ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 6 (12), стр. 917-925

УРАВНЕНИЯ ДВУХСКОРОСТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ ДЛЯ

ПОЛЯРНОЙ ФАЗЫ СВЕРХТЕКУЧЕГО³HE В НЕМАТИЧЕСКОМ

АЭРОГЕЛЕ

Е. В. Суровцев^*

Институт физических проблем им. П. Л. Капицы Российской академии наук

119334, Москва, Россия

Поступила в редакцию 6 июля 2022 г.,

после переработки 8 июля 2022 г.

Принята к публикации 11 июля 2022 г.

Проведен последовательный вывод полной системы уравнений гидродинамики для полярной фазы сверх-

текучего³He в нематическом аэрогеле без учета диссипативных процессов. При выводе уравнений пред-

полагалось отсутствие проскальзывания между нормальной компонентой³He и каркасом аэрогеля, что

позволило ограничиться двухскоростным описанием движения. По сравнению с классическим случаем

системы гидродинамических уравнений для сверхтекучего⁴He, полученная система содержит дополни-

тельные уравнения: уравнение сохранения массы аэрогеля, уравнение движения орбитального вектора

параметра порядка полярной фазы, а также вектора, описывающего отклонение орбитального вектора

от мгновенного направления локальной анизотропии аэрогеля. Из-за взаимодействия³He и аэрогеля

тензор потока импульса, входящий в уравнение сохранения полного импульса системы, включает в себя

компоненты тензора напряжений аэрогеля. Показано, что в длинноволновом пределе учет движения ор-

битального вектора параметра порядка полярной фазы приводит к превышению точности.

DOI: 10.31857/S0044451022120124

[2]). В связи с этим возникла необходимость в вы-

EDN: LDWAQE

воде и решении гидродинамических уравнений для

рассматриваемой составной системы (нематический

аэрогель + сверхтекучий³Не в полярной фазе).

1. ВВЕДЕНИЕ

Первое гидродинамическое рассмотрение сверх-

текучей жидкости с внесенными в нее примесями

Нематический аэрогель с высокой степенью ани-

было проведено Халатниковым [4]. Существенным

зотропии (нафен, мулитовый аэрогель), помещен-

для нас является то, что в цитируемой работе при-

ный в³Не, позволяет наблюдать новые фазы сверх-

меси были нескоррелированы (газ примесей). Нали-

текучего³Не, которые возникают в объеме, ограни-

чие корреляций в расположении и ориентации при-

ченном аэрогелем, из-за изменения симметрии си-

месей приводит к возникновению у системы допол-

стемы. Одной из таких фаз является сверхтекучая

нительной упругости, которая дает вклад в энер-

полярная фаза, которая впервые была обнаружена

гию системы и, как следствие, в другие термоди-

в экспериментах по ядерному магнитному резонан-

намические величины. Гидродинамические уравне-

су [1]. Интерес представляет изучение сверхтекучих

ния для простейшего случая изотропной сверхте-

свойств рассматриваемой системы, которые прояв-

кучей жидкости (случай⁴He) в изотропном аэро-

ляются в экспериментах по колебанию аэрогеля в

геле были впервые записаны в работе [5], но полу-

ячейке со сверхтекучим³Не [2, 3]. В рассматрива-

чены они были эвристически без какого-либо выво-

емой серии экспериментов наблюдалось две моды

да и не учитывали сдвиговую упругость аэрогеля.

колебаний, одна из которых возникает только после

В работе [6] авторы использовали результат рабо-

перехода³Не внутри аэрогеля из нормального состо-

ты [5] для описания эксперимента по распростра-

яния в сверхтекучее (полярную фазу, как в статье

нению звука в кремниевом аэрогеле заполненном

сверхтекучим³He. Особенностью данной задачи яв-

^* E-mail: e.v.surovtsev@gmail.com

ляется то, что сверхтекучие фазы³Не описывают-

917

Е. В. Суровцев

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

ся нетривиальным параметром порядка. Гидроди-

нения непрерывности, будут получены посредством

намика анизотропной сверхтекучей жидкости суще-

выделения полной дивергенции в выражении для

ственно зависит от вида параметра порядка, так как

частной производной энергии единицы объема по

гидродинамическими переменными помимо сверхте-

времени. Однозначность процедуры задается с по-

кучей скорости могут являться и другие простран-

мощью галилеевского преобразования энергии, им-

ственные градиенты величин, описывающих нару-

пульса и потока импульса для рассматриваемой си-

шение симметрии сверхтекучей фазы. Феноменоло-

стемы. В конце статьи будет рассмотрен вопрос о

гический вывод линейных гидродинамических урав-

линеаризации полученных уравнений в случае ма-

нений для сверхтекучих полярной, А-фазы и B-

лых деформаций.

фазы³Не в нематическом аэрогеле был проведен

в работе Плайнера и Бранта [7]. Аналогичный вы-

вод для β-фазы, возникающей в рассматриваемой

2. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

системе в сильных магнитных полях, был рассмот-

И ОБОБЩЕННЫЕ СИЛЫ

рен теми же авторами в работе [8]. Несмотря на

идейно правильный подход, найденная в статье си-

Прежде всего выпишем гидродинамические пе-

стема уравнений получилась неоправданно громозд-

ременные, которые есть у рассматриваемой си-

кой и содержащей некоторые неточности, связанные

стемы, и соответствующие им термодинамические

со спецификой рассматриваемой системы. В част-

силы. Будем рассматривать аэрогель как упру-

ности, в написанной системе уравнений отсутству-

гую сплошную среду с равновесной плотностью

ет уравнение сохранения массы примесей (аэроге-

ρ^0a. Ось анизотропии аэрогеля (усредненное на-

ля). Как следствие, химический потенциал, кото-

правление нитей аэрогеля) определим вектором

рый входит в уравнение сохранения потенциально-

ν⁽⁰⁾ⁱ (противоположные направления эквиваленты).

