ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 5 (11), стр. 778-789

МНОГОКВАНТОВАЯ ЯМР-СПЕКТРОСКОПИЯ И УПРАВЛЕНИЕ

РАСПРОСТРАНЕНИЕМ КВАНТОВОЙ ИНФОРМАЦИИ

В СПИНОВЫХ СИСТЕМАХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

В. Е. Зобовa*, А. А. Лундинb**

^a Институт физики им. Л. В. Киренского, Сибирского отделения Российской академии наук —

обособленное подразделение ФИЦ КНЦ СО РАН

660036, Красноярск, Россия

^b Федеральный исследовательский центр химической физики им. Н.Н. Семенова Российской академии наук,

117977, Москва, Россия

Поступила в редакцию 10 апреля 2022 г.,

после переработки 15 мая 2022 г.

Принята к публикации 16 мая 2022 г.

Многоквантовая (МК) спектроскопия ЯМР твердого тела позволяет наблюдать за ростом многоспи-

новых корреляций и тем самым за распространением квантовой информации в исследуемом объекте.

Недавно в работе [11] было предложено управлять этим процессом с помощью привносимого в эффектив-

ный гамильтониан контролируемого возмущения, вызывающего деградацию кластеров коррелированных

спинов со скоростью, определяемой числом спинов K в кластере. Однако это возмущение может приво-

дить также и к деградации, скорость которой определяется порядком когерентности M. В предлагаемой

работе для исследования влияния малого привнесенного возмущения было использовано разложение

по ортогональным операторам, позволившее учесть распределение кластеров по размерам. При рас-

четах была реализована простая модель с известными амплитудами разложения по полному набору

ортогональных операторов при отсутствии возмущения. Выполнены численные расчеты зависимостей

от «времени приготовления» МК-спектров, их вторых моментов и значений порядков когерентностей,

при которых МК-спектры уменьшаются в e раз, а также средних размеров K кластера коррелирован-

ных спинов. Показано, что зависящий от порядка когерентности вклад в деградацию изменяет форму

МК-спектра. В частности, при увеличении времени приготовления может происходить стабилизация МК-

спектра при сохранении роста K. Вследствие изменения формы МК-спектра изменятся соотношения его

характеристик с числом K по сравнению с таковыми для функции Гаусса (традиционно используемой

для обработки экспериментов). Эти изменения необходимо учитывать при изучении с помощью МК-

спектроскопии распространения квантовой информации.

DOI: 10.31857/S0044451022110189

молекул (например, белков), кластеров и локальных

EDN: LBFTIB

структур, размещенных на поверхностях [2] жидких

кристаллов [3], полостей наноразмеров [4] и т.п. В ос-

нове МК-спектроскопии лежит наблюдение за пове-

1. ВВЕДЕНИЕ

дением многоспиновых/многоквантовых когерент-

ных состояний. Эти состояния возникают под дей-

Активное развитие многоквантовой (МК) спек-

ствием внутренних взаимодействий в условиях об-

троскопии ЯМР, появившейся как следствие интен-

лучения ядерной спиновой подсистемы вещества,

сивного развития многоимпульсного ЯМР [1], нача-

находящегося в конденсированном состоянии, опре-

лось в конце 70-х-начале 80-х годов в качестве мощ-

деленной последовательностью радиочастотных им-

ного, а часто и фактически незаменимого средства

пульсов [1, 5, 6].

для практического исследования структуры макро-

Появившаяся возможность экспериментального

изучения с помощью МК-спектроскопии ЯМР раз-

^* E-mail: rsa@iph.krasn.ru

^** E-mail: yaandylun2012@yandex.ru

вития с течением времени многоспиновых корреля-

778

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Многоквантовая ЯМРспектроскопия и управление.. .

ций оказалась востребована в статистической фи-

Его величина определяет нижнюю границу крите-

зике необратимых процессов [7] и при изучении

рия Фишера [20-22] для квантовой информации,

физических процессов, необходимых для развития

представляющего меру запутанности. Кроме того,

квантовой информатики (создания квантовых реги-

второй момент МК-спектра — величина, непосред-

стров) [8]. Дело в том, что система ядерных магнит-

ственно измеряемая в эксперименте и, следователь-

ных моментов (спинов) твердого тела, наблюдаемая

но, позволяющая экспериментально определять со-

методами ЯМР, служит хорошим примером замкну-

ответствующую ему ВКФ ОТОС [23].

той системы, а, как известно, в замкнутой системе

Построение последовательной теории формы

квантовая информация сохраняется со временем [8].

МК-спектра ЯМР твердых тел и скольконибудь

При этом изначально локализованная в одночастич-

строгий расчет соответствующих ВКФ представ-

ных (односпиновых) состояниях эта информация пе-

ляет собой чрезвычайно сложную многочастичную

рераспределяется по множеству степеней свободы,

и до сих пор очень мало исследованную задачу.

что может быть отображено появлением временных

В традиционной статистической модели [5, 6] при

корреляционных функций (ВКФ) весьма сложной

помощи простейшей алгебраической оценки числа

структуры.

переходов между уровнями больших кластеров для

Распространение («растекание») квантовой ин-

распределения когерентностей различного порядка

формации по многочастичной системе называется

M в МК-спектре было получено распределение

скремблингом (scrambling) (см., например, [9-11]).

Гаусса

Для теоретического описания указанных процессов

(

)

M²

(скремблинга), как правило, используются четы-

G_M(T) =

√

exp -

(1)

рехоператорные ВКФ, относящиеся к классу ВКФ

K(T )

πK(T)

с английской аббревиатурой OTOC (out-of-time-

order correlator) (см., например, [12-15]):

Второй момент (дисперсия) распределения в этой

модели K(T )/2 определяется средним числом спи-

C(t) = 〈W⁺(t)V⁺(0)W (t)V (0)〉_β .

