2.5ϕ)

Aϕ²

= exp

(8)

η₀

1-ϕ

1 - Aγ_mϕ²

где A = 4.67, а γ_m коэффициент предельной упа-

ковки, определение которого представляет некую

проблему. Как показано в работе [56], вязкость фер-

рожидкостей хорошо описывается формулой (8) в

широком диапазоне концентраций при γ_m = 0.605.

Это значение коэффициента упаковки соответству-

ет предельной концентрации частиц, при которой

еще возможно вязкое течение суспензии [57,58]. Из

формулы и экспериментов [1, 59] следует, что вяз-

кость высококонцентрированных феррожидкостей

может на два-три порядка превышать вязкость дис-

Рис. 8. Реологические кривые феррожидкостей с различ-

персионной среды, что делает их непригодными для

ной концентрацией магнетита

устройств с термомагнитной конвекцией. Форму-

ла (8) использовалась для расчета гидродинамиче-

полевая зависимость эффективной вязкости описы-

ской ¾концентрации¿ ϕ частиц, включающей объе-

вается известной формулой [2]

мы магнитных ядер частиц, тонких приповерхност-

ных слоев на кристаллах магнетита, не вносящих

Δη

ξ - thξ

sin² ψ,

вклад в намагниченность феррожидкости [49], и за-

η₀

ξ + thξ

щитных оболочек из молекул олеиновой кислоты

где ξ = µ₀mH/k_BT параметр Ланжевена отно-

(см. таблицу).

шение энергии взаимодействия магнитного момента

В отличие от экспоненциально быстрого роста

m частицы с внешним полем к энергии теплового

вязкости феррожидкости с концентрацией частиц,

движения, η₀ вязкость дисперсионной среды, ψ

рост намагниченности в сильных полях происходит

угол между напряженностью поля и локальной за-

более медленно

по линейному закону. По этой

вихренностью жидкости. По оценкам [54] в магне-

причине (как будет показано ниже) увеличение объ-

титовых коллоидах на основе керосина к частицам

емной концентрации частиц выше 25-30 % являет-

с броуновской релаксацией намагниченности отно-

ся неоправданным, так как приводит к уменьшению

сятся частицы с диаметром магнитного ядра больше

магнитного числа Рэлея (3) и интенсивности кон-

16-18 нм. Как видно на рис. 7, в образцах феррожид-

вективного теплообмена.

933

М. А. Косков, А. Ф. Пшеничников

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

4. УСЛОВИЯ ОХЛАЖДЕНИЯ КОНТУРА И

Θ(R, Z) = θ(R) exp (-KZ), где θ(R) описывается

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ НА

уравнением

ОХЛАЖДАЕМОМ УЧАСТКЕ

∂²θ

1 ∂θ

(

)

+KU₀

1-R²

θ(R) = 0.

(11)

Магнитное поле и источники тепла локализо-

∂R²

R∂R

ваны на активном участке контура длиной около

Последнее слагаемое в правой части уравнения

30 мм (см. рис. 5,6), на котором и возникает пон-

(10), ответственное за молекулярный поток тепла

деромоторная сила, вызывающая термомагнитную

вдоль контура, квадратично по малому параметру

конвекцию феррожидкости. За пределами активно-

r₁/L ≈ 10^-2 и в уравнении (11) отсутствует.

го участка магнитное поле и источники тепла от-

Уравнение (11) допускает точное решение в виде

сутствуют. Нагретая жидкость движется при этом

суперпозиции функций Куммера, являющихся ре-

вдоль канала, постепенно отдавая тепло через его

шением вырожденного гипергеометрического урав-

стенки и формируя затухающее с продольной ко-

нения [62, 63]. Тем не менее чрезмерная громозд-

ординатой распределение температуры. В услови-

кость промежуточных преобразований и невозмож-

ях стационарной конвекции коэффициент затухания

ность получения простых аналитических формул

зависит от интенсивности течения и может быть ис-

для обработки экспериментальных результатов де-

пользован для определения осевого теплопотока.

