ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 5 (11), стр. 708-717

ВЛИЯНИЕ ДИПОЛЬ-ДИПОЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

НА ВРЕМЯ ПЕРЕМАГНИЧИВАНИЯ АТОМНЫХ ЦЕПОЧЕК

КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ

С. В. Колесников^*, Е. С. Сапронова

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, фзический факультет

119899 Москва, Россия

Поступила в редакцию 25 апреля 2022 г.,

после переработки 25 апреля 2022 г.

Принята к публикации 17 мая 2022 г.

Перемагничивание атомных цепочек на поверхности металлов исследовано теоретически с помощью

разработанного ранее аналитического метода и геодезического метода упругой ленты. Атомные цепочки

могут быть разделены на три группы: цепочки с малой, средней и большой шириной доменной стенки.

Показано, что диполь-дипольное взаимодействие приводит к увеличению среднего времени спонтанно-

го перемагничивания цепочек ФМ∥ и АФМ⊥ и уменьшению времени перемагничивания цепочек ФМ⊥

и АФМ∥. Для цепочек ФМ⊥ и АФМ⊥ с доменной стенкой средней ширины учет диполь-дипольного

взаимодействия приводит к появлению энергетического барьера между двумя состояниями доменной

стенки, отличающимися направлением вращения магнитных моментов. Перемагничивание атомных це-

почек из третьей группы может происходить двумя способами: либо все магнитные моменты перево-

рачиваются одновременно, либо по очереди. Переход от одного режима перемагничивания к другому

происходит при критической длине N0. При этом влияние диполь-дипольного взаимодействия наиболее

существенно при длине цепочки, близкой к N0. Численные оценки показали, что в некоторых случаях

учет диполь-дипольного взаимодействия может изменить время перемагничивания цепочки на порядок

величины.

DOI: 10.31857/S0044451022110116

Магнитные свойства атомных цепочек можно

EDN: KZYEHI

удовлетворительно описать в рамках классической

модели Гейзенберга с одноосной магнитной анизо-

тропией [12]. Гамильтониан такой модели имеет вид

1. ВВЕДЕНИЕ

∑

H = -J

(s_i · si+1) - K

(s_i · e)²,

(1)

Исследование свойств атомных цепочек и на-

нопроводов имеет огромное значение для развития

где s_i и e — соответственно единичные векторы маг-

спинтроники [1], квантовых компьютеров [2], кван-

нитных моментов атомов и оси легкого намагничи-

товой передачи информации [3, 4] и многих дру-

вания, K — энергия магнитной анизотропии, J —

гих областей современной физики [5-7]. Возмож-

обменный интеграл. Для ферромагнитной цепочки

ность использования атомных цепочек в качестве

J > 0, а для антиферромагнитнойJ < 0. Параметры

бита информации появилась после открытия «ги-

гамильтониана (1) могут быть найдены эксперимен-

гантской» энергии магнитной анизотропии (ЭМА)

тально или вычислены из первых принципов, напри-

атомов Co в ферромагнитных цепочках на по-

мер, в рамках теории функционала плотности [13]

верхности Pt(997) [8, 9]. Для хранения информа-

или методом гриновских функций Корринги-Кона-

ции могут быть также использованы и антиферро-

Ростокера [14].

магнитные цепочки из атомов Fe на поверхности

Кратко обсудим вопрос о применимости клас-

Cu₂N/Cu(001) [10, 11].

сической модели. Во-первых, в атомных цепочках

конечной длины возможны квантовые осцилляции

^* E-mail: kolesnikov@physics.msu.ru

между основным и первым возбужденным состоя-

708

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Влияние диполь-дипольного взаимодействия. . .

ниями. Однако на поверхности металла эти осцил-

в превосходном количественном согласии с резуль-

ляции подавляются за счет взаимодействия цепоч-

татами КММК-моделирования в случае как колли-

ки с электронным газом подложки [12], и их мож-

неарной, так и неколлинеарной моделей [30].

но не учитывать при температуре выше несколь-

В данной работе мы обсудим влияние диполь-

ких милликельвинов. Учет вероятности туннели-

дипольного взаимодействия между атомами цепоч-

рования при вычислении частот переворота маг-

ки на время ее спонтанного перемагничивания. Мы

нитных моментов в квазиклассическом приближе-

будем работать в рамках неколлинеарной моде-

нии [15] показывает, что этим эффектом также мож-

ли [30], используя при этом разработанный ранее

но пренебречь при температурах выше одного кель-

аналитический метод [31-34].

вина [16,17]. Таким образом, при температуре выше

1 K мы можем описывать магнитный момент атома

с помощью классического вектора. Более подробное

2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

обсуждение этого вопроса можно найти в обзорной

статье [6].

