ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 5 (11), стр. 615-622

ТЕРМОИНДУЦИРОВАННЫЕ ШТАРКОВСКИЕ СДВИГИ

ВЫСОКОВОЗБУЖДЕННЫХ СОСТОЯНИЙ АТОМА ВОДОРОДА

Т. А. Залялютдиновa,b*, А. А. Аникин^a, Д. А. Соловьев^a

^a Санкт-Петербургский государственный университет

198504, Санкт-Петербург, Россия

^b Петербургский институт ядерной физики им. Б. П. Константинова

НИЦ «Курчатовский институт»

188300, Гатчина, Ленинградская область, Россия

Поступила в редакцию 26 апреля 2022 г.,

после переработки 3 июня 2022 г.

Принята к публикации 3 июня 2022 г.

Исследуются термоиндуцированные штарковские сдвиги и уширение линий высоковозбужденных уров-

ней атомарного водорода. Проведены численные расчеты для ns/nd-состояний (n — главное квантовое

число) с целью использования результатов в текущих и планируемых прецизионных измерениях частот

переходов в атоме водорода. Результаты приведены для криогенной температуры и широкого диапазона

значений, охватывающих комнатную температуру. Установлено, что для состояний с главным кванто-

вым числом n ≥ 8 аккуратные численные расчеты теплового эффекта Штарка с учетом лэмбовского

сдвига и тонкой структуры выявляют значительное отклонение от значений, полученных ранее в рам-

ках приближенных методов. Представленные результаты могут быть использованы для анализа данных

современных прецизионных экспериментов и уточнения фундаментальных констант, в частности посто-

янной Ридберга и зарядового радиуса протона.

DOI: 10.31857/S0044451022110013

ментах на нейтральных атомах в оптических решет-

EDN: KXYGSW

ках необходимо потребовать стабилизации внешних

условий и, в частности, контроля тепловых эффек-

тов. Таким образом, детальное теоретическое опи-

1. ВВЕДЕНИЕ

сание количественных характеристик термоиндуци-

рованных сдвигов и уширения спектральных линий

Высоковозбужденные состояния в простых атом-

остается актуальным и в настоящее время [4-11].

ных системах представляют фундаментальный ин-

терес для прецизионных тестов квантовой электро-

динамики, поиска ограничений на “новую” физи-

В рамках квантовой механики (КМ) сдвиги энер-

ку, создания стандартов частоты и астрофизиче-

гии и вероятности излучения, индуцированные рав-

ских исследований [1]. В то же время они имеют и

новесным тепловым излучением (излучением абсо-

перспективы прикладного применения при создании

лютно черного тела), возникают во втором поряд-

элементов логики квантовых компьютеров, в част-

ке теории возмущений. Недавно в работе [12] было

ности квантовых вентилей [2, 3]. Высоковозбужден-

показано, что в рамках релятивистской квантовой

электродинамики (КЭД) при конечной температуре

ные атомы, в свою очередь, чрезвычайно чувстви-

тельны к внешним полям, в том числе и к полю

квантовомеханические результаты возникают из ра-

равновесного теплового излучения, что делает ис-

диационной поправки на собственную энергию свя-

следование его влияния на уровни энергий и вре-

занного электрона в нерелятивистском пределе пу-

мена жизни состояний чрезвычайно важным. Пре-

тем замены фотонного пропагатора на соответству-

следуя цель повышения точности определения стан-

ющую тепловую функцию Грина. В частности, теп-

дартов частоты и времени, в прецизионных экспери-

ловой штарковский сдвиг представлен действитель-

ной частью термальной собственно-энергетической

^* E-mail: t.zalialiutdinov@spbu.com

поправки, в то время как мнимая часть соответству-

615

Т. А. Залялютдинов, А. А. Аникин, Д. А. Соловьев

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

ет уширению линии за счет переходов индуциро-

собственно-энергетическая (СЭ) поправка к свя-

ванных равновесным тепловым излучением. Следу-

занному состоянию атомного электрона. Согласно

ет отметить, что КЭД-подход имеет очевидное пре-

этому подходу штарковский сдвиг возникает в

имущество по сравнению с КМ-теорией. Если дей-

качестве вещественной части СЭ-поправки, а

ствовать в полной аналогии с “обычной” квантовой

соответствующая мнимая часть представляет ско-

электродинамикой для нулевых температур, стано-

рость депопуляции, индуцированную чернотельным

вится возможным изучать тепловые радиационные

излучением (ЧИ), для данного атомного состояния.

