ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 2 (8), стр. 276-292

ХАОТИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ НА ПОВЕРХНОСТЯХ ФЕРМИ

И НЕТРИВИАЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ ПОВЕДЕНИЯ

МАГНИТНОЙ ПРОВОДИМОСТИ

И. А. Дынников^a, А. Я. Мальцев^b*, С. П. Новиков^a,b

^a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук

119991, Москва, Россия

^b Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук

142432, Черноголовка, Московская обл., Россия

Поступила в редакцию 17 апреля 2022 г.,

после переработки 17 апреля 2022 г.

Принята к публикации 18 апреля 2022 г.

Представлен обзор вопросов, связанных с недавно открытыми типами незамкнутых электронных

траекторий на сложных поверхностях Ферми, соответствующих хаотической динамике в пространстве

квазиимпульсов. Траектории такого типа найдены теоретически и в настоящее время достаточно хорошо

изучены с теоретической точки зрения, однако, их экспериментальное обнаружение пока еще является

задачей для будущих исследований. Здесь обсуждаются геометрические свойства таких траекторий,

вероятность их появления на реальных поверхностях Ферми и поведение магнитопроводимости в

пределе ωBτ → ∞ при их возникновении. В обзор включены результаты самых последних исследований

хаотических траекторий для дисперсионных соотношений самого общего вида.

EDN: EHVOSH

DOI: 10.31857/S0044451022080120

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение

276

3. Геометрические свойства хаотических

траекторий и поведение проводимости

в сильных магнитных полях

286

2. Типы хаотических траекторий и соот-

4. Заключение

290

ветствующие им особенности угловой

диаграммы

280

Литература

291

ющие годы (см., например, [4, 5]). А именно, мы об-

суждаем вопросы, связанные с влиянием геометрии

квазиклассических электронных траекторий, лежа-

1. ВВЕДЕНИЕ

щих на сложных поверхностях Ферми, на поведение

проводимости металлов в сильных магнитных по-

Наша работа относится к области теории прово-

лях.

димости нормальных металлов, берущей свое нача-

Как хорошо известно, движение электронов на

ло от работ И. М. Лифшица, М. Я. Азбеля, М. И. Ка-

поверхности Ферми в присутствии внешнего магнит-

ганова и В. Г. Песчанского, опубликованных в конце

ного поля может быть описано адиабатически и за-

1950-х-начале 1960-х гг. (см. [1-3]). Она интенсивно

дается квазиклассической системой

развивалась в школе И. М. Лифшица и в последу-

[v_gr(p) × B] =

[∇ǫ(p) × B]

(1.1)

^* E-mail: maltsev@itp.ac.ru

в p-пространстве.

276

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Хаотические траектории на поверхностях Ферми. . .

Рис. 3. Примеры поверхностей Ферми ранга 0, 1, 2 и 3

Рис. 1. Траектории системы (1.1) в пространстве R³ на

некотором уровне энергии ǫ(p) = const (схематически)

Рис. 2. Абстрактные поверхности рода 0, 1, 2, 3

Рис. 4. Замкнутые (a) и открытая периодическая (b) тра-

Важную роль играет тот факт, что значение p,

ектории системы (1.1) на поверхностях Ферми различной

т. е. квазиимпульс электрона, определяется с точно-

формы

стью до векторов обратной решетки L^∗ (где L

кристаллическая решетка металла). Таким образом,

ние поверхности Ферми в виде компактной двумер-

систему (1.1) можно рассматривать как систему на

ной поверхности, вложенной в трехмерный тор, поз-

трехмерном торе

воляет определить такую важную характеристику,

как ее род. А именно, каждая замкнутая ориентиру-

T³ = R³/L^∗,

емая поверхность диффеоморфна двумерной сфере

или как систему в трехмерном пространстве с неко-

с g-прикрепленными ручками, где g род поверх-

торой гладкой 3-периодической функцией ǫ(p). В

ности (рис. 2).

последнем случае мы должны помнить, что точки

С другой стороны, форма поверхности Ферми в

пространства R³, отличающиеся на векторы обрат-

накрывающем трехмерном пространстве обнаружи-

ной решетки, фактически представляют одно и то

вает важные особенности топологического вложе-

же физическое состояние.

ния этой поверхности в трехмерный тор T³. В част-

В пространстве R³ траектории системы (1.1) за-

ности, это представление определяет такую важ-

даются пересечениями плоскостей, ортогональных

ную характеристику вложения, как ранг поверхно-

B, с периодическими поверхностями постоянной

сти Ферми. По определению, ранг поверхности Фер-

энергии ǫ(p) = const. Геометрия таких пересечений

ми может принимать значения 0, 1, 2, 3 и определя-

может быть достаточно сложной для периодических

ет число независимых направлений, вдоль которых

функций ǫ(p) общего вида (рис. 1). При описании

простирается поверхность Ферми в накрывающем

гальваномагнитных явлений в металлах основную

трехмерном пространстве (рис. 3). По топологичес-

роль играют траектории системы (1.1) на поверхнос-

ким причинам ранг поверхности Ферми не может

ти Ферми ǫ(p) = ǫ_F .

превышать ее род g.

Каждое из представлений поверхности Ферми

Наиболее важным при описании гальваномаг-

дает важную информацию о ней. Так, представле- нитных явлений в металлах является различие меж-

277

И. А. Дынников, А. Я. Мальцев, С. П. Новиков

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

ду замкнутыми и открытыми (незамкнутыми в

происходит наибольшее подавление проводимости в

p-пространстве) траекториями системы (1.1). В ра-

плоскости, ортогональной B, во втором случае сов-

боте [1] было показано принципиальное различие

падает со средним направлением открытых траек-

вкладов замкнутых и открытых периодических тра-

торий в p-пространстве. Последнее обстоятельство

екторий (рис. 4) в проводимость в пределе ω_Bτ →

обусловлено известной связью между траектория-

→ ∞. Формулы для тензора проводимости, полу-

ми электронов в координатном и (квази)импульсном

ченные в [1] для чистых монокристаллических об-

пространствах при наличии магнитного поля. А

разцов при достаточно низких температурах, можно

именно, проекции траекторий в x-пространстве на

записать в главном порядке в следующем виде:

плоскость, ортогональную B, подобны соответству-

ющим траекториям в p-пространстве, повернутым

σ^kl ≃

на 90^◦. Описанные особенности проводимости позво-





ляют различать вклады замкнутых и открытых пе-

(ω_B τ)^-2

(ω_Bτ)^-1

ne²τ





риодических траекторий, а также экспериментально

≃

 (ωB τ)^-1 (ωBτ)^-2 (ωBτ)^-1

 (1.2)

m^∗

определять направление периодических траекторий

(ω_B τ)^-1

(ω_Bτ)^-1

∗

в p-пространстве.

Более детальное изучение системы (1.1) привело

(для замкнутых траекторий, ω_Bτ → ∞),

также к открытию других важных примеров неза-

мкнутых электронных траекторий в p-пространст-

σ^kl ≃

ве, более общих, чем периодические (см.

[2-5]).





(ω_B τ)^-2

(ω_Bτ)^-1

Открытые в этот период незамкнутые траектории

ne²τ





≃

 (ωB τ)^-1

∗

 (1.3)

системы (1.1) также имели сильную анизотропию

m^∗

(среднее направление) в плоскостях, ортогональных

(ω_B τ)^-1

∗

B, и, как следствие, также вносили сильно ани-

(для открытых периодических траекторий, ω_Bτ →

зотропный вклад (1.3) в проводимость в пределе

→ ∞).

ω_Bτ → ∞ (в главном порядке).

