ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 2 (8), стр. 267-275

РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ЛАВИНЫ РЕЛЯТИВИСТСКИХ

УБЕГАЮЩИХ ЭЛЕКТРОНОВ МЕТОДОМ ГРУППОВЫХ

УРАВНЕНИЙ ДЛЯ МОМЕНТОВ ФУНКЦИИ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ

Е. И. Бочков^*

Российский федеральный ядерный центр ВНИИЭФ

607188, Саров, Нижегородская обл., Россия

Поступила в редакцию 12 апреля 2022 г.,

после переработки 12 апреля 2022 г.

Принята к публикации 18 апреля 2022 г.

Получена модифицированная система групповых уравнений для двух первых моментов функции распре-

деления электронов высоких энергий: уравнения баланса концентрации и плотности потока электронов.

Главное отличие полученной системы от имеющихся версий заключается в том, что в ней члены, отве-

чающие за рождение электронов, выведены непосредственно из ионизационного интеграла. С помощью

данной системы выполнено численное моделирование развития в однородном электрическом поле ла-

вины релятивистских убегающих электронов. Рассчитанные характеристики лавины: время усиления,

средняя энергия электронов, направленная скорость, энергетический спектр и пространственные распре-

деления электронов, хорошо согласуются с результатами расчетов по методу Монте-Карло.

DOI: 10.31857/S0044451022080119

ленного моделирования разрядов, развивающихся

EDN: EHSWHP

в режиме генерации ЛРУЭ. Как известно, наибо-

лее полная информация, необходимая для описания

1. ВВЕДЕНИЕ

плазменных процессов в газовом разряде, содержит-

ся в функции распределения электронов (ФРЭ), ко-

В 1992 г. Гуревичем, Милихом и Рюсселем-Дюп-

торую можно вычислить, решая кинетическое урав-

ре был предложен механизм развития атмосфер-

нение (КУ), или методом Монте-Карло (МК). Одна-

ных разрядов, основанный на генерации лавин реля-

ко на практике численное моделирование на основе

тивистских убегающих электронов (ЛРУЭ) в плот-

КУ или метода МК требует очень больших вычис-

ных газах и слабых электрических полях [1]. В на-

лительных ресурсов. Эффективнее моделирование

стоящее время предполагается, что данный меха-

в приближении сплошной среды на основе системы

низм лежит в основе широкого круга наблюдае-

уравнений для моментов ФРЭ [12]. В работе [13]

мых в грозовой атмосфере явлений: усиление пото-

для моделирования стратосферных разрядов была

ков рентгеновского излучения в грозовых облаках

использована система групповых уравнений (ГУ)

и ступенчатом лидере молнии; вспышки жесткого

для моментов релятивистской ФРЭ, но записаны

гамма-излучения, регистрируемые в ближнем кос-

данные уравнения были на основании упрощенных

мосе, вблизи уровня моря и в высокогорных услови-

априорных соображений. Последовательный вывод

ях (см. обзор [2]); регистрация грозовых нейтронов в

системы ГУ для нулевого, первого и второго мо-

высокогорных условиях (см. обзор [3]); зарождение

ментов релятивистской ФРЭ был выполнен в рабо-

разряда молнии [4-7]; генерация высотных оптиче-

те [14]. Точность метода моментов была продемон-

ских явлений [8,9] и узких биполярных электромаг-

стрирована в [15] путем сравнения результатов чис-

нитных импульсов [10, 11].

ленного решения системы ГУ с результатами моде-

Для понимания результатов данных наблюдений

лирования методом МК. Существенным недостат-

необходима разработка эффективных методов чис-

ком полученной в [14] системы ГУ является то, что

в ней ионизационные члены, отвечающие за гене-

^* E-mail: e_i_bochkov@mail.ru

267

Е. И. Бочков

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

рацию электронов высоких энергий, не были выве-

∑

S_ion,k =

n_i.

(2)

дены непосредственно из ионизационного интеграла

t_re(E)

i=k

столкновений, а записаны из априорных соображе-

ний.