эффекты, относящиеся к различным диаграммам

В КЭД-теории радиационная однопетлевая СЭ-

Фейнмана. Так, в работах [13-17] в рамках метода

поправка для атомного электрона дается графиком

контура линии и адибатической S-матрицы [18-22]

Фейнмана на рис. 1.

были рассчитаны однопетлевые термальные поправ-

ки к вероятностям переходов, сечениям рекомбина-

ции, сдвигам энергий в одно- и двухэлектронных си-

стемах.

В данной работе представлены аккуратные тео-

ретические расчеты теплового штарковского сдвига

и уширения линий для ns/nd-состояний атомарного

Рис. 1. Однопетлевая тепловая собственно-энергетическая

водорода для криогенной температуры и диапазо-

поправка для энергии атомного электрона в состоянии a.

Двойная сплошная линия обозначает электронные состо-

на температур, охватывающего лабораторные (ком-

яния и электронный пропагатор во внешнем потенциале

натные) условия. Такой выбор обусловлен следую-

ядра (картина Фарри). Волнистая линия обозначает фо-

щими факторами. Во-первых, с целью уменьшения

тон “тепловой бани”

влияния внешних условий на измерения использу-

ются криогенные температуры. Во-вторых, посколь-

В формализме S-матрицы можно записать [24]

ку излучение абсолютно черного тела является мик-

∫

роволновым и, как следствие, плохо экранируемым,

S_fi

=e²

dx⁴¹dx⁴² ×

уменьшение влияния комнатных температур требу-

ет использования специального оборудования [23].

(1)

× ψ_f(x₁)γμ1S(x₁,x₂)γμ2ψ_i(x₂)Dμ1μ2(x1,x2),

Более того, весьма затруднительно с эксперимен-

где интегрирование выполняется по пространствен-

тальной точки зрения охладить до криогенных тем-

но-временным четырехвекторам x₁, x₂, x ≡ (t, r), r

ператур область, где проводятся измерения. Нако-

нец, теоретические расчеты для различных темпе-

— пространственный вектор и t — время. Матрицы

Дирака обозначаются как γμi , где индекс μ_i при-

ратур позволяют выявить характерное поведение

исследуемых величин, допускающее последующую

нимает значения μ_i = (0, 1, 2, 3), ψ₍x) = ψ(r)e^-iEt

— дираковская волновая функция электрона

численную экстраполяцию на требуемые температу-

ры.

— энергия соответствующего уровня), ψ

—

дираковски-сопряженная волновая функция. Ин-

Статья имеет следующую структуру. В разд. 2

дексы f и i обозначают конечные и начальные

в рамках релятивистской квантовой электродина-

мики при конечных температурах приводится крат-

состояния, а S(x₁, x₂) и Dμ1μ2 (x1, x2) — соответ-

ственно электронный и фотонный пропагаторы.

кий вывод однопетлевых тепловых поправок к свя-

Стандартный (при нулевой температуре) элек-

занным состояниям в одноэлектронных системах.

тронный пропагатор, определяемый как вакуумное

Численные результаты термоиндуцированных сдви-

среднее от Т-хронологического произведения опе-

гов и уширений линий обсуждаются в разд. 3. В

раторов электрон-позитронного поля, может быть

тексте используются релятивистские единицы (р.е.)

представлен в виде разложения [24]:

(ℏ = c = m = 1, где m — масса электрона).



