ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 6 (12), стр. 909-916

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЧЕТЫРЕХКОМПОНЕНТНОЙ МОДЕЛИ

ПОТТСА НА ГЕКСАГОНАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ МЕТОДОМ

ВАНГА-ЛАНДАУ С КОНТРОЛИРУЕМОЙ ТОЧНОСТЬЮ

М. А. Фадеева^a*, Л. Н. Щур^b,a**

^a Научно-исследовательский университет ¾Высшая школа экономики¿,

101100, Москва, Россия

^b Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау Российской академии наук

142432, Черноголовка, Московская обл., Россия

Поступила в редакцию 8 июня 2022 г.,

после переработки 8 июня 2022 г.

Принята к публикации 4 июля 2022 г.

Численно исследуется критическое поведение четырехкомпонентной модели Поттса на гексагональной

решетке. Использован модифицированный метод Ванга-Ландау с контролем точности оценки плотности

состояний. Конечномерный анализ полученных результатов подтверждает наличие фазового перехода

второго рода с критическими показателями, соответствующими классу универсальности двумерной че-

тырехкомпонентной модели Поттса.

DOI: 10.31857/S0044451022120112

того, результаты исследования неравновесных си-

EDN: LDVPKK

стем также формулируются на языке универсально-

сти [7]. Таким образом, многочисленные системы с

разнообразными деталями гамильтониана и отличи-

1. ВВЕДЕНИЕ

ями на малых масштабах хорошо классифицируют-

ся набором критических индексов, зависящим лишь

Теория фазовых переходов второго рода пред-

от глобальных свойств гамильтониана. Технически

сказывает классификацию моделей статистической

это можно выразить так, что амплитуда корреля-

физики с ферромагнитным взаимодействием по на-

ционной длины зависит от локальных свойств, но

бору признаков, таких как пространственная раз-

ее убывание на больших расстояниях в окрестности

мерность системы, размерность параметра поряд-

фазового перехода не зависит от локальных свойств

ка и симметрия основного состояния (см., напри-

и поведение на больших расстояниях описывается

мер, [1]). Гипотеза универсальности является след-

универсальной функцией.

ствием подхода к критическим явлениям

тео-

Следует заметить, что не все величины являют-

рии ренормализационой группы, в которой дета-

ся универсальными. Например, значения критиче-

ли гамильтониана не влияют на значения крити-

ских амплитуд универсальных функций не являют-

ческих показателей и на масштабные преобразова-

ся универсальными сами по себе, а лишь их неко-

ния функций [2]. Результаты, полученные с при-

торые комбинации оказываются не зависящими от

менением этой теории, получили подтверждение в

деталей гамильтониана [1]. Следует также с осто-

рамках таких общих теорий, как конформная тео-

рожностью трактовать универсальность в системах

рия поля [3, 4] и стохастическая теория эволюции

с ограниченными размерами, в которых конечность

Шрамма-Левнера [5,6]. Имеется большое число чис-

системы в одном из направлений может давать яв-

ленных исследований, которые воспроизводят кри-

ную зависимость как от размера системы, так и

тические индексы с достаточной надежностью и

от типа граничных условий. Конечно, эти эффек-

не противоречат гипотезе универсальности. Более

ты также являются следствием глобальных влия-

^* E-mail: mafadeeva@hse.ru

ний, поскольку размер системы и тип граничных

^** E-mail: lev@landau.ac.ru

условий ограничивают расходимость корреляцион-

909

М. А. Фадеева, Л. Н. Щур

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

ной длины, за счет чего зависимость от размера си-

метрической перколяции, которая описывается дру-

стемы будет явной. Замечательный пример, это вы-

гим набором критических индексов и другой функ-

ражение для корреляционной длины в модели Изин-

циональной зависимостью корреляционной длины.