сти движения, вычисляется как производная энер-

Изменение положения аэрогеля в пространстве и

гии по полной плотности системы (с учетом массы

его деформацию определим векторным полем ло-

аэрогеля), что противоречит смыслу сверхтекучей

кальных смещений u_i(r, t) и тензором деформа-

скорости, как отдельного движения жидкости. Ав-

ций u_ij

= 1/2(∂_iu_j + ∂_ju_i + 2∂_iu_k∂_ju_k), который

торы также не вполне корректно ввели в уравне-

в случае малых деформаций упрощается до вида

ния тензор упругости аэрогеля, что привело к по-

uij = 1/2(∂iuj + ∂jui). Изменения вектора u име-

явлению в их рассмотрении лишних феноменоло-

ет смысл рассматривать только на расстояниях, го-

гических коэффициентов. Помимо этого, уравнения

раздо больших характерных микромасштабов в си-

сильно усложняются при учете неоднородностей ор-

стеме (к примеру, расстояние между нитями аэроге-

битальной части параметра порядка. Учет данных

ля, длина когерентности сверхтекучей фазы). Eсли

неоднородностей приводит к превышению точности

³He внутри аэрогеля находится в нормальном состо-

рассматриваемого авторами линейного приближе-

янии, гидродинамическими переменными являются

ния. Наконец, уравнение изменения энтропии напи-

плотность жидкости ρ_l, плотность аэрогеля ρ_a, эн-

сано с очевидной ошибкой (нулевой ток энтропии

тропия единицы объема s, плотность потока веще-

в бездиссипативном режиме). Таким образом, пред-

ства j и тензор деформации аэрогеля u_ij. При пере-

ставленный в статье вывод не является вполне обос-

ходе³He внутри аэрогеля в сверхтекучее состояние у

нованным и требует уточнения.

системы появляются дополнительные гидродинами-

В настоящей работе будет проведен последова-

ческие переменные, связанные с пространственны-

тельный вывод полной системы гидродинамических

ми градиентами величин, описывающих спонтанное

уравнений для полярной фазы сверхтекучего³He

нарушение симметрии системы. Параметром поряд-

в нематическом аэрогеле без учета процессов зату-

ка полярной фазы является комплексная матрица

хания. Идейно предложенный вывод будет соответ-

3 × 3 вида A_µj ∼ e^iϕd_µm_j, где d_µ, m_j единичные

ствовать тому, как это делается для нематических и

векторы в спиновом и орбитальном пространствах

смектических кристаллов в книге [9] и для обычной

соответственно, поэтому дополнительными гидро-

сверхтекучей жидкости [10]. Для всех гидродинами-

динамическими переменными будут сверхтекучая

ческих переменных, возникающих в задаче, будут

скорость (v_s)_i ∼ ∇_iϕ и градиент спинового векто-

написаны либо уравнения непрерывности (для со-

ра параметра порядка ∇_id_j , который мы в дальней-

храняющихся величин), либо феноменологические

шем, однако, рассматривать не будем, считая связь

уравнения движения (для оставшихся векторых ве-

с другими гидродинамическими переменными сла-

личин). Выражения для потоков, входящих в урав-

бой (пренебрежение слабым спинорбитальным вза-

918

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Уравнения двухскоростной гидродинамики. . .

имодействием). Особенностью полярной фазы, воз-

где вектор N_j является линейной комбинацией ве-

никающей в нематических аэрогелях, является то,

личин ∇_iT , ∇_kσ_ik, Δ_i и т.д. и определяет скорость

что направление орбитального вектора m задает-

проскальзывания аэрогеля относительно жидкости,

ся направлением оси анизотропии аэрогеля, поэто-

а коэффициенты η зависят от вязкости гелия. Гра-

му у системы нет непрерывного вырождения по на-

диенты обобщенных сил, входящих в выражение

правлению m. В силу указанного взаимодействия,

для N_j, инвариантны относительно инверсии вре-

а также того, что градиентная энергия сверхтеку-

мени, поэтому второй член в уравнении (2) связан с

чей фазы является функцией не только ∇_im_j, но и

диссипативными процессами в жидкости, которыми

направления m_i, необходимо включить в рассмотре-

мы в рассматриваемом приближении пренебрегаем.

ние обе данные переменные: ∇_im_j и m_i. Для описа-

Применимость нашего приближения ограничивает-

ния энергии анизотропии, возникающей в сверхте-

ся малыми частотами, при которых можно считать,

кучем состоянии из-за указанного выше взаимодей-

что аэрогель полностью увлекает нормальную ком-

ствия с аэрогелем, удобно ввести дополнительную

поненту жидкости при движении. Можно сформу-

переменную δ_i = m_i - ν_i, где мы предположили, что

лировать последнее условие как малость среднего

в равновесии направления ν(r) и m(r) совпадают.

расстояния между нитями аэрогеля по сравнению с

Рассмотрение в качестве независимой переменной

вязкой глубиной проникновения³He для рассматри-

градиента вектора локальной анизотропии аэроге-

ваемых характерных частот движения.

ля ν(r) привело бы к учету пространственных про-

Выпишем некоторые очевидные соотношения,

изводных следующих порядков от поля локальных

определяющие обобщенные силы для рассматрива-

смещений u(r, t). Указанный набор переменных пол-

емой системы. В системе отсчета, где сверхтекучая

ностью описывает состояние системы.