Кратко опишем основные идеи, лежащие в осно-

Для исследования коллективных магнитных

ве аналитического метода [31-34] вычисления вре-

свойств атомной цепочки можно решать уравнение

мени перемагничивания атомной цепочки конечной

Ландау

— Лифшица — Гильберта [18, 19] или

длины. Мы рассматриваем атомные цепочки, ос-

моделировать ее свойства кинетическим методом

новное состояние которых является коллинеарным

Монте-Карло (КММК) [20]. Например, простейшая

(ферромагнитным или антиферромагнитным), а ме-

КММК-модель [21], предполагающая, что магнит-

тастабильные (возбужденные) состояния цепочки

ные моменты всех атомов параллельны оси легкой

могут быть неколлинеарными. Метастабильным со-

намагниченности, позволяет вычислять крити-

стоянием с наименьшей энергией является состоя-

ческую температуру, среднее время спонтанного

ние атомной цепочки с одной доменной стенкой. Та-

перемагничивания и коэрцитивную силу ферромаг-

ким образом, можно предположить, что перемагни-

нитных цепочек [17,22-24]. Эта модель также может

чивание достаточно короткой атомной цепочки про-

быть использована для исследования магнитных

исходит за счет образования одной доменной стен-

свойств антиферромагнитных цепочек

[25, 26].

ки и ее блуждания вдоль цепочки. В простейшем

Однако предположение о коллинеарности маг-

случае можно считать, что случайное блуждание

нитных моментов может быть весьма грубым.

доменной стенки характеризуется тремя частотами:

Хорошо известно, что метастабильные состояния

частотой ν₁ появления доменной стенки на краю це-

ферромагнитных и антиферромагнитных атомных

почки, частотой ν₂ ее исчезновения на краю цепоч-

цепочек могут быть неколлинеарными

[27-29].

ки и частотой ν₃ перехода доменной стенки внутри

Недавно была предложена усовершенствован-

цепочки из одного метастабильного положения в со-

ная КММК-модель [30], позволяющая учитывать

седнее. Тогда среднее время τ спонтанного перемаг-

неколлинеарность метастабильных состояний при

ничивания атомной цепочки будет равно среднему

перемагничивании. При этом было показано, что

времени блуждания доменной стенки внутри цепоч-

при условии

|J|

≳ K результаты, полученные

ки [31]:

в рамках коллинеарной и неколлинеарной КММК-

моделей, могут существенно различаться.

1^{ b

⁽N-1^)[

2(1 - 2b)^]

τ =

N -

Важно отметить, что КММК является статисти-

2b ν₃

1-b

ческим методом, а следовательно, его использование

1 [

]}

N (1 - b) - 2(1 - 2b)

(2)

сопряжено с долгими и ресурсозатратными компью-

ν₁

терными вычислениями. К счастью, оказывается

возможным построить простой аналитический ме-

где b = ν₃/(ν₂ + ν₃), N — число атомов в цепочке.

тод [31-34], позволяющий вычислять средние време-

Формула (2) справедлива как в случае ферромаг-

на спонтанного и вынужденного перемагничивания

нитных, так и антиферромагнитных цепочек [32].

атомных цепочек, а также строить кривые намаг-

Она также допускает обобщение на случай двойных

ничивания для ферромагнитных цепочек. Исполь-

атомных цепочек [33].

зование аналитического метода позволяет легко оце-

Необходимо отметить, что при выводе форму-

нить возможные перспективы технического приме-

лы (2) предполагается, что среднее время блужда-

нения тех или иных атомных цепочек [35]. При этом

ния доменной стенки внутри цепочки не должно

результаты аналитических вычислений находятся

превышать среднего времени образования доменной

709

ЖЭТФ, вып. 5 (11)

С. В. Колесников, Е. С. Сапронова

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

стенки на краю цепочки. Из равенства этих времен

3. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

легко получить условие [31]

Учет неколлинеарности магнитных моментов

)₂

(ν₁ + ν₂ + ν₃)(ν₂ + ν₃)

⁽N

и диполь-дипольного взаимодействия между ними

-1

(3)

ν₁ν₂

может существенно повлиять на оценку времени

спонтанного перемагничивания магнитных цепочек.

Условие (3) позволяет найти верхние пределы при-

Ниже мы сначала обсудим некоторые закономер-

менимости формулы (2): либо максимальную тем-

ности общего характера, а затем рассмотрим

пературу T_max для цепочки фиксированной длины,

несколько конкретных примеров.

либо максимальную длину цепочки N_max при фик-

сированной температуре. Важно подчеркнуть, что

3.1. Закономерности общего характера

температура T_max ниже критической температуры

фазового перехода в парамагнитное состояние.

Как известно

[37, 38], полуширина доменной

В работе [30] было показано, что формула (2) мо-

стенки δN в модели без диполь-дипольного взаи-

жет быть успешно использована и в рамках некол-

модействия зависит только от отношения констант

√

линеарной модели. При этом число атомов N долж-

|J| и K: δN =

|J|/2K. Рассмотрим сначала пре-

но быть заменено на N_eff ≤ N, где N_eff - 1 — число

дельный случай K/|J| ≫ 1. В этом случае шириной

метастабильных положений доменной стенки в це-

доменной стенки можно пренебречь, а энергетиче-

почке. Частоты ν_i (i = 1, 2, 3) вычисляются по фор-

ские барьеры для переворота магнитных моментов

муле Аррениуса:

вычислять по формуле [21]

(

(2K + h_i)²

ΔE_i )

ΔE_i =

(7)

ν_i = ν₀ exp -

(4)

k_BT

где h_i

= J(s_i · (si+1 + si-1)). В рамках этой

где T — температура системы, kB — постоянная

модели

легко учесть вклад диполь-дипольного

Больцмана, ΔE_i — энергетический барьер между

взаимодействия. При этом надо различать

двумя состояниями атомной цепочки, ν₀ = 10⁹ Гц [8]

следующие четыре случая: ферромагнит-

— частотный префактор. Энергетические барьеры

ная/антиферромагнитная атомная цепочка может

ΔE_i вычисляются с помощью геодезического ме-

быть параллельна (ФМ∥/АФМ∥), либо перпендику-

тода упругой ленты (geodesic nudged elastic band,

лярна (ФМ⊥/АФМ⊥) оси легкого намагничивания.

