ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 6 (12), стр. 830-834

ИЗЛУЧЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ЧАСТИЦЫ, НАХОДЯЩЕЙСЯ В

ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СРЕДЕ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Б. А. Беляев^a,b*, В. В. Тюрнев^a, Д. А. Шабанов^a,b

^a Институт физики им. Л.В. Киренского ФИЦ КНЦ Сибирского отделения Российской академии наук

660036, Красноярск, Россия

^b Сибирский федеральный университет

660041, Красноярск, Россия

Поступила в редакцию 15 июля 2022 г.,

после переработки 19 июля 2022 г.

Принята к публикации 20 июля 2022 г.

Учет излучения материальной частицы с отрицательной относительной диэлектрической проницаемо-

стью εp, находящейся под воздействием электромагнитного поля в среде с диэлектрической проницаемо-

стью εm, исключает неограниченный рост электрического дипольного момента частицы и порождаемых

им электрических полей при 2εm+εp → 0 в случае отсутствия потерь в среде и в частице. Рассчитанные

потери на излучение описываются поправкой к диэлектрическим потерям реальной частицы. На при-

мере полистирола с наночастицей серебра, имеющей отрицательную диэлектрическую проницаемость

в оптическом диапазоне, исследовано поведение поправки в зависимости от размера частицы при из-

менении ее диэлектрической проницаемости в интервале -16 < εp < 16. Установлено, что даже при

положительных значениях диэлектрической проницаемости наночастицы учет излучения существенно

повышает точность квазистатического расчета.

DOI: 10.31857/S0044451022120033

личением концентрации частиц быстро уменьшает-

EDN: LCBAMP

ся, так как в нем не учитывается электродиполь-

ное взаимодействие поляризованных частиц [3]. Это

взаимодействие было учтено Бруггеманом [4] в при-

1. ВВЕДЕНИЕ

ближении среднего поля (приближение эффектив-

ной среды), причем считалось, что размер частицы

Композиты, состоящие из диэлектрической мат-

с учетом ее диэлектрической проницаемости много

рицы с металлическими частицами размером мень-

меньше длины волны.

ше длины свободного пробега электронов, облада-

В теории эффективной среды [5] решается ква-

ют высокой добротностью в диапазоне ниже оп-

зистатическая задача о возбуждении дипольных ко-

тических частот и привлекают внимание исследо-

лебаний в сферической частице радиусом R, находя-

вателей возможностью значительного увеличения

щейся во внешнем электроманитном поле. Решение

эффективной диэлектрической проницаемости сре-

этой задачи выражается формулами [6]

ды с ростом концентрации частиц, что использует-

ся, в частности, при конструировании многослой-

3ε_m

ϕ_i = -

E₀ · r,

ных полосно-пропускающих фильтров терагерцево-

2ε_m + ε_p

(1)

го диапазона [1]. Квазистатический расчет эффек-

ε_p - ε_m R³

ϕ_s =

E₀ · r,

тивной диэлектрической проницаемости композита,

2ε_m + ε_p

r³

содержащего в диэлектрической матрице сфериче-

ские частицы, был впервые предложен Максвеллом-

где E₀

заданный вектор напряженности внешнего

Гарнеттом [2]. Однако точность этого расчета с уве-

электрического поля, ϕ_i и ϕ_s искомые квазиста-

тические потенциалы электрического поля E_i внут-

^* E-mail: belyaev@iph.krasn.ru

ри частицы (r ≤ R) и поля рассеяния E_s снаружи

830

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Излучение материальной частицы ...

частицы (r ≥ R), а ε_p и ε_m комплексные относи-

противоречит основополагающим принципам физи-

тельные диэлектрические проницаемости материала

ки. Это противоречие возникает из-за использова-

частицы и окружающей ее среды. Сравним потенци-

ния квазистатического приближения за пределами

ал ϕ_s с потенциалом ϕ_p поля точечного дипольного

его применимости, при этом возможность его раз-

момента p, выражаемого формулой

решения является целью работы. Отрицательными

диэлектрическими проницаемостями, как известно,

p·r

ϕ_p =

(2)

обладают некоторые сегнетоэлектрики [8], а в опти-

4πε₀ε_mr³

ческом диапазоне металлы и металлические час-

где ε₀

диэлектрическая проницаемость вакуума.

