ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 5 (11), стр. 663-672

О МАССОВОЙ ФУНКЦИИ НА ВНУТРЕННЕМ ГОРИЗОНТЕ

РЕГУЛЯРНОЙ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ

М.З. Иофа

Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д.В. Скобельцына,

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 23 июня 2022 г.,

после переработки 28 июня 2022 г.

Принята к публикации 28 июня 2022 г.

Пересмотрены и заново проведены расчеты внутренней массовой функции регулярной черной дыры

Хейворда с потоками. Представлены подробные расчеты внутренней массовой функции в двух формах

подхода Ори (входящий поток непрерывен, исходящий поток моделируется тонкой нулевой оболочкой) и

проведено их сравнение с расчетами для черной дыры Рейснера-Нордстрема. Обсуждается формальная

причина различия результатов. Вычислена плотность энергии скалярных возмущений, распространяю-

щихся от горизонта событий в черную дыру Хейворда, измеренная свободно падающим наблюдателем

вблизи внутреннего горизонта.

DOI: 10.31857/S0044451022110062

зонта. В последнем случае черной дыры Хейворда

EDN: KYQOMT

с двумя горизонтами ее причинная структура ана-

логична структуре решений Рейснера-Нордстрема и

Керра-Ньюмена. В этих черных дырах внутренний

1. ВВЕДЕНИЕ

горизонт — это горизонт Коши, нулевая гиперпо-

верхность, за пределами которой предсказательная

Решения для черных дыр в общей теории относи-

сила теории теряется.

тельности — Шварцшильда, Рейснера-Нордстрема

и Керра-Ньюмена — имеют центральную сингуляр-

В процессе коллапса звезды и образования чер-

ность при r

= 0, что считается нежелательным

ной дыры возникает исходящий поток излучения,

в моделях астрофизических черных дыр. Регуляр-

который, после частичного отражения от потенци-

ные черные дыры были предложены как конфигу-

ала вблизи внешнего горизонта, приводит к появ-

рации, в которых центральная сингулярность за-

лению потока излучения, идущего в черную дыру

меняется несингулярным ядром [1-7]. Регулярные

[8]. Этот поток частично отражается потенциалом

черные дыры являются статическими, сферически-

вблизи внутреннего горизонта и порождает исходя-

симметричными и удовлетворяют слабому энергети-

щий поток. Внутренний горизонт представляет со-

ческому условию. Они удобны для лучшего пони-

бой поверхность бесконечного голубого смещения,

мания процессов образования и испарения черных

и в работах [9-16], а также во многих последую-

дыр.

щих работах было показано, что свободно падаю-

В настоящей работе мы обсуждаем черную дыру

щий наблюдатель вблизи горизонта Коши черных

Хейворда [3], которая является очень простой реа-

дыр Рейснера-Нордстрема и Керра-Ньюмена уви-

лизацией несингулярной черной дыры и может рас-

дит неограниченную плотность энергии скалярного,

сматриваться как регуляризация решения Шварц-

электромагнитного и гравитационного полей. Это

шильда. За пределами горизонта событий обе гео-

интерпретировалось как нестабильность горизонта

метрии имеют одинаковый асимптотический вид

Коши относительно внешних возмущений.

при r → ∞. Важное различие между черными ды-

Эти свойства позволяют ожидать, что присут-

рами Шварцшильда и Хейворда состоит в том, что

ствие вблизи внутреннего горизонта только входя-

черная дыра Хейворда может совсем не иметь гори-

щего потока с голубым смещением (хвост излуче-

зонта, иметь один двойной горизонт или два гори-

ния Прайса [8]) приведет к увеличению внутрен-

663

М.З. Иофа

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

ней массовой функции. Однако в статье [17] на при-

щенного) соотношения ДТР в этих моделях приво-

мере черной дыры Рейснера-Нордстрема (РН) бы-

дит к массовой инфляции.

ло показано, что одного входящего потока с голу-

В настоящей работе мы даем обзор предыдущих

бым смещением недостаточно для неограниченно-

расчетов внутренней массовой функции и представ-

го увеличения внутренней массовой функции (т. е.

ляем подробные расчеты этой функции в двух вари-

для массовой инфляции). А именно, было показа-

антах подхода Ори. Мы сравниваем наши результа-

но, что массовая инфляция возникает только как

ты с расчетами для черной дыры РН. А именно, мы

совокупный эффект входящего и исходящего пото-

показываем, что, как и в случае черной дыры РН,

ков. Массовая инфляция приводит к увеличению

в черной дыре Хейворда с входящим потоком плот-

кривизны на внутреннем горизонте, и вместо го-

ность энергии вблизи внутреннего горизонта, изме-

ризонта Коши появляется сингулярность кривизны,

ренная свободно падающим наблюдателем, неогра-

экранирующая этот горизонт. В работе [17] входя-

ниченно возрастает, указывая на то, что как черные

щие и исходящие потоки моделируются входящи-

дыры Хейворда, так и черные дыры РН нестабиль-

ми и исходящими заряженными решениями Вай-

ны относительно внешних возмущений.