компонента жидкости покоится, плотность потока

Определим обобщенные силы, связанные с вве-

массы можно записать в виде

денными выше переменными, через дифференциал

j⁽⁰⁾ⁱ = (ρ_aδ_ij + (ρ_n)_ij)((v_n)_j - (v_s)_j),

(3)

энергии единицы объема тела в лабораторной систе-

где тензор (ρ_n)_ij определяет величину нормальной

ме отсчета:

компоненты плотности жидкости в направлении со-

ответствующего движения. Определение нормаль-

dε = T ds + µ_ldρ_l + µ_adρ_a + (v_n)_idj_i+

ной плотности жидкости следует уточнить. Заме-

+ (g_s)_id(v_s)_i + σ_ikd(u_ik -

δ_iku_ll) + Δ_idδ_i+

тим, что в силу неоднородности системы, связан-

ной с нитями аэрогеля, компоненты тензора (ρ_n)_ij

+ X_idm_i + L_ijd∇_im_j,

(1)

для направлений, перпендикулярных оси анизотро-

пии аэрогеля, не стремятся к нулю при стремлении

где T температура системы, µ_l химический по-

к нулю температуры. Данное утверждение остает-

тенциал³He, отнесенный к массе атома³He, µ_a

ся верным даже при условии, что нити аэрогеля не

химический потенциал аэрогеля, отнесенный к мас-

подавляют амплитуду параметра порядка. Это яв-

се одной нити аэрогеля, σ_ij бесследовая часть тен-

ляется следствием того, что из-за потенциальности

зора напряжений аэрогеля, (v_n)_i скорость, сопря-

сверхтекучей скорости движение нитей аэрогеля че-

женная к полному потоку вещества, (g_s)_i поток

рез сверхтекучую жидкость приводит к возникнове-

массы, сопряженный к сверхтекучей скорости, Δ_i,

нию у нитей присоединенной массы. Вклад присо-

X_i и L_ij обобщенные силы, сопряженные соответ-

единенный массы в определение тензора нормаль-

ственно к δ_i, m_i и ∇_im_j.

ной компоненты при нуле температур будет порядка

В гидродинамике введенная выше величина v_n

ρ_ld/ξ_a, где d средний диаметр нитей, ξ_a среднее

определяется как импульс единицы массы вещества,

расстояние между нитями аэрогеля. Далее, исполь-

которая в рассматриваемой задаче складывается из

зуя преобразование Галилея для импульса, получим

массы жидкости и аэрогеля в соответствующих про-

выражение для полного тока:

порциях. Отметим также, что энергия предполага-

j_i = (ρ_aδ_ij + (ρ_n)_ij)(v_n)_j + (ρ_s)_ij(v_s)_j,

(4)

ется функцией только двух скоростей v_n и v_s. Ско-

рость u_i, которая определяет усредненную по неко-

(ρ_n)_ij + (ρ_s)_ij = ρ_lδ_ij ,

(5)

торому объему скорость нитей аэрогеля, связана с

где (ρ_s)_ij

тензор сверхтекучей плотности, кото-

(v_n)_i соотношением

рый обращается в нуль в точке сверхтекучего пере-

(

)

хода внутри аэрогеля. Ток, сопряженный сверхтеку-

u_i = (v_n)_i + η_⊥δ_ij + (η_∥ - η_⊥)ν⁽⁰⁾ⁱν⁽⁰⁾

N_j,

(2)

чей скорости, является галилеевским инвариантом и

919

Е. В. Суровцев

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

получается из последнего выражения при переходе

состояний на поверхности Ферми, Δ_P

амплиту-

в систему покоя нормальной компоненты жидкости

да параметра порядка, ξ_s

длина когерентности

и аэрогеля:

сверхтекучего³He, a c₃ ∼ N_F Δ^2P ξ^2sΔ^2P /T^2c, т.е. имеет

следующий порядок малости по амплитуде парамет-

(g_s)_i = (ρ_s)_ij w_j ,

(6)

ра порядка, и поэтому член с c₃ может быть опущен.

где w_j = (v_s)_j - (v_n)_j скорость движения сверхте-

Таким образом, в интересующей нас области темпе-

кучей компоненты по отношению к нормальной.

ратур (удельных энтропий) можно записать

Для дальнейшего будет полезно выделить в хи-

∂F^(0)grad

мических потенциалах части µ^(0)l, µ^a0), относящиеся

X_i =

= (ρ^∥s - ρ⊥s )w_iw_j m_j ,

(12)

∂m_i

к системе отсчета, где жидкость (ее сверхтекучая

компонента) покоится:

∂F^(0)grad

L_ij =

≈ c₁(∇_km_k)δ_ij + c₂∇_im_j.

(13)

∂∇_im_j

v^2s

µ_l = µ^(0)l +

-v_sv_n,

Тензор напряжений аэрогеля в линейном по тензору

(7)

v^2s

деформаций приближении определим через квадра-

µ_a = µ^(0)a +

-v_sv_n.