нов K(T ), между которыми за время приготовле-

Здесь V (0) и W(0) — два коммутирующих операто-

ния T установилась динамическая корреляция. Это

ра, а зависимость от времени определяется обычным

число, получившее название числа коррелирован-

унитарным оператором с гамильтонианом системы

ных спинов или эффективного (среднего) размера

в показателе. Угловые скобки 〈. . .〉_β означают ста-

кластера, растет с увеличением времени приготов-

тистическое среднее. OTOC ВКФ, связанные с ин-

ления T .

формационной энтропией, содержат конкретную ин-

В работе [19] нами было показано, что для трех-

формацию о наиболее интимных процессах, проис-

мерных ядерных спиновых систем с секулярным

ходящих в многочастичной системе: о многочастич-

диполь-дипольным взаимодействием (или с эффек-

ном запутывании, локализации в системе многих

тивным двухспиновым/двухквантовым взаимодей-

тел, развитии квантового хаоса и так далее, вплоть

ствием (см. ниже)) второй момент МК ЯМР, опре-

до некоторых аспектов физики черных дыр [12, 13,

деляющий число коррелированных спинов, растет

15] (например, излучении Хоукинга). Следует от-

в идеальном случае (при отсутствии каких-либо воз-

метить, что при экспериментальных исследовани-

мущений) экспоненциально со временем T . Полу-

ях МК ЯМР многоспиновых систем имеет ряд за-

ченные в [19] результаты позволили, в частности,

метных преимуществ по сравнению с другими мно-

объяснить экспериментальные данные работ [24-28]

гочастичными системами, такими как ультрахолод-

по наблюдению возникновения кластеров коррели-

ные нейтральные атомы [12] или ионы, захвачен-

рованных спинов, содержащих примерно 10⁵ частиц.

ные в ловушки [13]. Дело в том, что используемые

В реальной ситуации рост кластеров коррелиро-

(возникающие естественным путем при эксперимен-

ванных спинов ограничивается вследствие различ-

тах) в MКспектроскопии ВКФ принадлежат к клас-

ных процессов, вызывающих деградацию кластеров.

су OTOC, т. е. это четырехчастичные ВКФ, содер-

Для их исследования в работах [11, 27, 29, 30] в эф-

жащие (по определению) этап эволюции, обращен-

фективный гамильтониан на подготовительном пе-

ный во времени [16, 17]. Следует сказать, что сре-

риоде добавлялось возмущение, величина которо-

ди набора различных четырехчастичных ВКФ типа

го задавалась самими экспериментаторами. Было

OTOC, возникающих в МК ЯМР, весьма существен-

обнаружено, что при увеличении возмущения рост

ную роль играет второй момент МК-спектра [18,

числа K с ростом времени T замедляется и мо-

19], что обусловливается двумя обстоятельствами.

жет вообще останавливаться. На этой основе ав-

779

В. Е. Зобов, А. А. Лундин

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

торы [11] предложили метод управления ростом

Статья имеет следующую структуру: в разд. 2

числа K и, тем самым, развили способ управле-

приведены общие формулы и ряды для идеального

ния распространением квантовой информации с по-

случая, когда возмущения, приводящие к деграда-

мощью контролируемого возмущения. Для описа-

ции кластера, отсутствуют. В разд. 3 получены вы-

ния указанных процессов, сопровождающих разви-

ражения, в которых учтены процессы деградации

тие кластеров, была предложена модель [31], в ос-

кластеров. В разд. 4 приведены результаты числен-

нову которой положены уравнения для амплитуд

ных расчетов и их обсуждение. Раздел 5 — краткое

кластеров разного размера, заимствованные из ра-

заключение. Наконец, в Приложении рассмотрены

боты [32]. В рамках модели предполагался диффу-

особенности расчета для кластеров с малым числом

зионный рост кластера (что, вообще говоря, не яв-

спинов.

ляется корректным, см. [19]), а скорость его дегра-

дации определялась исключительно размером клас-

тера.

2. ГАМИЛЬТОНИАН И ОСНОВНЫЕ

Следует указать, что обычно в экспериментах

УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ

среднее число коррелированных спинов K извле-

ФУНКЦИЙ

кается из ширины наблюдаемого МК-спектра при

Секулярная часть межъядерных дипольдиполь-

предположении, что вследствие слабости внешних

ных взаимодействий в неметаллических диамаг-

возмущений это можно сделать в соответствии с со-

нитных твердых телах, единственно ответственная

отношениями, полученными для идеального случая.

за динамику спиновой системы, состоящей из лег-

Описанная методика использовалась и для обработ-

ких ядер, например, таких как протоны или ядра

ки экспериментальных результатов авторами [11, 27,

¹⁹F, в условиях ЯМР имеет вид [38]

29]. Необходимо отметить, что сделанное предпо-

ложение, тем не менее, нуждается в обосновании,

∑

1^∑

поскольку возмущение может изменять саму фор-

H_dd =

b_ijS_ziS_zj -

b_ijS+iS_-j,

(2)

му МК-спектра. Так, например, в работе [24] было

i=j

экспериментально установлено, что скорость дегра-

где b_ij = γ²ℏ(1 - 3 cos² θ_ij )/2r3ij , r_ij — вектор, соеди-

дации кластера зависит не только от его размера,

няющий спины i и j, θ_ij — угол, образуемый векто-

но и от порядка когерентности. Проведенные нами

ром r_ij с постоянным внешним магнитным полем,

ранее в работах [33-35] вычисления и оценки по-

γ — гиромагнитное отношение, S_αi — αкомпонента

казали, что быстрое затухание спектральных ком-

(α = x, y, z) векторного оператора спина в узле i,

понент с большими порядками когерентностей мо-

S+i = S_xi + iS_yi, S_-i = S_xi - iS_yi. Здесь и ниже

жет привести при увеличении времени T к стабили-

энергия выражается в частотных единицах.

