ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 6 (12), стр. 844-849

СВЕТОИНДУЦИРОВАННЫЕ ДИФРАКЦИОННЫЕ РЕШЕТКИ НА

МЕТАПОВЕРХНОСТЯХ НА ОСНОВЕ ЖИДКОГО

МЕТАМАТЕРИАЛА

А. А. Жаров^a, Н. А. Жарова^b*

^a Институт физики микроструктур Российской академии наук

603950, Нижний Новгород, Россия

^b Институт прикладной физики Российской академии наук

603950, Нижний Новгород, Россия

Поступила в редакцию 27 июля 2022 г.,

после переработки 27 июля 2022 г.

Принята к публикации 15 августа 2022 г.

Метаповерхности, представляющие собой специальным образом структурированную границу раздела

сред, являются одним из ключевых элементов современной ¾плоской¿ оптики, поскольку позволяют

эффективно манипулировать падающим на них излучением. В настоящей работе предлагается исполь-

зовать метаповерхность, представляющую собой слой жидкости со взвешенными в ней серебряными

наночастицами. Концентрация наночастиц перераспределяется под действием пондеромоторных сил со

стороны электромагнитного поля, образуя светоиндуцированную дифракционную решетку с параметра-

ми, зависящими от интенсивности падающего излучения. В работе исследована устойчивость однородно-

го по метаповерхности распределения наночастиц в поле нормально падающей плоской световой волны,

найдены возможные нелинейные стационарные состояния.

DOI: 10.31857/S0044451022120057

света для лазерной генерации [12], разработки нано-

EDN: LCDEGZ

антенн и нанорассеивателей с заранее заданной диа-

граммой направленности [13] и т.д. В этом контексте

необходимо также обратить внимание на жидкие ме-

1. Появившиеся за последние две декады мета-

таматериалы и метакристаллы, которые, не обладая

материалы, представляющие собой искусственные

сверхбыстрым откликом, легко перестраивают свои

композитные среды, структурированные на субвол-

свойства под действием внешних управляющих по-

новом уровне, значительно расширили возможности

лей [14-18].

манипулирования электромагнитным излучением в

широком диапазоне частот, от микроволнового до

Теоретические и экспериментальные исследова-

оптического. За счет специального дизайна элемен-

ния оптических метаматериалов дали толчок к идее

тарной ячейки (метаатома) метаматериала, такой

планарной оптики, а именно, к использованию плос-

среде могут быть приданы электромагнитные свой-

ких метаповерхностей (структурированных границ

ства, отсутствующие у природных материалов, та-

раздела сред) для управления световыми потоками.

кие как отрицательная рефракция [1-3], гиперболи-

Это, в свою очередь, привело к бурному развитию

ческая дисперсия [4-6], перестраиваемость, экстре-

так называемой Ми-троники [19], изучающей взаи-

мально сильный нелинейный отклик и др. [7-9]. Все

модействие света с массивами наночастиц в услови-

эти новые свойства могут оказаться востребованы-

ях возбуждения электрических и магнитных резо-

ми в широком круге приложений во многих обла-

нансов Ми. Как было показано в многочисленных

стях нанофотоники, можно, в частности, упомянуть

работах, метаповерхности могут выполнять все те

задачи локализации и контроля света на наномет-

же функции, что и традиционные оптические эле-

ровых масштабах [10, 11], создания наноисточников

менты, обладают сильным нелинейным откликом

благодаря высокой добротности резонансов Ми в

^* E-mail: zhani@appl.sci-nnov.ru

диэлектрических структурах и возбуждению ква-

844

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Светоиндуцированные дифракционные решетки. . .

зисвязанных состояний в континууме [20-22]. В ре-

зультате планарная оптика на основе метаповерхно-

стей позволяет расширить и технологически упро-

стить использование метаматериалов для широко-

го круга потенциальных приложений, в частности

таких, как разработка сенсоров нового поколения

и субволновая микроскопия применительно, напри-

мер, к задачам химии и медицины.

