ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 6 (12), стр. 899-908

ФАЗОВАЯ ДИАГРАММА И ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ

ДЕКОРИРОВАННОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА НА ТРЕУГОЛЬНОЙ

РЕШЕТКЕ С ФЕРРОМАГНИТНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ

ПЕРВЫХ СОСЕДЕЙ И АНТИФЕРРОМАГНИТНЫМ

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ ВТОРЫХ

В. А. Мутайламов^*, А. К. Муртазаев

Институт физики Дагестанского федерального исследовательского центра Российской академии наук

367003, Махачкала, Россия

Поступила в редакцию 18 апреля 2022 г.,

после переработки 8 августа 2022 г.

Принята к публикации 8 августа 2022 г.

С помощью методов вычислительной физики исследовано статическое критическое поведение двумерной

декорированной ферромагнитной модели Изинга на треугольной решетке. Для узловых спинов учиты-

валось ферромагнитное обменное взаимодействие первых ближайших соседей и антиферромагнитное

обменное взаимодействие следующих за ближайшими соседей. Обменное взаимодействие J_d между уз-

ловыми спинами и декорированными изменялось в пределах [-3.0; 3.0]. Для различных значений J_d

определено основное состояние модели, вычислены критические температуры, построена фазовая диа-

грамма. Показано, что величина обменного взаимодействия с декорированными спинами влияет на род

фазового перехода в парамагнитное состояние.

DOI: 10.31857/S0044451022120100

типы частичного упорядочения, а также дополни-

EDN: LDTWSG

тельные экстремумы теплоемкости.

Понятие декорированная решетка, относящееся

к магнитной модели Изинга, впервые предложено в

1. ВВЕДЕНИЕ

1951 году в работе Сиози [1]. Суть его заключается

во введении дополнительных спинов в промежутки

В последние годы в современной физике конден-

между узлами исходной решетки. Это понятие мож-

сированного состояния возрос интерес к исследова-

но обобщить и на другие типы кристаллических ре-

нию декорированных структур благодаря разнооб-

шеток. Фактически, подавляющее большинство ре-

разию наблюдаемых в них новых явлений и особен-

альных структур являются декорированными.

ностей по сравнению с исходными недекорирован-

ными решетками. Внедрение декорированных спи-

Большого прогресса достигло исследование пла-

нов в магнитную решетку приводит к появлению

нарных декорированных структур методами теоре-

конкурирующих взаимодействий, что, в свою оче-

тической физики. Так, например, найдены точные

редь, может служить причиной появления большо-

решения для декорированных моделей со смешан-

го разнообразия магнитных упорядоченных состо-

ными спинами на двумерной квадратной решет-

яний и фазовых переходов между ними. В частно-

ке [2, 3], точное решение для двукратно декориро-

сти, декорирование порождает множество фрустра-

ванной модели на квадратной решетке [4]. Иссле-

ционных эффектов, может приводить как к подавле-

дованы магнитные и магнитокалорические свойства

нию фазовых переходов, существующих в недекори-

с построением фазовых диаграмм основного состо-

рованных решетках, так и к возникновению новых

яния модели Изинга со смешанными спинами на

фазовых переходов. Кроме того, появляются новые

треугольной решетке [5]. Изучены декорированные

структуры на квадратной решетке с многоспиновым

^* E-mail: vadim.mut@mail.ru

взаимодействием [6,7].

899

В. А. Мутайламов, А. К. Муртазаев

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

При изучении критических свойств моделей маг-

нитных материалов, для которых нет точного ана-

литического решения, успешно применяются мето-

ды вычислительной физики. Это, как правило, мо-

дели со сложным гамильтонианом, учитывающим

влияние дополнительных факторов. Методы вычис-

лительной физики строго математически обоснова-

ны и позволяют исследовать критические свойства

широкого спектра магнитных моделей. Данные ме-

тоды применялись нами ранее для изучения крити-

ческих свойств декорированной модели Изинга на

квадратной [8, 9] и кубической [10] решетках.

Рис. 1. Декорированная модель Изинга на треугольной ре-

шетке (◦ узловые спины, • декорированные)

2. МОДЕЛЬ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

антиферромагнитным с величиной J₂ = -1. Значе-

Методами численного эксперимента мы иссле-

ния J₁ и J₂ не изменялись в ходе моделирования.