тицы [9, 10]. Поэтому полученные формулы спра-

Формула (2) получается из кулоновского потенциа-

ведливы только при положительных значениях ди-

ла

электрических проницаемостей матрицы и частиц,

ϕ_q =

(3)

4πε₀ε_mr

а при различии знаков ε_m и ε_p эти формулы напря-

точечного заряда q и известного соотношения [7]

мую нельзя использовать в расчетах характеристик

композитов.

ϕ_p = -

gradϕ_q,

(4)

Указанный недостаток присущ и некоторым дру-

гим широко известным уравнениям и формулам, по-

выражающего потенциал точечного диполя через

лученным в квазистатическом приближении, в том

потенциал точечного заряда. Из выражений для по-

числе соотношению Клаузиуса-Моссотти, форму-

тенциалов ϕ_s и ϕ_p получаем формулу

лам Рэлея, Максвелла-Гарнетта и Бруггемана. На

ε_p - ε_m

такой недостаток формулы Рэлея было указано в ра-

p = 3V ε₀ε_m

E₀

(5)

2ε_m + ε_p

боте [11]. Там же было отмечено, что возбужденная

падающей электромагнитной волной частица долж-

для дипольного момента частицы, где V = 4πR³/3

на излучать запасаемую энергию, однако это излу-

объем частицы. Этот дипольный момент, согласно

чение мало, поэтому, как правило, не учитывается.

формулам (1), порождает внутреннее поле

Авторами [11] отмечено, что в случае металлической

3ε_m

частицы возбуждаются плазменные колебания, ам-

E_i =

E₀

(6)

2ε_m + ε_p

плитуда которых неограниченно растет при равен-

стве 2ε_m + ε_p = 0, а значит, излучение частицы так-

и поле рассеяния

же должно увеличиваться, внося соответствующие

ε_p - ε_m R

потери, ограничивающие рост электрических полей,

E_s =

[3rR^-2(r · E₀) - E₀] .

(7)

2ε_m + ε_p r³

обеспечивая тем самым динамическое равновесие.

Обобщение формулы (6), полученной в квазистати-

ческом приближении, на случай частицы эллипсои-

3. РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ

дальной формы представляется в виде [6]

ε_mE₀

Для устранения указанного недостатка квазиста-

E_i =

(8)

тических расчетов необходимо рассчитать величину

ε_m + (ε_p - ε_m)

электромагнитного излучения возбужденной части-

где

N тензор коэффициентов деполяризации. В

цей, тем самым учесть связанные с ним ее потери

случае сферической частицы этот тензор принима-

электромагнитной энергии. В рассматриваемой за-

ет одно значение

N= 1/3.

даче основной вклад в электромагнитное излучение

дает излучение электрического диполя [12]. Усред-

ненная по времени мощность его излучения в сво-

2. ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ

бодном пространстве на круговой частоте ω выра-

жается формулой [13]

Заметим, что в знаменателях формул (1), (5)-(7)

стоит одинаковая сумма 2ε_m + ε_p. В результате при

ω⁴|p|²

отсутствии диэлектрических потерь в материалах,

P₀ =

(9)

12πε₀c³

когда одна из сред имеет отрицательную диэлек-

трическую проницаемость, электрический диполь-

Здесь c скорость света в вакууме. Выясним, как

ный момент частицы и порождаемые им электриче-

изменится эта мощность в случае, когда дипольное

ские поля устремляются в бесконечность, если сум-

излучение частицы происходит в материальной сре-

ма 2ε_m + ε_p приближается к нулю, что, очевидно,

де, которая может быть и композитом. Для этого

831

Б. А. Беляев, В. В. Тюрнев, Д. А. Шабанов

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

запишем формулу, выражающую связь мгновенной

Усредненная по времени мощность диэлектрических

мощности излучения P_s с интегралом вектора Пойн-

потерь в частице выражается формулой [6]

тинга [6],

∫∫

P_ε =

V ωε₀ε^′′p|E_i|².