В данной работе мы предлагаем использовать

жидкую метаповерхность в качестве инструмен-

та для манипулирования световыми пучками. Речь

идет о тонком в масштабе длины волны слое вязкой

жидкости со взвешенными в ней плазмонными (ме-

таллическими) наночастицами. Идея состоит в том,

Рис. 1. Постановка задачи: на слой жидкости (диэлектри-

что под действием пондеромоторных сил со сторо-

ческая проницаемость ε_l) со взвешенными в ней металли-

ны электромагнитного поля концентрация наноча-

ческими наночастицами (проницаемость εp) падает плос-

стиц в слое перераспределяется, что, в свою очередь,

кая волна. Слой толщиной d заключен между диэлектри-

ведет к самосогласованному изменению структуры

ческими (проницаемость ε_d) обкладками. При достаточно

большой амплитуде падающего излучения и подходящих

отраженной и прошедшей световых волн или, дру-

параметрах среды однородное распределение частиц ока-

гими словами, к светоидуцированной дифракции,

зывается неустойчивым, их плотность модулируется в по-

позволяющей управлять структурами прошедшего

перечном (x) направлении и падающая волна рассеивается

и отраженного полей. Несмотря на то, что от такой

на этих неоднородностях

структуры нельзя ожидать сверхбыстрого отклика

(соответствующие характерные времена определя-

ограничиться дипольным приближением. Усреднен-

ются временем релаксации скорости наночастицы в

ная по периоду поля пондеромоторная сила, дей-

жидкости), она может оказаться полезной с точки

ствующая на дипольную частицу, имеет вид

зрения контроля над рассеянием света, а в отдель-

ных случая фокусировки или дефокусировки свето-

F_i = 1/2(p_k∇_iE^∗k + c.c.),

(2)

вых пучков с управляемым фокусным расстоянием.

где p = αE наведенный внешним полем диполь-

2. Итак, рассмотрим тонкий в масштабе длины

ный момент частицы, E напряженность электри-

падающей волны слой жидкости (или геля) толщи-

ческого поля, α тензор поляризуемости, c.c. обо-

ной d со взвешенными в ней сферическими металли-

значает комплексное сопряжение и по повторяю-

ческими наночастицами (в дальнейшем в качестве

щимся индексам в (2) предполагается суммирова-

материала наночастиц будет рассматриваться сереб-

ние.

ро). Эффективная диэлектрическая проницаемость

Поляризуемость сферической изотропной части-

такого композита может быть приближенно вычис-

цы является скалярной величиной и дается выраже-

лена по формуле Максвелла-Гарнетта [23]

нием

α = 3V_pε_l(ε_p - ε_l)/(ε_p + 2ε_l),

(3)

ε_eff = ε_l(1 + 3η(ε_p - ε_l)/(ε_p + 2ε_l)),

(1)

где V_p = (4/3)πa³ объем и a радиус частицы.

где ε_p,l

диэлектрические проницаемости частиц и

Выражение (2) содержит две компоненты силы:

жидкости, η объемная доля частиц в среде. Будем

градиентную часть F_∇ ∼ Re(α)∇|E|² и силу ¾увле-

полагать, что на этот слой, окруженный c обеих сто-

чения¿ (scattering force) F ∼ Im(α)S, направленную

рон диэлектриком с проницаемостью ε_d, по нормали

вдоль средней по времени плотности потока энергии

падает плоская световая волна ТЕМ-поляризации

S. В дальнейшем мы будем пренебрегать силой увле-

(см. рис. 1).

чения, поскольку для нормально падающей волны

Со стороны электромагнитного поля на частицы

она компенсируется силой со стороны границ слоя,

действует пондеромоторная сила, смещающая час-

удерживающих жидкость. В латеральном направле-

тицы в ту или иную сторону. Ниже частицы пред-

нии эта сила отсутствует, поскольку отсутствует по-

полагаются достаточно малыми, так, чтобы при рас-

ток энергии электромагнитного поля в этом направ-

чете сил, действующих на частицы, можно было бы

лении.

845

А. А. Жаров, Н. А. Жарова

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

10⁶

-2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

A²

10⁶

Рис.

Инкремент неустойчивости в зависимости от

0.5

квадрата амплитуды падающей волны и диэлектрической

проницаемости жидкости ε_l; волновое число модуляции

kx = 4k0. Показаны изолинии инкремента для значений

G > 0; величина инкремента отображается цветом линий.

-0.5

Параметры, использованные в расчетах, см. в подписи к

рис. 2. Все пространственные гармоники, возбуждаемые

-1

в слое, локализованы, так как для выбранного значения

0.5

1.5

2.5

3.5

kx/k0 = 4 они являются нераспространяющимися в ди-

электрике с ε_d = 2, длина волны падающего излучения в

свободном пространстве λ = 0.6 мкм

Рис. 2. Инкремент неустойчивости в зависимости от квад-

рата амплитуды падающей волны (поле нормировано на

гидродинамической модели, которая подробно

характерное поле нелинейности) и поперечного волнового

обсуждается в работах [24-26], где изучались про-

числа kx. Пунктир обозначает границу области неустойчи-

странственные солитоны в суспензиях наночастиц.