га на бесконечной полоске конечной ширины L со

В последние годы появились работы, утвержде-

свободными граничными условиями на краях полос-

ния которых, основанные на численном моделиро-

ки, полученное в статье [8] c помощью конформной

вании, находятся в противоречии с описанной вы-

теории поля [3] ξ(L) ∝ L/π, с явной зависимостью

ше картиной универсальности. В частности, в ста-

корреляционной длины вдоль полоски от ее шири-

тье [13] на основе численного моделирования четы-

ны. Эта зависимость является универсальной при

рехкомпонентной модели Поттса на гексагональной

оговорке ширины полоски и типа граничных усло-

решетке сделано утверждение, что система испыты-

вий.

вает фазовый переход первого рода. Известно, что

Еще одно уточнение универсальности происхо-

модель Поттса с локальным взаимодействием испы-

дит от анизотропии системы [9]. Например, для мо-

тывает фазовый переход второго рода, что показа-

дели Изинга на треугольной решетке с констан-

но аналитически [14, 15], численно [16] и, что особо

той J^′ взаимодействия спинов вдоль одного из на-

важно, экспериментально [17].

правлений решетки и константой взаимодействия

В разд. 3 мы приводим результаты численно-

вдоль двух других направлений J значение куму-

го анализа четырехкомпонентной модели Поттса на

лянта Биндера, которое является некоторой универ-

гексагональной решетке с применением метода пря-

сальной комбинацией критических амплитуд, зави-

мой оценки плотности состояний (DOS), аналогич-

сит явно от параметра анизотропии отношения

но использованному в статье [13]. Отличие состоит в

констант взаимодействия q = J^′/J [10]. Заметим од-

том, что мы использовали для оценки DOS не пря-

нако, что анизотропия взаимодействия это гло-

мой метод Ванга-Ландау [18, 19], а его модифика-

бальная характеристика гамильтониана.

цию [20], потенциально обладающую большей точ-

Заметим также, что в некоторых случаях да-

ностью оценки DOS. Кроме того, мы использова-

же введение примесей может не менять класс уни-

ли для оценки степени сходимости вычислений DOS

версальности. Это можно увидеть на примере хо-

предложенный нами ранее метод [21]. Мы приводим

рошо изученной аналитически и численно двумер-

результаты оценки критических индексов, которые

ной модели Изинга, в которой корреляционная дли-

указывают на то, что четырех компонентная модель

на приобретает аддитивную логарифмическую по-

Поттса на гексагональной решетке не демонстриру-

правку за счет примесей [11], что приводит к ло-

ет отклонения от ожидаемого универсального пове-

гарифмическим поправкам термодинамических на-

дения в классе универсальности четырехкомпонент-

блюдаемых, однако их зависимость от корреляци-

ной модели Поттса. Обратное и ошибочное утвер-

онной длины остается той же функцией, что и в

ждение статьи [13] основано, по-видимому, на отсут-

случае отсутствия примесей. При этом сохраняет-

ствии сходимости оценки DOS к требуемому в силу

ся и универсальность отношения критических ам-

известных дефектов прямого метода Ванга-Ландау,

плитуд их численные значения также характе-

а также в силу использования качественного метода

ризуют класс универсальности [12]. Таким образом,

анализа, не обладающего надлежащей точностью.

при относительно малой концентрации примесей не

В разд. 2 мы подробно излагаем детали моди-

нарушаются глобальные свойства и модель демон-

фицированного метода, использованного нами для

стрирует поведение в классе универсальности дву-

проведения численного исследования.

мерной модели Изинга. При таком подходе можно

также увидеть, что изменение универсального по-

ведения в этой модели может произойти только в

2. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД

окрестности точки перколяционного фазового пере-

ВАНГА-ЛАНДАУ С КОНТРОЛЕМ

хода большая концентрация примесей может при-

СХОДИМОСТИ

вести к реализациям перколяционного геометриче-

ского кластера, что изменит критические свойства

Метод Ванга-Ландау [18] получил широкое рас-

системы, при концентрации примесей более 10 про-

пространение благодаря простоте его реализации

центов проявляется отклонение от универсального

для классических систем с дискретным спектром

поведения модели Изинга за счет смешивания влия-

энергии. Метод дает возможность прямой числен-

ния двух критических областей [12]. Это также про-

ной оценки плотности состояний (точнее, напрямую

явление влияния глобальной характеристики гео-

оценивается энтропия, как будет видно из формули-

910

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Моделирование четырехкомпонентной модели Поттса

