ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 5 (11), стр. 646-656

ОПТИЧЕСКАЯ БИСТАБИЛЬНОСТЬ И НАРУШЕНИЕ

СИММЕТРИИ ПРИ РЕЗОНАНСНОМ РАССЕЯНИИ СВЕТА НА

КОНЕЧНОМ ФОТОННОМ КРИСТАЛЛЕ С НЕЛИНЕЙНОЙ

РЕЗОНАНСНОЙ ПОЛОСТЬЮ

Г. В. Шадринаa,b*, Е. Н. Булгаков^b

^a Институт вычислительного моделирования, ФИЦ КНЦ Сибирского отделения Российской академии наук

660036, Красноярск, Россия

^b Институт физики им. Л. В. Киренского, ФИЦ КНЦ Сибирского отделения Российской академии наук

660036, Красноярск, Россия

Поступила в редакцию 30 мая 2022 г.,

после переработки 10 июня 2022 г.

Принята к публикации 13 июня 2022 г.

Исследовалась оптическая бистабильность и явление нарушения симметрии в системе связанных

фотонно-кристаллических микрорезонаторов с включением из материала с керровской восприимчиво-

стью при падении плоской волны. Для этой цели предложено обобщение модального метода Т-матрицы

на случай нелинейных микрорезонаторов, поддерживающих одну монопольную моду. Показано, что оба

явления существенно зависят не только от интенсивности внешнего поля, но и от угла падения и размера

фотонного кристалла. Обнаружены и исследованы различные режимы возбуждения.

DOI: 10.31857/S0044451022110049

ли [7-13], диоды и транзисторы, генерация гармоник

EDN: KYGQJZ

[14-17].

Оптическая бистабильность (ОБ) — классиче-

ское нелинейное оптическое явление [18], которое

1. ВВЕДЕНИЕ

интенсивно изучается последние десятилетия. Про-

стейшая нелинейная среда — это керровская среда,

Нелинейное распространение света в периодиче-

когда нелинейные эффекты моделируются добавле-

ских структурах является привлекательной обла-

нием члена, пропорционального квадрату электри-

стью исследований и приложений. Для многих важ-

ческого поля, к линейной диэлектрической констан-

ных приложений желательно иметь сильное и по-

те. ОБ в микроструктурах [19-23] является основой

чти мгновенное взаимодействие света со светом в

для различных приложений, позволяющих управ-

минимальном объеме. Это может быть достигнуто с

лять светом с помощью света, таких как оптиче-

использованием нелинейных материалов в фотонно-

ские переключатели, оптические диоды и транзисто-

кристаллических структурах. Фотонные кристаллы

ры, оптическая память [24]. ОБ на наномасштабах

(ФК) обладают так называемой полной запрещен-

есть ключевая компонента интегрированных нано-

ной щелью, что позволяет создавать на их осно-

фотонных устройств. Однако нелинейный коэффи-

ве простые и разветвленные волноводные структу-

циент чрезвычайно мал, и для достижения необхо-

ры, резонансные микрополости, за счет чего уда-

димого результата нужна либо большая величина

ется эффективно управлять линейным и нелиней-

падающего поля, либо большие размеры устройства

ным распространением света [1-6]. Наиболее ярки-

для накопления эффекта. Ясно, что такие устрой-

ми примерами приложений нелинейных эффектов в

ства неприемлемы для нанофотоники. Один из пу-

ФК-структурах являются оптические переключате-

тей преодоления указанной проблемы — это уси-

ление нелинейных эффектов за счет значительного

^* E-mail: galiy_sha@mail.ru

усиления локального поля по сравнению с падаю-

646

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Оптическая бистабильность и нарушение симметрии .. .

щим. Для этой цели обычно используют фотонно-

В нанофотонике это явление также наблюдалось в

кристалические микрорезонаторы с высокой доб-

ФК-волноводных структурах, при взаимодействии

ротностью. Локальное поле усиливается в

√Q раз.

распространяющейся волноводной моды с нелиней-

Строгий анализ [25] показывает, что в оценку поро-

ными резонансными дефектными модами [38-44], и

га бистабильности входит также модальный объем

в дифракционных решетках [28, 29]. Обычно ОБ и

(объем пространства, занимаемый резонансной мо-

ЯНС сосуществуют в одной области параметров, но

дой V ) P ∼ V/(n₂Q²). В принципе, подходят любые

порог возникновения ОБ меньше. В качестве при-

моды с большим Q, но наиболее желательными яв-

ложения ЯНС предлагалось использовать для ре-

ляются моды, у которых Q → ∞, а частота остается

зонансного переключения светового потока между

фиксированной. По этой причине простейшие резо-

ФК-волноводами [40].

наторы в виде диэлектрической сферы не очень под-

ходят для наблюдения ОБ [22], так как при Q → ∞

частота моды также стремится к бесконечности.