(16)

P_s =

[E × H]ds,

(10)

Поэтому поправке Δε^′′p будет отвечать приращение

по всей замкнутой поверхности S, охватывающей

мощности потерь на излучение

этот источник. Выразим в этой формуле поля E и

H диполя p, расположенного в материальной среде,

P_ε =

V ωε₀Δε^′′p|E_i|².

(17)

через поля E₁ и H₁ другого диполя той же величи-

ны p, но расположенного в свободном пространстве.

Эта формула после подстановки в нее формулы (6)

Из формулы (2) видно, что поле E, порождаемое

принимает вид

дипольным моментом p в материальной среде, свя-



зано с полем E₁, порождаемым тем же дипольным



ε_m



P_ε =

V ωε₀Δε^′′p



E²⁰.

(18)

моментом, но уже в свободном пространстве, соот-

2ε_m + ε_p

ношением

E = E₁/ε_m.

(11)

Подставляя формулы

(15) и

(18) в равенство

P_ε =

P_s, находим искомую поправку

Связь же между электрическим и магнитным полем

в материальной среде и в свободном пространстве

√





Vω³

εm

εp - εm

²







выражается формулами

Δε^′′p =

(19)





6πc³

µ_m

ε_m

√µ₀µ_m

E₁ =

√µ₀H₁.

(12)

Эту формулу можно переписать в виде

ε₀ε_m

ε₀

√





εm

εp - εm 2

Здесь µ_m и µ₀ соответственно относительная маг-







Δε^′′p =

θ³

(20)





нитная проницаемость среды и магнитная проница-

µ_m

ε_m

емость вакуума. После подстановки формул (11) и

если ввести обозначение θ = 2πR/λ, где λ длина

(12) в формулу (10) получаем выражение для мгно-

волны в свободном пространстве.

венной мощности излучения:

В результате замена комплексной диэлектриче-

∫∫

ской проницаемости ε_p = ε^′p + iε^′′p на

P_s =

[E₁ × H₁]ds =

√

P₀.

ε_m

√ε_mµ_m

ε_m

ε_mµ_m

εp = εp + iΔε^p′

(21)

(13)

Отсюда с учетом формулы (9) находим усредненную

позволяет в решениях задач квазистатики строго

по времени мощность электродипольного излучения

учесть электромагнитное излучение частицы в ма-

частицы в материальной среде:

териальной среде под воздействием внешнего элек-

тромагнитного поля. В частности, подставляя (21)

ω⁴|p|

в (6), получаем уточненную формулу

P_s =

(14)

12πc³ε₀|ε_m

√ε_mµ_m|.

3ε_m

E_i =

E₀

(22)

Подставляя сюда (5), получаем искомую формулу

2ε_m + ε_p



√



для поля внутри сферической частицы.



3V²ω⁴ε₀

εm



 εp - εm



P_s =



E²⁰

(15)

Введем относительную поправку δ для внутрен-



4πc³

µ_m

2ε_m + ε_p

него поля E_i, обусловленную потерями на излуче-

ние частицы, находящейся в среде с диэлектриче-

для усредненной по времени излучаемой мощности,

ской проницаемостью ε_m:

выраженной через амплитуду внешнего поля E₀.

В уравнениях квазистатики потери мощности,

Δε^′′p

δ=



(23)

связанные с электромагнитным излучением части-

.

2ε_m + ε_p + iΔε^′′

цы, не учитываются. Однако эти потери можно

учесть, прибавив к мнимой части ее комплексной

Выясним, сколь она велика при расчете внутренне-

диэлектрической проницаемости ε_p поправку Δε^′′p.