Формулы (1.2), (1.3) описывают только асимп-

Отметим, что изучение геометрии траекторий

тотическое поведение тензора проводимости в силь-

системы (1.1) является одним из важнейших мето-

ных магнитных полях. Это означает, что каждый

дов изучения дисперсионных соотношений для ши-

матричный элемент определен в действительности с

рокого круга проводников (см., например, [4-8]).

точностью до множителя порядка единицы. Величи-

Заметим также, что появление незамкнутых орбит

на n обозначает концентрацию электронов в метал-

на достаточно сложных поверхностях Ферми игра-

ле, а величина m^∗ определяет значение эффектив-

ет важную роль и в магнитной проводимости по-

ной массы электрона в кристалле. Величина τ пред-

ликристаллов при достаточно низких температурах

ставляет собой время свободного пробега электрона,

(см. [9, 10]).

а величина ω_B = eB/m^∗c имеет смысл циклотрон-

Проблема полной классификации траекторий

ной частоты в металле. Отметим, что циклотронная

системы (1.1) для произвольного закона дисперсии

частота фактически определена только для замкну-

впервые была поставлена Новиковым в работе [11].

тых траекторий системы (1.1) и совпадает с ω_B толь-

Эта проблема исследовалась в последующие десяти-

ко по порядку величины. В обоих случаях мы пред-

летия в его топологической школе (см. [12-18]), и к

полагаем, что ось z направлена вдоль магнитного

настоящему времени получена качественная класси-

поля, а во втором случае ось x совпадает со средним

фикация траекторий (1.1), которые могут возникать

направлением периодических траекторий в p-прост-

на произвольно сложных периодических поверхно-

ранстве. Символы ¾∗¿ в обеих формулах обознача-

стях. В этой классификации все замкнутые траек-

ют некоторые константы порядка единицы.

тории (в накрывающем p-пространстве) рассматри-

Видно, что основное отличие замкнутых тра-

ваются как однотипные, поэтому только открытые

екторий от периодических проявляется в проводи-

траектории (1.1), глобальные геометрические свой-

мости в плоскости, ортогональной B. А именно,

ства которых могут сильно различаться, подлежат

вклад замкнутых траекторий в проводимость до-

классификации.

вольно быстро убывает во всех направлениях в этой

Наиболее важным в классификации открытых

плоскости с ростом значения B, тогда как вклад пе-

траекторий (1.1) является описание устойчивых от-

риодических траекторий имеет сильную анизотро-

крытых траекторий этой системы. Здесь мы назы-

пию в пределе ω_Bτ → ∞. Направление, в котором

ваем устойчивыми такие открытые траектории сис-

278

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Хаотические траектории на поверхностях Ферми. . .

Рис. 5. Устойчивая открытая траектория в плоскости, ор-

тогональной B (схематично)

темы (1.1), которые не исчезают и существенно не

меняют свою форму при малых изменениях пара-

метров задачи (к которым относятся направление B

Рис. 6. Зоны устойчивости на единичной сфере (схематич-

и дисперсионное соотношение ǫ(p)). Как следует из

но)

работ [12,14,15], такие траектории всегда обладают

следующими двумя важными свойствами:

Вклад устойчивых открытых траекторий в про-

1) каждая устойчивая открытая траектория сис-

водимость в пределе ω_Bτ → ∞ также определяется

темы (1.1) лежит в прямой полосе конечной ширины

формулой (1.3) при соответствующем выборе сис-

в плоскости, ортогональной B, и проходит через нее

темы координат. Как и прежде, направление мак-

насквозь (рис. 5);

симального подавления проводимости в плоскости,

2) все устойчивые открытые траектории имеют

ортогональной B, совпадает со средним направлени-

при фиксированном направлении B и фиксирован-

ем устойчивых открытых траекторий в p-простран-

ном законе дисперсии одно и то же среднее направ-

стве (ортогональным проекции среднего направле-

ление, которое задается пересечением плоскости, ор-

ния траекторий в x-пространстве на плоскость, ор-

тогональной B, с некоторой целочисленной плоскос-

тогональную B).

тью Γ, остающейся неизменной при малых измене-

Величины (m¹, m², m³) имеют топологическую

ниях любых параметров задачи.

природу и, как сказано выше, устойчивы при малых

Целочисленность плоскости Γ в утверждении 2)

вариациях параметров задачи. В частности, они ло-

означает, что она порождается двумя неколлинеар-

кально устойчивы по отношению к малым поворо-

ными векторами из обратной решетки в p-простран-

там направления B при фиксированном дисперси-

стве. Эквивалентно, плоскость Γ ортогональна неко-

онном соотношении ǫ(p) и энергии Ферми ǫ_F . Как

торому ненулевому вектору прямой решетки. Та-

следствие, на угловой диаграмме (единичной сфе-

ким образом, среднее направление устойчивых от-

ре), параметризующей направления B, возникает

крытых траекторий в p-пространстве всегда орто-

семейство зон устойчивости Ω_α, в каждой из ко-

гонально некоторому кристаллографическому век-

торых тройка (m^1α, m^2α, m^3α) определена и постоян-

тору

m=m¹e₁ +m²e₂ +m³e₃,

на. Из-за особого вклада в проводимость устойчи-

вых открытых траекторий как форму зон устой-

где (e₁, e₂, e₃)

некоторый фиксированный базис

чивости, так и числа (m^1α, m^2α, m^3α) можно наблю-

прямой решетки L и m¹, m², m³ некоторые целые

дать экспериментально. Именно таким образом чис-

числа. Можно видеть также, что указанные выше

ла (m^1α, m^2α, m^3α) были введены в работе [19] (см. так-

свойства определяют среднее направление l устой-

же [20]) как топологические числа, наблюдаемые в

чивых открытых траекторий в p-пространстве со-

проводимости нормальных металлов. Зоны устойчи-

гласно формуле

вости, как правило, представляют собой области с

l ∼ [B × m].

кусочно-гладкими границами на единичной сфере

Свойство 1) открытых траекторий системы (1.1)

(рис. 6). Отметим, что топологические числа опреде-

общего положения было впервые сформулировано

ляют только геометрические свойства тензора про-

Новиковым в виде гипотезы [11].

водимости, тогда как его аналитические свойства в

279

И. А. Дынников, А. Я. Мальцев, С. П. Новиков

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

пределе ω_Bτ → ∞ внутри и вблизи зон устойчивос-

ти могут быть весьма нетривиальными (см., напри-

мер, [21, 22]).

Что касается неустойчивых открытых траекто-

рий системы (1.1), то одним из важнейших примеров

таких траекторий являются периодические траекто-

рии на поверхностях Ферми ранга 1 (рис. 4). Од-

нако на достаточно сложных поверхностях Ферми

C₊

могут существовать и значительно более сложные

неустойчивые открытые траектории, существование

которых было обнаружено при изучении общей про-

блемы Новикова в последние десятилетия [13,16,17].