довали статическое критическое поведение двумер-

Обменное взаимодействие между узловыми спина-

ной декорированной модели Изинга на треугольной

ми и декорированными изменялось в широких пре-

решетке. В обменном взаимодействии между узло-

делах от антиферромагнитного с величиной J_d = -3

выми спинами учитываются как ближайшие соседи

до ферромагнитного J_d = 3.

(первые соседи), так и следующие за ближайшими

Отметим, что соотношение J₁ = J₂ = 1 не пред-

(вторые соседи). Также узловые спины взаимодей-

ставляет значительного интереса, так как в этом

ствуют с ближайшими декорированными спинами,

случае отсутствует конкуренция обменных взаимо-

расположенными между узлами решетки. Декори-

действий. И тип упорядочения в основном состоянии

рованные спины между собой не взаимодействуют.

будет зависеть от знака обменного взаимодействия

Схематически структура решетки приведена на

между узловыми и декорированными спинами: фер-

рис. 1. Как видно на рисунке, каждый узловой спин

ромагнитное при J_d > 0 и антиферромагнитное при

имеет восемнадцать соседей: шесть первых узловых,

J_d < 0 (все узловые спины направлены в одну сто-

шесть вторых узловых и шесть декорированных.

рону, все декорированные в другую).

Каждый декорированный спин имеет лишь два бли-

В процессе исследований мы моделировали ре-

жайших узловых соседа. На каждую кристаллогра-

шетку с периодическими граничными условиями,

фическую ячейку приходится один узловой спин и

содержащую L × L элементарных ячеек в каждом

три декорированных.

кристаллографическом направлении. Решетка ори-

Гамильтониан исследованной модели может

ентировалась в пространстве таким образом, чтобы

быть представлен в следующем виде:

спины лежали в плоскости xy декартовой системы

координат, сами спины при этом направлены пер-

∑

пендикулярно этой плоскости.

H =-

J₁

S_iS_j -

J₂

S_kS_l-

i,j

k,l

Для получения температурных зависимостей

∑

термодинамических величин, построения фазовой

J_d

S_mS_n, S_i = ±1,

(1)

диаграммы и определения равновесных конфигу-

m,n

раций спиновой системы при различных значениях

где S_i изинговский спин в узле решетки i, первая

температуры T мы применяли репличный вариант

сумма учитывает обменное взаимодействие между

алгоритма Метрополиса [11, 12]. Моделировались

ближайшими узловыми спинами, вторая обмен-

решетки с линейными размерами L = 24, содержа-

ное взаимодействие между следующими за ближай-

щие N = 2 304 спинов.

шими узловыми спинами, третья обменное вза-

В ходе вычислений для приведения спиновой

имодействие между узловыми и декорированными

системы в состояние термодинамического равнове-

спинами. В данной работе мы ограничились част-

сия отбрасывался начальный неравновесный уча-

ным случаем, когда взаимодействие между первы-

сток марковской цепи в 7 · 10⁴ шагов Монте-Карло

ми соседями является ферромагнитным с величиной

на спин, заведомо больший, чем время релаксации

J₁ = 1, а взаимодействие между вторыми соседями

исследуемой модели. В равновесном состоянии вы-

900

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Фазовая диаграмма и основное состояние. . .

числялись средние по ансамблю значения термоди-

намических величин. Длина равновесного участка

составляла 3 · 10⁵ шагов Монте-Карло на спин. Ре-

зультаты получены в температурном интервале от

T = 10^-3 до T = 5 с шагом от ΔT = 10^-3 (темпе-

ратура приведена в единицах обменного интеграла

k_BT/|J₁|, где k_B

постоянная Больцмана). В от-

дельных случаях минимальное значение температу-

ры составило T = 10^-4 с шагом ΔT = 10^-5, а линей-

ный размер достигал значения L = 96 (N = 36 864

спинов).

Для определения основного состояния спиновой

системы при различных значениях J_d мы исполь-

зовали метод Ванга-Ландау [13], которым модели-

ровались решетки с линейным размером L = 12,

содержащие N = 576 спинов. Также метод Ванга-

Рис. 2. Страйповое упорядочение в основном состоянии

Ландау использовался для получения температур-

исходной недекорированной решетки. Цветом выделены

ных зависимостей энтропии. Для построения гисто-

два противоположных направления спинов

грамм энергии в точке фазового перехода мы при-

меняли стандартный алгоритм Метрополиса метода

ферромагнитное упорядочение, а при J_d > 1 ферро-

Монте-Карло [14, 15]. Данным алгоритмом модели-

магнитное. В свою очередь, тип антиферромагнит-

ровались решетки с линейным размером до L = 96

ного упорядочения различается в областях значений

включительно, содержащие до N = 36 864 спинов.