[

]

S(x₁x₂) = -i〈0T

ψ(x₁)ψ(x₂)

^0〉 =

2. КЭД-ОПИСАНИЕ ТЕПЛОВЫХ СДВИГОВ

∫

∞

∑

ψ_n(r₁)ψ(r₂)

И УШИРЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЛИНИИ

dωe-iω(t1-t2)

(2)

2π

ω - E_n(1 - i0)

ДЛЯ АТОМА ВОДОРОДА

−∞

В работе [12] в рамках КЭД-теории была рас-

Суммирование в (2) ведется по всему дираковско-

смотрена температурно-зависимая однопетлевая

му спектру энергий. В фейнмановской калибров-

616

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Термоиндуцированные штарковские сдвиги. . .

Таблица 1. Тепловые штарковские сдвиги для ns-состояний (n = 2, 3, 4, 6, 8, 20) атома водорода в Гц для разных

температур с учетом лэмбовского сдвига и тонкой структуры в кельвинах. Вторая строка для значения температуры

T = 300 K соответствует значениям из работы [28]

Состояние

12s

20s

T = 77

-4.94 · 10-3

-3.80 · 10-2

-0.19

2.11

14.32

15.77

108.44

T = 290

-0.91

-7.67

-43.79

-262.68

338.72

1258.29

2004.9

T = 300

-1.04

-8.79

-50.80

-273.48

398.08

1520.74

2149.64

−1.077

-9.103

-51.19

-274.7

390.08

1533

T = 310

-1.19

-10.05

-58.68

-282.11

462.22

1651.15

2299.27

T = 320

-1.35

-11.43

-67.51

-288.38

530.58

1782.03

2453.78

T = 330

-1.53

-12.95

-77.36

-292.09

604.55

1918.2

2613.16

Таблица 2. Тепловые штарковские сдвиги для nd-состояний (n = 2, 3, 4, 6, 8, 20) атома водорода в Гц для разных

температур с учетом Лэмбовского сдвига и тонкой структуры в кельвинах. Вторая строка для значения температуры

T = 300 K соответствует значениям из работы [28]

Состояние

12d

20d

T = 77

-6.80 · 10-2

-0.28

2.66

16.54

18.02

110.75

T = 290

-14.25

-67.50

-310.06

434.02

1507.09

2032.34

T = 300

-16.35

-78.39

-318.86

505.91

1638.03

2178.59

−16.60

-79.36

-323.0

490.3

1620

T = 310

-18.69

90.64

-324.39

583.10

1774.35

2329.74

T = 320

-21.27

104.39

-326.38

665.62

1916.14

2485.78

T = 330

-24.11

119.74

-324.62

753.54

2063.33

2646.72

ке стандартный фотонный пропагатор (при нуле-

Здесь L^SE обозначает низший порядок вклада соб-

вой температуре) определяется как вакуумное сред-

ственной энергии электрона в лэмбовский сдвиг, а

нее от Т-хронологического произведения операто-

Γ_a определяет ширину уровня a. Другая радиацион-

ров электромагнитного поля и может быть пред-

ная поправка низшего порядка, также приводящая

ставлен в следующем виде [24]:

к сдвигу энергии, представляет собой поляризацию

вакуума. Однако она не дает вклада в ширину уров-

Dμ1μ2 (x1, x2) = -i〈0 |T [Aμ1 (x1)Aμ2 (x2)]| 0〉 =

ня Γ_a и не важна для наших целей.

∞

∫

(3)

dΩIμ1 μ2 (|Ω|, r12)e-iΩr12 ,

2π

−∞

В дальнейшем мы рассмотрим влияние ЧИ на

атом, когда связанные электроны подвержены воз-

gμ1μ2_eiΩr12_,

Iμ1μ2 (Ω, r12) =

(4)

r₁₂

действию

“тепловой бани” (окружающей среды)

при устойчевом тепловом равновесии. Теоретиче-

где r₁₂

= |r₁ - r₂| и gμ1μ2 — метрический тензор

ское описание эффектов удобно проводить в рам-

(в дальнейшем используется псевдоевклидова мет-

ках квантовой теории поля при конечных темпе-

рика).