Эти траектории обладают значительно более слож-

ными геометрическими свойствами и неустойчивы

относительно любых малых поворотов направления

B (а также сколь угодно малых вариаций значе-

ния ǫ_F ). Геометрическая сложность таких траекто-

рий приводит и к более сложному поведению тен-

зора проводимости в пределе ω_Bτ → ∞ при нали-

чии таких траекторий на поверхности Ферми. Как

мы увидим, все такие траектории можно разделить

на два основных типа (типы Царева и Дынникова),

которые имеют существенно разные геометрические

свойства и вносят весьма разный вклад в проводи-

мость при ω_Bτ → ∞.

a₁

С момента своего открытия неустойчивые ¾хао-

тические¿ траектории системы (1.1) активно изуча-

лись с различных точек зрения. Наиболее значимые

Рис. 7. Форма поверхности Ферми, несущей траекторию

результаты, связанные с предметом, приведены в

царевского типа, и ее вертикальная проекция (для одной

работах [13,16,17,23-46]. Это далеко не полный спи-

зоны Бриллюэна, заштрихованная область соответствует

сок работ по теме, и в ближайшее время их ожидает-

перескоку между плоскостями)

ся больше. В данной работе мы делаем обзор состо-

яния этой области исследований на данный момент,

обращая внимание как на геометрические аспекты

Рассмотрим периодическое семейство {Π_i} го-

возникновения и поведения открытых траекторий,

ризонтальных плоскостей в трехмерном простран-

так и на физические следствия, вытекающие из их

стве с одинаковым расстоянием a₃ между сосед-

геометрических свойств.

ними плоскостями. Пронумеруем их последователь-

но, так что Πi+1 = Πi + a3. Выберем также два

(ортогональных) периода a₁, a₂ в горизонтальной

плоскости и соединим все пары соседних плоско-

2. ТИПЫ ХАОТИЧЕСКИХ ТРАЕКТОРИЙ И

стей 3-периодическим семейством одинаковых ¾на-

СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ИМ ОСОБЕННОСТИ

УГЛОВОЙ ДИАГРАММЫ

клонных¿ цилиндров, как показано на рис. 7. Осно-

вания цилиндров выровнены так, что прямая, про-

Опишем здесь сначала более простые с геометри-

ходящая через центры верхнего основания цилин-

ческой точки зрения хаотические траектории типа

дра C и нижнего основания цилиндра C + a₃, име-

Царева. Хаотические траектории Царева могут воз-

ет иррациональное направление α в горизонтальной

никать только тогда, когда направление магнитного

плоскости. Полученная поверхность снабжена ори-

поля лишь частично иррационально, а именно, плос-

ентацией и как ориентированная поверхность инва-

кость, ортогональная B, содержит ненулевой вектор

риантна относительно сдвигов на a₁, a₂ и 2a₃. Мы

обратной решетки. Для описания основных особен-

сглаживаем эту поверхность 3-периодическим обра-

ностей хаотических траекторий Царева можно ис-

зом, что приводит к поверхности вида ǫ(p) = ǫ_F для

пользовать следующий пример.

гладкой 3-периодической функции ǫ и уровня ǫ_F .

280

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Хаотические траектории на поверхностях Ферми. . .

Пусть теперь направление B лежит в горизон-

тальной плоскости и ортогонально направлению α.

Рассмотрим траектории системы (1.1), соответству-

ющие такому направлению B. Эти траектории сле-

дуют прямым линиям направления α до тех пор, по-

ка не наткнутся на один из цилиндров, и в этом слу-

чае они перепрыгивают с Π_i на Π_i+2 или Π_i-2 в зави-

симости от четности i, далее по другой прямой с на-

правлением α до следующего прыжка и т. д. Скачки

происходят с четко определенной частотой, поэто-

му траектории имеют асимптотическое направление

в накрывающем p-пространстве в обычном смысле.

Однако легко может случиться, что такая траекто-

рия не содержится ни в какой прямой плоской по-

Рис. 8. Хаотическая траектория Дынникова, возникающая

лосе конечной ширины.

на поверхности cos px + cos py + cos pz = 0.

Описанный пример представляет довольно об-

щее явление. В некотором смысле, для частично ир-

рациональных направлений B хаотические траекто-

Более сложные хаотические траектории системы

рии системы (1.1) всегда имеют описанные свойст-

(1.1) можно наблюдать, когда направление B имеет

ва. В частности, как показано в [17], в этом слу-

максимальную степень иррациональности, т. е. ко-

чае они всегда имеют асимптотическое направле-

гда плоскость, ортогональная B, не содержит век-

ние. Это свойство позволяет также дать качествен-

торов обратной решетки. Первые примеры таких

ное описание вклада таких траекторий в проводи-

траекторий были построены Дынниковым в работах

мость в пределе ω_Bτ → ∞. Этот вклад также имеет

[16, 17]. Хаотические траектории типа Дынникова

сильно анизотропную форму в плоскости, ортого-

имеют гораздо более сложную геометрию в p-про-

нальной B, что выявляет асимптотические направ-

странстве, так что соответствующая динамика чем-

ления таких траекторий в p-пространстве.

то напоминает диффузию в плоскостях, ортогональ-

Формула (1.3), вообще говоря, уже неприменима

ных B (рис. 8). Как и траектории Царева, траекто-

в случае общих траекторий этого типа; однако для

рии Дынникова могут возникать только на поверх-

вклада таких траекторий в общий тензор проводи-

ностях Ферми ранга 3, и они также неустойчивы по

мости справедливо следующее:

отношению к любым сколь угодно малым отклоне-





o(1) o(1) o(1)

ниям направления B и изменениям величины ǫ_F .

ne²τ





σ^kl ≃

 o(1)

∗

,

m^∗

(2.1)

Для объяснения возникновения траекторий типа

o(1)

∗

Дынникова полезно рассмотреть угловую диаграм-

ω_Bτ → ∞.

му, связанную с произвольным дисперсионным со-

отношением ǫ(p). Под угловой диаграммой мы по-

Здесь, как и в формуле (1.3), мы также предполага-

нимаем сферическую карту, на которой для каж-

ем, что ось z направлена вдоль B, а ось x направле-

дой точки, рассматриваемой как направление B, мы

на вдоль асимптотического направления открытых

указываем тип динамики, определяемый соответ-

траекторий в p-пространстве.

ствующими системами (1.1) согласно нашей класси-

Более точные аналитические свойства тензора

фикации. Возможность использовать эту диаграм-

проводимости в этом случае, однако, сложнее, чем

му исходит из следующих важных фактов о систе-

в случае устойчивых открытых траекторий (1.1).

ме (1.1).

С точки зрения компактной версии поверхности

Ферми, вложенной в трехмерный тор T³, поведение

Рассмотрим произвольную гладкую

3-перио-

хаотических траекторий типа Царева весьма специ-

дическую функцию ǫ(p), принимающую значения

фично. Каждая такая траектория всюду плотно за-

в некотором интервале [ǫ_min, ǫ_max]. Зафиксируем

полняет половину всей поверхности (при условии,

некоторое направление B и рассмотрим соответ-

что последняя имеет род 3, как в примере выше), от-

ствующую систему

(1.1). Для простоты будем

деленной от другой половины сепаратрисными цик-

считать, что направление B не является рациональ-

лами, не гомологичными нулю в T³.

ным. Тогда верно следующее.

281

И. А. Дынников, А. Я. Мальцев, С. П. Новиков

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

1) Открытые траектории системы (1.1) присутст-

вуют либо в замкнутом интервале энергий

ǫ_min < ǫ₁(B) ≤ ǫ(p) ≤ ǫ₂(B) < ǫ_max

либо на одном энергетическом уровне ǫ₀ = ǫ₁(B) =

= ǫ₂(B).

2) В случае ǫ₁(B) < ǫ₂(B) все открытые траекто-

рии в интервале [ǫ₁(B), ǫ₂(B)] лежат в прямых по-

лосах конечной ширины в плоскостях, ортогональ-

ных B, и имеют (на всех уровнях энергии) одно и

то же среднее направление, задаваемое пересечени-

ем плоскости, ортогональной B, и некоторой цело-

численной плоскости Γ в p-пространстве. Величины

ǫ₁(B) и ǫ₂(B) для направлений B общего положения

совпадают со значениями некоторых непрерывных

функций ǫ₁(B) и ǫ₂(B), определенных всюду на S².