J_d < -1, -1 ≤ J_d < 0 и 0 < J_d ≤ 1.

Длина равновесного участка в этом случае состав-

ляла до 9 · 10⁵ шагов Монте-Карло на спин.

При J_d < -1 все узловые спины решетки направ-

лены в одну сторону, а все декорированные в дру-

гую. Число узловых спинов составляет 1/4 от об-

3. РЕЗУЛЬТАТЫ

щего числа спинов, число декорированных 3/4. В

результате суммарный магнитный момент оказыва-

3.1. Основное состояние

ется нескомпенсированным на величину 1/2, т.е. мо-

Для определения основного состояния анализи-

дель фактически является ферримагнитной.

ровались спиновые конфигурации, получаемые в хо-

де моделирования методом Ванга-Ландау, соответ-

При -1 ≤ J_d < 0 подрешетка узловых спи-

ствующие минимуму энергии. Исходная недекори-

нов и подрешетка декорированных спинов име-

рованная модель Изинга на треугольной решетке

ют страйповое антиферромагнитное упорядочение.

при J₁ = 1 и J₂ = -1 имеет так называемое страй-

При этом направления узловых и декорированных

повое упорядочение спиновой системы, при котором

спинов внутри одной полосы взаимно противопо-

формируются полосовые (страйповые) структуры

ложны. Упорядочение подрешетки узловых спинов

шириной в два спина. Внутри каждой полосы спины

такое же, как и в случае недекорированной решетки.

направлены в одну сторону, направление спинов в

Сказанное демонстрирует рис. 3, на котором изобра-

соседних полосах противоположно друг другу. По-

жено основное состояние модели при J_d = -0.5. Для

лосы направлены случайным образом вдоль одной

наглядности приведено основное состояние как всех

из кристаллографических осей. Пример страйпово-

спинов (a), так и по отдельности узловых (n) и деко-

го упорядочения недекорированной решетки приве-

рированных (d). Как видно на рисунке, спиновые по-

ден на рис. 2. Здесь и далее цветом выделены два

лосы декорированной подрешетки не имеют четкой

противоположных направления спинов. Очевидно,

границы. Разделительные линии состоят из спинов,

что данная структура спиновой системы является

направленных случайным образом в разные сторо-

антиферромагнитной. Суммарный магнитный мо-

ны. Это говорит о том, что в модели присутствует

мент решетки равен нулю.

частичное вырождение в основном состоянии. При

Основное состояние декорированной решетки за-

этом вырождена не вся спиновая система, а только

висит от величины и знака обменного взаимодей-

спины, расположенные на границах полос декори-

ствия J_d. При значениях J_d ≤ 1 модель имеет анти-

рованной подрешетки.

901

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Фазовая диаграмма и основное состояние. . .

одинаковых по модулю значений J_d совпадают меж-

ду собой. С увеличением величины |J_d| область пе-

рехода смещается в сторону более высоких темпера-

тур. Для всех значений обменного взаимодействия в

интервале |J_d| ≤ 1 кривые намагниченности лежат

вблизи нулевого значения и накладываются друг на

друга, поэтому на графике для наглядности приве-

дена только одна кривая для случая J_d = -0.5.

Обращает на себя внимание резкий спад намаг-

ниченности для |J_d| = 1.40. По всей видимости, при

таких значениях J_d в спиновой системе возрастают

фрустрационные эффекты, вызванные конкуренци-

ей обменных взаимодействий. Даже небольшое по-

вышение температуры приводит к выходу спиновой

Рис. 5. Зависимость модуля намагниченности от темпера-

системы из упорядоченного состояния. С дальней-

туры при различных значениях обменного взаимодействия

J_d

шим уменьшением |J_d| спад намагниченности ста-

новится более резким, и в интервале 1 < |J_d| < 1.3

происходит при температурах T < 10-4. К сожа-

лению, более точно определить его границы в этом

интервале нам не удалось.