зации МК-спектра, несмотря на продолжающийся

При традиционных экспериментах, использую-

рост числа коррелированных спинов K. Таким обра-

щих магнитный резонанс, спиновая температура

зом, этот опущенный в работах [11, 31] физический

обычно существенно превышает энергию зееманов-

механизм деградации существенно влияет на наблю-

ского и других взаимодействий в спиновой системе.

даемый размер кластера и его надлежит исследо-

В связи с этим мы, как обычно, ограничимся ис-

вать в процессе совершенствования развиваемых ме-

следованием временных корреляционных функций

тодов управления распространением квантовой ин-

(ВКФ) в высокотемпературном приближении. Рав-

формации.

новесная высокотемпературная матрица плотности

В настоящей работе с помощью разложения ис-

в сильном постоянном магнитном поле H₀ описыва-

комых ВКФ по бесконечному набору ортогональных

ется выражением [38]

операторов и использования некоторых известных

фактов для традиционных модельных систем [19,

∑

35-37] получены ряды по растущему числу спинов

ρ_eq ∝ 1 +

S_zj,

в кластере для K, для МК-спектра и различных его

j=1

характеристик. Учтены оба физических механизма

деградации кластера: как зависящий от числа спи-

где k — постоянная Больцмана, T — температура

нов в кластере, так и зависящий от его порядка ко-

и N — полное число спинов в образце.

герентности. Для различных значений параметров,

Гамильтониан (2) является базовым для «спи-

входящих в окончательные выражения, выполнены

новой алхимии», преобразуясь под влиянием ра-

численные расчеты.

диочастотных импульсов в другие гамильтонианы,

780

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Многоквантовая ЯМРспектроскопия и управление.. .

представляющие интерес для исследователя [1]. На-

Индекс 1 означает прямое эволюционное разви-

пример, в традиционном МК ЯМР [1-6] гамильто-

тие со временем, 2 — обратное, U_ϕ

= exp(iϕS_z)

ниан (2), как правило, превращается в двухспино-

— оператор поворота на угол ϕ вокруг оси z,

вый/двухквантовый гамильтониан H_DQ вида

Sz — zкомпонента полного спина ядерной систе-

мы. Амплитуда эха Γ(ϕ, T ) измеряется с помощью

∑

H_DQ = -

b_ij(S+iS+j + S_-iS_-j).

(3)

π/2-импульса, поворачивающего намагниченность

i=j

в плоскость, перпендикулярную внешнему магнит-

ному полю. Проводится многократное повторение

Под действием несекулярного (по отношению

эксперимента с разными значениями фазовых сдви-

к равновесной намагниченности) гамильтониана (3)

гов ϕ облучающих импульсов для каждой дли-

первоначальная намагниченность передается в раз-

тельности T подготовительного периода. Двумер-

личные ВКФ довольно сложной структуры, завися-

ный спектр МК ЯМР G_M (T ), являющийся функ-

щие от произведения различного числа (K) спино-

цией двух переменных: M и T , может быть получен

вых операторов (многоспиновые кореляции). Ины-

с помощью преобразования Фурье от ВКФ Γ(ϕ, T )

ми словами, равновесная матрица плотности в силь-

по переменной ϕ.

ном магнитном поле ρ_eq превращается в неравновес-

Существенной характеристикой МК-спектра яв-

ную матрицу плотности, которую удобно предста-

ляется его второй момент [11, 18, 19, 21, 23, 31], для

вить в виде суммы недиагональных элементов ρ_M

которого посредством соотношения (4) находим:

с определенной разностью M магнитных квантовых

чисел, получивших название многоквантовых коге-



∑



рентностей (M — порядок когерентности):

M²

M²G_M (T) = -d²Γ(ϕ, T)dϕ²

ϕ=0

∑

{[

][

]}

ρ(t) = exp{iHt}ρ_eq exp{-iHt} =

ρ_M(t),

S_z, U₁(T)S_zU⁺¹(T)

U₂(T)S_zU⁺(T ), Sz

Tr{S2z}

∑

∑∑



(5)

ρ_M (t) =

g_KMq{i}(t)KMq{i}

K=|M| {i} q



Как ВКФ (4), так и (5) принадлежат к классу

где

^KMq{i}

— базисный оператор, в котором K

OTOC, рассмотренному во Введении.

односпиновых операторов формируют произведе-

Для решения сформулированной задачи по рас-

ние, связывающие различающиеся на M единиц зе-

чету формы МК-спектра и среднего размера класте-

емановские состояния. Индекс q нумерует разные

ра коррелированных спинов целесообразно, как по-

базисные состояния с одинаковыми значениями K

казано в работе [35], воспользоваться разложением

и M. В момент времени t = T появившиеся коге-

зависящих от времени спиновых операторов по пол-

рентности метятся с помощью фазового сдвига ϕ.