дьи [18], которые, в свою очередь, моделировались

тонкими нулевыми оболочками светоподобных час-

тиц, проходящими друг через друга без взаимодей-

2. ВНУТРЕННЯЯ МАССОВАЯ ФУНКЦИЯ В

ствия. Пространство-время разделено пересекающи-

МОДЕЛИ ХЕЙВОРДА

мися потоками на четыре области, метрика в каж-

дой из которых характеризуется своей массой. Мас-

Метрика черной дыры Хейворда является реше-

совая инфляция исходящего потока возникает, ко-

нием уравнений Эйнштейна и имеет вид [3]

гда входящая оболочка находится вблизи горизон-

та Коши. Решение для внутренней массовой функ-

ds² = -f(r)dv² + 2dvdr + r²dΩ²,

(1)

ции было получено с использованием соотноше-

ния Дрэя-’т Хоофта-Рэдмонда (ДТР) [19, 20] меж-

где

ду массами в метриках четырех областей. Сингу-

M (r)

2mr²

f (r) = 1 -

=1-

(2)

лярность на горизонте Коши аналитически обсуж-

2ml² + r³

далась в работах [21-24] и в ряде других работ, ци-

Параметризация метрики подробно описана в ра-

тируемых в них.

боте

[3], включая вид соответствующего тензо-

В статье [25] задача массовой инфляции для чер-

ра энергии-импульса.¹⁾ Метрика может совсем не

ной дыры РН с потоками изучалась путем модели-

иметь горизонта, иметь один двойной или два гори-

рования исходящего излучения нулевой тонкой обо-

зонта. Мы обсуждаем случай с двумя горизонтами.

лочкой, при этом входящий поток излучения Прайса

Если масса m является функцией запаздывающего

считался непрерывным (подход Ори). В этой модели

или опережающего времени v, m = m(v), метрика

из уравнений Эйнштейна с учетом непрерывности

принимает вид

проходящего через оболочку потока было получено

соотношение, связывающее между собой массы мет-

ds² = -f(r, v)dv² - 2dvdr + r²dΩ²,

(3)

рик пространства-времени внутри и вне оболочки,

которое предсказывало массовую инфляцию вблизи

и появляется дополнительная компонента тензора

внутреннего горизонта [21, 25, 26].

энергии-импульса T^rv.

Поскольку причинная структура черной дыры

В случае наличия входящего и исходящего пото-

Хейворда аналогична структуре черной дыры РН,

ков энергии исходящий поток, следуя подходу Ори

естественно задать вопрос, происходит ли в чер-

[25], моделируется тонкой нулевой оболочкой Σ. Эта

ной дыре Хейворда с потоками массовая инфляция.

оболочка делит внутреннюю часть черной дыры на

Этот вопрос обсуждался в рамках подхода Ори с ис-

внешнюю V₊ и внутреннюю V_- области. В обеих ча-

пользованием обобщенной конструкции ДТР [27] в

стях V_± метрика имеет вид (3) с разными v_± и m_±.

работе [6] для “петлевой черной дыры” и в работах

Переменную r можно считать непрерывной при пе-

[28-30] для черной дыры Хейворда. Несколько уди-

реходе через оболочку [27, 31].

вительным результатом было то, что, в отличие от

черной дыры РН, в случае регулярных черных дыр

¹⁾ Отметим, что в используемой нами системе единиц гра-

(петлевых или Хейворда) подход Ори не приводит

витационная постоянная включена в параметр m, который в

к массовой инфляции. Однако использование (обоб-

таком случае имеет размерность длины.

664

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

О массовой функции на внутреннем горизонте регулярной черной дыры

Для метрики (2), (3) уравнения Эйнштейна при-

Без потока Прайса горизонты черной дыры опре-

нимают вид [27, 31]

деляются из уравнения f(r, m₀) = 0, или, эквива-

лентно, из уравнения

∂M_±

= -4πr²Tvv ,

= 4πr²T^rv.

(4)

∂r

∂v_±

r³ - 2m₀(r² - l²) = 0.

(10)

Непрерывность метрики при переходе через оболоч-

Внешний горизонт расположен при

ку приводит к уравнению

r+ ≃ 2m0 - l²/2m0 + · · · ,

(f₊dv₊ = f_-dv_-)|_Σ = 2dr.