На рис. 6 представлена зависимость энергии ос-

новного состояния E₀ от обменного взаимодействия

J_d. Линиями на графике представлено расчетное

значение энергии, полученное прямыми вычисле-

ниями гамильтониана (1) для спиновых конфигу-

раций, соответствующих минимуму энергии (метод

Ванга-Ландау). Точками представлены результаты

численного моделирования при T → 0 (репличный

алгоритм Метрополиса). На рисунке наглядно ви-

ден кроссовер из антиферромагнитного основного

состояния в страйповое антиферромагнитное при

Рис. 6. Зависимость энергии основного состояния от ве-

J_d = -1 и дальнейший кроссовер в ферромагнитное

личины обменного взаимодействия J_d. Линии значения,

при J_d = 1. Результаты численного эксперимента

рассчитанные из гамильтониана (1); точки

результат

точно совпадают с расчетными значениями за ис-

численного моделирования

ключением области 1 < |J_d| < 1.3. В этой обла-

сти результаты моделирования показывают значе-

спины направлены в одну сторону.

ние E₀ несколько больше расчетного, что подтвер-

В частном случае J_d = 0 подрешетка узловых

ждает предположение о том, что спиновая система

спинов имеет страйповое упорядочение, а подрешет-

выходит из упорядоченного состояния при очень ма-

ка декорированных спинов полностью разупорядо-

лых значениях температур T < 10^-4.

чена. Модель вырождена в основном состоянии.

Отметим, что в точке J_d

= -1.0 антиферро-

магнитная конфигурация спинов и страйповая ан-

тиферромагнитная конфигурация имеют одинако-

3.2. Термодинамические функции

вое значение минимальной энергии E₀. Теоретиче-

На рис. 5 представлена зависимость модуля на-

ски это означает, что при такой величине обменно-

магниченности M от температуры для различных

го взаимодействия могут наблюдаться оба типа ос-

значений обменного взаимодействия J_d (здесь и да-

новного состояния. Но на практике мы наблюдали

лее все величины приведены в относительных еди-

только страйповое упорядочение. Вероятная причи-

ницах). На графике хорошо виден переход из фер-

на этого в том, что страйповое антиферромагнитное

ромагнитного состояния в парамагнитное при зна-

состояние является вырожденным и вероятность по-

чениях J_d > 1 и из антиферромагнитного в пара-

явления любой из множества его конфигураций на-

магнитное при J_d < -1. Температуры переходов для

много выше, чем антиферромагнитного состояния.

903

В. А. Мутайламов, А. К. Муртазаев

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Рис. 7. Зависимость энтропии от температуры при различ-

Рис. 8. Зависимость теплоемкости от температуры при

ных значениях обменного взаимодействия J_d

различных значениях обменного взаимодействия |J_d| < 1

Исследование равновесных спиновых конфигу-

Аналогичная ситуация наблюдалась и при J_d = 1.0.

раций при различных температурах в интервале

Температурные зависимости энтропии S приве-

значений обменных взаимодействий 0 < |J_d| < 1

дены на рис. 7. Кривые энтропии для равных по

показало, что подрешетка узловых спинов и подре-

модулю значений J_d точно накладываются друг на

шетка декорированных спинов приходят в разупоря-

друга. Как следует из графика, энтропия в основном

доченное состояние при разных температурах. Под-

состоянии S₀ → 0 при T → 0 для значений обменно-

решетка узловых спинов сохраняет свое страйповое

го интеграла |J_d| > 1. При |J_d| ≤ 1 энтропия в основ-

упорядочение вплоть до области перехода в пара-

ном состоянии отлична от нуля, что также указыва-

магнитное состояние. Подрешетка декорированных

ет на наличие вырождения. В интервале 0 < |J_d| ≤ 1

спинов переходит в разупорядоченное состояние при

для линейного размера L = 12 значение энтропии

более низких температурах. Это связано с тем, что

в основном состоянии составило S₀ = 0.18(1). При

обменное взаимодействие с декорированным спина-

Jd = 0 степень вырождения больше (вырождено

ми |J_d| меньше, чем с узловыми |J₁| = |J₂|. И чем

большее количество спинов) и энтропия в основном

меньше |J_d|, тем раньше декорированная подрешет-

состоянии увеличивается до S₀ = 0.52(1). С ростом

ка приходит в разупорядоченное состояние.

температуры энтропия для всех значений обменного

Переход в разупорядоченное состояние сопро-

взаимодействия стремится к величине S = ln(2).