Здесь предполагается, что все вторичные электроны

В данной работе представлена замкнутая систе-

попадают в первую группу, а число электронов рас-

ма ГУ для двух первых моментов ФРЭ, в которой

тет с характерным временем t_re, которое зависит от

точно описаны ионизационные члены и не требу-

напряженности поля. Таким образом, система ГУ,

ется задание априорных зависимостей. Возможнос-

полученная в [14], не является замкнутой, поскольку

ти полученной системы продемонстрированы путем

требует априорного знания зависимости t_re(E). Ис-

численного моделирования развития в воздухе при

пользуя дифференциальное разложение интеграла

нормальных условиях в однородном электрическом

столкновений электронов, полученное в [16], мож-

поле ЛРУЭ. Сравнительный анализ вычисленных

но вывести точное выражение для ионизационного

характеристик ЛРУЭ с результатами МК-расчетов

члена в уравнениях (1), что будет сделано ниже.

показывает эффективность представленного мето-

Поскольку в уравнениях (1) в дивергентный

да ГУ.

член, описывающий перенос электронов в простран-

стве, входят величины плотности потока электро-

нов j_k, при проведении практических расчетов пред-

2. СИСТЕМА ГРУППОВЫХ УРАВНЕНИЙ

почтительно иметь уравнения непосредственно для

данных величин, а не направленного импульса, как

В статье [14] получена система многогрупповых

в [14]. Для того чтобы получить систему уравне-

уравнений для первых трех моментов функции рас-

ний для плотности потока электронов, рассмотрим

пределения электронов высоких энергий: концент-

релятивистское кинетическое уравнение для ФРЭ

рации электронов, уравнений движения (направлен-

f (r, p, µ, t) [17]:

ного импульса) и средней энергии. Как показали ре-

зультаты работы [15], для численного моделирова-

∂f(r,p,µ,t)

ния эволюции лавины релятивистских убегающих

+ v · ∇_rf(r,p,µ,t)+

∂t

электронов достаточно только уравнений баланса

∂

[

]

концентрации и уравнений движения. Уравнения

p²(µq_eE - F_D(p))f(r, p, µ, t)

p² ∂p

для концентрации электронов имеют вид [14, 15]

[

]

∂

1-µ²

(Z+4)F_D(p)

[

]

q_eE

f (r, p, µ, t) -

∂n_k

∂µ

8γp

+div_r j_k =

〈µ〉_k-1/2 q_eE-F_D(p_k-1/2)

[

]

∂t

∂

∂f(r,p,µ,t)

[

]

k-1/2

(1 - µ²)

= St_ion,

(3)

- 〈µ〉_k+1/2q_eE-F_D(p_k+1/2)

× ∂µ

∂µ

p_k-p_k-1

n_k+1/2

где v скорость электрона, µ угол между векто-

+S_ion,k.

(1)

ром импульса p и единичным вектором в направ-

p_k+1 - p_k

лении электрической силы e. Ионизационный ин-

Здесь N число разбиений интервала в пространст-

теграл в правой части уравнения (3), отвечающий

ве импульсов [p_min,p_max], границы которого опреде-

за рождение электронов высоких энергий, имеет

ляются условиями задачи; k номер группы, ши-

вид [17]

рина которой [p_k-1/2, p_k+1/2] в общем случае произ-

вольна; n_k концентрация электронов; j_k плот-

∫

∞

(γ^′2 -1)

ность потока электронов в k-й группе; 〈µ〉_k коси-

St_ion = N₀υ

dε^′

γ² - 1

нус угла между векторами j_k и e = -E/E; q_e эле-

2ε+εion

ментарный заряд; F_D сила трения, описывающая

∫

усредненные потери энергии электроном; S_ion,k

× σ_ion(ε^′, ε)

f (r, p^′, µ^′, t) dα,

(4)

источник вторичных электронов высоких энергий,

2π

рождаемых в результате ионизации.