GNEB) [36]. Поиск метастабильных состояний атом-

Рассмотрим, например, образование доменной

ной цепочки может быть осуществлен методами,

стенки на краю цепочки в случае ФМ∥. Пусть

описанными в работе [30] или в работах [28, 29].

в начальном состоянии все магнитные моменты на-

Для учета диполь-дипольного взаимодействия

правлены по оси z. Тогда, согласно выражению (6),

необходимо добавить к гамильтониану (1) следую-

крайний атом цепочки находится во внешнем

щее слагаемое:

магнитном поле

∑

(s_i · s_j )r2ij - 3(s_i · r_ij )(s_j · r_ij )

μ₀μ

∑

H_dip =

(5)

B=e_z

(8)

4π

r⁵

i>j

a³

n³

n=1

где r_ij

= r_i - r_j

— радиус-вектор, соединяю-

где магнитный момент μ измеряется в магнетонах

щий i-й и j-й атомы, μ — магнитный момент, ко-

Бора, a — в ангстремах. Для достаточно длин-

торый мы считаем одинаковым для всех атомов,

ной цепочки можно заменить N - 1 на бесконеч-

∑

μ₀/4π = 10-7 Гн/м. Если направить ось z вдоль

ность, тогда_n 1/n³ = ζ(3) ≈ 1.202. И для энер-

атомной цепочки, то слагаемое H_dip может быть за-

гетического барьера ΔE₁ получим выражение (7)

писано в виде

с h₁ = J+2.404Aμ²/a³. Результаты аналогичных вы-

числений величин h₁ и h₂ приведены в табл. 1. Кро-

( μ

)₂(1˚A)3 ∑

s^ixs^jx + s^iys^jy - 2s^izs^jz

ме того, при вычислении энергетического барьера

H_dip = A

(6)

μ_B

(n_i - n_j )³

для сдвига доменной стенки вдоль цепочки во всех

i>j

четырех случаях получаем h₃ = 0 (ΔE₃ = K), если

где a — расстояние между ближайшими атомами

доменная стенка находится посередине цепочки.

в цепочке, n_i — номер i-го атома, μ_B — магнетон

Из табл. 1 и формулы (2) видно, что диполь-

Бора, A = 5.37 · 10-5 эВ.

дипольное взаимодействие в модели коллинеарного

710

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Влияние диполь-дипольного взаимодействия. . .

В случае, когда ось легкого намагничивания

Таблица 1. Выражения для параметров h1 и h2, необ-

(обозначим ее x) перпендикулярна атомной цепоч-

ходимых для вычисления энергетических барьеров для

ке (расположена вдоль оси z), возможны различные

образования и исчезновения доменной стенки на краю

конфигурации доменных стенок. В неелевской до-

атомной цепочки; μ измеряется в магнетонах Бора, a —

в ангстремах

менной стенке магнитные моменты лежат в плоско-

сти xz, а в блоховской — в плоскости xy. В отсут-

Тип

h₁

h₂

ствие диполь-дипольного взаимодействия энергии

ФМ∥

J + 2.404Aμ²/a³

-J - 2.404Aμ²/a³

неелевской и блоховской доменных стенок (а так-

же всех промежуточных вариантов) одинаковы.

ФМ⊥ J - 1.202Aμ²/a³

-J + 1.202Aμ²/a³

Диполь-дипольное взаимодействие приводит к тому,

АФМ∥

|J| - 1.803Aμ²/a³

-|J| + 1.803Aμ²/a³

что в случае ФМ⊥ энергетически более выгодной

АФМ⊥

|J| + 0.902Aμ²/a³

-|J| - 0.902Aμ²/a³

оказывается неелевская стенка, а в случае АФМ⊥

— блоховская. В результате два отличающиеся друг

магнетизма приводит к увеличению среднего време-

от друга направлением вращения магнитных момен-

ни τ спонтанного перемагничивания цепочек ФМ∥

тов метастабильных состояния оказываются разде-

и АФМ⊥ и уменьшению времени τ цепочек ФМ⊥

лены энергетическим барьером ΔE₄. Отметим, что

и АФМ∥.

в рамках аналитической модели [31-34] величина ба-

В области параметров 2/3 < K/|J| < C₁, где

рьера ΔE₄ не влияет на время перемагничивания

C₁ ≳ 1, доменная стенка имеет полуширину менее

атомной цепочки.