лает более привлекательным приближенное реше-

Рассмотрим задачу о ламинарном течении на-

ние уравнения (11) методом Галёркина [64]. Как бу-

гретой жидкости вдоль охлаждаемого канала по-

дет показано ниже, в этом случае достаточно ис-

дробнее, используя локальную систему координат,

пользовать единственную базисную функцию в виде

начало которой расположено в центре нагревателя,

(

)

θ(R) = θ₁ + (θ₀ - θ₁)

1-R²

(12)

а ось z направлена вертикально вверх (см. рис. 1).

Так как внутренний радиус канала мал по срав-

где θ₀ и θ₁

температуры на оси канала и на его

нению с его длиной и радиусом кривизны контура

внутренней стенке, соответственно. Подстановка ап-

(r₁/L = 0.0074), радиальной компонентой скорости

проксимации (12) в уравнение (11) дает невязку в

можно пренебречь, полагая u = {0, 0, u(r)}. Задача

виде

становится осесимметричной, и профиль скорости

можно аппроксимировать параболой [60, 61]:

δ(R) = -4 (θ₀ - θ₁) +

(

)[

(

)]

(

)

+KU₀

1-R²

θ₁ + (θ₀ - θ₁)

1-R²

r²

u(r) = u₀

(9)

r²

а условие ортогональности базисной функции к

невязке,

где u₀

скорость потока жидкости на оси канала. С

∫

учетом осевой симметрии задачи уравнение стацио-

θ(R)δ(R)R dR = 0,

нарного конвективного теплопереноса упрощается и

в цилиндрических координатах принимает вид

определяет безразмерную амплитуду скорости жид-

(

)

]

∂T

[1 ∂

∂T

∂²T

кости

(

)

u(r)

θ²⁰ - θ²

∂z

r∂r

∂r

∂z²

KU₀ =

(13)

2θ²⁰ + (θ₀ + θ₁)²

Учитывая аппроксимацию (9), запишем его в без-

Распределение температуры в стенке канала изме-

размерном виде:

няется по логарифмическому закону, а интеграль-

(

)

ный поток тепла q в радиальном направлении одно-

(

)∂Θ

∂

∂Θ

∂²Θ

роден по радиусу. В размерном виде они описыва-

U₀

1-R²

(10)

∂Z

R∂R

∂R

∂Z²

ются известными формулами [17]

[

]

За единицу измерения расстояния принят внутрен-

θ₁ - θ₂

T (r, z) = θ₁ -

ln (r/r₁) ×

ний радиус канала r₁; температуры ΔT ; скоро-

ln(r₂/r₁)

сти

a/r₁; a

= λ₁/ρC. Здесь и в дальнейшем

× ΔT exp (-kz),

температура воздуха, охлаждающего контур, при-

(14)

нята за начало отсчета. Уравнение (10) допуска-

[

]

ет разделение переменных с экспоненциальным за-

θ₁ - θ₂

2πλ₂

ΔT exp (-kz).

туханием температуры с продольной координатой,

ln(r₂/r₁)

934

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Термомагнитная конвекция в петле. . .

где λ₂ и θ₂ теплопроводность материала стенки и

однако, никак не влияет на интерпретацию экспери-

безразмерная температура на ее внешней поверхно-

ментальных результатов, так как мала по сравнению

сти, соответственно, k = K/r₁ размерный коэф-

с обнаруженными эффектами (усилением теплоот-

фициент затухания. Граничное условие на внешней

дачи в магнитном поле на 200-300 %) и одинаково

поверхности задается в виде закона Ньютона - Рих-

влияет на результаты опытов с обычными и намаг-

мана для теплоотдачи от твердой поверхности, кон-

ничивающимися жидкостями.