Интересным альтернативным подходом, откры-

тым совсем недавно, для увеличения добротности в

диэлектрических системах является использование

связанных состояний в континууме (ССК), а именно

неизлучающих состояний, погруженных в контину-

ум состояний рассеяния [26]. Существенным момен-

том в использовании ССК является тот факт, что

истинные ССК поддерживаются лишь периодиче-

скими наноструктурами, протяженными как мини-

Рис.

ФК-структура, вид сбоку. а) Структура с од-

мум в одном пространственном измерении. Сами по

ной микрополостью. б) Структура с двумя микрополостя-

себе ССК не взаимодействуют с электромагнитным

ми, здесь дефектные цилиндры разделены тремя слоями

обычных

излучением, падающим на систему, однако ближай-

шие в спектре моды обладают сколь угодно высокой

добротностью. Это дает возможность наблюдать в

присутствии нелинейности фактически беспорого-

В данной работе мы предлагаем простой ди-

вые мультистабильные состояния и состояния с на-

зайн оптической микроструктуры, отличный от ра-

рушенной симметрией, а также эффективно исполь-

нее исследованного в литературе [7-13], для которо-

зовать такие микроструктуры для генерации гармо-

го электромагнитное поле, возбуждающее нелиней-

ник [27-35].

ный микрорезонатор, подается и рассеивается в при-

соединенные ФК-волноводы, что является оправ-

В целом это многообещающее направление —

данным, если сама микроструктура является эле-

нелинейное рассеяние света за счет ССК — нахо-

ментом, интегрированным с другими микроустрой-

дится пока на начальной стадии развития. При всей

ствами по обработке сигналов. Однако для наблюде-

привлекательности использования ССК-структур

ния ОБ волноводные каналы оказываются излишни-

они являются бесконечно протяженными. В реаль-

ми. В нашем случае микроструктура представляет

ности, если структура имеет N периодов, Q-фактор

собой фотонный кристалл конечных размеров, внут-

становится конечным и ведет себя по закону N^α

ри которого заключена одна или несколько взаи-

(как правило α ∼ 2 ÷ 3), и обычно для достижения

модействующих резонансных микрополостей, в цен-

Q ∼ 10⁶ требуется порядка 100 периодов [36].

тре каждой помещен диэлектрический цилиндр из

Другим интересным фундаментальным аспек-

керровского материала (нелинейный микрорезона-

том физики нелинейных оптических систем явля-

тор), как это представлено на рис. 1. На микро-

ется явление нарушения симметрии (ЯНС). ЯНС

структуру падает плоская электромагнитная волна,

возникает в симметричных нелинейных системах.

которая непосредственно, благодаря конечной тол-

Обычно несимметричная мода возникает при нели-

щине окружающих стенок из цилиндров, взаимодей-

нейном взаимодействии близко расположенных по

ствует с монопольной модой микрорезонатора. Рас-

частоте мод разной симметрии. ЯНС, например, на-

чет электромагнитного поля при рассеянии света на

блюдалось при распространении встречных пучков,

нелинейной среде представляет собой сложную про-

падающих на нелинейную керровскую среду [37].

блему, для решения которой используются разные

647

Г. В. Шадрина, Е. Н. Булгаков

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

подходы [6,21,22,38,45-47]. Как правило, ограничи-

лучения. Благодаря щели можно создавать локали-

ваются двумерными моделями. Например, в случае

зованные резонасные полости, которые поддержива-

ФК-пластины (мембраны), состоящей из периоди-

ют локализованные моды разной симметрии — мо-

чески расположенных диэлектрических цилиндров

нопольные, дипольные и т.д.

конечной высоты, электромагнитное поле имеет все

ненулевые компоненты. Собственные моды класси-

фицируются как ТЕ-подобные и ТМ-подобные [25],

которые при увеличении толщины пластины (вы-

соты цилиндров) переходят в обычные двумерные

ТЕ- и ТМ-моды. Использование двумерной моде-

ли для расчета ФК-мембраны является оправдан-

ным приближением, если толщина достаточно вели-

ка, по крайней мере, превышает период в несколь-

ко раз. Ситуация еще более усложняется, если са-

ма мембрана имеет конечные размеры в плоскости.