одного межатомного расстояния [38], и магнитные

Наконец, в области параметров K/|J| ≪ 1 либо

моменты в доменной стенке остаются почти колли-

энергетический барьер ΔE₃ пренебрежимо мал, ли-

неарными. В этом случае для вычисления време-

бо формирование доменной стенки вообще не проис-

ни спонтанного перемагничивания можно исполь-

ходит. В этом случае аналитическая модель [31-34],

зовать формулу (2), не внося в нее никаких изме-

конечно же, неверна. У атомной цепочки нет мета-

нений [30], однако энергетические барьеры теперь

стабильных состояний, и время перемагничивания

должны вычисляться не по формуле (7), а с по-

цепочки можно оценить по формуле

мощью метода GNEB [36]. Отметим, что в этой

области параметров обычно выполняется условие

)

⁽ ΔE

ν₁ ≪ ν₃ ≪ ν₂, и формулу (2) можно приближенно

τ =

exp

(10)

2ν₀

k_BT

записать в виде

N-2

ν₂

τ ≈

(9)

где ΔE — энергетический барьер перемагничива-

ν₁ν₃

ния всей атомной цепочки как единого целого. При

Наиболее интересной представляется область па-

этом перемагничивание цепочки может происходить

раметров С₂ < K/|J| < 2/3, где С₂ ≃ 0.2. В этой

двумя способами. Если длина цепочки N мень-

области параметров доменная стенка имеет ширину

ше некоторой критической длины N₀, то все маг-

порядка нескольких атомов. Барьеры ΔE₂ и ΔE₃

нитные моменты переворачиваются одновременно

экспоненциально быстро убывают при уменьшении

и ΔE = KN. Если N ≥ N₀, то магнитные моменты

параметра K/|J|, что соответствует результатам ра-

переворачиваются по очереди, т. е. происходит фор-

боты [38] для бесконечно длинной цепочки. При

мирование промежуточного неустойчивого состоя-

этом первое метастабильное положение доменной

ния в виде доменной стенки. В этом случае энер-

стенки оказывается между i₀-м и (i₀ + 1)-м атомом

гетический барьер ΔE может быть вычислен с по-

с края, где i₀ ≥ 1. Получается, что число метаста-

мощью метода GNEB [36].

бильных положений доменной стенки в атомной це-

Для оценки критической длины N₀ по порядку

почке равно не N -1, а N_eff -1, где N_eff = N +2-2i₀.

величины можно воспользоваться следующими со-

Для оценки среднего времени спонтанного перемаг-

ображениями. Как известно [37,38], при K/|J| ≪ 1

ничивания цепочки можно по-прежнему использо-

энергия доменной стенки в бесконечно длинной це-

√

вать формулу (2), однако N необходимо заменить

почке равна

8K|J|. Приравнивая эту величину

на N_eff. При этом обычно выполняются соотноше-

к KN₀, получим

ния ν₁ ≪ ν₂ ≈ ν₃ ≈ ν₀, и формула (9) приобретает

совсем простой вид

√

8|J|

N₀ =

(11)

τ ≈ (N_eff - 2)/2ν₁.

711

С. В. Колесников, Е. С. Сапронова

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

3.2. Численные оценки

взаимодействия без учета эффекта неколлинеарно-

сти не имеет смысла. С другой стороны, оценочные

Рассмотрим цепочки из атомов Fe, Co и Mn

формулы из табл. 1 позволяют правильно оце-

на поверхностях различных металлов. Величины об-

нить вклад диполь-дипольного взаимодействия

менных интегралов J, ЭМА K и магнитных момен-

по порядку величины.

тов μ, взятые из работ [8,10,11,25,39,40], приведе-

На рис. 1a показана зависимость времени спон-

ны в табл. 2 и 3. Данные в таблицах упорядочены

√

танного перемагничивания цепочки из 20 атомов

по возрастанию величины δN =

|J|/2K, которую

Fe, вычисленная по формуле (2) в температурном

можно считать грубой оценкой полуширины домен-

интервале от 2 K до T_max

= 7.5 K. На рис. 1b

ной стенки. В этой же последовательности эти це-

в том же температурном интервале показано отно-

почки обсуждаются ниже.

шение τ_dip/τ времен перемагничивания, вычислен-

ных с учетом и без учета диполь-дипольного вза-

3.2.1. Малая ширина доменной стенки

имодействия. Отношение τ_dip/τ монотонно растет

В качестве первого примера рассмотрим ан-

от значения 0.97 при температуре 2 K и стремится

тиферромагнитную цепочку Fe на поверхности

к 1 при увеличении температуры.

Cu₂N/Cu(001). Данная система привлекла к себе

огромное внимание исследователей в связи с воз-

можностью создания антиферромагнитных битов

информации размером около десяти атомов [10].

Ось легкого намагничивания атомов совпадает

с направлением вдоль цепочки (АФМ∥). Расстояние

между атомами Fe составляет a

= 7.23

Å. Для

численных оценок выбраны параметры J, K, μ,

приведенные в табл. 2. Отношение K/|J| равно

2.3, поэтому доменная стенка имеет полуширину

менее одного межатомного расстояния (δN = 0.47),

и магнитные моменты в доменной стенке остаются

почти коллинеарными. Энергетические барьеры

ΔE1,2,3, необходимые для оценки времени спон-

танного перемагничивания, также приведены

в табл. 2. Вычисления проводились для цепочки

из N = 20 атомов. Для формирования доменной

стенки на краю цепочки достаточно переворота

одного магнитного момента, поэтому N_eff

= N.