(5)

внутренний горизонт находится при

Ниже мы будем обозначать

(

)

(

)₂

r- ≃ l

+···

≡

v₊ ≡ v, f₊(v₊) = f(v).

4m₀

Непрерывность потока через оболочку

≡ l(1 + η + 5η²/2 + · · · ).

(11)

[T_μν n^μn^ν ] = 0, [A] = A₊ - A_-,

В случае с потоками расположение горизонтов сле-

дующее:

где n^μ обозначает нормаль к оболочке, записывается

как

r+(v) ≃ r+ - δr+(v),

r_-(v) ≃ r_- + δr_-(v).

(12)



Tv+v+

Tv-v-



(6)



В первом порядке по δm_pr величина δr_- определя-

f²⁺

f2-

ется из уравнения

Переменная v_- определяется из уравнения (5) как

функция v:

f_,r(r_-, m₀)δr_- - f_,m(r_-, m₀)δm_pr = 0,



dv_-(v)

f (v)



(7)



что дает

f_-(v)

где

δr_- = δm_pr f_,m(r_-, m₀)/f_,r(r_-, m₀).

(13)

f_-(v) = f_-(v_-(v)).

Оболочка, моделирующая исходящий поток, распо-

Точно так же

ложена на радиусе

m_-(v) = m_-(v_-(v)).

rshell = rs,

Мы также имеем

а вблизи внутреннего горизонта мы можем написать



∂M˜_-(v)

∂M_-(v_-) f(v)



(8)

rs = r- + y(v), r- > y(v).



∂v

∂v_-

f_-(v)

Расположение оболочки определяется уравнением

Из уравнений (6) и (8) получаем

нулевой геодезической (5)



∂M₊

∂M˜_-



2r_s(v) = f(r_s, m₊(v)) =

(9)



f (v)

∂v

f_-(v)

∂v

= f(r_- + y(v),m₀ - δm_pr(v)).

(14)

Уравнение (9) будет использоваться для нахожде-

Здесь точка обозначает производную по переменной

ния массовой функции m_-(v).

v. В первом порядке по y и δm_pr получаем

2.1. Массовая функция из условия

2 y = f_,r(r_-,m₀)y - f_,m(r_-,m₀)δm_pr,

(15)

непрерывности потока через оболочку

где

В случае черной дыры с входящим потоком

r3- - 4m₀l²

Прайса [8] массовая функция в области V₊ есть

f_,r(m₀, r_-) = 2m₀r_-

≃

(r3- + 2m₀l²)²

m₊ = m₀ - δm_pr, где m₀ — масса без учета потока

Прайса, а δm_pr(v) = β/v^p, p ≥ 12. Будем полагать,

что m₀ ≫ l.

(1 - 4η),

(16)

≃-l

665

М.З. Иофа

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

2r5-

Используя уравнение (22) и сохраняя в (23) ведущие

f_,m(m₀, r_-) = -

≃

(r3- + 2m₀l²)²

члены по δm_pr, имеем

r6s

≃-

(1 + η).

(17)

R₊ ≃ -

(24)

2m²

2l⁶(1 + 9η)

Решая уравнение (15), получаем

Уравнение для внутренней массовой функции m_-

(

)

имеет вид

∫ v

f_,m

∂M˜_-

y(v) = e-v|f,r |/2 C -

dvev|f,r |/2

δm_pr

R_- ≡

f_-(v)

∂v

(18)

r6s

m_-

В пределе v → ∞ величина y(v) примерно равна

−4 m2-l²(r2s - l²) + 2 m_-r3s(2l² - r2s) + r⁶

l³

y(v) ≃

δm_pr(1 + 5η) - δ m_pr

(1 + 9η).

(19)

r6s

4m²⁰

4m²

(25)

2l⁶(1 + 9η)

Если положение оболочки определяется от-

Используя соотношения

носительно зависящего от v горизонта r_-(v),

r_s = r_-(v)+z(v), то z(v) определяется из уравнения

l³

r2s - l² ≃ l²[(1 + η + 5η²/2 + · · · )² - 1] ≃

(1 + 3η),

геодезической

2m₀

2(Ż + δ r_-) =

2l² - r2s ≃ l²(1 - 2η),

(26)

= f_,r(r_-,m₀)(δr_- + z) - f_,m(r_-,m₀)δm_pr,

(20)

перепишем уравнение (25) как

где

δr = δm_pr(l²/4m²⁰)(1 + 5η).

m_- =

[

]

Асимптотическое решение уравнения (20) имеет вид

m2-

m_-

(1 + 3η) -

(1 + η) -

(1 + 6η) ,

1 + 9η

2m₀l

z(v) =

(27)

(

)

∫ v

а затем преобразуем его к виду

l²

=e-v|f,r|/2 C-

dvev|f,r |/2

δm_pr

(1 + 5η)

≃

4m²

1 - 6η

m_- =

m₀l

l³

≃ -δ m _pr

(1 + 9η).