ратурах. В соответствии с этой теорией (см., на-

Поправка к уровню энергии атомного электро-

пример, [26, 27]), вакуумное среднее бозе- и ферми-

на a, возникающая из выражения (1), может быть

операторов заменяется на усреднение по канониче-

представлена в виде вещественной и мнимой частей

скому ансамблю. В случае низких температур ока-

[24, 25]:

зывается достаточным рассмотреть только бозон-

ную часть (фермионная экспоненциально подавле-

ΔE_a = L^SE -

Γ_a.

(5)

на). Тогда фотонный пропагатор Dμ1μ2 может быть

617

Т. А. Залялютдинов, А. А. Аникин, Д. А. Соловьев

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

определен следующим образом:

второй соответствует тепловому полю фотонов. От-

метим, что второе слагаемое в (8) не имеет ультра-

iDμ1μ2 (x1, x2) = 〈T [Aμ1 (x1)Aμ2 (x2)]〉β =

фиолетовой расходимости, так как функция n_β (ω)

= Tr (ρ {T [Aμ1(x₁)Aμ2(x₂)]}) =

обеспечивает естественное обрезание при ω → ∞.

Подстановка выражения (8) в (1) и вычисление

= iD0μ

(x₁, x₂) + iD^βμ

(x₁, x₂),

(6)

1μ2

вещественной части ΔE_a приводят к обычной СЭ-

где ρ обозначает (в нулевом приближении) стати-

части лэмбовского сдвига и штарковского сдвига,

стический оператор для невзаимодействующих фо-

индуцированного ЧИ. Температурно-зависимая од-

тонов, электронов и позитронов. След, обозначен-

нопетлевая СЭ-поправка дается выражением [12]

ный как Tr, в выражении (6) пробегает все (много-

)

e² ∑(1-α1α2

частичные) фоковские состояния. Согласно теоре-

ΔE_a =

I^βna(r₁₂)

(9)

r₁₂

ме Вика, Т-хронологическое произведение операто-

anna

ров электромагнитного поля может быть представ-

где введено обозначение

лено в виде суммы свертки (вакуумное среднее Т-

произведения) и нормально упорядоченного произ-

∫

sin|ω|r₁₂

ведения 〈: . . . :〉 [24]:

I^βna(r₁₂) =

dωn_β(|ω|)

(10)

E_n(1 - i0) - E_a + ω

−∞

〈T [Aμ1 (x₁)Aμ2 (x₂)]〉_β =

и α₁₍₂₎ являются альфа-матрицами Дирака. Сумми-

= 〈0 |T [Aμ1 (x₁)Aμ2 (x₂)]| 0〉 +

рование по n по-прежнему включает весь дираков-

+ 〈: Aμ1 (x₁)Aμ2 (x₂) :〉_β .

(7)

ский спектр энергий. Для легких атомных систем,

таких как водород, удобно перейти к нерелятивит-

Таким образом, фотонный пропагатор при конеч-

ных температурах возникает как сумма части с ну-

скому пределу в выражении (9). Тогда соответству-

левой температурой D⁰

и зависящей от темпе-

ющий сдвиг энергии в низшем порядке по α (посто-

μ1μ2

ратуры части D^β

, включающей планковское рас-

янная тонкой структуры) равен

μ1μ2

пределение фотонов “тепловой бани” n_β (ω) [27], де-

∫

тальный вывод выражения (6) см. также в [13].

ΔE_a =

dωn_β(ω)ω³|〈a|r|n〉|² ×

В рамках КЭД при конечных температурах газ

3π

свободных электронов (без внешнего поля) взаимо-

[

]

действует с фотонным газом. Обычно он рассмат-

E_n(1 - i0) - E_a + ω

E_n(1 - i0) - E_a - ω

ривается как находящийся в тепловом равновесии

и определяется большим каноническим статистиче-

(11)

ским оператором, который модифицирует как элек-

Здесь суммирование проводится уже по состояниям

тронный, так и фотонный пропагаторы. Посколь-

дискретного и сплошного спектров решения уравне-

ку наша задача состоит в описании влияния ЧИ

ния Шредингера, четность которых противополож-

на атомные уровни, где электроны являются силь-

на четности состояния a (согласно правилам отбора

но связанными кулоновским полем ядра, мы сохра-

для дипольного матричного элемента 〈a|r|n〉).