Однако для направлений B, соответствующих воз-

никновению периодических открытых траекторий,

Рис. 9. Распределение зон устойчивости для дисперси-

значения ǫ₁(B) и ǫ₂(B) имеют ¾скачки¿, при этом

онного соотношения ǫ(p) = cos px cos py + cos py cos pz +

всегда

+ cos pz cos px [44]

ǫ₁(B) ≤ ǫ₁(B) ≤ ǫ₂(B) ≤ ǫ₂(B).

3) Свойство ǫ₁(B) < ǫ₂(B), так же как и цело-

численная плоскость Γ, локально устойчивы отно-

сительно малых поворотов B, поэтому каждая из

плоскостей Γ_α определяет некоторую зону устойчи-

вости

Ω_α в пространстве направлений B.

4) Если открытые траектории возникают только

Рис. 10. Граница зоны устойчивости с прилегающими к

на одном энергетическом уровне, то возможны два

ней меньшими зонами в точках, соответствующих появле-

случая: все они лежат в прямых плоских полосах

нию периодических открытых траекторий системы (1.1)

конечной ширины (это происходит на границах зон

Ω_α) или все они хаотичны (это происходит, когда B

является точкой накопления бесконечного числа зон

2) Угловая диаграмма содержит бесконечное

Ω_α, диаметр которых стремится к нулю).

число зон устойчивости, объединение которых всю-

Приведенное выше свойство 2) позволяет опре-

ду плотно в пространстве направлений B (см., на-

делить зоны устойчивости для всего дисперсионно-

пример, рис. 9).

го соотношения путем объединения зон устойчивос-

Случай 1) соответствует весьма специфическим

ти по всем ǫ_F ∈ [ǫ₁, ǫ₂]. Из свойства 1) следует, что

дисперсионным соотношениям (как в случае квази-

для каждого направления B открытые траектории

одномерных проводников), и для большинства дис-

системы (1.1) присутствуют хотя бы на одном энер-

персионных соотношений в реальных проводниках

гетическом уровне. Такие траектории называются

имеет место случай 2). В частности, ситуация 1) не

¾топологически регулярными¿, если направление B

может возникнуть при наличии какой-либо враща-

принадлежит одной из зон устойчивости (включая

тельной симметрии кристалла, действие которой на

границы), и хаотическими в противном случае.

R³ неприводимо.

Какова общая картина распределения зон устой-

Картина зон устойчивости, появляющаяся на уг-

чивости на единичной сфере? Согласно [18], могут

ловой диаграмме в случае 2), в действительности

возникнуть только две следующие ситуации.

довольно сложна. В частности, как показано в [18],

1) Вся единичная сфера представляет собой

граница каждой из зон устойчивости представля-

единственную зону устойчивости

Ω, соответствую-

ет собой в этом случае множество скопления беско-

щую некоторой целочисленной плоскости Γ.

нечного числа других зон устойчивости, примыка-

282

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Хаотические траектории на поверхностях Ферми. . .

ющих к ней во всех точках, соответствующих воз-

рых на соответствующей поверхности уровня име-

никновению периодических открытых траекторий

ются только замкнутые траектории.

(рис. 10). Легко видеть, что такие траектории возни-

Нам будет полезно теперь посмотреть на угло-

кают в зоне

Ω_α всякий раз, когда пересечение плос-

вую диаграмму для каждого отдельного значения

кости, ортогональной B, и соответствующей плоско-

ǫ_F . Рассмотрим снова 3-периодическую функцию

сти Γ_α задает целочисленное направление в p-про-

ǫ(p) (дисперсионное соотношение), принимающую

странстве. Соответствующие направления B не яв-

значения в интервале [ǫ_min, ǫ_max] и порождающую

ляются направлениями общего положения; в то же

бесконечное число зон устойчивости на полной угло-

время они образуют всюду плотное множество на

вой диаграмме. Как указано в [47], для (реалистич-

границе любой из зон устойчивости в случае 2).

ных) общих дисперсионных соотношений интервал

Дополнением к объединению зон устойчивости в

[ǫ_min, ǫ_max] естественным образом делится на семь

случае 2) является множество фрактального типа,

подынтервалов промежуточными точками

и это как раз множество направлений B, для кото-

рых возникают хаотические открытые траектории

ǫ_min < ǫ^A′1 < ǫ^A1 < ǫ^B1 < ǫ^B2 < ǫ^A2 < ǫ^A′2 < ǫ_max,

(типа Царева или Дынникова). Согласно гипотезе

согласно разным уровням сложности угловых диа-

Новикова [30], для дисперсионного соотношения об-

грамм при соответствующих значениях ǫ_F , которые

щего положения это множество имеет нулевую ме-

заключаются в следующем.

ру и хаусдорфову размерность строго меньше 2. Ги-

потеза Новикова подтверждается серьезными чис-

Для ǫ_F , лежащих в интервалах (ǫ_min, ǫ^A′1) и

ленными исследованиями, но пока еще не доказана

(ǫ^A′2, ǫ_max), угловые диаграммы не содержат ника-

аналитически в общем виде. Совсем недавно, одна-

ких зон устойчивости, а все неособые траектории на

ко, Дынников, Юбер, Мерка и Скрипченко смогли

соответствующих поверхностях Ферми замкнуты.

доказать утверждение о нулевой мере для дисперси-

Для значений ǫ_F , лежащих в интервалах

онных соотношений, обладающих центральной сим-

(ǫ^A′1, ǫ^A1) и (ǫ^A2, ǫ^A′2), открытые траектории системы

метрией ǫ(-p) = ǫ(p)¹⁾.

(1.1) присутствуют для некоторых B, но все они

являются периодическими и неустойчивыми. Соот-

В ситуации 2) множество ¾хаотических¿ направ-

ветствующие угловые диаграммы также достаточно

лений B никогда не бывает пустым. Это означает,

просты, так как содержат только дуги, соответст-

что для определенных направлений B и значений ǫ₀

вующие наличию неустойчивых периодических

хаотические траектории обязательно должны воз-

никать. В частности, каждая точка на границе лю-

траекторий.

бой из зон устойчивости

Ω_α является точкой накоп-

Весь интервал (ǫ^A1, ǫ^A2) состоит из значений ǫ_F ,

для которых существуют устойчивые открытые тра-

ления таких направлений B. В реальном проводни-

ке, конечно, можно наблюдать только те хаотиче-

ектории на соответствующей поверхности Ферми

ские траектории, которые возникают на уровне Фер-

для некоторых направлений B, а соответствующая

ми ǫ_F .

угловая диаграмма содержит непустые зоны устой-

чивости Ω_α. Этот интервал подразделяется на три

Таким образом, каждая угловая диаграмма для

меньших интервала согласно разным уровням слож-

реального проводника (с фиксированным ǫ_F ) в дей-

ности соответствующих угловых диаграмм.