В этом случае расчет электромагнитного поля воз-

можен только с использованием прямых численных

алгоритмов, например, метода конечных элементов,

Рис. 2. Зонная структура для ТМ-поляризованного излу-

либо очень изощренных полуаналитических подхо-

чения (электрическое поле направлено вдоль оси стерж-

дов [48]. Ситуация, когда в системе присутствует

ней) для квадратной решетки цилиндрических диэлектри-

нелинейность, делает проблему практически нераз-

ческих стержней (радиус стрежня r/a = 0.18 и ε = 11.56,

решимой. Поэтому разумные упрощения необходи-

постоянная решетки a) в воздухе

мы. В данной работе мы считаем цилиндры доста-

точно протяженными, чтобы считать проблему дву-

мерной, кроме того, то обстоятельство, что диэлек-

триками являются именно цилиндры, дает возмож-

ность использовать для расчета мощный метод Т-

матрицы [49, 50]. Нам удалось преодолеть очевид-

ную трудность включения нелинейности в метод Т-

матрицы хотя бы для случая монопольной резонанс-

ной моды с достаточно большим Q-фактором. Бла-

годаря этому подходу, описанному в Приложении,

нам удалось свести задачу к решению системы нели-

нейных алгебраических уравнений, что существен-

но облегчило численные расчеты. Нами исследова-

лись явления оптической бистабильности и наруше-

ния симметрии при рассеянии плоской волны при

Рис. 3. Монопольная мода частоты k0a = 0.3588, локали-

различных углах падения. Оба явления наблюдают-

зованная на центральном дефектном цилиндре с диэлек-

ся при низкой мощности падающей волны и сильно

трической проницаемостью ε0 = 3, для остальных цилин-

зависят от угла падения.

дров ФК ε =11.56

2. ФОТОННЫЙ КРИСТАЛЛ С

Резонансная полость — микрорезонатор — появ-

КЕРРОВСКИМ ДЕФЕКТОМ

ляется, если один из цилиндров заменить на дефект-

ный цилиндр, у которого либо другой радиус, либо

Фотонный кристалл, который мы исследуем,

другая диэлектрическая проницаемость. Пример ло-

представляет собой 2d-периодическую структуру,

кализованной моды в микрорезонаторе показан на

состоящую из бесконечных вдоль оси z диэлектриче-

рис. 3. В нашем случае мы будем изменять толь-

ских цилиндров (рис. 1), центры которых образуют

ко диэлектрическую проницаемость дефектного ци-

квадратную решетку. Хорошо известно [25] (рис. 2),

линдра, оставляя радиус постоянным. В этом случае

что данная структура обладает полной запрещенной

возможна только монопольная локализованная мо-

щелью в спектре в случае ТМ-поляризованного из-

да, частота которой зависит от ε₀ (рис. 4) и которая

648

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Оптическая бистабильность и нарушение симметрии .. .

Рис.

4. Частота локализованной моды в зависимости

от диэлектрической проницаемости ε0 (радиус стержней

r/a = 0.18 и ε = 11.56)

Рис. 5. Добротность резонансной моды в микрорезонато-

ре как функция размера ФК. Диэлектрическая проницае-

мость цилиндров такая же, как на рис. 3

расположена строго в запрещенной щели. В случае

бесконечного ФК данная мода является незатухаю-

щей и обладает бесконечной добротностью. Однако

Переходя к безразмерным величинам, перепишем

если ФК имеет конечные размеры (несколько слоев

уравнение (1) как

вдоль направлений x и y), добротность резонансной

моды становится конечной благодаря утечке элек-

∇²ψ(x, y) + k²⁰(ε₀ + λ|ψ(x, y)|²)ψ(x, y) = 0,

(2)

тромагнитного излучения в радиационный конти-

нуум окружающего пустого пространства. Доброт-

k₀ =

a, r ⇒

ность резонансной моды тем выше, чем больше ко-

(3)

2n₀n₂c

E_z

личество слоев, отделяющих резонансную полость

λ=

|E₀|², ψ =

8π

|E₀|

от окружающего пространства (рис. 5). Как показы-

вает рисунок, добротность экспоненциально быстро

где E₀ — напряженность поля внешней плоской вол-

возрастает и при размере ФК 7 × 7 цилиндров до-

ны E = E₀eik·r, падающей на ФК-структуру, а a

стигает Q ∼ 10⁶.

— период решетки ФК. Постоянную Керра n₂ в

Если дефектный цилиндр изготовлен из матери-

наших численных экспериментах выбираем равной

ала, у которого проницаемость ε₀ является констан-

n₂ = 2 · 10-12 см²/Вт, а ε₀ = 3.

той (т.е. не зависит от амплитуды поля), то при рас-

Уравнение (2) решалось численно, с использова-

сеянии внешней плоской волны можно наблюдать

нием Т-модального метода, описанного в Приложе-

резонансное рассеяние света при частоте, близкой

нии.

к частоте локализованной моды. При строгом ре-

зонансе амплитуда электрического поля в полости

резко повышается пропорционально

√Q. Резонанс-

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ

ное усиление электрического поля, как известно, яв-

ляется условием усиления нелинейных эффектов и

На рис. 6 представлены результаты численно-

наблюдения ОБ. В данной работе мы предполагаем,

го расчета возбуждения одной резонансной полости

что дефектный цилиндр изготовлен из материала

(рис. 3) в случае падения плоской волны под уг-

с керровской восприимчивостью, тогда показатель

лом ϕ = 0 в зависимости от частоты внешнего поля

преломления

k₀ = ω/c и нелинейной константы λ. Амплитуда ψ —

это амплитуда возбуждения на нелинейном дефект-

n=n₀ +n₂I, I =

|E|².