ровки метода). Он основан на остроумной эвристи-

с некоторой процентной погрешностью, например

ческой идее оценки принятия перехода между со-

5% [18]; 4) после этого рекомендуется [18] сбросить

стояниями моделируемой системы пропорционально

значения вспомогательной функции H(E_k)

= 0,

отношению текущих плотностей состояний, завися-

уменьшить текущее значение параметра f =

√f,

щих от начальной и конечной энергий. Эту вероят-

откалибровать текущие значения логарифма DOS

ность перехода мы называем вероятностью Ванга-

lg(E_k)

= f lg(E_k), (k

= 1, 2, . . ., N_E), и перейти

Ландау. Статистическая сумма систем с дискрет-

к шагу 2. Процесс завершается по достижении

ным спектром может быть представлена в виде

некоторого выбранного значения параметра f,

например f = exp (10^-8).

∑

Z = g(E_k)e-Ek/kBT ,

(1)

k=1

2.2. Модификация: 1/t-алгоритм

где g(E_k) число состояний (DOS) с энергией E_k,

(k = 1, 2, . . . , N_E ), N_E число уровней энергии, k_B

Для большинства спиновых моделей с дискрет-

постоянная Больцмана и T температура. За-

ным спектром энергии такая процедура приводит

метим, что сама DOS не зависит от температуры,

к неплохой оценке плотности состояний и алгоритм

но ее знание дает возможность получить значения

используется в огромном числе исследований¹⁾. Тем

свободной энергии как функции температуры. Про-

не менее, уже в ранних применениях авторами ме-

изводные свободной энергии по температуре дают

тода было отмечено, что он приводит к некоторой

наблюдаемые термодинамические величины, напри-

конечной точности оценки DOS в несколько процен-

мер, внутреннюю энергию системы и теплоемкость.

тов [23]. Соответственно, для систем относительно

Для получения зависимости свободной энергии от

большого размера результаты для термодинамиче-

других параметров гамильтониана, например маг-

ских функций могут иметь существенные погреш-

нитного поля, необходимо расширенное представле-

ности, в том числе в критической области.

ние статсуммы с плотностью состояний, зависящей

Способ преодолеть такой дефект был предложен

также от магнитного поля. Метод достаточно об-

позднее в работе Беллардинелли и Пирелли [20]

щий. Он может быть применен также в задачах оп-

1/t-алгоритм. Теоретическое обоснование сходимо-

тимизации [22], допускающих представление целе-

сти при применении 1/t-алгоритма было получено

вой функции в виде, аналогичном выражению (1).

в работe Лианга с соавторами [22], основанной на

применении теории стохастической аппроксимации.

Модификация с применением 1/t-алгоритма ос-

2.1. Алгоритм Ванга-Ландау

нована на изменении калибровочного коэффициента

Алгоритм состоит из следующих шагов: 1) ини-

f не по закону квадратного корня, а обратно про-

циируется вспомогательная функция H(E_k)

= 0

порционально времени вычисления f∝1/t, измерен-

и текущее значение логарифма DOS lg(E_k) = 1,

ного в шагах Монте-Карло. Коэффициент пропор-

(k = 1, 2, . . . , N_E ), задается произвольная конфигу-

циональности выбирается из расчета непрерывности

рация системы и вычисляется ее энергия, задается

сшивки двух законов после некоторого числа шагов

начальное значение параметра f = exp(1) (его на-

2-3-4 исходного алгоритма Ванга-Ландау.