ной системе ортонормированных операторов [41]:

Возникающий фазовый сдвиг пропорционален Mϕ,

где M — целое число. Таким образом, Kспиновые

∑

корреляции в зависимости от M различают еще

S_z(t) =

A_j(t)|j〉

(6)

j=0

и по числу квантов (M ≤ K) [1, 3, 5, 6]. Затем к си-

стеме прикладывается новая импульсная последо-

и исследовать изменения амплитуд этого разложе-

вательность, изменяющая знак упомянутого несеку-

ния

лярного гамильтониана (3) и, тем самым, проводит-

〈j|S_z(t)〉

ся «обращение времени» [39, 40], вследствие которо-

A_j(t) =

(7)

〈j|j〉

го система развивается «вспять». В момент времени

t = 2T наблюдается эхо Лошмидта, амплитуда ко-

вследствие возмущения. Подобные разложения

торого Γ(ϕ, T) зависит от ϕ и может быть записана

неоднократно использовались в неравновесной

в следующем виде:

статистической механике и ранее (см., напри-

мер,

[19,

42-46]) для описания разнообразных

Γ(ϕ, T ) =

ВКФ. Угловые скобки отражают взятие скалярного

{

}

произведения [41], т. е. фактически — вычисление

U⁺(T )UϕU1(T )SzU+(T )U+ϕU2(T )Sz

(4)

статистического среднего. Последнее в условиях вы-

Tr{S2z}

сокотемпературного приближения означает просто

где U₁₍₂₎(t) — оператор эволюции с «работающим га-

вычисление следа от соответствующего произве-

мильтонианом (например, H_DQ из формулы (3))».

дения операторов. При ортогонализации обычно

781

В. Е. Зобов, А. А. Лундин

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

используется процедура Грама-Шмидта [19, 37, 41,

Здесь и ниже время выражено в единицах обратно-

(

47]. Приведем несколько векторов:

го второго момента

1/√m2) функции A0(t). Для

указанных амплитуд имеем

|0〉 = S_z,

|1〉 = i[H, |0〉],

(

√

)K-1

th²(T/

|j + 1〉 = i[H, |j〉] + ν2j-1|j - 1〉 при j ≥ 1,

(8)

P (K, T ) =

√

(13)

ch⁴(T/

ν2j = 〈j + 1|j + 1〉/〈j|j〉.

√

K(T ) = 1 + 2 sh²(T/

2).

(14)

Поскольку каждая коммутация с гамильтонианом

двухспинового взаимодействия добавляет максимум

один спиновый оператор в произведение спино-

3. ПОТЕРИ КОГЕРЕНТНОСТИ В СИСТЕМЕ

И ИХ ВЛИЯНИЕ НА МК-СПЕКТР

вых операторов, из которых состоит вектор |j〉,

будем рассматривать ортогональный оператор |j〉

Как уже отмечалось выше, при отсутствии

в качестве оператора, представляющего кластер

каких-либо внешних возмущений следует ожидать

из K = j + 1 спинов. Такое представление (см.,

неограниченный рост K с временной зависимостью

например, [35, 37, 45, 48]) обосновано при наличии

весьма близкой к экспоненциальной [19]:

большого числа соседей, окружающих каждый (лю-

бой) спин в решетке, адекватного для большинства

K(t) = exp(at).

(15)

обычных твердых тел (адамантан, флюорит и пр.).

В этом приближении МК-спектр в отсутствие воз-

Неидеальность радиочастотных импульсов, раз-

мущений запишем в виде суммы МК-спектров g_KM

бросы полей, примешивание к основному гамильто-

(см. Приложение) от кластеров разного размера [35,

ниану других возмущающих гамильтонианов [10, 11,

37]:

27, 29] приводят к неполному обращению времени

∑

и вызывают деградацию кластеров вследствие появ-

G_M(T) =

g_KM P(K, T),

(9)

ления потери когерентности (релаксации). Отмечен-

K=|M|

ные процессы тормозят рост величины K. На этом

где

основании в работе [11] было предложено управлять

ростом числа коррелированных спинов K с помо-

P (K, T ) = A2K-1(T )〈K - 1|K - 1〉/ Tr(S2z)

(10)

щью контролируемого малого возмущения, добав-

на этапе приготовления:

ляемого к H_DQ

фактически представляет собой распределение

по числу кластеров с K = j + 1 спинами, поскольку

H₁ = (1 - p)H_DQ + pH_dd.

(16)

для него выполняется условие

Здесь H_dd и H_DQ — гамильтонианы, заданные фор-

∑

мулами (2) и (3), |p| ≪ 1.

Γ(ϕ = 0, T ) =

P (K, T ) = 1.

В [11] число K извлекали из ширины экспери-

K=1

ментального МК-спектра, полагая, что при нали-

В принятом представлении средний размер клас-

чии возмущения можно воспользоваться соотноше-

тера, равный удвоенному второму моменту МК-

ниями, полученными в идеальном случае. Послед-

спектра (9), описывается рядом

нее, однако, требует (как мы отмечали во введе-

нии) обоснования, поскольку возмущение может из-

∑

менять форму МК-спектра.

K(T ) =

KP(K,T).

(11)

Так, в статье [24] было экспериментально уста-

K=1

новлено, что взаимодействие H_dd вызывает релак-

Для плотных спиновых систем, таких как ада-

сацию компонент МК-спектра, скорость которой за-

мантан или флюорит, для которых характерен экс-

висит как от K, так и от M. В работе [49] мы по-

поненциальный рост K, воспользуемся хорошо из-

казали, что эта релаксация обусловлена локальны-

вестным выражением для искомых амплитуд [19, 35,

ми дипольными полями и представима произведени-

36]:

ем двух сомножителей от двух вкладов в локальное

поле:

A₀(t) =

√ ,

exp(-KB²t2d/2)exp(-A²M²t2d).