вости, там, где δη^NL = δη^L. Значение диэлектрической

В упомянутых выше работах формирование со-

постоянной жидкости бралось равным ε_l = 6 (a) и 8 (b).

литона из светового пучка происходит на некотором

При расчетах использовались следующие значения пара-

расстоянии от входа в среду, и нелинейный процесс

метров: ε_d = 2, τ = 1.6 · 10^-7 с^-1, d = 0.1 мкм, η0 = 0.3,

требует для развития заметной дистанции. В нашей

VT = 8.6 см/с, длина волны падающего излучения в сво-

постановке слой тонкий, причем нельзя при рас-

бодном пространстве λ = 0.6 мкм

смотрении задачи ограничиться однонаправленным

распространением светового излучения, т.е. нельзя

Под влиянием пондеромоторной силы наноча-

не учитывать отражение от границ слоя. Эта и дру-

стицы в жидкости начинают двигаться, их плот-

гие особенности приводят к существенным различи-

ность меняется, возникает градиент давления, и вре-

ям в результатах.

менная динамика концентрации частиц под действи-

Из уравнения (4) видно, что в стационарном со-

ем обеих этих сил описывается уравнением диффу-

стоянии выполняется условие равенства пондеромо-

зионного типа

торного и теплового давлений:

∂η

(

)

+ τV 2T div

ηRe(α)∇|E|² - ∇η

= 0.

(4)

∇η

∂t

≈ ∇Re(α)|E|².

(5)

Здесь τ = 1/6πaν, ν

кинематическая вязкость

Соотношение (5) напоминает зависимость возмуще-

жидкости и мы ввели новый параметр

ния концентрации частиц от интенсивности поля в

среде с керровской нелинейностью. Однако в на-

α = α/V_p ≡ 3ε_l(ε_p - ε_l)/(ε_p + 2ε_l)

шем случае нелинейность нелокальная, поскольку

и нормировали электрическое поле в слое на

в уравнение входят не сами величины, а их произ-

характерное поле нелинейности, которое равно

водные. Поэтому далее в задаче о развитии модуля-

√

E_c =

k_BT/V_p (k_B постоянная Больцмана, T

ционной неустойчивости плоской волны мы увидим,

температура). Для краткости будем в дальнейшем

что не сами малые возмущения поля и плотности

считать электрическое поле E такой безразмерной

частиц будут пропорциональны друг другу, но лишь

величиной. Уравнение

(4) получено на основе

их отклонения от среднего.

846

ЖЭТ

0.5

0.4

0.6

0.3

0.4

0.2

0.1

0.2

0.08

0.15

0.06

0.1

0.04

0.05

0.02

harmonic number

Рис. 4. Стационарное распределение плотности (сплош-

Рис. 5. Стационарное распределение плотности (сплош-

ная линия) и модуля электрического поля в слое (штри-

ховая линия) в нелинейном режиме (a). Модуль спектра

электрического поля |E_k| в зависимости от номера про-

странственной гармоники (от первой до двадцатой) (b).

При расчетах использовались следующие значения пара-

метров: ε_l = 6, kx/k0 = 4, εd = 2, d = 0.1 мкм, η0 = 0.3,

метров: ε_l = 8, kx/k0 = 4, εd = 2, d = 0.1 мкм, η0 = 0.3,

квадрат амплитуды падающего излучения |E0|2 = 1.5,

длина волны в свободном пространстве λ = 0.6 мкм

(с некоторым, в общем случае комплексным, коэф-

Для исследования модуляционной неустойчиво-

фициентом β, который находится из решения задачи

сти плоской волны найдем сначала электрическое

рассеяния).

поле E₀ внутри слоя, т.е. решим линейную задачу об

Изменение электрического поля в свою очередь

отражении-прохождении падающей плоской волны

влияет на концентрацию частиц, возмущение кото-

на слой с постоянной диэлектрической проницаемо-

рой есть δη^NL = η - η₀, и второй шаг процедуры

стью ε_eff (1), полагая в этой формуле постоянной

использует уравнение (5). Учитывая условие сохра-

плотность частиц η = η₀.