тактирующей с газовой средой:

Измерение коэффициента теплоотдачи α на по-

верхности контура проводилось в независимом экс-

q = 2πr₂αθ₂ΔT exp(-kz),

(15)

перименте. В камеру воздушного термостата поме-

щался стержневой нагреватель в виде длинной стек-

где α

коэффициент теплоотдачи, подлежащий

лянной трубки c внешним радиусом 3.5 мм и дли-

определению в дополнительных опытах. В стаци-

ной 151 мм, имитирующей часть конвективного кон-

онарных условиях радиальный поток тепла через

тура. Внутри трубки находился электрический на-

внутреннюю границу канала,

греватель из манганиновой проволоки, питающийся



∂T



от стабилизированного источника постоянного тока.

q = -2πλ₁r₁



= 4πλ₁ (θ₀ - θ₁)ΔT exp(-kz),



Температурные измерения проводились при помощи

∂r

медь-константановых термопар, идентичных термо-

должен совпадать с потоками (14) и (15). Это усло-

парам, описанным ранее. Коэффициент теплоотда-

вие приводит к двойному равенству

чи α вычислялся по тепловой мощности нагревате-

ля и установившейся разности температур между

λ₂ (θ₁ - θ₂)

2 (θ₀ - θ₁) =

= Biθ₂,

(16)

поверхностью нагревателя и охлаждающим возду-

λ₁ ln(r₂/r₁)

хом. Измерения проводились при мощностях нагре-

ва в диапазоне 0.15-0.71 Вт и различных ориента-

где Bi = αr₂/λ₁ число Био.

циях нагревателя. Среднее значение коэффициента

Определим теперь число Нуссельта Nu как отно-

теплоотдачи оказалось равным 20 ± 1 Вт/м² · К.

шение конвективного теплопотока вдоль контура к

молекулярному. Конвективный теплопоток равен

∫r1

5. РЕЗУЛЬТАТЫ КОНВЕКТИВНЫХ

Q_conv = 2πρC T(r)u(r)r dr =

ОПЫТОВ И АНАЛИЗ

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

ρCΔT u₀r²¹ (2θ₀ + θ₁) exp (-kz),

Каждый образец феррожидкости использовался

в двух сериях измерений. В первой серии исследо-

а молекулярный

валась гравитационная конвекция в нулевом маг-

нитном поле. В этой же серии проведены опыты

Q_mol =

λ₁r²¹kΔT (θ₀ + θ₁)exp(-kz).

с керосином, который рассматривался как предель-

ный случай феррожидкости с нулевой концентра-

С учетом формулы (13) для безразмерной амплиту-

цией коллоидных частиц. Во второй серии исследо-

ды скорости, двойного равенства (16) и малости па-

валась смешанная гравитационная и термомагнит-

раметра λ₁λ^-12 ln (r₂/r₁) ≈ 0.05 по сравнению с еди-

ная конвекция при наложении градиентного маг-

ницей получаем

нитного поля (с напряженностью до 23 кА/м в от-

Q_conv

4Bi(3 + Bi)

сутствие феррожидкости) на участок контура вбли-

Nu =

(

(17)

Q_mol

K²

6 + 4Bi + 0.75Bi²

зи нагревателя. Во всех опытах температура воз-

душного термостата была равна 27^◦C. Стационар-

Как видно из формулы (17), число Нуссельта одно-

ное распределение температуры в контуре достига-

значно определяется числом Био и коэффициентом

лось через несколько десятков минут после вклю-

затухания температуры с увеличением расстояния

чения нагревателя. Примеры установления стацио-

от нагревателя. Проведенное нами сравнение при-

нарной конвекции феррожидкости с объемной до-

ближенной формулы (17) с результатами точного

лей магнетита ϕ_s

= 0.060 приведены на рис. 9.

решения уравнения (11) обнаружило систематиче-

Небольшой ¾дребезг¿ термопарных показаний свя-

скую погрешность в сторону завышения числа Нус-

зан, по-видимому, с дискретностью цифрового при-

сельта на 2-3 % в области Bi < 1. Эта погрешность,

бора. Для исключения его влияния на результаты

935

М. А. Косков, А. Ф. Пшеничников

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

(a)

(b)

Рис. 9. Установление стационарного режима в конвективных опытах с образцом № 2 (ϕs = 0.060). T1, T3, T5 показания

трех термопар, удаленных от середины нагревателя на расстояния z = 30, 160, 290 мм, соответственно, в зависимости

от времени работы нагревателя: a опыт в нулевом магнитном поле; b в градиентном поле