ном цилиндре. Кривые демонстрируют переход в би-

8π

стабильное состояние при изменении λ. Как и ожи-

Уравнение для E_z -компоненты электрического поля

далось, переход происходит раньше для резонансной

в случае ТМ-моды имеет вид

полости с большим Q-фактором. На рис. 7 показа-

∇²E_z(x, y) + εk²⁰E_z(x, y) = 0.

(1)

ны зависимости |ψ| при резонансном возбуждении

649

Г. В. Шадрина, Е. Н. Булгаков

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Рис. 7. Зависимость относительной амплитуды поля |ψ|

на дефектном цилиндре от константы нелинейности λ для

кристалла размером 5 × 5 цилиндров при k0a = 0.35587.

Вставка: тот же график пересчитан в размерных ве-

личинах для нелинейности на центральном цилиндре

n2 = 2 · 10-12 см²/Вт

сти внешней волны (см. вставку на рис. 7), посколь-

ку n₂ — фиксированная величина.

Однако в нашем случае появляется еще один па-

раметр, который позволяет управлять переходом в

бистабильный режим — это угол ϕ, угол падения

плоской волны на ФК. Действительно, как показы-

вает рис. 8, бистабильное решение сильно зависит

от угла падения. И более того, от угла падения ϕ

зависит сам порог перехода в бистабильный режим

(рис. 9), причем эта зависимость носит крайне выра-

женный характер — порог может изменяться в три

раза. На рис. 10 приводится решение при фиксиро-

ванной мощности внешней волны как функция уг-

ла падения. Интересным наблюдением является тот

Рис. 6. Резонансное возбуждение электромагнитного по-

факт, что бистабильность при разной мощности вол-

ля на дефектном цилиндре |ψ| для ФК разных размеров

ны (фиолетовая и красная линии) существует при

в зависимости от константы нелинейности λ. а) Для ФК

разных углах падения, причем области существова-

3 × 3 цилиндра существует пороговое значение константы

ния ОБ не перекрываются.

нелинейности λ, при котором система переходит в режим

Перейдем к рассмотрению более сложного слу-

бистабильности; б) для кристалла 5 × 5 цилиндров это со-

чая — две близко расположенные одинаковые резо-

бытие наступает на два порядка раньше. в) Увеличение

нансные полости. Прежде всего сфокусируемся на

размеров ФК до 7 × 7 цилиндров приводит к еще больше-

явлении нарушения симметрии решения для элек-

му уменьшению порогового значения λ

трического поля при симметричном падении плос-

кой волны (ϕ = 0). На рис. 11а представлен случай,

когда между дефектными цилиндрами находится

полости при фиксированной частоте, но с изменя-

два слоя обычных цилиндров. Черной линией по-

ющейся нелинейной константой λ. Надо отметить,

казано решение с ненарушенной симметрией (резо-

что зависимости на рис. 6,7 являются довольно ти-

нансные полости возбуждаются одинаково), линия

пичными для керровской неустойчивости, и биста-

с двумя цветами (синий и фиолетовый) показыва-

бильность наступает при изменении потока мощно-

ет решение с нарушенной симметрией (полости воз-

650

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Оптическая бистабильность и нарушение симметрии .. .

ются резонансные полости в случае разных реше-

ний. На рис. 13 представлены пороги для появления

Рис. 8. (В цвете онлайн) Зависимости относительной ам-

плитуды поля |ψ| на дефектном цилиндре от константы

Рис. 10. (В цвете онлайн) Зависимости относительной ам-

нелинейности λ при разных углах падения внешней волны

плитуды поля |ψ| на дефектном цилиндре от угла падения

с частотой k0a = 0.35587 для кристалла 5 × 5 цилиндров

внешней волны φ на кристалл 5 × 5 цилиндров при раз-

ных константах нелинейности λ на частоте k0a = 0.35587.

Справа от λ в легенде показана мощность падающей вол-

ны, которая соответствует конкретному значению λ при

n2 = 2 · 10-12 см²/Вт

обычной ОБ (без нарушения симметрии) и ЯНС. Хо-

тя величины могут отличаться даже в три раза, в

целом порядок величин один и тот же, что позволя-

ет нам сделать вывод, что оба явления обычно сосу-

ществуют примерно при одних и тех же значениях

амплитуды внешнего поля. Этот момент не являет-

ся столь очевидным, хотя и был продемонстрирован

ранее в работе [41], когда источником возбуждения

резонансных полостей являлись волноводные моды

Рис. 9. Критическое (пороговое для наступления ОБ) зна-

ФК.

