ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 6 (12), стр. 850-877

МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ

АСТРОФИЗИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

В. М. Журавлев^a,b*

^a Ульяновский государственный университет

432017, Ульяновск, Россия

^b Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

443086, Самара, Россия

Поступила в редакцию 15 июня 2022 г.,

после переработки 16 августа 2022 г.

Принята к публикации 17 августа 2022 г.

Выведены уравнения динамического равновесия адиабатически и политропно расширяющегося или сжи-

мающегося газового потока с радиальной и зональной составляющей скорости, которые представля-

ют собой глубокую автомодельную модификацию уравнений теории Лейна-Эмдена звездных политроп.

Проведена классификация моделей по параметру динамического равновесия. Установлена важная роль

зонального потока в установлении динамического равновесия, определяющего структуру и эволюцию

звезд. На основе полученных уравнений развита новая нелинейная теория звездных пульсаций и для них

построено соотношение период-светимость. Для Солнца теория дает объяснение 11-летнего цикла ак-

тивности, как радиально-зональных пульсаций его структуры, находящейся в динамическом равновесии.

Представлен численный анализ распределений температуры и плотности в звездах в сопоставлении с

данными о Солнце. В рамках этих моделей предложено объяснение максимума температуры в короне

Солнца как элемента динамически равновесной структуры звезды.

DOI: 10.31857/S0044451022120069

эволюционные относится как к звездам, так и к га-

EDN: LCOXTG

лактикам. Кроме структурных и эволюционных мо-

делей для описания осцилляций звезд на различных

этапах их эволюции строят модели колебаний звезд-

1. ВВЕДЕНИЕ

ных оболочек, которые, как правило, представляют

модели малых собственных колебаний звезд и галак-

Модели газовой динамики являются одними из

тик вблизи их статического равновесного состояния.

основных в задачах астрофизики и космологии. К

Несмотря на большой прогресс в описании структур

ним относятся модели эволюции звезд, расшире-

астрофизических объектов, их эволюции и осцилля-

ния звездных атмосфер [1-3], модели спиральных и

ций, тем не менее, остается множество проблем, ко-

эллиптических галактик, а также космологические

торые не решены до настоящего времени.

модели [4-6]. Модели динамики можно условно раз-

делить на два класса. Это модели, которые описыва-

В теории строения звезд к нерешенным пробле-

мам можно, в первую очередь, отнести не вполне

ют строение астрофизических объектов в некотором

фиксированном состоянии, и модели, описывающие

адекватные условия определения поверхности звез-

ды как сферы, на которой плотность среды вместе

эволюцию объектов со временем. Структурные мо-

дели объектов, как правило, являются статически-

с температурой обращаются одновременно в нуль.

Проблема состоит в том, что для реальных звезд

ми и описывают объекты, исходя из условия гидро-

статического равновесия, возможно, с учетом вра-

плотность среды и температура на любом расстоя-

щения объектов [1-3]. Модели эволюции являются

нии от ее центра не обращаются в нуль точно, хотя и

имеют на некотором расстоянии глубокий минимум.

более сложными и, чаще всего, анализируются чис-

ленно [7]. Это деление моделей на структурные и

Более того, температура среды в короне Солнца, на-

чиная от фотосферы, растет и достигает максимума

^* E-mail: zhvictorm@gmail.com

на некотором расстоянии от нее [8]. Эту проблему

850

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Модели динамического равновесия . . .

следует дополнить тем, что в звездах наблюдаются

тур, которые приводят к возможности медленной

конечные по амплитуде колебания их параметров,

их автомодельной эволюции и автомодельным ос-

которые не находят достаточно адекватного объяс-

цилляциям. Основным инструментом предлагаемой

нения с точки зрения теории малых возмущений,

теории динамического равновесия является метод

которая является основой теории звездных пульса-

гидродинамических маркеров. Метод гидродинами-

ций [9-11]. К таким проблемам, например, относится

ческих маркеров [20,21] в форме метода гидродина-

проблема 11-летних колебаний солнечной активно-

мических подстановок был применен в [22, 23] для

сти и других звезд солнечного типа, а также неза-

построения и анализа космологических моделей с

вершенность теории колебаний цефеид [9-11].

потоком Хаббла в рамках классической теории гра-

В работе [12] для сферически-симметричных аст-

витации для пылевой среды. В этих же работах бы-

рофизических объектов была предложена модель

ло показано, что метод гидродинамических подста-

динамического равновесия, которая включала в се-

новок, опирающийся на методологию гидродинами-

бя важный дополнительный элемент - поток Хаббла.

ческих маркеров, позволяет рассматривать модели

Гидродинамический поток Хаббла определяется за-

не только пылевой среды, но и газообразной. Та-

коном Хаббла: V = H(t)r, где V скорость потока

кой подход естественным образом приводит к ав-

на расстоянии r от центра системы, а H(t) называет-

томодельным уравнениям динамики газа и пыли с

ся параметром Хаббла. Этот закон обычно связыва-

потоком Хаббла. В классических исследованиях га-

ют с моделями космологической динамики в Общей

зодинамики взрыва звезд [2, 6] автомодельные пе-

теории относительности (ОТО) [4,5]. Наиболее важ-

ременные вводятся в результате специального под-

ным свойством моделей с потоком Хаббла являет-

бора функциональной зависимости переменных сре-

ся то, что в автомодельных переменных параметры

ды от времени. Аналогичный подход, но основанный

среды и структуры не зависят от времени явно. Та-

на гидродинамических маркерах, приводит к новым

кое свойство в дальнейшем будет называться дина-

результатам в описании автомодельной структуры

мическим равновесием соответствующего астрофи-

звезд и других астрофизических структур.

зического объекта. С физической точки зрения ди-

Основной целью работы является создание и

намическое равновесие является следствием балан-

исследование моделей самогравитирующего газа в

са сил Архимеда и тяготения вместе с локальной си-

рамках гидродинамической постановки задачи, в ко-

лой реакции среды, необходимой для поддержания

торых выполняется закон Хаббла для радиальной

потока Хаббла. Модели с такого типа равновесием

составляющей не сферически-симметричного про-

исследовались в рамках теории взрыва или коллап-

странственного распределения скорости потока га-

са звезд [2, 5,6, 13-17] в форме автомодельной эво-

за. Как показывается в работе, такие модели ока-

люции расширяющейся или сжимающейся оболочки

зываются полезными для многих задач эволюции

звезды.

астрофизических объектов, в том числе, таких как

Сферически-симметричные структуры, исследо-

нормальные звезды. Для нормальных звезд с диф-

ванные в [12], сводились к модифицированным урав-

ференциальным вращением в работе развит подход,

нениям классической теории Лейна - Эмдена [18,19]

позволяющий анализировать их строение и эволю-

звездных политроп. В таких моделях решалась пер-

цию в автомодельном режиме, а также и процессы

вая из указанных выше проблем строения звезд,

взрывного характера [2,3].

связанная с поведением плотности и температуры

В начале работы выводятся общие уравнения

вблизи условной поверхности звезды. Однако дру-

теории гидродинамических маркеров и автомодель-

гие проблемы при этом не решались. В частности,

ное описание параметров газа с их помощью. За-

в рамках таких моделей эволюция звезд происходит

тем выводятся уравнения динамического равнове-

по сути по сценариям их взрыва или коллапса в те-

сия в среде для автомодельных переменных состоя-

чение короткого времени, что не дает оснований для

ния ускоренно расширяющегося или сжимающегося

использования таких моделей в задачах медленной

газа при условии квазиадиабатичности этих процес-

эволюции звезд или их осцилляций.

сов. Эти уравнения представляют собой модифици-

В настоящей работе предлагается модификация

рованные уравнения теории Лейна - Эмдена звезд-

общей идеологии динамического равновесия с пото-

ных политроп [1, 3]. Следующим этапом является

ком Хаббла, связанная с включением в теорию не

анализ автомодельной эволюции звезд и условий

сферически-симметричных структур с зональным

возникновения их осцилляций. На основе аналити-

потоком. Это позволяет найти более точные условия

ческого и численного анализа решений уравнений

динамического равновесия астрофизических струк-

динамического равновесия проводится классифика-

851

В. М. Журавлев

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

ция моделей и анализируется их связь с реальными

упрощенные версии будут центральными объектами

данными о Солнце. В частности обсуждается про-

в дальнейшем исследовании.

блема наличия максимума температуры в короне

Солнца и осцилляций его активности с точки зрения

3. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МАРКЕРЫ

построенных моделей динамического равновесия га-

зового потока.

Для анализа динамики самогравитирующего га-

за воспользуемся методом, который опирается на

описание динамики среды с помощью гидродинами-

2. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ МОДЕЛИ

ческих маркеров. Для сферически-симметричных

Динамика расширяющегося или сжимающегося

течений метод использования гидродинамического

самогравитирующего газа в рамках классической

маркера описан в работах [21-23]. Вариант исполь-

механики описывается в цилиндрической системе

зования маркеров для описания трехмерных тече-

координат уравнениями Эйлера и Пуассона :

ний описан в [20, 21]. В работах [24-26] в более об-

щем варианте такой подход использовался для по-

u_t + uu_r + wu_z -

p_r - φ_r,

строения топологической теории фундаментальных

полей.

w_t + uw_r + ww_z = -

p_z - φ_z,

(1)

В теории гидродинамических маркеров газ пред-

ставляется как множество материальных точек, на-

v_t + uv_r + wv_z +

= 0,

деленных некоторыми неизменными физическими

(

)

свойствами. Эти свойства точек определяют зна-

1 ∂

∂ (

ρ_t +

ruρ

ρw

= 0,

(2)

чения маркерных полей, которые не меняются при

r∂r

∂z

(

)

1 ∂

∂

произвольном перемещении точек газа. В случае ци-

rφ_r

φ_z = 4πGρ.

(3)

r∂r

∂z

линдрической симметрии для описания перемеще-

ния среды достаточно ввести два маркерных поля

В этих уравнениях p(r, z, t)

давление газа,

e^a(r, z, t), a = 1, 2, которые по определению удовле-

u(r, z, t), v(r, z, t), w(r, z, t)

компоненты скорости

творяют уравнениям переноса

гидродинамического потока, ρ(r, z, t)

плотность

газа, φ(r, z, t)

потенциал поля тяготения, G

de^a

постоянная тяготения Ньютона, r и z радиаль-

= e^at + ue^ar + we^az = 0, a = 1,2.

(5)

ная и вертикальная координаты, t

время. Для

Если функции e^a(r, z, t) удовлетворяет этим уравне-

замкнутого описания газовой среды данную систе-

ниям, то их дифференциальным следствием являет-

му уравнений необходимо дополнить уравнением

ся закон сохранения (см. [20-23]):

состояния газа p = p(ρ, s), где s(r, z, t) локальная

энтропия газа. Наличие компоненты скорости

)

∂

∂ (

v(r, z, t) потока в зональном направлении эквива-

|J| +

u|J|

w|J|

= 0,

(6)

∂t

∂r

∂z

лентно дифференциальному вращению структуры

где функция |J| якобиан преобразования от коор-

вокруг вертикальной оси z.

Исключая с помощью первых двух уравнений си-

динат z, r в координаты e¹, e² пространства значе-

стемы (1) компоненты градиента потенциала φ из

ний маркеров:

уравнения Пуассона (3), получаем следующее урав-

|J| = | detJ |.

(7)

нение:

Здесь



(

)

1 ∂

∂ (



r(u_t + uu_r + wu_z)

w_t + uw_r + ww_z

 e^r e^z



J =



(8)

r∂r

∂z

)

 e^2r e^2z.



1∂v

1 ∂

∂

+ 4πGρ +

p_r

p_z

= 0.

(4)

r ∂r

r∂r ρ

∂z ρ

Отсюда следует, что функция

Это уравнение можно назвать обобщенным уравне-

ρ = M₀|J|/r

(9)

нием динамического равновесия среды, поскольку

в случае политропного состояния газа и отсутствия

может быть отождествлена с плотностью массы ве-

гидродинамического потока u = w = 0 оно сводится

щества, поскольку она автоматически удовлетво-

к уравнению статического равновесного распределе-

ряет закону сохранения массы (2). Здесь M₀

ния плотности и температуры в теории Лейна - Эм-

масштабный коэффициент, имеющий размерность

дена [18,19] звездных политроп. Это уравнение и его

массы.

852

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Модели динамического равновесия . . .

4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ

Учитывая, что производные ∂x^α/∂e^a являются

УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА С ПОМОЩЬЮ

элементами матрицы, обратной матрице Якоби

МАРКЕРОВ

(8), находим

Метод маркерных полей позволяет получить

∂r

∂e²

∂r

∂e²

|J|

связь между напряженностью гравитационного по-

∂e¹

∂z

∂e²

∂r

ля и значениями маркерных полей. В чисто ради-

∂z

∂e¹

∂z

∂e¹

|J|

альном случае [12, 23] эта связь выглядит следую-

∂e¹

∂z

∂e²

∂r

щим образом: g = -φ_r = -4πGe(r, t), где e(r, t)

Отсюда

маркерное поле для сферически-симметричного

∂e²

∂e¹

∂e²

распределения вещества среды. В двумерном и трех-

|J|K¹ =

e¹ -

e²,

|J|K² =

e² -

e¹.

∂z

∂r

мерном случаях связь между вектором напряжен-

(17)

ности гравитационного поля и маркерными полями

Теперь первые два уравнения системы (1) можно

e¹, e² строится на основе общей идеи, изложенной в

переписать в обновленной форме:

работах [24-26]. Рассмотрим формальное тождество

следующего вида:

v²

2πGM₀

u_t + uu_r + wu_z -

p_r -

|J|K¹ + Φ_r,

∑∂e^a

∂e¹

∂e²

2πGM

= 2, a = 1, 2.

(10)

w_t + uw_r + ww_z = -

p_z -

|J|K² + Φ_z.

(18)

∂e^a

∂e¹

∂e²

a=1

Третье уравнение системы (1) для компоненты

Переходя в этом тождестве к физическим коорди-

скорости v(r, z, t) может быть представлено так:

натам r, z, получаем следующую форму этого тож-

)

дества:

(∂

∂

(rv) =

(rv) = 0.

(19)

)

∂t

∂r

∂z

∂ (

|J|K¹

|J|K²

= 2|J|,

(11)

∂r

∂z

Отсюда следует, что функция rv(r, z, t) является

где

произвольной дифференцируемой функцией марке-

∑

ров. В результате имеем

∂r

∂z

K¹ =

e^b

, K² =

e^b

(12)

∂e^b

b=1

v = V (e¹,e²)/r.