тичную форму вида

Оставшиеся обобщенные силы выведем, исполь-

u_iju_kl

δF_d = µ_ijkl

(14)

зуя феноменологические представления об энергии

системы, как функции от δ_i, m_i, ∇_im_j , u_ij . Обоб-

где

тензор

µ_ijkl

имеет

симметрию

щенную силу Δ_i легко получить из энергии анизо-

µijkl = µjikl = µijlk = µklij и обладает свойством

тропии, которая для малых углов отклонения имеет

µ_iikl = µ_ijkk = 0. В нашем случае он содержит три

вид

феноменологические константы:

(

)

δF_a = -κ_a(T)(ν_im_i)²,

(8)

γ₂

µ_ijkl =

δ_ikδ_jl + δ_ilδ_jk -

δ_ijδ_kl

κ_a > 0 для нематического аэрогеля. Заметим, что

(

+γ

[δ_ikν^(0)jν^(0)l + δ_jlν⁽⁰⁾ⁱν^(0)k+

δF_a =

κ_aδ_iδ_i - κ_a,

)

поэтому

+δ_jkν⁽⁰⁾ⁱν^(0)l +δ_ilν^(0)jν^(0)k]-ν⁽⁰⁾ⁱν^(0)jν^(0)kν⁽⁰⁾

(

)(

)

Δ_i = κ_aδ_i.

(9)

+γ₅

ν⁽⁰⁾ⁱν^(0)j -

δ_ij

ν^(0)kν^(0)l -

δ_kl

(15)

Для того чтобы найти обобщенные силы X_i и L_ij ,

необходимо написать градиентную энергию сверхте-

Коэффициенты γ_i являются функциями ρ_a, ρ_l и s.

кучего³He, связанную с неоднородностью вектора

Индексы “1” и “3” у коэффициентов γ зарезервиро-

m, и кинетическую энергию в системе отсчета, где

ваны для инвариантов δ_ijδ_kl и (δ_ijν_kν_l +δ_klν_iν_j), ко-

нормальная компонента покоится. Последнее утвер-

торые исключаются из рассмотрения из-за условия

ждение следует из требования галилеевской инвари-

µiikl = µijkk = 0. Помимо рассмотренного вклада,

антности рассматриваемых сил. Итак,

есть (ще линейный )о деформации вклад в энергию,

(0)

αu_ij ν_i

ν^(0)j -¹δij . Таким образом,

w_iw_j

δF⁽⁰⁾

= (ρ_s)_ij

[c₁(∇_im_i)²+

grad

(

)

σ_ij = µ_ijklu_kl + α ν⁽⁰⁾ⁱν⁽⁰⁾

(16)

+ c₂(∇_im_j∇_im_j) + c₃(e_ijkm_i∇_jm_k)²],

(10)

- 3δij

где первый член соответствуют энергии сверхтеку-

где второй член приводит к переопределению неде-

чего тока, а второй энергии текстуры вектора m.

формированного состояния, т.е. описывает измене-

Тензор сверхтекучей плотности для полярной фазы

ние равновесной формы аэрогеля при изменении

дается выражением

удельной энтропии. Коэффициент α также является

функцией s, ρ_a и ρ_l. Положим в дальнейшем α = 0

(ρ_s)_ij = ρ^⊥sδ_ij + (ρ^∥s - ρ^⊥s)m_im_j , ρ^∥s > ρ^⊥s.

(11)

для начального состояния равновесия, так чтобы в

Энергия текстуры вектора m по форме совпадает с

нем σ_ij = 0. Наконец, заметим, что линейный по де-

градиентной энергией нематика. Отметим, что в об-

формации член вида ∼ ũ_ijm_im_j рассматривать не

ласти применимости теории Гинзбурга-Ландау ко-

нужно, так как влияние локальной оси анизотропии

эффициенты c_1,2 ∼ N_F Δ^2P ξ^2s, где N_F плотность

на направление вектора m уже было учтено в (8).

920

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Уравнения двухскоростной гидродинамики. . .

3. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

где vi ≡ ∂ui/∂t. Учитывая формулу перехода от

лагранжевых координат к эйлеровым, можно полу-

Уравнения сохранения имеют для рассматрива-

чить следующее соотношение [11]:

емой системы стандартный вид:

∂u

∂u_ij

∂v_k

+v_k

u_jk +

u_ki = v_ij.

(25)

∂s

∂t

∂x_k

∂x_i

∂x_j

+ ∇_is(v_n)_i = 0,

(17)

∂t

Заметим теперь, что в рассматриваемом приближе-

∂ρ_a

нии мы считаем, что v_i ≡

ui = (vn)i, и поэтому

+ ∇_iρa u_i = 0,

(18)

∂t

. Таким образом, уравнение (25) можно

vij = (vn)ij

∂ρ

рассматривать как уравнение движения для тензора

+ ∇_ij_i = 0,

(19)

∂t

деформаций.

∂j_i

+ ∇_jΠ_ij = 0,

(20)

Уравнение движения для вектора m запишем

∂t

аналогично тому, как это делается для директора

∂(v_s)_i

+ ∇_jφ_ij = 0,

(21)

в нематической фазе жидких кристаллов. Без учета

∂t

релаксационного члена имеем

∂ε

+ ∇_iQ_i = 0,

(22)

∂m_i

∂t

+ (v_n)_j ∇_j m_i = Ω_ij m_j +

∂t

где первое уравнение это закон сохранения энтро-

+λ_m(δ_ij - m_im_j)m_k(v_n)_jk,

(26)

пии (в отсутствие затухания), второе и третье вы-

где

ражают законы сохранения массы аэрогеля и пол-

)

(∂(v_n)_i

∂(v_n)_j

ной массы в произвольном объеме системы соответ-

Ω_ij =

∂x_j

∂x_i

ственно, четвертое уравнение

закон сохранения

описывает скорость локального поворота системы,

импульса, пятое закон сохранения сверхтекучей

а λ_m феноменологический коэффициент, имею-

скорости, шестое закон сохранения энергии. По-

щий кинематическую природу [9]. Наконец, послед-

следнее уравнение должно удовлетворяться автома-

нее необходимое уравнение движения это урав-

тически. Вместо уравнения сохранения полной мас-

нение для вектора δ_i, который определяет разницу

сы можно пользоваться уравнением сохранения мас-

между направлением локальной анизотропии аэро-

сы жидкости, которое получается при вычитании

геля и направлением орбитальной части парамет-

(18) из (19) при условии равенства u_i и (v_n)_i:

ра порядка. Для получения необходимого уравне-

∂ρ_l

ния запишем сначала уравнение, аналогичное урав-

+ ∇_i((ρ_s)_ij(v_s)_j + (ρ_n)_ij(v_n)_j) = 0.