значение будет пояснено ниже); 2) любым методом

Монте-Карло разыгрывается возможный переход в

другое состояние (чаще всего используется метод

2.3. Критерий сходимости DOS

Метрополиса [19]); 3) переход из состояния с энер-

При применении модифицированного метода

гией E_k в состояние с энергией E_m принимается с

Ванга-Ландау в принципе возможно получение

вероятностью Ванга-Ландау

(

)

оценки DOS с произвольной точностью. Однако

g(E_k)

для этого приходится платить астрономическим

P_WL(E_k, E_m) = min

(2)

g(E_m)

объемом вычислений, поскольку процесс схождения

где

используется

текущая оценка DOS

оценки к ожидаемой логарифмически медленный.

g(E_k) = exp lg(E_k) и происходит увеличение значе-

ния вспомогательной функции принятого состояния

¹⁾ О распространенности применения метода Ванга-

Ландау свидетельствует, например, такой факт, что на мо-

H (E_k) = H(E_k) + 1 и функции lg(E_k) = lg(E_k) + 1;

мент написания текста нашей статьи на официальном сайте

шаги 2 и 3 повторяются до тех пор, пока вспо-

издательства APS указан список цитирований из более чем

могательная функция H(E_k) не станет “плоской”

2140 статей.

911

М. А. Фадеева, Л. Н. Щур

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Кроме того, заведомо неизвестна оценка сходимости

L=16

DOS.

0.09

10-1

Решение этой проблемы было предложено в на-

0.08

шей статье [21]. Дополнительно вводится в ана-

0.07

лиз матрица T (E_k, E_m) с элементами T (E_k, E_m), ко-

10-3

0.06

торые равны частоте переходов между состояния-

0.05

ми с энергиями E_k и E_m. Для ее оценки на каж-

-5

0.04

дом шаге основного алгоритма Ванга-Ландау до-

0.03

бавляется счетчик числа переходов

T (E_k, E_m) меж-

-7

0.02

ду состояниями с энергией E_k и E_m. Результат ста-

0.01

тьи [22] дает основания полагать, что асимптотиче-

108

109

1010

ски

T (E_k, E_m) приближает T (E_k, E_m). Это предпо-

ложение проверено путем численного моделирова-

Рис. 1. (В цвете онлайн) Зависимость параметра f и кри-

ния моделей Поттса с числом компонент 2, 3 и 4 и

XY -модели в размерностях решеток 1, 2 и 3 и срав-

терия точности δ = |1 - λ1| от шага Монте-Карло t для

расчета четырехкомпонентной модели Поттса на гексаго-

нением с точными результатами в ряде случаев, а

нальной решетке с линейным размером L = 16. Синий

также с аккуратными численными экспериментами

цвет соответствует значениям параметра f, а зеленый

с применением других методов Монте-Карло. Для

значениям критерия точности δ

одномерной модели Изинга матрица была вычисле-

на точно [21].

Во всех случаях аналитических и численных

L = 60

исследований было замечено, что искомая матри-

1.75

ца T (E_k, E_m) является дважды стохастической. Ее

-1

1.50

старшее собственное значение равно единице. Таким

образом, отклонение модуля разницы старшего соб-

1.25

10-3

ственного значения оценочной матрицы

T (E_k, E_m)

1.00

от единицы может быть использовано как критерий

-5

0.75

приближения к желаемой DOS. Вопрос однозначно-

0.50

сти такого значения DOS остается открытым. Од-

-7

0.25

нако удивительный факт того, что начальный этап

0.00

оригинального метода Ванга-Ландау для систем с

109

1010

1011

дискретным спектром приводит к неплохой началь-

ной оценке DOS и доказанный факт того, что в та-

ком случае 1/t-алгоритм приведет к желаемой DOS,

Рис. 2. (В цвете онлайн) Зависимость параметра f и кри-

позволяют полагать такой метод контроля точно-

терия точности δ = |1 - λ1| от шага Монте-Карло t для

расчета четырехкомпонентной модели Поттса на гексаго-

сти оценки DOS достаточно надежным. Более то-

нальной решетке с линейным размером L = 60. Синий

го, в приложении статьи [21] доказано утвержде-

цвет соответствует значениям параметра f, а зеленый

ние о том, что если оценочная матрица

T (E_k, E_m)

значениям критерия точности δ

близка к стохастической, то оценочная DOS близка

к желаемой. Доказательство основано на том фак-

те, что на этапе 2 алгоритма Ванга-Ландау мы ге-

DOS, то матрица переходов будет дважды стохасти-

нерируем случайное блуждание в конфигурацион-

ческой.