(20)

Соотношение (11) с учетом (9) можно переписать в

виде

5. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОТОК

(

)

ХАББЛА И АВТОМОДЕЛЬНЫЕ

1 ∂

2πGM₀|J|

∂ (

|J|

K¹

2πGM₀

K²

ПЕРЕМЕННЫЕ

r∂r

∂z

4πGM₀|J|

Для выделения главных особенностей эволю-

= 4πGρ,

(13)

ции газодинамических структур используется идея

а уравнение Пуассона (3) в виде

представления параметров среды в виде функций от

автомодельных переменных [2,5,6,13-17]. В случае

)

∂ (

потока с цилиндрической симметрией введем две ав-

rφ_r

rφ_z

= 4πGM₀|J|.

(14)

∂r

∂z

томодельные переменные ξ = r/a(t) и ζ = z/b(t).

Сравнивая теперь (13) с (14), устанавливаем, что

Функции a(t) и b(t) обычно называют масштабными

факторами, которые являются аналогом масштаб-

имеют место равенства

ных факторов в задачах космологии [2,5,6]. В таком

2πGM₀

подходе предполагается, что эволюция структур, на-

g₁ = -φ_r = -

|J|K¹ + Φ_r,

пример, звезд, сводится к растяжению или сжатию

2πGM₀

g₂ = -φ_z = -

|J|K² + Φ_z,

(15)

их пространственной структуры при неизменной ее

формы в автомодельных переменных. Такое предпо-

где g_a, a = 1, 2

компоненты вектора ускорения

ложение приводит к достаточно жестким ограниче-

свободного падения, а Φ(r, z, t) некоторая гармо-

ниям на общую форму гидродинамического потока,

ническая функция:

которые означают, что маркеры e^j(r, z, t), j = 1, 2,

(

)

можно записать в следующей общей форме:

1 ∂

∂Φ

∂²

Φ = 0.

(16)

r∂r

∂r

∂z²

e^j = τ_j(t)E^j(ξ, ζ), j = 1, 2,

(21)

853

В. М. Журавлев

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

где τ_j (t) некоторые функции времени, а E^j (ξ, ζ)

Здесь

функции автомодельных переменных. Аналогичное

τ_j

представление делается при анализе автомодельной

Θ_j =

, j = 1,2; H =

, F =

τ_j

динамики быстрой эволюции звезд (взрыве или кол-

лапсе [2, 5, 6, 13-17]). В этом случае находим

Функции H

= H(t) и F

= F(t) называются в

космологии параметрами Хаббла. Общие решение

M₀τ₁(t)τ₂(t)

ρ=

R(ξ, ζ),

(22)

системы (25) относительно компонентов u(r, z, t) и

a(t)²b(t)

w(r, z, t) скорости потока имеет вид

где



Θ₂E²E^1ζ - Θ₁E¹E

|J (ξ, ζ)|



E^1ζ



u = H(t)r + a(t)

(26)

J = det



(23)

 E^2ξ E^2ζ



Θ₁E¹E^2ξ - Θ₂E²E^1ξ

w = F(t)z + b(t)

(27)

Эту функцию в дальнейшем будем называть ко-

эффициентом плотности. Из соотношения (22) сле-

Если

рассматривать

ситуацию,

когда

дует, что масса, заключенная в любом замкну-

Θ_j

= 0, j

= 1, 2, то система (25) оказывается

том объеме V(t)[r, z] в физических координатах,

вырожденной относительно u и v. В силу тре-

но изменяющемся таким образом, что он остает-

бования независимости E¹(ξ, ζ) и E²(ξ, ζ) друг

ся фиксированным в автомодельных переменных,

относительно друга (иначе плотность обраща-

V(t)[r, z] = V[ξ, ζ], не меняется во время эволюции:

ется в нуль), единственным решением системы

∮

(25) относительно u и w в этом случае является

M = 2π ρrdrdz = 2πM₀

|J (ξ, ζ)|dξdζ = const.

анизотропный поток Хаббла:

V(t)

(24)

u = H(t)r = a(t)H(t)ξ, w = F(t)z = b(t)F(t)ζ. (28)

Величина M определяется целиком “числом” мар-

Для такого выбора компонентов потока имеем

керов V₀ (точек среды) в объеме V(t)[r, z]:

∮

∫

u_t + uu_r + wu_z = a(

H+ H²)ξ,

V₀ =

|J (ξ, ζ)|dξdζ = de¹de²,

w_t + uw_r + ww_z = b(F

+ F²)ζ.

(29)

Ранее сферически-симметричные модели космо-

которая остается неизменной в процессе эволюции.

логических течений с потоком Хаббла в рамках

Здесь E

объем в пространстве значений марке-

классической механики Ньютона рассматривались в

ров. Границы звезд и других астрофизических объ-

работах [5, 27, 28]. Следует отметить, что стандарт-

ектов определяются обычно свойствами распределе-

ным подходом к выбору автомодельных переменных

ния плотности и температуры в них, которые долж-

(см. [2, 5, 6]) является явное определение функцио-

ны фиксироваться в автомодельных переменных.

нальной зависимости a = a(t) в виде некоторой сте-

Это будет обсуждаться далее. Поэтому процесс ав-

пенной функции. В этом случае появляется возмож-

томодельной эволюции, по крайней мере, в рассмат-

ность более общего выбора пространственного рас-

риваемых моделях соответствует условию

= 0. В

пределения скорости потока в зависимости от авто-

частности, не имеет физического смысла связывать

модельной переменной ξ, но ограничивается форма

автомодельную эволюцию с процессами потери мас-

автомодельной эволюции газа со временем. В проти-

сы звездами за счет звездного ветра. В стандартном

воположность этому в случае выбора скорости по-

понимании [2] звездный ветер это поток частиц с

тока в форме (28) можно получить модели с более

поверхности звезды, теряющих со временем грави-

ограниченным по форме пространственным распре-

тационную связь с ней. Такой процесс должен опи-

делением параметров газовой среды, эволюция ко-

сываться соотношениями с изменением числа час-

торой со временем описывается более общей систе-

тиц в звезде, т.е. с

V₀ < 0.

мой уравнений [12]. Ограничения пространственно-

Подставляя (21) в уравнения переноса маркеров

го распределения параметров среды в случае выбо-

(5), приходим к следующим соотношениям:

ра закона Хаббла сводятся к тому, что автомодель-

ное уравнения для плотности или температуры ока-

(

)

E_ξ

E^jζ (

зываются некоторой модификацией уравнения Лей-

Θ_jE^j +

u - H(t)r

w - F(t)z

= 0,

a(t)

b(t)

на - Эмдена [12]. Именно этот вариант и будет рас-

j = 1,2.

(25)

сматриваться далее в данной работе.

854

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Модели динамического равновесия . . .

6. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ В

которых энтропия будет явно зависеть от времени

СРЕДЕ

по следующему закону:

В данной работе будет рассматриваться модель

s = s_a(ξ,ζ) + s₀(t).

(33)

самогравитирующей среды в форме идеального газа

Здесь s_a(ξ, ζ) некоторая функция автомодельных

с уравнением состояния Менделеева - Клапейрона:

переменных, а s₀(t) функция времени, характе-

ризующая поступление тепла в систему. Такие про-

A ρT,

(30)

цессы эквивалентны уравнению для s следующего

µ_g

вида:

где A универсальная газовая постоянная, а µ_g

= s₀,

молярная масса газа. На термодинамические про-

что соответствует однородному по пространству от-

цессы в газе будут накладываться определенные

току или притоку тепла в систему в зависимости от

ограничения. Эти ограничения связаны с тем, как

знака функции s₀. Эти режимы теплообмена важны

происходят изменения локальной энтропии s(r, z, t)

при описании моделей динамики газа с автомодель-

со временем. Такие ограничения возникают как

ным распределением его в пространстве.

условия автомодельности самогравитирующей си-

стемы, обладающей автомодельным потоком Хабб-

ла (28).

6.2. Уравнения состояния

Уравнение состояния, соответствующее

(31),

6.1. Автомодельные режимы распределения

можно представить в виде

энтропии

p = K₀es/cvρ^γ, K₀ = Q₀Aµ^-1g.

(34)

Согласно первому закону термодинамики, в каж-

Для процессов (33) это уравнение можно записать

дой точке пространства для идеального газа прира-

как

щение энтропии [2] можно представить в следующем

p = K₀σ(t)S(ξ,ζ)ρ^γ.

(35)

виде:

(

)

Здесь σ(t) = es0(t)/cv и S(ξ, ζ) = esa(ξ,ζ)/cv . Соот-

ds/c_v = d ln

Tρ^1-γ

ветствующее соотношение для температуры будет

Здесь c_v молярная теплоемкость при постоянном

иметь вид

объеме, а γ показатель адиабаты. Отсюда следует

T = K₀σ(t)S(ξ,ζ)ρ^γ-1 = Π(t)T (ξ,ζ),

(36)

T =Q₀ρ^γ-1es/cv,

(31)

где

где Q₀

некоторая постоянная, характеризующая

Π(t) = K₀σ(t)M^γ-10a^-2(γ-1)b^-γ+1,

состояние газа в некоторой фиксированной точке

T (ξ, ζ) = S(ξ, ζ)R^γ-1(ξ, ζ).

(37)

пространства. Если локальная энтропия постоянна

в пространстве и времени: s = const, то процесс рас-

Квазиадиабатические процессы, соответствую-

ширения или сжатия газа будет “глобально” адиа-

щие (33), можно рассматривать и для анализа эво-

батическим. Локально адиабатический процесс со-

люции звездной структуры в автомодельном режи-

ответствует условию, когда энтропия не меняется

ме [2, 3]. В этом случае необходимо к уравнениям

вдоль линий переноса газа. В этом случае для s име-

состояния добавлять уравнения, позволяющие опи-

ем уравнение переноса

сывать функцию S(ξ, ζ) с помощью уравнений теп-

лопередачи в звездах с учетом объемного энерго-

≡ s_t + us_r + ws_z = 0.

(32)

выделения в них. Однако эта задача, как уже от-

мечалось, требует отдельного анализа, выходящего

В этом случае энтропия является некото-

за рамки данной работы. Далее будут рассмотре-

рой функцией гидродинамических маркеров:

ны модели с однородным (S(ξ, ζ) ≡ 1) и с неод-

s = s(e¹,e²) = S(ξ,ζ). Такие процессы характерны

нородным политропным распределениями энтропии

для процессов взрыва звезд, расширения звездных

S(ξ, ζ) ∼ R^δ, где δ

некоторая постоянная. В по-

оболочек [2,6] и процессов космологического расши-

следнем случае, пользуясь автомодельностью рас-

рения, когда диффузионной теплопередачей можно

пределения энтропии, можно полагать, что S(ξ, ζ)

пренебречь.

может быть задана в начальный момент времени.

Кроме таких процессов в дальнейшем будут рас-

Подобный подход используется в случае анализа мо-

сматриваться и квазиадиабатические процессы, для

делей взрыва в звездах [2].

855

В. М. Журавлев

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

)

7. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ

(∂E²

∂E¹

K₁ =

E¹ -

E²

ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОТОКА

bξ

∂ζ

)

ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

(∂E¹

∂E²

K₂ =

E² -

E¹

∂ξ

Сформулированные общие положения позволя-

ют получить уравнения для всех автомодельных пе-

Заметим, что K₁ и K₂ удовлетворяют тождеству

ременных среды, включая маркеры E_j , j = 1, 2, а

1 ∂

a∂K₂

также коэффициенты плотности R и температуры

(ξK₁) +

= 2R.

(40)

ξ∂ξ

b ∂ζ

T . Используя (21), (22), (29) и (20), уравнения (18)

можно привести к следующему виду:

Поскольку K₁, K₂ и R зависят только от ξ и ζ, из по-

следнего соотношения следует требование b = βa(t).

V²(ξ, ζ)

Параметр β можно назвать параметром анизотро-

H+ H²)ξ -

a³ξ³

пии эволюции газодинамической структуры.

2πGM₀

Необходимым условием разделения переменных

=F^1A -

|J|K₁ + Φ_r,

(38)

aξ

является требование выполнения соотношения

2πGM₀

b(F

+ F²)ζ = F^2A -

|J|K₂ + Φ_z.

V² = µξ⁴ + h(ξ),

(41)

aξ

где µ > 0 постоянная, а h(ξ) вспомогательная

Эти уравнения представляют собой уравнения для

функция, требующая уточнения. Физический смысл

маркеров E¹(ξ, ζ), E²(ξ, ζ). В них F^1A, F^2A

ком-

µ и h устанавливается после подстановки (41) в (20).

поненты силы Архимеда по соответствующим осям

В результате находим, что слагаемое с коэффици-

координат:

ентом µ связано с вращением системы как твердого

тела, а слагаемое с h описывает дифференциальное

Π(t) ∂

F^1A = -

(SR^γ ), F^2A = -

(SR^γ ).

вращение.

aR ∂ξ

bR ∂ζ

Представим произвольную пока функцию Φ в

Здесь предполагается выполнение уравнения состо-

следующем виде:

яния (35).

2πGM

n(ξ)

b²µ

Φ=

Φ₀(ξ, ζ) +

ζ²,

(42)

a²

2a⁴

где Φ₀(ξ, ζ) и n(ξ)

некоторые вспомогательные

8. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ

функции, требующие уточнения их смысла. Под-

Для полного описания распределения и эволю-

ставляя теперь (42) и (41) в уравнения системы (39),

ции всех составляющих динамики среды необхо-

получаем

димо решать пару уравнений (38) относительно

[

µ]

E¹(ξ, ζ), E²(ξ, ζ). Поскольку эти уравнения записа-

H+ H²) -

ξ-

a³

a³ξ³

ны в автомодельных переменных с коэффициента-

)

P (t) 1

∂ (

2πGM₀ (

n^′

ми, зависящими от времени, для построения реше-

SR^γ

K₁ + Φ_0,ξ

a R∂ξ

a²

a³

ний этих уравнений необходимо в каждом из них

[

µ]

разделить переменную t и пространственные пере-

b (F

+F²) -

ζ =

(43)

a⁴

менные ξ, ζ. Чтобы проделать такую процедуру, пе-

)

P (t) 1

∂ (

2πGM₀ (

репишем уравнения (38), используя (17) в следую-

SR^γ

K₂ +

Φ_0,ζ

b R∂ζ

a²

щем виде:

Условиями разделения переменных в этих урав-

V²(ξ, ζ)

нениях теперь являются следующие соотношения:

H+ H²)ξ -

a³ξ³

(

)

aΠ(t)

K₀M^γ-20β^1-γ

Π(t) 1 ∂

2πGM₀

σ(t)a^4-3γ = Q₁ = const;

SR^γ

K₁ +

Φ_ξ,

2πGM₀

4πG

a R∂ξ

a²

(

)

a³

H+ H²

= 2πGM₀Λ,

(44)

b(F

+ F²)ζ =

(39)

- a

(

)

Π(t) 1 ∂

2πGM₀

h = -ξ³n^′(ξ).