(23)

нению для m, только для направления локальной

∂t

анизотропии аэрогеля:

Тензоры потока импульса и сверхтекучей скорости

∂ν_i

Π_ij и φ_ij, а также вектор потока энергии мы найдем

+ (v_n)_j ∇_j ν_i =

∂t

далее с помощью стандартной процедуры. Поми-

= Ω_ijν_j + λ_ν(δ_ij - ν_iν_j)ν_k(v_n)_jk.

(27)

мо законов сохранения нам необходимы будут урав-

нения, описывающие движение остальных перемен-

Здесь λ_ν феноменологический коэффициент, ана-

ных: тензора деформаций и векторов m_i и δ_i.

логичный λ_m. При написании данного уравнения

Для того чтобы найти уравнение, описывающее

мы опять учли приближение отсутствия проскаль-

изменение тензора деформации во времени, заме-

зывания, т.е. что скорость u_i равна скорости (v_n)_i.

тим следующее: при рассмотрении статических де-

Используя уравнения (26) и (27), получим уравне-

формаций в теории упругости используется тензор

ние для вектора δ_i. Для этого вычтем из (26) уравне-

деформаций (упругости) записываемый в координа-

ние (27) и умножим полученное равенство на m_i -ν_i,

тах Лагранжа, т.е. в координатах, соответствующих

тогда после очевидных преобразований имеем

недеформированному телу. В то же время в гидро-

∂_t(m - ν)^2j/2 + (v_n)_i∇_i(m - ν)^2j/2 =

динамике используются эйлеровы координаты, по-

этому в нашем случае необходимо писать и тензор

= -λ_m(ν_j - m_j(ν_lm_l))(v_n)_jkm_k -

деформации в них же. Для начала введем тензор

-λ_ν(m_j - ν_j(ν_lm_l))(v_n)_jkν_k.

(28)

скоростей деформаций согласно определению

Поскольку введение вектора δ_i оправдано только

)

(∂v_i

∂v_j

для малых отклонений из равновесия, правую часть

v_ij =

(24)

∂x_j

∂x_i

последнего равенства можно упростить до вида

921

ЖЭТФ, вып. 6 (12)

Е. В. Суровцев

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

δ_jδ_j

дивергенции потока энергии. Используя соотноше-

∂_t

+ (v_n)_i∇_i

= (λ_m - λ_ν )δ_j (v_n)_jkν^0k.

(29)

ние (1), запишем частную производную энергии по

времени и подставим вместо частных производных

Таким образом, в отсутствие затухания динамика

переменных их выражения из уравнений (17)-(21),

вектора δ_i возникает только при условии различия

(25), (26), (30):

кинематических коэффициентов λ_m и λ_ν и опреде-

ляется уравнением

∂ε

∂s

∂ρ_a

∂ρ_l

+µ_a

+µ_l

∂_tδ_j + (v_n)_i∇_iδ_j = (λ_m - λ_ν)(v_n)_jkν^0k.

(30)

∂t

∂j_i

∂(v_s)_i

+ (v_n)_i

+ (g_s)_i

Отметим, что линеаризованное по малым отклоне-

∂t

ниям уравнение имеет решение

∂ũ_ik

∂δ_i

∂m_i

∂∇_im_j

+σ_ik

+Δ_i

+X_i

+L_ij

∂t

δ_i = (λ_m - λ_ν)u_ikν^0k,

(31)

= T(-∇_is(v_n)_i) + µ_a(-∇_i(ρ_a(v_n)_i))+

+ µ_l(-∇_i(ρ_l(v_n)_i + (ρ_s)_ijw_j)+

где мы учли, что в отсутствие деформации δ_i = 0.

∂u_ij

∂(v_n)_k

+ σ_ij[(v_n)_ij - (v_n)_k

u_jk -

u_ki]+

∂x

∂x_i

∂x_j

4. ЗАМЫКАНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

(v_n)_i(-∇_j Π_ij ) + (ρ_s)_ikw_k(-∇_j φ_ij )+

+ Δ_i[(λ_m - λ_ν)(v_n)_ijν^0j - (v_n)_j∇_jδ_i]+

Для того чтобы система уравнений (17)-(21),

(25), (26), (30) была замкнутой, необходимо найти

+X_i[Ω_ijmj +λ_m(δij -m_im_j)m_k(v_n)jk -(v_n)_j∇_jm_i]+

выражения для потоков Π_ij и φ_ij через введенные

+ L_ij∇_i[Ω_jkm_k + λ_m(δ_jk - m_jm_k)m_p(v_n)_kp-

переменные и соответствующие им обобщенные си-

- (v_n)_k∇_km_j ],

лы. Для дальнейшего вывода нам потребуется опре-

деление давления как частной производной полной

где при подстановке частной производной тензора

энергии системы по объему в системе отсчета, где

деформаций мы воспользовались тем, что

жидкость покоится:

)

∂ũ_ik

∂u_ik

(∂(V ε⁽⁰⁾)

σ_ik

=σ_ik

p=-

∂t

∂V

M_l,Ma,S,P⁽⁰⁾,mi,δi,ũik,∇imk

(32)

Выделим теперь в написанном выражении полную

(∂(ε⁽⁰⁾))

= -V

-ε₀.