няем стандартный электронный пропагатор Фейн-

Интегрирование по частоте ω может быть прове-

мана, а соответствующая термальная поправка воз-

дено по формуле Сохоцкого:

никает из тепловой части фотонного пропагатора.

Согласно [12], полная форма фотонного пропагато-

lim

= P.V.

∓ iπδ(x),

(12)

ра (включая тепловую часть) в координатном про-

ϵ→0 x ± iϵ

странстве может быть получена в виде

где обозначение P.V. подразумевает вычисление ин-

теграла в смысле главного значения. Тогда завися-

∫

g_μν

щая от температуры вещественная часть выраже-

D_μν(x₁, x₂) =

dωei|ω|r12-iω(t1-t2) -

2πir₁₂

ния (11) определяет тепловой сдвиг

-∞

∫

∞

g_μν

2e² ∑

dωn_β (|ω|)sin(|ω|r₁₂)e-iω(t1-t2),

(8)

ΔE^Starka =

P.V.

dωn_β(ω)ω³|〈a|r|n〉|² ×

πr₁₂

3π

−∞

[

]

где первый член дает фотонный пропагатор в фей-

(13)

E_n - E_a + ω

E_n - E_a - ω

нмановской калибровке при нулевой температуре, а

618

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Термоиндуцированные штарковские сдвиги. . .

Таблица 3. Уширение линии для ns-состояний (n = 2, 3, 4, 6, 8, 20) атома водорода в c-1 для разных температур в

кельвинах. Вторая строка для значения температуры T = 300 K соответствует значениям из работы [28]

Состояние

12s

20s

T = 77

3.59 · 10-6

2.11 · 10-6

1.85 · 10-6

8.04 · 10-2

88.15

2.15 · 10³

3.65 · 10³

T = 290

1.39 · 10-5

3.97 · 10-5

10.60

6.07 · 10³

2.33 · 10⁴

3.38 · 10⁴

2.29 · 10⁴

T = 300

1.44 · 10-5

8.20 · 10-5

15.95

7.03 · 10³

2.54 · 10⁴

3.56 · 10⁴

2.38 · 10⁴

1.42 · 10-5

7.97 · 10-5

16.02

7.04 · 10³

2.54 · 10⁴

3.59 · 10⁴

T = 310

1.49 · 10-5

1.74 · 10-4

23.37

8.08 · 10³

2.75 · 10⁴

3.76 · 10⁴

2.48 · 10⁴

T = 320

1.54 · 10-5

3.64 · 10-4

33.44

9.20 · 10³

2.98 · 10⁴

3.96 · 10⁴

2.58 · 10⁴

T = 330

1.59 · 10-5

7.42 · 10-4

46.82

1.04 · 10⁴

3.21 · 10⁴

4.15 · 10⁴

2.68 · 10⁴

Таблица 4. Уширение линии для nd-состояний (n = 2, 3, 4, 6, 8, 20) атома водорода в с-1 для разных температур в

кельвинах. Вторая строка для значения температуры T = 300 К соответствует значениям из работы [28]

Состояние

12d

20d

T = 77

1.34 · 10-5

3.29 · 10-5

0.11

1.07 · 10²

2.40 · 10³

3.82 · 10³

T = 290

8.85 · 10-4

17.88

8.29 · 10³

2.90 · 10⁴

3.83 · 10⁴

2.42 · 10⁴

T = 300

1.03 · 10-3

26.90

9.61 · 10³

3.19 · 10⁴

4.04 · 10⁴

2.52 · 10⁴

3.5 · 10-4

27.02

9.62 · 10³

3.16 · 10⁴

4.04 · 10⁴

T = 310

1.28 · 10-3

39.42

1.11 · 10⁴

3.43 · 10⁴

4.27 · 10⁴

2.62 · 10⁴

T = 320

1.75 · 10-3

56.41

1.26 · 10⁴

3.71 · 10⁴

4.49 · 10⁴

2.73 · 10⁴

T = 330

2.61 · 10-3

78.98

1.43 · 10⁴

4.00 · 10⁴

4.72 · 10⁴

2.83 · 10⁴

совпадающий с КМ-результатом [28] для теплового

во внутренние и внешние электронные линии. Воз-

сдвига Штарка. Соответствующая удвоенная мни-

никающая в результате геометрическая прогрессия

мая приводит к выражению для термоиндуцирован-

приводит к возникновению соответствующих сдви-

ной ширины уровня, см. [12, 28]:

гов энергий в энергетическом знаменателе выраже-

ния (13) [21].