Как отмечалось во Введении, недостатком систе-

где ε_ion

порог ионизации. В случае релятивистс-

мы ГУ, полученной в [14], является то, что в ней

ких электронов, энергия которых много больше

ионизационный член S_ion,k, не был непосредствен-

энергии связи атомарных электронов, процесс иони-

но выведен из ионизационного интеграла столкно-

зации можно описывать как рассеяние электрона на

вений. Для него была принята следующая упрощен-

покоящемся свободном электроне, тогда связь меж-

ная форма [14]:

ду величинами µ и µ^′ задается уравнением [17]

268

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Расчет параметров лавины релятивистских убегающих электронов. . .

√

Далее интегрируем второй член:

µ^′ = µµ₀ +

1-µ²

1 - µ20 cosα,

(5)

∫

где

∑

√

p²dp dµ v

v_i∇_i f(r, p, µ, t)dϕ =

ε(ε^′ + 2m_ec²)

µ₀ =

p_k-1/2

-1

ε^′(ε + 2m_ec²)

∫

угол рассеяния электрона.

∑

∇_i

p²dp dµ v · v_i f(r, p, µ, t)dϕ =

Определим величину плотности потока электро-

p_k-1/2

-1

нов в k-й группе:

∑

∇_in_k(r, t)〈v · v_i〉_k ≈

∇_in_ku_ku_k,i =

∫

∫1

∫

∑

j_k(r, t) ≡

p²dp dµ vf(r, p, µ, t)dϕ =

∇_iu_k,i +

u_k,i∇_ij_k =

p_k-1/2

-1

∫

= j_kdiv_ru_k + (u_k · ∇_r)j_k = (∇_r · u_k)j_k.

(9)

p²dp dµ (v_⊥+υµe) f(r, p, µ, t)dϕ =

При выводе данного выражения величины моментов

p_k-1/2

-1

второго порядка 〈v · v_i〉_k были заменены на произ-

∫

∫1

ведение моментов первого порядка аналогично то-

= 2π

υp²dp µf(r, p, µ, t)dµ e ≈

му, как это было сделано в работе [14]. Данное при-

p_k-1/2

-1

ближение можно обосновать следующим образом. В

рассматриваемом здесь случае полагается, что ФРЭ

∫¹

не зависит от азимутального угла в пространстве

≈ 2πυ_kp^2k(p_k+1/2 - p_k-1/2) µf(r, p_k, µ, t)dµ e.

(6)

импульсов, поэтому если направить ось z в коорди-

-1

натном пространстве вдоль вектора e, то отличным

Также определим величину направленной скорости

от нуля будет только момент v^2zke. Величина v^2zk

электронов:

выражается как

∫

∫1

u_k(r, t) ≡ j_k(r, t)/n_k(r, t) =

2π

υ²p²dp µ² f(r, p, µ, t)dµ

∫

∫1

p_k-1/2

-1

υp²dp µf(r, p, µ, t)dµ

v^2zk

≈

∫

∫1

p_k-1/2

-1

e ≈

2π

p²dp f(r, p, µ, t)dµ

∫

∫1

p_k-1/2

-1

p²dp f(r, p, µ, t)dµ

∫

p_k-1/2

-1

µ² f(r, p_k, µ, t)dµ

∫1

µf(r, p_k, µ, t) dµ

≈υ^2-1k1

∫

≈^-11

υ_k e = 〈µ〉_kυ_ke.

(7)

f (r, p_k, µ, t) dµ

∫

-1

f (r, p_k, µ, t) dµ

=υ^2k µ

≈ υ2k 〈µ〉^2k = u^2k.

(10)

-1

Как показывают результаты МК-расчетов развития

Для того чтобы найти уравнения для величин j_k,

в электрическом поле ЛРУЭ [18], угловое распреде-

необходимо кинетическое уравнение (3) умножить

ление релятивистских электронов сильно вытянуто

на величину vp² и проинтегрировать по переменным

вдоль вектора e, и средний косинус угла между век-

p, µ, ϕ на отрезках p ∈ [p_k-1/2, p_k+1/2], µ ∈ [-1, 1] и

тором скорости электронов и вектором напряженно-

ϕ ∈ [0,2π]. Интегрируя таким образом первый член

сти поля, а также среднее значение квадрата коси-

в левой части уравнения (3), получаем

нуса близки к единице, поэтому замена в (10) зна-

∫

чения величины среднего квадрата косинуса µ

∂

∂j

p²dp µ dµ

vf(r, p, µ, t)dϕ =

(8)

на квадрат среднего значения 〈µ〉^2k не должна при-

∂t

p_k-1/2

-1

водить к большой ошибке.