SR^γ

K₂ +

Φ_ζ.

b R∂ζ

a²

Кроме этого, необходимо, чтобы разделение пере-

Здесь введены обозначения

менных было выполнено в уравнении для функции

856

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Модели динамического равновесия . . .

Φ с учетом соотношения (16). В результате соответ-

роль в структуре звезд и космологических потоков

ствующих вычислений, приходим к (98) и (97) для

газа, находящихся не в статическом, а динамиче-

h и n (см. Приложение).

ском равновесии.

Результатом процедуры разделения переменных

являются уравнения (43)

9. ЭВОЛЮЦИЯ ГАЗОДИНАМИЧЕСКОГО

(

)

Q₁ ∂

ПОТОКА СО ВРЕМЕНЕМ

Λξ +

SR^γ

+ K₁ + Φ_0,ξ = 0,

(45)

R ∂ξ

(

)

Автомодельная эволюция газодинамической

Q₁ ∂

βΛζ +

SR^γ

+K₂ +

Φ_0,ζ = 0.

структуры описывается третьим уравнением си-

βR ∂ζ

стемы (44), в соответствии с которым происходит

Основной задачей данной работы является получе-

растяжение или сжатие структуры в зависимости

ние и анализ решений относительно распределения

от изменений со временем масштабного фактора

плотности среды и эволюции масштабных факто-

a(t). Это уравнение перепишем в следующем виде:

ров. Для решения этой задачи вместо построения

решений системы уравнений (45) относительно E¹

ä = µa^-3 + νa^-2.

(47)

и E² достаточно решать уравнение динамического

Здесь введено обозначение

равновесия. Вычисляя дивергенцию этих двух урав-

нений в переменных ξ и ζ и учитывая то, что функ-

4πGM₀

ν =

λ.

(48)

ция Φ₀ удовлетворяет уравнению (96)(см. Приложе-

3β

ние), приходим к модифицированному уравнению

Для удобства дальнейшего качественного анали-

Лейна - Эмдена для функции R

за решений уравнения (47), представим его в форме

(

))

Q₁

[1 ∂

(ξ ∂

динамической системы:

λ+R+

SR^γ

(46)

ξ∂ξ R∂ξ

(

))]

ċ=

a = c.

(49)

∂

(1 ∂

a³

a²

SR^γ

= 0.

β² ∂ζ R ∂ζ

Эту систему удобно привести к безразмерному виду,

Параметр λ = 3Λ/2 будем далее называть пара-

вводя новые переменные

метром динамического равновесия. Знак и величина

x = a/a₀, y = t₀c/a₀, τ = t/t₀,

этого параметра определяют характер и величину

отклонения системы от точного баланса сил Архи-

где

меда и тяготения.

µ^3/2

a₀ =

, t₀ =

(50)

В соответствии с (44) физический смысл пара-

|ν|

|ν|²

метра ν и, соответственно, параметра λ, состоит

В этом случае система (49) приобретает вид

в том, что они определяют локальную силу реак-

ции среды на ускоренное ее расширение или сжа-

= x^-3 + sign(ν)x^-2,

= y,

(51)

тие, вызванную нарушением баланса сил тяготения

dτ

и Архимеда. Обычно строение звезд рассматрива-

в котором отсутствуют свободные параметры, кро-

ется в предположении их статического равновесия,

ме знака величины ν.

когда в каждой точке среды сила тяготения в точ-

Динамическая система (51) имеет в случае ν > 0

ности уравновешивается силой Архимеда. Такому

одну особую точку, а в случае ν < 0 две. Общей

равновесию соответствует значение λ = 0. В ре-

для обоих знаков ν особой точкой является точка

альности, если слои звезды смещаются в радиаль-

(x_∞ = ∞, c_∞ = 0). В случае ν < 0 дополнительной

ном направлении и имеется зональный поток, то ба-

особой точкой является точка x₀ = 1, y₀ = 0, что со-

ланс силы тяготения и Архимеда нарушается. При

ответствует a₀ = µ/|ν|. Именно эта точка представ-

этом в системе возникают потоки радиального и

ляет особый интерес с точки зрения существования

зонального перемещения точек среды, приводящие

автомодельных осцилляций структуры при сохране-

к автомодельной эволюции. В статическом случае

нии их динамического равновесия. Полагая вблизи

a(t) ≡ const выполняется условие баланса сил и

этой точки x = 1 + η(t), y = δ, где η и δ бес-

уравнения модели формально переходят в уравне-

конечно малые величины первого порядка малости,

ния статической теории строения звезд [1,3] с λ = 0.

приходим к линеаризованной системе

Как будет ясно из дальнейшего, дополнительная си-

δ=-η.

ла реакции среды, связанная с λ, играет важную

η = δ,

(52)

857

ЖЭТФ, вып. 6 (12)

В. М. Журавлев

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Отсюда следует, что особая точка x₀ = 1, y₀ = 0

Как следует из этого соотношения при E → 0 пери-

является центром, а размерная угловая частота Ω₀

од колебаний стремится к бесконечности.

бесконечно малых колебаний вблизи этого центра

Таким образом, в случае ν < 0 и 0.5 < E < 0

равна

газодинамическая система представляет собой ос-

|ν|

циллирующую астрофизическую структуру сжима-

Ω₀ =

(53)

t₀

µ^3/2

ющуюся и расширяющуюся со временем с периодом,

Таким образом, при ν < 0 для начальных условий

который определяется параметром Ω₀. В дальней-

вблизи особой точки с a₀ = µ/|ν| эволюция газоди-

шем свяжем данные структуры со звездами, совер-

намической структуры представляет собой колеба-

шающими осцилляции. Основной причиной возник-

ния с частотой близкой к Ω₀.

новения осцилляций является периодическая пере-

Динамическая система (51) имеет интеграл дви-

качка энергии от кинетической энергии радиально-

жения

го сжатия или расширения к энергии зонального по-

y²

тока и потенциальной энергии силы тяготения при

+ sign(ν)

= E,

(54)

2x²

неизменном балансе сил тяготения, Архимеда и ре-

который аналогичен интегралу энергии частицы, со-

акции среды. Когда звезда автомодельно расширя-

вершающей одномерное движение в потенциальном

ется с увеличением масштабного фактора a, кине-

поле сил.

тическая энергия среды, запасаемая в радиальном

потоке, убывает, а разность потенциальной энергия

9.1. Фазовые портреты при ν < 0

среды в поле тяготения и энергии зонального потока

увеличивается. На обратном ходе цикла колебаний

Фазовые траектории динамической системы

кинетическая энергия зонального потока увеличи-

(51), соответствующие (54) для различных значе-

вается, а разность потенциальной энергии и энер-

ний E при ν < 0, приведены на диаграмме рис. 1.

гии зонального потока уменьшается. При µ = 0, т.е.

Особая точка системы обозначена на диаграмме

при отсутствии зонального потока, колебательный

1 под номером 0. Жирной линией под номером 4

режим невозможен, поскольку сам знак потенциаль-

обозначена фазовая траектория, соответствующая

ной энергии не меняется в процессе эволюции. Такая

значению E = 0. Все траектории для -0.5 < E < 0

ситуация соответствует чисто радиальной модели,

являются замкнутыми, а траектории c E > 0 асимп-

√

описанной в [12]. Такой тип осцилляций не требует

тотически стремятся к точкам (x = ∞, y = ±

2E)

наличия в звезде слоя переионизации газа, который

при t → ±∞. Из (54) следует, что фазовые траекто-

необходим для механизма осцилляций, предложен-

рии для -0.5 < E < 0 пересекают ось абсцисс при

ного в работах [32-34] для цефеид. Следовательно,

значениях безразмерной координаты, равной

механизм осцилляций, соответствующий предлага-

x_± =

√

(55)

емой модели, возможен на любой стадии эволюции

1±

2E + 1

звезд, но может иметь различные варианты пара-

Точка x₊ соответствует максимальному сжатию

метров осцилляций.

структуры, а точка x_- максимальному расшире-

нию. Размах колебаний Δ_E = |x_- - x₊| в случае

осцилляций определяется следующим образом:

9.2. Фазовые портреты при ν > 0

√

1 - 2|E|

Фазовые траектории динамической системы (51)

Δ_E = |x_- - x₊| =

(56)

|E|

для ν > 0 приведены на диаграмме рис. 2.

Для E = 0 x_- = ∞, а при E > 0 эта точка лежит в

Допустимыми значениями параметра E для дан-

ных траекторий являются значения E > 0. Траек-

отрицательной области значений x_- < 0, но траек-

тории в полуплоскости x < 0 не имеют физического

тории на диаграмме рис. 2 пересекают ось абсцисс

в точках

смысла.

Период колебаний P_E газодинамического объек-

x_E =

√

та, соответствующий определенному значению па-

-1 +

2E + 1

раметра E, вычисляется в соответствии со следую-

Эти точки соответствуют максимальному возмож-

щей формулой:

ному сжатию структуры и достигается только, если

∫

√

в начальный момент времени y(0) < 0. Исходя из

xdx

P_E = 2

√

(57)

соотношения (54) находим, что при τ → ∞ скорость

2Ex² + 2x - 1

2|E|^3/2

расширения автомодельной структуры стремится к

858

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Модели динамического равновесия . . .

(

))

∂

(γ-1

S_ξT + ST_ξ

ξ∂ξ

)

∂

(γ-1

S_ηT + ST_η

+ T ⁿ + λ = 0.

(59)

∂η

Здесь введены обозначения η

= βζ = z/a(t) и

n = (γ - 1)^-1 показатель политропы. При вы-

воде этого уравнения, учитывая произвол в выборе

параметра K₀, параметр Q₁ в (46) был выбран в со-

ответствии с соотношением

Q₁ = 1.

2(γ - 1)

Заметим, что в случае сферической симмет-

Рис. 1. Фазовый портрет (51) для ν < 0: E = -0.5 (0),

рии распределения плотности в газодинамической

-0.4 (1), -0.3 (2), -0.2 (3), 0 (4), 0.5 (5), 1.0 (6), 2.0 (7)

структуре при условиях: S(ξ, η)

= S₀

= const

и λ

= 0, уравнение (59) превращается в клас-

сическое уравнение звездных политроп Лейна -

Эмдена (LEm) [1, 3, 18, 19]. Уравнение LEm при

a(t) = a0 = const описывает статическое распре-

деление плотности и температуры в нормальных

звездах с политропным уравнением состоянием газа

(плазмы). В рамках же расширенной теории, когда

λ = 0 и a = a(t), это уравнение описывает неста-

тические астрофизические (и космологические)

объекты c автомодельной структурой. Модели же

с функцией S(ξ, η), отличной от постоянной, поз-

воляют учитывать теплопередачу в газе. Поэтому

уравнение (59) можно рассматривать как двумерное

Рис. 2. Фазовый портрет (51) для ν > 0: E = 0.125 (1),

обобщение уравнения Лейна - Эмдена.

0.25 (2), 0.5 (3), 1.0 (4), 2.0 (5), 4.0 (6)

Существенным отличием рассматриваемой в

данной работе модели от модели Лейна - Эмдена яв-

ляется отсутствие полной сферической симметрии

постоянному значению y_∞, которое определяется ве-

в распределении плотности и других параметров

личиной энергетического параметра E

среды. Это отличие является принципиальным, но

√

может быть малым. Полная сферическая симмет-

y_∞ =

2E.

(58)

рия означает, что все параметры среды, включая

маркеры e¹, e², зависят только от сферической

Соответствующее значение E определяет и асимп-

√

координаты χ =

ξ² + η². Однако в этом случае

тотическую скорость сжатия при t → -∞, равное

√

имеем

y_-∞ = -

2E.

∂E¹

∂E²

∂E¹

∂E²

|J | =

∂ξ

∂ζ

∂ξ

10. АВТОМОДЕЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

(∂E¹ ∂E²

∂E¹ ∂E²

) ξζ

= 0.

ПРОСТРАНСТВЕННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

∂χ ∂χ

∂χ ∂χ χ²

ГАЗА

Отсюда следует, что и ρ = a^-3β^-1M₀|J |/ξ = 0, т.е.

Рассмотрим теперь пространственную структу-

плотность среды в таком представлении оказывает-

ру распределения плотности, температуры и других

ся нулевой. Поэтому маркеры должны обязательно

параметров среды, которые соответствуют рассмот-

зависеть от двух координатных переменных. Вместе

ренной автомодельной эволюции звезд. Эти распре-

с этим реальные астрофизические структуры очень

деления описываются уравнением (46). Приведем

часто обладают пространственными симметриями.

это уравнение к следующему виду:

К таким объектам относятся звезды и спиральные

859

В. М. Журавлев

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

галактики. Звезды в большинстве своем обладают

по угловой координате, как обычно, следует считать

почти точной сферической симметрией, отклонения

условие периодичности.

от которой в случае одиночных звезд обусловлены

Предположим, что функция S(χ, θ) может быть

их вращением. Для Солнца эффект нарушения сфе-

представлена в виде ряда:

рической симметрии мало заметен. Тем не менее,

∑

наличие дифференциального вращения Солнца ука-

S = S₀(χ) + ς^kS_k(χ,θ),

(63)

зывает на отклонения от его сферической симмет-

k=1

рии, что проявляется и в распределении магнитного

Тогда решение уравнения (60) можно искать в виде

поля по его поверхности. В отличие от звезд спи-

аналогичного ряда:

ральные галактики и другие аналогичные структу-

ры представляют собой почти плоские тонкие дис-

∑

T = T₀(χ) + ς^kT_k(χ,θ),

(64)

ки. В таких структурах скорость изменения плот-

k=1

ности вдоль оси вращения существенно больше, чем

вдоль радиальной координаты в плоскости диска.

где ς

малый параметр, характеризующий откло-

Эллиптические галактики и быстро вращающиеся

нение автомодельного распределения плотности и

звезды занимают промежуточное положение между

температуры от сферически симметричной формы.

одиночными звездами и спиральными галактиками.

Подставляя (64) в уравнение (60), можно получить

В качестве основной цели исследований в данной ра-

уравнения для всех функций T_k . В нулевом порядке

боте будут рассмотрены звезды с относительно мед-

уравнение выглядит следующим образом:

ленным вращением. Галактики и другие типы объ-

(

))

∂

(γ-1

ектов следует рассматривать в отдельной работе.

χ²

S_0,χT₀ + S₀T_0,χ

+ T ⁿ⁰ + λ = 0.

χ² ∂χ

Для описания почти сферических звезд перей-

(65)

дем в уравнении (59) от цилиндрических координат

Граничные условия для T₀ будут иметь такой вид:

к сферическим. Соответственно уравнение (59) при-

мет следующий вид:

T₀(0) = 1, T^′0(0) = 0.