∑

Γ^BBRa =

ω3na |〈a|r|n〉|² n_β(ω_na),

(14)

3. РАСЧЕТ СДВИГОВ И УШИРЕНИЙ ДЛЯ

где ω_na = |E_n - E_a|.

ns/nd-СОСТОЯНИЙ

В выражениях (9), (11), (12) энергии в знамена-

телях не учитывают КЭД-поправок, так как явля-

Согласно результатам (13) и (14) равновесное

ются собственными значениями гамильтониана для

тепловое излучение вызывает сдвиги энергетиче-

электрона в кулоновском поле ядра. Учет КЭД-

ских уровней и переходы между различными уров-

эффектов, в частности лэмбовского сдвига, может

нями (a → n). В рамках КМ-подхода эти эффек-

быть проведен феноменологически, т.е. добавлени-

ты изучались подробно в [28, 30] для температуры

ем соответствующих сдвигов в энергетических зна-

T = 300 K. Позже в работе [29] аналогичные расче-

менателях, как это было сделано в [29]. В работе

ты, но с учетом лэмбовского сдвига, проводились и

[12] было показано, что тот же результат можно по-

для легких водородоподобных ионов. Строгий КЭД-

лучить в рамках строгой квантовоэлектродинами-

подход к выводу тепловых поправок для связан-

ческой процедуры, которая заключается в суммиро-

ных одноэлектронных систем с учетом радиацион-

вании бесконечного ряда однопетлевых собственно-

ных поправок был представлен в работах [12, 13].

энергетических фейнмановских диаграмм со все-

Стоит отметить, что в реальных лабораторных усло-

мозможными последовательными вставками фотон-

виях температура может значительно варьировать-

ных и поляризационных петель (петля за петлей)

ся. Это прежде всего связано с трудностью контро-

619

Т. А. Залялютдинов, А. А. Аникин, Д. А. Соловьев

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Таблица 5. Значения уширений и штарковских сдвигов, полученные в [32] и в данной работе. Все значения приведены

для температуры T = 330 К. Абсолютные значения относительной разницы для уширений δΓ и сдвигов δE приведены в

процентах

Переход Сдвиг, Гц Сдвиг [32], Гц δE, %

Уширение, кГц Уширение [32], кГц δΓ, %

2s - 6s

-290.566(13)

-360(90)

19.3

1.66

1.2(0.1)

38.3

2s - 6d

-323.1(1)

-430(105)

24.6

2.3

1.7(0.2)

35.3

2s - 8s

606.1(0.4)

520(130)

16.6

5.1

4.4(0.4)

15.9

2s - 8d

755.071(19)

650(160)

16.2

6.4

5.5(0.5)

18.2

2s - 12d

2064.9(3.1)

2100(500)

1.7

7.5

7.1(0.7)

5.6

ля нагрева отдельных элементов в конкретной экс-

расщепления приводит к изменениям того же

периментальной установке. Так, в работaх [31, 32]

порядка. Результаты расчетов показывают, что для

по измерению частот переходов 2s - ns/nd магнит-

температуры T = 330 K относительная разница для

ный экран, окружающий атомный пучок, нагревает-

тепловых штарковских сдвигов между значениями

ся примерно до 330 К. Ввиду отсутствия в литера-

из табл. 1, 2 и полученными в работе [32] достигает

туре значений штарковских сдвигов для этой темпе-

19% и уменьшается с ростом главного квантового

ратуры авторы [31,32] предположили, что уширение

числа. Последнее говорит о том, что использован-

линии ведет себя линейно по температуре, а сдвиги

ная в [32] экстраполяция верна лишь для сильно

ведут себя как T2.7. Такая экстраполяция следует

возбужденных состояний. Результаты сравнения

непосредственно из выражений (13) и (14) соответ-

полученных значений сдвигов и уширений для

ственно.