чение константы нелинейности λ (левая ось) и критиче-

Явление нарушения симметрии и оптическая би-

ская мощность внешней волны Sin (правая ось) в зави-

стабильность являются ярким примером управле-

симости от угла падения на кристалл размера 5 × 5 при

ния света с помощью света на микроных масшта-

частоте k0a = 0.35759

бах. Оба явления могут наблюдаться при умерен-

ных значениях амплитуды внешнего поля, легко до-

стигаемых на практике, если Q-фактор резонансной

полости Q ≳ 10⁴ - 10⁵.

буждаются неодинаково), причем разными цветами

Финансирование. Работа выполнена при под-

показаны разные решения. Стоит отметить, что во

держке Российского научного фонда (грант № 22-

всех рассмотренных нами случаях ЯНС наступает,

12-00070).

как правило, после появления ОБ и очень сильно из-

меняется при изменении мощности внешней волны

(серповидная кривая очень быстро увеличивается в

ПРИЛОЖЕНИЕ

размере). На рис. 11б построены решения для ам-

Опишем решение задачи о рассеянии плоской

плитуд |ψ| возбуждения полостей, когда число изо-

лирующих слоев равно 3. Как видно, характер реше-

волны системой диэлектрических цилиндров с про-

ницаемостью ε, используя Т-модальный метод [50].

ния резко поменялся — теперь ЯНС-решения строго

изолированы от решений не нарушающих симмет-

рию. На рис. 12 детально показано, как возбужда-

651

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Оптическая бистабильность и нарушение симметрии .. .

(см. рис. 14):

∑

√

E_z =

c_jmJ_m(

εk₀r_j)eimϕj , r_j < R_j,

m=-∞

∑

E_z =

a_jmJ_m(k₀r_j)eimϕj +

(4)

m=-∞

∑

b_jmH(1)m(k₀r_j)eimϕj , r_j > R_j,

m=-∞

где k₀ = ω/c. Коэффициенты a_jm — амплитуды гар-

моник падающего на j-й цилиндр поля, а b_jm — ам-

плитуды рассеянного поля. Амплитуды a_jm пред-

ставим в виде

a_j,m = a^incj,m + a^rodsj,m,

(5)

Рис. 13. (В цвете онлайн) Пороги наступления оптической

бистабильности и явления нарушения симметрии для кри-

где

сталлов разных размеров

a^incj,m = (-1)^meik0R^jsin(θinc-θj)-imθinc

(6)

— амплитуды падающей на систему плоской вол-

ны, R_j , θ_j — положение j-го цилиндра относитель-

но глобальной системы координат. Амплитуды a^rodsj,m

представляют поле, рассеянное от остальных цилин-

дров l = j. Используя формулу Графа, можно свя-

зать амплитуды a^rodsj,m и амплитуды рассеянных волн

b_l,m(l = j):

∑

(1)

a^rodsj,m =

b_l,qei(m-q)θj,l Hm-q

(kr_j,l) .

(7)

q=-∞ l=j

Используя (5)-(7), получаем

∑

̂j,lbl,

a_j = Q_j +

(8)

l=j

где

a_j,m = (a_j)_m,

(9)

b_j,m = (b_j)_m,

(10)

(Q_j )_m = (-1)^meik0R^jsin(θinc -θj )-imθinc ,

(11)

T_j,l)_m,q = ei(q-m)θj,l H(1)m-q(k₀r_j,l).

(12)

Чтобы замкнуть систему (8), используем связь

амплитуд (b_j ) и (a_j ) через диагональную t-матрицу:

Рис. 14. Глобальная xy и локальные xj yj , xlyl системы

координат

b_j = t_ja_j,

(13)

tm,m = -

⁽√εk₀J_m(k₀R)J′m(k₀√εR) -

)

- k₀J_m(k₀

√εR)J^′m(k₀R)

⁽√

При изложении материала следуем работе [49].

× εk₀H(1)m(k₀R)J^′m(k₀

√εR) -

Электрическое поле в Т-методе разлагается по

)-1

√

цилиндрическим гармоникам как внутри, так и

- k₀J_m(k₀

εR)H(1)′m(k₀R)

(14)

вне j-го цилиндра в локальной системе координат

653

Г. В. Шадрина, Е. Н. Булгаков

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Приходим к системе линейных уравнений для ам-

Для этой цели сформулируем вспомогательную

плитуд b_j :

краевую задачу:

∑

(

)

b_j -

T_j,lb_l = t_jQ_j.

(15)

ψ(r)^′′ +

ψ(r)^′ + k²⁰

ε₀ + λ|ψ(r)|²

ψ(r) = 0,

(20)

l=j

ψ(r = 0) < ∞, ψ(r = R) = A.