(21)

[(_m

)₂

4m²

m_-

(1 - 2η)

Члены, пропорциональные δm_pr, сокращаются. По-

]

ложение оболочки в обоих расчетах есть

m₀l

−

(1 - 2η)² -

(1 + 3η)

≃

l³

r_s(v) ≃ r_- +

δm_pr(1 + 5η) -

δ m (1 + 9η).

[(

)₂

4m²⁰

4m²

1 - 6η

m₀

≃

m_- -

(1 - 2η)

(22)

m₀l

Используя уравнение (9), найдем внутреннюю

]

)₂

⁽m₀

массовую функцию m_-(v). Сначала мы вычислим

−

(1 + 2η)

(28)

∂M₊

R₊ ≡

Интегрируя уравнение (28), найдем

f (v)

∂v

r6s m₊

m₀(1 + 2η)

(r3s + 2l²m₊)(r3s - 2m₊(r2s - l²))



(m- - m0(1 - 2η)/2) - m0(1 + 2η)/2

r6s m₊

× ln^



⁼

(23)

(m_- - m₀(1 - 2η)/2) + m₀(1 + 2η)/2

rs(2m+l² + r^s)²

= Cv/2l.

(29)

Здесь мы использовали уравнение геодезической

В пределе v → ∞ получим

для оболочки, записанное в виде

r3s - 2m₊(r2s - l²) = 2r˙_s(2m₊l² + r3s).

m_- = -2m₀η = -

(30)

666

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

О массовой функции на внутреннем горизонте регулярной черной дыры

Отрицательное значение для m_- обсуждалось

Здесь мы положили R(λ)

= r_- + y(R,v) и

в работе [6] для петлевой черной дыры и в рабо-

m₊ = m₀ - δm_pr. Интегрируя уравнение (35),

те [29] для черной дыры Хейворда, и, в частности,

получаем z₊ ≃ Z₊ - λ. Из уравнения (32) следует,

было отмечено, что внутренняя массовая функция

что

∫ λ

m_-(v) не является непосредственно измеряемой ве-

v₊ = dλ

≃ r- ln

(37)

личиной, так что результат может быть артефактом

z₊

параметризации.

В уравнении (37) Z₊ положено равным нулю, чтобы

иметь v₊ → ∞ при λ → 0.

2.2. Массовая функция в дважды нулевых

Дифференцируя (31) по λ, имеем

координатах

v^′′± = 2(R^′′f_± - R^′f^′±)/f2±.

Вычислим внутреннюю массовую функцию, сле-

дуя первоначальному подходу Ори [25]. Как и выше,

Подставляя v^′′ в уравнение (33), получаем уравне-

оболочка разделяет внутреннюю часть черной дыры

ние для f (см. также [29])

на две области V_± с разными v_± и m_±; координата r

R^′′

непрерывна при переходе через оболочку. В дважды

f (R)

= f^′(R) - f_,r(R)R^′.

(38)

R^′

нулевых координатах метрика имеет вид

В случае f = f_-,

ds² = -2e^σdUdV + r²dΩ.

2m_-(v)R²

f_-( m_-(v), R) = 1 -

Координата U полагается равной нулю на оболоч-

R³ + 2 m_-(v)l²

ке. Поскольку в оболочке нет давления, можно вве-

сти аффинный параметр λ с обеих ее сторон [27,31].

преобразуя уравнение (38), мы получаем

Координата V равна λ вдоль оболочки. Координата

R^′′

m^′-R⁵

положения оболочки r_s = r_- + y(v) (см. (22)) те-

f_-( m_-(v), R) = -

(39)

2R^′

(R³ + 2 m_-l²)²

перь записывается как r_s = R(λ) = r(V = λ, U = 0).

Предполагается, что оболочка достигает внутренне-

Подставляя

го горизонта при v → ∞ или, эквивалентно, при

λ = 0. Далее мы пишем v₊ = v.

R(v(λ)) = r_s ≃ r_- + δm(v)l²/4m²⁰,

Уравнение геодезической для оболочки имеет

имеем

вид

R^′/v^′± =

f_±(m_±(v), R),

(31)

R^′′

p(p + 1)v-p-2v′2 - pv-p-1v^′′

R^′

-pv-p-1v^′

где штрих обозначает производную по λ. Определим

v^′

v^′′

z_± = R/v^′±.