го поля E_i по формуле (22) для конкретного случая,

832

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

Излучение материальной частицы ...

например, для частицы серебра, помещенной в по-

цаемости частицы ε^′p представлены зависимости от-

листирол. В оптическом диапазоне на длине волны

носительной поправки δ(ε^′p) для трех значений ди-

λ = 397 нм эти материалы имеют диэлектрические

электрической проницаемости окружающей среды

проницаемости ε_p = -4.3+0.2i и ε_m = 2.65+3·10^-4i

ε_m, но при фиксированных значениях радиуса час-

[1, 14, 15]. Для заданных параметров на рис. 1 по-

тицы R = 40 нм и мнимой части ее диэлектрической

строена зависимость поправки δ от размера части-

проницаемости ε^′′p = 0.2.

цы. Видно, что по мере увеличения радиуса части-

Видно, что зависимости δ(ε^′p) на рис. 2 имеют

цы R поправка δ неограниченно возрастает пропор-

по одному ярко выраженному максимуму и по од-

ционально объему частицы (см. формулу (19)), т.е.

ному слабо выраженному минимуму. Максимумы

δ∼R³.

располагаются в области отрицательных значений

ε^′p вблизи точек, в которых выполняется условие

0.6

e p = -4.3 + i0.2

2ε_m + εp = 0, что приводит к резкому увеличе-

0.5

нию излучения и соответствующему росту диэлек-

e m = 2.65 + i 3×10^-4

трических потерь частицы. Минимумы располага-

0.4

ются в области положительных значений ε^′p в точ-

0.3

ках ε_m = ε_p, в которых согласно формуле (19) из-

лучение частицы отсутствует. Однако с дальнейшим

0.2

ростом ε^′p излучение монотонно увеличивается, при-

0.1

чем значительно медленнее для больших значений

диэлектрической проницаемости среды ε_m, что так-

же следует из формулы (19).

R (нм)

Как и ожидалось, при любых значениях диэлек-

величина от-

трической проницаемости среды ε_m

Рис. 1. Зависимость относительной поправки δ от размера

носительной поправки δ много больше для частиц

радиуса частицы

с отрицательной диэлектрической проницаемостью

при одинаковых по модулю значениях |ε_p|. В част-

′ = 4

ности, при замене диэлектрической проницаемости

0.04

частицы серебра на длине волны λ = 397 нм с

2.65

ε_p = -4.3 + 0.2i на ε_p = +4.3 + 0.2i относительная

0.03

R = 40 нм

поправка δ уменьшается больше, чем в 100 раз с 0.6

ε″ = 0.2

1.5

до 3.7 · 10^-3 независимо от размера частицы. По-

0.02

этому поправка Δε^′′p, вычисляемая по формуле (19),

очень важна, прежде всего, в задачах квазистати-

0.01

ки, содержащих частицы с отрицательной диэлек-

трической проницаемостью. Важно отметить, что

-2

поправку на излучение можно не учитывать, если

Δε^′′p ≪ 2ε^′′m + ε^′′p, что видно из формулы (23).

-16

-12

-8

-4

′

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рис. 2. Зависимости относительной поправки δ от дей-

Таким образом, учет излучения материальной

ствительной компоненты диэлектрической проницаемости

частицы с отрицательной диэлектрической прони-

частицы для трех значений диэлектрической проницаемо-

цаемостью ε_p, находящейся под воздействием элек-

сти окружающей среды εm

тромагнитного поля в диэлектрической среде с по-

ложительной диэлектрической проницаемостью ε_m,

Важно отметить, что отрицательная диэлектри-

в случае отсутствия потерь позволяет устранить

ческая проницаемость наночастиц серебра быстро

неограниченный рост электрического дипольного

возрастает по модулю с увеличением длины элек-

момента частицы и порождаемого им электрическо-

тромагнитной волны и при λ = 1393 нм достигает

го поля при 2ε_m + ε_p = 0. Потери на излучение

величины ε_p = -102.0 + 2.6i [9, 14]. С учетом это-

учитываются поправкой Δε^′′p к диэлектрическим

го факта на рис. 2 в широком диапазоне измене-

потерям частицы, которая согласно формуле (19)

ния действительной части диэлектрической прони-

833

Б. А. Беляев, В. В. Тюрнев, Д. А. Шабанов

ЖЭТФ, том 162, вып. 6 (12), 2022

определяется как электромагнитными характери-

J.C. Maxwell Garnett, Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. A

стиками среды и частицы, так и частотой электро-

203, 359 (1904).