269

Е. И. Бочков

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Интегрирование третьего члена кинетического

Здесь при получении последнего равенства мы учли

уравнения (3) дает

соотношение

( dυ)

υ dp

γ²p

Интегрируя сумму четвертого и пятого членов

∫

уравнения (3), получаем

p²dp dµ

p²

p_k-1/2

-1

∫

∂

[

]

2πe

υp²dp µ dµ ×

p²(µq_eE - F_D(p))f(r, p, µ, t)

dϕ =

∂p

p_k-1/2

-1

∫

{

[

]

∂

1-µ²

(Z+4)F_D(p)

= 2π

υ dp µ ×

q_eE

f (r, p, µ, t)

∂µ

8γp

p_k-1/2

-1

[

]}

∂

∂f(r,p,µ,t)

∂

[

]

(1 - µ²)

p²(µq_eE - F_D(p))f(r, p, µ, t)

dµ e ≈

∂µ

∂p



∫



= -2πe

p²dp q_eE(1-µ²)f(r, p, µ, t)dµ -

≈2πp²

k+1/2

υ_k+1/2

(µ²q_eE - µF_D(p_k+1/2)) ×

p_k-1/2

-1

∫

× f(r,p_k+1/2,µ,t)dµ - 2πp^2k-1/2υk-1/2 ×

(Z+4)F_D(p)

υp²dp ×

∫1

8γp

p_k-1/2

× (µ²q_eE - µF_D(p_k-1/2))f(r, p_k-1/2, µ, t) dµ -



∫

-1

∂f(r,p,µ,t)

(1-µ²)

dµ ≈

( dυ)

∂µ

- 2πp²

(p_k+1/2 - p_k-1/2)×

−1

dp_k



[(

)υ_kn_k

∫¹

≈ -e

1- µ²

q_eE -

^k p_k

× (µ²q_eE - µF_D(p_k))f(r, p_k, µ, t) dµ e ≈

]

(Z+4)F_D(p_k)

〈µ〉_kυ_kn_k

≈

^-1[(

)

4γ_kp_k

≈ µ^2k+1/2q_eE - 〈µ〉_k+1/2F_D(p_k+1/2)

(

)υ_kn_k

(Z+4)F_D(p_k)

≈ - 1-〈µ〉

q_eE e+

j_k ≈

υ_k+1/2n_k+1/2

^k p_k

4γ_kp_k

[

]

p_k+1 - p_k

υ_kn_k

(Z+4)F_D(p_k)

j_k

(

)

≈

q_eE+ 〈µ〉_kq_eE+

(12)

− µ^2k-1/2q_eE - 〈µ〉_k-1/2F_D(p_k-1/2)

p_k

4γ_k

p_k

)

υ_k-1/2n_k-1/2

( dυ

Объединяя выражения (8), (9), (11), (12), полу-

p_k - p_k-1

dp_k

чаем следующее уравнение для плотности потока

]

(

)

электронов:

µ^2kq_eE - 〈µ〉_kF_D(p_k)

n_k e ≈

[

]

(

∂j_k

) j_k+1/2

+ (∇_r · u_k) j_k =

〈µ〉_k-1/2q_eE - F_D(p_k-1/2)

≈ 〈µ〉_k+1/2q_eE - F_D(p_k+1/2)

∂t

p_k+1 - p_k

[

j_k-1/2

] j_k+1/2

(

) j_k-1/2

- 〈µ〉_k+1/2q_eE-F_D(p_k+1/2)

- 〈µ〉_k-1/2q_eE - F_D(p_k-1/2)

p_k - p_k-1

p_k+1 - p_k

p_k - p_k-1

(

)]

[ 〈µ〉_kq_eE-F_D(p_k)

(Z+4)F_D(p_k)

( dυ)

- 〈µ〉_kq_eE+

(〈µ〉_kq_eE - F_D(p_k)) j_k =

γ^2k

4γ_k

υ_k dp_k

j_k

υ_kn_k

〈µ〉_k+1/2q_eE - F_D(p_k+1/2

)

q_eE + S^jion,k.