ствительности вкладывается в угловую диаграмму

А именно, в интервалах (ǫA1 , ǫ^B1) и (ǫ^B2, ǫA2 ) все уг-

для всего дисперсионного соотношения. Это озна-

ловые диаграммы содержат лишь конечное число

чает, в частности, что при фиксированном значе-

зон устойчивости (диаграммы типа А), а открытые

нии ǫ_F каждая зона устойчивости Ω_α на угловой

траектории на соответствующих поверхностях Фер-

диаграмме является подобластью зоны устойчиво-

ми либо устойчивые, либо периодические. Здесь так-

сти

Ω_α на полной угловой диаграмме. При этом на

же следует отметить, что угловые диаграммы про-

угловых диаграммах для фиксированных значений

водимости, соответствующие интервалам (ǫ^A1, ǫ^B1) и

ǫ_F обычно наблюдается только часть зон устойчи-

(ǫ^B2, ǫ^A2) на самом деле несколько отличаются друг от

вости, определенных для всего дисперсионного со-

отношения, и большая часть такой диаграммы мо-

друга. Их различие проявляется в поведении хол-

ловской проводимости для направлений B, соот-

жет быть заполнена направлениями B, для кото-

ветствующих наличию лишь замкнутых траекторий

на поверхности Ферми. Так, во всех областях диа-

¹⁾ Заметим, что при постановке общей задачи Новикова

требуется только периодичность дисперсионного соотноше-

грамм, соответствующих наличию только замкну-

ния ǫ(p).

тых траекторий на поверхности Ферми, холловская

283

И. А. Дынников, А. Я. Мальцев, С. П. Новиков

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Рис. 11. Угловые диаграммы типа А (схематично). Знаки

Рис. 12. Угловые диаграммы типа B (схематично). Знаки

“e” и “h” показывают тип холловской проводимости в обла-

стях наличия лишь замкнутых траекторий на поверхности

Ферми

проводимость имеет электронный тип в интерва-

ловая диаграмма содержит бесконечное количество

ле (ǫ^A1, ǫ^B1) и дырочный тип в интервале (ǫ^B2, ǫ^A2)²⁾

зон устойчивости (диаграммы типа В). Область, со-

(рис. 11).

ответствующая отсутствию открытых траекторий

В интервале (ǫ^B1, ǫ^B2) в случае общего положения

на поверхности Ферми, несвязна и распадается на

для любого уровня энергии соответствующая уг-

части, характеризующиеся либо электронной, ли-

бо дырочной холловской проводимостью (рис. 12).

В интервале [ǫ^B1, ǫ^B2] почти на каждом уровне энер-

²⁾ Точнее, это верно для вклада в холловскую проводи-

мость от рассматриваемой связной компоненты поверхности

гии появляются хаотические траектории (типа Ца-

Ферми.

рева или Дынникова) для некоторых направлений

284

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Хаотические траектории на поверхностях Ферми. . .

Рис. 14. Точка скопления ¾хаотических¿ направлений B

Рис. 13. Зона Ωα (закрашена) внутри зоны

Ωα для значе-

и уменьшающиеся зоны устойчивости на границе зоны Ωα

ния ǫF , лежащего в интервале [ǫ^B,α1, ǫ^B,α2] (схематически)

(схематично). Указан также тип холловской проводимости

в областях, где на поверхности Ферми присутствуют лишь

B. Области на угловой диаграмме, соответствующие

замкнутые траектории

разным типам холловской проводимости, разделе-

ны ¾цепочками¿, состоящими из бесконечного чис-

Ω_α (рис. 13), и именно эти граничные точки Ω_α

ла зон устойчивости и ¾хаотических¿ направлений

являются точками накопления ¾хаотических¿ на-

B (в ситуации общего положения).

правлений B на угловых диаграммах для таких ǫ_F

Как следует из [18], мера Лебега ¾хаотических¿

(рис. 14).

направлений B для фиксированной поверхности

Ферми общего положения равна нулю. Согласно ги-

Как можно видеть, таким образом, наличие хао-

потезе Новикова [31, 32], верхняя хаусдорфова раз-

тических траекторий на поверхности Ферми должно

мерность множества хаотических направлений B

иметь место для определенных проводящих матери-

(на S²) для фиксированной поверхности Ферми об-

алов и специально выбранных направлений магнит-

щего положения строго меньше единицы (хотя для

ного поля. Насколько нам известно, однако, такие

некоторых специальных поверхностей Ферми может

траектории (как и угловые диаграммы типа В) пока

не были обнаружены в экспериментах по магнитной

быть больше единицы).

В дополнение к интервалу [ǫ^B1, ǫ^B2], определен-

проводимости в сильных магнитных полях. Одной

из основных причин этого, на наш взгляд, может яв-

ному для всего дисперсионного соотношения, так-

же может быть полезно рассмотреть интервалы

ляться то, что в действительности интервал [ǫ^B1, ǫ^B2]

[ǫ^B,α1, ǫ^B,α2], связанные с каждой из зон

Ω_α. Интер-

достаточно узок для большинства реальных диспер-

вал [ǫ^B,α1, ǫ^B,α2] можно рассматривать как энергети-

сионных соотношений, поэтому вероятность попада-

ческий интервал, где хаотические траектории возни-

ния уровня Ферми в этот интервал довольно мала. С

кают для направлений B, накапливающихся вблизи

другой стороны, большое разнообразие материалов,

границы зоны

Ω_α. Его можно определить следую-

доступных для создания на сегодняшний день, дает

щим образом. Как мы отмечали выше, на границе

надежду, что в достаточно точных экспериментах в

каждой из зон определена непрерывная функция

ряде проводников такие траектории могут быть об-

наружены. Напомним, что хаотические траектории

ǫ₀(B) = ǫ₁(B) = ǫ₂(B).

Царева или Дынникова могут возникать только на

поверхностях Ферми ранга 3.

Величины ǫ^B,α1 и ǫ^B,α2 определяются как значения

min ǫ₀(B) и max ǫ₀(B), взятые по границе

Ω_α.

В заключение данного раздела сделаем еще од-

Интервал

[ǫ^B,α1, ǫ^B,α2] может быть достаточно

но замечание. Приведенные выше формулировки от-

большим для ¾больших¿ зон

Ω_α (при малых зна-

носятся к общей ситуации, когда законы диспер-

чениях (m^1α, m^2α, m^3α)) и стремится к нулю при

сии и поверхности Ферми не имеют дополнитель-

уменьшении зон (росте (m^1α, m^2α, m^3α)).

ных симметрий нефизического происхождения. Од-

Для значений ǫ_F , лежащих в интервале

нако некоторые полезные теоретические модели мо-

[ǫ^B,α1, ǫ^B,α2], граница соответствующей зоны устой-

гут иметь такие симметрии, и в этом случае приве-

чивости Ω_α имеет общие точки с границей зоны

денные выше утверждения должны быть изменены.

285

И. А. Дынников, А. Я. Мальцев, С. П. Новиков

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

ХАОТИЧЕСКИХ ТРАЕКТОРИЙ И

ПОВЕДЕНИЕ ПРОВОДИМОСТИ В

СИЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ

Влияние геометрии траекторий системы (1.1) на

поведение проводимости в сильных магнитных по-

лях обусловлено, конечно, в первую очередь, свя-

зью формы траектории в координатном и импульс-

ном пространствах. Для описания гальваномагнит-

ных явлений в обсуждаемой ситуации удобнее всего

использовать кинетическое уравнение

∑

∂f

f_t +

[∇ǫ(p) × B]^l ∂f

E^l

∂p

∂p^l

l=1

= I[f](p, t),

где I[f] представляет интеграл столкновений.

Как известно, электропроводность определяется

Рис. 15. Угловая диаграмма для поверхности cos px +

линейной поправкой к равновесной функции распре-

+ cos py + cos pz = 0 [44]

деления

Например, рассмотрим дисперсионное соотношение

f₀(p) =

exp[(ǫ(p) - ǫ_F )/T] + 1

ǫ(p) = cos p_x + cos p_y + cos p_z

(2.2)

удовлетворяющей соотношению

∑

и поверхность Ферми

∂f

(1)

∂f₀

[∇ǫ(p) × B]^l

+e E^l

∂p^l

l=1

cosp_x + cosp_y + cosp_z = 0.