(66)

(

))

∂

(γ-1

χ²

S_χT + ST_χ

(60)

Уравнение этого типа при S₀ = 1 рассматривалось в

χ² ∂χ

(

[12] для анализа автомодельной эволюции централь-

))

∂

(γ-1

но симметричных астрофизических структур.

sin θ

S_θT + ST_θ

+ T ⁿ + λ = 0.

χ² sinθ ∂θ

В первом порядке теории возмущений имеем сле-

√

дующее линейное уравнение для функции T₁:

Здесь χ =

ξ² + η² и θ = arctg(ξ/η)

радиаль-

(

ная координата и полярный угол соответственно. По

))

∂

(γ-1

χ²

S_0,χT₁ + S₀T_1,χ

+ nT ^n-10(χ)T₁ +

аналогии с моделями Лейна - Эмдена в качестве гра-

χ² ∂χ

ничных условий для безразмерной функции R(χ, θ),

(

))

∂

(γ-1

записанной в сферических координатах, будем рас-

sin θ

S_0,θT₁ + S₀T_1,θ

(67)

χ² sinθ ∂θ

сматривать два условия:



= F₁(χ, θ),

∂



R(0, θ) = 1,

R(χ, θ)

= 0.

(61)

∂χ

с однородными граничными условиями

χ=0

Первое из этих условий фактически связывает мас-

T₁(0, θ) = 0, T^′1(0, θ) = 0.

штаб плотности газа в исследуемых объектах, на-

Функция F₁(χ, θ) имеет при этом вид

пример, неопределенный пока параметр M₀, с его

(

плотностью в центре поля. Второе условие необхо-

))

∂

(γ-1

димо для того, чтобы исключить сингулярные в цен-

F₁ = -

χ²

S_1,χT₀ + S₁T_0,χ

χ² ∂χ

тре поля решения. Отсюда также следует граничное

(

))

∂

(γ-1

условие для S(χ, θ):

−

sin θ

S_1,θT₀

χ² sinθ ∂θ



∂



S(χ, θ)

= 0,

(62)



Уравнение (67) для однородной части решения до-

∂χ

χ=0

пускает разделение переменных, поэтому

которое также необходимо для исключения сингу-

∑

лярных в точке χ = 0 решений в случае неоднород-

T₁ = R_l(χ)P_l(cos θ).

ного распределения энтропии. Граничным условием

l=0

860

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Модели динамического равновесия . . .

Здесь P_l(cos(θ))

функции, удовлетворяющие

получение общей информации о распределении

уравнениям

плотности в сферическом приближении для случая

(

λ = 0. Это означает, что далее будут исследоваться

))

∂

(γ-1

свойства функций R и T в нулевом приближении.

sin θ

S_0,θP_l + S₀P_l,θ

χ² sinθ ∂θ

В силу этого для упрощения записи индекс 0 у

функций S₀(χ), R₀(χ) и T₀(χ) будет опускаться.

+Λ(l)P_l = 0.

Как хорошо известно [1,3], уравнения LEm име-

Это уравнение в случае S₀ = 1 переходит в класси-

ют несколько точных решений. Одно из них соот-

ческое уравнение Лежандра для одноименных поли-

ветствует показателю политропы n = 1, что экви-

номов P_l(cos θ), l = 0, . . . , ∞, с собственным числом

валентно γ = 2. Для этого случая уравнение (65)

Λ = l(l+1). Функции R_l(χ) являются собственными

принимает следующий вид:

функциями радиального уравнения

d²

(

Z + Z + χλ = 0.

))

∂

(γ-1

dχ²

χ²

S_0,χR_l + S₀R_l,χ

χ² ∂χ

Здесь введено обозначение Z = χT . Это линейное

+nT^n-10(χ)R_l = Λ(l)R_l

(68)

уравнение имеет решение

с граничными условиями R_l(0) = 0, R^′l(0) = 0.

Z = C1 sin(χ) + C2 cos(χ) - χλ.

Несмотря на всю важность анализа возмущений,

в данной работе этот анализ проводится не будет.

Удовлетворяя граничным условиям, находим

Такие вычисления удобно представлять в отдель-

C₂ = 0, C₁ - λ = 1. В результате решение для T

ной работе. Поэтому далее основное внимание будет

примет вид

уделено анализу уравнения (65), которое можно на-

звать модифицированным уравнением Лейна - Эм-

T (χ) = (1 + λ)

sin(χ) - λ.

(69)

дена (mLEm), от которого это уравнение отличается

лишь наличием аддитивной постоянной λ = 0.

Отсюда видно, что при χ → ∞ T (χ) → -λ. В слу-

Кроме этого, следует отметить, что в теории

чае λ > 0, предельное значение плотности оказыва-

строения звезд используют граничные условия для

ется отрицательным, что означает, что коэффици-

температуры и давления на поверхности звезды, где

ент температуры T (χ) и R(χ) обращаются в некото-

R(χ, θ) обращается по определению в нуль [1,3]. При

рой точке в нуль. Обращение плотности в нуль при

этом могут возникать определенные проблемы, свя-

некотором значении χ₀ трактуется в теории LEm

занные с тем, что плотность и температура могут

как существование его конечного радиуса r₀, кото-

обращаться в нуль не при одном и том же значе-

рый в данной теории будет зависеть от времени:

нии r. Как будет ясно из дальнейшего, условие об-

r₀ = a(t)χ₀.

ращения в нуль плотности на поверхности звезды,

В случае λ < 0 предельное значение плотно-

которое на самом деле является приближенным, в

сти на бесконечности оказывается положительным

наиболее интересном классе моделей c λ < 0 не вы-

и почти постоянным, т.е. при удалении от центра

полняется. В таких моделях для определения ради-

системы T (R) осциллирует, но приближается к

уса звезды следует использовать положение первого

постоянной величине T_∞. Анализируя (69), уста-

минимума плотности или температуры. Такое опре-

навливаем, что существует такой диапазон отри-

деление более точно отражает суть физических про-

цательных значений λ: λ_cr

≤ λ < 0, в котором

цессов, формирующих звезды и другие астрофизи-

T (χ) принимает отрицательные значения, хотя при

ческие структуры.

χ → ∞ T (χ) cтремится к положительному значе-

нию. Это аналогично моделям с положительными λ

в классической модели LEm. В отличие от этого при

11. МОДЕЛИ С ОДНОРОДНЫМ

λ < λ_cr коэффициент температуры T (χ) оказыва-

РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ЭНТРОПИИ. ТОЧНЫЕ

ется всюду положительной величиной. Для модели

РЕШЕНИЯ ДЛЯ n = 1

c n = 1 величину λ_cr можно найти из соотношения

Начнем анализ моделей пространственной

λ_cr = sin(z₀)/(z₀-sin(z₀)), где z₀ минимальное по-

структуры с наиболее простых моделей, имею-

ложительное решение уравнения: z = tg(z), которое

щих однородное распределение энтропии, полагая

эквивалентно уравнениям на экстремумы функции

S₀(χ) = 1. Целью дальнейшего анализа является

T (z) (69). Численно наxодим λ_cr ≃ -0.1784650236.

861

В. М. Журавлев

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Рис. 3. Коэффициент температуры T (χ) для n = 1 и

Рис. 5. Коэффициент температуры T (χ) для λ = 0.25:

λ > 0: λ = 0(0) λ =0.5(1), 1.0(2), 2.0(3), 4.0(4), 8.0(5),

n =1(1), 1.5(2), 2.0(3), 3.0(4), 5.0(5)

16.0 (6)

[3].Bogoyavlensky1980

12. МОДЕЛИ C n = 1 ДЛЯ λ > 0

Рассмотрим теперь характерные особенности мо-

делей c n = 1 для случая положительных значе-

ний параметра динамического равновесия: λ > 0. В

качестве примера рассмотрим модель одноатомного

газа с γ = 5/3 и n = 3/2. Как и в случае точного ре-

шения, рассмотренного выше, при λ > 0 поведение

параметров среды подобно поведению этих парамет-

Рис. 4. Коэффициент температуры T (χ) для λ

< 0:

ров в соответствующих моделях LEm с λ = 0.

=0(0), -0.1784650236 (1), -0.25 (2), -0.5 (3), -0.75 (4),

Для того, чтобы показать это, представим урав-

-1.0 (5), -1.25 (6), -1.5 (7), -1.75 (8), -2.0 (9)

нение (65) в виде

Еще одной особенностью решения (69) является

d²

2 d

T +

T + T ⁿ + λ = 0.

(70)

то, что при λ = -1 функция T (χ) всюду оказыва-

dχ²

χ dχ

ется равной 1. Такое решение соответствует одно-

родному пространственному распределению темпе-

Отсюда видно, что при стремлении производных

ратуры, плотности и давления в газе, что характер-

T ′′(χ) и T ^′(χ) на бесконечности к нулю, имеем

но космологическим моделям.

T n → -λ < 0. Однако последнее для веществен-

На рис. 3 представлены кривые коэффициента

ных решений невозможно, если λ > 0 и показатель

температуры T (χ) для положительных значений λ

политропы n = (γ₀ - 1)^-1 отличается от нечетно-

и n = 1. Точками показана кривая, соответствую-

го целого числа. Это означает, что для граничного

щая классической теории Лейна - Эмдена c λ = 0.

условия T (0) = 1 вещественное решение в случае

Из графиков видно, что с увеличением λ радиус

λ > 0 может существовать на некотором отрезке

сферы, на которой температура, плотность и давле-

вблизи нуля и обращается в нуль в некоторой точке

ние обращаются в нуль (т.е., по определению, радиус

χ₀: T (χ₀) = 0. Для случая нечетных n будут суще-

звезды), уменьшается.

ствовать решения и на некоторых других интерва-

На рис. 4 изображены кривые T (χ) для λ < 0.

лах χ, как это имеет место для n = 1 (γ = 2).

Как и на рис. 3 точками обозначена кривая, соот-

Для иллюстрации такого поведения на рис. 5

ветствующая λ = 0. Пунктиром кривая, соответ-

приведены графики T (χ) для нескольких значений

ствующая значению λ = -0.1784650236, при кото-

n при λ = 0.25.

ром кривая в одной точке касается оси абсцисс.

На рис. 6 приведены графики T (χ) для набора

Заметим, что точные решения для модели LEm,

положительных значений параметра λ ≥ 0 для по-

как и для mLEm можно также найти при γ = ∞

казателя адиабаты одноатомного газа с γ = 5/3 и

(n = 0) (несжимаемая жидкость) и γ = 6/5 (n = 5)

n = 3/2. Значение λ = 0 соответствует стандартной

862

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Модели динамического равновесия . . .

где |q(χ)| << 1. В результате уравнение для q(χ)

линеаризуется. Если ввести вместо q(χ) функцию

w = χq(χ), то для w(χ) уравнение приводится к сле-

дующему виду:

w^′′ + nT^n-1∞w = 0.

Отсюда находим, что решение для w(χ) будет иметь

вид

w = W0 sin(Kχ),

, соответственно, для q(χ) вид

Рис. 6. Коэффициент температуры T (χ) для одноатомно-

го газа с n = 3/2(γ = 5/3) и λ > 0: λ = 0 (0), 0.5 (1),

q=W₀

sin(Kχ).

(72)

1.0 (2), 1.5 (3), 2.0 (4), 4.0 (5), 8.0 (6)

Здесь

√

модели LEm. Таким образом, модели с λ > 0 в це-

K = n

∞

√n|λ|^(n-1)/(2n).

лом похожи на модели LEm, но при одном и том же

n имеют меньший автомодельный радиус звезды.

Параметр K определяет длину осцилляций плотно-

Сопоставляя приведенный анализ с анализом

сти при χ → ∞. Значение W₀ находится из гранич-

эволюции масштабного фактора, находим, что мо-

ного условия T (0) = 1:

дели с λ > 0 не могут описывать какие-либо стати-

1-T_∞

1 - |λ|^1/n

ческие структуры. При t → ∞ в соответствии с (58)

W₀ =

эволюция обязательно переходит в режим расшире-

ния с постоянной скоростью

Окончательно находим

v_∞ = lim

a = a₀y_∞/t₀.

T ≃ qT_∞ + (1 - T_∞)

sin(Kχ).

(73)

t→∞

Kχ

При достаточно малых значениях параметра энер-

В частности, для всех n > 1 при λ = 1 находим

гии E эта асимптотическая скорость может быть

W₀ = 0, что эквивалентно отсутствию простран-

достаточно маленькой, чтобы имелась возможность

ственных осцилляций. Этот факт подтверждают и

сопоставить ее реальному автомодельному расши-

численные расчеты, приведенные ниже. Полезно от-

рению звезд. Однако наличие отрицательных значе-

метить для более точного понимания физического

ний плотности и температуры при значениях χ > χ₀

смысла параметра λ, что согласно (71), величина

делает эти модели менее пригодными для сопостав-

|λ| совпадает со значением коэффициента плотно-

ления с реальными данными, чем модели с λ < 0.

сти среды на бесконечности:

R_∞ = lim R(ξ).

ξ→∞

13. МОДЕЛИ С n = 1 И λ ≤ 0

По аналогии с точным решением при n = 1 мож-

В отличие от моделей c λ > 0 модели с отрица-

но приближенно рассчитать значение λ_cr(n), при ко-

тельными значениями этого параметра, как и в слу-

тором кривая T (χ) касается единственный раз оси

чае точного решения c n = 1, демонстрируют иное

абсцисс. Условием этого является обращение T (χ)

асимптотическое поведение T (χ) при χ → ∞. Важ-

из (73) в нуль и обращение в нуль производной T^′(χ)

ным является то, что при χ → ∞ величина T (χ)

в этой же точке. Эти два условия имеют вид

стремится к постоянному значению, которое опре-

деляется формулой

sin(Kχ₀)

T (χ₀) = T_∞ + (1 - T_∞)

= 0,

Kχ₀

lim

T (χ) = T_∞ = |λ|^1/n.

(71)

(

)

χ→∞

W₀ cos(Kχ₀)

T ′(χ₀) =

Kχ₀ - tg(Kχ₀)

= 0.

Kχ²

Это можно доказать, рассматривая приближенное

асимптотическое решение уравнения (70) вида

Второе уравнение этой системы,

T (χ) = T_∞ + q(χ),

tg(Kχ₀) = Kχ₀,

863

В. М. Журавлев

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Рис. 8. Коэффициент температуры T (χ) для ультраре-

Рис. 7. Коэффициент температуры T (χ) для одноатомно-

лятивистского электронного газа с n = 3 (γ = 4/3) и

го газа с n = 3/2(γ = 5/3) и λ > 0: λ = 0 (0), -0.085 (1),

-0.2 (2), -0.4 (3), -0.7 (4), -1.0 (5), -1.5 (6), -2.0 (7), -2.5 (8)

λ > 0: λ0(0), -0.0065(1), -0.2(2), -0.4(3), -0.7(4), -1.0(5),

-1.5 (6), -2.0 (7), -2.5 (8)

решается независимо. Минимальный положитель-

ный корень этого уравнения равен

что аналогично поведению температуры для класси-

ческих моделей LEm с λ = 0. Как и в классических

Kχ₀ ≃ 4.493409458.