магнитного излучения и размерами частицы. По-

Б.А. Беляев, В.В. Тюрнев, ЖЭТФ 154, 716 (2018).

правка Δε^′′p пропорциональна кубу частоты (ω³) и

кубу радиуса (R³) для сферической частицы. На

D.A.G. Bruggeman, Ann. Phys. 24, 636 (1935).

примере полистирола с частицей серебра, имеющей

T.C. Choy, Effective Medium Theory, Oxford Univ.

отрицательную диэлектрическую проницаемость в

Press, Oxford (2016), Ch. 1.

оптическом диапазоне, исследовано поведение отно-

сительной поправки с увеличением размера частицы

Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физи-

до 40 нм, а также при изменении ее диэлектрической

ка, т. 8, Электродинамика сплошных сред, Наука,

проницаемости в интервале -16 ≤ ε^′p ≤ 16. Уста-

Москва (1982), §8, §80.

новлено, что максимумы излучения располагаются

Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс, Фейнманов-

в области отрицательных значений ε^′p вблизи точек,

ские лекции по физике, вып. 5, Электричество

в которых выполняется условие 2ε^′m +ε^′p = 0. Важно

и магнетизм, Мир, Москва

(1977), гл.

§4

отметить, что даже при положительных значениях

(6.16); R. P. Feynman, R. B. Leighton, and M.

диэлектрических проницаемостей среды и наноча-

Sands, The Feynman Lectures on Physics. Mainly

стицы учет излучения заметно повышает точность

Electromagnetism and Matter, Reading (1964), Ch.

квазистатического расчета.

6-4 (6.16).

Представленный расчет учета излучения мате-

D.J.R. Appleby, N.K. Ponon, K.S.K. Kwa et al., Nano

риальной частицы, находящейся в диэлектрической

Lett. 14, 3864 (2014).

среде, возможно, позволит решить проблему квази-

статического расчета по Бруггеману [4] эффектив-

P. B. Johnson and R. W. Christy, Phys. Rev. B 6,

ной диэлектрической проницаемости ε_eff компози-

4370 (1972).

та, содержащего металлические частицы в диэлек-

10.

Railing Changa, H.-P. Chianga, P.T. Leungb,

трической матрице, описанную в работе [14]. Про-

D.P. Tsaid, and W.S. Tse, Sol. St. Com. 133, 315

блема заключается в том, что с увеличением кон-

(2005).

центрации металлических частиц, имеющих отри-

цательную диэлектрическую проницаемость, суще-

11.

М.И. Трибельский, А.Е. Мирошниченко, УФН

192, 45 (2022).

ствует область концентраций в композите, в которой

ε_eff имеет мнимую компоненту в случае отсутствия

12.

B. A. Belyaev and V. V. Tyurnev, Microw. Opt.

потерь в частицах и в матрице. Это, как справедли-

Technol. Lett. 58, 1883 (2016).

во отмечено в [14], противоречит физике.

13.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая фи-

зика, т. 2, Теория поля, Наука, Москва (1967), §67.

ЛИТЕРАТУРА

14.

T. G. Mackay, J. Nanophoton. 1, 019501 (2007).

1. Б.А. Беляев, Ан.А. Лексиков, В.В. Тюрнев и др.,

15.

X. Zhang, J. Qio, X. Li, J. Zhao, and L. Liu, Appl.

ДАН 497, 5 (2021).

Opt. 59, 2337 (2020).

834