(2.3)

[

]

̂[f

(3.1)

0] ·f(1)^(p),

Легко видеть, что значение ǫ(p) меняется на про-

L_[f

где

0] представляетлинеаризациюфункционала

тивоположное при сдвиге на ¾полупериод¿

I[f](p) на функции f₀.

После перехода к переменным, непосредственно

p_x → p_x + π, p_y → p_y + π, p_z → p_z + π.

связанным с системой (1.1)

Поэтому, любая поверхность уровня ǫ(p) = -ǫ

p_z, s = teB/c, ǫ

получается из поверхности ǫ(p) = ǫ сдвигом в p-про-

(где t

время пробега по траекториям системы

странстве. Следовательно, любая пара противопо-

(1.1)), уравнение (3.1) может быть записано в виде

ложных уровней ǫ(p) = -ǫ и ǫ(p) = ǫ содержит тра-

ектории одинаковой геометрии, а поверхность (2.3)

eB ∂f₍₁₎

∂f₀

должна содержать открытые траектории системы

+ e (E · v_gr)

∂s

∂ǫ

[

]

(1.1) для любого направления B. То же самое можно

L_[f

(3.2)

сказать о любом дисперсионном соотношении, фу-

0] ·f(1)^(pz^,s,ǫ).

рье-разложение которого содержит только нечетные

Анализ системы (3.2) является наиболее про-

гармоники.

стым, когда на поверхности Ферми присутству-

Таким образом, в приведенном примере угловая

ют лишь замкнутые или периодические траектории

диаграмма для поверхности Ферми (2.3) совпадает

(1.1) (в обоих случаях траектории замкнуты на ком-

с диаграммой для всего дисперсионного соотноше-

пактной поверхности Ферми в трехмерном торе). В

ния (рис. 15). Хаотические траектории для диспер-

этом случае [1] функция f₍₁₎ имеет следующее раз-

сионного соотношения (2.2) возникают только на ну-

ложение:

левом уровне энергии, и введенный выше интервал

[ǫ^B1, ǫ^B2] схлопывается здесь в одну точку ǫ = 0.

f₍₁₎ = f⁽⁰⁾⁽¹⁾ + f⁽¹⁾⁽¹⁾ B^-1 + f⁽²⁾⁽¹⁾ B^-2 + . . . ,

(3.3)

286

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Хаотические траектории на поверхностях Ферми. . .

и соответствующие тензоры проводимости имеют

где

вид

∫





g^l(p_z, s, ǫ) =

v^lgr (p_z, s^′, ǫ)ec(s′-s)/eBτ ds^′

ne²τ





-∞

σ^kl(B) ≃

 0

+

m^∗

получены интегрированием по траектории, проходя-

∗

щей через точку (p_z, s, ǫ).





∗

Легко видеть, что тогда тензор проводимости за-

ne²τ





дается следующим интегралом по поверхности Фер-

 ∗

∗

 (ωBτ)^-1 +

m^∗

ми:

∗

∫∫





dp_z ds

∗

σ^kl(B) =

v^kgr(p_z, s)×

ne²τ





(2πℏ)³

 ∗

∗

 (ωBτ)^-2 + . . .

(3.4)

m^∗

∗

∫

v^lgr(p_z, s^′)ec(s′-s)/eBτ ds^′.

(3.7)

в случае замкнутых траекторий или

−∞





Можно также показать, что в этом случае сим-

ne²τ





метричная часть тензора проводимости дается фор-

σ^kl(B) ≃

 0

∗

+

m^∗

мулой

∗

∫∫





dp_z ds

∗

s^kl(B) = e² τ

〈v^kgr〉_B 〈v^l

(3.8)

〉_B (2πℏ)3^,

ne²τ





 ∗

∗

 (ωBτ)^-1 +

m^∗

∗

где





∗

ne²τ

〈v^kgr〉_B (p_z , s) ≡





 ∗

∗

 (ωBτ)^-2 + . . .

(3.5)

m^∗

∫

∗

≡

v^kgr (p_z, s^′)ec(s′-s)/eBτ ds^′.

(3.9)

eBτ

−∞

в случае открытых периодических траекторий.

Однако при наличии открытых траекторий более

Из представлений (3.7)-(3.9) уже можно видеть,

общего вида разложения (3.3)-(3.5) уже непримени-

что свойства проводимости в сильных магнитных

мы, что связано с наличием всюду плотных обмоток

полях тесно связаны с геометрией соответствующих

части (компактной) поверхности Ферми такими тра-

траекторий системы (1.1). Действительно, величина

екториями. В частности, даже для случая устойчи-

(3.9) может быть аппроксимирована выражением

вых открытых траекторий выражение (1.3) задает

∫

только главный член их вклада в проводимость, а

〈v^kgr〉_B (p_z , s) ≃

v^kgr (p_z, s^′)ds^′,

поправочные члены имеют более сложный вид (см.,

eBτ

например, [21]).

s-eBτ /c

Для упрощения анализа системы (3.2) можно ис-

которое пропорционально приращению k-й коорди-

пользовать τ-приближение и перейти к системе

наты вдоль траектории в x-пространстве. В то же

время, как мы отмечали выше, проекции электрон-

eB ∂f₍₁₎

∂f₀

+ e (E · v_gr)

= -f₍₁₎/τ,

(3.6)

ных траекторий в x-пространстве на плоскость, ор-

∂s

∂ǫ

тогональную B, подобны траекториям в p-прост-

дающей аналогичные результаты более простым пу-

ранстве, повернутым на 90^◦. Таким образом, из фор-

тем.

мул (3.7), (3.8) следует, что проводимость в плоскос-

Решения системы (3.6) естественно представить

ти, ортогональной B, тесно связана с геометрией

в виде

траекторий электронов в p-пространстве.

Представления (3.7)-(3.9) особенно удобны для

∑

∂f₀(ǫ)

оценки поведения проводимости при наличии хао-

f₍₁₎(p_z, s, ǫ) = -

E^l g^l(p_z, s, ǫ),

∂ǫ

тических открытых траекторий системы (1.1). Для

l=1

287

И. А. Дынников, А. Я. Мальцев, С. П. Новиков

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

полного описания тензора проводимости при этом

необходимо знать не только геометрию хаотических

траекторий в накрывающем p-пространстве, но и

их поведение на компактной поверхности Ферми (с

точки зрения общей теории динамических систем).

Заметим здесь, что для любой заданной поверхнос-

ти Ферми и направления B могут возникать хаоти-

ческие траектории только одного типа (Царева или

Дынникова). В случае наличия хаотических траек-

торий могут присутствовать и замкнутые траекто-

рии системы (1.1), и тогда поверхность Ферми раз-

деляется на части, заполненные хаотическими тра-

Рис. 16. Зависимость величин σ^xx и σ^yy, определяемых

вкладом хаотических траекторий Дынникова, от величи-

екториями, и части, заполненные замкнутыми. В

ны B в пределе сильных магнитных полей

каждом конкретном случае все имеющиеся хаоти-

ческие траектории имеют при этом сходные геомет-

они не дают никакого вклада в проводимость вдоль

рические и динамические свойства.