Вследствие достаточно большого межатомного

расстояния a учет диполь-дипольного взаимодей-

ствия не оказывает существенного влияния на эти

барьеры. Приведем здесь разности энергетических

барьеров δE_i = ΔE^dipi -ΔE_i, вычисленные с учетом

и без учета диполь-дипольного взаимодействия:

δE₁

= -2.65 · 10-6 эВ, δE₂

= 1.31 · 10-6 эВ,

δE₃ = -4.83 · 10-7 эВ. Для сравнения, аналогич-

ные величины, вычисленные согласно оценочным

формулам из табл. 1, равны δE₁ = -2.41 · 10-6 эВ,

δE2 = 1.55 · 10-6 эВ, δE3 = 0. Видно, что учет

Рис. 1. (В цвете онлайн) a) Зависимости времени спон-

диполь-дипольного взаимодействия приводит к из-

танного перемагничивания атомных цепочек τ_dip от темпе-

менению энергетических барьеров на величину

ратуры. b) Отношения времен перемагничивания, вычис-

порядка 10-6

эВ, что на два порядка меньше,

ленных с учетом (τ_dip) и без учета (τ ) диполь-дипольного

чем изменение энергетических барьеров в этой же

взаимодействия

системе при учете неколлинеарности магнитных

моментов [30]. Таким образом, даже в случае почти

Далее рассмотрим ферромагнитную цепочку

коллинеарного магнетизма учет диполь-дипольного

из атомов Fe на поверхности Cu₃N/Cu(110). Вы-

712

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Влияние диполь-дипольного взаимодействия. . .

Таблица 2. Характеристики атомных цепочек Fe, Co и Mn на металлических поверхностях. Обменные интегралы J,

ЭМА K и магнитные моменты μ атомов взяты из работ [8, 10, 11, 25]. Полуширина доменной стенки вычислена по фор-

√

муле δN =

|J|/2K, а энергетические барьеры ΔE1,2,3 — с помощью метода GNEB при учете диполь-дипольного

взаимодействия

Система

Тип

J, мэВ K, мэВ μ/μ_B δN ΔE₁, мэВ ΔE₂, мэВ ΔE₃, мэВ

Fe/Cu₂N/Cu(001) АФМ∥

-1.3

3.0

2.78

0.47

4.320

1.724

2.762

Fe/Cu₃N/Cu(110)

ФМ⊥

1.25

1.21

2.78

0.72

2.581

0.083

0.739

Co/Cu₃N/Cu(110) ФМ⊥

3.81

2.3

1.67

0.91

7.502

0.059

0.396

Mn/Cu₃N/Cu(110) ФМ∥

1.25

0.67

3.78

0.96

2.484

0.055

0.074

Co/Pt(997)

ФМ⊥

7.5

2.0

2.4

1.37

10.545

0.003

0.006

Таблица 3. Характеристики атомных цепочек Fe, Co на поверхности Cu(775). Обменные интегралы J, ЭМА K и магнит-

√

ные моменты μ атомов взяты из работ [7, 39, 40]. Полуширина доменной стенки вычислена по формуле δN =

J/2K,

√

энергия доменной стенки в бесконечно длинной цепочке — по формуле ΔE∞ =

8KJ, критические длины цепочек N0

и Ndip0 — с помощью метода GNEB

Система

Тип J, мэВ K, мэВ

μ/μ_B δN ΔE_∞, мэВ N₀ Ndip0

Co/Cu(775) ФМ∥

72.5

2.33

1.66

3.94

36.76

Fe/Cu(775) ФМ∥

75.0

0.72

2.88

7.21

20.78

числения методом функционала плотности

[25]

ры J, K, μ для этих систем вычислены методом

показали, что ось легкого намагничивания ато-

функционала плотности [25] и приведены в табл. 2.

мов перпендикулярна цепочке (ФМ⊥). Парамет-

Расстояние между атомами в цепочке такое же, как

ры J, K, μ приведены в табл. 2. Отношение K/J

в системе Fe/Cu₃N/Cu(110), т.е. a = 5.11 Å. Ось лег-

близко к 1, поэтому доменная стенка в данном

кого намагничивания атомов Co перпендикулярна

случае оказывается несколько шире (δN = 0.72),

цепочке (ФМ⊥), а атомов Mn — параллельна цепоч-

чем в предыдущей системе. Тем не менее для

ке (ФМ∥). Отношение K/J равно 0.6 для цепочек

формирования доменной стенки на краю цепоч-

из атомов Co и 0.54 для цепочек из атомов Mn. Уве-

ки по-прежнему достаточно переворота одного

личение ширины доменной стенки приводит к тому,

магнитного момента (N_eff

= N), поэтому си-

что для формирования доменной стенки на краю

стема Fe/Cu₃N/Cu(110) в целом очень похожа

цепочки не достаточно переворота одного магнит-

на рассмотренную выше систему Fe/Cu₂N/Cu(001).

ного момента: первому метастабильному состоянию

Однако атомы Fe находятся на меньшем расстоянии

соответствует переворот двух (трех) магнитных мо-

a = 5.11

Å друг от друга, следовательно, возрас-

ментов атомов Co (Mn). В результате число метаста-

тает и роль диполь-дипольного взаимодействия.

бильных положений доменной стенки внутри цепоч-

Энергетические барьеры ΔE1,2,3, вычисленные для

ки оказывается равным N_eff -1, где N_eff = N -2 для

цепочки из 20 атомов, приведены в табл. 2. Зави-

цепочки из атомов Co и N_eff = N - 4 для цепочки

симость времени спонтанного перемагничивания

из атомов Mn. Энергетические барьеры ΔE1,2,3, вы-

цепочки из 20 атомов Fe в температурном интервале

численные для цепочек из 100 атомов Co и Mn, при-

от 1.2 K до T_max = 7.7 K приведена на рис. 1a,

ведены в табл. 2. Зависимости времени τ_dip спонтан-

а на рис. 1b в том же температурном интервале

ного перемагничивания и отношения τ_dip/τ от тем-

показано отношение τ_dip/τ. Видно, что величина

пературы для этих цепочек показаны на рис. 1. Тем-

τ_dip/τ изменяется от 0.88 до 0.98.