Если цилиндры обладают керровской нелиней-

В дальнейшем считаем ψ ≡ ψ₀. Задача (20) может

ной поправкой к диэлектрической проницаемости

быть решена через функцию Грина g(r):

ε = ε₀ + λ|E_z(r)|², то формула (15) по-прежнему

(

)

пригодна при условии, что нам известна связь

rg^′′ (r) + g^′ + k²⁰r -m2

g(r) = -δ(r - ρ),

(21)

между амплитудами b(nonlin)j и a(nonlin)j через

нелинейную t-матрицу:

g(r = 0) < ∞,

g(r = R) = 0.

b(nonlin)j = t(nonlin)ja(nonlin)j .

(16)

Уравнение (21) имеет явное решение:

Существование такой связи в виде формулы (16) от-

πJ_m(k₀r_<)⁽

нюдь не очевидно. Далее мы выведем явное выраже-

g(r, ρ) =

J_m(k₀r_<)Y_m(k₀R)-

ние для t(nonlin)j при двух предположениях: 1) нели-

2J_m(k₀R)

)

нейные цилиндры расположены только в резонанс-

- J_m(k₀R)Y_m(k₀r_>) ,

(22)

ных полостях, 2) при резонансном рассеянии света,

когда нелинейность начинает играть сколько-нибудь

где r_> = max(r, ρ), r_< = min(r, ρ). Тогда уравнение

заметную роль, внутри каждой из полостей возбуж-

(20) имеет формальное решение

дается монопольная мода, т.е. на нелинейном цилин-

∫

[

]

дре доминирует s-рассеяние.

ψ(r) = g(r, ρ)

k²⁰ε₀ρA + λk²⁰ρ|ψ|²ψ

dρ,

(23)

Уравнение для E_z-компоненты поля на нелиней-

ном цилиндре в цилиндрической системе координат

ψ(r) = ψ - A.

имеет вид

[

Легко проверить, что

∂²

1 ∂

∂²

∫

∂r²

r∂r

r² ∂ϕ²

J₀(kr)

]

A g(r, ρ)k²⁰ρdρ = A

- A,

(24)

(

)

J₀(kR)

+k²⁰

ε₀ + λ|E_z(r, ϕ)|²

E_z(r, ϕ) = 0 .

(17)

√ε₀k₀,

Волновую функцию ищем по-прежнему в виде ряда:

Так, при λ = 0 имеем

∑

)

E_z(r, ϕ) =

ψ_m(r)e^imϕ .

(18)

( J₀(kr)

ψ(r) = A

-1

(25)

m∈Z

J₀(kR)

Уравнение (17) после подстановки (18) приближен-

Поэтому интегральное уравнение (23) можно запи-

но представляется в виде системы несвязанных

сать в виде

уравнений

∫

(

)

ψ(r) = ψ(r)_g + λk

ρ|ψ(ρ)|²ψ(ρ)g(r, ρ)dρ,

m²

ε₀ -

ψ_m = 0, m = 0, (19a)

ψ^′′m +

ψ^′m + k⁰

(26)

r²

J₀(kr)

(

)

ψ(r)_g = A

ψ^′′0 +

ψ^′0 + k⁰

ε₀ + λ|ψ₀|²

ψ₀ = 0, m = 0. (19b)

J₀(kR)

В приближении λ → 0 уравнение (26) приближенно

Нелинейный член нужно учитывать только в

можно решать методом итерации. В первом борнов-

уравнении на ψ₀, в силу того что |ψ_m| ≪ |ψ₀| при

ском приближении находим

резонансном s-рассеянии. В отсутствие же резонан-

са нелинейностью можно пренебречь. Таким обра-

∫

зом, задача сводится к решению уравнения (19 b).

ψ(r) ≈ ψ(r)_g + λk²

ρ|ψ_g(ρ)|²ψ_g(ρ)g(r, ρ)dρ =

Это можно сделать приближенно, по теории возму-

щений, учитывая то обстоятельство, что даже при

= ψ(r)_g + ψ_corr(r).

(27)

резонансном рассеянии λ|ψ₀|² ≪ ε₀.

654

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Оптическая бистабильность и нарушение симметрии .. .

Поправочный член ψ_corr(r) может быть приведен

Чтобы исключить параметр A из выражения

к виду

(31), можно взять его значение в линейной задаче

(λ = 0):

∫R

[

]

J₀(k₀R)

ψ_corr(r) = λk²⁰ ρ|ψ_g|²ψ_gg(r, ρ)dρ =

A≈b₀

+ H⁽¹⁾⁰(k₀R) + O(Λ).