направления B в пределе достаточно сильных маг-

Как упоминалось выше, хаотические траектории

нитных полей. В этой ситуации вклад в компоненту

типа Царева ведут себя на компактной поверхнос-

σ^zz полного тензора проводимости вносят только за-

ти Ферми весьма специальным образом. В то же

мкнутые траектории системы (1.1) на поверхности

время их геометрические свойства в накрывающем

Ферми.

p-пространстве гораздо проще, чем у хаотических

При описании вклада траекторий типа Дынни-

траекторий типа Дынникова. Как мы уже отме-

чали, вклад таких траекторий в проводимость в

кова в поперечную проводимость важную роль иг-

рает их блуждание по плоскостям, ортогональным

сильных магнитных полях описывается формулой

B. Первые примеры таких траекторий, построенные

(2.1). В этом случае асимптотика старшего члена

в работе [17], обладали замечательным свойством

тензора проводимости отличается от (1.3) тем, что

самоподобия. А именно, всегда существовали два

компонента σ^xx затухает несколько медленнее, чем

(ω_Bτ)^-2 (не обязательно по степенному закону).

направления, ортогональные B, такие, что соответ-

ствующие траектории совпадали сами с собой пос-

В случае хаотических траекторий типа Дынни-

кова как их геометрия в p-пространстве, так и их по-

ле растяжения по этим направлениям с некоторы-

ми растягивающими коэффициентами λ₁ и λ₂ и по-

ведение на компактной поверхности Ферми играют

важную и нетривиальную роль в их вкладе в прово-

следующей конечной деформации в плоскости. На

основе этого свойства в работе [26] было установ-

димость в пределе ω_Bτ → ∞. Например, для связ-

лено анизотропное поведение проводимости в плос-

ных физических поверхностей Ферми рода меньше

кости, ортогональной B, описываемой некоторыми

шести каждая из таких траекторий плотно запол-

¾скейлинговыми¿ коэффициентами α и β. А именно,

няет часть поверхности Ферми, инвариантную от-

носительно отражения p → -p. Это обстоятельство

при соответствующем выборе координатных осей в

плоскости, ортогональной B, компоненты σ^xx(B) и

приводит к соотношению

σ^yy(B) подчиняются степенному закону:

〈v^k〉_tr = 0

ne²τ

σ^xx ∼

(ω_Bτ)^2α-2 ,

для каждой из компонент групповой скорости

m^∗

(3.10)

(включая компоненту вдоль направления B) для

ne²τ

таких траекторий. Вследствие этого вклад та-

σ^yy ∼

(ω_Bτ)^2β-2 ,

m^∗

ких траекторий в полный тензор проводимости в

0 < α, β < 1.

пределе сильных магнитных полей имеет вид [26]

Вообще говоря, замечательное свойство самопо-





o(1) o(1) o(1)

добия не выполняется для траекторий типа Дынни-

ne²τ





σ^kl ≃

 o(1) o(1) o(1)

, ωBτ,→ ∞.

кова в общем случае. Тем не менее, как показано в

m^∗

[43], соотношения (3.10) на самом деле носят более

o(1) o(1) o(1)

общий характер и, вероятно, должны выполняться и

Таким образом, траектории типа Дынникова от-

в общем случае хаотических траекторий типа Дын-

личаются от всех других типов траекторий тем, что

никова. Данное обстоятельство связано, в действи-

288

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Хаотические траектории на поверхностях Ферми. . .

тельности, с индексами Зорича - Концевича - Форни

для динамических систем на двумерных поверхнос-

тях (см. [23-25, 27]).

Заметим, что выражения (3.10) не представляют

членов какого-либо разложения компонент проводи-

мости по величине B, а в действительности выража-

ют лишь ¾общий тренд¿ в затухании этих компо-

нент с увеличением напряженности магнитного по-

ля. Более точно, эти отношения имеют вид

ln σ^xx(B)

lim sup

= 2α - 2,

B→∞ ln ωBτ

ln σ^yy(B)

lim sup

= 2β - 2,

B→∞ ln ωBτ

а поведение σ^xx(B) и σ^yy(B) схематично показано

на рис. 16. Отметим также, что строгое обоснование

существования индексов Зорича - Концевича - Фор-

ни для модели хаотических траекторий типа Дын-

никова достаточно общего вида дано в работе [41].

При обсуждении индексов Зорича - Концеви-

ча - Форни следует отметить еще одну особенность

хаотических траекторий типа Дынникова. Всякий

раз, когда они возникают, имеет место один из

следующих двух взаимоисключающих случаев (см.

[36, 38-40]). В первом случае почти все плоскости,

ортогональные B, содержат только одну хаоти-

Рис. 17. Расщепление траектории типа Дынникова (рис. 8)

на электронноподобные и дырочноподобные замкнутые

ческую траекторию. Во втором случае почти все

траектории при небольшом сдвиге энергии Ферми соот-

плоскости, ортогональные B, содержат бесконечное

ветственно вниз или вверх

число хаотических траекторий. Таким образом,

траектории в первом случае должны, вообще

говоря,

¾заполнять¿ соответствующие плоскости

замкнутые траектории электронного типа при сколь

¾намного плотнее¿, чем во втором случае. В первом

угодно малом понижении уровня Ферми, и на траек-

случае можно ожидать выполнения соотношения

тории дырочного типа при сколь угодно малом по-

α + β = 1, а во втором неравенства α + β > 1.

вышении уровня Ферми (рис. 17). Аналогично, на-

Соответственно, во втором случае проводимость

правления B на угловой диаграмме, для которых

в плоскости, ортогональной B, должна, вероятно,

возникают траектории типа Дынникова, принадле-

уменьшаться медленнее при B → ∞, чем в первом

жат множеству, отделяющему области холловской

случае.

проводимости электронного типа от областей хол-

Для вклада траекторий типа Дынникова в про-

ловской проводимости дырочного типа (рис. 12), что

дольную проводимость σ^zz (B) в работе [26] была

уже обсуждалось выше. Как следствие этого, вклад

также предложена аналогичная формула:

таких траекторий в холловскую проводимость мо-

жет быть как электронным, так и дырочным; мож-

ne²τ

σ^zz ∼

(ω_Bτ)^2γ-2 , ω_Bτ → ∞

но только утверждать, что он убывает при B → ∞.

m^∗

Заметим также, что теми же свойствами обладает и

вклад открытых траекторий любого другого типа в

< γ < 1). Вероятно, это приближение (с уче-

том тех же замечаний, что и относительно σ^xx(B)

холловскую проводимость.

и σ^yy(B)) является наиболее подходящим в общей

В заключение этого раздела мы опишем специ-

ситуации.

фику некоторых квантовых явлений, связанных с

Что касается вклада траекторий типа Дыннико-

хаотическими траекториями типа Дынникова. Од-

ва в холловскую проводимость, то следует учиты-

но из важных свойств траекторий Дынникова состо-

вать [15,17], что такие траектории распадаются на

ит в том, что они всегда содержат пары дуг, близ-

289

И. А. Дынников, А. Я. Мальцев, С. П. Новиков

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

В этом же приближении естественно также ввес-

ти эффективное время свободного пробега τ_eff (B),

определяемое соотношением

τ^-1eff(B) = τ^-1 + τ^-1(1)(B),

в уравнение (3.6).

Можно видеть, что явление магнитного пробоя

не оказывает существенного влияния на проводи-

мость при условии τ₍₁₎(B) ≫ τ. В противоположной

ситуации (τ₍₁₎(B) < τ) явление магнитного пробоя

очень важно и может существенно изменить пове-

дение тензора проводимости в пределе B → ∞ (в

частности, это может сказаться на скорости убыва-

Рис. 18. Явление магнитного пробоя на участках хаоти-

ния компонент тензора проводимости в этом преде-

ческой траектории типа Дынникова, близких друг к другу

(схематично)

ле).