пературные интервалы выбраны следующим обра-

зом: от 3.2 K до T_max = 12.9 K для Co и от 1 K

= 4.2 K для Mn. На рис. 1b видно, что

до T_max

3.2.2. Средняя ширина доменной стенки

величина τ_dip/τ изменяется от 0.97 до 0.99 для Co

и от 1.73 до 1.13 для Mn. Отметим, что данный ре-

Рассмотрим ферромагнитные цепочки из атомов

зультат согласуется с выводом, сделанным на основе

Co и Mn на поверхности Cu₃N/Cu(110). Парамет-

713

С. В. Колесников, Е. С. Сапронова

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

анализа результатов, приведенных в табл. 1. Дей-

должать пользоваться формулой (2). Зависимости

ствительно, диполь-дипольное взаимодействие при-

времени τ_dip и отношения τ_dip/τ в температурном

водит к увеличению среднего времени τ спонтанно-

интервале от 4.3 K до T_max

= 19.1 K показаны

го перемагничивания цепочки ФМ∥ и уменьшению

на рис. 1. Видно, что отношение τ_dip/τ изменяет-

времени τ цепочки ФМ⊥.

ся от 0.69 до 0.93. Таким образом, различие вели-

Для системы Co/Cu₃N/Cu(110) имеет смысл

чин τ_dip и τ может достигать 30%. Отметим, что

вычисление энергетического барьера ΔE₄ между

энергетический барьер ΔE₄ между двумя неелев-

двумя неелевскими доменными стенками, отлича-

скими доменными стенками, отличающимися друг

ющимися друг от друга направлением вращения

от друга направлением вращения магнитных момен-

магнитных моментов. В данном случае величина

тов, оказывается равным 1.12 · 10-4 эВ, что на два

ΔE₄ = 1.87 · 10-6 эВ оказывается на два поряд-

порядка превышает величину ΔE₃. Поэтому веро-

ка меньше барьера ΔE₃ для перемещения доменной

ятность изменения типа доменной стенки во время

стенки вдоль атомной цепочки.

перемагничивания крайне мала.

Наконец, рассмотрим ферромагнитную цепочку

В заключение этого раздела сделаем несколь-

из атомов Co на поверхности Pt(997). На сегодняш-

ко замечаний, относящихся ко всем рассмотрен-

ний день эту систему можно считать наиболее хо-

ным выше системам. Во-первых, как видно из при-

рошо экспериментально изученным примером одно-

ближенной формулы (9), время спонтанного пере-

мерного ферромагнетизма [5, 6]. Расстояние между

магничивания цепочки прямо пропорционально ве-

атомами в цепочке a = 2.78Å, параметры J, K, μ,

личине N_eff - 2. Поэтому зависимости, приведен-

взятые из работы [8], приведены в табл. 2. Ось лег-

ные на рис. 1a, легко масштабируются при изме-

кого намагничивания направлена перпендикулярна

нении длины цепочки, а зависимости, приведенные

цепочке (ФМ⊥). Отношение K/J = 0.27 достаточно

на рис. 1b, вообще не меняются. Во-вторых, ми-

мало, поэтому полуширина доменной стенки превы-

нимальная температура при построении графиков

шает один атом (δN = 1.37). Это приводит к то-

на рис. 1 выбиралась так, чтобы соответствующее

му, что первому метастабильному состоянию домен-

время τ было порядка 10⁵ с. При таких време-

ной стенки на краю цепочки соответствует перево-

нах τ атомная цепочка может считаться стабильным

рот сразу пяти магнитных моментов атомов Co, та-

битом информации. В-третьих, из табл. 2 видно,

ким образом, N_eff = N -10. Энергетические барьеры

что величина энергетического барьера ΔE₃ быстро

ΔE1,2,3, вычисленные для цепочки из 100 атомов Co,

уменьшается при уменьшении параметра K/|J|, что

приведены в табл. 2.

находится в согласии с работой [38]. При дальней-

Следует обратить особое внимание на малую ве-

шем уменьшении параметра K/|J| аналитический

личину барьера ΔE₃, она оказывается на порядок

метод [31-34] становится неприменимым.

меньше k_BT даже при температуре 1 K. Строго го-

воря, это означает, что предположение о прыжковом

3.2.3. Большая ширина доменной стенки

механизме перемещения доменной стенки между со-

седними метастабильными положениями в данном

Рассмотрим ферромагнитные цепочки из атомов

случае неверно. Поэтому время τ спонтанного пере-

Co и Fe на поверхности Cu(775). Для обеих систем

магничивания, вычисленное по формуле (2), явля-

ось легкого намагничивания направлена вдоль це-

ется лишь оценкой сверху. В качестве оценки снизу

почки [40] (ФМ∥). Параметры J, K, μ, вычислен-

может быть взята формула (10) при ΔE = ΔE₁.