производную вида

∂V

M_l,Ma,S,P⁽⁰⁾,mi,δi,ũik,∇imk

- ∇_i[(Ts + µ_aρ_a + µ_lρ_l)(v_n)_i+

Здесь M_a

масса аэрогеля, M_l

масса

³He

внутри аэрогеля, S

полная энтропия, P⁽⁰⁾

+ φ_ij(ρ_s)_jk[(v_s)_k - (v_n)_k]-

полный импульс в системе покоя жидкости,

- (ρ_s)_ij [(v_s)_j - (v_n)_j ](v_n)_k(v_s)_k + Π_ij (v_n)_j -

ũik = uik - (1/3)δikull. Из постоянства массы Ma

- L_ij[Ω_jkm_k + λ_m(δ_jk - m_jm_k)m_p(v_n)_kp]].

(35)

следует, что -V ∂(ρ_a)/∂V = ρ_a и т.п., откуда следует

выражение для давления вида

Оставшиеся члены сначала сгруппируем следую-

щим образом:

p = -ε⁽⁰⁾ + Ts + µ^(0)aρ_a + µ^(0)lρ_l - j⁽⁰⁾ⁱw_i,

(33)

v^2s

а для дифференциала давления имеем соответствен-

∇_j(g_s)_i[(-µ^(0)l -

)δ_ij + φ_ij ]-

но

- (ρ_s)_ij w_j ∇_i[(v_s)_k(v_n)_k]+

dp = sdT + ρ_adµ^(0)a + ρ_ldµ^(0)l - j⁽⁰⁾ⁱdw_i-

+ (v_n)_i[s∇_iT + ρ_a∇_iµ^(0)a + ρ_l∇_iµ^(0)l+

- σ_ijdũ_ij - X_idm_i - Δ_idδ_i - L_ijd∇_im_j.

(34)

+ (ρ_aδ_jk + (ρ_n)_jk)w_k∇_iw_j -

-σ_jk∇_iũ_jk -Δ_j∇_iδ_j -X_j∇_im_j -L_jk∇_i∇_jm_k

Найдем теперь явные выражения для тензоров

v^2s

потока импульса, сверхтекучей скорости и потока

+ (v_n)_i{(ρ_a + ρ_l)∇_i(

- (v_s)_j (v_n)_j )-

энергии. Для этого воспользуемся стандартной про-

- (ρ_aδ_jk + (ρ_n)_jk)w_k∇_iw_j }+

цедурой, согласно которой необходимо свести част-

ную производную энергии единицы объема к полной

+ ∇_i(v_n)_j[Π_ij + σ_ij - u_ikσ_jk - u_jkσ_ik+

922

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Уравнения двухскоростной гидродинамики. . .

(

)

Π_ij - Π_ji = ∇_k(m_iL_kj - m_jL_ki),

(39)

(λ_m - λ_ν )

Δ_iν^0j + Δ_jν⁰ⁱ

(X_im_j -

X_jm_i)+

тогда, воспользовавшись стандартной процедурой

λ_m(

X_im_j +

X_jm_i)-

симметризации [9], в итоге получим

−λ_m(

X_km_k)m_im_j - L_ik∇_jm_k],

(36)

(0)

Π_ik = Π^0ik + j_i

(v_s)_k + j^(0)k(v_s)_i+

где

X_i = X_i - ∇_jL_ji. Для химических потенциалов

+(ρ_l + ρ_a)(v_s)_i(v_s)_k,

была использована формула (7). Далее можно легко

показать, что симметричный тензор ∇_i(v_s)_k в вы-

Π^0ij = pδ_ij - σ_ij + ũ_ikσ_jk + ũ_jkσ_ik - σ^mij-

κ_a

(

)

ражении (36) сворачивается с антисимметричным

(λ_m - λ_ν )

δ_iν^0j + δ_jν⁰ⁱ

тензором (ρ_s)_kjw_j(v_n)_i -(ρ_s)_ijw_j(v_n)_k, а оставшиеся

(40)

члены, пропорциональные тензору ∇_i(v_n)_j , приво-

+{ρ_a + ρ_l}w_iw_j+

дятся к виду

(1 - λ_m)(ρ^∥s - ρ^⊥s)w_km_k{w_im_j + w_j m_i}+

{

- ∇_i(v_n)_j (ρ_s)_ik(v_s)_k(v_s)_j+

+λ_m(ρ^∥s - ρ^⊥s)(w_km_k)²m_im_j,

+ {ρ_aδ_jk + (ρ_n)_jk}(v_n)_k(v_n)_i-

где σ^mij симметричный тензор вида

}

- (ρ_s)_ik(v_n)_k(v_s)_j + (ρ_s)_jk(v_n)_k(v_s)_i

σ^mij = -

(L_jk∂_im_k + L_ik∂_j m_k)-

Согласно (34) выражение, на которое умножается

(v_n)_i в (36), равно ∇_ip. Выделим из данного чле-

∂_k[(L_ij + L_ji)m_k - L_jkm_i - L_ikm_j],

(41)

на полную дивергенцию, и заметим, что поскольку

рассматриваются только обратимые процессы, ко-

а выражение для X_i было подставлено из (12). Как

эффициенты перед ∇_j(v_n)_i и ∇_j(g_s)_i должны тож-

и должно было быть, тензор потока импульса при

дественно обратиться в нуль. Из данных двух урав-

галилеевском преобразовании меняется аналогично

нений мы в итоге получим выражения для тензоров

случаю изотропной сверхтекучей жидкости. Взаи-

Π_ij и φ_ij:

