ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 5 (11), стр. 737-742
© 2022
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКОГО ПЕРЕНОСА
ПРИМЕСИ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ. ПРИНЦИП ФЕРМА
П. С. Кондратенко*, А. В. Мухаряпова
Институт проблем безопасного развития атомной энергетики Российской академии наук
115191, Москва, Россия
Поступила в редакцию 25 мая 2022 г.,
после переработки 25 мая 2022 г.
Принята к публикации 26 мая 2022 г.
Разработана асимптотическая теория переноса примеси на основе адвекции-диффузии в средах с круп-
номасштабными неоднородностями. Выражение для концентрации сведено к одномерным интегралам
вдоль характеристической линии, называемой траекторией концентрационного сигнала. Сама траекто-
рия определяется из вариационного принципа — аналога принципа Ферма в геометрической оптике,
который приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка для единичного
вектора касательной к траектории. Асимптотическая теория применима на расстояниях от источника
примеси, значительно превышающих размер основной области ее распределения.
DOI: 10.31857/S0044451022110141
делях асимптотики концентрации на больших рас-
EDN: LAANFN
стояниях носят экспоненциальный характер. А во-
вторых, согласно анализу, формирование концен-
трации на далеких расстояниях обусловлено корот-
1. ВВЕДЕНИЕ
коволновой частью механизма переноса. Формаль-
но, таким образом, ситуация напоминает ту, которая
Обычно физическая модель переноса примеси
имеет место в волновой оптике или квантовой меха-
зависит от конечного набора параметров. Если они
нике, когда становится применимым соответствен-
являются постоянными, то концентрация примеси
но приближение геометрической оптики [5] или ква-
в зависимости от координат и времени, как прави-
зиклассическое приближение в квантовой механи-
ло, дается аналитическим выражением [1-3]. Одна-
ке [6]. В результате возникают значительные упро-
ко на практике помимо мелко- и среднемасштабных
щения в задаче о процессах переноса. Задача сво-
неоднородностей, определяющих выбор модели, сре-
дится к уравнению в частных производных перво-
да обладает крупномасштабными неоднородностя-
го порядка. Концентрация примеси выражается че-
ми, так что параметры модели зависят от координат.
рез интегралы вдоль пространственной линии (ква-
В таком случае решение задачи о переносе требует
зилуча) — аналога луча в геометрической оптике.
проведения трудоемких и времязатратных числен-
Один из интегралов определяет показатель экспо-
ных расчетов. Отсюда возникает задача о построе-
ненты — квазиэйконал, устанавливающий главную
нии аналитической теории переноса примеси в сре-
зависимость концентрации от координат и времени
дах, обладающих крупномасштабными неоднород-
в асимптотической области. Траектория самого ква-
ностями.
зилуча определяется из вариационного принципа —
В работе [4] предложен новый подход, базирую-
аналога принципа Ферма.
щийся на асимптотическом описании процессов пе-
В работе [4] действие асимптотического подхода
реноса, который учитывает возможность крупно-
продемонстрировано на модели случайной адвекции
масштабной зависимости структурных характери-
(см. [7, 8]), касающейся фрактальных сред с дально-
стик среды от пространственных координат. Суть
действующими корреляциями структурных харак-
подхода базируется на двух моментах. Это, во-
теристик. Указанный подход получил свое дальней-
первых, то, что во всех известных физических мо-
шее развитие в работах [9-12]. В работах [9, 10] бы-
* E-mail: kondrat@ibrae.ac.ru
ла построена асимптотическая теория в изотропных
737
П. С. Кондратенко, А. В. Мухаряпова
ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022
и анизотропных неоднородных средах при переносе
В представлении Лапласа
примеси посредством классической диффузии. Так-
∞
∫
же в работе [9] при довольно жестком ограничении
cp(r) = dt c(r, t)e-pt
на параметры задачи была получена асимптотиче-
0
ская формула для концентрации при переносе при-
меси в неоднородной среде, когда наряду с диффу-
уравнение (1) с учетом (3) принимает вид
зией действует и механизм адвекции.
{
}
pcp(r) + div
u(r)cp(r) - D(r)∇cp(r)
= Nδ(r).