вождается ростом флуктуаций, что и приводит к

На рис. 8 представлена зависимость теплоемко-

появлению максимумов теплоемкости. Первый по

сти C от температуры для различных значений об-

температуре максимум соответствует разупорядоче-

менного взаимодействия |J_d| < 1. Как и в случае с

нию подрешетки декорированных спинов, второй со-

энтропией, графики для равных по модулю значе-

ответствует разупорядочению подрешетки узловых

ний J_d накладываются друг на друга. Из графика

спинов. Таким образом, спиновая система сначала

следует, что в этом диапазоне температура перехода

переходит из упорядоченной фазы в частично разу-

в парамагнитное состояние слабо зависит от вели-

порядоченную, а затем только в парамагнитную. На

чины обменного взаимодействия J_d. При |J_d| = 0.2

графиках энтропии при |J_d| = 0.25 и |J_d| = 0.50

заметен второй максимум теплоемкости при низких

можно увидеть два характерных излома, приходя-

температурах. Он имеет более широкую форму и

щихся на температуру этих переходов (рис. 7).

меньше по высоте, чем максимум, приходящийся на

Частично разупорядоченное состояние представ-

температуру перехода в парамагнитное состояние. С

лено на рис. 9, где изображена равновесная спи-

ростом |J_d| низкотемпературный максимум смеща-

новая конфигурация для J_d = 0.5 при температу-

ется в сторону более высоких температур, его высо-

ре T = 1.49. Основное состояние для этой же ве-

та уменьшается, а форма становится более широкой.

личины J_d было ранее представлено на рис. 4. На

После |J_d| = 0.5 обнаружить его не удалось. Появле-

рисунках наглядно видно, что подрешетка узловых

ние низкотемпературного максимума в этой области

спинов сохраняет свое упорядоченное состояние при

связано с особенностями упорядочения магнитных

T = 1.49. Лишь два узловых спина из-за тепловых

подрешеток исследуемой модели.

флуктуаций при данной температуре ориентирова-

904

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Фазовая диаграмма и основное состояние. . .

ны ¾неправильно¿. При этом подрешетка декори-

рованных спинов полностью разупорядочена. Отме-

тим, что для J_d = 0.5 переход из упорядоченной

фазы в частично разупорядоченную в нашем чис-

ленном эксперименте происходил при температуре

T = 0.85(1), а переход в парамагнитную фазу при

T = 1.74(1).

Зависимость теплоемкости от температуры в об-

ласти 1 < |J_d| < 1.3 приведена на рис. 10. Здесь так-

же заметны дополнительные максимумы при низ-

ких температурах. Анализ наших результатов по-

казывает, что при отрицательных значениях J_d в

этой температурной области происходит переход из

антиферромагнитной в страйповую антиферромаг-

нитную фазу, в которой направления узловых и де-

корированных спинов внутри полосы взаимно про-

тивоположны. Соответственно, при положительных

значениях J_d происходит переход из ферромагнит-

ной в страйповую антиферромагнитную фазу, в ко-

торой направления узловых и декорированных спи-

нов внутри полосы совпадают. Нам не удалось выяс-

нить, почему с ростом тепловых флуктуаций энерге-

тически более выгодной становится страйповая фа-

за. Максимумы теплоемкости на рис. 10 при бо-

лее высоких температурах приводят к переходу из

страйповой фазы в парамагнитную.

При значениях |J_d| > 1.4 дополнительных макси-

мумов теплоемкости не наблюдается (рис. 11). Мо-

дель переходит из ферромагнитного и антиферро-

магнитного состояния сразу в парамагнитное. На-

блюдается значительная зависимость температуры

перехода от величины обменного взаимодействия J_d.

3.3. Фазовая диаграмма

Температурные зависимости теплоемкости для

различных значений обменного взаимодействия J_d

использовались нами для построения фазовой диа-

граммы. Границы фаз определялись по положению

максимумов теплоемкости. Итоговая фазовая диа-

грамма исследуемой модели для линейного размера

L = 24 приведена на рис. 12. Страйповая антифер-

ромагнитная фаза, в которой узловые и декориро-

ванные спины внутри полосы направлены во вза-

Рис. 9. Равновесная конфигурация всех (a), узловых (n) и

имно противоположных направлениях, условно обо-

декорированных (d) спинов для J_d = 0.5 при температуре

T = 1.49

значена на рисунке как ST₁. Соответственно, страй-

повая антиферромагнитная фаза, в которой узло-

вые и декорированные спины внутри полосы на-

Исследование равновесных спиновых конфигу-

правлены в одном направлении, условно обозначена

раций при различных температурах в интервале

как ST₂. Остальные фазы расшифрованы в подписи

0.5 < |J_d| < 1 показало, что декорированная подре-

к рисунку.