ном пространстве, которое удовлетворяет условию

детального баланса. При этом каждый элемент мат-

На рис. 1, 2 показаны примеры изменения па-

рицы переходов T (E_k, E_m) является произведением

раметра f и критерия сходимости δ = |1 - λ₁| от

вероятности Ванга-Ландау на вероятность случай-

шага Монте-Карло t для двух размеров решетки.

ного блуждания в конфигурационном пространстве

На первом этапе параметр f убывает по экспоненци-

из состояния с энергией E_k в состояние с энерги-

альному закону метода Ванга-Ландау [18,19], далее

ей E_m (формула (2) статьи [21]). Дополнительно,

включается степенное убывание по закону 1/t [20].

в статье [21] на примере одномерной модели Изин-

Критерий сходимости δ также убывает по степенно-

га аналитически показано, что если при построении

му закону на заключительной стадии вычислений,

матрицы

T (E_k, E_m) использовать точные значения

хотя и не всегда равномерно.

912

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Моделирование четырехкомпонентной модели Поттса

2.4. Оценки характерных времен алгоритма:

горизонтальной оси приведенных выше графи-

время туннелирования и время

ков зависимости критерия сходимости, рис. 1, 2.

перемешивания

Предварительные оценки характерных времен для

исследуемой нами модели не сильно отличаются

Характерные времена алгоритма Ванга-Ландау

от времен для модели Изинга. Нам важно, что ха-

это время туннелирования (tunelling time) и вре-

рактерные времена растут быстрее, чем четвертая

мя перемешивания (mixing time).

степень линейного размера решетки L.

Время туннелирования связано с начальным эта-

пом алгоритма и характеризует типичное время

при использовании критерия ровности гистограм-

2.5. Детали численного эксперимента

мы. Формально его можно определить как время

Вычисление собственных значений λ₁ и λ₂ мат-

первого достижения одного края энергетического

рицы переходов случайного блуждания с вероятно-

спектра при старте моделирования с другого края

стью Ванга-Ландау T(E_n, E_m) проводилось с помо-

спектра [24]. Это время также называют временем

щью функции dgeev() пакета Intel® oneAPI Math

первого пересечения (first passage time) [25]. По су-

Kernel Library LAPACK [27].

ти, алгоритм Ванга-Ландау основан на случайном

Для случайного выбора спина на шаге 2 алгорит-

блуждании по спектру энергии. Если бы мы не ис-

ма использовался генератор псевдослучайных чисел

пользовали для принятия каждого перехода вероят-

MT19937 из библиотеки [28].

ность Ванга-Ландау P_WL (см. выражение (2)), то у

Количество шагов между проверкой гистограм-

нас было бы случайное блуждание по спектру энер-

гии, т.е. по одномерной решетке с числом узлов L².

мы H(E) на равномерность заполнения 10⁶.

В этом случае время достижения противоположно-

Каждый 1/t-шаг алгоритма выполнялся до тех

го конца спектра (время туннелирования) было бы

пор, пока на третьем шаге выполнения алгоритма

пропорционально квадрату числа уровней энергии,

не будет совершенно как минимум N_E ·10⁸ ≈ 10⁸ ·L²

которое на двумерной решетке растет пропорцио-

шагов.

нально L². Иными словами, свободное случайное

Термодинамические функции (см. выраже-

блуждание по энергетическому спектру нашей мо-

ния (5)-(8)) вычислялись программой Mathematica.

дели дает время туннелирования пропорционально

четвертой степени размера решетки L⁴. Отличие ве-

роятности Ванга-Ландау P_WL от единицы приводит

3. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

в нашем случае к более выраженному росту време-

Гамильтониан модели Поттса имеет вид

ни туннелирования, и численные оценки приводят к

еще более быстрому росту времени туннелирования

1∑

с увеличением размера решетки, и для двумерной

H =-

δσi,σj ,

(4)

модели Изинга t_tun ∝ L^4.8(4).