модействие сверхтекучей системы с аэрогелем за-

v^2s

ключается в появлении дополнительной плотности

φ_ij = (µ^(0)l +

)δ_ij ,

(37)

ρ_a в определении j⁽⁰⁾ⁱ, а также в появлении в вы-

ражении для потока импульса тензора напряжений

аэрогеля. Отметим также, что согласно введенному

Π_ij = pδ_ij + (ρ_s)_ik(v_s)_k(v_s)_j+

определению давление включает в себя зависимость

+ (ρ_aδ_jk + (ρ_n)_jk)(v_n)_k(v_n)_i-

от плотности аэрогеля (аналог парциального давле-

- (ρ_s)_ik(v_n)_k(v_s)_j + (ρ_s)_jk(v_n)_k(v_s)_i-

ния в смеси газов). Наконец, итоговое выражение

-σ_ij +ũ_ikσ_jk +ũ_jkσ_ik-

для потока энергии имеет вид

(

)

(λ_m - λ_ν )

Δ_iν^0j + Δ_jν⁰ⁱ

Q_i = (Ts + µ_aρ_a + µ_lρ_l - p)(v_n)_i + µ_l(g_s)_i+

−

(X_im_j -

X_jm_i) -

λ_m(

X_im_j +

X_jm_i)+

+ Π_ij(v_n)_j - L_ij[Ω_jkm_k+

+ λ_m(δ_jk - m_jm_k)m_p(v_n)_kp].

(42)

+λ_m(

X_km_k)m_im_j + L_ik∇_jm_k.

(38)

Тензор Π_ij можно привести к симметричному ви-

После определения тензоров Π_ij и φ_ij можно го-

ду, так как у полярной фазы нет вектора, описы-

ворить о замкнутой системе нелинейных уравнений

вающего спонтанный орбитальный момент. В рас-

(17)-(21), (25), (26), (30), которая описывает сов-

сматриваемом в задаче приближении (имеется в ви-

местные движения аэрогеля, нормальной и сверх-

ду вид тензора L_ij вблизи T_c, выражения для силы

текучей компонент жидкости. В случае малых де-

X_i и тензора сверхтекучей плотности (ρ_s)_ij) данное

формаций уравнения могут быть существенно упро-

действие можно проделать непосредственно. Легко

щены. Во-первых, в выражении для потока импуль-

показать, что антисимметричную часть тензора Π_ij

са можно пренебречь членами ũ_ikσ_jk, ũ_jkσ_ik. Во-

можно представить в виде дивергенции от тензора

вторых, заметим, что левые части уравнений (26),

третьего ранга, антисимметричного по двум остав-

(30) можно линеаризовать по параметру u/L, где L

шимся индексам:

923

Е. В. Суровцев

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

характерный масштаб пространственного измене-

учитывая, что между аэрогелем и нормальной ком-

ния гидродинамичесих переменных, u характер-

понентой жидкости нет проскальзывания, получим

ная амплитуда смещения. Тогда δ_i становится ли-

следующие условия непрерывности на границе аэро-

нейной функцией деформации, а член в потоке им-

геля:

пульса, содержащий данную переменную, приводит-

(g_s)_in_i = const,

(48)

ся к виду

µ_l = const,

(49)

κ_a

(

)

(λ_m - λ_ν )²

u_ikν^0kν^0j + u_jkν^0kν⁰ⁱ

(pδ_ij - σ_ij )n_j = const.

(50)

который имеет ту же тензорную структуру, что и

Заметим, что в работе [12] было показано, что

член, пропорциональный γ₄, в σ_ij . Данная перенор-

при потенциальном обтекании аэрогеля сверхтеку-

мировка коэффициента γ₄ возникает при переходе в

чей жидкостью фаза параметра порядка является

полярную фазу, так как κ_a ∼ Δ^2P . Также покажем,

непрерывной функцией на границе аэрогеля в слу-

что в рассматриваемом приближении учет неодно-

чае слабой неоднородности модуля параметра по-

родности вектора m в энергии приводит к превыше-

рядка в этой области, что не противоречит усло-

нию точности. Действительно, из линеаризованного

вию (49). Из непрерывности потока энтропии сле-

уравнения (26),

дует также, что

∂m_i

(v_n)^outin_i = (v_n)ⁱⁿⁱn_i.

(51)

= Ω_ijm^(0)j + λ_m(δ_ij - m0i m^(0)j)m^(0)kv_jk,

(43)

∂t

При сделанных предположениях уравнение непре-

следует, что

рывности потока энергии выполняется автоматиче-

ски. Дополнительно отметим, что при выводе урав-

∂_jm_i =

∂_j (∂_iu_k - ∂_ku_i)m^(0)k+

нений делалось предположение о сохранении пол-

ной массы жидкости, заключенной внутри аэроге-

+ λ_m(δ_il - m⁰ⁱm^(0)l)m^(0)k∂_ju_lk.

(44)

ля. Поэтому, так как в рассматриваемом приближе-

В теории упругости рассматриваются только длин-

нии нормальная компонента жестко связана с кар-

новолновые возмущения, поэтому в рассматривае-

касом аэрогеля, сверхтекучие токи на границе аэро-

мом приближении ∂_j m_i является малой величиной

геля должны удовлетворять дополнительному усло-

следующего порядка по пространственному гради-

вию

∮

енту вектора смещения. Из сравнения соответству-

(g_s)_in_idS = 0,

ющих градиентных членов в выражении для энер-

гии следует, что малым параметром разложения яв-

где dS элемент поверхности аэрогеля.