нения числа частиц на периоде структуры, 〈η〉 = η₀

Следующий шаг состоит в том, что мы зада-

(угловые скобки обозначают усреднение по x), най-

дим малое относительно η₀ возмущение концентра-

дем из (5)

ции δη^L = µ cos(k_xx) и решим линейную задачу о

рассеянии плоской волны на таком модулированном

δη^NL/η₀ = exp(Re(α)|E₀ + δE^L|²)-

слое с учетом граничных условий и условий излуче-

- 〈exp(Re(α)|E₀ + δE^L|²)〉.

ния для рассеянного поля¹⁾. Электрическое поле E

в слое окажется также промодулированным с тем

Учитывая малость |δE^L/E₀|, получаем окончатель-

же характерным масштабом, причем из условия ма-

но

лости параметра µ/η₀ ≪ 1 и линейности задачи

δη^NL/η₀ = 2µ cos(k_xx)eRe(α)|E0|²Re(α)Re(β^∗E₀).

E = E₀ + δE^L ≡ E₀ + βµcos(k_xx)

Если окажется, что δη^NL > δη^L, то возмущения кон-

центрации будут неустойчивыми и начнут возрас-

¹⁾ Следует отметить, что рассеяние поля на возмущениях

тать. Это условие совпадает с критерием возбужде-

концентрации наночастиц в жидкой метаповерхности проис-

ходит только в ТМ-поляризацию.

ния систем с положительной обратной связью, где

847

А. А. Жаров, Н. А. Жарова

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

неустойчивость развивается, если коэффициент об-

выше интерполяционной процедурой. Отличие от

ратной связи (здесь δη^NL/δη^L) больше единицы.

расчета линейной стадии неустойчивости состоит в

Описанная процедура использовалась для чис-

том, что эволюция спектра поля учитывает 55 про-

ленного нахождения порога неустойчивости и ее ин-

странственных гармоник вместо трех, а интерпо-

кремента. Однако для тонкого слоя оказывается

ляция становится многошаговой с последователь-

возможно решить задачу дифракции на модулиро-

ным постепенным изменением концентрации частиц

ванном слое аналитически, т.е. найти функциональ-

и расчетом дифракционной задачи на этом профиле

ную зависимость β от параметров, результатом чего

концентрации.

является соотношение

На рис. 4 и 5 приведены результаты расчета ста-

(

ционарного нелинейного решения задачи.

√ε_d - κ

ε_eff )

β = idα

E₀,

(6)

Различие между вариантами, представленными

2κ²

ε^3/2

на рис. 4 и 5 состоит в том, что в первом случае

где мы ввели κ = kx/k0. Таким образом, порог

Re ε_eff

положительная величина, а во втором

неустойчивости определяется условием

отрицательная. Однако и в том, и в другом случае

частицы группируются в области слабого поля.

G ≡ eRe(α)|E0|²Re(α)|E₀|²Re(β) > 1.

(7)

Следует отметить, что полученные в наших рас-

Зная надпороговость, т.е. величину

четах стационарные нелинейные структуры имеют

фактически ступенчатый профиль показателя пре-

G - 1 = δη^NL/δη^L - 1,

ломления. Таким образом можно формировать ди-

из уравнения (4) можно найти инкремент неустой-

фракционную решетку, контролируя ее период за

чивости

счет небольшой затравки в спектре падающей плос-

γ ≈ τV 2T k^2x(G - 1).

кой волны, и использовать эту решетку для дифрак-

ции пробных волн на других частотах.

Возможность развития модуляционной неустой-

чивости существенно зависит (при фиксированной

частоте падающего излучения) от параметров ε_l

4. В заключение, рассмотрено взаимодействие

света с жидкой метаповерхностью, представляющей

и k_x.

Зависимость от k_x иллюстрируется рис. 2a,b, на

собой тонкий слой суспензии металлических нано-

частиц. Исследована устойчивость однородного рас-

котором приведены значения инкремента неустой-

чивости, рассчитанные для величин ε_l

= 6 (a)

пределения наночастиц на метаповерхности. Найде-

(b). При фиксированной длине волны

ны условия возникновения неустойчивости, приво-

λ = 0.6 мкм (диэлектрическая проницаемость се-

дящей в конечном счете к образованию периодиче-

ребра ε_p = -12.7 + 1.1i) поляризуемость наночастиц

ских структур (светоиндуцированных дифракцион-

ных решеток) в результате перераспределения кон-

оказывается положительной, Re(α) = 8.4992, в слу-

чае (a) и отрицательной, Re(α) = -5.5385, в случае

центрации наночастиц вдоль метаповерхности под

действием пондеромоторных сил со стороны элек-

(b); эффективная диэлектрическая проницаемость

смеси (ее действительная часть) также является по-

тромагнитного поля. Определены пороговые зна-

чения амплитуды падающего поля, приводящие к

ложительной для случая (a) и отрицательной для

случая (b).