Надо сказать, что условия внутризонного маг-

нитного пробоя обычно достаточно жесткие и тре-

ких в плоскости, ортогональной B, но далеких друг

буют для его наблюдения очень сильных магнит-

от друга вдоль траектории. Беря все более и более

ных полей и очень сильного сближения участков

длинные участки хаотической траектории, мы мо-

траектории друг с другом. В целом, для наблюде-

жем найти пары, подходящие сколь угодно близ-

ния описанного эффекта в любом случае требуются

ко друг к другу. Можно поэтому ожидать, что в

сверхчистые материалы, очень низкие температуры

пределе сильных магнитных полей и больших зна-

и чрезвычайно сильные магнитные поля (а также,

чений τ определенную роль может играть явление

возможно, некоторые геометрические особенности

магнитного пробоя, возникающее в таких областях

электронного спектра). Для большинства материа-

(рис. 18).

лов выполнение условий τ₍₁₎(B) < τ, вероятно, при-

Как известно, явление магнитного пробоя может

ближается к пределу экспериментальных возможно-

возникать на траекториях систем (1.1) самой разной

стей.

геометрии (см., например, [48-53]). В нашем случае

мы можем наблюдать влияние этого явления на эф-

фективную длину свободного пробега. Как извест-

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

но, вероятность (внутризонного) магнитного пробоя

при заданном расстоянии между близкими участ-

В работе представлены результаты исследований

ками траектории сильно зависит от величины маг-

наиболее сложных квазиклассических траекторий

нитного поля и стремится к 1/2 в пределе B → ∞.

электронов, возникающих на поверхностях Ферми

В грубом приближении для заданного значения B

в присутствии внешнего магнитного поля. Сущест-

можно ввести характерное расстояние δp(B) между

вование траекторий этого типа пока доказано

сегментами, такое что вероятность пробоя близка к

теоретически, хотя их экспериментальное обна-

1/2 при расстоянии между отрезками меньшем чем

ружение еще предстоит осуществить. Геометрия

δp(B), и близка к нулю при расстоянии большем чем

описанных траекторий соответствует хаотической

δp(B). По заданному значению δp(B) также можно

динамике в пространстве квазиимпульсов, что, в

определить характерную длину l(B) участка траек-

свою очередь, приводит к весьма нетривиально-

тории в p-пространстве, на котором пара таких от-

му поведению магнитопроводимости в сильных

резков оказывается на расстоянии порядка δp(B).

магнитных полях. В общем случае наличие таких

Легко видеть, что длина l(B) уменьшается с рос-

траекторий характерно для широкого класса дис-

том B. Естественно также ввести характерное время

персионных соотношений в кристалле; однако их

τ₍₁₎(B) ∼ l(B)/B движения между двумя отрезка-

появление требует специального выбора значения

ми, находящимися на расстоянии δp(B) в плоскости

энергии Ферми и направления магнитного поля.

и далеко друг от друга по траектории. В рассматри-

Сложность экспериментального поиска описанных

ваемой ситуации время τ₍₁₎(B) играет роль времени

траекторий связана в основном с достаточно узким

свободного пробега, связанного с явлением магнит-

энергетическим интервалом их возникновения

ного пробоя на хаотической траектории.

для большинства дисперсионных соотношений. В

290

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Хаотические траектории на поверхностях Ферми. . .

данном обзоре представлены результаты самых

17.

I. A. Dynnikov, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, Vol.

последних исследований геометрии описанных

179, AMS, Providence, RI (1997), p. 45.

траекторий, особенностей диаграмм угловой про-

18.

И. А. Дынников, УМН 54, 21 (1999).

водимости, соответствующих возможности их

возникновения на поверхности Ферми, а также

19.

С. П. Новиков, А. Я. Мальцев, Письма в ЖЭТФ

особенностей электронных транспортных явлений

63, 809 (1996).

в пределе ω_Bτ → ∞ при наличии таких траекторий

20.

С. П. Новиков, А. Я. Мальцев, УФН 168, 249

на поверхности Ферми.

(1998).

Благодарности. Статья посвящена 90-летию

21.

А. Я. Мальцев, ЖЭТФ 151, 944 (2017).

М. Я. Азбеля.

22.

А. Я. Мальцев, ЖЭТФ 152, 1053 (2017).

23.

A. V. Zorich, in: Proc. Geometric Study of Foliations

ЛИТЕРАТУРА

(Tokyo, November 1993), ed. by T. Mizutani et al.,

World Scientific, Singapore (1994), p. 479.

И. М. Лифшиц, М. Я. Азбель, М. И. Каганов,

ЖЭТФ 31, 63 (1956).

24.

A. V. Zorich, Annales de l’Institut Fourier 46, 325

(1996).

И. М. Лифшиц, В. Г. Песчанский, ЖЭТФ 35, 1251

(1958).

25.

A. V. Zorich, Amer. Math. Soc. Transl., Ser. 2,

Vol. 179, AMS, Providence, RI (1997), p. 173.

И. М. Лифшиц, В. Г. Песчанский, ЖЭТФ 38, 188

(1960).

26.

А. Я. Мальцев, ЖЭТФ 112, 1710 (1997).

И. М. Лифшиц, М. Я. Азбель, М. И. Каганов,

27.

A. V. Zorich, Amer. Math. Soc. Transl., Ser. 2,

Электронная теория металлов, Наука, Москва

Vol. 197, AMS, Providence, RI (1999), p. 135.

(1971).

28.

Р. Де Лео, УМН 55, 181 (2000).

M. I. Kaganov and V. G. Peschansky, Phys. Rep. 372,

29.

Р. Де Лео, УМН 58, 197 (2003).

445 (2002).

30.

A. Ya. Maltsev and S. P. Novikov, Dynamical

Ч. Киттель, Квантовая теория твердых тел,

Systems, Topology and Conductivity in Normal

Наука, Москва (1967).

Metals, arXiv:cond-mat/0304471, DOI:10.1023/B:

Дж. Займан, Принципы теории твердого тела,

JOSS.0000019835.01125.92.

Мир, Москва (1966).

31.

A. Ya. Maltsev and S. P. Novikov, Sol. State Phys.

А. А. Абрикосов, Основы теории металлов, Нау-

Bulletin of Braz. Math. Society, New Series 34, 171

ка, Москва (1987).

(2003).

32.

A. Ya. Maltsev and S. P. Novikov, J. Stat. Phys. 115,

Ю. А. Дрейзин, А. М. Дыхне, ЖЭТФ 36, 127

(1973).

31 (2004).

33.

A. V. Zorich, in Frontiers in Number Theory, Physics

10.

Ю. А. Дрейзин, А. М. Дыхне, ЖЭТФ 84, 1756

and Geometry, Vol. 1: On Random Matrices, Zeta

(1983).

Functions and Dynamical Systems, ed. by P. Cartier,

11.

С. П. Новиков, УМН 37, 3 (1982).

B. Julia, P. Moussa, P. Vanhove, Ecole de physique

des Houches, France, March 9-21 (2003), Sprin-

12.

А. В. Зорич, УМН 39, 235 (1984).

ger-Verlag, Berlin (2006), p. 439.

13.

С. П. Царев, Частное сообщение, 1992-93 г.

34.

Р. Де Лео, И. А. Дынников, УМН 62, 151 (2007).

14.

И. А. Дынников, УМН 47, 161 (1992).

35.

R. De Leo and I. A. Dynnikov, Geom. Dedicata 138,

51 (2009).

15.

И. А. Дынников, Математические заметки 53, 57

(1993).

36.

И. А. Дынников, Труды МИАН 263, 72 (2008).

16.

I. A. Dynnikov, Surfaces in 3-torus: Geometry of

37.

A. Skripchenko, Discrete Contin. Dyn. Sys. 32, 643

Plane Sections, Proc. of ECM2, BuDA (1996).

(2012).

291

ЖЭТФ, вып. 2 (8)