(13)

j_k+1/2 -

p_k

p_k+1 - p_k

Теперь вычислим ионизационные члены S_ion,k и

)

〈µ〉_k-1/2q_eE - F_D(p_k-1/2

j_k-1/2 -

S^jion,k в уравнениях (1) и (13). Используя дифферен-

p_k - p_k-1

циальное разложение интеграла столкновений, по-

〈µ〉_kq_eE - F_D(p_k)

лученное в работе [16], мы можем выразить инте-

j_k.

(11)

γ^2kp_k

грал по переменной α в (4) следующим образом:

270

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Расчет параметров лавины релятивистских убегающих электронов. . .

∫

Здесь при получении последнего равенства мы учли,

f (r, p^′, µ^′, t) dα = f(r, p^′, µ, t) +

что dε^′ = υ^′dp^′ и 2ε_k ≫ ε_ion. С учетом того, что по

2π

определению

{

}

∑

(1 - µ₀)^l

∂^l

(1 - µ²)^l ∂^lf

∫

2^l(l!)²

∂µ^l

l=1

n_i ≡ 2π

p²dp f (r, p, µ, t) dµ,

{

}

1-µ₀

∂

∂f

p_i-1/2

-1

= f(r,p^′,µ,t) +

(1 - µ²)

∂µ

{

}

(1 - µ₀)

∂²

выражение (16) окончательно можно записать в ви-

(1 - µ²)² ∂²f

+...

(14)

де

∂µ²

Соответственно ионизационный интеграл примет

υ_kp^2k(p_k+1/2 - p_k-1/2)

S_ion,k ≈ N₀

вид

γ^2k - 1

(

∑

∫∞

σ_ion(ε_i, ε_k)υ_i(γ²ⁱ - 1)

∑

(1-µ₀)^l

n_i =

St_ion = N₀υ

f (r, p^′, µ, t)+

p²

i=i_k

2^l(l!)

l=1

2ε+εion

∑

{

}) (

)

= N₀υ_k(p_k+1/2 - p_k-1/2)

υ_iσ_ion(ε_i, ε_k),

(17)

∂

γ^′2 - 1

(1 - µ²)^l ∂^lf

σ_ion(ε^′, ε)dε^′.

i=i_k

∂µ^l

γ² - 1

(15)

где i_k

номер интервала [p_i-1/2, p_i+1/2], в кото-

). Аналогичным образом можно по-

ром лежит p(2ε_k

Удобство данного разложения заключается в том,

лучить ионизационный член, входящий в уравне-

что его легко можно проинтегрировать по перемен-

ние (13):

ной µ, и таким образом можно получать уравнения

для моментов ФРЭ любого порядка. Так, для мо-

∫

∫1

мента нулевого порядка, т. е. величины S_ion,k, имеем

S^jion,k = 2π

υp²dp µ St_iondµ e =

p_k-1/2

-1

∫

∫1

∫

S_ion,k = 2π

p²dp St_iondµ = 2πN₀ ×

υ²p²

= 2πN₀

dp ×

p_k-1/2

-1

γ² - 1

p_k-1/2

∫

∞

υp²

∫

∞

(γ^′2-1)σ_ion(ε^′, ε) dε^′ ×

γ² - 1

(γ^′2 - 1) σ_ion(ε^′, ε) µ₀(ε^′, ε) dε^′ ×

p_k-1/2

2ε+εion

∫¹

υ_k

∫

f (r, p^′, µ, t) dµ ≈ N0

N₀υ^2kp^2k(p_k+1/2-p_k-1/2)

γ^2k - 1

µf(r, p^′, µ, t) dµ e ≈

-1

γ^2k - 1

-1

× 2πp^2k(p_k+1/2 - p_k-1/2)×

∞

∫

(γ^′2 - 1)σ_ion(ε^′, ε_k)µ₀(ε^′, ε_k)

∫∞

2πυ^′p^′2dp^′ ×

p^′2

(γ^′2 - 1)σ_ion(ε^′, ε_k) dε^′ ×

2ε_k

2ε_k+εion

∫

∫¹

υ_kp^2k(p_k+1/2-p_k-1/2)

× µf(r, p^′, µ, t) dµ e.