Второе характерное время, время перемешива-

где суммирование проводится по всем ближайшим

ния, важно на заключительном этапе алгоритма при

соседям и множитель 1/2 учитывает, что каждая

приближении к искомому DOS. Оно определяет-

пара спинов входит в сумму дважды, δ символ

ся [26] разницей первого и второго собственных зна-

Кронекера. В нашем случае σ_i принимает четыре

чений матрицы переходов T (E_k, E_m),

возможных значения.

Вычисление плотности состояний g(E_K)

t_mix ∝

(3)

= 1, 2, . . ., N_E) проводилось на гексагональ-

|λ₂ - λ₁|

ных решетках с линейным числом узлов L = 6, 8,

т.е. щелью в спектре (spectral gap).

12, 16, 24, 30, 36, 48, 54, 60, 62 и 72 (см. рис. 3), на

Численный эксперимент показывает, что время

которой реализуются значения энергии в диапазоне

перемешивания растет с размером решетки L по сте-

от -3/2L² до нуля.

пенному закону t_mix ∝ L^4.28(4) для двумерной моде-

При применения методики, описанной в разде-

ли Изинга.

ле 2, был получен набор численных данных для

Эти оценки показывают, что метод Ванга-

плотности состояний g(E_k) четырехкомпонентной

Ландау требует гигантского количества исполнения

модели Поттса на гексагональной решетке. Эти дан-

шагов Монте-Карло для достижения требуемо-

ные были использованы для вычисления энергии E,

го результата, что можно увидеть из масштабов

теплоемкости C и кумулянта Биндера B_E [29] как

913

М. А. Фадеева, Л. Н. Щур

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

L=6

L=54

L=8

L=60

L=12

L=62

L=16

L=72

L=24

L=30

L=36

L=48

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

Рис.

5. (В цвете онлайн) Температурная зависимость

удельной теплоемкости для нескольких размеров решет-

ки

0.66

L=6

L=54

L=8

L=60

0.65

L=12

L=62

L=16

L=72

0.64

Рис. 3. (В цвете онлайн) Пример используемой при моде-

L=24

лировании гексагональной решетки с линейным размером

L=30

0.63

L = 4. Желтым цветом обозначены дополнительные узлы

L=36

0.62

L=48

для демонстрации организации периодических граничных

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

условий

Рис. 6. (В цвете онлайн) Температурная зависимость ку-

-0.6

L=6

L=54

мулянта Биндера для нескольких размеров решетки

L=8

L=60

-0.7

L=12

L=62

L=16

L=72

-0.8

зависимость максимума удельной теплоемкости от

L=24

линейного размера L.

L=30

-0.9

L=36

Хорошо известно, что модели в этом классе

L=48

универсальности демонстрируют мультипликатив-

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

ные логарифмические поправки к теплоемкости [30].

Конечномерный анализ [31] указывает на такую за-

Рис.

4. (В цвете онлайн) Температурная зависимость

висимость максимума теплоемкости от размера си-

удельной энергии для нескольких размеров решетки

стемы L,

L^b

C_max ∝

[1 + . . .]

(9)

функции обратной температуры β = 1/k_BT по фор-

(ln L)^3/2

мулам

с показателем степени b = α/ν = 1 и сложной комби-

∑_N

E_ig(E_i)e-βEi

нацией логарифмических членов в квадратной скоб-

E(β) = 〈E〉 =∑=0

(5)

g(E_i)e^-βEi

ке²⁾. Здесь α и ν

критические показатели теп-

i=0

∑_N

лоемкости и корреляционной длины [1]. Результат

E²ⁱg(E_i)e-βEi

〈E²〉 =∑ 0

(6)

аппроксимации численных данных по этой форму-

g(E_i)e^-βEi

i=0

ле, приведенный в работе [31], при анализе моде-

C(β) = β²(〈E²〉 - 〈E〉²),

(7)

ли на квадратной решетке дает значение показа-

〈E⁴〉

теля b = 1.044(8), что неплохо согласуется с ана-

B_E(β) = 1 -

(8)

3〈E²〉²

литическим значением. В нашем случае, аналогич-

но, результат аппроксимации максимума теплоем-

Графики энергии E/N и теплоемкости C/N на один

кости хорошо соответствует формуле (9) со значе-

узел, а также графики кумулянта Биндера приве-

нием показателя b = 1.042(15). В статье [31] также

дены соответственно на рис. 4, 5, 6. Число узлов

приводится результат наивной аппроксимации дан-

N =L².