моделях LEm участки с положительной плотностью

перемежаются с участками, где вещественного ре-

Из первого уравнения находим

шения не существует. Однако в отличие от моделей

T₀

LEm в пределе при χ → ∞ значение коэффициен-

T_∞ = |λ|^1/n = -

≃ 0.1784650236.

1-T₀

та температуры стремится к положительному зна-

чению q_∞.

Отсюда

Второй открытый интервал (-1, λ_cr(n)) характе-

λ_cr(n) ≃ -T^n∞.

ризуется тем, что температура нигде не обращается

В частности, для n = 3/2 (γ = 5/3) получаем

в нуль и, совершая осцилляции с волновым числом

K(n, λ), стремится к q_∞. Для этого интервала важ-

λ_cr(3/2) ≃ -0.07539276488.

ным является то, что колебания температуры нигде

не превышают значения 1. В этом отношении мо-

Более точное значение, полученное численным под-

дели из этого диапазона значений λ подобны клас-

бором решения, дает оценку λ_cr(3/2) ≃ -0.085. Ана-

сическим моделям LEm. Поскольку для этих моде-

логично, для n = 3 (γ = 4/3) имеем оценку по при-

лей положительные решения для плотности и тем-

ближенному решению λ_cr(3) = -0.005684069, а со-

пературы существуют всюду, то такую модель мож-

гласно численному решению λ_cr(3) = -0.0065.

но рассматривать как модель политропной звезды

На рис. 7 и 8 представлены графики изменения

с пространственными осцилляциями температуры и

T (χ) для различных значений λ для одноатомно-

го газа с γ = 5/3 и ультрарелятивистского элек-

плотности, затухающими вдали от звезды.

тронного газа с γ = 4/3. Кривые на этих графиках

Третий интервал (-∞, -1) соответствует моде-

демонстрируют все основные особенности простран-

лям с почти однородным при λ

< -1 и одно-

ственного распределения температуры, рассмотрен-

родным при λ

= -1 пространственным распре-

ные выше. В частности, при λ = 1 в пространствен-

делением плотности и температуры. Такие моде-

ном распределении T (χ) отсутствуют осцилляции.

ли можно использовать для описания космологи-

ческого расширения в классическом приближении.

Как показывает анализ точного решения для

Пространственные осцилляции T , соответствующие

n = 1, так и численного для n > 1, весь диапа-

(73), можно при этом сопоставить известным реаль-

зон отрицательных значений параметра динамиче-

но наблюдаемым пространственным космологиче-

ского равновесия λ можно разделить на три интер-

ским осцилляциям температуры [29]. Такие осцил-

вала, в которых поведение коэффициентов плотно-

ляции обнаруживают в форме акустического пика в

сти, температуры и давления существенно отлича-

спектре флуктуаций температуры.

ются. Первый интервал [λ_cr(n), 0] отличается тем,

Важной особенностью построенных решений, ко-

что в этом диапазоне значений λ коэффициент тем-

торая воспроизводится во всех моделях с λ < 0,

пературы T конечное число раз обращается в нуль,

является поведение коэффициентов температуры и

864

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Модели динамического равновесия . . .

плотности при χ → ∞. Из соотношения (71) следует,

что величина R_∞ = |λ| определяет плотность газа

ρ_∞ = M₀a^-2b^-1R_∞ = M₀a^-2b^-1|λ|

на бесконечности. Это означает, что модели mLEm,

основанные на уравнении (60), как и модели LEm

с λ = 0, адекватно описывают распределение плот-

ности лишь на ограниченном расстоянии от центра

звезды. В моделях LEm ограничиваются расстояни-

ями, на которых плотность остается вещественной

и не отрицательной. В рассматриваемых в данной

Рис. 9. Коэффициент температуры T (χ) для одноатом-

работе моделях mLEm с λ < 0 также приходит-

ного газа с n

= 3/2 (γ

= 5/3): λ

= 0

точки,

ся ограничиваться конечными расстояниями от цен-

λ = λcr = -0.0851 штриховая, λ = -0.2 < λcr сплош-

тра звезды. Если считать, что звезда является един-

ная линия, χ0 первый минимум, χ1 первый максимум

ственным объектом в пространстве, то на больших

расстояниях от нее плотность должна убывать до-

статочно быстро так, чтобы общая масса газа была

Если отложить пока вопрос о теплопередаче в

бы конечной величиной. В реальности звезды нахо-

исследуемой структуре, то более точный отбор мо-

дятся в некотором окружении. Поэтому плотность

делей по величине λ может осуществляться с по-

среды на большом удалении от звезд не стремится

мощью двух основных параметров пространствен-

к нулю. Формально это означает, что на определен-

ной структуры. Первый параметр это значение

ном расстоянии от звезды должна возникать удар-

температуры газа в первом минимуме с автомодель-

ная волна, соответствующая переходному процессу

ной координатой χ₀, отсчитывая от χ = 0 (см. рис.

от плотности газа, связанного со звездой, к плотно-

9), который в структуре нормальных звезд можно

сти межзвездной среды. Как хорошо известно, такие

отождествить с условным радиусом звезды, т.е. с

волны наблюдаются в реальности. При этом следу-

минимумом температуры в фотосфере. Второй

ет подчеркнуть, что при сферически симметричном

это значение T в первом после минимума в точке χ₀

распределении плотности, поле тяготения, порожда-

максимуме температуры. Важность этих парамет-

емое газом вне некоторой сферы, окружающей звез-

ров состоит в том, что их можно просто соотнести с

ду, не оказывает влияния на процессы внутри этой

известными данными о строении Солнца, исходя из

сферы. Поэтому формальное ограничение модели

стандартной его модели.

конечными расстояниями не меняет физической су-

На рис. 9 представлены кривые коэффициента

ти построений для рассматриваемых моделей.

температуры T (χ), соответствующие нулевому зна-

чению λ = 0 (точки) и λ ≃ λ_cr (сплошная кривая)

для одноатомного газа n = 3/2. Для этой кривой

14. МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКОГО

указаны положения первого минимума χ₀ и первого

РАВНОВЕСИЯ ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ЗВЕЗД

максимума χ₁ коэффициента температуры. Как от-

Собирая полученную информацию о свойствах

мечалось выше, первый минимум температуры мо-

рассмотренных моделей, можно предположить, что

жет быть сопоставлен минимуму в фотосфере звез-

наиболее адекватными по отношению к реальному

ды. Для Солнца оценка равновесной температуры

строению звезд и их эволюции являются модели с λ

в центре соответствует примерно 15 · 10⁶K, а мини-

в диапазоне значений (-1, λ_cr). Действительно, по-

мальная температура в фотосфере

4800K [8,30].

скольку для моделей из этого диапазона λ плотность

Таким образом, минимум температуры примерно в

и температура газа всюду положительны, то модель

3000 раз меньше температуры в центре Солнца. От-

может, хотя бы на качественном уровне, быть сопо-

сюда следует, что реальное значение параметра λ

ставлена реальным данным без потери физического

для Солнца и, по всей видимости, для звезд других

смысла на всех расстояниях от условной поверхно-

типов, должно быть близко к критическому значе-

сти звезды. В классических моделях LEm всегда су-

нию λ_cr. Для одноатомного газа в модели с посто-

ществуют области пространства, в которых отсут-

янной энтропией λ_cr ≃ -0.085. Это значение авто-

ствуют вещественные положительные решения для

матически определяет температуру газа вдали от

температуры и плотности.

звезды: T_∞ ≃= 0.1934 (штриховая). Если прини-

865

В. М. Журавлев

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

мать, что в центре звезды температура 15 · 10⁶K,

ре. Отсюда текущее значение масштабного фактора

то температура вдали от звезды будет примерно

можно оценить следующим образом a_∗ = R_∗/χ₀. Во-

T_∞ ≃ 15 · 10⁶T_∞ ≃ 3 · 10⁶. Очевидно, что это завы-

вторых, исходя из соотношения для плотности (22),

шенная оценка связана с тем, что при ее получении

можно оценить масштаб массы M₀, зная плотность

не учитывалась теплопередача в газе, потеря тепла

вещества звезды в ее центре. Из граничного условия

за счет излучения и, возможно, влияние магнитного

в центре звезды R(0) = 1 следует

поля.

M₀ = a^3∗βρ(0).

(74)

Вторым важным элементом автомодельной

структуры является немонотонный характер изме-

В результате имеем

нения температуры и плотности с расстоянием от

центра поля. Наличие первого максимума χ₁ можно

4πGM₀

4πG

ν =

|λ_∗| =

a^3∗|λ_∗|ρ(0).

(75)

отождествить с наблюдаемым реально максимумом

3β

температуры в короне Солнца [8,30]. Если отожде-

Здесь λ_∗

значение параметра динамического

ствить положение первого минимума температуры с

равновесия, соответствующего текущему состоянию

радиусом звезды, то следующий максимум находит-

звезды.

ся на расстоянии чуть меньше радиуса звезды от ее

Рассмотрим звезды типа Солнца, осцилляции ко-

поверхности. Величина T_max = T (χ₁) в максимуме

торых невелики, так что можно считать, что теку-

χ₁ для кривой с критическим значением λ равна

щий масштабный фактор a_∗ мало отличается от мас-

T_max ≃ 0.3. Соответственно для Солнца находим

штабного фактора, соответствующего особой точке

T_max = 15 · 10⁶T_max ≃ 5 · 10⁶. Это тоже завышенная

фазовой диаграммы (1), т.е. a_∗ = a₀, где a₀ = µ/|ν|.

оценка, что также по всей видимости, связано с

Из последнего соотношения можем вычислить пара-

неучтенной теплопередачей.

метр µ:

Вместе с тем можно констатировать, что данная

µ = a_∗|ν|.

(76)

модель дает качественное объяснение росту темпе-

ратуры в короне Солнца. Осциллирующий харак-

Эти соотношения позволяют вычислить значение

тер пространственного распределения температуры

периода осцилляций вблизи особой точки. В соот-

и плотности в данной модели связан с динамически-

ветствии с (48) находим

им влиянием ускоренного течения газа вне звезды.

√

В сочетании с тем, что при таких значениях λ < 0

µ^3/2

3πβ

P₀ = 2π

(77)

и E < 0 в (54) структура переходит в режим ос-

|ν|^3/2

|λ_∗|ρ(0)G

цилляций во времени, рассмотренные модели пред-

ставляются наиболее адекватными для сопоставле-

Эта формула показывает, что частота осцилляций

ния реальной структуре Солнца. Некоторые недо-

звезды зависит от плотности в центре звезды ρ(0),

статки модели можно устранить с помощью учета

от значения параметра динамического равновесия

теплопередачи в среде.

|λ_∗| и от значения параметра анизотропии β, кото-

рый для звезд с относительно малой скоростью вра-

щения можно полагать равным 1: β ≃ 1. Формулу

15. РАДИАЛЬНЫЕ ОСЦИЛЛЯЦИИ ЗВЕЗД

(77) можно сравнить с классической формулой пе-

риода пульсаций цефеид [9], которая имеет следую-

15.1. Параметры звездных осцилляций

щий вид:

Для более детального понимания свойств рас-

P_c =

(78)

√Gρ,

сматриваемой модели рассмотрим особенности эво-

люции структуры звезд с λ < λ_cr в режиме осцил-

где ρ средняя плотность вещества звезды. Срав-

ляций. Для того чтобы связать параметры модели

нивая (77) с (78) находим, что эти формулы совпа-

с реальными данными о звездах, в том числе, дан-

дают, если выполнено равенство

ными о Солнце, будем следовать следующим доста-

точно очевидным предположениям. Во-первых, по-

ρ=

|λ_∗|ρ(0).

(79)

3πβ

ложение первого минимума χ₀ в распределении тем-

пературы, как уже отмечалось, будем интерпрети-

Фактическое совпадение соотношения (77) с (78)

ровать как автомодельный радиус звезды. Поэтому

при учете (79) означает, что полученные соотноше-

χ₀ = R_∗/a_∗, где R_∗ текущий радиус звезды, опре-

ния теории динамического равновесия почти сфе-

деляемый по минимуму температуры в фотосфе-

рических звезд могут служить нелинейной моделью

866

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Модели динамического равновесия . . .

теории звездных пульсаций, в том числе, цефеид. С

этой точки зрения (79) можно рассматривать как

огрубленную интерпретацию частоты пульсаций с

точки зрения линейной теории.

15.2. Диаграмма период-светимость

Наиболее важной практической целью теории

звездных пульсаций является вывод диаграммы

период-светимость, который играет важнейшую

роль в использовании цефеид в качестве маркеров

астрономических расстояний. Светимость L по

определению может быть вычислена как полный

поток энергии излучения с поверхности звезды.

Дифференциальный поток излучения вычисляется

с помощью закона Стефана-Больцмана по формуле

F = σ₀T⁴(R_∗) = σ₀Π⁴(t)T ⁴(χ₀).

Здесь σ₀

постоянная Стефана-Больцмана. Соот-

ветственно, светимость может вычислена с помо-

щью соотношения:

L = 4πσ₀Π⁴(t)T ⁴(χ0)R^2∗ = 4πσ₀Π⁴(t)a²(t)T ⁴(χ0)χ²⁰.

Согласно (44) имеем

Рис. 10. Зависимость x(τ ) (a) и y(τ ) (b), а также фазо-

Π = 2πGM₀Q₁a^-1(t).

вые траектории звезды (c) для λ∗ = -0.085 c начальными

Учитывая (37) находим

условиями: 1 (y(0) = 0, x(0) = 0.6) штриховая, 2

(y(0) = 0, x(0) = 0.9) сплошная

L = x^-2(t)L₀,

(80)

где

Эти соотношения универсальны и не зависят

от типа звезды. Реальные диаграммы период-

(4πGM₀(γ - 1))4

L₀ = 4πσ₀

a^-20T⁴(χ0).

(81)

светимость будут зависеть от двух параметров L₀ и

t0 = µ3/2/|ν|2. В данной работе не ставилась цель

Для построения диаграммы период-светимость

провести сравнение реальных диаграмм период-

воспользуемся соотношением (80), записанным для

светимость с диаграммами, соответствующими (82).