ξ^2s

ляетсяNf Δ

, где c_a

скорость звука в аэроге-

ρac^a

L²

ле. Заметим, что здесь малой величиной помимо от-

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

, ко-

c²

торая показывает, что вкладом в жесткость систе-

Подытожим полученные результаты: нами полу-

мы сверхтекучей компоненты можно пренебречь. Из

чена система гидродинамических уравнений для по-

сказанного выше следует, что в выражениях для по-

лярной фазы сверхтекучего³He в одноосном нема-

тока импульса и потока энергии можно пренебречь

тическом аэрогеле, которая включает в себя урав-

членами с σ^mij, поэтому уравнения (17)-(25) можно

нения для переменных s, ρ_a, ρ_l, v_s, j_i, u_ij , m_i и δ_i.

решать независимо от уравнения (26).

В линейном приближении движение орбитального

В качестве граничных условий к написанным

вектора m_i, определяющего направление орбиталь-

уравнениям можно использовать требование непре-

ной части параметра порядка, не входит в уравне-

рывности потоков через границу аэрогеля:

ния для остальных гидродинамических переменных,

а переменная δ_i становится линейной функцией тен-

jⁱⁿⁱn_i = j^outin_i,

(45)

зора деформаций, что приводит к перенормировке

φ^inijn_j = φ^outijn_j,

(46)

коэффициента γ₄ в тензоре напряжений системы.

Таким образом, в этом приближении гидродинами-

Π^inijn_j = Π^outijn_j,

(47)

ческие уравнения для полярной фазы по форме ни-

где n_i

внешняя нормаль к поверхности аэроге-

чем не отличаются от уравнений для изотропной

ля, а все потоки вычисляются в системе, где аэро-

сверхтекучей жидкости в том же аэрогеле за исклю-

гель покоится. В линейном приближении, а также

чением замены сверхтекучей плотности (скаляра) в

924

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Уравнения двухскоростной гидродинамики. . .

изотропном случае на тензор сверхтекучей плотно-

Благодарности. Автор признателен Л.А.

сти в случае полярной фазы. Так как в рассматри-

Мельниковскому, И.А. Фомину и А.Н. Юдину за

ваемом приближении отсутствует проскальзывание

полезные комментарии.

между нормальной компонентой³He и аэрогелем,

Финансирование. Исследование выполнено

то плотность тока массы является линейной функ-

при финансовой поддержке Российского научного

цией от производной по времени от вектора смеще-

фонда (проект №18-12-00384).

ния u_i и сверхтекучей скорости (v_s)_i. Поэтому в ка-

честве независимых переменных можно рассматри-

вать s, ρ_a, ρ_l, v_s и u_i, причем уравнение сохранения

ЛИТЕРАТУРА

импульса является уравнением второго порядка по

пространственным и временным производным век-

V. V. Dmitriev, A. A. Senin, A. A. Soldatov, and

тора смещения u_i. Отметим, что из-за взаимодей-

A. N. Yudin, Phys. Rev. Lett. 115, 165304 (2015).

ствия аэрогеля и³Не сохраняется полный импульс

В. В. Дмитриев, М. С. Кутузов, А. А. Солдатов,

системы, т.е. происходит передача импульса от аэро-

геля к³Не. Данный факт отражен в том, что тензор

Е. В. Суровцев, А. Н. Юдин, Письма в ЖЭТФ

потока импульса содержит компоненты тензора на-

112, 820 (2020).

пряжений аэрогеля. Таким образом, колебательный

V. V. Dmitriev, M. S. Kutuzov, A. A. Soldatov, and

спектр системы должен включать в себя совместные

A. N. Yudin, Phys. Rev. Lett. 127, 265301 (2021).

колебания каркаса аэрогеля и сверхтекучего³He.

Исследование данного вопроса требует отдельного

И. М. Халатников, ЖЭТФ 23, 169 (1952).

рассмотрения.

M. J. McKenna, T. Slawecki, and J. D. Maynard,

Phys. Rev. Lett. 66, 1878 (1991).

Отметим также еще одну деталь, которая отли-

чает данную задачу от рассмотренной Халатнико-

A. Golov, D. A. Geller, and J. M. Parpia, Phys. Rev.

вым: помимо того, что тензор потока импульса со-

Lett. 82, 3492 (1999).

держит компоненты тензора напряжений аэрогеля,

H. R. Brand and H. Pleiner, Phys. Rev. B 102,

химический потенциал жидкости µ^(0)l будет теперь

094510 (2020).

зависеть не только от s, ρ_l и ρ_a, но и от компонен-

ты u_zz тензора деформаций аэрогеля, что обеспе-

H. R. Brand and H. Pleiner, Phys. Rev. B 105,

чивает дополнительную возможность связи между

174508 (2022).

различными колебательными степенями свободы в

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теория упругости,

системе. Граничные условия к написанным урав-

Наука, Москва (2005).

нениям включают в себя требования непрерывно-

сти потоков рассмотренных гидродинамических ве-

10.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Гидродинамика, На-

личин. Поэтому при решении задачи о колебаниях

ука, Москва (2005).

аэрогеля внутри сверхтекучей жидкости необходи-

11.

М. Э. Эглит, Лекции по основам механики сплош-

мо также добавить в рассмотрение задачу о движе-

ных сред, Ленанд, Москва (2020).

нии сверхтекучей жидкости вокруг аэрогеля с за-

данными граничными условиями на бесконечности.

12.

Е. В. Суровцев, ЖЭТФ 160, 553 (2021).

925