измерений проводились накопление данных, снима-

ности температур вклад термомагнитной конвекции

емых в течение 60 мин с интервалом в 30 с, и по-

в тепловой поток превосходил вклад гравитацион-

следующее усреднение. Во всех опытах среднеквад-

ной. Так, в опытах с образцом № 1 (с концентраци-

ратичное отклонение температуры оказалось прене-

ей магнетита 0.040) тепловой поток при включении

брежимо малым по сравнению с приборной погреш-

термомагнитной конвекции усиливался в 2-2.4 ра-

ностью δT = 0.2^◦C, которая и принималась в итоге

за, а для образца №4 (с концентрацией 0.099) в

за ошибку температурных измерений. По получен-

3.7 раза. Здесь необходимо отметить, что разность

ным средним значениям строились профили темпе-

температур ΔT в описываемых опытах не являет-

ратуры T_i = T (z_i) вдоль охлаждаемого участка кон-

ся независимым параметром, она сама устанавлива-

тура (i = 1, . . . , 5 номер термопары).

ется в процессе конвекции (см., например, рис. 9).

Типичные примеры распределения температуры

Поэтому было бы правильнее говорить, о влиянии

вдоль контура приведены на рис. 10 в полулога-

термомагнитной конвекции на перепад температу-

рифмическом масштабе. Профили температуры ап-

ры при фиксированной величине K, т. е. фиксиро-

проксимировались экспоненциальными кривыми по

ванном теплопотоке. В рамках такого подхода мож-

стандартному алгоритму метода наименьших квад-

но утверждать, что при фиксированной мощности

ратов с весовыми коэффициентами w_i

= T_i/δT.

нагревателя термомагнитная конвекция уменьшает

Использование весовых коэффициентов позволя-

перепад температур на нагревателе в 2-3.5 раза.

ло компенсировать зависимость относительной по-

Стандартное представление результатов по

грешности измерений от продольной координаты z.

конвективной теплопередаче в виде зависимости

Как видно на рис. 10, экспериментальные точки

Nu = Nu(Ra) приведено на рис 12. Как и следовало

в пределах погрешности ложатся на аппроксими-

ожидать, результаты всех опытов в нулевом поле

рующие кривые, показанные сплошными линиями.

(включая опыты с керосином) ложатся на одну

Это обстоятельство является важным аргументом в

универсальную кривую. Различие состоит лишь

пользу формулы (17) для определения числа Нус-

в том, что менее вязкие образцы жидкостей при

сельта в опытах с конвективной петлей.

прочих равных условиях позволяют получить

Согласно формуле (17), вклад термомагнитной

большие числа Рэлея. Слабая зависимость числа

конвекции в интегральный тепловой поток (число

Нуссельта от числа Прандтля Pr = ηC/λ₁, потен-

Нуссельта) можно оценить по изменению величины

циально возможная с учетом известных данных

K^-2 после включения магнитного поля. Такие изме-

по теплопередаче [17], здесь незаметна, так как

нения хорошо видны на рис. 11, где величина K^-2

при переходе от одного образца к другому число

представлена в зависимости от перепада темпера-

Прандтля изменяется в относительно небольшом

туры ΔT на нагревателе: при фиксированной раз-

диапазоне (Pr = 19-38).

936

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Термомагнитная конвекция в петле. . .

(a)

(b)

Рис. 10. Распределение температуры вдоль охлаждаемого участка контура для феррожидкости с минимальной ϕs = 0.040

(a) и максимальной ϕs = 0.099 (b) концентрациями частиц при различной мощности нагревателя. Темными символами

обозначены результаты опытов в градиентном магнитном поле, светлыми в нулевом поле. Сплошные линии соответ-

ствуют затухающим экспонентам

если ориентироваться на термомагнитную конвек-

цию с максимальной интенсивностью, то оказывает-

ся, что наилучшие результаты достигаются на рас-

творах с умеренной концентрацией магнетита в диа-

пазоне ϕ_s = 0.04-0.06. При меньших концентрациях

магнетита интенсивность конвекции уменьшается за

счет уменьшения намагниченности, а при больших

за счет увеличения вязкости раствора. В диапазоне

концентраций ϕ_s = 0.04-0.06 эти два конкурирую-

щие механизма компенсируют друг друга.