(4)
В настоящей работе предложена асимптотиче-
ская теория переноса примеси посредством диффу-
Нас будет интересовать концентрация на асимпто-
зии и адвекции без ограничительных условий на па-
тически далеких расстояниях от источника приме-
раметры задачи. Специфика и вытекающая из нее
си, когда r ≫ R(t), где R(t) — размер основной об-
сложность поставленной задачи состоят в следую-
ласти ее локализации в момент времени t. Тогда ре-
щем: 1) в самой постановке задачи в каждой точке
шение уравнения (4) удобно представить в форме
среды возникает выделенное направление, опреде-
[4]
(
)
ляемое вектором скорости адвекции, что усложняет
cp(r) = Ap(r)exp
-Γp(r)
,
(5)
применение вариационного принципа; 2) отсутствие
где показатель экспоненты удовлетворяет неравен-
факторизации в квазиэйконале зависимостей от ко-
(
)
ству Γp
r
≫ 1. Благодаря ему в задаче возникает
ординат и переменной Лапласа (аналога частоты из-
малый параметр
лучения в геометрической оптике), что значитель-
(
)-1
но усложняет проведение обратного преобразования
ξ=
|∇Γp| min(L, |r|)
,
ξ ≪ 1.
(6)
Лапласа.
Дальнейшая структура статьи такова. В разд. 2
Здесь L — характерный линейный масштаб неодно-
родности среды, определяемой координатной зави-
кратко сформулирована постановка задачи. Раз-
дел 3 посвящен выводу формулы для квазиэйкона-
симостью величин D(r) и u(r).
Имея в виду аналогию с геометрической опти-
ла. В разд. 4 получено выражение для предэкспо-
кой, величину Γp(r) назовем квазиэйконалом. Под-
ненты в выражении для концентрации в представле-
ставляя (5) в (4), в нулевом порядке по малому па-
нии Лапласа. В разд. 5 дан вывод асимптотической
раметру ξ приходим к уравнению в частных произ-
формулы для концентрации в пространственно-
водных первого порядка для квазиэйконала:
временном представлении. В Заключении кратко
(
)
(
)2
подведены итоги.
p-
u(r)∇Γp(r)
-D
∇Γp(r)
= 0.
(7)
Дальнейшая наша задача состоит в том, чтобы
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
решить уравнение (7), затем, переходя в (4) к сле-
дующему порядку по параметру ξ, найти предэкс-
Концентрация примеси удовлетворяет известно-
поненту Ap(r) и, наконец, совершая обратное преоб-
му уравнению
разование Лапласа в (5), определить асимптотиче-
(
)
∂c(r, t)
ское выражение для концентрации в координатно-
+ div
uc - D∇c(r, t)
= 0,
(1)
∂t
временном представлении.
в котором коэффициент диффузии и скорость ад-
векции являются функциями координат, D = D(r),
3. КВАЗИЭЙКОНАЛ
u = u(r). Предполагаем, что жидкая компонента
среды является несжимаемой, так что скорость ад-
Уравнение (7) является уравнением в частных
векции удовлетворят уравнению непрерывности:
производных первого порядка, как и уравнение эй-
конала в геометрической оптике [5], и уравнение
divu = 0.
(2)
Гамильтона-Якоби в классической механике [13].
Из уравнения (7) вытекает формальное равен-
Считаем, что в начальный момент времени вся при-
ство
месь сосредоточена в одной точке, которая выбрана
u
∇Γp ⇒ F = -
+ νn,
(8)
в качестве начала координат:
2D
в котором
c(r, 0) = Nδ(r),
(3)
√(u
)2
p
n(p, r) =
+
,
(9)
где N — полное число частиц примеси.
2D
D
738
ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022
Асимптотическая теория классического переноса примеси. . .
а ν — вещественный безразмерный единичный век-
— элемент площади поверхности, обрамленной кон-
тор, ν2 = 1.
туром, который изображен на рисунке. Подстав-
Решение уравнения (7) для функции Γp(r) сво-
ляя (14) в (13), находим
дится линейному интегралу вдоль траектории кон-
∫
r
центрационного сигнала — квазилуча:
(
)
δlΓp =
dl
[δr(l)ν]rotF
,
(15)
∫r
0
Γp = (dlF),
(10)
или
∫
r
0
(
)
δlΓp
=
dl
δr(l)[νrotF]
(16)
где r — точка наблюдения,
0
Отсюда с учетом (12) получаем уравнение для тра-
dl = ν dl,
(11)
ектории квазилуча:
dl — дифференциальный элемент длины вдоль ква-
[νrotF] = 0.
(17)
зилуча.