максимального x_-(E) и минимального x₊(E) авто-

Эта задача требует привлечения большого набора

модельных радиусов звезд. В результате с учетом

данных по цефеидам. В данной работе приводятся

(55) имеем

лишь графики универсальных кривых, соответству-

(

√

)₂

ющих (82), а также универсальных кривых x(τ) и

L_max = L₀ 1 +

1 - 2|E|

y(τ), соответствующих модели (51).

(

)₂

√

Для наглядности характера осцилляций на рис.

L_min = L₀ 1 -

1 - 2|E|

10(a,b,c) представлены графики изменения безраз-

мерного радиуса x(τ) (a) и безразмерной скорости

Исключая из этих соотношений E с помощью выра-

y(τ) (b) изменения радиуса от безразмерного време-

жения (57), получаем формулы, которые по сути и

ни τ для λ_∗ = -0.085 и двух начальных условий.

являются диаграммами период-светимость



√



)_-2/3

Соответствующие кривые для относительных ве-

L_max

(P_E

=1 +

 ,

личин L_max/L₀ и L_min/L₀ представлены на рис. 11.

L₀

2π

Верхний график (a) соответствует светимости звезд



√



)_-2/3

в максимуме, а (b) в минимуме в зависимости от

L_min

(P_E

=1 -

 .

(82)

периода осцилляций звезд с одними и теми же па-

L₀

2π

раметрами, но для различных значений энергетиче-

867

В. М. Журавлев

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

динамического равновесия. Эта величина оказыва-

ется по модулю слишком большой для того, чтобы

параметры модели были сопоставимы параметрам

строения и эволюции Солнца.

Естественным способом коррекции модели с це-

лью получения более реалистичных значений пара-

метров Солнца является включение в модель неод-

нородного распределения коэффициента энтропии

S(χ, θ). В общем случае модели с неоднородным

распределением энтропии следует исследовать с ис-

пользованием уравнений переноса излучения в звез-

дах и в межзвездной среде [2, 3]. Можно показать,

что при некоторых предположениях относительно

коэффициента непрозрачности среды и коэффици-

ента энерговыделения в среде уравнения теплопе-

редачи можно привести к автомодельному виду. В

этом случае одно из уравнений системы будет урав-

Рис. 11. Диаграмма период-светимость, соответствующая

нение (59). Однако исследования такого рода удоб-

формулам (82)

нее проводить в отдельной работе. Тем не менее су-

ществует круг задач, в которых описание теплопе-

ского параметра E.

редачи можно упростить и свести к задаче с неко-

Следует отметить, что полученное соотношение

торым заданным модельным распределением коэф-

период-светимость (82) выражено в безразмерной

фициента энтропии S(χ). Поскольку S(χ) является

форме. Поэтому его трудно сопоставлять с реальны-

функцией автомодельных переменных, то ее функ-

ми эмпирическими диаграммами, полученными на

циональный вид формально определяется распреде-

основе реальных данных [9,11]. Тем не менее, общий

лением в начальный момент времени. В данной ра-

вид диаграммы (82) в сравнении с реальными диа-

боте будет рассмотрена модельная функция S(χ),

граммами указывает на их сходство. Это позволя-

зависящая от коэффициента плотности R(χ) в со-

ет надеяться на возможность использования модели

ответствии с общим соотношением:

(51) для описания звездных осцилляций цефеид.

S = H₀(χ)R^δ(χ),

(83)

где H₀(χ) > 0 безразмерная функция радиальной

16. МОДЕЛИ С НЕОДНОРОДНЫМ

координаты, необходимая для более точной коррек-

РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ЭНТРОПИИ

ции потока тепла в звезде, а δ некоторая безраз-

Рассмотренные модели с λ ∈ (-1, λ_cr), как это

мерная вещественные постоянная.

следует из предыдущего анализа, дают картину эво-

Для первого этапа анализа, который реализует-

люции звезд, которая на качественном уровне мо-

ся далее, будем полагать H₀ = const. В этом слу-

жет быть сопоставлена реальным астрофизическим

чае величина H₀ влияет лишь на масштаб радиаль-

данным. Вместе с тем, при попытках сопоставить

ной координаты, поскольку может быть исключе-

числовые оценки c параметрами Солнца возникают

на из уравнения с помощью формальной замены:

определенные проблемы, хотя качественно выводы,

χ → χ^′ = χ/√H0. Это означает, что все вычисления

основанные на представленной модели дают объяс-

можно проводить в предположении H₀ = 1, а необ-

нение некоторым известным фактам, например, ро-

ходимые коррекции распределений в случае H₀ = 1

сту температуры в короне Солнца. Проводя оценку

можно сделать масштабированием радиальной ко-

параметров модели с γ = 5/3 (n = 3/2) и однород-

ординаты в полученном решении.

ным распределением энтропии с наблюдаемыми па-

Наиболее важным обстоятельством, связанным с

раметрами Солнца, можно убедиться, что они суще-

соотношением (83) при H₀ = const является то, что

ственно отличаются друг от друга, либо в отноше-

эта формула фактически возвращает формулу для

нии строения, либо в отношении эволюции Солнца.

давления в среде к баротропному виду, но с новым

Как показывает анализ, основной проблемой при со-

эффективным показателем адиабаты γ^′ = γ + δ. С

поставлении с реальными данными является вели-

точки зрения термодинамики это означает, что про-

чина критического значения λ_∗ = -0.085 параметра

цесс автомодельной эволюции звезды, соответству-

868

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Модели динамического равновесия . . .

ющий (83), является не адиабатическим, а полит-

зультаты численных вычислений лишь для одного

ропным с показателем политропы

значения параметра δ, который дает наиболее под-

ходящие значения параметров модели Солнца в со-

(84)

поставлении с реальными данными.

1 + nδ

Численный анализ проводился в c помощью

В случае адиабатической эволюции энтропия и ко-

средств Maple. Для численных расчетов использо-

личество тепла в слоях звезды не изменяются со вре-

валась процедура dsolve с применением подпрограм-

менем. В случае же политропного режима энтропия

мы dverk78. Для численного анализа автомодельно-

среды изменяется и происходит перераспределение

го строения звезд уравнение (59) удобно переписать

тепла, что и соответствует процессу теплопередачи.

в следующем виде:

Этот процесс происходит так, что уравнение mLEm

F+

F + Qⁿ + λ = 0,

(85)

по форме не меняется, но меняется показатель по-

dχ

литропы. В частности, это означает, что модифи-

где Q = R^γ-1 и F = SQ^′+S^′Q/(n+1). В этом случае

цированный показатель политропы в звездах типа

коэффициент температуры T (χ) будет вычисляться

Солнца может существенно отличаться от n = 3/2.

по формуле: T

= S(χ)Q(χ). Можно видеть, что в

То же самое относится и к звездам других типов.

случае S(χ) = 1 уравнение (85) переходит в уравне-

Важность указанного вывода о политропном ха-

ния (70) модели mLEm, а Q(χ) в T (χ), при том же

рактере автомодельной эволюции, вытекающего из

выборе параметров обезразмеривания переменных.

соотношения (83), требует некоторых замечаний от-

Поскольку в уравнение (85) входит функция Q(χ),

носительно применимости этого соотношения для

то соотношение (83) удобно переписать в виде

описания реальных условий в звездах. С формаль-

ной точки зрения в приближении радиального рас-

S = H₀Q^k(χ),

пределения параметров среды зависимость S(χ) от

где k = nδ. В дальнейшем именно этот параметр бу-

χ почти всегда эквивалентна некоторой зависимо-

дет использоваться для идентификации различных

сти этой же функции от R(χ). Конкретный же вы-

типов моделей. Следует отметить, что можно было

бор зависимости энтропии от плотности, соответ-

бы решать уравнение (70). Как уже отмечалось, в

ствующий (83), может быть обоснован тем, что в

случае H₀ = 1 решения уравнений (85) и (70) связа-

теории строения и эволюции звезд [2,3] используют-

ны некоторым масштабным преобразованием коор-

ся предположения о том, что энерговыделение в яд-

динат χ^′ = χ/d, где масштаб d зависит от n, δ. Что-

рах звезд, а также коэффициенты непрозрачности

бы не производить это дополнительное преобразова-

вещества являются степенными функциями темпе-

ние координат, численно решалось непосредственно

ратуры и плотности. С этой точки зрения соотно-

уравнение (85).

шение (83) выглядит достаточно адекватным. Тем

В качестве примера на рис. 10 для иллюстра-

не менее, доказательство того, что модели, исполь-

ции результатов численных расчетов представле-

зующие (83), соответствуют реальной структуре и

ны распределения коэффициентов температуры для

эволюции звезд следует подтвердить сопоставлени-

нескольких значений параметра k при одном и том

ем расчетов в рамках рассматриваемых моделей с

же значении параметра λ = -0.0015.

реальными данными. Для этого необходимо устано-

вить наиболее подходящую величину параметра δ,

параметров вращения µ и динамического равнове-

17. ОБЩАЯ ПРОЦЕДУРА ОЦЕНИВАНИЯ

сия λ, соответствующие тем или иным типам звезд.

ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ

В данной работе такой анализ будет проведен в со-

поставлении с данными о строении Солнца.

Наиболее важными параметрами, которые пол-

Оптимальный выбор параметров модели для

ностью определяют пространственное автомодель-

нормальных звезд типа Солнца c γ = 5/3, n = 3/2

ное распределение плотности, температуры и энтро-

проводился перебором величин δ и λ в диапазоне

пии, являются параметры k, f (µ) и λ (ν). Параметр

их значений, которые позволяли получить реше-

f определяется скоростью зонального потока на эк-

ния для распределений температуры и плотности,

ваторе звезды, но при его оценке имеется неопреде-

а также эволюционных траекторий звезды на фа-

ленность, связанная с параметром h₀. Наличие не

зовой диаграмме, которые наиболее точно согласо-

нулевого слагаемого с h₀ приводит к тому, что уг-

вывались с реальными данными для Солнца. Из-за

ловая скорость потока вблизи оси вращения стре-

ограниченности объема статьи будут приведены ре-

мится к бесконечности. Кроме этого, как следует из

869

В. М. Журавлев

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

сы и температура для λ = λ_cr обращаются в нуль.

Далее, конкретные значения λ_∗ должны выбираться

в интервале -1 < λ < λ_cr. Выбор величины λ_∗ мо-

жет осуществляться уже из прямого сравнения ре-

зультатов численного счета с реальными данными.

Однако эту процедуру подбора λ_∗ можно упростить,

заменив ее процедурой подбора параметра h₀. Это

можно сделать, исходя из предположения, что стро-

ится модель звезды, осцилляции которой происхо-

дят вблизи положения равновесия в особой точке с

безразмерными координатами x_∗ ≃ 1, y_∗ ≃ 0.

Анализ полученных численным способом кри-

Рис. 12. Коэффициент температуры T (χ) для одноатом-

вых распределения T сводится к вычислению по-

ного газа с n

= 3/2 (γ

= 5/3) для λ

= -0.0015:

ложения первого минимума и следующего за ним

k =-4/9(1), -5/9(2), -6/9(3), -7/9(4), -8/9(5)

максимума коэффициента температуры. Как уже

отмечалось, первый минимум температуры и плот-

(42), при h₀ = 0 связано с логарифмической особен-

ности по определению считается условной поверхно-

ностью в потенциале на оси вращения. Это означа-

стью звезды и связывается с минимумом температу-

ет, что вблизи оси вращения модель должна быть

ры и плотности в ее фотосфере. По форме кривой

уточнена в дальнейшем. Тем не менее, в дальней-

= T (χ) определяется положение первого мини-

шем именно выбор значения h₀ будет играть важ-

мума χ₀ и текущего значения масштабного фактора

ную роль в подгонке модели под реальные данные.

a_∗ = R_∗/χ₀. Это позволяет оценить значение M₀ по

Выбор параметров k и λ также заранее не опре-

формуле (74). В результате по формуле (75) для вы-

делен и может приводить к различным вариантам

бранного значения λ_∗ можно оценить значение па-

моделей звезды и ее эволюции. В частности, в зави-

раметра ν. Параметр µ должен вычисляться по фор-

симости от выбранных значений k и λ модель может

муле (48), исходя из значения параметра вращения

соответствовать фазовой траектории звезды на диа-

грамме 1 с поступательным изменением ее радиуса

Параметр вращения f можно оценить по форму-

в случае E ≥ 0 или фазовой траектории в зоне ос-

ле (41), если известна скорость зонального потока

цилляций с -0/5 ≤ E < 0.

v₀ на экваторе звезды. Формулу (41) c учетом (98)

Исходными данными, которые позволяют стро-

полезно записать в виде

ить оценку параметров модели, соответствующей

√

конкретной звезде, являются видимый радиус звез-

fξ² +h₀.

(86)

ды, температура в фотосфере и скорость зонально-

В эту формулу входит неопределенный параметр

го потока на экваторе. Для оценки параметра моде-

ли M₀ необходимо иметь оценку плотности массы в

h₀, который описывает дифференциальное враще-

ние звезды, но не влияет на другие оценки пара-

центре звезды. Вместе с тем оценка плотности в цен-

тре звезды сама зависит от типа модели. Тем не ме-

метров звезды. Для того чтобы скорость зонально-

го потока v(ξ, ζ, t) принимала всюду только веще-

нее для простоты получения оценки в данной работе

для Солнца будет использована классическая оцен-

ственные значения, достаточно, чтобы h₀ ≥ 0. Удоб-

но представить оценку f = 3µ/2 в следующем виде:

ка ρ(0) ≃ 150[г/см³], соответствующая стандартной

модели Солнца. То же самое касается и температу-

v²⁰a^2∗ - h₀

v²⁰a^2∗

ры в центре Солнца T_⊙ ≃ 15 · 10⁶K [8].

f =

ε,

(87)

ξ²⁰

ξ²

Общая процедура построения модели конкрет-

ной звезды сводится к выбору определенных зна-

где ε = 1 - h₀χ²⁰/(v₀R_∗)² безразмерный параметр

чений k и λ < λ_cr и вычислению соответствующей

модели, заменяющий h₀. В результате для µ имеем

кривой распределения коэффициента температуры

соотношение:

внутри звезды и за ее пределами. При заданном зна-

2v²⁰R^2∗

чении k подбором λ можно установить приближенно

µ = 2f/3 =

ε.

(88)

3ξ⁴

значение λ_cr, которое, как отмечалось ранее, соот-

ветствует условию касания кривых распределения

Важным параметром для оценивания положения

T и R оси абсцисс. В точке касания плотность мас-

звезды на диаграмме рис. 1 является величина без-

870

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Модели динамического равновесия . . .