При движении феррожидкости сквозь неодно-

родное магнитное поле его напряженность, его гра-

диент и намагниченность изменяются в широких

пределах от нуля до некоторых значений. Это озна-

чает, что при вычислении магнитного числа Рэлея

Рис. 11. Величина K^-2 в зависимости от перепада тем-

в формуле (3) должны стоять некие усредненные по

пературы ∆T на нагревателе. Темные символы соотвест-

координатам величины. Алгоритм усреднения мо-

вуют опытам в градиентном магнитном поле, светлые

жет быть получен в результате решения сопряжен-

в нулевом поле. Линии тренда результат линейной ап-

ной краевой задачи о неизотермическом течении

проксимации

феррожидкости на участке канала с неоднородным

магнитным полем, но к настоящему времени оста-

Наложение магнитного поля запускает механизм

ется неясным. По этой причине в работе проведены

термомагнитной конвекции, которая увеличивает

только грубые оценки магнитных чисел Рэлея [40].

конвективный тепловой поток (число Нуссельта) в

Эти оценки показали, что в условиях проводивших-

2.5-3.5 раз. Характерная скорость термомагнитного

ся опытов тепловые и магнитные числа Рэлея сов-

течения определяется уравнением (13) и в условиях

падают по порядку величины, а гравитационный и

проводившихся опытов имела порядок нескольких

термомагнитный механизмы конвекции ¾работают¿

мм/с. Поскольку с ростом концентрации коллоид-

вполне независимо друг от друга. Это означает так-

ных частиц в растворе увеличивается намагничен-

же, что в условиях пониженной гравитации следует

ность феррожидкости, увеличивается и наклон со-

ожидать примерно такой же интенсивности термо-

ответствующих кривых Nu = Nu(Ra). Тем не менее

магнитной конвекции, как и в наземных условиях.

937

ЖЭТФ, вып. 6 (12)

М. А. Косков, А. Ф. Пшеничников

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

термостат, что обеспечивало постоянство и однород-

ность коэффициента теплоотдачи на его внешней

поверхности.

Решение задачи о распределении температуры

внутри канала в режиме стационарной гравитаци-

онной и/или термомагнитной конвекции показало,

что безразмерный поток тепла (число Нуссельта)

однозначно выражается через число Био (параметр,

отражающий интенсивность теплообмена канала с

окружающей средой) и пространственный декре-

мент затухания температуры. Опыты в условиях

стационарной конвекции подтвердили экспоненци-

альное распределение температуры вдоль контура

в хорошем согласии с предположениями при выводе

Рис. 12. Число Нуссельта в зависимости от теплового чис-

формул (11)-(17). Показатель экспоненты использо-

ла Рэлея. Темные символы соответствуют конвективным

вался для расчета числа Нуссельта в соответствии с

опытам в градиентном магнитном поле, светлые в нуле-

формулой (17). В работе исследован диапазон теп-

вом поле

, которому соответ-

ловых чисел Рэлея Ra = 10³-10⁴

ствует достаточно интенсивная гравитационная кон-

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

векция, при которой конвективный теплоперенос на

(

)

В настоящей работе экспериментально иссле-

три порядка превышал молекулярный

Nu ∼ 10³

дована тепловая конвекция феррожидкости в

Как и следовало ожидать, результаты всех опытов

подогреваемом сбоку замкнутом гидродинамиче-

в нулевом поле, представленные в безразмерных ко-

ском контуре при наложении на нагретый участок

ординатах, укладываются на одну универсальную

градиентного магнитного поля. Цель работы

кривую Nu = Nu(Ra), несмотря на большое раз-

определить степень влияния термомагнитной кон-

личие в теплофизических свойствах использован-

векции на интенсивность теплообмена в системе

ных жидкостей (см. рис. 12). Развитая гравитацион-

нагреватель-жидкость в наиболее благоприятных

ная конвекция феррожидкости, таким образом, ни-

условиях. Эти

¾благоприятные¿ условия подра-

чем не отличается от конвекции гомогенной жид-

зумевают, во-первых, оптимальную геометрию

кости. Слабая зависимость числа Нуссельта от чис-

экспериментальной установки (в виде замкнутого

ла Прандтля, потенциально возможная с учетом из-

контура, длина которого велика по сравнению с

вестных данных по теплопередаче [17], здесь оказа-

внутренним диаметром), исключающую разнона-

лась незаметной.