(17)

ch²(t/

√

(12)

th^j (t/

Здесь t_d — длительность интервала эволюции, рас-

A_j(t) =

√

ch²(t/

положенного между подготовительным интервалом

782

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Многоквантовая ЯМРспектроскопия и управление.. .

и интервалом смешивания. Параметр B² характе-

ра свой релаксационный множитель (18). При экспо-

ризует некоррелированный вклад в локальное поле

ненциальном росте числа коррелированных спинов

на каждом из спинов кластера, не зависящий от ло-

в кластере с K(T ) = K, найдем для него:

кального поля на других спинах. Параметр же A²

характеризует среднее по кластеру поле, коррели-

K(t) = exp(a_K t), a_K =

ln K,

(20)

рованно действующее на все спины кластера. Отме-

тим, что величины констант A и B и их соотношение

может изменяться в широких пределах, поскольку

T²

(T - t)²

(21)

это зависит от вида возмущения и свойств спиновой

a2K

a_KK(T)

K(T )

системы. Первый из сомножителей действительно

Соотношения (18)-(21) получены при пренебреже-

может привести к ограничению размеров растущих

нии вкладом от начального значения числа спинов

кластеров. Его проявление рассматривалось в рабо-

в кластере. Затухание с учетом начального значения

тах [29, 31]. Влияние второго сомножителя прояви-

K(0) = 1 рассмотрено в Приложении.

лось, в частности, в наблюдавшемся в [26] сужении

МК-спектра. Результат воздействия второй компо-

Таким образом, с учетом протекания процессов

ненты формулы (17) реализуется более сложным пу-

деградации кластеров форма МК-спектра может

тем. Ниже рассмотрим ее влияние на спектр и раз-

быть записана в виде следующего ряда [35]:

мер кластера.

∑

Поскольку возмущение в (16) предполагается ма-

G_M(T) =

g_KMF_M (T)F_K(T)P(K, T)/N₁(T).

лым (p ≪ 1), будем учитывать его действие феноме-

K=|M|

нологически, добавляя релаксационный множитель

(22)

к распределению P (K, T ) в соотношении (9) и по-

Здесь N₁(t) — нормировочный множитель,

лагая, что возмущение не повлияет непосредствен-

но на ВКФ {A_j(t)} и вектора {|j〉}. Этот множитель

∑

в соответствии с результатами работ [33-35, 49] возь-

N₁(T) =

g_KMF_M (T)F_K(T)P(K, T).

(23)

мем в виде произведения двух сомножителей:

M K=|M|

Γ_KM (T) = exp(-Kp²B²t2T /2)exp(-p²A²M²t2T ) =

Для среднего размера кластера K(T) с учетом

затухания вместо ряда (11) получаем ряд

= F_K(t)F_M(t),

(18)

∫

K(T ) =

t2T =

(T - t)²

= (T - t)²R(t)dt.

(19)

∑

= KF_K(T)F_〈M〉(K,T)P(K,T)/N₂(T),

(24)

K=1

Здесь символ 〈. . .〉 обозначает усреднение по момен-

ту «возникновения» когерентности, t_T

— среднее

где

время возникновения когерентности на промежут-

ке [0, T ], R(t) — некоторая плотность вероятности,

∑

N₂(T) =

F_K(T)F_〈M〉(K, T)P(K, T)

(25)

характеризующая процесс возникновения когерент-

K=1

ностей:

— нормировочный множитель, а

R(t) = (dK(t)/dt)/K(T ), K(T ) = K.

∑

Релаксационный множитель формулы (18) отли-

F_〈M〉(K, T) =

g_KMF_M (T)

(26)

чен от формулы (17) вследствие разницы схем со-

M =-K

ответствующих экспериментов. В ситуации, описы-

ваемой соотношением (17), рост кластера среднего

— затухание кластера из K спинов, усредненное

размера K под действием H_DQ и его затухание под

по M.

действием H_dd происходят последовательно. Тогда

Выбирая для больших кластеров g_KM в виде

как в случае, задаваемом соотношением (18), на под-

функции Гаусса

готовительном периоде оба процесса происходят па-

(

раллельно. При этом учитывается, что растут кла-

M² )

g_KM =

√

exp -

(27)

стеры разного размера K и у каждого такого класте-

πK

783

В. Е. Зобов, А. А. Лундин

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

[

и заменяя в (26) суммирование на интегрирование,

у множителя

1+Kp²A²

(T -t)²

во вкладе в сумму

найдем среднее по M затухание кластера из K спи-

кластера из K спинов. В первом случае этот показа-

нов (мы пренебрегаем граничными эффектами):

тель равен -1/2 (от средней деградации кластера),

а во втором случае равен -3/2 (от второго момента

∫∞

кластера).

F〈M〉(K, T ) =

g_KMF_M (T)dM =

-∞

[

=]-1/2

4. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧEТОВ

1+Kp²A²

(T - t)²

(28)

И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

и второй момент МК-спектра для кластера из K

спинов:

∫∞

〈M²〉_K = M²g_KM F_M (T )dM =

-∞

[

=]-3/2

1+Kp²A²

(T - t)²

/2.

(29)

После корректного учета затухания малых клас-

теров (см. Приложение) и соотношения (28) для

среднего размера кластера K(T) приходим к выра-

жению

P (1, T )

K(T ) = exp(-p²A²T²)

N₃(T)

∑

[

=]-1/2

+ KF_K(T)

1+Kp²A²

(T - t)²

K=2

P (K, T )

(30)

Рис. 1. Зависимости характеристик среднего кластера кор-

N₃(T)

релированных спинов от «времени приготовления» T .