размерной координаты x_∗ = a_∗/a₀, где a₀ значе-

Полагая x_∗ ≃ 1, из этого соотношения можно найти

ние масштабного фактора в особой точке фазовой

значение λ_∗, которое должно обеспечивать положе-

диаграммы, которая определяется из соотношения

ние звезды вблизи особой точки фазовой диаграм-

(76)

мы.

a₀ = µ/|ν|.

(89)

Полученная таким способом оценка λ_∗ явно не

зависит от значения параметров n и k. Тем не

Эта величина указывает характерный масштабный

менее такая зависимость существует. Оценка (93)

фактор (размер объекта), который звезда должна

при заданных n и k может оказаться больше, чем

иметь, чтобы ее осцилляции совершались на фазо-

λ_cr. В этом случае, как это уже обсуждалось ра-

вой диаграмме вблизи особой точки. Отсюда нахо-

нее, нарушается принцип существования физически

дим реальную безразмерную координату Солнца на

значимых значений плотности и температуры при

фазовой диаграмме:

всех значениях радиальной координаты. Таким об-

a_∗

2πGR^2∗ρ(0)

разом, осцилляционный режим для данной конкрет-

x_∗ =

|λ_∗|.

(90)

a₀

v²⁰ε

ной звезды возможен только при некоторых подхо-

Вторая координата y_∗ на фазовой диаграмме 1

дящих значениях n и k.

для данной звезды должна оцениваться из (54), что

Подходящие величины n и k можно определить

дает следующее соотношение:

прямыми вычислениями для ε = 1. Поскольку по

√

определению 0 ≤ ε ≤ 1, то при ε = 1 находится ми-

y_∗ =

2x^∗1 - x^∗2 + 2E_∗,

(91)

нимальная величина λ_∗, соответствующая выбран-

ным значениям n и k. После этого величину ε мож-

где E_∗ энергетический параметр текущей фазовой

но уменьшать в диапазоне ε_cr < ε < 1, где ε_cr со-

траектории звезды. Значение параметра E_∗ можно

ответствует значению λ_∗ = λ_cr. Выбор конкретной

оценить, если известна реальная скорость измене-

величины ε может осуществляться, исходя из сопо-

ния радиуса звезды

ставления величин, полученных численным спосо-

c_∗ = a = t₀y_∗/a₀

(92)

бом, с величинами, соответствующими конкретным

параметрам структуры и эволюции звезды. Далее

в текущий момент времени.

при построении модели Солнца в качестве крите-

Как следует из приведенных формул, основными

рия выбора параметра ε выбираются величина T_min

параметрами, которые определяют текущую фазо-

температуры в минимуме, лежащем в фотосфере, и

вую траекторию звезды являются k, λ_∗, ε. Парамет-

период осцилляций P_E . В качестве вторичного при-

ры γ и n определяются свойствами вещества звез-

знака используется величина T_max в следующим за

ды и для нормальных звезд равны, соответствен-

ним максимуме.

но, γ = 5/3 и n = 3/2. Параметры же k, λ∗, ε

приходится оценивать с помощью сравнения свойств

вычисленных модельных распределений температу-

18. ОЦЕНКА ПОЛОЖЕНИЯ СОЛНЦА НА

ры и плотности с аналогичными свойствами реаль-

ФАЗОВОЙ ДИАГРАММЕ

ных распределений. Однако один из этих парамет-

ров можно исключить из анализа, учитывая предпо-

Рассмотрим теперь оценки, которые можно по-

лагаемое положение звезды (далее Солнца) вблизи

лучить в применении развитой модели к Солнцу.

особой точки x = 1, y = 0 на фазовой диаграмме.

Для Солнца хорошо известны основные физические

С точки зрения данной модели наличие слабых

параметры, необходимые для получения относи-

осцилляций звезды означает, что текущее значение

тельно надежных оценок параметров модели. Стан-

ее безразмерной координаты x_∗ должно почти точ-

дартным предположением является то, что Солн-

но совпадать со значением 1: x_∗ ≃ 1, а величина

це относится к нормальным звездам, состоящим из

энергетического параметра E не должна сильно от-

одноатомного газа с γ = 5/3 и n = 3/2. Также

личаться от E₀ = -0.5. Выбор x_∗ и E_∗ должен опре-

для Солнца известны значение видимого радиуса

деляться наблюдаемым размахом колебаний звезды

R_⊙ ≃ 7 · 10¹⁰ [см], значение скорости зонального по-

Δ_E. Исходя из этих рассуждений, для звезд в состо-

тока на экваторе v_⊙ ≃ 2 · 10⁵ [см/с] и плотность в

янии, близком к статическому равновесию параметр

центре, оцениваемая величиной ρ_⊙ ≃ 150 [г/см³] [8].

λ_∗ можно выбрать исходя из формулы (90)

Как показывает численный анализ, наиболее

x_∗v²⁰

подходящее значение параметра k равно k = -0.7,

λ_∗ ≃ -

ε.

(93)

2πGR^2∗ρ(0)

что соответствует эффективным значениям показа-

871

В. М. Журавлев

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

теля адиабаты γ^′ = γ + k/n = 6/5 и показателя по-

литропы n^′ = 5. Этот вывод сделан, исходя из двух

основных показателей. Первый состоит в том, чтобы

для выбранного k значение λ_∗, вычисленное в соот-

ветствии с (93) для x_∗ ≃ 1, ε = 1, не оказалось боль-

ше λ_cr. Вторым показателем является требование,

чтобы при изменении ε в диапазоне [ε_cr, 1], темпера-

тура T_min в первом минимуме и период осцилляций

могли быть согласованы с реальными данными. На-

пример, уже при k = -0.678 и ε = 1 величина λ_∗ (93)

оказывается большим, чем λ_cr. При k < -0.7 темпе-

ратура T_min и контраст между T_min и T_max стано-

вятся слишком маленькими по сравнению с реаль-

ными данными. Только при k ≃ -0.7 удается согла-

совать между собой все основные критерии выбора

модели, указанные в предыдущем разделе.

Следует отметить, что в классической модели

Рис. 13. Коэффициенты энтропии lg(S) (a), температу-

LEm (λ = 0) значение γ = 6/5 соответствует гра-

ры lg(T ) (b) и плотности lg(R) для одноатомного газа с

ничному значению показателя адиабаты, при кото-

n = 3/2 (γ = 5/3) для k = -0.7 и ε = 1

ром распределение плотности газа оказывается мо-

нотонно убывающим с ростом χ, что эквивалентно

отсутствию видимого радиуса звезды [3, 4]. Обыч-

но это интерпретируется как невозможность суще-

ствования устойчивого статического равновесия та-

кой конфигурации. В рассматриваемой модели для

λ < λ_cr минимумы имеются, что соответствует не

статическому, а динамическому равновесию звезды.

18.1. Модели для различных значений ε при

k = -0.7

Для выбора подходящей модели проводились

вычисления кривых распределения коэффициентов

температуры T , плотности R и энтропии S для зна-

Рис. 14. Коэффициент температуры T (χ) для одноатом-

чений ε в диапазоне от 1 и до величины ε = 1.0·10^-5.

ного газа с n = 3/2 (γ = 5/3) для k - 0.7 и ε = 1 в двух

диапазонах χ вблизи нуля

Интервал автомодельной радиальной координаты χ,

на котором вычислялись параметры среды, содер-

жал первый минимум и следующий за ним макси-

дующие оценки χ₀ ≃ 105, T_min ≃ 3 · 10^-3, χ₁ ≃ 400

мум T . Это позволяло оценить по графикам кривых

и T_max ≃ 0.12.

с достаточной точностью значения χ₀, T_min, T_max.

На рис. 15(a,b,c,d) представлены результаты

На рис. 13 представлены графики распределения ко-

вычисления P_E (a), T_min(b), T_max(c) и χ₀(d) зави-

эффициента энтропии и температуры для k = -0.7

симости от ε в двойном логарифмическом масшта-

и ε = 1.

бе. Каждая точка соответствует модели с опреде-

Рисунок 13(a, b, c) демонстрируют общее распре-

ленным значением ε. На диаграммах P_E (a), T_min(b)

деление lg(S)(a), lg(T )(b) и lg(R)(c). На рис. 14(a, b)

серым цветом выделены области значений периодов

представлены участки общего распределения коэф-

осцилляций и температуры, наиболее согласующие-

фициента температуры, которые иллюстрируют по-

ся с данными о Солнце. Эта же область выделена

ложения первого минимума χ₀ и следующего за

и на диаграмме для и T_max(c). Как видно из диа-

ним максимума χ₁. Значения T в этих точках,

грамм, результаты численного счета для всех пара-

как и раньше, обозначаются далее, соответственно,

метров хорошо укладываются на прямые, соответ-

T_min = T (χ₀) и T_max = T (χ₁). Для данных значений

ствующие степенной зависимости от ε. Соответству-

k и ε получаем λ_∗ ≃ -1.297990 · 10^-7, а также сле-

ющие зависимости аппроксимируются следующим

872

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Модели динамического равновесия . . .

Солнца [8]. Существенным отличием от реальных

данных является лишь значение T_max.

18.2. Пространственное распределение

температуры для оптимального выбора

параметров

На рис. 16 представлены lg(S)(a), lg(T )(b) и

lg(R)(c) для k = -0.7 и ε = 0.6 · 10^-4, что соответ-

ствует λ_∗ = -7.7879456·10^-12. Оставленное количе-

ство знаков после запятой в записи λ_∗ необходимо,

поскольку это связано с тонкой настройкой модели.

Основным критерием подгонки параметра λ_∗ в этой

модели являлось значение безразмерного масштаб-

ного фактора x_∗, которое должно быть максимально

близким к значению x₀ = 1, соответствующему осо-

бой точке на фазовой диаграмме. Близость x_∗ к 1

приводит к близости значения энергетического па-

раметра E_∗ к значению -0.5, что соответствует по-

чти нулевому размаху колебаний масштабного фак-

тора. Поскольку в реальности не наблюдается суще-

ственных изменений радиуса Солнца, то размах его

радиальных колебаний не может существенно пре-

вышать сотню метров.

На рис. 16(a) приведено общее распределение

lg(S), а на рис. 16(b) lg(T ). Рисунки 17(a, b) слу-

жат для оценивания значений положения первого

минимума χ₀ и следующего за ним максимума χ₁.

Для данного значения k и ε получаем следующие

оценки χ₀ ≃ 13537, T_min ≃ 6 · 10^-3, χ₁ ≃ 132000,

T_max ≃ 0.00717. В результате для данной модели

находим

a_∗ = R_⊙/χ₀ ≃ 5.1710 · 10⁶ [см],

Рис. 15. Зависимость параметров модели от значений па-

M₀ = ρ_⊙a^3∗ ≃ 2.0740 · 10²² [г],

(94)

раметра ε: P(E)-a, Tmin-b, Tmax-c, χ0-d.

ν ≃ -7.4259 · 10⁸ [см³/с²],

µ ≃ 3.8911 · 10¹⁵ [см²/с]

образом:

Исходя из полученных оценок, вычисляем

P_E(ε) ≃ P_E(1) · ε^-1/2 = 0.085 · ε^-1/2 [год],

a₀ = µ/|ν| ≃ 5.7170 · 10⁶ [см],

T_min(ε) ≃ T_min(1) · ε^1/3 = 1.14 · 10⁵ · ε^1/3 [K],

x_∗ = a_∗/a₀ = 1 - δx, δx ≃ 4.0 · 10^-10,

T_max(ε) ≃ T_max(1) · ε^1/5 = 7.49 · 10⁵ · ε^1/5 [K],

y_∗ ≃ 1.0 · 10^-8, c_∗ ≃ 0.9 · 10^-9[см/с]

(95)

χ₀(ε) ≃ χ₀(1) · ε^-1/3 = 530 · ε^-1/3.

E_∗ = -0.5 + δE, δE ≃ 5.0 · 10^-15,

Δ_E(E_∗) ≃ 2 · 10^-7, δH ≃ 0.14[км],

Как следует из представленных диаграмм, при

P (E_∗) ≃ 11.03[год]

ε = 0.6 · 10^-4 период радиально-зональных осцил-

ляций Солнца совпадает с наблюдаемым периодом

Параметр E_∗ вычислялся по условию обращения y_∗

солнечной активности, равным примерно 11 лет.

в нуль с требуемой точностью.

При этом температура в минимуме фотосферы ока-

Из оценки величины x_∗ следует, что данная мо-

зывается почти точно совпадающей со значением

дель описывает колебательный режим вблизи осо-

T_⊙ ≃ 4800[K], которое дается стандартной моделью

бой точки x0 = 1 с периодом около 11 лет. Для

873

ЖЭТФ, вып. 6 (12)

В. М. Журавлев

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

зи нуля, то u_∗ указывает лишь на порядок амплиту-

ды u на поверхности Солнца.

Анализируя распределение T , соответствующее

данной модели в предположении, что температура

в центре Солнца T_⊙ ≃ 15 · 10⁶ [K], находим, что в

минимуме фотосферы температура T_min ≃ 4500 [K]

вполне соответствует реально наблюдаемому зна-

чению T_⊙ ≃ 4800 [K] . Однако в следующем мак-

симуме T_max

≃ 1.01 · 10⁵ [K], что примерно в

двадцать раз меньше, чем реальная максималь-

ная температура в короне Солнца, равная по оцен-

кам [30] 2 · 106 [K]. При условии, что в центре

Солнца ρ(0) ≃ 150[г/см³], оценки плотности сре-

ды по численным расчетам в минимуме фотосфе-

ры равна ρ_min ≃ 1.8 · 10^-17[г/см³] и в максимуме

ρ_min ≃ 4.8 · 10^-11[г/см³]. Эти оценки существенно

ниже тех, что дает стандартная модель Солнца [8]

Рис. 16. Коэффициенты энтропии lg(S) (a), температу-

величиной ρ_ph ≃ 2.0·10^-7 [г/см³]. Также устанавли-

ры lg(T ) (b) и плотности lg(R) (c) одноатомного газа

с n = 3/2 (γ

= 5/3) для k = -0.7, ε = 6.0 · 10^-5

ваем, что отношение χ₁/χ₀ = R_max/R_⊙ ≃ 9.8 доста-

(λ∗ ≃ -7.7879456 · 10^-12)

точно велико. Однако эта величина укладывается

в общую приближенную оценку расположения мак-

симума температуры в короне Солнца в несколько

его радиусов [8]. Таким образом, можно констатиро-

вать, требуется определенная модификация модели

для более детального согласования ее модели с ре-

альными данными. Для этого в первую очередь сле-

дует использовать более точные соотношения для

энтропии (83), в частности, вводя в расчеты подхо-

дящую зависимость H₀ = H₀(χ), а также учитывать

процессы излучения и влияние магнитного поля. В

частности, существенное отличие температуры T_max

от реально наблюдаемого значения ≃ 2·10⁶ [K], воз-

можно, связано с не рассматриваемыми в данной ра-

боте процессами турбулентности и диссипации раз-

личного рода магнитоактивных волн в короне Солн-

Рис. 17. Коэффициент температуры T (χ) одноатомного

ца [35].