Полученные результаты позволяют оценить зна-

²⁾ Мы не приводим громоздких выражений в скобках. Де-

чения критических амплитуд. На рис. 7 приведена

тали можно найти в статье [31].

914

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Моделирование четырехкомпонентной модели Поттса

нии которого в статье [13] был сделан вывод о фа-

зовом переходе первого рода в исследуемой модели.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы показали, что метод Ванга-Ландау в моди-

фицированным варианте с оценкой точности вычис-

лений может быть с успехом применен к извлече-

нию численных значений критических индексов мо-

дели Поттса с четырехкратным вырожденным ос-

новным состоянием. Также мы показали, что такая

модель на гексагональной решетке демонстрирует

критическое поведение, аналогичное ранее деталь-

но численно исследованной модели на квадратной

Рис. 7. Максимум теплоемкости как функция размера си-

решетке в классе универсальности [31], получившем

стемы. Пунктирная линия

аппроксимация численных

имя модели.

данных

Существенно, что для оценки плотности состо-

яний были использованы два дополнительных ин-

ных степенным законом без логарифмических по-

гредиента. Первый из них, 1/t-метод, позволяет из-

правок, что дает степень b = 0.770(8). Аналогичная

бежать искажений в оценке DOS [20]. Второй, ме-

аппроксимация в нашем случае дает близкое значе-

тод оценки степени отклонения матрицы переходов

ние b = 0.75(1).

от стохастической, позволяет контролировать при-

Также из полученных нами данных для теплоем-

ближение оценки DOS к ожидаемой [21]. Также ва-

кости можно определить зависимость сдвига поло-

жен учет логарифмических поправок к критическо-

жения максимума теплоемкости. Известно, что этот

му поведению [16, 31] при конечномерном анализе

сдвиг зависит от размера решетки [32]

критического поведения термодинамических наблю-

даемых.

ΔT ∝ L^-1/ν

(10)

После завершения исследования мы обнаружи-

ли в текущем номере ЖЭТФ статью [33] авторов из

и определяется показателем корреляционной дли-

того же коллектива, что и статья [13], в которой на

ны ν. Аппроксимация полученных нами данных для

основании анализа этой же модели с помощью кла-

сдвига максимума теплоемкости по формуле (10) да-

стерного метода Монте-Карло сделан вывод о фа-

ет оценку cтепени 0.672(11), что близко к точному

зовом переходе второго рода. При этом результаты

результату ν = 2/3≈0.667. Близкий результат был

ранней работы [13] с противоположным выводом о

получен в работе [31] из численной оценки критиче-

фазовом переходе первого рода не обсуждаются.

ского индекса корреляционной длины.

В отличие от этих работ, в которых выводы сде-

Таким образом, численное исследование кри-

ланы на основании качественного анализа распре-

тического поведения теплоемкости четырехкомпо-

деления энергии, нами проведена численная оцен-

нентной модели Поттса на гексагональной решет-

ка критических индексов и сравнение с результата-

ке модифицированным методом Ванга-Ландау при-

ми анализа других авторов [31]. В статье приведены

водит к результатам, аналогичным численному ис-

и подробно описаны все необходимые детали иссле-

следованию критического поведения четырехкомпо-

дования, что предоставляет возможность верифика-

нентной модели Поттса на квадратной решетке кла-

ции представленных нами результатов.

стерным методом [31]. Этого следовало ожидать,

как и было отмечено в разд. 1.

Благодарности. Вычисления плотности состо-

Положение минимума кумулянта Биндера так-

яний проводились на кластере Manticore (НЦЧ

же может быть использовано для оценки показателя

РАН) и суперкомпьютере cHARISMa (НИУ ВШЭ).