Время приведено в единицах 1/√m2. K = 2〈M2〉 —

N₃(T) = exp(-p²A²T²)P(1, T) +

сплошные линии, M2e (формула (34)) — штриховые ли-

∑

[

=]-1/2

нии. Пунктирными линиями показаны зависимости K, рас-

+ + F_K(T)

1+Kp²A²

(T - t)²

считанные по формуле (35). На рисунке представлены ре-

K=2

зультаты расчетов для параметра α = 0 и трех значений

× P(K,T),

(31)

параметра C

где N₃(t) — нормировка.

Полученные в предыдущем разделе соотношения

В то же время для второго момента МК-

представляют собой решение поставленной задачи

спектра G_M (T) (22) в принятом выше приближении

об изменении формы МК-спектра и среднего раз-

и при учете соотношения

(29) ряд получается

мера кластера коррелированных спинов вследствие

другим:

присутствующего возмущения. Поскольку в общем

виде ряды просуммировать не удается, нами бы-

P (1, T )

〈M²〉 =

exp(-p²A²T²)

ли проведены численные расчеты. Рассчитывались

N₃(T)

МК-спектры (22), их вторые моменты 〈M²〉 (32)

∑

[

=]-3/2

и средние размеры кластеров K(T) (30) для различ-

KF_K(T)

1+Kp²A²

(T - t)²

K=2

ных значений времени приготовления T и парамет-

P (K, T )

ров, характеризующих затухание:

(32)

N₃(T)

C = p²B²/m₂, α = A²/B².

(33)

Следовательно, при наличии процессов деградации,

зависящих от M, ряды для среднего числа спи-

Суммирование рядов по числу вовлекаемых

нов K(T ) (30) и второго момента 〈M²〉 (32) не сов-

спинов K заменялось интегрированием по K

падают. Они различаются показателями степеней

от K

= 2 до K

= 10⁵-10⁶. По рассчитанным

784

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Многоквантовая ЯМРспектроскопия и управление.. .

Рис. 2. а) Спектр МК ЯМР при времени приготовления T = 8/√m2 и при значении параметра C = 0. Приведена

только правая половина. Спектр симметричен относительно вертикальной оси. Точки — результаты расчета по фор-

муле (22). Сплошная линия — функция Гаусса GM (T ) = (2π〈M²〉)-1/2 exp(-M²(2〈M²〉)), построенная при значении

2〈M²〉 = 37093.7m2 , рассчитанном по формуле (32). б) То же, что на рис. 2а, при C = 0.0001, α = 10 и 2〈M²〉 = 650.16m2

МК-спектрам (22) были найдены значения коге-

На рис. 1 видно, что при C = 0 наблюдается экс-

рентностей M_e, при которых МК-спектр умень-

поненциальный рост K в зависимости от T , описы-

шается в e раз. Дело в том, что обычно при

ваемый формулой (14). Включение сторонних воз-

экспериментах предполагается гауссовский ха-

мущений, вызывающих деградацию кластера, зави-

рактер МК-спектра

(1), для которого именно

сящую от вовлекаемого числа спинов K, приводит

посредством этой величины определяют средний

к замедлению роста числа K при больших време-

размер кластера:

нах T и влечет остановку роста. В работе [35] при

условии

(T - t)²

= 2/a² мы получили для этого

K_e = M2e.

(34)

случая формулу (переписанную здесь при условии

a² = 2m₂ и в используемых сейчас обозначениях):

Результаты расчетов приведены на рис. 1-3.

√

На рис. 1 приведены результаты расчета для

sh²(T/

2) exp(-C/2)

K(T ) = 1 + 2

√

(35)

ситуации, когда деградация кластера, зависящая

1 + sh²(T/

2)(1 - exp(-C/2))

от порядка когерентности M, отсутствует. Этому со-

ответствует значение α = 0. В указанном случае ря-

Соответствующие зависимости показаны на рис. 1

ды (30) и (32) совпадают, а значит, и K = 2〈M²〉. За-

пунктирными линиями при трех значениях пара-

висимости M2e от времени приготовления T повто-

метра C, и они качественно правильно описывают

ряют зависимости K от T , но с некоторым смеще-

замедление роста числа K при больших временах T .

нием (в логарифмических координатах). Смещение

Расчеты с более полным (детализированным) уче-

произошло изза того, что форма МК-спектра (22),

том всех слагаемых соотношения (21) для

(T -t)²

являющаяся суммой гауссовских функций, отлича-

учитывающем его зависимость от K и T, приводят

ется от простой гауссовской функции, как это вид-

к большему ограничению величины K при больших

но на рис. 2а. Отметим, что форма МК-спектра при

временах T.

полном отсутствии процессов деградации (идеаль-

При наличии деградации (затухания), зависящей

ная ситуация, при которой C = 0) была исследована

от порядка когерентности M и изменяющей форму

нами в работе [37]. Было показано, что спектр хо-

МК-спектра, вид характеристик кластеров в зави-

рошо описывается простой экспонентой, наблюдав-

симости от времени T существенно изменяется, как

шейся ранее в экспериментах [29].

это следует из рис. 3а, 3б, 3в. А именно: с ростом

785

В. Е. Зобов, А. А. Лундин

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Рис. 3. Среднее число спинов в кластере K (формула (30)

— сплошная линия), второй момент МК-спектра 2〈M²〉,

(формула (32) — пунктир) и число спинов в кластере,

определенное через падение амплитуды спектра в e раз

M2e (формула (34) — штриховая линия) в зависимости

от «времени приготовления» T . Время приведено в едини-

цах 1/√m2. Значения параметров: а — C = 0.0001, α = 1;

б — C = 0.0001, α = 10; в — C = 0.001,α = 1

времени T расходятся кривые для среднего размера

при которых МК-спектр стабилизируется, а его ха-

кластера, определенного двумя способами:

рактеристики M2e и 〈M²〉 перестают расти, тогда как

1. по формуле (30) как среднее по изменяюще-

рост среднего размера кластера K продолжается.