(32)

Тогда

[

(

)

∫

πγ

Y₀(kr)

t₀a₀ = b₀

1 + Λ|b₀|²

(33)

J₀(kr)

xJ⁴⁰(x)dx-



2

(

)

2k²

J₀(kR)



0(k0

J0(k0R)

^J

+ H⁽¹⁾⁰(k₀R)

+ H⁽¹⁾⁰(k₀R)

]

∫R

Λ=

(1)^′

k₀H₀

(k₀R) - kJ0′(kR)J

H⁽¹⁾⁰(k₀R)

- xY₀(x)J³⁰(x)dx -

(kR)

Итак, формула (33) задает необходимую связь

∫kr

между амплитудами a₀ и b₀. В результате в нели-

- λk²⁰Y₀(kr) xJ⁴⁰(x)dx+

нейном случае формула (15) приобретает вид

(

)

∑

∫kr

1+Λ

|bk0|²Pk bj -

T_jlb_l = t_jQ_j,

+ λk²⁰J₀(kr) xY₀(x)J³⁰(x)dx,

(28)

k∈N_k

l=j

(34)

(

)

P_kb_jm = δ_jkδ0mbj0,

где N_k — множество нелинейных цилиндров. Урав-

λk²⁰|A|A

γ =

нение (34) — замкнутая система уравнений для ам-

J³⁰(kR)

плитуд b_j . В компьютерных вычислениях азиму-

Заметим, что ψ_corr(r = R) = 0. Для сшивки ре-

тальное число m пробегает конечный ряд значений

шения внутри цилиндра (27) с внешним решением

m ∈ [-M,-M + 1,...,+M].

необходимо знание ψ^′corr(r = R). Оно находится из

уравнения (28):

ЛИТЕРАТУРА

∫

|A|²A

xJ⁴⁰(x)dx.

(29)

1. D.N. Neshev, A.A Sukhorukov, W. Krolikowski,

ψ^′corr(r = R) = -

ε₀ RJ⁴⁰(kR)

Y.S. Kivshar, and S. Lan, J. Nonlin. Opt. Phys.

Mater. 16, 1 (2007).

Следовательно, приближенное решение внутри ци-

2. J. Bravo-Abad, A. Rodriguez, P. Bermel,

линдра имеет вид

S.G. Johnson, J.D. Joannopoulos, and M. Soljačič,

Opt. Express 15, 16161 (2007).

ψ(r) = ψ_g(r) + ψ_corr(r),

3. A.R. McGurn and G. Birkok, Phys. Rev. E 69,

ψ(r = R) = A,

235105 (2004).

′

ψ^′ (r = R) = kJ0(kR)A - κ|A|2A,

4. A.E. Miroshnichenko, S.F. Mingaleev, S. Flach, and

(30)

J₀(kR)

Y.S. Kivshar, Phys. Rev. E 71, 036626 (2005).

∫

5. K. Frizyuk, J. Opt. Soc. Amer. B 8, F32 (2019).

κ=

xJ⁴⁰(x)dx.

ε₀ RJ⁴⁰

(kR)

6. A.R. McGurn, Phys. Rev. B 77, 115105 (2008).

7. J.

Bravo-Abad, S. Fan, S.G. Johnson,

Теперь можно выполнить сшивку с внешним реше-

J.D. Joannopoulos, and M. Soljačič, J. Light.

нием

Technol. 25, 2539 (2007).

ψ(r) = a₀J₀(k₀r) + b₀H⁽¹⁾⁰(k₀r),

8. M. Soljačič, E. Lidorikis, J.D. Joannopoulos, and

получаем

L.V. Hau, Appl. Phys. Lett. 86, 171101 (2005).

κ|A|²A

9. D. Vujic and S. John, Phys. Rev. A 72, 013807 (2005).

b₀ = t₀a₀ -

′

(31)

10. E. Bulgakov, K. Pichugin, and A. Sadreev, J. Phys.

(

H⁽¹⁾⁰(k₀R)

kR)

Condens. Matter 25, 395304 (2013).

где t₀ — элемент t-матрицы при линейном рассеянии

11. X-S. Lin, W-O. Wu, H. Zhou, K-F. Zhou, and S. Lan,

(14).

Opt. Express 14, 2429 (2006).

655

Г. В. Шадрина, Е. Н. Булгаков

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

12.

S.F. Mingaleev and Y.S. Kivshar, J. Opt. Soc. Amer.

32.

L. Yuan and Y.Y. Lu, Opt. Express 23, 20636 (2015).

19, 2241 (2002).

33.

Q. Yang, Y. Liu, X. Gan, C. Fang, G. Han, and

13.

S.F. Mingaleev, A.E. Miroshnichenko, Y.S. Kivshar,

Y. Hao, IEEE Photon. J. 12, 4601209 (2020).

and K. Busch, Phys. Rev. E 74, 046603 (2006).

34.