корреляционной длины, но оно затруднено несингу-

Финансирование. Работа М.А.Ф. выполнена

лярными поправками к восприимчивости [16].

при финансовой поддержке Российского фонда

Мы также провели анализ функции распределе-

фундаментальных исследований (грант ¾аспиран-

ния энергии при различных температурах и не на-

ты¿ 20-37-90084).

шли указаний на сосуществование фаз, на основа-

915

М. А. Фадеева, Л. Н. Щур

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

ЛИТЕРАТУРА

18.

F. Wang and D.P. Landau, Phys. Rev. Lett. 86, 2050

(2001).

V. Privman, P.C. Hohenberg, and A. Aharony, in

Phase Transitions and Critical Phenomena, Vol. 14,

19.

F. Wang and, D.P. Landau, Phys. Rev. E 64, 056101

ed. by C. Domb and J.L. Lebowitz, Academic, New

(2001).

York (1991).

20.

R. E. Belardinelli and V. D. Pereyra, Phys. Rev. E

M. Fisher, Rev. Mod. Phys. 46, 597 (1974).

75, 046701 (2007).

A.A. Belavin, A.M. Polyakov, and A.B.

21.

L.Yu. Barash, M.A. Fadeeva, and L.N. Shchur, Phys.

Zamolodchikov, Nucl. Phys. B 241, 333 (1984).

Rev. E 96, 043307 (2017).

Vl. S. Dotsenko and V. A. Fateev, Phys. B 240, 312

22.

F. Liang, C. Liu, and R.J. Carroll, J. Amer. Stat. Ass.

(1984).

102, 305 (2007).

O. Schramm, Isr. J. Math. 118, 221 (2000).

23.

D.P. Landau, private communication.

S. Smirnov, Compt. Rend. Ser 1 333, 239 (2001).

24.

L. N. Shchur, J. Phys.: Conf. Ser. 1252, 012010

(2019).

Ódor, Rev. Mod. Phys. 76, 663 (2004).

J.L. Cardy, J. Phys. A: Math. Gen. 17, L385 (1984).

25.

S. Redner, A Guide to First-Passage Processes,

Cambridge Univ. press, Cambridge (2001).

V. Dohm, Phys. Rev. E 77, 061128 (2008).

26.

M. Fadeeva and L.N. Shchur, J. Phys.: Conf. Ser.

10.

W. Selke and L.N. Shchur, Phys. Rev. E 80, 042104

955, 012028 (2018).

(2009).

27.

M. Krainiuk, M. Goli, and V.R. Pascuzzi,

2021

11.

Вик.С. Доценко, Вл.С. Доценко, ЖЭТФ 83, 727

International Workshop on Performance, Portability

(1982).

and Productivity in HPC (P3HPC), p. 22.

12.

L.N. Shchur and O.A. Vasilyev, Phys. Rev. E 65,

28.

M.S. Guskova, L.Yu. Barash, and L.N. Shchur, Comp.

016107 (2001).

Phys. Commun. 200, 402 (2016).

13.

А. К. Муртазаев, М. К. Рамазанов, М. К. Мазага-

29.

K. Binder, Z. für Physik B. Conden. Matt. 43, 119

ева, М. А. Магомедов, ЖЭТФ 156, 502 (2019).

(1981).

14.

R.B. Potts, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 48, 106

30.

J.L. Cardy, M. Nauenberg, and D.J. Scalapino, Phys.

(1952).

Rev. B 22, 2560 (1980).

15.

F.Y. Wu, The Potts model, Rev. Mod. Phys. 54, 235

(1982).

31.

J. Salas and A. Sokal, J. Stat. Phys. 88, 567 (1997).

16.

L.N. Shchur, B. Berche, and P. Butera, Nucl. Phys.

32.

A.E. Ferdinand and M.E. Fisher, Phys. Rev. 185, 832

B 811, 491 (2009).

(1969).

17.

M. Sokolowski and H. Pfnür, Phys. Rev. B 49, 7716

33.

А.К. Муртазаев, А.Б. Бабаев, ЖЭТФ 161, 847

(1994).

(2022).

916