муся со временем T распределению кластеров по их

Таким образом, выполненные расчеты демон-

величине K(K);

стрируют информацию о декогеренции и скрем-

2. по формуле (34) через суммарный (средний)

блинге, получаемую из МК-спектров ЯМР в рам-

МКспектр (22) кластеров разного размера K(M2e).

ках развитой теории. Так, в отсутствие декогерен-

Кроме того, удвоенный второй момент МК-

ции в результате процессов скремблинга происхо-

спектра при малых временах T равен K, тогда как

дит неограниченный экспоненциальный рост, про-

при больших временах его значение приближается

порциональный sh²(aT ), ширины МК-спектра с уве-

к M2e. Подобное поведение второго момента связа-

личением времени приготовления T . Процессы де-

но с изменением формы МК-спектра. Как следует

когеренции ограничивают этот рост при T

→ ∞

из рис. 2б, при α = 10, c = 10-4 форма МК-спектра

некоторой предельной шириной МК-спектра, каче-

приближается к гауссовой форме, ширина которой

ственная зависимость которой от величин парамет-

отличается от K и близка к M2e. Наконец, приведен-

ров может быть представлена приближенной фор-

ные на рис. 3а, 3б, 3в зависимости демонстрируют

мулой [35]: 1/(p²B²/2a² + 2p²A²/a²).

существование интервала времен приготовления T,

786

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Многоквантовая ЯМРспектроскопия и управление.. .

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

F_K(T) =

{

[

]}

Развиваемая модель позволила исследовать вли-

∫

p²B²

dK(t)

яние деградации кластеров, вызванной контролиру-

= exp

K(0)T² +

(T - t)²dt

емым возмущением на подготовительном периоде,

на средний размер кластера коррелированных спи-

(

)

= exp

K(0)p²B²T²/2 - K(T )p²B²t2T /2

(A.1)

нов, форму МК-спектра и его второй момент. Каж-

(

)

дая из рассчитываемых величин была представле-

Поскольку начальный вклад exp

K(0)p²B²T²/2

на в виде суммы взвешенных вкладов от кластеров

входит общим множителем для каждого слагаемого

разного размера. Веса представляют собой произве-

из рядов (22) и (24) (и соответствующих рядов для

дения вероятности появления кластера с когерент-

нормировочных множителей (23) и (25)), после нор-

ностью M и числом спинов K на функцию, описы-

мировки он сокращается. Для первых членов рядов

вающую деградацию. Учтены оба определенных на-

(22) и (24) с K = 1 = K(0) не происходит роста клас-

ми ранее физических механизма деградации клас-

тера в процессе эволюции. Для них dK(t)dt = 0 и де-

тера: скорость первого определяется числом спи-

градация (затухание) отсутствует, т. е. FK=1(T ) = 1.

нов в кластере, а второго — порядком когерентно-

2) В статистической модели МК-спектра для ве-

сти. Первый из механизмов приводит к непосред-

личины g_KM была получена простая формула [6]:

ственному замедлению роста числа K с ростом вре-

{

(

)

мени T и даже остановки роста числа коррелиро-

M = 0,

g_KM =Ng [(-M

)

]

(A.2)

ванных спинов K (локализации), как это обсуж-

-2^K

M = 0,

2Ng K

далось в работах [11, 29-31] при обосновании спо-

где

соба управления распространением квантовой ин-

]

^[(2K⁾

формации посредством контролируемого возмуще-

N_g = 4^K -

+2^K

ния. Второй механизм изменяет форму МК-спектра

(_n)

и может приводить к стабилизации последнего. Ре-

— нормировочный множитель. Здесь

означа-

зультаты проведенных расчетов подтвердили пред-

ет комбинаторный множитель: число сочетаний C^kn.

сказываемый нами ранее [33-35] эффект, состоящий

При K = 1 соотношение (A.2) приводит к дубле-

в том, что при стабилизации МК-спектра рост K

ту. При K = 2 величина g_KM состоит из пяти ли-

может продолжиться. Таким образом, при приме-

ний. Для больших кластеров биномиальную форму

нении МК-спектроскопии к изучению распростране-

МК-спектра, задаваемую соотношением (A.2), заме-

ния квантовой информации недостаточно измерить

няют функцией Гаусса

ширину МК-спектра. Необходимо выяснить соотно-

(

M² )

шение скоростей двух механизмов деградации клас-

g_KM =

√

exp -

(A.3)

πK

теров, вызванных возмущением в исследуемом объ-

екте.

3) Рассмотрим ряд (22) для формы МК-спектра

при разных значениях M. При M = 0 согласно (A.2)

Финансирование. Работа выполнена в рам-

g₁₀ = 0 и ряд начинается со слагаемого, для которо-

ках государственного задания Министерства науки

го K = 2:

и высшего образования Российской Федерации (ре-

∑

гистрационный номер 1021051201992-1).

GM=0(T) =

gK0F_K(T)P(K, T)/N₁(T).

K=2

Здесь учтено, что FM=0(T ) = 1.

При M = ±1 ряд начинается с значения K = 1:

ПРИЛОЖЕНИЕ

GM=1(T) =

FM=1(T)FK=1(T)P(1, T)/N₁(T) +

В настоящем приложении более детально рас-

∑

смотрим вклад от кластеров небольших размеров.