развитию неустойчивости, и характерные масштабы

На рис. 3 приведены зависимости, аналогичные

возникающих дифракционных решеток.

зависимостям на рис. 2. Отличие лишь в том, что ин-

Финансироание. Работа выполнена при под-

кремент неустойчивости рассчитан для постоянного

держке НЦМУ ¾Центр фотоники¿, при финансиро-

k_x = 4k₀ и меняющегося значения ε_l. Интересно от-

вании Министерством науки и высшего образования

метить, что область неустойчивости ограничена по

РФ, соглашение № 075-15-2022-316.

интенсивности не только снизу, но и сверху (см. так-

же рис. 2b). Очевидно, это связано с сильно нелиней-

ной зависимостью ∼ Re(α)|E₀|² exp(Re(α)|E₀|²) при

ЛИТЕРАТУРА

отрицательных α (см. аналитическую формулу для

порога (7)).

1. D. R. Smith, W. J. Padilla, D. C. Vier et al., Phys.

Rev. Lett. 84, 4184 (2000).

3. Нелинейная стадия неустойчивости и форми-

рование нелинейного стационарного профиля кон-

2. S. Zhang, W. Fan, B. K. Minhas et al., Phys. Rev.

центрации могут быть смоделированы описанной

Lett. 94, 037402 (2005).

848

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Светоиндуцированные дифракционные решетки. . .

3. H. J. Lezec, J. A. Dionne, and H. A. Atwater, Science

15. M. Fruhnert, S. Muhlig, F. Lederer et al., Phys. Rev.

316, 430 (2007).

B 89, 075408 (2014).

4. A. N. Poddubny, I. Iorsh, P. A. Belov et al., Nat.

16. A. A. Zharov, A. A. Zharov, Jr., and N. A. Zharova,

Photon. 7, 958 (2013).

J. Opt. Soc. Am. B 31, 559 (2014).

5. M. A. Noginov, Y. A. Barnakov, G. Zhu et al., Appl.

17. M. Liu, K. Fan, W. Padilla et al., Adv. Mater. 28,

Phys. Lett. 94, 151105 (2009).

1553 (2016).

6. N. A. Zharova, A. A. Zharov, and A. A. Zharov,

18. A. Zharov, Z. Viskadourakis, G. Kenanakis et al.,

Jr., Adv. Cond. Mat. Phys. 2018, 4578149 (2018);

Nanomaterials 11, 346 (2021).

Н. А. Жарова, А. А. Жаров, А. А. Жаров, мл.,

ЖЭТФ 156, 396 (2019).

19. Y. S. Kivshar, Nano Lett. 22, 3513 (2022).

7. M. Lapine, I. V. Shadrivov, D. A. Powell et al., Nat.

20. T. Pertsch and Y. Kivshar, Mater. Res. Soc. Bull. 45,

Mater. 11, 30 (2012).

210 (2020).

8. A. A. Zharov, I. V. Shadrivov, and Y. S. Kivshar,

21. K. Koshelev, G. Favraud, A. Bogdanov et al.,

Phys. Rev. Lett. 91, 037401 (2003).

Nanophotonics 8, 725 (2019).

9. A. P. Slobozhanyuk, M. Lapine, D. A. Powell et al.,

22. S. I. Azzam and A. V. Kidishev, Adv. Opt. Mater. 9,

Adv. Mater. 25, 3409 (2013).

2001469 (2021).

10. A. R. Davoyan, I. V. Shadrivov, A. A. Zharov et al.,

23. J. C. M. Garnett, Philos. Trans. Roy. Soc. London

Phys. Rev. Lett. 105, 116804 (2010).

203, 385 (1904).

11. M. I. Stockman, Phys. Rev. Lett. 93, 137404 (2004).

24. R. El-Ganainy, D. N. Christodoulides, C. Rotschild

12. L. Cao and M. L. Brongersma, Nat. Photon. 3, 12

et al., Opt. Express 15, 10207 (2007).

(2009).

25. R. Gordon and J. T. Blakely, Phys. Rev. A 75, 055801

13. L. Novotny, Nature 455, 887 (2008).

(2007).

14. Y. A. Urzhumov, G. Shvets, J. A. Fan et al., Opt.

26. M. Matuszewski, W. Krolikowski, and Y. S. Kivshar,

Express 15, 14129 (2007).

Opt. Express 16, 1371 (2008).

849