(32)

= -(p + 1)

≃-

v^′

Дифференцируя уравнение (32),

Уравнение (39) принимает вид

z^′± = R^′/v^′± - Rv^′′±/v′±2,

m^′- = -

[4 m2-l²(R²-l²)-2 m_-R³(2l²-R²)-R⁶].

2λR⁵

и используя уравнение геодезической для v(λ)

(40)

Замечая, что

v^′′± +

f_±,rv′±2 = 0,

(33)

)

d m(v)⁽

m^′- =

получим уравнение

находим

2z^′± = f_± + Rf_±,r.

(34)

2l²(r2- - l²)

m_- =

r6-

Со стороны (+) оболочки уравнение (34) принимает

[

]

вид

r3-(2l² - r2-)

r6-

(

)

m²⁺R²l

× m²

-2m_-

(41)

z′+ =

1 - 12

(35)

4l²(r2- - l²)

(R³ + 2m₊l²)²

В уравнении (41) мы узнаем структуру уравнения

или

(25). С помощью (26) уравнение (41) принимает ту

z′+ ≃ -1 - 2 (l/4m₀ + δm_pr/m₀ + δy/l).

(36)

же форму, что и (28).

667

М.З. Иофа

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

3. ЧЕРНАЯ ДЫРА ХЕЙВОРДА В

В пределе v → ∞ решение уравнения (47) упроща-

СРАВНЕНИИ С ЧЕРНОЙ ДЫРОЙ РН

ется до

δ m_pr

y(v) ≃ -

Сравним черную дыру Хейворда и черную дыру

r-κ²

РН с потоком Прайса. Для дыры РН функция f(v)

Нулевая оболочка расположена в точке

в уравнении (1) есть

δm_pr

δ m_pr

2m(v)

rs = r- +

(48)

f (v) = 1 -

(42)

r-κ

r-κ²

r²

Найдем внутреннюю массовую функцию. С помо-

Мы предполагаем, что m²(v) ≫ e². Масса черной

щью соотношений (4)-(6) условие непрерывности

дыры m₊ равна m₀ - δm_pr, m₀ ≫ δm_pr. Без по-

потока через оболочку записывается как

тока Прайса положения горизонтов определяются

из уравнения f(r, m₀) = 0. Внешний и внутренний

√

m_-(v_-(v))

m₊(v)

горизонты расположены в r₊ = m₀ +

m²⁰ - e² и

(49)

√

f_-( m_-, v)

f (v)

r- = m0 -

m²⁰ - e². В случае с потоком, положе-

ния горизонтов даются соотношениями

Используя уравнение геодезической для нахожде-

(

)

ния положения оболочки, f(v) = 2 r_s, и записывая

δm_pr

√

f_-( m_-, v) = f(v) + 2(m₊ - m_-)/r_s, получаем урав-

r+ = r+

m²⁰

-e²

нение (49) в виде

(

)

δm_pr

m_-(v)

δm_pr

r- = r-

√

(43)

(50)

m²⁰

-e²

2r_s + 2(m₊ - m_-)/r_s

2r_s

Оболочка, моделирующая исходящий поток, на-

Из уравнения (48) имеем

ходится вблизи внутреннего горизонта в точке

(

)

δm_pr

κr_-

p+1

rs(v) = r-(v) + y(v). Ниже мы используем обозна-

(51)

2r_s

vκ

чения предыдущего раздела.

Положение нулевой оболочки определяется урав-

Пренебрегая в левой части уравнения (50) малым

нением геодезической 2r˙_s = f(r_s, m₊). Замечая, что

членом r_s, получаем

f(r_-, m₀) = 0, и разлагая функцию f(r_s, m(v)) до

(

)

первого порядка по y и δm_pr, получаем

p+1

m_- ≃ ( m_- - m₀)κ

(52)

(

)

vκ

δ m_pr

κr_-

Здесь мы сталкиваемся с принципиальным отличи-

(

)

ем от черной дыры Хейворда: уравнение (52) имеет

δm_pr

=f_,r(r_-,m₀) y+

- f_,m(r_-, m₀)δm_pr,

(44)

первый порядок по m_-, а (28) содержит m_- квад-

κr_-

ратично. Решая уравнение (51), получаем

где

√

m_-(v) = eκv+(p+1)lnv×

δm_pr

m²⁰ - e

κ=

(

)

rs = r- + y +

∫ v

kr_-

r²

p+1

× C-κm₀

e-κv-(p+1)lnv

≃

vκ

f_,r(r_-, m₀) = -2κ,

f_,m(r_-, m₀) = -

(45)

≃Ce^κvv(p+1) -m₀.