шетка также переходит в разупорядоченное состоя-

905

ЖЭТФ, вып. 6 (12)

В. А. Мутайламов, А. К. Муртазаев

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Рис. 13. Зависимость энергии от температуры для различ-

Рис.

10. Зависимость теплоемкости

от температуры

ных линейных размеров L при значении обменного взаи-

при

различных значениях обменного

взаимодействия

модействия |J_d| = 0.1

1 < |J_d| < 1.3

ние раньше узловой подрешетки, как и в интервале

0 < |J_d| ≤ 0.5. Но переход этот происходит более

плавно, явно выраженных максимумов теплоемко-

сти не наблюдается, определить точную температу-

ру перехода не удалось. Поэтому границы между

страйповыми и частично разупорядоченной фазой

в этой области обозначены пунктирной линией. Оче-

видно, что предел этой границы будет наблюдаться

в точке |J_d| = 1, где все три обменных взаимодей-

ствия равны по модулю друг другу. В этой точке

и узловая подрешетка, и декорированная переходят

в разупорядоченное состояние при одинаковой тем-

Рис.

11. Зависимость теплоемкости

от температуры

пературе.

при

различных значениях обменного

взаимодействия

Также пунктиром проведены границы раздела

|J_d| > 1.4

между страйповыми и парамагнитной фазами в ин-

тервале 1.3 < |J_d| < 1.4. Ярко выраженных вторых

максимумов теплоемкости в этом интервале мы не

обнаружили. Но на рис. 5 видно, что намагничен-

ность при |J_d| = 1.4 имеет два характерных изги-

ба, соответствующих двум фазовым переходам при

разных температурах. Аналогичное поведение на-

магниченности наблюдалось и при других значени-

ях обменного взаимодействия J_d из этого интервала.

Это позволяет предположить, что границы раздела

фаз в этой области приходят примерно так, как это

изображено на рисунке пунктирной линией.

По всей видимости упомянутые выше погрешно-

сти в определении фазовых границ связаны с малы-

Рис. 12. Фазовая диаграмма, построенная по максимумам

ми линейными размерами исследованной модели. С

теплоемкости для линейного размера L = 24. AF анти-

увеличением линейных размеров следует ожидать

ферромагнитная фаза, F ферромагнитная, ST страй-

появления вторых максимумов теплоемкости в ин-

повая антиферромагнитная, PD частично разупорядо-

тервалах обменного взаимодействия 0.5 < |J_d| < 1 и

ченная, P парамагнитная

1.3 < |J_d| < 1.4.

906

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Фазовая диаграмма и основное состояние. . .

3.4. Род фазового перехода

На рис. 13 приведена температурная зависи-

мость полной энергии спиновой системы E для раз-

личных линейных размеров L при значении обмен-

ного взаимодействия |J_d| = 0.1. Из графика видно,

что при температуре перехода модели в парамагнит-

ное состояние энергия изменяется скачком. С увели-

чением линейных размеров скачок становится более

выраженным и происходит во все более узком тем-

пературном интервале. Такое поведение теплоемко-

сти характерно для фазовых переходов первого ро-

да. Для уточнения типа перехода мы дополнитель-

но использовали производную логарифма плотности

Рис. 14. Зависимость производной логарифма плотности

состояний по энергии и гистограммы энергии.

состояний от энергии, L = 12, J_d = -0.1

Производная логарифма плотности состояний

g(E) по энергии E позволяет получить зависимость

обратной температуры от энергии. В случае фазово-

го перехода первого рода эта зависимость имеет ха-

рактерную S-образную форму, симметричную отно-

сительно горизонтальной линии, соответствующей

обратной температуре фазового перехода 1/T_c [16].

В случае фазового перехода второго рода график

производной имеет горизонтальный участок, прихо-

дящийся на значение 1/T_c.