ные методом функционала плотности [7,39,40], при-

Вообще данный случай является промежуточным

ведены в табл. 3. Отношение K/J равно 3.2 · 10-2

между системами с узкой доменной стенкой, рас-

для системы Co/Cu(775) и 9.6 · 10-3 для систе-

смотренными выше, и системами с широкой домен-

мы Fe/Cu(775), что соответствует полуширине δN

ной стенкой, которым посвящен следующий раздел

доменной стенки 3.94 и 7.21 атомов. Для столь

статьи. Итак, для системы Co/Pt(997) можно утвер-

широких доменных стенок энергетический барьер

ждать, что время спонтанного перемагничивания

ΔE₃ пренебрежимо мал [38]. Поэтому для вычисле-

равно τ = N^∗/2ν₁, где 1 < N^∗ < N_eff - 2. Из общих

ния времени спонтанного перемагничивания цепо-

соображений можно также утверждать, что вели-

чек используется формула (10). Отметим, что ато-

чина N^∗ монотонно убывает с увеличением темпе-

мы Co и Fe в рассматриваемых цепочках находятся

ратуры. Тем не менее основная зависимость от тем-

на небольшом расстоянии a = 2.56

Å друг от дру-

пературы определяется множителем 1/ν₁, поэтому

га, что увеличивает роль диполь-дипольного взаи-

для оценки τ по порядку величины мы можем про-

модействия.

714

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Влияние диполь-дипольного взаимодействия. . .

Как видно из рис.

2a, без учета диполь-

дипольного взаимодействия зависимость энерге-

тического барьера ΔE перемагничивания атом-

ной цепочки от ее длины стремится к энергии

√

ΔE_∞ =

8KJ формирования доменной стенки

в бесконечно длинной цепочке. Учет диполь-

дипольного взаимодействия приводит к тому, что

предельное значение ΔE^dip∞ превышает величину

√

8KJ на 2.55 · 10-4 эВ для цепочки Co/Cu(775)

и на 1.34 · 10-3 эВ для цепочки Fe/Cu(775). Отме-

тим, что данный результат находится в согласии

с выводом (см. разд. 3.1), что диполь-дипольное

взаимодействие приводит к увеличению среднего

времени спонтанного перемагничивания цепочек

ФМ∥. Отношение τ_dip/τ показано на рис. 2b. Видно,

что для длинных цепочек при температуре 10 K оно

стремится к 1.34 для цепочки Co/Cu(775) и к 4.76

для цепочки Fe/Cu(775).

Отдельного обсуждения заслуживает переход

от режима, в котором все магнитные моменты пе-

реворачиваются одновременно и ΔE = KN (штри-

ховые линии на рис. 2a), к режиму, в котором проис-

ходит формирование промежуточного неустойчиво-

го состояния в виде доменной стенки. Вычисленная

по формуле (11) критическая длина цепочки состав-

ляет 16 атомов для цепочки Co/Cu(775) и 29 ато-

мов для цепочки Fe/Cu(775). Для цепочки конечной

длины энергия формирования доменной стенки ΔE

оказывается меньше, чем ΔE_∞. Поэтому и критиче-

Рис. 2. (В цвете онлайн) a) Зависимости энергетическо-

ская длина цепочки N₀ оказывается несколько ниже

го барьера ΔE для перемагничивания атомной цепоч-

(см. табл. 3 и рис. 2a). Отметим, что в случае си-

ки от ее длины N. Штриховой линией показана величи-

√

стемы Co/Cu(775) критическая длина оказывается

на KN, пунктирной — величина

8KJ, стрелками от-

одинаковой (N₀ = 13) как с учетом, так и без учета

мечены точки, соответствующие критической длине N0.

диполь-дипольного взаимодействия. В случае систе-

b) Отношения времен перемагничивания при температуре

мы Fe/Cu(775) учет диполь-дипольного взаимодей-

10 K, вычисленных с учетом (τ_dip) и без учета (τ ) диполь-

ствия приводит к уменьшению критической длины

дипольного взаимодействия

цепочки с 23 атомов до 22. Как видно на рис. 2b,

диполь-дипольное взаимодействие оказывает мак-

При вычислении времени спонтанного перемагничи-

симальное влияние на время спонтанного перемаг-

вания цепочек из двух первых групп можно исполь-

ничивания атомной цепочки, если ее длина близка

зовать аналитический метод [31-34], а время спон-

в критической. Отношение τ_dip/τ при температуре

танного перемагничивания цепочек из третьей груп-

10 K достигает максимального значения 1.48 для це-

пы может быть оценено по формуле (10). При этом

почки из 12 атомов Co и значения 9.56 для цепочки

энергетические барьеры для переворота магнитных

из 22 атомов Fe.

моментов должны вычисляться в рамках неколли-

неарной модели. Это можно сделать, например, с по-

мощью метода GNEB.

На основе простой коллинеарной модели [21]

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

можно сделать вывод о том, что диполь-дипольное

Подводя итоги работы, отметим, что магнит-

взаимодействие приводит к увеличению средне-

ные атомные цепочки на поверхности металлов мо-

го времени τ спонтанного перемагничивания це-

гут быть разделены на три группы: цепочки с ма-

почек ФМ∥ и АФМ⊥ и уменьшению времени τ

лой, средней и большой шириной доменной стенки.