E.N. Bulgakov and D.N. Maksimov, Sci. Rep. 9, 7153

14.

L. Yuan and Y.Y. Lu, SIAM J. Appl. Math. 80, 864

(2019).

(2020).

35.

D.N. Maksimov, A.A. Bogdanov, and E.N. Bulgakov,

15.

M. Bahl, N.C. Panoiu, and I.V. Iorsh, Jr, Phys. Rev.

Phys. Rev. A 102, 033511 (2020).

E 67, 056604 (2003).

36.

E.N. Bulgakov and A.F. Sadreev, Phys. Rev. A 99,

16.

A.Rodriguez, M. Soljačič, J.D. Joannopoulos, and

033851 (2019).

S.G. Johnson, Opt. Express 15, 7303 (2007).

37.

T. Peschel, U. Peschel, and F. Lederer, Phys. Rev. A

17.

J. Wang, M. Clementi, M. Minkov, A. Barone, J.-

50, 5153 (1994).

F. Carlin, N. Grandjean, D. Gerace, S. Fan, M. Galli,

and R. Houdré, Optica 7, 1126 (2020).

38.

L. Yuan, 2015 IEEE Int. Conf. on Computational

Electromagnetics (2015), p. 212.

18.

H.M. Gibbs, Optical Bistability: Controlling Light

with Light, Academic Press (1985).

39.

L. Yuan and Y.Y. Lu, Opt. Express 22, 30128 (2014).

19.

F. Zhou, Y. Liu, Z-Y. Li, and Y. Xia, Opt. Express

40.

B. Maes, M. Soljačič, J.D. Joannopoulos,

18, 13337 (2010).

P. Bienstman, R. Baets, S.-P. Gorza, and

M. Haelterman, Opt. Express 14, 10678 (2006).

20.

Y. Liu, F. Qin, Y. Xia, F. Zhou, and Z.-Y. Lia, J.

Appl. Phys. 106, 083102 (2009).

41.

E. Bulgakov, A. Sadreev, and K. Pichugin, in:

21.

E.N. Bulgakov and A.F. Sadreev, J. Opt. Soc. Amer.

Progress in Optical Science and Photonics (2013), p.

B 29, 2924 (2012).

89.

22.

M.M. Mazumder, S.C. Hill, D.Q. Chowdhury, and

42.

E.N. Bulgakov and A.F. Sadreev, Phys. Rev. E 86,

R.K. Chang, J. Opt. Soc. Amer. B 12, 297 (1995).

075125 (2012).

23.

M.F. Yanik, S. Fan, and M. Soljačič, Appl. Phys. Lett.

43.

A. Mirzaei, A.E. Miroshnichenko, N.A. Zharova, and

83, 2739 (2003).

I.V. Shadrivov, J. Opt. Soc. Amer. B 31, 1595 (2014).

24.

E.N. Bulgakov, K.N. Pichugin, and A.F. Sadreev,

44.

E. Bulgakov and A. Sadreev, J. Phys. Condens.

Opt. Express 23, 20636 (2015).

Matter 23, 315303 (2011).

25.

J.D. Joannopoulos, S.G. Johnson, J.N. Winn, and

45.

L. Yuan and Y.Y. Lu, Opt. Express 21, 11952 (2013).

R.D. Meade, Photonic Crystals: Molding Flow of

Light, Princeton Univ. press (2008).

46.

E. Centeno and D. Felbacq, Phys. Rev. B 62, 7683

(2000).

26.

K. Koshelev, G. Favraud, A. Bogdanov, Y. Kivshar,

and A. Fratalocchi, Nanophotonics 8, 725 (2019).

47.

T. Christopoulos, O. Tsilipakos, and E.E. Kriezis,

Opt. Lett. 45, 6442 (2020).

27.

D. Dolinina and A. Yulin, Opt. Lett. 45, 3781 (2020).

48.

Y. Liang, C. Peng, K. Sakai, S. Iwahashi, and

28.

S.D. Krasikov, A.A. Bogdanov, and I.V. Iorsh, Phys.

S. Noda, Opt. Express 20, 15945 (2012).

Rev. B 97, 224309 (2018).

49.

K. Yasumoto, Electromagnetic Theory and

29.

A. Chukhrov, S. Krasikov, A. Yulin, and

Applications for Photonic Crystals, Taylor and

A.A. Bogdanov, Phys. Rev. B 103, 214312 (2021).

Francis Group (2006).

30.

L. Yuan and Y.Y. Lu, Phys. Rev. A 94, 013852

50.

M.I. Mishchenko, L.D. Travis, and A.A. Lacis,

(2016).

Scattering, Absorption, and Emission of Light by

31.

L. Yuan and Y.Y. Lu, Phys. Rev. A 95, 023834

Small Particles (Revised electronic edition), Goddard

(2017).

Institute for Space Studies (2004).

656