(18)

f (r, p^′, µ, t) dµ ≈ N0

γ^2k - 1

-1

∫∞

Учитывая, что

(γ^′2 - 1) σ_ion(ε^′, ε_k) υ^′

2πp^′2dp^′ ×

p^′2

∫

∫1

2ε_k

j_i ≡ 2π

υp²dp µf (r, p, µ, t) dµ e,

∫¹

p_i-1/2

-1

× f(r,p^′,µ,t) dµ.

(16)

−1

окончательно имеем

271

Е. И. Бочков

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

S^jion,k ≈ N₀υ^2k(p_k+1/2 - p_k-1/2)×

∑

× σ_ion(ε_i, ε_k)µ₀(ε_i, ε_k)j_i.

(19)

i=i_k

Выпишем теперь полную систему ГУ для двух

первых моментов релятивистской ФРЭ баланса

концентрации и плотности потока электронов:

∂n_k

〈µ〉_k-1/2q_eE - F_D(p_k-1/2)

+ (∇_r · j_k) =

n_k-1/2 -

∂t

p_k - p_k-1

)

〈µ〉_k+1/2q_eE - F_D(p_k+1/2

n_k+1/2 +

p_k+1 - p_k

∑

+ s_ikυ_in_i,

i=i_k

∂j_k

+ (∇_r · u_k) j_k =

∂t

)

〈µ〉_k-1/2q_eE - F_D(p_k-1/2

j_k-1/2 -

p_k - p_k-1

〈µ〉_k+1/2q_eE - F_D(p_k+1/2

)

j_k+1/2+

p_k+1 - p_k

(

)]

[ 〈µ〉_kq_eE-F_D(p_k)

(Z+4)F_D(p_k)

- 〈µ〉_kq_eE+

γ^2k

4γ_k

j_k

υ_kn_k

∑

q_eE +

s_ikµ₀(ε_i, ε_k)υ_kj_i,

(20)

p_k

i=i_k

где

s_ik = N₀υ_k(p_k+1/2 - p_k-1/2)σ_ion(ε_i, ε_k).

Следует отметить главный недостаток данной

системы ГУ. В исходном кинетическом уравнении

(3) полагалось, что ФРЭ не зависит от азимуталь-

ного угла ϕ в пространстве импульсов, поэтому сис-

Рис. 1. Нормированное на единицу энергетическое рас-

тема (20) не описывает диффузию электронов в на-

пределение электронов для δ = 2, 5, 8 в момент времени

правлении, ортогональном вектору напряженности

t = 849 нс, 167 нс, 88 нс соответственно. Результаты ре-

поля. В дальнейших расчетах для зависимости от

шения системы ГУ и расчет по УМК

импульса энергетических потерь электрона F_D ис-

пользуется формула Бете [19], а для дифференци-

ального сечения ионизации σ_ion формула Мёлле-

3. СРАВНЕНИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ

ра [19].

ГРУППОВЫХ УРАВНЕНИЙ С

При решении системы уравнений (20) необходи-

РЕЗУЛЬТАТАМИ РАСЧЕТОВ МЕТОДОМ

МОНТЕ-КАРЛО

мо также вычислять величины n_k-1/2 и n_k+1/2, для

этого используется следующая процедура:

Для того чтобы продемонстрировать точность

n_k+1/2 =

предложенного метода ГУ, был выполнен расчет

{

развития ЛРУЭ в однородном электрическом поле

n_k,

[〈µ〉_k+1/2eE - F_D(p_k+1/2)] > 0,

(21)

с напряженностью E = F_minδ, где δ параметр пе-

n_k+1, [〈µ〉_k+1/2eE - F_D(p_k+1/2)] < 0.