цепочек ФМ⊥ и АФМ∥. Этот результат остается

715

С. В. Колесников, Е. С. Сапронова

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

верным и в неколлинеарной модели даже для атом-

D. J. Choi, N. Lorente, J. Wiebe, K. von Bergmann,

ных цепочек с доменной стенкой большой ширины.

A. F. Otte, and A. J. Heinrich, Rev. Mod. Phys 91,

041001 (2019).

Для цепочек ФМ⊥ и АФМ⊥ с доменной стен-

кой средней ширины учет диполь-дипольного взаи-

А. Г. Сыромятников, С. В. Колесников, А. М. Са-

модействия приводит к появлению энергетического

лецкий, А. Л. Клавсюк, УФН 191, 705 (2021).

барьера между двумя состояниями доменной стен-

A. G. Syromyatnikov, S. V. Kolesnikov,

ки, различающимися направлением вращения маг-

A. M. Saletsky, and A. L. Klavsyuk, Mater.

нитных моментов. Несмотря на то, что этот барьер

Lett. 179, 69 (2016).

не оказывает влияния на время спонтанного пере-

магничивания цепочки, он может быть существенен

P. Gambardella, A. Dallmeyer, K. Maiti,

M. C. Malagoli, W. Eberhardt, K. Kern, and

для вычисления других физических величин, на-

C. Carbone, Nature 416, 301 (2002).

пример, критической температуры.

Перемагничивание атомных цепочек из третьей

P. Gambardella, A. Dallmeyer, K. Maiti,

группы может происходить двумя способами: либо

M. C. Malagoli, S. Rusponi, P. Ohresser,

все магнитные моменты переворачиваются одновре-

W. Eberhardt, C. Carbone, and K. Kern, Phys. Rev.

Lett. 93, 077203 (2004).

менно, либо по очереди. Переход от одного режима

перемагничивания к другому происходит при кри-

10.

S. Loth, S. Baumann, C. P. Lutz, D. M. Eigler, and

тической длине N₀. Важно отметить, что влияние

A. J. Heinrich, Science 335, 196 (2012).

диполь-дипольного взаимодействия на время τ наи-

11.

S. Yan, D.-J. Choi, J. A. J. Burgess,

более существенно при длине цепочки, близкой к N₀.

S. Rolf-Pissarczyk, and S. Loth, Nat. Nanotechnol.

Численные оценки влияния диполь-дипольного

10, 40 (2015).

взаимодействия на время спонтанного перемагни-

чивания показали, что в некоторых случаях от-

12.

J.-P. Gauyacq and N. Lorente, J. Phys.: Condens.

Matter 27, 455301 (2015).

ношение τ_dip/τ может достигать 10. Таким обра-

зом, диполь-дипольное взаимодействие может иг-

13.

W. Kohn, Rev. Mod. Phys. 71, 1253 (1999).

рать существенную роль в динамике перемагничи-

14.

H. Ebert, D. Ködderitzsch, and J. Minár, Rep. Prog.

вания атомных цепочек конечной длины на метал-

Phys. 74, 096501 (2011).

лических поверхностях.

15.

E. M. Chudnovsky and L. Gunther, Phys. Rev. Lett.

Благодарности. При выполнении работы бы-

60, 661 (1988).

ли использованы вычислительные ресурсы Научно-

16.

W. Wernsdorfer, R. Cle’rac, C. Coulon, L. Lecren,

исследовательского вычислительного центра Мос-

and H. Miyasaka, Phys. Rev. Lett. 95, 237203 (2005).

ковского государственного университета им. М. В.

Ломоносова (НИВЦ МГУ).

17.

A. S. Smirnov, N. N. Negulyaev, W. Hergert,

A. M. Saletsky, and V. S. Stepanyuk, New J. Phys.

Финансирование. Работа выполнена при под-

11, 063004 (2009).

держке Российского научного фонда (грант No 21-

72-20034). Один из авторов (Е.С. С.) является сти-

18.

L. D. Landau and E. Lifshitz, Phys. Z. Sowjetunion

пендиатом Фонда развития теоретической физики

8, 153 (1935).

и математики «БАЗИС».

19.

K. Tao, O. P. Polyakov, and V. S. Stepanyuk, Phys.

Rev. B 93, 161412(R) (2016).

20.

M. E. I. Newman and G. T. Barkema, Monte Carlo

ЛИТЕРАТУРА

Methods in Statistical Physics, Oxford Univ. Press

(2001).

1. I. Zutic, J. Fabian, and S. Das Sarma, Rev. Mod.

Phys 76, 323 (2004).

21.

Y. Li and B.-G. Liu, Phys. Rev. B 73, 174418 (2006).

22.

Y. Li and B.-G. Liu, Phys. Rev. Lett. 96, 217201

2. N. D. Mermin, Quantum Computer Science: an

Introduction, Cambridge Univ. Press (2007).

(2006).

23.

K. M. Tsysar, S. V. Kolesnikov, and A. M. Saletsky,

3. S. Bose, Phys. Rev. Lett 91, 207901 (2003).

Chin. Phys. B 24, 097302 (2015).

4. H. Verma, L. Chotorlishvili, J. Berakdar, and

24.

С. В. Колесников, К. М. Цысарь, А. М. Салецкий,

S. K. Mishra, Eur. Phys. Lett. 119, 30001 (2017).

ФТТ 57, 1492 (2015).

716