правленность и конкуренцию гравитационных и

Включение неоднородного магнитного поля вы-

термомагнитных течений. Немаловажную роль при

зывает термомагнитную конвекцию с характерными

этом играют простота и надежность температур-

скоростями в несколько мм/с, приводящую к ин-

ных измерений. Во-вторых, выбор феррожидкости,

тенсификации теплообмена. В условиях проводив-

которая должна удовлетворять, вообще говоря,

шихся экспериментов (фиксированная мощность на-

противоречивым требованиям. Ее высокая термо-

гревателя и фиксированный интегральный теплопо-

динамическая и седиментационная устойчивость,

ток) термомагнитная конвекция уменьшает перепад

исключающая образование крупных агрегатов,

температуры на нагревателе примерно в 2-3.5 раза

должна сочетаться с достаточно высокой на-

(см. рис. 11). Примерно такой же эффект следует

магниченностью и малой вязкостью раствора.

ожидать в опытах с фиксированным числом Рэлея.

Эта цель была достигнута подбором дисперсного

Согласно рис. 12, интегральный теплопоток должен

состава и вариацией концентрации коллоидных

увеличится в 2.5-3.5 раза в зависимости от концен-

частиц. Опыты проведены с четырьмя образцами

трации частиц. С ростом концентрации частиц уве-

феррожидкости, различающимися концентрацией

личиваются намагниченность ферожидкости, маг-

частиц (см. таблицу), и с керосином, который

нитное число Рэлея и наклон кривой Nu = Nu(Ra).

являлся дисперсионной средой для всех образцов.

Что касается увеличения вязкости феррожидкости

Наконец, в-третьих, стабильные контролируемые

с концентрацией частиц, то она учитывается в этих

условия теплоотдачи на внешних границах конту-

координатах автоматически при вычислении чисел

ра. Конвективный контур помещался в воздушный

Рэлея. Как видно на рис. 12, наибольшие значения

938

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Термомагнитная конвекция в петле. . .

числа Нуссельта достигаются при объемной доле

Э. Я. Блум, М. М. Майоров, А. О. Цеберс, Маг-

магнетита около 6 %.

нитные жидкости, Рига, Зинатне (1989).

Напряженность магнитного поля, его градиент и

Б. М. Берковский, В. Ф. Медведев, М. С. Краков,

намагниченность изменяются с координатами в ши-

Магнитные жидкости, Москва, Химия (1989).

роких пределах от нуля до некоторых максималь-

H. Mamiya, I. Nakatani, and T. Furubayashi, Phys.

ных значений. Это означает, что при вычислении

Rev. Lett. 84, 6106 (2000).

магнитного числа Рэлея в формуле (3) должны сто-

ять некие усредненные по координатам величины.

A. F. Pshenichnikov and A. V. Lebedev, J. Chem.

Так как алгоритм усреднения неизвестен, в работе

Phys. 121, 5455 (2004).

приведены только грубые оценки магнитных чисел

R. E. Rosensweig, Nature 210, 613 (1966).

Рэлея. Эти оценки показали, что в условиях прово-

дившихся опытов тепловые и магнитные числа Рэ-

А. С. Квитанцев, В. А. Налетова, В. А. Турков,

Изв. РАН, сер. МЖГ № 3, 12 (2002).

лея совпадают по порядку величины, а гравитацион-

ный и термомагнитный механизмы конвекции ¾ра-

A. S. Ivanov,

A. F. Pshenichnikov,

and

ботают¿ вполне независимо друг от друга. Это озна-

C. A. Chokhryakova, Phys. Fluids

32,

112007

чает также, что в условиях пониженной гравитации

(2020).