ренапряжения величины напряженности поля отно-

Аналогично рассчитываются j_k-1/2 и j_k+1/2. Вели-

сительно минимума силы Бете F_min. Система урав-

чина 〈µ〉_k+1/2 вычисляется путем линейной интер-

нений (20) решалась численно в диапазоне энергий

поляции значений 〈µ〉_k и 〈µ〉_k+1.

от 10 кэВ до 100 МэВ. Данный энергетический диа-

272

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Расчет параметров лавины релятивистских убегающих электронов. . .

тообразное распределение электронов в пространст-

ве и гауссово по энергии со средней энергией 7 МэВ и

шириной распределения 0.1 МэВ. Данная постанов-

ка задачи близка к принятой в численном модели-

ровании ЛРУЭ методом МК [18, 20], что позволяет

выполнять прямое сравнение результатов.

В таблице приведены рассчитанные методом ГУ

характеристики ЛРУЭ: время усиления t_re, т. е. вре-

мя, за которое число электронов увеличивается в

e раз; средняя энергия 〈ε_re〉 и направленная ско-

рость электронов u_re. Для сравнения в таблице ука-

заны и значения, рассчитанные по МК-программе

ЭЛИЗА, отличающейся детальным описанием про-

цессов взаимодействия электронов, гамма-квантов и

позитронов с молекулами воздуха [18, 21], а также

по упрощенной МК-программе (УМК), аналогичной

описанной в [20]. Также для величины t_re в табли-

це приведены значения, полученные путем числен-

ного решения КУ [20]. Как можно видеть, значе-

ния t_re, вычисленные методом ГУ, наиболее близ-

ки именно к результатам решения КУ (отличия не

превышают 8 %), что естественно, поскольку систе-

ма ГУ непосредственно выведена из КУ. Значения

средней энергии электронов в лавине, полученные

методом ГУ, не более чем на 10 % отличаются от

значений, вычисленных по УМК-модели. Значения

же направленной скорости u_re, полученные разны-

ми методами, очень близки между собой, здесь от-

личия не превышают 2 %.

На рис. 1 представлены нормированные на еди-

ницу энергетические распределения электронов, вы-

численные методом ГУ и методом УМК, для δ = 2,

5 и 8 в момент времени t = 5t_re, когда достигается

равновесие электронов с полем. В целом наблюдает-

ся хорошее согласие распределений, полученных по

Рис. 2. Нормированное на единицу распределение электро-

обеим методикам. На рис. 2 показана линейная кон-

нов вдоль оси симметрии лавины для δ = 2, 5, 8. Резуль-

центрация электронов вдоль оси симметрии лавины

таты решения системы ГУ и расчет по УМК

в те же самые моменты времени. В целом наблюда-

ется нормальное согласие, хотя можно видеть, что

пазон был разбит на N_ε = 100 интервалов, границы

распределение, полученное методом УМК, не совсем

которых определялись по формуле

симметрично относительно максимума распределе-

ния, и сам максимум слегка опережает максимум

(q^j-1 -1)

ε_j = ε_min

распределения, рассчитанного методом ГУ.

q-1

где j = 1 - N_ε, и q есть решение уравнения

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исходя из кинетического уравнения для реля-

qNε-1 - 1

ε_max

тивистских электронов, выполнен вывод групповых

q-1

ε_min

уравнений для плотности потока электронов. Сов-

Расчеты выполнены для воздуха (Z = 14.5, F_min ≈

местно с уравнениями баланса концентрации элек-

≈ 2.18 кВ/см) при нормальных условиях (N0 =

тронов, полученными ранее, мы имеем замкнутую

= 2.69 · 10²⁵ м^-3). Постановка задачи была следую-

систему ГУ, позволяющих моделировать кинетику

щей: в начальный момент времени задавалось дель-

электронов высоких энергий. Особенностью полу-

273

Е. И. Бочков

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Таблица. Время усиления tre, средняя энергия 〈εre〉 и направленная скорость ure электронов в лавине, вычислен-