газа с n = 3/ 2(γ = 5/3) для k = -0.7 и ε = 0.6 · 10^-4

(λ∗ ≃ -7.7879456·10^-12 ) в двух диапазонах χ вблизи нуля

19. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

данного значения ε ≃ 6.0 · 10^-5 и заданном значе-

нии x_∗ и E_∗ величина размаха оценивается величи-

В работе развита теория динамического равно-

ной δH ≃ 0.14 [км] со средней скоростью переме-

весия пространственного распределения самограви-

щения поверхности c = δH/P ≃ 1.3 · 10^-2 [км/год]

тирующего газа, обладающего цилиндрической сим-

за полупериод будет маленькой величиной, которую

метрией с автомодельной эволюцией его парамет-

трудно обнаружить на фоне флуктуаций и волно-

ров со временем. Такой тип равновесия определяет-

вых колебаний плазмы вблизи поверхности Солн-

ся специфическим типом взимодействия радиально-

ца. Мгновенная скорость перемещения поверхности

го гидродинамического потока газа потоком Хаб-

c_∗ ≃ 0.9 · 10^-9 [см/с] в точке x_∗ одновременно поз-

бла и зональным потоком, который лишь частично

воляет оценить значение скорости потока Хаббла

связан с вращением звезды как твердого тела. Как

u = ˙aχ на поверхности Солнца в соответствующий

показано в данной работе, именно наличие взаимо-

момент времени: u_∗ = c_∗χ₀ ≃ 1.2 · 10^-5 [см/с]. По-

действия радиального и зонального потоков позво-

скольку скорость потока Хаббла осциллирует вбли-

ляет существовать режиму осцилляций звезд. Фак-

874

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Модели динамического равновесия . . .

тически режим осцилляций связан с периодическим

дели с λ > λ_cr могут рассматриваться как модели

преобразованием энергии радиального расширения

звезд в ограниченной области радиальной коорди-

звезд в энергию зонального потока и в потенциаль-

наты вблизи центра. В отличие от классических мо-

ную энергию гравитационного поля и обратно. Как

делей LEm модифицированные модели, в том чис-

отмечалось в разделе 17, модель зонального потока,

ле и при λ = 0, оказываются нестатическими и их

хотя формально и не имеет особенностей, но приво-

динамика описывается автомодельными решениями

дит к особенностям в потенциале на оси вращения.

уравнений модели mLEm.

Поэтому данная модель требует в дальнейшем уточ-

Модели с λ_cr

> λ > -∞ (за исключением

нения для устранения этой особенности.

λ = -1) описывают пространственные осцилляции

В работе выведены уравнения автомодельных ос-

плотности и температуры, амплитуда которых убы-

цилляций и показана их связь с параметром дина-

вает при r → ∞. Предельное значение температуры

мического равновесия λ, появление которого в тео-

и плотности на бесконечности зависит от значений

рии обеспечивается и потоком Хаббла [12], и зональ-

λ, γ и параметров пространственного распределения

ным потоком. Этот параметр является критерием

энтропии. Модели с λ = -1 при однородном или по-

отклонения суммарного значения сил Архимеда и

литропном распределении энтропии в независимо-

тяготения в ту или иную сторону в зависимости от

сти от показателя адиабаты газа γ приводят к од-

знака λ, что приводит к ускорению или замедле-

нородному пространственному распределению плот-

нию радиального расширения звезды и ее зональ-

ности и температуры. Все такие модели при опре-

ного потока. Модели осцилляций связаны с отрица-

деленных условиях могут иметь режим осцилляций

тельным значением параметра λ. С этой точки зре-

по времени. Как отмечалось в выше, на больших

ния в данной работе получены условия возникнове-

расстояниях от центра плотность газа в моделях с

ния осцилляций, которые оценены для модели с раз-

λ < 0 стремится к некоторому постоянному значе-

личными параметрами в сопоставлении с данными

нию ρ_∞. Поэтому такие модели с физической точки

о Солнце. В данной работе одним из важных аспек-

зрения имеет смысл рассматривать только до гра-

тов, связанным с моделями осцилляций, является

ницы астросферы (гелиосферы для Солнца), на ко-

вывод соотношения период-светимость для осцил-

торой происходит взаимодействие солнечного ветра

ляций в аналитической безразмерной форме. Фор-

и межзвездной среды.

ма полученной кривой совпадает качественно с из-

Важным элементом данной модели, делающей

вестными кривыми период-светимость для цефеид.

ее пригодной для описания реальных звезд, явля-

Это дает основания надеяться, что данная модель

ется модель квазиполитропного распределения эн-

может быть использована в теории звездных пуль-

тропии в звездах, соответствующая (83). Это соот-

саций для звезд на различных стадиях эволюции.

ношение превращает модель mLEm общего вида в

С точки зрения пространственного распределе-

модель с политропным процессом эволюции звезд

ния плотности и температуры построенные и ис-

с показателем политропы, отличающимся от клас-

следованные модели представляют собой модифи-

сического случая с адиабатическим процессом эво-

цированные модели mLEm, содержащие ключевой

люции. В работе анализировались модели с чисто

дополнительный параметр динамического равнове-

политропным распределением энтропии, что соот-

сия λ, отсутствующий в классических уравнениях

ветствует H₀(χ) = 1. Как было показано, в таких

теории Лейна - Эмдена. Все такие модели распада-

моделях распределение потоков тепла модифици-

ются на три основных класса по диапазону, в ко-

рует термодинамические параметры среды, превра-

тором принимает значение параметр динамическо-

щая ее в среду с эффективным показателем полит-

го равновесия λ. Границы диапазонов определяют-

ропы, отличающимся от показателя политропы са-

ся значениями λ = λ_cr < 0 и λ = -1. В диапазоне

мого газа. Это позволяет построить модель Солн-

[λ_cr, ∞) лежат модели, для которых коэффициенты

ца, согласующуюся с реальными данными по ос-

плотности и температуры хотя бы при одном зна-

новным параметрам ее структуры и эволюции. В

чении автомодельного радиуса обращаются в нуль.

частности, показано, что в случае распределения эн-

Для λ = λ_cr имеется только одна точка, в кото-

тропии c k = -0.7, приводящем к эффективному

рой плотность обращается в нуль. Эти модели яв-

показателю адиабаты γ = 6/5, параметры модели

ляются наиболее близкой модификацией классиче-

при подходящем выборе параметра зонального по-

ских моделей Лейна - Эмдена, которым соответству-

тока ε = 6.0 · 10^-5 дают период осцилляций Солнца

ет значение λ = 0. Формально, как это и делается в

вблизи значения 11.3 года при температуре в ми-

классической теории статического равновесия, мо-

нимуме фотосферы, равной 4500 K. Эти параметры

875

В. М. Журавлев

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

очень близки к реально наблюдаемым параметрам

брнауки России и частично в рамках проекта РФФИ

11-летнего цикла солнечной активности. Посколь-

20-02-00280.

ку все модели с λcr > λ > -1 описывают про-

странственные осцилляции температуры и плотно-

ПРИЛОЖЕНИЕ

сти вне звезды, то наличие таких осцилляций объяс-

няет простым образом наличие максимума темпера-

Разделение переменных в уравнении (16) приво-

туры в короне Солнца. Но для чисто политропного

дит к следующему соотношению:

распределения энтропии, которое анализировалось

(

)

в данной работе, величина максимума температу-

2πGM₀

(1 ∂

∂Φ₀

1 ∂²

Φ₀

ры в короне Солнца при оптимальном выборе дру-

ξ∂ξ

∂ξ

β∂ζ²

(

)

гих параметров примерно в двадцать раз меньше ре-

1 ∂

(ξn)

= 0.

ально наблюдаемого значения для Солнца, равного

a²

ξ∂ξ

≃ 2 · 106 [K], и имеет значение T_max ≃ 100000[K].

Отсюда следует, что функция Φ₀ удовлетворяет

По всей видимости, это расхождение можно устра-

уравнению

нить с помощью уточнения модели, включив в нее

(

)

подходящий множитель H₀(χ) неполитропного ха-

1 ∂

∂Φ₀

1 ∂²

Φ₀ = 0,

(96)

рактера.

ξ∂ξ

∂ξ

β∂ζ²

Решения с λ ≤ -1 могут использоваться в каче-

а функция n(ξ) принимает следующий вид:

стве моделей динамики газа после их взрыва, ко-

гда почти вся масса газа выбрасывается наружу.

µξ²

n=-

- h0 lnξ - C₁.

(97)

Эти модели в некотором смысле можно рассматри-

вать как космологические, в особенности, модель с

Учитывая связь (44) между h и n, находим

λ = -1. Последняя модель, по сути, представляет

модель расширения газа с однородным распределе-

ξ⁴ + h₀ξ².

(98)

нием плотности, что характерно для моделей с пы-

лью.

Отсюда следует

Рассмотренные модели не учитывают ряд важ-

V² = fξ⁴ + h₀ξ².

(99)

ных факторов реальной динамики и строения звезд,

например, такие, как наличие магнитного поля, из-

где f = 3µ/2. Вспомогательный потенциал Φ теперь

менения тепловыделения за счет ядерных реакций

имеет вид

и возможной неавтомодельности теплопередачи в

)

2πGM₀

β²µ

( µξ²

газе. Модель не учитывает, например, охлаждение

Φ=

Φ₀ +

ζ² -

+ h0 lnξ + C₁

2a²

a²

газа за счет излучения в области пространствен-

ных осцилляций. Кроме этого, в работе рассматри-

Слагаемое с ln ξ имеет сингулярность в нуле,

валось лишь сферически-симметричное приближе-

что указывает на необходимость уточнения модели

ние к пространственному распределению плотности

вблизи оси вращения звезды.

и температуры. Для меридианальных составляю-

щих таких распределений были лишь выписаны са-

ми уравнения без прямого анализа их решений. Этот

ЛИТЕРАТУРА

анализ не проводился из-за ограниченности объема

1. Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков, Теория тяготе-

одной статьи. Анализ и учет всех дополнительных

ния и эволюция звезд, Наука, Москва (1971).

факторов требует усложнения представленных мо-

делей. Эти уточнения могут дать более адекватное

2. В. Г. Горбацкий, Космическая газодинамика, Нау-

согласие с реальными данными о строении звезд.

ка, Москва (1977).

Благодарности. Автор благодарит С.В.Червона

3. Я. Б. Зельдович, С. И. Блинников, Н. И. Шакура.

за полезное обсуждение ряда затронутых в статье

Физические основы строения и эволюции звезд,

проблем.

Изд-во МГУ, Москва (1981).

Финансирование. Работа выполнена в рамках

4. С. Вайнберг, Гравитация и космологияб Мир,

проекта 0777-2020-0018, финансируемого из средств

Москва (1975) .

государственного задания победителям конкурса

научных лабораторий образовательных организа-

5. Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков, Строение и эво-

ций высшего образования, подведомственных Мино-

люция Вселенной Наука, Москва (1975.)

876

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Модели динамического равновесия . . .

О. И. Богоявленский, Методы качественной тео-

22.

В. М. Журавлев, Пространство, время и фунда-

рии динамических систем в астрофизике и газо-

ментальные взаимодействия, N1, 5 (2017).

вой динамике, Наука, Москва (1980).

23.

В. М. Журавлев, ЖЭТФ, 152, 495 (2017).

В. Г. Бисноватый-Коган, Физические вопросы

звездной эволюции, Наука, Москва (1989).

24.

V. M. Zhuravlev, Gravitation and Cosmology, 17, 201

(2011).

Плазменная гелиофизика, 1 под ред. Л.М. Зеле-

ного, И.О. Веселовского, ФИЗМАТЛИТ, Москва

25.

V. M. Zhuravlev, Gravitation and Cosmology, 23, 95

(2008).

(2017).

Дж. П. Кокс, Теория звездных пульсаций, Мир,

26.

V. M. Zhuravlev, Gravitation and Cosmology, 28, No.

Москва (1983).

4, (принята в печать) (2022).

10.

J. R. Bucher, arXiv: 0907.1766v1 (2009).

27.

W. McCrea and E. MilneQuart, J. Math. N.5, 73

11.

А. С. Расторгуев, Звездные маяки Вселенной, ГА-

(1934)

ИШ, http://lnfm1.sai.msu.ru/ rastor (2015).

28.

Л. М. Озерной, О. Ф. Прилуцкий, И. Л. Розен-

12.

В. М. Журавлев, Пространство, время и фунда-

таль. Астрофизика высоких энергий, Атомиздат,

ментальные взаимодействия, N4, 10, (2020).

Москва (1973).

13.

D. K. Nadezhin, Soviet Physics Astronomy 12, 924

29.

В. А. Рубаков, Д. С. Горбунов. Введение в теорию

(1969).

ранней Вселенной. Космологические возмущения.

14.

R. A. Chevalier and E. A. Lufkin, Astrophys. J. 356,

Инфляционная теория, Едиториал УРСС, Москва

41 (1990).

(2009)ю

15.

M. V. Murzina and D. K. Nadezhin, Astron. Zh. 68

30.

M. J. Aschwanden, Physics of the Solar Corona: an

574 (1991).

Introduction with Problems and Solutions, Springer,

Berlin (2006).

16.

Ue-Li Pen, Astrophys. J. 429, 759 (1994).

17.

R. N. Antonova and Ya. M. Kazhdan, Astron. Lett.

31.

A. Genova, E. Mazarico, S. Goossens,

26, 344 (2000).

F. G. Lemoine, G. A. Neumann, D. E. Smith,

and M. T. Zuber, Nature Communications (2018),

18.

J. H. Lane, Amer. J. of Science and Arts, Second

DOI: 10.1038/s41467-017-02558-1.

Series 50, 57 (1870).

32.

С. А. Жевакин, Астрон. Ж. 30, 161 (1953).

19.

R. Emden, Gaskugeln. B.G. Teubner, Leipzig (1907).

20.

В. М. Журавлев, в сб. Инновационные техноло-

33.

С. А. Жевакин, Астрон. Ж. 31, 141 (1954).

гии, Ульяновск, УлГУ, 77 (2010).

34.

S. A. Zhevakin, Annual Review of Astron. and

21.

В. М. Журавлев, Нелинейные интегрируемые мо-

Astrophys. 1, 367. (1963).

дели физических процессов. Метод функциональ-

ных подстановок, Издательство УлГУ, Ульяновск

35.

J. Squire, R. Meyrand, M. W. Kunz, et al. Nat Astron

(2020).

(2022) https://doi.org/10.1038/s41550-022-01624-z

877