Траектория квазилуча находится из вариацион-
Подставляя сюда равенства (8) и (9), находим урав-
ного принципа - аналога принципа Ферма:
нение для единичного вектора ν касательной к ква-
зилучу:
δlΓp = 0.
(12)
[
dν
1(
u ])
Здесь символ δl обозначает вариацию квазиэйкона-
=
∇n - ν(ν∇n) - νrot
(18)
dl
n
2D
ла Γp относительно возмущения траектории квази-
луча. Равенство (12), на самом деле, означает, что
Здесь при выводе было использовано соотношение
в первом порядке по бесконечно малому изменению
[
]
траектории величина интеграла (10) остается неиз-
[νrot(νn)] = n[νrotν] +
ν[∇n ν]
=
менной.
dν
= -n
+ ∇n - ν(ν∇n).
(19)
dl
Таким образом, величина квазиэйконала опреде-
ляется выражением (10), в котором интегрирование
происходит по траектории квазилуча, определяемой
уравнением (18) для единичного вектора касатель-
ной к этой траектории.
4. ПРЕДЭКСПОНЕНТА
Рис. 1. Контур интегрирования при вычислении вариа-
Уравнение для предэкспоненты получается при
ции δlΓp
подстановке выражения (5) в уравнение (4) в первом
порядке малости по параметру ξ:
Изменение исходной траектории квазилуча со-
стоит в том, что в каждой ее точке r(l) добавля-
2D(r)∇p∇Ap(r) + Ap(r)∇p∇D(r) +
ется бесконечно малое возмущение δr(l). Обозначим
(20)
+ D(r)Ap(r)Γp = 0.
исходную траекторию «l», а возмущенную «l′». То-
гда вариация δlΓp интеграла (10) представляется ин-
С учетом равенства (8) оно сводится к обыкновенно-
тегралом по замкнутому контуру, изображенному
му дифференциальному уравнению первого поряд-
на рисунке. Применяя к этому интегралу теорему
ка, которое является линейным:
Стокса, имеем
d
∮
ln(A2pDn) + div ν = 0,
(21)
dl
δlΓp = Γ(l′)p - Γ(l)p = dS rotF.
(13)
где введено обозначение
Здесь
[
]
d
dS =
δr(l) dl
(14)
≡ (ν∇).
(22)
dl
739
П. С. Кондратенко, А. В. Мухаряпова
ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022
Символ d/dl обозначает линейную производную
Интеграл здесь с учетом неравенства Γp(r) ≫ 1
вдоль траектории квазилуча.
берется методом стационарной фазы. Принимая
Решение уравнения (21) имеет вид
во внимание равенство (25), из (27) получаем вы-
ражение для концентрации:
Ap(r) =
√
r
N
n(p0, 0)
[
∫
c(r, t) =
√
×
B(p)
(1
1)]
=
√
exp -
dl
divν -
(23)
4πl(p0, r)
2π|Γ′′p
(r)|n(p0, r)D(0)D(r)
2
l
0
l(r)
n(r)D(r)
0
[
]
× exp
-Γp0(r) + p0t
(28)
Здесь B(p) — постоянная (в отношении зависимости
Здесь введены следующие обозначения: p0 = p0(r, t)
от координаты) интегрирования, l — длина квазилу-
— стационарная точка, определяемая из условия
ча от начала координат до точки интегрирования,
l(r) — полная длина квазилуча от начала координат
∂Γp
= t,
(29)
до точки наблюдения r. При выводе формулы (23)
∂p
p=p0
мы воспользовались равенствами
и
)
r
(r
2
∂2Γp
ν =
,
div
=
(24)
Γ′′p
(r) =
(30)
0
r
r→0
r
r
∂p2
p=p0
— вторая производная квазиэйконала по переменной
Постоянную интегрирования B(p) в (23) опреде-
Лапласа в стационарной точке.
лим из условия, что при малых значениях коорди-
При дифференцировании квазиэйконала Γp сле-
наты r, когда r ≪ L , где L — характерный масштаб
дует учитывать зависимость от переменной Лапла-
неоднородности среды, выражение для предэкспо-
са не только самого подынтегрального выражения
ненты (23) должно перейти в соответствующие вы-
ражения для однородной среды со значениями ко-
в (10), но и траектории квазилуча. Поэтому
эффициента диффузии и скорости:
r
r
∫
∫
(
∂Γp
∂n
δΓp dδr(l))
= dl
+
dl
D(r) = D(0), u(r) = u(0).