(53)

Подставляя выражения (45) в (44), мы перепи-

Чтобы закончить сравнение расчетов внутренней

шем уравнение (44) в виде

массы в черных дырах РН и Хейворда, мы вычис-

ляем внутреннюю массу черной дыры РН в подходе

δm_pr

y + κy ≃ -

(46)

Ори, как в разделе 2.2.

κr_-

Уравнение (34) для стороны (+),

Отметим, что, так же как и в уравнении (22), чле-

ны, пропорциональные δm_pr, сократились. Решение

2z′+ = f₊ + Rf+,r,

уравнения (46) есть

дает

(

)

∫ v

δ m_pr

e²

y(v) = e^-κv C -

dve+κv

(47)

2z′+ = 1 -

≃1-

= -2κr_-,

(54)

κr_-

r2s

r²

−

668

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

О массовой функции на внутреннем горизонте регулярной черной дыры

(определения r_- и κ см. в (43) и (45)) и мы получаем

В области (r₊, r_-) можно ввести черепашью ко-

∫

ординату r_∗ = -

dr/f(r)

v₊ ≡ v =

(55)

∫

r³ + 2ml²

r_∗ = dr

Уравнение (38) для случая черной дыры РН имеет

(r₊ - r)(r - r_-)(r - r)

вид

-r - A₁(r³⁺ + 2ml²)ln(r₊ - r)-

2m^′-(v(λ))

′′



f (R, m_-(v))

(56)

-A₂(r3- + 2ml²)ln(r - r_-)-

R^′

R=rs

Подставляя в уравнение (56) соотношения

- A₃(r³ + 2ml²)ln(r - r) + const,

(59)

(

)

′′

2m^′-

2m_-

r^′′s

p+1

где

≃

r-κλ

R^′

r^′s

ln λ

A₁ =

(r₊ - r_-)(r₊ - r)

(

)

2(m₊ - m_-)

f (r_s, m_-) =

2r_s +

A₂ =

(r₊ - r_-)(r - r_-)

мы получаем уравнение

(

)

A₃ =

(60)

p+1

(r₊ - r)(r_- - r)

m_- ≃ ( m_- - m₀)κ

(57)

vκ

Полагая, как в разд.2 что m ≫ l, так что

которое совпадает с уравнением (52).

r+ ≃ 2m, r- ≃ l, r ≃ -l,

4. НЕСТАБИЛЬНОСТЬ ВНУТРЕННЕГО

ГОРИЗОНТА ОТНОСИТЕЛЬНО ВНЕШНИХ

A₁ ≃ 1/(2m)², A₂ ≃ -1/4ml, A₃ ≃ 1/4ml,

ВОЗМУЩЕНИЙ

получим

В этом разделе мы рассмотрим распространение

скалярного поля в окрестности горизонта Коши и

r∗ ≃ -r - 2m ln(r+ - r) +

ln(r - r_-) -

ln(r - r).

покажем, что имеющие степенную зависимость хво-

сты входящего в черную дыру потока, как их ви-

(61)

дит свободно падающий наблюдатель, расходятся на

В пределе r → r_- имеем

внутреннем горизонте.

r-r_-

Проблема внешних возмущений для черной ды-

(62)

r∗ ≃

ры Хейворда обсуждается подобно тому, как это де-

лается в случае черной дыры РН [12-15,32], потому

Определив нулевые координаты

что причинные структуры обеих метрик схожи.

Для постановки задачи рассмотрим метрику

v = -r_∗ + t, u = -r_∗ - t,

Хейворда

найдем, что левая и правые ветви горизонта Коши

суть гиперповерхности (r_-, u = ∞) и (r_-, v = ∞).

ds² = -f(r)dt² +

+ r²dΩ²,

f (r)

Распространение скалярного поля Φ(x) описывается

волновым уравнением Φ;μ;νf^μν = 0, где f_μν — компо-

где

ненты метрики (58). Чтобы решить уравнение, раз-

(r₊ - r)(r - r_-) r²(r - r)

ложим поле Φ(x) по сферическим гармоникам:

f (r) = f_RN g(r) = -

r²

r³ + 2ml²

∫

(58)

ϕ_klm(r)

Φ(x) = e^-iktY_lm(θ, ϕ)H_lm(k)

dk.

(63)

Здесь r = -r_-(-m) — отрицательный корень урав-

нения

Функции ϕ(r_∗ (r)) (далее индексы klm опускаются)

r³ - 2m(r² - l²) = 0 = [(-r)³ - (-2m)(r² - l²)].