различных переходов 2s - ns/nd при T = 330 K со

В табл. 1, 2 представлены результаты числен-

значениями из работы [32] представлены в табл.

ных расчетов тепловых штарковских сдвигов для

5. Указанные в табл. 5 погрешности рассчитанных

широкого диапазона температур, включая криоген-

значений относятся только к точности численного

ную T = 77 для ns/nd-состояний. Соответствующие

интегрирования по частоте ω в выражении (13).

уширения линий (мнимая часть однопетлевой теп-

Важно отметить, что тепловые эффекты также

ловой собственной энергии) также представлены в

учитывались в недавней работе по измерению час-

табл. 3, 4. Вычисления для тепловых штарковских

тоты перехода 2s1/2 - 8d5/2 в атоме водорода [40].

сдвигов проводились по формуле (13) с суммирова-

Так, в [40] термоиндуцированный сдвиг измеряемой

нием по состояниям как дискретного, так и сплош-

линии полагался равным -0.49(16) кГц, что соот-

ного спектров. Матричные элементы переходов вы-

ветствует температуре 300 К. При этом, учитывая

числялись аналитически с использованием извест-

невозможность точно контролировать температур-

ных решений уравнений Шредингера для электро-

ные параметры в эксперименте, авторы использо-

на в кулоновском поле точечного ядра [33] (см. так-

вали значение погрешности из работы [32], рассчи-

же [34]), что позволяет провести прямое суммиро-

танной при значении T = 330 К. Таким образом,

вание по спектру промежуточных состояний в вы-

непосредственный численный расчет, проведенный

ражении (13). Следует также отметить, что расчет

в нашей работе, значительно уточняет значения тер-

выражения (13) также может быть проведен с помо-

моиндуцированых сдвигов энергий для высоковоз-

щью нерелятивитской кулоновской функции Грина

бужденных состояний, что, в свою очередь, должно

[35], метода B-сплайнов [36], гипервириальных со-

уменьшить погрешность определения частот в экс-

отношений [37] и с использованием динамических

периментах типа [31, 32], необходимых для опреде-

групп симметрии для атома водорода [38].

ления фундаментальных констант, в частности, по-

Численные значения для лэмбовского сдвига

стоянной Ридберга и зарядового радиуса протона.

ns/nd-состояний брались из работы [39]. Важно

Финансирование. Работа выполнена при

отметить, что непосредственный учет состояний

поддержке грантов Президента Российской Фе-

непрерывного спектра сказывается на величине

дерации (грант

№ МК-4796.2022.1.2) и Россий-

сдвига на уровне одного процента, что находится

ского фонда фундаментальных исследований

в полном согласии с выводами работы [28], где он

(грант № 20-02-00111).

не учитывался. Учет лэмбовского сдвига и тонкого

620

ЖЭТФ, том 162, вып. 5 (11), 2022

Термоиндуцированные штарковские сдвиги. . .

ЛИТЕРАТУРА

16.

T. Zalialiutdinov, D. Solovyev, and L. Labzowsky,

Phys. Rev. A 101, 052503 (2020).

Y. Gnedin, A. Mihajlov, L. Ignjatović, N. Sakan,

V. Srećković, M. Zakharov, N. Bezuglov, and

17.

T. Zalialiutdinov, A. Anikin, and D. Solovyev,

A. Klycharev, New Astron. Rev. 53, 259 (2009).

Phys. Rev. A 102, 032204 (2020).

18.

M. Gell-Mann and F. Low, Phys. Rev. 84, 350

H. Bernien, S. Schwartz, A. Keesling, H. Levine,

(1951).

A. Omran, H. Pichler, S. Choi, A. Zibrov,

M. Endres, M. Greiner, V. Vuletic, and M. Lukin,

19.

F. Low, Phys. Rev. 88, 53 (1952).

Nature 551, 11 (2017).