∂p
∂p
δr(l) dp
0
0
Вычисленная в Приложении предэкспонента для од-
С учетом условия минимума (12) второе слагаемое
нородной среды определятся формулой (A.6). Срав-
справа здесь обращается в нуль, и тогда имеем
нивая ее с (23), приходим к окончательному резуль-
∫
r
тату для предэкспоненты в выражении для концен-
∂Γp
∂n
трации в представлении Лапласа:
= dl
(31)
∂p
∂p
√
0
N
n(p, 0)
Ap(r) =
√
(25)
Соответственно, уравнение (29) для стационарной
4πl(p, r)
n(p, r)D(0)D(r)
точки приобретает вид
Здесь было учтено, что при малых значениях коор-
r
∫
∂n
динаты r ≪ L имеет место приближенное равенство
dl
= t.
(32)
∂p
p=p
0
0
l(p, r)= r.
(26)
Интегрирование здесь происходит по экстремальной
траектории, определяемой уравнением (18).
5. КОНЦЕНТРАЦИЯ ПРИМЕСИ
Перейдем к вычислению второй производной
по переменной Лапласа от квазиэйконала. С учетом
Концентрация примеси в координатно-
равенства (31) имеем
временном представлении получается из вы-
ражения
(5) путем обратного преобразования
∫r
∂2Γp
∂
∂n
Лапласа:
=
dl
(33)
∂p2
∂p
∂p
∫
0
dp
[
]
c(r, t) =
Ap(r)exp
-Γp(r) + pt
,
Теперь уже при взятии второй производной по пе-
2πi
(27)
a-i∞
ременной p, в отличие от (31), вклад от дифферен-
Re a > 0.
цирования по возмущению траектории квазилуча
740
ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022
Асимптотическая теория классического переноса примеси. . .
не обращается в нуль, поскольку под знаком инте-
единичного вектора касательной к оптимальной
грала стоит не (dlF), а dl ∂n/∂p. И тогда
траектории ν:
r
(
∫
(
dμ
1
∂n
dn
∂n dν
∂2Γp
[∂2
n
∂n ∂δr)]
=
∇⊥
-μ
- ν (μ∇n) -
-
= dl
+ ∇
+
dl
n
∂p
dl
∂p dl
∂p2
∂p2
∂p ∂p
[
u ])
0
- μrot
(42)
∫r
2D
(∂n
d ∂δr)
+ dl
ν
(34)
Здесь использовано обозначение
∂p
dl ∂p
0
d
∇⊥ ≡ ∇ - ν
= ∇ - ν(ν∇).
(43)
Здесь δr является возмущением экстремальной
dl
траектории квазилуча, обусловленное перехо-
Дополнительным условием, требуемым для ис-
дом p → p + δp. Учитывая, что невозмущенная
ключения векторной постоянной интегрирования
траектория определяется выражением
уравнения (42), является равенство
∫l
∫r
r(l) = dl′ ν(l′),
(35)
dl μ(l) = 0.
(44)
0
0
для производной от δr по переменной Лапласа по-
Оно вытекает из требования, чтобы при изменении
лучаем выражение
переменной Лапласа конечные точки квазилуча, 0
∫
l
и r, оставались неизменными.
∂δr(l)
= dl′ μ(l′),
(36)
Таким образом, выражение (28) вместе с урав-
∂p
нением (32), равенством (41) а также уравнения-
0
ми (18), (42) и дополнительным условием (44) пред-
где обозначено
ставляют собой решение задачи об асимптотическом
∂ν(l)
μ(l) ≡
(37)
выражении для концентрации примеси при перено-
∂p
се посредством классической адвекции-диффузии
Поэтому второе слагаемое в правой части выраже-
в среде с крупномасштабными неоднородностями.
ния (34) принимает вид
∫
r
∫
r
(∂n
d ∂δr)
∂n
6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
dl
ν
= dl
(νμ).
(38)
∂p
dl ∂p
∂p
0
0
Итогом работы является асимптотическая
Но из свойства ν2 = 1 вытекает равенство
теория переноса примеси посредством адвекции-
диффузии в среде с крупномасштабными неодно-
(
)
ν(l)μ(l)
= 0.
(39)
родностями.
Путем применения асимптотического подхода [4]
Отсюда следует
на расстояниях, значительно превосходящих раз-
∫
r
мер основной области локализации примеси, зада-
(∂n
d ∂δr)
ча сведена к уравнению в частных производных
dl
ν
= 0.