удовлетворяют уравнению

g(r) — ограниченная функция без нулей и полюсов

d²ϕ(r_∗)

+ [k² - V_l(r

(r))]ϕ(r_∗ ) = 0,

(64)

∗

при r > 0.

dr²

∗

669

М.З. Иофа

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

√

X_,v

Y_,u

где потенциал V_l есть

(E -

E² - f(r)) -

(E +

E² - f(r)).(69)

]

f (r)

^[l(l + 1)

1 df(r)

V_l(r_∗ (r)) = -f(r)

r²

r dr

В пределе r → r_- или r_∗ → -∞ функция f(r) обра-

щается в нуль:

Функция H(k) в (63) определяется начальными дан-

ными h(v), заданными на ветви (r₊, u = -∞) внеш-

r-r_-

e2r∗/l

f (r) ∼ 2

∼

него горизонта

∫

Если E > 0, то поток равен

H(k) =

e^ikvh(v)dv.

(65)

2π

f (r)

F ≃-

X_,v -

Y_,u.

(70)

Решения (64) ϕ(r_∗), имеющие асимптотический вид

f (r)

На ветви (r_-, u → ∞) первый член конечен, а вто-

e^-iktϕ(r_∗) ∼ e^-ikv

рой растет. Если E < 0, получаем

на горизонте r₊, на горизонте r_- имеют вид

2|E|

f (r)

F ≃

X_,v +

Y_,u.

(71)

e^-iktϕ(r_∗) ∼ A(k)e^-ikv + B(k)e^iku,

r∗ → -∞,

f (r)

2|E|

где A2lm - B2lm = 1.

На ветви (r_-, v → ∞) первый член возрастает, а вто-

Входящее поле Φ(r_∗, t) распространяется внутри

рой конечен. Потоки, измеренные свободно падаю-

черной дыры и вблизи r_- рассеивается на потоки

щим наблюдателем

X (v) и Y (u):

(72)

E > 0 : F|(r-,u→∞) = -2Eβpu-p-1B(0)e2u/l

Φ(r_∗, t) → X(v) + Y (u) =

E < 0 : F|(r-,v→∞) = 2Eβpv-p-1(A(0) - 1)e2v/l.(73)

∫

= dkH(k)(A(k) - 1)e^-ikv+

Видно, что наблюдаемые потоки экспоненциально

расходятся на внутреннем горизонте.

∫

+ dkH(k)B(k)e^iku.

(66)

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОБСУЖДЕНИЕ

В пределе v, u

→ ∞ основной вклад в X(v)

и Y (u) дает

интегрирование в окрестности

В настоящей работе мы изучили внутреннюю

= 0 [12, 13]. Для степенного хвоста Прайса

массовую функцию в модели Хейворда регулярной

h(v) = δm_pr = βθ(v - v₀)v^-p получаем

черной дыры с потоками и сравнили ее с соответ-

ствующей функцией черной дыры РН. Мы предпо-

X (v) = βv^-p(A(0) - 1),

v → ∞,

, на-

ложили, что масса черной дыры без потоков, m₀

Y (u) = βu^-pB(0),

u → ∞.

(67)

много больше основного параметра ядра l. Предпо-

лагая справедливость классического описания, мы

Поля X(v) и Y (u) конечны на горизонте Коши.

считаем параметр ядра l больше планковской дли-

Найдем, какую плотность энергии измеряет сво-

ны l_p.

бодно падающий наблюдатель вблизи внутреннего

Мы рассчитали внутреннюю массу двумя спосо-

горизонта. Компоненты скорости радиально падаю-

бами, первый из которых основан на учете непре-

щего наблюдателя суть [14,32]

рывности потока через оболочку, а второй исполь-

√

зует исходный подход Ори [25] (точнее, оба метода

U^t =

U^r = -

E² - f(r),

(68)

f (r)

находятся в рамках подхода Ори, потому что в обо-

их методах входящий поток считался непрерывным

√

потоком Прайса, а исходящий поток моделировался

Ur∗ =

E² - f(r)/f(r).

нулевой оболочкой без давления). Оба метода дают

Поток, видимый свободно падающим наблюдате-

конечное отрицательное значение для внутренней

лем, есть

массовой функции. Внутренняя масса не является

непосредственно измеримой величиной, и в работе

F =UⁱΦ_i =U^tΦ_,t +U,r∗Φr∗ =

[6, 29] было высказано предположение, что этот ре-

√

E²

- f(r)

зультат является артефактом параметризации. Од-

(X_,v - Y_,u) +

(-X_,v - Y_,u) =

f (r)

нако хорошая параметризация неизвестна.