+ gK1FM=1(T)F_K(T)P(K, T)/N₁(T).

K=2

1) Затухание с учетом начального значения

Здесь FK=1(T)

= exp(-p²B²T²/2) — начальный

K(0) = 1.

вклад, FM=1(T ) = exp(-p²A²T²). В соответствии

787

В. Е. Зобов, А. А. Лундин

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

с предположением нашей статьи [49] это вклады

16.

C. Gross and I. Bloch, Science 357, 995 (2017).

от ближайших и дальних спинов на единственном

17.

R. Blatt and C. F. Roos, Nature Phys. 8, 277 (2012).

спине кластера.

При M ≥ 2 ряд начинается с K = M ≥ 2.

18.

A. K. Khitrin, Chem. Phys. Lett. 274, 217 (1997).

С учетом сказанного выше в рядах (22), (30)

19.

В. Е. Зобов, А. А. Лундин, ЖЭТФ 130, 1047

и (32) мы выделяем первое слагаемое, а при K ≥ 2

(2006).

выбираем g_KM в виде функции Гаусса. В функ-

ции F_K (T ) из формулы (A.1) начальный вклад ис-

20.

M. Gattner, Ph. Hauke, and A. M. Rey, Phys. Rev.

ключается, поскольку он входит общим множителем

Lett. 120, 040402 (2018).

для каждого члена ряда и сокращается при норми-

21.

S. I. Doronin, E B. Fel’dman, and I. D. Lazarev,

ровке.

Phys. Rev. А 100, 022330 (2019).

22.

S. I. Doronin, E. B. Fel’dman, and I. D. Lazarev,

Phys. Lett. A 406, 127458 (2021).

ЛИТЕРАТУРА

23.

K. X. Wei, P. Peng, O. Shtanko, I. Marvian, S. Lloyd,

Р. Эрнст, Дж. Боденхаузен, А. Вокаун, ЯМР в од-

C. Ramanathan, and P. Cappellaro, Phys. Rev. Lett.

ном и двух измерениях, Мир, Москва (1990).

123, 090605 (2019).

P.K. Wang, J.P. Ansermet, S. L. Rudaz, Z. Wang,

24.

H. G. Krojanski and D. Suter, Phys. Rev. Lett. 93,

S. Shore, Ch. P. Slichter, and J. M. Sinfelt, Science

090501 (2004).

234, 35 (1986).

25.

H. G. Krojanski and D. Suter, Phys. Rev. Lett. 97,

J. Baum and A. Pines, J. A. Chem. Soc. 108, 7447

150503 (2006).

(1986).

26.

H. G. Krojanski and D. Suter, Phys. Rev. A 74,

S. I. Doronin, A. V. Fedorova, E. B. Fel’dman, and

062319 (2006).

A. I. Zenchuk, J. Chem. Phys. 131, 104109 (2009).

27.

G. A. Alvarez and D. Suter, Phys. Rev. Lett. 104,

J. Baum, M. Munovitz, A. N. Garroway, and

230403 (2010).

A. Pines, J. Chem. Phys. 83, 2015 (1985)

28.

G. Cho, P. Cappelaro, D. G. Cory, and

M. Munovitz, A. Pines, Adv. Chem. Phys. 6, 1 (1987).

C. Ramanathan, Phys. Rev. B 74, 224434 (2006).

Р. Балеску, Равновесная и неравновесная стати-

29.

G. A. Alvarez and D. Suter, Phys. Rev. A 84, 012320

стическая механика, Т. 2, Мир, Москва (1978).

(2011).

Д. Прескилл, Квантовая информация и кванто-

30.

G. A. Alvarez, D. Suter, and R. Kaiser, Science 349,

вые вычисления, Т. 1. НИЦ «Регулярная и хаоти-

846 (2015).

ческая динамика», М. Ижевск (2008).

31.

F. D. Dom´inguez and G. A.

Álvarez, Phys. Rev. A

В. Е. Зобов, А. А. Лундин, ЖЭТФ 158, 300 (2020).

104, 062406 (2021).

32.

D. Levy and K. Gleason, J. Phys. Chem. 96, 8125

10.

C. M. Sanchez, A. K. Chattah, and H. M. Pastawski,

(1992).

Phys. Rev. A 105, 052232 (2022).

33.

В. Е. Зобов, А. А. Лундин, ЖЭТФ 140, 1150

11.

F. D. Dominguez, M. C. Rodr´iguez, R. Kaiser,

(2011).

D. Suter, and G. A.

Álvarez. Phys. Rev. A 104,

012402 (2021).

34.

A. A. Lundin and V. E. Zobov, Appl. Magn. Res. 47,

701 (2016).

12.

S. H. Shenker and D. Stanford, J. High Energy Phys.

3, 067 (2014).

35.

V. E. Zobov and A. A. Lundin, Appl. Magn. Res. 52,

879 (2021).

13.

D. E. Parker, X. Cao, A. Avdoshkin, T. Scaffidi, and

E. Altman, Phys. Rev. X 9, 041017 (2019).

36.

M. H. Lee, I. M. Kim, W. P. Cummings, and

R. Dekeyser, J. Phys.: Condens. Matt. 7, 3187 (1995).

14.

Q. Wang and F. PerezBernal, Phys. Rev. A 100,

062113 (2019).

37.

А. А. Лундин, В. Е. Зобов, ЖЭТФ 147, 885 (2015).

15.

Y. Gu, A. Kitaev, and P. Zhang, J. High Energy

38.

А. Абрагам, Ядерный магнетизм, ИИЛ, Москва,

2022, 133 (2022).

(1963), гл. 4, 10.

788