следует ожидать примерно такой же интенсивности

10.

M. I. Shliomis and K. I. Morozov, Phys. Fluids 6, 2855

термомагнитной конвекции, как и в наземных усло-

(1994).

виях.

11.

M. Zahn and L. L. Pioch, J. Magn. Magn. Mater. 201,

В заключение отметим, что полученные здесь ре-

144 (1999).

зультаты находятся в хорошем согласии с данными

численного моделирования [39] конвективной пет-

12.

R. E. Rosensweig, J. Popplewell, and R.J. Johnston,

ли с характерным размером 1 м и мощностью на-

J. Magn. Magn. Mater. 85, 171 (1990).

гревателя 10-1000 Вт с магнитной жидкостью в ка-

13.

A. V. Lebedev and A. F. Pshenichnikov, J. Magn.

честве теплоносителя. Авторы работы [39] предска-

Magn. Mater. 122, 227 (1993).

зали усиление теплообмена за счет термомагнитной

конвекции в 2-4 раза.

14.

F. Gazeau, C. Baravian, J.-C. Bacri et al., Phys. Rev.

E 56, 614 (1997).

15.

A. F. Pshenichnikov

and

A. V. Lebedev,

Благодарности. Авторы благодарят заведую-

Magnetohydrodyn. 36, 254 (2000).

щего лаборатории ¾Динамика дисперсных систем¿

ИМСС УрО РАН А. С. Иванова за интерес к ра-

16.

M. I. Shliomis, Phys. Rev. Fluids 6, 043701 (2021).

боте и помощь в синтезе базового образца ферро-

17.

В. П. Исаченко, В. А. Осипова, А. С. Сукомел, Теп-

жидкости, старшего научного сотрудника ИМСС

лопередача, Москва, Энергия (1975).

УрО РАН А. В. Лебедева, любезно предоставивше-

го результаты магнитогранулометрического анали-

18.

M. I. Shliomis and B. L. Smorodin, J. Magn. Magn.

Mater. 252, 197 (2002).

за, и доцента кафедры ¾Физики фазовых перехо-

дов¿ ПГНИУ В. Г. Гилёва за помощь в реологиче-

19.

P. Matura and M. Lücke, Phys. Rev. E 80, 026314,

ских измерениях.

(2009).

20.

N. V. Kolchanov and G. V. Putin, Int.J. Heat and

Финансирование. Работа выполнена в рам-

Mass Transfer 89, 90 (2015).

ках Программы фундаментальных исследований

21.

H. Rahman and S. Suslov, J. Fluid Mech. 764, 316

Российской академии наук (рег.

№ AAAA-A20-

(2015).

120020690030-5).

22.

A. Gui, L. Khan, S. Shafie et al., PLoS ONE 10,

e0141213 (2015).

23.

S. A. Suslov, Phys.Fluids 20, 084101 (2008).

ЛИТЕРАТУРА

24.

M. S. Krakov, I. V. Nikiforov, and A. G. Reks,

1. Р. Розенцвейг, Феррогидродинамика, Мир, Москва

J. Magn. Magn. Mater. 289, 272 (2005).

(1989).

25.

H. Yamaguchi, X.D. Niu, X. R. Zhang et al., J. Magn.

2. М. И. Шлиомис, УФН 112, 427 (1974).

Magn. Mater. 321, 3665 (2009).

939

М. А. Косков, А. Ф. Пшеничников

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

26.

M. T. Krauzin, A. A. Bozhko, P. V. Krauzin et al.,

46.

Yu. A. Buyevich and A. O. Ivanov, Physica A 190,

J. Magn. Magn. Mater. 431, 241 (2017).

276 (1992).

27.

H. Matsuki, K. Yamasawa, and K. Murakami, IEEE

47.

A. Yu. Zubarev and L. Yu. Iskakova, Physica A 335,

Trans. on Magn. 13, 1143 (1977).

325 (2004).

28.

В. А. Старовойтов, Вестник КузГТУ 2, 20 (2005).

48.

A. S. Ivanov, Phys. Fluids 31, 052001 (2019).

29.