Моделирование алгоритмом Метрополиса гене-

рирует ненормализованное каноническое распреде-

ление при заданной температуре. В случае фазового

перехода первого рода распределение при темпера-

туре фазового перехода будет иметь два максиму-

Рис. 15. Гистограмма энергии для различных линейных

размеров L, J_d = -0.1

ма, расположенных симметрично относительно рав-

новесного значения энергии [17]. В случае фазово-

го перехода второго рода должен наблюдаться один

ми в интервале значений обменного взаимодействия

максимум, приходящийся на равновесное значение

0 ≤ |J_d| ≤ 1. При |J_d| > 1.4 признаков фазового

энергии. Форму канонического распределения вос-

перехода первого рода не обнаружено: отсутству-

производит гистограмма энергии, которая показы-

ет скачок энергии; не наблюдается S-образная фор-

вает, сколько раз в процессе моделирования выпа-

ма производной логарифма плотности состояний; на

дало то или иное энергетическое состояние спиновой

гистограмме энергии присутствует только один мак-

системы.

симум.

Зависимость производной логарифма плотности

Таким образом, наши результаты показывают,

состояний от энергии для линейного размера L = 12

что для исследованных линейных размеров пере-

при величине обменного взаимодействия J_d = -0.1

ход в парамагнитное состояние в интервале значе-

приведена на рис. 14. Нормированная на максималь-

ний обменного взаимодействия 0 ≤ |J_d| ≤ 1 явля-

ное значение гистограмма энергии для различных

ется фазовым переходом первого рода, а в области

линейных размеров при J_d = -0.1 приведена на

|J_d| > 1 фазовым переходом второго рода. Отме-

рис. 15. Оба графика подтверждают предположе-

тим, что в исходной недекорированной модели Изин-

ние о наличие фазового перехода первого рода при

га при J₁ = 1 и J₂ = -1 переход в парамагнитное со-

J_d = -0.1. Аналогичная картина наблюдалась на-

стояние является фазовым переходом первого рода.

907

В. А. Мутайламов, А. К. Муртазаев

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

L. Gálisová and J. Strečka, Physica E 99, 244 (2018).

M. Jaščur, V.

Štubňa, K. Szalowski et al., J. Mag.

Добавление декорированных спинов в фер-

Magn. Mater. 417, 92 (2016).

ромагнитную модель Изинга на треугольной

решетке может в значительной степени изме-

Štubňa and M. Jaščur, J. Mag. Magn. Mater. 442,

нять свойства модели. От величины и знака

364 (2017).

обменного взаимодействия между узловыми спина-

Ф. А. Кассан-Оглы, А. И. Прошкин, А. К. Мурта-

ми и декорированными зависит тип упорядочения в

заев и др., ФТТ 62, 683 (2020).

основном состоянии, появляются фрустрационные

эффекты, возникают дополнительные экстремумы

V. A. Mutailamov and A. K. Murtazaev, Low

теплоемкости, изменяется род фазового перехода

Temper. Phys. 46, 1016 (2020).

в парамагнитную фазу. Добавление декорирован-

10.

В. А. Мутайламов, А. К. Муртазаев, ЖЭТФ 160,

ных спинов меняет род фазового перехода исходной

119 (2021).

решетки в том случае, когда модуль величины об-

менного взаимодействия с декорированными спина-

11.

K. Hukushima, H. Takayama, and K. Nemoto, Int. J.

ми становится больше модуля величины обменного

Mod. Phys. C 7, 337 (1996).

взаимодействия узловых спинов.

12.

M. Hagen, B. Kim, P. Liu, et al., J. Phys. Chem. B

111, 1416 (2007).

ЛИТЕРАТУРА

13.

D. P. Landau, Shan-Ho Tsai, and M. Exler, Am. J.

Phys. 72, 1294 (2004).

1. I. Syozi, Prog. Theor. Phys. 35, 306 (1951).

14.

D. P. Landau, Physica A 205, 41 (1994).

2. J. Strečka, M. Rebič, O. Rojas, and S. M. de Souza,

15.

К. Биндер, Методы Монте-Карло в статистиче-

J. Mag. Magn. Mater. 469, 655 (2019).

ской физике, Мир, Москва (1982).

3. J. Strečka, O. Rojas, and S. M. de Souza, Phys. Lett.

16.

Y. Komura and Y. Okabe, Phys. Rev. E

85,

A 383, 2451 (2019).

010102(R) (2012).

4. H.

Čenčariková, J. Strečka, and M. L. Lyra, J. Mag.

17.

F. Wang and D. P. Landau, Phys. Rev. E 64, 056101

Magn. Mater. 401, 1106 (2016).

(2001).

908