670

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

О массовой функции на внутреннем горизонте регулярной черной дыры

Формально, различное поведение внутренних

потоков экпоненциируется, как и плотность энер-

массовых функций в черных дырах РН и Хейвор-

гии центра масс потоков, что приводит к увеличе-

да восходит к следующему. Схематически в случае

нию внутренней массы. Однако в работе [33] расче-

дыры РН уравнение для внутренней массы имеет

ты проводились с помощью специально построенной

вид

метрики, и конкретная переформулировка результа-

тов этой работы для моделей с метрикой вида (1)

- cm = -δm_pr,

представляет проблему.

где c > 0, что приводит к экспоненциальному росту

Из-за похожей причинной структуры метрик

по v. Для черной дыры Хейворда мы имеем

черных дыр Хейворда и РН в обоих случаях распро-

странение внешних возмущений также похоже. Ес-

= (m - c)² - a²,

c, a > 0,

ли возмущение представляет собой поток Прайса, то

в обоих случаях свободно падающий наблюдатель,

что дает



приближающийся к внутреннему горизонту, изме-

(m- c) - a



ряет возрастающий поток энергии. Это свойство ин-

Ce2av.

⁼

^ (m - c) + a

терпретируется как нестабильность внутреннего го-

В пределе v → ∞ решение для m(v) есть m = c - a,

ризонта. Однако этот эффект напрямую не связан с

что для конкретных значений c и a приводит к

внутренней массовой инфляцией.

m < 0.

Благодарности. Я благодарен М. Смолякову

Другой подход, используемый в работах [6, 17]

и И. Волобуеву за обсуждения и полезные заме-

для нахождения внутренней массовой функции, ос-

чания. Исследование выполнено в рамках научной

нован на соотношении ДТР [19, 20]. При таком

программы Национального центра физики и мате-

подходе потоки внутри черной дыры моделируют-

матики, проект “Физика частиц и космология”.

ся тонкими оболочками. Формула ДТР дает связь

между массами метрик входящих и исходящих сфе-

рических оболочек в областях между оболочками до

ЛИТЕРАТУРА

и после столкновения. В работе [17] в случае чер-

ной дыры РН соотношение ДТР было получено из

1. J.M. Bardeen, Proc.

5th Int. conf. on general

системы уравнений Эйнштейна. Для петлевых чер-

relativity and gravitation GR5, Tbilisi, USSR, 174

ных дыр и дыр Хейворда необходимо использовать

(1968).

обобщенную формулу ДТР [6,27], которая не требу-

2. I. Dymnikova, Class. Quant. Grav. 19, 725 (2002).

ет использования уравнений Эйнштейна. Оказыва-

ется, что во всех случаях черных дыр РН, Хейвор-

3. S.A. Hayward, Phys. Rev. Lett. 96, 031103 (2006).

да и петлевых черных дыр обобщенное соотношение

4. A. Bonanno and M. Reuter, Phys. Rev. D 62, 043008

ДТР показывает расходимость массовой функции

(2000).

пространства-времени вблизи горизонта Коши по-

5. S. Ansoldi, ArXiv 0802.0330.

сле того, как произошло пересечение оболочек. Бы-

ло отмечено, что соотношение ДТР, являясь непер-

6. E.G. Brown, R.B. Mann and L. Modesto, Phys. Rev.

турбативным, объясняет нелокальные и нелинейные

D 84, 104041 (2011).

эффекты [27]. Однако подход ДТР нельзя напрямую

7. E. Ayon-Beato, A. Garcia, Phys. Lett. B 493, 149

сравнивать с подходом Ори, поскольку отсутствует

(2000).

четкая связь между формулой ДТР и подходами ти-

па подхода Ори.

8. R.H. Price, Phys. Rev. D 5, 2419 (1972).

В работе [33] было показано, что в системе

9. M. Simpson and R. Penrose, Int. J. Theor. Phys. 7,

с пересекающимися внутри черной дыры потока-

183 (1973).

ми, порожденными аккрецией, появляется массо-

10. J.M. McNamara, Proc. R. Soc. A 358, 499 (1978).

вая инфляция. Потоки распространяются на фоне

сферически-симметричного пространства-времени,

11. J.M. McNamara, Proc. R. Soc. A 364, 121 (1978).

и массовая инфляция возникает, когда 4-скорости

12. Y. Gursel, I.D. Novikov, V.D. Sandberg and

потоков увеличиваются при приближении к внут-

A.A. Starobinski, Phys. Rev. D 19, 413 (1979).

реннему горизонту. Поскольку 4-скорость наблюда-

емого потока связана с 4-скоростью наблюдающе-

13. Y. Gursel, I.D. Novikov, V.D. Sandberg and

го потока через лоренцев буст, встречная скорость

A.A. Starobinski, Phys. Rev. D 19, 1260 (1979).

671