20.

J. Sucher, Phys. Rev. 107, 1448 (1957).

B. Zelener, B. Zelener, and E. Zelener, Energy 2

21.

O. Y. Andreev, L. N. Labzowsky, G. Plunien, and

(2018).

D. A. Solovyev, Phys. Rep. 455, 135 (2008).

M. G. Kozlov, M. S. Safronova, J. R. Crespo López-

22.

T. A. Zalialiutdinov, D. A. Solovyev, L. N.

Urrutia, and P. O. Schmidt, Rev. Mod. Phys. 90,

Labzowsky, and G. Plunien, Phys. Rep. 737, 1

045005 (2018).

(2018).

T. L. Nicholson, S. L. Campbell, R. B. H. G. E.

23.

K. Beloy et al., Phys. Rev. Lett. 113, 260801

Marti, B. J. Bloom, R. L. McNally, W. Zhang,

(2014).

M. D. Barrett, M. S. Safronova, G. F. Strouse,

W. L. Tew, and J. Ye, Nature Commun. 6, 263004

24.

A. I. Akhiezer and V. B. Berestetskii, Quantum

Electrodynamics, Wiley-Interscience, New York

(2015).

(1965).

M. S. Safronova, D. Jiang, B. Arora, C. W. Clark,

25.

L. Labzowsky, G. Klimchitskaya, and Y. Dmitriev,

M. G. Kozlov, U. I. Safronova, and W. R. Johnson,

Relativistic Effects in Spectra of Atomic Systems,

IEEE Trans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Control

Institute of Phys. Publ., Bristol, Philadelphia

57, 94 (2010).

(1993).

M. S. Safronova and et al., IEEE Trans. Ultrason.

26.

J. F. Donoghue, B. R. Holstein, and R. W.

Ferroelectr. Freq. Control 57, 94 (2010).

Robinett, Ann. Phys. 164, 233 (1985).

M. S. Safronova, M. G. Kozlov, and C. W. Clark,

27.

J. F. Donoghue and B. R. Holstein, Phys. Rev. D

Phys. Rev. Lett. 107, 143006 (2011).

28, 340 (1983).

W. M. Itano, L. L. Lewis, and D. J. Wineland,

28.

J. W. Farley and W. H. Wing, Phys. Rev. A 23,

Phys. Rev. A 25, 1233 (1982).

2397 (1981).

10.

T. Middelmann, C. Lisdat, S. Falke, J. S. R. V.

29.

U. D. Jentschura and M. Haas, Phys. Rev. A 78,

Winfred, F. Riehle, and U. Sterr, Instrum. Measur.

042504 (2008).

IEEE Trans. 60, 2550 (2011).

30.

T. F. Gallagher and W. E. Cooke, Phys. Rev. Lett.

42, 835 (1979).

11.

S. G. Porsev and A. Derevianko, Phys. Rev. A 74,

020502(R) (2006).

31.

C. Schwob, L. Jozefowski, B. de Beauvoir,

L. Hilico, F. Nez, L. Julien, F. Biraben, O. Acef,

12.

D. Solovyev, L. Labzowsky, and G. Plunien, Phys.

J.-J. Zondy, and A. Clairon, Phys. Rev. Lett. 82,

Rev. A 92, 022508 (2015).

4960 (1999).

13.

D. Solovyev, Ann. Phys. 415, 168128 (2020).

32.

B. Beauvoir, C. Schwob, O. Acef, L. Jozefowski,

L. Hilico, F. Nez, L. Julien, A. Clairon, and

14.

D. Solovyev, T. Zalialiutdinov, A. Anikin,

F. Biraben, Europ. Phys. J. D 12, 61 (2000).

J. Triaskin, and L. Labzowsky, Phys. Rev. A 100,

012506 (2019).

33.

W. Gordon, Ann. Physik 394, 1031 (1929).

15.

D. Solovyev, T. Zalialiutdinov, and A. Anikin,

34.

J. Chluba and R. A. Sunyaev, Astron. Astrophys.

Phys. Rev. A 101, 052501 (2020).

512, A53 (2010).

621