E. Blums, A. Mezulis, and G. Kronkalns, J. Phys.:

49.

А. Ф. Пшеничников, А. В. Лебедев, Коллоид. ж.

Condens. Matter 20, 204128 (2008).

67, 218 (2005).

30.

D. Zablockis,

V. Frishfelds,

and

E. Blums,

50.

N. M. Gribanov, E. E. Bibik, O. V. Buzunov et al.,

Magnetohydrodyn. 45, 371 (2009).

J. Magn. Magn. Mater. 85, 7 (1990).

31.

E. Shojaeizadeh, F. Veysi, H. Habibi et al.,

51.

Н. Б. Варгафтик, Справочник по теплофизиче-

Renewable Energy 176, 198 (2021).

ским свойствам газов и жидкостей, Наука,

32.

E. Shojaeizadeh, F. Veysi, and K. Goudarzi, Appl.

Москва (1972).

Thermal Eng. 164, 114510 (2020).

52.

Н. Б. Дортман, Физические свойства горных пород

33.

R. Zanella, C. Nore, F. Bouillault et al., J. Magn.

и полезных ископаемых (Петрофизика): Справоч-

Magn. Mater. 469, 52 (2019).

ник геофизика, Недра, Москва (1980).

34.

K. Fumoto, H. Yamagishi, and M. Ikegawa,

53.

А. Ф. Пшеничников, А.В. Лебедев, А.В. Радионов

Nanoscale and Microscale Thermophys. Eng.

и др., Коллоид. ж. 77, 207 (2015).

11, 201 (2007).

54.

А. Ф. Пшеничников, А.В. Лебедев, ЖЭТФ 95, 869

35.

W. Lian, Y. Xyan, and Q. Li, Energy Conversion and

(1989).

Management 50, 35 (2009).

55.

T. S. Chow, Phys. Rev. E 50, 1274 (1994).

36.

Y. Xyan and W. Lian, Appl.Therm. Eng. 31, 1487

(2011).

56.

A. V. Lebedev, V. I. Stepanov, and A. A. Kuznetsov

et al., Phys. Rev. E 100, 032605 (2019).

37.

M. Bahirael and M. Handi, Appl. Therm. Eng. 107,

700 (2016).

57.

J. Chong, E. Chriatiansen, and A. Baer, J. Appl.

Polym. Sci. 15, 2007 (1971).

38.

M. H. Buschmann, Int. J. Therm. Sci.

157,

106426

(2020).

58.

R. J. Farris, Trans. Soc. Rheol. 12, 281 (1968).

39.

E. Aursand, M. A. Gjennestad, K. Y. Lervag et al.,

59.

А. Ф. Пшеничников, В. Г. Гилёв, Коллоид. ж. 59,

J. Magn. Magn. Mater. 417, 148 (2016)

372 (1997).

40.

М. А. Косков, А. Ф. Пшеничников, Вестник Перм-

60.

D. N. Basu, Ann.Nucl. Ehergy 132, 603 (2019).

ского университета. Физика 2, 14 (2021).

61.

S. M. Drozdov, J. Fluid Dyn. 36, 26 (2001).

41.

A. F. Pshenichnikov and V. V. Mekhonoshin, Eur.

Phys. J. E 6, 399 (2001).

62.

М. Абрамовиц, И. Стиган, Справочник по специ-

альным функциям с формулами, графиками и

42.

Z. Wang, C. Holm, and H. W. Müller, Phys. Rev. E

таблицами, Наука, Москва (1979).

66, 021405 (2002).

63.

М. А. Косков, Изв. Юго-Зап. гос. ун-та. Техника и

43.

A. O. Tsebers, Magnetohydrodyn. 18, 137 (1982).

технологии 12, 166 (2022).

44.

C. F. Hayes, J. Colloid Interface Sci. 52, 239 (1975).

64.

Л. В. Канторович, В. И. Крылов, Приближенные

45.

А. Ф. Пшеничников, И. Ю. Шурубор, Изв. АН

методы высшего анализа, Физматлит, Москва-

СССР, сер. физ. 51, 1081 (1987).

Ленинград (1962).

940