ные разными методами для нормальных условий

t_re, нс

〈ε_re〉, МэВ

u_re, 10⁸ м/с

КУ

ЭЛИЗА

ГУ УМК

[20]

[17]

[21]

191

177

197

189.7

7.74

7.27

6.74

2.59

2.64

81.5

75.1

77.6

7.95

7.39

6.79

2.59

2.65

51.2

47.1

47.5

7.97

7.36

6.83

2.62

2.67

2.65

37.0

34.0

39.9

34.3

7.93

7.31

6.87

2.64

2.68

2.66

28.8

26.4

7.62

7.23

6.79

2.66

2.69

2.66

19.6

17.9

21.2

17.8

7.66

7.30

6.61

2.67

2.70

2.68

14.6

13.5

13.3

7.45

6.90

6.41

2.67

2.71

2.69

11.6

10.6

10.45

7.32

6.71

6.15

2.69

2.71

2.69

9.35

8.72

8.56

7.01

6.55

5.99

2.69

2.71

2.69

ченной системы является то, что в ней ионизаци-

Sci. Rev., 173, 133, DOI: 10.1007/s11214-012-9894-0

онные члены были непосредственно выведены из

(2012).

ионизационного интеграла, поэтому в представлен-

3. Л. П. Бабич, УФН 189, 1044 (2019).

ном виде метод ГУ не требует задания априорной

зависимости от напряженности поля времени усиле-

4. J. R. Dwyer, Geophys. Res. Lett. 32, L20808, DOI:

ния лавины. Система предназначена для численного

10.1029/2005GL023975 (2005).

моделирования газовых разрядов, развивающихся с

5. А. В. Гуревич, К. П. Зыбин, УФН 171, 1177 (2001).

участием электронов высоких энергий, в том чис-

ле релятивистских убегающих электронов. Для де-

6. Л. П. Бабич, Е. И. Бочков, И. М. Куцык, ЖЭТФ

монстрации точности полученной системы ГУ для

139, 1028 (2011).

моментов ФРЭ выполнено численное моделирова-

7. L. P. Babich, E. I. Bochkov, J. R. Dwyer, and

ние развития в однородном электрическом поле в

I. M. Kutsyk, J. Geophys. Res. 117, A09316, DOI:

воздухе ЛРУЭ. Рассчитанные характеристики ла-

10.1029/2012JA017799 (2012).

вины, вычисленные решением системы ГУ, близки

8. J. R. Dwyer, N. Liu, and H. Rassoul, Geophys. Res.

к полученным методом МК. Преимущество мето-

Lett. 40, 4067, DOI:10.1002/grl.50742 (2013).

да ГУ состоит в том, что он позволяет рассчиты-

вать пространственные и энергетические распреде-

ления электронов за гораздо меньшее счетное вре-

9. Л. П. Бабич, Е. И. Бочков, ЖЭТФ 151, 823 (2017).

мя, чем методы МК и КУ. Недостатком метода ГУ в

10. H. E. Tierney, R. A. Roussel-Dupre, E. M. D. Sym-

представленном виде является невозможность опи-

balisty, and W. H. Beasley, J. Geophys. Res. 110,

сывать поперечную относительно вектора электри-

D12109, DOI:10.1029/2004JD005381 (2005).

ческой силы диффузию электронов.

11. Л. П. Бабич, Е. И. Бочков, И. М. Куцык, ЖЭТФ

144, 205 (2013).

ЛИТЕРАТУРА

12. В. Е. Голант, А. П. Жилинский, И. Е. Сахаров, Ос-

новы физики плазмы, Атомиздат, Москва (1977).

1. A. V. Gurevich, G. M. Milikh, and R. Roussel-Dupre,

Phys. Lett. A 165, 463 (1992).

13. Л. П. Бабич, А. Ю. Кудрявцев, М. Л. Кудрявцева,

И. М. Куцык, Геомагнетизм и аэрономия 48, 381

2. J. R. Dwyer, D. M. Smith, and S. A. Cummer, Space

(2008).

274