(40)
∂p
dl ∂p
первого порядка. Это позволило на основе действу-
0
ющего в таких случаях канонического формализ-
С учетом равенств (36) и (40) из (30) и (34) по-
ма (формализм Гамильтона-Якоби в классической
лучаем
механике) концентрацию примеси, испытывающей
⎡
⎤
адвекцию-диффузию в неоднородной среде, пред-
∫r
∫
l
∂n
ставить в квадратурах - через интегралы вдоль ли-
Γ′′ (r) =p
dl
⎣∂2n
+∇
dl′ μ(l′)⎦
(41)
0
нии, условно названной траекторией квазилуча. Эта
∂p2
∂p
0
0
p=p0
последняя определяется из вариационного принци-
па, который является аналогом принципа Ферма
Уравнение для вектора μ(l), определенного
в геометрической оптике или принципа Мопертюи
равенством (37), получается дифференцировани-
в классической механике.
ем по переменной Лапласа уравнения
(18) для
741
9
ЖЭТФ, вып. 5 (11)
П. С. Кондратенко, А. В. Мухаряпова
ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022
По сравнению с прямыми численными расчета-
Отсюда находим предэкспоненту в выражении для
ми на основе уравнения в частных производных вто-
концентрации при условии (A.1):
рого порядка, в расчетах переноса примеси в неод-
нородной среде, базирующихся на разработанной
N
Ap(r) =
(A.6)
здесь асимптотической теории, наряду с их просто-
4πD(0)r
той ожидается значительная экономия расчетного
времени.
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ
1.
J. P. Bouchaud and A. Georges, Phys. Rep. 195, 127
Цель этого раздела состоит в том, чтобы в пред-
(1990).
ставлении Лапласа найти концентрацию примеси
cp(r), удовлетворяющую уравнению (1) с начальным
2.
M. B. Isichenko, Rev. Mod. Phys. 29, 961 (1992).
условием (3), при не зависящих от координат коэф-
фициенте диффузии и скорости адвекции:
3.
Л. А. Большов, П. С. Кондратенко, Л. В. Матвеев,
УФН 189, 691 (2019).
D(r) = D(0), u(r) = u(0).
(A.1)
Дополнительный переход к представлению Фурье
4.
П. С. Кондратенко, Письма в ЖЭТФ 106, 581
∫
(2017).
cpk = d3r cp(r)e-i(kr)
5.
Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Электродинамика
сводит поставленную задачу к алгебраической, ре-
сплошных сред, Физматлит, Москва (2005).
шением которой является выражение
N
cpk =
(
)
(A.2)
6.
Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая ме-
p+i
u(0)k
+ D(0)k2
ханика: нерелятивистская теория, Физматлит,
Применение к нему обратного преобразования Фу-
Москва (2004).
рье дает
∫
7.
A. M. Dykhne, I. L. Dranikov, P. S. Kondratenko,
d3k
N
cp(r) =
(
)
ei(kr), (A.3)
and L. V. Matveev, Phys. Rev. E 72, 061104 (2005).
(2π)3 p + i
u(0)k
+ D(0)k2
откуда после перехода к новой переменной интегри-
8.
P. S. Kondratenko and L. V. Matveev, Phys. Rev. E
рования k′ = k + iu(0)/2D(0) получим
75, 051102 (2007).
∫
′
d3k
N
cp(r) =
)
×
9.
П. С. Кондратенко, А. Л. Матвеев, ЖЭТФ 157,
( u(0)
(2π)3 p +
2 + D(0)k′2
2D(0)
703 (2021)
)
[(
]
u(0)r
× exp
+ i(k′r) . (A.4)
2D(0)
10.
П. С. Кондратенко, А. Л. Матвеев, Ю. Н. Обухов,
ЖЭТФ 159, 719 (2021).
Выполнение интегрирования сначала по угло-
вым переменным вектора k а затем, с помощью тео-
11.
П. С. Кондратенко, А. Л. Матвеев, ЖЭТФ 159,
рии вычетов, по его абсолютной величине приводит
724 (2021).
к результату
N
12.
P. S. Kondratenko, A. L. Matveev, and A. D. Vasiliev,
cp(r) =
×
4πD(0)r
Eur. Phys. J. B 94, 50 (2021).
[(
)
]
√(u(0)
)2
u(0)r
p
× exp
-r
+
(A.5)
13.
Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Механика, Физмат-
2D(0)
2D(0)
D(0)
лит, Москва (2001).
742
